Асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Парусникова, Анастасия Владимировна

• Парусникова, Анастасия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Парусникова, Анастасия Владимировна

Введение

Глава 1. Разложения решений в окрестности нуля

§ 1.1. Понятия и определения двумерной степенной геометрии

§ 1.2. Типы получаемых разложений

Степенные и степенно-логарифмические разложения

Сложные разложения.

Экзотические разложения.

Экспоненциальные разложения.

§ 1.3. Применение методов двумерной степенной геометрии для нахождения разложений в нуле.

Свойства пятого уравнения Пенлеве.

Случай а{3-у5 ф0.

Случай а/?7 ф 0, 5 = 0.

Случай ар ф 0, 7 = 0, 6 ф

Сводка полученных разложений.

§ 1.4. Основные семейства

Связь с семействами разложений решений уравнения Р^

Интегрируемый случай 7 = 0, 5 = 0.

Глава 2. Решения пятого уравнения Пенлеве в неособой точке

§2.1. Случай а/Зуд ф 0.

§ 2.2. Случай с0 = 1, а/3 ф 0.

§ 2.3. Случай а/3 = 0.

§ 2.4. Сходимость разложений.

Глава 3. Разложения и асимптотики решений в окрестности бесконечности

§ 3.1. Применение методов двумерной степенной геометрии

Случай а(3-у6 фО.

Случай а/?7 ф 0, 5 = 0.

Сводка результатов.

Случай а(3 = 0.

§ 3.2. Суммируемость разложений по Жевре.

§ 3.3. Методы трёхмерной степенной геометрии.

§ 3.4. Применение методов трёхмерной степенной геометрии

Случай а/3^5 ф 0.

Случай ар-у ф 0, 5 =

Случай а = 0, ¡3^5 ф 0.

Оставшиеся случаи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве»

Данная работа является исследованием в области аналитической теории дифференциальных уравнений. Рассматривается пятое уравнение Пенле-ве. Методами двумерной и трёхмерной степенной геометрии отыскиваются асимптотические разложения и асимптотики его решений в окрестности особых и неособых точек уравнения.

Л. Фукс в работе 1884 года [5] и А. Пуанкаре в работах 1885-1886 [18], [19], [20] предложили искать в классе нелинейных дифференциальных уравнений те, решения которых не имеют критических подвижных особых точек, и при этом не выражаются через уже известные функции, в том числе и через спецфункции (особая точка функции называется критической, если при обходе этой точки значение функции меняется; особая точка решения уравнения называется подвижной особой точкой, если её положение зависит от начальных условий). Фукс показал, что уравнения вида ^ Р^, г) <20, ¿0' где Р(ги, г), (^(ги, г) по ю — многочлены, апог- аналитичны, будут уравнениями с неподвижными критическими точками, если и только если они являются уравнениями Риккати, т. е. имеют вид и/ — ао(г)го2/2 + <21(2)«; + ао(г).

Параллельно с Л. Фуксом и А. Пуанкаре похожими вопросами занималась и С. Ковалевская — она рассматривала задачу о движении волчка. До её исследований Л. Эйлером и Ж. Лагранжем уже были найдены значения параметров, при которых система уравнений движения волчка оказывалась интегрируемой. Ковалевская продолжила поиск первых интегралов системы, и при этом подошла к вопросу с принципиально иной, аналитической точки зрения. Она выделила параметры задачи, при которых решения уравнений движения не имеют подвижных критических точек, а затем при выделенных параметрах задачи нашла дополнительный первый интеграл, не известный Эйлеру и Лагранжу. Связанные с этим вопросом результаты опубликованы в работе 1889 года [12]: в ней Ковалевская показала, что если у решений системы дифференциальных уравнений нет подвижных критических особых точек, то система имеет дополнительный интеграл, и её решения могут быть построены в аналитическом виде.

Дальнейшее развитие проблематики сузило поставленную задачу. В 1887 году Э. Пикар [17] предложил исследовать класс ОДУ второго порядка вида w" = F(z,w,w'), (1) где F(z, w, w') — мероморфная по 2 и рациональная по w и w' функция, и уже из уравнений этого класса выделить те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек.

В такой постановке в начале двадцатого века задачу решил П. Пенлеве [13], [14], [15] со своими учениками Б. Гамбье [7], [8] и Р. Гарнье [6]: они нашли 50 канонических уравнений. Среди этих уравнений были выделены 6, получившие название уравнений Пенлеве. Для остальных 44 уравнений все решения либо выражались через элементарные или известные тогда специальные функции, либо уравнения сводились к уравнениям Пенлеве.

Здесь и далее будем обозначать уравнения Пенлеве (с первого по шестое) через Р\ — w" = Qw2 + ^ (рх) w" = 2 w3 + zw +а, (Р2) (w')2 w' aw2 -f ¡3 о 6 w" = ^---+-+7W3 + -, Р3) w z z w w 2 w h m 1 \ , a2 w' (w-1 Y ( p\ 7w ôw(w+l) w = Un +-7) (w)--+ "-Г2" \aw + - +—+—--г^, П

2w w~lj z z1 V w z w — l w"

2 \w w — l w — zj \z z— 1 w — zj z2(z — I)2 у ио2 ('Ш — I)2 ('ш — £)2)

Решения этих 6 уравнений Пенлеве определяли новые специальные функции, которые были названы трансцендентами Пенлеве. Отметим, что в форме, поставленной Фуксом и Пуанкаре, задача о поиске обыкновенных дифференциальных уравнений, все решения которых не имеют критических подвижных особых точек, на данный момент остаётся открытой.

В первые годы после обнаружения нового класса объектов были выделены случаи явной интегрируемости, наложены условия па параметры уравнений, при которых уравнения имели решения в виде специальных функций. Работы Пенлеве и учеников были связаны с изучением уравнений и их свойств. Например, в 1910 году Гамбье показал, что уравнения Пенлеве Рг-Рб обладают преобразованием Бэклунда, которое переводит решение данного уравнения в решение уравнения с тем же номером, но с другими значениями параметров. Он же показал, что уравнения Рг—Рб ПРИ некоторых значениях параметров обладают рациональными и алгебраическими решениями. Гамбье также показал, что уравнение Р2 имеет однопараметри-ческое семейство решений, представимое в виде функций Эйри. Он же при помощи преобразования Бэклунда показал, что уравнение Р2 может быть переведено само в себя, причём один из его коэффициентов станет равным нулю.

Бутру в работе 1913 года [2] нашёл некоторые семейства асимптотик решений уравнения Р2; при помощи специального преобразования переменных были найдены и разложения решений уравнения Рх в различных частях плоскости. Некоторые из них были эллиптическими функциями.

Для Ре в частном случае Пенлеве и Фукс показали, что есть существенно трансцендентное решение, являющееся композицией эллиптической и гипергеометрической функции (интересно, что работа, посвященная этому вопросу, появилась ещё до открытия самих уравнений), Гамбье же нашёл решение для уравнения выражаемое через цилиндрические функции.

Лукашевич в 1960-х годах занимался поиском решений уравнения Р5 при конкретных значениях параметров. Так, например, при а: = ¡3 = 0, 72 + 25 = 0 уравнение было проинтегрировано в 1965 году, а при 7 = 5 = 0 — в 1968 году. Лукашевич нашёл элементарные, не являющиеся рациональными функциями, однопараметрические семейства решений, представляющие собой функции Уиттекера. гипергеометрические функции).

Уравнения Пенлеве вновь привлекли внимание в конце 1970-х гг. в связи с работой М. Абловица и X. Сегура [1], в которой было показано, что уравнения Пенлеве возникают как точные редукции нелинейных уравнений в частных производных. В те же годы уравнения Пенлеве были обнаружены, как описывающие физические объекты: к ним сводится эт-Гордон уравнение, эллиптическое уравнение вт-Гордон, уравнение Эрнста, уравнение Кортевега-де-Фриза, трёхмерное нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение Буссинеска, уравнение Кадомцева — Петвиашвили и другие. Уравнения Пенлеве также имеют приложения в статистической физике, дискретные уравнения Пенлеве — в теории случайных матриц. Всё это объясняет актуальность изучения асимтотического поведения трансцендептов Пенлеве.

В 1987, 1989 годах Нишиока и Умемура доказали сформулированную Пенлеве ещё в 1902 году теорему о том, что все решения уравнения Р\ являются неприводимыми.

Далее последовал ряд работ, приводящих уравнения Пенлеве к форме уже известных механических, математических, физических объектов, Ока-мото в 1980 году удалось переписать все уравнения Пенлеве в форме га-мил ьтоновых систем.

Перечислим области, в которых применяются уравнения Пенлеве в настоящее время: асимптотика нелинейных эволюционных уравнений; статистическая механика; модели случайных матриц; теория квантовой гравитации и квантового поля; теория топологического поля; решения стационарных осесимметричных уравнений Эйнштейна; поверхности с постоянной отрицательной кривизной; общая теория относительности; физика плазмы; резонирующая осцилляция в мелкой воде; конвективные потоки с вязкой диссипацией; вихри Гёрте в ограниченном слое; нелинейные волны; полиэлектролиты и электролиз; теория сверхпроводников; нелинейная оптика и стеклооптика и другие.

Результаты, касающиеся асимптотического поведения трансцендептов Пенлеве, получены Ф.В. Андреевым, А. П. Бассом, А. Д. Брюно, И. В. Го-рючкиной, Д. Гузетти, М. Джимбо, Б. Дубровиным, А. Итсом, Н. Йоши, А. Капаевым, А. Китаевым, П. А. Кларксоиом, К. Ло, М. Мазокко, Дж. Мак Леодом, В. Новокшёновым, В. Сулеймановым, Ш. Тэнгом и другими. Подробная библиография, относящаяся к истории изучения этих вопросов, имеется в книге А. Р. Итса, А. А. Капаева, В. Ю. Новокшенова, А. С. Фока-са [33].

Обзор известных свойств трансцендептов Пенлеве имеется в работе П. Кларксона [4].

Данная диссертация состоит из введения и трёх глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Парусникова, Анастасия Владимировна, 2012 год

1. M. J. Ablowitz, H. Segur, Asymptotic solutions of the Kortweg de Vries equation 11 Stud. Appl. Math., v. 57, №1, p. 13-44.

2. P. Boutroux, Recherches sur les transcendantes de M.Painleve et 1'etude asymptotique des equations différentielle dusecond ordre // Ann. Sei. Ec. Norm. Super.

3. A. D. Bruno, A. V. Parusnikova. Elliptic and periodic asymptotic forms of solutions to P5 // Painlevé Equations and Related Topics (Eds. A. D. Bruno, A.B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 53-65.

4. P.A. Clarkson, Painlevé Transcendents // NIST Digital Library of Mathematical Functions. Chapter 32. http://dlmf.nist.gov/32

5. L. Fuchs, Uber differentiagleichung deren integrale feste verzweigung-spuete besitzen // Sitz. Acad. Wiss. Berlin. 1884. 669-720.

6. B. Gambier, Sur les equations différentielles du seconde ordre et du premier degre dont l'integrale generale est a points critiques fixes // Acta Math. 1910.33.

7. R. Garnier, Etudie de l'integrale generale de 1' equations VI de M.Painleve // Ann. Sei. Ec. Norm. Super. (3). 1917. 34.

8. I. V. Goryuchkina, Convergence of a Formal Solution to an ODE // Painlevé Equations and Related Topics (Eds. A.D. Bruno, A.B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 33-38.

9. V. I. Gromak, I. Laine, S. Shimomoura, Painleve Differential Equations in the Complex Plane // Walter de Gruter. Berlin, New York, 2002. 303 p.

10. E.S. Karulina // J. Math. Sci. 2007. V. 145. №5. P. 5252-5259.

11. S. V. Kowalewskaya, Sur la problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta math. 1889. 12. 177-232.

12. P. Painleve, Leçons sur la theorie analitique des equations différentielles, professes a Stokholm. Paris. 1897.

13. P. Painleve, Mémoire sur les equations différentielles dont l'integrale generale est uniforme // Bull. Soc. Math. France. 1900. 28.

14. P. Painleve, Sur les equations différentielles du second ordre et d'ordre superieux, dont l'integrale generale est uniforme // Acta Math. 1902. 25.

15. A. V. Parusnikova. Asymptotic expansions of solutions to the fifth Painlevé equation // Painlevé Equations and Related Topics (Eds. A. D. Bruno, A.B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 33-38.

16. E. Picard, Demonstration d' un theoreme generale sur les fonctionsuniformes linees par une relation algebraique // Acta Math. 1887. 11.

17. A. Poincare, Sur les intégrales irregullieres des equations lineaires // C. r. Acad. sci. 1885. 101. 939-941. Oeuvres. IV.

18. A. Poincare, Sur les intégrales irregullieres des equations lineaires // C. r. Acad. sci. 1885. 101. 990-991. Oeuvres. IV.

19. A. Poincare, Sur les intégrales irregullieres des equations lineaires // Acta Math. 1886. 8. Oeuvres. I.

20. Y. Sibuya, Linear Differential Equations in the Complex Domain: Problems of Analytic Continuation // Providence: AMS, 1985.

21. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. T. 3. M.: Наука, 1967.

22. A. Д. Брюно. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН, 2004, т. 59, № 3, с. 31-80.

23. А. Д. Брюно. Экспоненциальные разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2012, т. 443, № 5. С. 539-544

24. А. Д. Брюно, И. В. Горючкина. Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве // Труды ММО, т. 71, 2010 г.

25. А. Д. Брюно, И. В. Горючкина. Эллиптические асимптотики решений уравнений Пенлеве. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2009. №6.

26. А. Д. Брюно, Е. С. Карулина. Разложения решений пятого уравнения Пенлеве // ДАН 2004 395, № 4, с. 439-444.

27. А.Д. Брюно, A.B. Парусникова, Разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности его неособой точки // Доклады РАН, 2012, т. 442, № 5. С. 582-589

28. А.Д. Брюно, A.B. Парусникова, Локальные разложения решений пятого уравнения Пенлеве // ДАН 438:4 (2011), 439-443.

29. А. Д. Брюно, А. В. Парусникова, Разложения и асимптотики решений пятого уравнения Пенлеве вблизи бесконечности // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша № 61, 2012.

30. В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.

31. В. В. Голубев, К теории уравнений Пенлеве. Матем. сб., 28:2 (1912). 323-349.

32. А.Р. Итс, А. А. Капаев, В. Ю. Новокшенов, А. С. Фокас. Трансценден-ты Пенлеве. Метод задачи Римана // М., Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 2005.

33. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комлексного переменного // Наука, М.: 1973.

34. Ж. П. Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотическая теория // Ин-т компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2002.Рисунки2Рис. 1Р'2и?> / и«0 \ ' Р\Рис. 2 ^Р2Рис. 492 42 V. Т^Н \\2 ( 3 \ ,т(1) •-1-► фРн -2 -1 0 <?i Рис. 5ОРис. 61.'-2 -i о qiРис. 8Q2