Аналоги алгебры Орлика-Соломона и связанные с ними операды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Доценко, Владимир Викторович

• Доценко, Владимир Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Доценко, Владимир Викторович

Введение.

1. История поставленных задач.

2. Основные результаты.

3. Используемые методы.

4. Краткое описание диссертации.

Глава 1. Основные понятия.

1.1. Краткое содержание главы.

1.2. Алгебра Орлика-Соломона и её аналоги.

1.3. Алгебраические структуры.

1.4. Категории #in и S — mod.

1.5. Операды.

1.6. Задание операд образующими и соотношениями.

1.7. Кошулева двойственность для операд.

1.8. Фильтрации и кошулевость.

1.9. Дистрибутивные законы и их обобщения.

1.10. Операды Хопфа.

1.11. Производящие функции и характеры.

1.12. Частично упорядоченные множества.

1.13. Кошулевость и коэн-маколеевость.

1.14. Комбинаторные структуры.

Глава 2. Модельная задача: случай алгебр OS+(n).

2.1. Структура кооперады на наборе {05+(п)}.

2.2. Спаривание с компонентами операды &.

2.3. Размерность и мономиальный базис операды &.

2.3.1. Кошулевость операд 'rfom и S£ie.

2.3.2. Формулы размерности операд Jzfie и &.

2.3.3. Полные системы мономов для «£?ге и &.

2.4. Полные системы мономов для алгебр 05+(п).

2.5. Невырожденность спаривания.

Глава 3. Случай алгебр OS^ (п).

3.1. Структура кооперады на наборе {OS^n)}.

3.2. Спаривание с компонентами операды

3.3. Размерность и мономиальный базис операд ££it<i и

3.3.1. Кошулевость операд Чоотъ и Jz?ze2.

3.3.2. Формулы размерности.

3.3.3. Полные системы мономов для J^fze2 и • • ■

3.4. Полные системы мономов для алгебр OS£(n).

3.5. Невырожденность спаривания.

3.6. Аналогичные результаты для алгебр OS(n) и 0^2(п).

Глава 4. Представления симметрической группы.

4.1. Формулы характера.

4.1.1. Операда Ли.

4.1.2. Операда Пуассона.

4.1.3. Операда пары согласованных скобок.

4.1.4. Бигамильтонова операда.

4.2. Кратности неприводимых представлений.

4.2.1. 5п-кратности.

4.2.2. 5^2-кратности.

4.3. Техническое приложение.

Глава 5. Деформационное квантование.

5.1. Операда srfssi.

5.2. Двойные алгебры Гельфанда-Варченко.

5.3. Удвоение операды Ливернэ - Лодэя.

5.4. Деформационное квантование для бигамильтоновых структур по Ливернэ-Лодэю.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналоги алгебры Орлика-Соломона и связанные с ними операды»

1. История поставленных задач.

В 1969 году в заметке В. И. Арнольда [1] были вычислены когомологии группы крашеных кос на п нитях. Конфигурационное пространство упорядоченных наборов п точек плоскости является пространством К(тг, 1) для этой группы, и в заметке [1] вычислены когомологии этого пространства, реализованного в виде дополнения в арифметическом векторном пространстве С" конфигурации плоскостей {гг- = zj}. (Здесь и далее мы будем обозначать эту конфигурацию через Апi, имея в виду, что она состоит из зеркал соответствующей системы корней.) Оказывается, что алгебра когомологий этого пространства квадратична; её обычно называют алгеброй Орлика-Соломона в честь П. Орлика и JI. Соломона, изучавших аналогичные алгебры для различных конфигураций гиперплоскостей в конце 1970-х годов [29].

Конфигурационное пространство упорядоченных наборов п точек плоскости гомотопически эквивалентно га-му пространству топологической операды маленьких 2-дисков, поэтому гомологии этих дополнений образуют алгебраическую операду. В работе Коэна [15] было показано, что эта операда изоморфна операде Герстенхабера, которая описывает алгебраические структуры, возникающие на комплексе Хохшильда ассоциативной алгебры. В совокупности эти результаты означают, что компоненты операды Герстенхабера канонически изоморфны двойственным пространствам к соответствующим алгебрам Орлика-Соломона.

Операда Герстенхабера является нечётным аналогом операды Пуассона, описывающей алгебраические структуры на кольце функций на пуас-соновом многообразии. Двойственные пространства к компонентам операды Пуассона тоже образуют семейство ассоциативных алгебр, которые естественно называть чётными алгебрами Орлика-Соломона OS+(n) (в отличие от антикоммутативных алгебр Орлика - Соломона, эти алгебры коммутативны). Эти алгебры подробно изучены в работе Матьё [28]. Интересно, что они связаны с геометрией вещественной конфигурации гиперплоскостей A,ji: это градуированные версии алгебр Гельфанда-Вар-ченко [3] локально постоянных функций на дополнениях к соответствующим конфигурациям.

Доказательства результатов Коэна и Арнольда независимы друг от друга; доказательства Матьё перерабатывают информацию о чётных алгебрах Орлика-Соломона (устроенных довольно несложно) в информацию об операде Пуассона.

Обобщения алгебр Орлика-Соломона даются двойными алгебрами Орлика - Соломона и их чётными версиями. Эти алгебры были определены несколько лет назад Б. JI. Фейгиным; их некоммутативные варианты изучались А. Н. Кирилловым [23]. Б. JI. Фейгин предложил также гипотетические формулы размерности и характера для этих алгебр. После сказанного выше не очень удивительно, что эти алгебры связаны с естественными удвоениями операд Герстенхабера и Пуассона. Существенное отличие от уже известного случая состоит в том, что эту связь приходится привлекать для исследования самих алгебр. В то время, как алгебры Орлика-Соломона и их чётные версии являются кошулевыми, а их определяющие идеалы имеют обладают квадратичным базисом Грёб-нера, удвоенные алгебры не обладают этими свойствами. Это означает, что задача вычисления размерности и ряда Гильберта такой алгебры не сводится к аналогичной задаче для мономиального вырождения соотношений этой алгебры, и потому является довольно нетривиальной. Единственное известное на данный момент решение этой задачи опубликовано в данной работе и использует результаты теории операд.

Другая причина изучения бигамильтоновой операды такова. Как известно, представление симметрической группы в п-й компоненте операды Пуассона изоморфно регулярному представлению. Этому же представлению изоморфно представление симметрической группы в алгебре её ко-инвариантов — факторалгебре алгебры многочленов от п переменных по идеалу, порождённому симметрическими многочленами, которые равны нулю в начале координат. Естественное удвоение этой алгебры — алгебра диагональных коинвариантов симметрической группы, т. е. фак-торалгебра алгебры полиномиальных функций на п точках плоскости по идеалу, порождённому инвариантами, равными нулю в начале координат. Первые нетривиальные результаты об этой алгебре были получены несколько лет назад М. Хайманом [21] с помощью довольно тонких результатов о геометрии схемы Гильберта п точек на плоскости. Дальнейшие исследования показали, что различные интерпретации этой алгебры приводят к прояснению нетривиальных связей разных областей математики (см., например, [17], [20]). Гипотеза Б. JI. Фейгина состояла в том, что новую интерпретацию этой алгебры можно получить с помощью удвоения операды Пуассона — бигамильтоновой операды. Оказалось, что эта гипотеза неверна, но, что особенно удивительно, неверна лишь частично. А именно, размерность алгебры диагональных коинвариантов совпадает с размерностью пространства бигамильтоновой операды и двойной чётной алгебры Орлика-Соломона, но представление симметрической группы в алгебре диагональных коинвариантов отличается от представления в компоненте бигамильтоновой операды (которое изоморфно представлению в двойной чётной алгебре Орлика-Соломона). Эти утверждения тоже являются следствиями результатов диссертации.

Ещё одна мотивировка происходит из теории деформаций. Согласно Ливернэ и Лодэю [26], с помощью деформаций операды Пуассона можно обсуждать задачи деформационного квантования пуассоновых структур [11]. Поэтому интересно изучать деформации бигамильтоновой операды, которые потенциально могут быть полезны в задачах деформационного квантования бигамильтоновых структур, важного для интегрируемых систем.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Доценко, Владимир Викторович

Заключение.

1. Возможные обобщения.

Обобщения наших результатов могут развиваться в направлении увеличения числа групп образующих — три согласованных скобки, тройная чётная алгебра Орлика-Соломона и т. д. Приведём здесь без доказательства теорему, доказанную автором в [35].

Теорема 15. Для любого к операда к согласованных скобок и «к-гамилъ-тонова» операда кошулевы.

Квадратично двойственная к операде к согласованных скобок всегда является теоретико-множественной операдой и имеет простое описание. Если обозначить эту операду через ^Ьш^, то размерность пространства ^omjt(n) равна Замкнутой формулы для коэффициентов ряда, обратного соответствующей экспоненциальной производящей функции относительно композиции, нам не известно.

Мы не знаем удовлетворительного определения чётных алгебр Орлика-Соломона с к наборами образующих. Мы предполагаем, что можно определить соотношения в этих алгебрах так, чтобы возникающая коопе-радная структура давала &-гамильтонову операду, но соотношения уже не будут квадратичными и будут несколько менее прозрачны.

2. Перспективы дальнейших исследований.

2.1. Геометрические описания двойных алгебр.

Во введении к данной работе мы привели геометрические описания для алгебры Орлика-Соломона (когомологии дополнения к комплексной конфигурации гиперплоскостей) и чётной алгебры Орлика - Соломона (градуированная версия алгебры локально постоянных функций на дополнении к вещественной конфигурации гиперплоскостей). Естественно задать вопрос, существуют ли столь же наглядные описания соответствующих двойных алгебр — например, в терминах геометрических данных, связанных с конфигурациями гиперплоскостей. На данный момент ответ на этот вопрос неизвестен.

2.2. Связь с диагональными коинвариантами.

Существует ли глубокое объяснение того, что и размерность алгебры OS^n), и размерность алгебры диагональных коинвариантов для п точек на плоскости равна (n + l)71-1? Единственный известный план прояснения этой связи описан в работе А. Н. Кириллова [23], где определён некоммутативный аналог алгебры OS^in), для которого алгебра OS^in) и, предположительно, алгебра диагональных коинвариантов являются фак-торалгебрами. Возможно, что изучение этой алгебры приведёт к определению удвоенных операторов Данкла [16], и это новое семейство коммутирующих операторов будет полезно в теории интегрируемых систем.

2.3. Другой аналог алгебры Орлика-Соломона.

Как мы отмечали выше, двойные алгебры Орлика - Соломона и двойные чётные алгебры Орлика-Соломона не являются кошулевыми. Вычисления А. Н. Кириллова [23], проведённые с помощью компьютерной программы bergman [10], показывают, что среди ненулевых чисел Бетти этих алгебр встречаются b4,5 = 2 для алгебры OS^fi) и 63^4 = 1 для алгебры 052(3). В работе [23] предложен вариант удвоения алгебры Орлика-Соломона, который предположительно даёт кошулеву алгебру. А именно, рассмотрим алгебру OS^n), множество образующих которой то же, что у 0^2 (п), а множество соотношений получается из соотношений 05г(п) выбрасыванием соотношения Xijyij = 0.

Гипотеза ([23]). Алгебра 05г(п) кошулева, dimOS^n) = 2n(n+ 1)п~2.

Замечание 10. Напомним, что 2п(п + 1)п-2 — гипотетическая размерность алгебры тридиагоналъных коинвариантов [21].

Замечание 11. Алгебры OS^in) и 052(п) во многом похожи. А именно, соотношения в них можно описать так. Положим Zij = Xxij + fiyij. Соотношения в алгебре 05^"(п) (соотв., 052(п)) означают, что для любых коэффициентов X, р элементы z^ удовлетворяют соотношениям алгебры OS+(n) (соотв., OS(n)J. Во втором случае соотношение хцУц — О теряется из-за антикоммутативности.

Мы хотим обсудить в этом разделе ещё две задачи в рамках данного сюжета, не получившие пока полного решения. Это задача вычисления кратностей неприводимых представлений симметрических групп в компонентах операды пары согласованных скобок и бигамильтоновой операды, а также задача вычисления размеров деформации бигамильтоновой операды, описанной нами выше.

2.4. Кратности неприводимых представлений.

Напомним комбинаторное правило вычисления кратностей неприводимых представлений в случае операды Ли.

Теорема 16 ([24]). Кратность неприводимого представления группы Sn, отвечающего диаграмме Юнга X из п клеточек, в пространстве J£ie(n), равно количеству стандартных таблиц Юнга Т формы X, заряд с(Т) которых сравним с 1 по модулю п. Здесь с(Т) — сумма всех чисел г, для которых г + 1 располагается ниже i в Т.

Мы предполагаем, что похожее правило вычисления кратностей верно и в случае операды пары согласованных скобок.

2.5. Деформационное квантование.

Мы надеемся, что наши результаты могут быть полезны в изучении деформационного квантования бигамильтоновых систем (ибо с помощью операд можно устанавливать, наличие какой алгебраической структуры надо ожидать на квантовом объекте).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Доценко, Владимир Викторович, 2007 год

1. Арнольд В. И. Кольцо когомологии группы крашеных кос // Математические заметки. — 1969. — т. 5. — С. 227-231.

2. Бахтурин Ю. И. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука, 1985. — 447 с.

3. Варченко А. Н., Гельфанд И. М. Функции Хевисайда конфигурации гиперплоскостей // Функциональный анализ и его приложения. — 1987. — т. 21, вып. 4. — С. 1-18.

4. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. — 703 с.

5. Клячко А. А. Элементы Ли в тензорной алгебре // Сиб. мат. журнал. — 1974. — т. XV, № 6. — С. 1296-1304.

6. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. — М.: МЦНМО, 2002. — 144 с.

7. Макдоналъд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985. — 221 с.

8. Смирнов В. А. Симплициальные и операдные методы в теории гомотопий. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. — 272 с.

9. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — 440 с.

10. Backelin J., Cojocaru S., Ufnarovski V. The Computer Algebra Package Bergman: Current State // J. Herzog, V. Vuletescu (eds.). Commutative Algebra, Singularities and Computer Algebra. — Kluwer Academic Publishers, 2003. — P. 75-100.

11. В ay en F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerowicz A., Sternheimer D. Deformation theory and quantization I, II // Ann. Physics. — 1978. —Vol. 111.— P. 61-151.

12. Bjorner A., Wachs M. On lexicographically shellable posets // Trans. Amer. Math. Soc. — 1983. — Vol. 277, № 1. — P. 323-341.

13. Brandt A. J. The free Lie ring and Lie representations of the full linear group // Trans. Amer. Math. Soc. — 1944. — Vol. 56. — P. 528-536.

14. Chapoton F., Vallette B. Pointed and multi-pointed partitions of types A and В // math.QA/0410051. — 21 p.

15. Cohen F. R. The homology of Cra+i-spaces, n > 0 // Lecture Notes in Math. — 1976. — Vol. 533. — P. 207-351.

16. Dunkl C. F. Differential difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. — 1981. — Vol. 311. — P. 167-183.

17. Feigin В., Loktev S. Multi-dimensional Weyl modules and symmetric functions // math. QA/0212001. — 13 p.

18. Fresse В. Koszul duality of operads and homology of partition posets // Contemp. Math. — 2004. — Vol. 346. — P. 115-215.

19. Ginzburg V., Kapranov M. Koszul duality for operads // Duke mathematical journal. — 1994. — Vol. 76, № 1. — P. 203-272.

20. Gordon I., Stafford J. T. Rational Cherednik algebras and Hilbert schemes II: representations and sheaves // math.RT/0410293. — 47 p.

21. Haiman M. Vanishing theorems and character formulas for Hilbert scheme of points on a plane // math. AG/0201148. — 33 p.

22. Khoroshkin A. Koszul operads and distributive lattices // Preprint ITEP-TH-24/06. — 10 p.

23. Kirillov A. N. On some quadratic algebras II // Preprint RIMS (Kyoto). — 45 p.

24. Kraskieicz W., Weyman J. Algebra of coinvariants and the action of a Coxeter element // Bayreuther Math. Schriften. — 2001. — Vol. 63. — P. 265-284.

25. Markl M. Distributive laws and Koszulness j I Ann.Inst.Fourier. — 1996. — Tome 46, № 2. — P. 307-323.

26. Markl M., Remm E. Algebras with one operation including Poisson and other Lie-admissible algebras // math.AT/0412206. — 19 p.

27. Markl M., Shnider S., Stasheff J. D. Operads in Algebra, Topology and Physics. — Mathematical Surveys and Monographs, vol. 96, AMS, Providence, RI, 2002. — 299 p.

28. Mathieu 0. The symplectic operad // "Functional analysis on the eve of the 21st century", Vol. 1 (New Brunswick, NJ, 1993). — Progr. Math., 131, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1995. — P. 223-243.

29. Orlik P., Solomon L. Combinatorics and topology of complements of hyperplanes // Invent. Math. — 1980. — Vol. 56, №2. — P. 167-189.

30. Polishchuk A., Positselski L. Quadratic algebras. — University Lecture Series, 37. AMS, Providence, RI, 2005. — 176 p.

31. Vallette B. Homology of generalized partition posets // math.AT/0405312. — 35 p.

32. Публикации автора по теме диссертации

33. Доценко В. В., Хорошкин А. С. Формулы характера операды пары согласованных скобок и бигамильтоновой операды // Функциональный анализ и его приложения. — 2007. — Т. 41, вып. 1. — С. 1-22.

34. Доценко В. В. Алгебры, связанные с бигамильтоновой операдой // Препринт ПОМИ РАН 18/2006. — 38 с.

35. Dotsenko V. An operadic approach to deformation quantization of compatible Poisson structures // Препринт ПОМИ PAH 19/2006. — 10 c.

36. Доценко В. В. О кошулевости бигамильтоновой операды // Деп. в ВИНИТИ РАН Ш377-В2006. — 20 с.