Асимптотический анализ вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов со случайными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Румянцева, Екатерина Владимировна

• Румянцева, Екатерина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Румянцева, Екатерина Владимировна

Введение.

1 Вероятности высоких выбросов условно-гауссовских процессов со случайными постоянными параметрами.

1.1 Случай степенных хвостов распределения случайных параметров.

1.2 Случай ограниченного справа носителя распределения случайных параметров.

2 Вероятности высоких выбросов условно-гауссовских процессов со случайными параметрами в виде квадратичной и линейной функций.

2.1 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовского процесса со случайной дисперсией.

2.1.1 Основные результаты.

2.1.2 Доказательства.

2.2 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовских процессов со случайным средним.

2.2.1 Основные результаты

2.2.2 Доказательства.

3 Вероятности высоких выбросов комбинации двух процессов: стационарного гауссовского и гладкого процесса.

3.1 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов произведения процессов.

3.2 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов суммы процессов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический анализ вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов со случайными параметрами»

Изучение вероятностей высоких выбросов случайных процессов и полей представляет собой важную область в теории вероятностей. В настоящее время наибольшее развитие получила асимптотическая теория экстремумов гауссовских процессов (см. монографиии и обзорные статьи: [1], [2], [3],

4], И, И)

Разработан целый ряд общих методов для исследования больших уклонений гауссовских процессов. К ним относятся метод сравнений [1], [7], метод моментов [1], [8], а также метод двойных сумм [1]. Эти методы дали возможность получить достаточно полную картину асимптотического поведения вероятностей высоких выбросов.

Дадим краткое описание перечисленных выше методов. Метод моментов. Этот метод основан на формуле Каца-Райса для среднего числа пересечений уровня случайным процессом (см. [9]). Обозначим Nu(0, h) число пересечений снизу вверх уровня и процессом X за время [0, h]. Тогда во многих случаях можно показать, что

PJh) := P(max X(t) > и) ~ ENJO, h) при и -> оо. (1)

Физический смысл этого асимптотического соотношения состоит в том, что выходы за высокий уровень случаются крайне редко, поэтому можно наблюдать не более одного пересечения высокого уровня за фиксированный промежуток времени [0, h]. Напомним, что согласно формуле Каца-Райса

Поо ypt{u,y)dydt, где pt— совместная плотность распределения X'(t)). Более того, формула

Pu(h) « ENU{0, h) + Р{Х{0) > и) (2) часто является довольно точным приближением и позволяет получить второй член в асимптотическом разложении Pu{h) при и —> оо. Существует также и физическое обоснование этого приближения. Может случиться как правило, с маленькой вероятностью), что Х(0) > и, в то время как Nu(0,h) = 0. Этот метод был детально разработан для гауссовских процессов. Дальнейшее развитие метода Райса для гауссовских и близких к гауссовским процессов связано с именами Ж. Азаиза, В. Питербарга, И. Рыхлика, М. Вшебора.

Метод сравнения. Метод сравнения был развит только для гаус-совского случая и широко обсуждалось его применение для гауссовских полей. Математическая сторона метода состоит в изучении геометрических свойств множества {t: X(t) >и},и £ R. Пусть Xo(t) и X(t), t е [0, Т\— два независимых гауссовских стационарных центрированных процесса, имеющих гладкие траектории, единичную дисперсию и равные значения дисперсий их производных. Тогда, при некоторых дополнительных условиях невырожденности и гладкости, существует р, 0 < р < 1 такое, что при и —у оо

Р( max Xi(s) > и) - Р( max X0(s) > и)| = se[0,T} «€[0,21

Таким образом, вычисляя асимптотическое поведение Ри для "простого "гауссовского процесса, получаем вероятность больших уклонений для других гауссовских процессов, имеющих корреляцию, близкую к нулю, вплоть до экспоненциального порядка малости.

Аналогичные выводы можно получить и в случае гауссовских полей (см. [1], глава 1).

Метод двойных сумм. Замечание, сделанное выше, о том, что для реальных случайных процессов пересечения высокого уровня случаются редко, в некотором смысле является решающим. Кроме того, выбросы (т.е. часть траектории над уровнем) обычно очень короткие. Подобные наблюдения, примененные к процессам с негладкими траекториями приводят к мощному методу оценки асимптотического поведения РПш Пикандс (см. [10], [11]) был первым, кто действительно использовал этот факт в случае недифференцируемых процессов. Пусть X(t)— гауссовский стационарный центрированный процесс с корреляционной функцией rt. Предположим также, что для некоторого 0 < а <2 rt = l-|t|° + o(|f|e), 0. (3)

Тогда для любого Л > 0 и h = \и~2/а,

Ри(\и-2'а) ~ На(Х)Р{Х{0) >и),и-> оо, где На(Х) = Е exp(max[0jA](v/2SQ/2(^) -f")) и Ba/2(t)— дробное броуновское движение с параметром Херста а/2.

Этот локальный результат генерирует много интересных следствий не только для гауссовских процессов. Разбивая интервал [0, h) на маленькие интервалы длины Ли~2/а, и доказывая, что одновременный выход за уровень и на двух интервалах случается с маленькой вероятностью (согласно неравенству Бонферони), получаем

Pu(h) ~ Hahu2/aP(X{0) > и) при и —> оо, (4) где На = limA->oo На(Х)/Х с Нае (0, оо).

Метод Пикандса оценки вероятностей P(maxte[0,r] X{t) > и) основан на принципе локализации— выделении в параметрическом множестве Т малых подмножеств, поведение на которых случайного процесса и определяет асимптотику вероятностей. В процессе развития и уточнения этого метода оказалось,что в определенном смысле он является аналогом асимптотического метода Лапласа (см. [12]). При этом имеют место следующие два обстоятельства. Во-первых, траектория гауссовского процесса превышает высокий уровень и, как правило, на одном из выделенных бесконечно малом при и —У оо интервале. Во-вторых, эти множества малого диаметра распределены равномерно по всему параметрическому множеству Т в случае стационарного или близкого к стационарному процессам, а в нестационарном случае концентрируются в области, где дисперсия процесса X близка к максимальной. Позже в работах В.И. Питербарга (см. [1], глава 2), Ю.К. Беляева и В.И. Питербарга ([13]), К. Кволса и X. Ватанабе

14], [15] метод Пикандса был обобщен на случай гауссовских стационарных полей, включая процессы и поля, определенные на бесконечномерных параметрических множествах.

Вместе с тем, в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности, теории приближения случайных процессов и многих других областях помимо стационарных гауссовских процессов возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально-стационарных процессах и полях. Впервые такой процесс с постоянной дисперсией исследовал С.Берман [16]. В работе [17] В.И. Питербарг и В.П. Присяжнюк изучили вероятности высоких выбросов гауссовского локально-стационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в указанных окрестностях корреляционная функция процесса близка к корре-ляционнй функции некоторого стационарного процесса. В статье [18] найдена асимптотика больших уклонений максимума гауссовского локально-стационарного процесса, математическое ожидание которого есть непрерывная функция, достигающая максимума в единственной точке и ведущая себя регулярно в ее окрестности. В работе В.Р. Фаталова [19] найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений локально-стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в Rn.

Среди других результатов в этом направлении можно отметить пуассо-новскую предельную теорему для числа выходов гауссовского стационарного процесса за высокий уровень, полученную Ю.К. Беляевым [20] и Г. Крамером [21], а также предельную теорему для максимума гауссовской стационарной последовательности (С. Берман, [16]). В дальнейшем изучению асимптотических свойств гауссовских процессов была посвящена обширная литература (см., например, работы [22], [23], [24]).

В работе Ю.Хюслера [25] вводится массив гауссовских стандартных случайных переменных (£ш,г > 0,п > 0), таких, что (£ш,г > 0)— стационарная нормальная последовательность для каждого п > 0. При некоторых условиях на корреляцию между элементами массива найдены оценки для распределения максимума элементов последовательности. Такие массивы из гауссовских последовательностей использовались далее для получения асимптотических оценок вероятностей достижения максимума непрерывного гауссовского процесса.

В работе Ю. Хюслера и В.И. Питербарга [26] найдены асимптотики для экстремальных значений дробного броуновского движения и гауссовских процессов с трендом. В доказательствах использовались результаты, полученные в работе X. Бракера [27].

Метод Пикандса развивается не только для гауссовских процессов. Работы П. Албина [28] и других авторов содержат результаты для диффузионных и некоторых других процессов.

Характерным свойством множества высоких экстремумов гауссовского процесса является "отсутствие памяти": высоты этих максимумов вместе с их расположением асимптотически независимы друг от друга. Это обстоятельство уменьшает сферу приложений гауссовских моделей. В частности, чисто гауссовсие модели не позволяют прогнозировать высокие экстремумы (например, в случае финансовых временных рядов, которые, как правило, трудно прогнозируемы). Известен эффект Тейлора, когда включение в модель высокочастотного движения цен случайной волатильности (дисперсии), существенно повышает прогнозируемость (см. [29], [30], [31], [32], [33], [34]).

В этой связи приобретает значение класс случайных процессов, называемых условно-гауссовскими, к которым, с одной стороны, применима хорошо развитая гауссовская техника, а с другой — в рамках этого класса можно учесть модели с зависимыми экстремумами. Процессы вида X(t, 0(t)), t € R, где 0(t)— случайный, возможно векторный, процесс, называются условногауссовскими, если распределение Х(-,0(-)) при фиксированном в(-) является гауссовским. В настоящей работе рассматриваются условно-гауссовские процессы вида X(t)<p(t) + rj(t), где X(t) и 6(t) = (p(t),r}(t)) назависимы, X(t)— гауссовский процесс с нулевым средним и <p(t) > 0. Наиболее известным примером условно-гауссовских процессов является субгауссовский процесс (см. [35]).

Дадим определение субгауссовского процесса. Для этого нам потребуется ряд вспомогательных определений.

Определение. Случайная величина X распределена по устойчивому закону, если найдутся числа 0 < а < 2, <т > 0, — 1 < /3 < I и (i такие, что характеристическая функция X имеет следующий вид:

Случайную величину X, распределенную по устойчивому закону, обозначают X rsj Sa(cr, (3,ц). В случае а = 2 получаем Е ехр г9Х = ехр{—<j292+ г//0}. Это характериситическая функция гауссовской случайной величины со средним ц и дисперсией 2а2.

Понятно, что если X, распределенная по устойчивому закону, является симметричной случайной величиной, то параметры /i равны нулю. Верно и обратное утверждение. Для симметричных устойчивых случайных величин вводят обозначение X ~ SaS.

Утверждение. Пусть X ~ Sa>S(a, 0,0), где 0 < а' < 2 и пусть 0 < а < а'. Пусть W ~ Sa/ai((cos^)a'/a, 1,0) и преобразование Лапласа случайной величины W имеет вид

Еехр (-7Ж) = ехр{-7°/а'}, 7 > 0.

Предположим также, что X uW независимы. Тогда

Z = W1/a'X ~ Sa(c7,0,0).

Отсюда следует, что если центрированная гауссовская случайная величина £ ~ N(0,cг2) и W— положительная а/2- устойчивая случайная величина (0 < а < 2), не зависящая от т.е. W ~ 5Q/2((cos 1,0), то

Z = Ж1/2£ - SaS.

Случайную величину Z называют субгауссовской.

Заметим. что каждая SaS случайная величина является условно-гаус-совской.

Теперь обобщим это определение на случайные векторы. Выберем положительную случайную величину W ~ 5a/2((cos ™)2y,a, 1,0), а < 2 так, что ее преобразование Лапласа равно

Еехр (-7W) = ехр{-7а/2}, 7 > 0.

Пусть далее £ = (£ьцентрированный гауссовский случайный вектор в Rd, не зависящий от W. Тогда случайный вектор называется субгауссовским SaS случайным вектором в Rd с образующим гауссовским вектором

Аналогично определяем субгауссовский процесс.

Пусть £(t),t £ Т— центрированный гауссовский процесс и положительная случайная величина W ~ Sa/2((cos ^)2//q, 1,0), где а < 2 такая, что ее преобразоние Лапласа имеет вид Еехр (—7W) = ехр{—7Q/2}, 7 > 0. Предположим, что W не зависит от £(t),t 6 Т. Тогда SQS процесс {Z{t) = Wll2£{t), t еТ] называется субгауссовским процессом с образующим гауссовским процессом £(£),£ Е Т. Его конечномерные распределения , , d> 1— субгауссовский случайный вектор, введенный выше.

Адлер, Самородницкий и Гадрич в работе ([36]) оценили среднее число пересечений фиксированного уровня субгауссовским процессом и изучили асмиптотическое поведение этой величины при возрастании уровня, которое, как оказалось, имеет порядок и~а. Используя гауссовскую технику, в диссертации найдена асимптотика вероятностей высоких экстремумов суб-гауссовского процесса, порядок которой также составляет и~а.

Указанные процессы в случайной среде оказываются полезными моделями стохастических процессов с предсказуемыми экстремумами. Предсказу-мая случайная среда (например, случайная дисперсия) позволяет моделировать экстремумы процессов и другие редкие события. Прогнозируя значения дисперсии (волатильности), можно делать выводы о вероятной высоте экстремумов процесса, основываясь на замечании, что высокие экстремумы гауссовского процесса наиболее вероятны в окрестности точек больших значений дисперсии. Это обстоятельство реабилитирует гауссовскую модель и может служить стимулом для дальнейшего развития асимптотических методов в теории гауссовских случайных процессов.

Перейдем к описанию содержания диссертации.

В первой главе находятся асимптотики высоких экстремумов условно-гауссовских процессов со случайными постоянными параметрами: средним и дисперсией.

Пусть £(£),£ € Т- гауссовский случайный процесс с нулевым средним, заданный на произвольном параметрическом множестве Т и п.н. ограничен в смысле следующего определения

Определение. Гауссовский процесс называется п.н. ограниченным, если P(sup^T |£(£)| < оо) = 1.

Для таких процессов справедливо неравенство (см. [37])

P(sup|f(f)| > и) <се~£и\ teT

ГДе 0 < £ < 2шаИ С = С(£) > 0

Пусть </?, 7]— независимые случайные величины и пара rj) не зависит от £(£),£ € [О,Т]. В первой главе найдены асимптотики вероятностей

P(max£(i) + т] > и), P(max£(t)<p > и), P(max<p£(t)+tj > и) (5) t£T t€T t&T при и —У оо. Изучены два типа распределений хвостов случайных параметров: тяжелые (степенные) и имеющие ограниченные справа носители.

Случай степенных хвостов распределения параметров условно-гауссовского процесса.

Доказано, что в случае степенных (тяжелых) хвостов распределения случайных параметров (р, г) изучаемые асимптотики вероятностей (5) имеют степенной порядок.

Обозначим max{:r, 0} и := — minjrz, 0}.

Предложение 1.1. Пусть поведение на бесконечности случайной величины <р удовлетворяет следующим условиям lim uaP{ip >и) = А, lim uaP(ip < -и) = В, (6) u-too u->oo где А и В- постоянные величины, а > 0. Тогда при и —> оо верно следующее соотношение

1Л где E(ma,xteT £{t))+ < оо и #(тах$ет £(£))" < оо.

Для субгауссовского процесса, т.е. процесса вида £(t)y/W, где W — положительная |-устойчивая случайная величина (0 < а < 2) с параметрами а = (cos2^)», /? = 1, fi = 0 получаем в качестве следствия следующую асимптотику и) = + о(1)), « - ос, где Г(-)— гамма функция.

Предложение 1.2. Пусть поведение на бесконечности случайной величины г] удовлетворяет условию: lim и^Р(г] > и) = С, (7)

U-+00 где С > 0— постоянная величины, /3 > 0. Тогда при и оо верно соотношение

Р{тахф) + г] > и) = Си~р{ 1 + о(1)).

Теорема 1.1. Пусть распределение <р удовлетворяет условию (6), а распределение случайной величины г] удовлетворяет условию (7). Тогда i) если (3 > а, то при и оо имеем соотношение

Р/ сил, ^ л AE(maxteT№)a+ + ВЕ(max^ft))^ , ii) если (3 < а, то при и —> оо имеем соотношение

P(max^W + х\ > и) = Си~р( 1 + о(1)); tQ.7 iii) если (3 = а, то при и -» оо имеем соотношение

Р(шах (£>£(£) + г] > и) = АЕ{тпэхкт Z(t))% + BE{maxteTm)a- + С +

XL

Случай ограниченных справа носителей параметров условно-гауссовского процесса.

Пусть fv(x)~ плотность случайной величины г) к сг\ = supja; : f^x) > 0}. Предположим, что а\ < оо.

Пусть ср— неотрицательная случайная величина с плотностью fip{x) и сг2 = sup{:c: f<p{x) > 0}. Пусть а г < оо.

При таких типах распределения случайных параметров ip,r) для нахождения асимптотик вероятностей (5) необходимо знать поведение при и оо вероятности P(supteT |£(£)| > и). Такая асимптотика получена для весьма широкого класса гауссовских случайных процессов и полей (см. [1]). Как правило, она имеет вид

P(sup£(*) > и) = Ыае-ы\ 1 + о(1)), и^ оо (8) teT где h > 0, а— некоторые константы, b = 2sup *

Доказано, что в случае, когда правые хвосты распределений случайных параметров ip, 77 зануляются, асимптотики вероятностей (5) имеют тот же порядок, что и в (8).

Итак, пусть удовлетворяет свойству (8).

P(max£(t) + V > и) = h{2b)-1fv{al)ua-1e-b(u-a^(l + о( 1)).

Предложение 1.3. Пусть /^(ж) непрерывна слева в точке х = а\ и fr)(&i) > 0- Тогда при и —> оо верно следующее соотношение rV^iK-V6^)2

Предложение 1.4. Пусть fv(x) имеет разложение fv(x) = d(ai - х)а + о((а\ - z)Q) при х -»• (7Ь где а > 0 и d > 0. Тогда при и —> оо еермо

Р(тахей + гу > и) = dh(2b)-1F(a + + о( 1)),

Г(-)~ гамма-функция.

Предложение 1.5. Пусть f^{x) непрерывна слева в точке х = причем /<Д<г2) > 0. Тогда при и оо верно следующее соотношение

Р(тзхф)<р >и) = h{2b)-1aa2+3U(a2)na-2e-bu2^(l + о{ 1)). Предложение 1.6. Пусть fip{x) имеет разложение fv(x) = d(o2 - х)а + о(((Т2 - х)а) при х (J2, где а > 0 и d > 0. Тогда при и —> оо

Р(тшт? > «) = + 0(1)), (9) где Г(-)- гамма-функция.

Теорема 1.2. Пусть для некоторого к — 0,1, 2. плотность f^x) к раз непрерывно дифференцируема слева в точке х = <ji, причем ri) Ф 0, а при i < k : /^(ci) = 0. Пусть для некоторого I = 0,1,2. плотность fpix) I раз непрерывно дифференцируема слева в точке х = 02, причем /2^(02) ф 0, а при г <1: /2^(02) = 0. Тогда при и -У оо верна асимптотика

Р(тах (р£ (t) + r/>u) = Kua-k-2l~ze~bi^?L( 1 + о(1)), teT где К =

Доказательства утверждений первой главы проводятся с помощью асимптотического метода Лапласа (см. [12]) и его модификаций.

Во второй главе изучаются асимптотики вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовских процессов, представимых в виде произведения и суммы стационарного гауссовского и случайных квадратичной и линейной функций.

Пусть £(t),t Е R— стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией r(t), такой, что для 0 < а < 2 имеет место r(t) = 1 - \t\a + o{\t\a) при t -)► 0 и r(t) < 1 для всех t > 0.

Пусть т] и ( > 0— случайные величины такие, что пара (??,£) не за~ висит от процесса £(£). Пусть f(x,y) = fTl^(x,y)— совместная плотность случайных величин, а /ф{у\х) = /С;Г?(у, x)/fv(x).

Для случайной величины г/ с плотностью fv обозначим а = sup{a; : /г)(х) > 0}, а для случайной величины ( с плотностью обозначим а^ = supjar : fc(x) > 0}. Пусть а^ < оо, а < оо и для некоторого к = 0,1,2, плотность frj(x) к раз непрерывно дифференцируема слева в точке а, причем = 0 для I < к и $\а) ф 0.

Введем обозначение у\а) := lim^. f(\r,{y\x).

Асимптотики вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовских процессов со случайной дисперсией.

Предположим, что для некоторого е > 0 случайная величина т? > е. п.н.

Положим

PUi2 = Р{ max №{ri - let2) > и), Рв>1 = Р( max ОД (г/ - (t) > и), где а < в случае параболы и а < е/а^ в случае прямой.

Введем обозначение Ф(м) = Р(£ > и), где стандартная нормальная случайная величина. Как известно 4f(u) ~ (1/у/2тг)и~1е~и2!2 при и оо. Здесь и далее мы считаем, что а(и) ~ Ь{и) при и —> оо, если функции а(и) и Ь(и) такие, что lim^oo а{и)/Ь{и) = 1.

Теорема 2.1. Предположим, что функция /^(у, я) непрерывна слева в точке х = а для любого у Е [0, crj и существует функция с{у) такая что y1/2fc\v(y\x) < с(у)и Г c(y)dy <

1. Пусть а <2. Тогда

Рщ2 ~ (-l)kyfaHaE2(a)a-2/a+3k+9'2fW(ст)и2^-2к^(и/а), и^ оо, sdeE2((T) = ^y-1f%tl(y\cr)dy.

2. Пусть а = 2. TWa где Ё2(а) = tf >/(2a + y)/y/c,4(y^)dy.

Теорема 2.2. 1. Пусть а > 1. Предположим, что существует е > О, такое, что плотность fcv(y,x) ограничена на [0, crj х [<т — €, а]. Тогда при и —У оо

Ри,1 ~ (-1 )ka3k+3fW(<r)u-2-2kV(u/a).

2а. Пусть а < 1. Предположим, что функция непрерывна слева в точке х = и для любого у Е [0, сг^] и существует функция с(у) такая что у'1 f(\v{y\x) < с(у) и c(y)dy < оо. Тогда

Рщ1 ~ (-^^«^-^^(^/fH^-4-2^^), и —> 00, где £i(cr) = jrVcfofak) dy.

2b. Пусть а < 1. Предположим, что функция /^п(у,х) непрерывна слева в точке х — а для любого у Е [0,<т^]; условная плотность fclv{y\rj — х) непрерывна в точке у — 0 равномерно по всем х Е [а — б, и] для некоторого е > 0 и /ф(0|сг) > 0. Тогда при и —> оо

Ри>1 ~ 2(-l)kHaa5+sk-2/af^\a)fW{a)u2'a-A-2k\ogu ■ Ъ(и/а).

За. Пусть а = 1. Предположим, что функция f^{y-,x) непрерывна слева в точке х — а для любого у Е [0, а^] и существует функция с(у) такая что у-1/^(ylx) < с(у) и c(y)dy < оо. Тогда при и -» оо

Ри,1 ~ (-lj^+VfW^iWtt-2-2^^), где Н\(о)= Eexp{max{V2B(t)-{l+y/a)t)}fQr](y\a) dy, 0 < Н^а) < оо,

0,оо]

B(t)— стандартное броуновское движение.

ЗЬ. Пусть а = 1. Предположим, что функция /()Т/(у, я) непрерывна слева в точке х = и для любого у Е [0,0(\ и условная плотность /с^Ы7/ — х) непрерывна в точке у = 0 равномерно по всем х Е [с — е, а] для некоторого е > 0 и > 0. Тогда при и оо

РиЛ ~ 2(-l)V+3*/f M/cl4(0|<7)U-2-2*logU • Ф(«/<г).

Асимптотики вероятностей высоких экстремумов условно-гаус-совских процессов со случайным средним.

Положим

Ры+ = Р( max m + V - kt2 > «), Р+! = P(max £(t) + r, - (t > u).

Теорема 2.3. Предположим, что функция f^r,(y,x) непрерывна слева в точке х = а для любого у Е [0, и существует функция с(у) такая что 1с\ч{у\х) < с(у) и Jo** c{y)dy < оо. Тогда при 0 < а < 2

К2 ~ и)к^НаЕ2(а)^к\а)и2^2-кЦи -а), и оо sdeE2(<T) = fZ<y-1%n(y\*)dy.

Теорема 2.4. Предположим, что функция f^(y,x) непрерывна слева в точке х — и для любого у Е [0,<j^].

1а. Пусть а < 2 и существует функция с(у) такая что y~lf^\q{y\x) < с(у) и c{y)dy < оо. Тогда

Pi - (-1 fHaE^fW^u^-^iu -а), и^ оо, где Ei(a) = y~lfC\v(yW) dy. lb. Пусть a <2 и существует e > 0 такое, что условная плотность f^T]{y\r}=x) непрерывна в точке у = 0 равномерно по всем х Е [<т - е,сг] и /с|7?(0|<т) > 0. Тогда при и оо

К1 - H)fe#a/c(OH/f (a)u2^-2-klogu . Щи - а).

2. Пусть а = 2 и существует функция с(у) такая, что у 1f^T](y\x) < с(у) и c(y)dy < оо. Тогда при и оо

1 - (-i)Vf MSi- а),

ВД = + « <ВД = ПИ < х), стандартная нормальная случайная величина.

Доказательства утверждений второй главы проводятся с помощью метода двойных сумм (см. [1]) и асимптотического метода Лапласа и его модификаций.

Третья глава посвящена нахождению асимптотик вероятностей высоких экстремумов суммы и произведения стационарного гауссовского и процесса, удовлетворяющего определенным условиям регулярности.

Пусть £(£), t G R— гауссовский стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием , E£(t) = 0 и корреляционной функцией r(t), такой что r(t) = 1 - \t\a + o(|t|a), 0 < а < 2 при t 0 и r(t) < 1 для всех t > 0.

Пусть rj(t), t € R— случайный процесс, не зависящий от £(£). Далее предполагаются выполненными нижеследующие условия А, В, С, D.

A. r](t) — три раза п.н. непрерывно дифференцируемый и локально ограниченный вместе со своими производными процесс, т.е. для любого ограниченного В и неслучайного С (В) < оо п.н. имеет место неравенство sMm\+w"m<c(B). в

B. Для любого t € Ж плотность распределения ft(x, у, z) := 1ф),г]'(г),т)"{г){х, У?z) вектора (r}(t),r]'(t),r]"(t)) существует и для любого ограниченного В С I равномерно по £ € Б ограничена на R3.

C. Для любого t и для любого х, таких что !ф){х) > 0 имеет место fmm(°\x) >

D. Предположим, что a(t) := sup{x : fv(t)(x) > 0} = а для всех t E [—7, T + 7], 7 > 0. Предположим, что точки локального максимума процесса r}(t) не вырождены, т.е. для некоторого е > 0 условия r)'(t) = 0 и r]"(t) < 0 влекут rf'{t) < —к. Предположим также, что lim /т7'(%(г)(0|ж) —: fr)'(t)\r](t){Qк) > 0 равномерно по всем t (мы допускаем максимумы любой высоты). Предположим, что для любого t и некоторого к = 0,1, 2,. плотность (ж) равномерно по всем t к раз непрерывно дифференцируема слева в точке а, причем /^(с) = 0 для I < к и /^(с) ф 0.

Обозначим (rf'(t))- = - mm{rj"(t), 0}. Тогда в указанных выше условиях имеют место следующие утверждения:

Теорема 3.1. Пусть T}{t) — п.н. положительный случайный процесс.

1. Пусть равномерно по всем t функция

Et(x) := Я(((т/'й)-)1/2 | V(t) = х, гi(t) = 0) (10) непрерывна в точке а и Et{u) := lim^^- Et(x) > 0. Тогда при а <2 lim--= оо иуа-г-пцф) /,Ш0( омедя

2. Пусть равномерно по всем t функция fn"(t))\ri(t),ri'{t{z\x^) непрерывна слева в точке х = и для любого z Е [—С, —/с] и ограничена сверху функцией c(z), т.ч. Jqc(z) dz < 00. Тогда при а = 2

ИтP(maxmT]^{t)ri{t) > и)= pZk+з и™и-2-2кЩи/а) (a)fmT]{t)(0\a)E}(a)dt и функция Е}(х) :=е( y/(rf'(t)J)(2x + v"(t)-) Ф) = х, rf(t) = о) непрерывна слева в точке а, а Е}(а) := lim x-ta— Е}(х) > 0.

Теорема 3.2. Пусть равномерно по всем t функция

Et(x) :=E((r]'l(t)^2\V(t)=x,r]'(t) = 0) непрерывна в точке а и Et{cr) > 0. Тогда при любом 0 < а < 2 lim^(тах8б[0|п^(а) + ту(а)>ц)=

Доказательства Теорем третьей главы проводятся с помощью методов теории точечных процессов (см. [38]), метода двойных сумм, а также асимптотического метода Лапласа и его модификаций.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Питербаргу Владимиру Ильичу за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Румянцева, Екатерина Владимировна, 2007 год

1. Piterbarg V.1. Asymptotic methods in the theory of Gaussian processes and fields — Transl. Math. Monogr., AMS, Providence, Rhode Island, 1996.

2. Питербарг В.И., Фаталов В.Р. Точные асимптотики для вероятностей больших уклонений некоторых используемых в статистике гауссовских полей.— Вероятностно-статистические методы исследования/ ред. И.Г.Журбенко, А.Н.Колмогоров. М.: изд-во МГУ, 1983, 124-143.

3. Лифшиц М.А. О распределении максимума гауссовского процесса.— Теория вероятностей и ее применения. 31, 1 (1986) 134-142.

4. Лифшиц М.А. Вычисление точной асимптотики некоторых гауссовских больших уклонений,— Записки научных семинаров ЛОМИ. 184, 1990, 189-199.

5. Albeverio S., Piterbarg V. Mathematical methods and concepts for the analysis of extreme events.— Extreme Events in Nature and Society. Springer Berlin Heidelberg, I, 2006, 47-68.

6. Leadbetter M.R., Rootzen H. Extremal theory for stochastic processes.— Ann. Probab. 16, (1983) 431-478.

7. Питербарг В.И., Конаков В.Д. Скорость сходимости распределений максимальных уклонений гауссовских процессов и эмпирических плотностей. I.— Теория вероятностей и ее применен., 1982, 27, 4, 707-724. 1.

8. Питербарг В.И. Метод Райса для гауссовских случайных полей — Фунд. и прикл. матем. 1996. 2. 187-204.

9. Н. Cramer and MR Leadbetter, Stationary and Related Stochastic Processes. Wiley, 1967.

10. J. Pickands, Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian process, Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969) 75—86.

11. Pickands J., Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes, Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969) 51-73.

12. Федорюк M.B. Асимптотика: Интегралы и ряды.М.: Наука, 1977.

13. Беляев Ю.К., Питербарг В.И. Асимптотика среднего числа А-точек выбросов гауссовского поля за высокий уровень.— Выбросы случайных полей/ ред. Ю.К.Беляев. М.: Изд-во МГУ, 1972. 62-89.

14. Quails С., Watanabe Н. Asymptotic properties of Gaussian processes-Ann. Math.Statist. 43, (1972) 580-596.

15. Quails C., Watanabe H. Asymptotic properties of Gaussian random fields.- Trans. Amer. Math. Soc. 177, (1973) 155-171.

16. Berman S.M. Limit theorems for the maximum term in the stationary sequences Ann. Math. Statist. 35, (1964)502-516.

17. В.И. Питербарг, В. Присяжнюк. Асимптотическое поведение вероятности большого выброса для нестационарного гауссовского процесса. Теория вер. и мат. статист., 18, 121-133, 1978.

18. Piterbarg V.I., Stamatovich S. On maximum of Gaussian non-centered fields indexed on smooth manifolds. Weierstrass -Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik. Preprint No. 449, Berlin 1998, 1-13.

19. Фаталов В.P. Точные асимптотики вероятностей больших уклонений гауссовских случайных процессов и поле.— Канд. диссер., 1990.

20. Беляев Ю.К. О числе пересечений уровня гауссовским случайным процессом.— Теория вероятностей и ее применения, I, II. 11 1 (1996) 120-128; 12, 3 (1967) 444-457.

21. Cramer Н. On the intersections between the trajectories of a normal stationary stochastic process and a high level.— Arkiv. Mat., 6, (1965) 1656-1663.

22. Берман С. Выбросы стационарного гауссовского процесса за высокий движущийся барьер.— В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения М.: "Мир", 1978, 133-164.

23. Берман С. Времена пребывания и экстремумы гауссовских процессов.— В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения М.: "Мир", 1978, 165-203.

24. Крамер Г., Лидбеттер М.Р. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1969.

25. Huesler J. Extremes of a Gaussian Processes and the Constant Ha — Extremes. 2, 1 (1999) 59-70.

26. Huesler J., Piterbarg V.I. Extremes of a certain class of Gaussian processes — Stochastic Processes and their Applications , 83, 2 (1999), 257-271.

27. Braker H.U. High boundary excursions of locally stationary Gaussian processes — Proceedings of the Conference on the Extreme Value Theory and Applications. Gaitherburg, MA, 3, (1993) 69-74.

28. Albin J.M.P. Some properties of a normal process near a local maximum-Ann. Math. Statist. 41, 1870-1883.

29. Ширяев A.H. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты и модели. Москва, Фазис, 1998.

30. Andersen T.G., Bollerslev Т., Diebold F. X., Labys P. Modeling and forecasting volatility, Econometrica 71, 2003, 579-625.

31. Dacorogna, M.M., R. Gencay, U. Muller, R.B. Olsen, Pictet O.V. , An introduction to high-frequency finance, Academic Press, San Diego, 2001.

32. Calvet, L., and Fisher, A. Multifractality in Asset Returns: Theory and Evidence. The Review of Economics and Statistics 84, 2002, 381-406.

33. A. Mora-G'alan, A. P'erez, Ruiz E. Stochastic volatility model and the Taylor effect, Working Paper, Universidad Carlos III de Madrid, 2004.

34. Carmen Broto, Esther Ruiz Estimation methods for stochastic volatility models: a survey Journal of Economic Surveys 18 (5), 2004,613-649.

35. G.Samorodnitsky, M.S.Taqqu Stable non-Gaussian Random processes. Chapman & Hall, N.Y., London, 1994.

36. J.Adler, G.Samorodnitsky, T.Gadrich The expected number of level crossings for stationary, harmonizable, symmetric, stable processes. The Annals of Applied Probability, 1993, vol 3, No. 2, 553- 575.

37. X.Fernique Regularite des trajectoires des fonctions aleatoires gaussiennes. Ecole d'Ete des Probablites de Saint-Flour,IV-1974, Lecture Notes in Math., Vol 480, Springer, Berlin, 1975, pg 1-96.

38. Robert J. Adler The Geometry of Random Fields, John Wiley and Sons, 1981.

39. Бородин A.H., Салминен П. Справочник по броуновскому движению: Факты и формулы — СПб.: Лань,2000.

40. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.

41. Румянцева Е.В. Асимптотика вероятности больших уклонений условно-гауссовского процесса со случайной дисперсией. Вестник МГУ. Сер. 1, Математика. Механика. 2004. № 5, с. 64-65.

42. Румянцева Е.В. Об асимптотике распределения максимума одного условно-гауссовского процесса. Вестник МГУ. Сер. 1, Математика. Механика. 2006. № 3, с. 57-61.

43. Hiisler Jiirg , Piterbarg Vladimir, Rumyantseva Ekaterina. Extremes of gaussian processes in random environment. Statistical Extremes and Environmental Risk (SEER 2007), CEAUL/FCUL, Lissabon, pp. 23-25.Тезисы доклада.

44. Питербарг В.И., Румянцева Е.В. Экстремумы гауссовских процессов со случайными параметрами. 44 с. - Рус.-Деп. в ВИНИТИ РАН № 374-В2007, 2007.