Алгоритмы идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Минко, Анна Александровна

• Минко, Анна Александровна
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Минко, Анна Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ

ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ.

1.1. Задачи идентификации. Особенности задач.

1.2. Общая классификация задач идентификации объектов управления.

1.3. Классификация задач идентификации объектов стационарными линейными моделями.

1.3.1. Частотные характеристики.

1.3.2. Временные характеристики.

1.3.3. Дифференциальные уравнения.

1.4. Вейвлет-преобразования.

ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССА.

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

2.1. Общие сведения о преобразованиях Гаусса.

2.2. Численное обращение преобразований Гаусса.

2.3. Преобразования Гаусса периодических функций.

2.4. Преобразования Гаусса финитных сигналов.

2.5. Сглаживающие свойства преобразований Гаусса.

2.6. Особенности обобщённой параметрической идентификации моделью вход-выход.

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ОБОБЩЁННОЙ

ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ.

3.1. Идентификация линейного объекта по сигналам вход-выход при нулевых предначальных условиях.

3.1.1. Идентификация объектов простой структуры.

3.1.2. Идентификация объектов усложнённой структуры при нулевых предначанъных условиях.

3.3. Идентификация простых объектов при ненулевых предначальных условиях.

3.4. Идентификация объектов произвольного порядка при ненулевых предначальных условиях.

3.5. Аппроксимация производных финитной функции рядами полиномов Эрмита.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕДУР ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ

ОБЕКТОВ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГАУССА.

4.1. Процедура идентификации объекта.

4.1.1. Данные наблюдений.

4.1.2. Множество моделей-кандидатов.

4.1.2.1. Численное определение преобразований Гаусса.

4.1.2.2. Формирование банка моделей-претендентов.

4.1.2.3. Задача выбора численного метода решения систем линейных алгебраических уравнений.

4.1.3. Определение «наилучшей» модели множества.

4.1.3.1. Критерий идентификации.

4.1.3.2. Определение вектора постначалъных значений фазовых координат выходного сигнала модели объекта.

4.1.3.3. Численное решение задачи Коши.

4.1.4. Контур идентификации объекта.

4.2. Определение вектора предоконечных значений фазовых координат выходного сигнала модели объекта.

4.3. Варианты реализации программы Gaussid.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса»

Идентификация, как научное направление, имеет 60-летнюю историю. Её становление связано с основополагающими работами Аоки М., Гропа Д. , Сей-джа Э., Мелса Дж., Льюнга Л., Медича Дж., Эйкхоффа П., Солодовникова В.В., Цыпкина ЯЗ., Райбмана Р.С., Дейча A.M., Егупова Н.Д. [26], [46], [63]-[65], [69], [75]-^-[78], [81], [92], [97], [98] и других авторов. Несмотря на очень большое число публикаций (по некоторым оценкам более 4-104), посвящённых решению различных аспектов задачи идентификации объектов управления, ещё не созданы методы, полностью удовлетворяющие потребности практики. В подтверждении этого утверждения сошлёмся на ряд международных конференций «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO, проводимых институтом проблем управления имени В.А.Трапезникова РАН, Российским комитетом по автоматическому управлению, Российским фондом фундаментальных исследований, Отделением энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН. Их более пяти. На каждой из них сделано примерно по 200 докладов.

В аэрокосмических, металлообрабатывающих и других отраслях промышленности широко используются многозвенные устройства, которые в процессе эксплуатации подвергаются воздействиям ударных и прочих кратковременных возмущений. Реакции на подобные возмущения, наблюдаемые в известных точках данных устройств, носят характер непериодических колебаний сложной формы. Задача идентификации многозвенных устройств в данном случае сводится к определению моделей их динамических свойств по реализациям вход-выход, заданным на коротких временных интервалах, соизмеримых с длительностью переходных процессов в устойчивых объектах, но не критичных к свойствам их устойчивости и многомерности. В теории автоматического управления в разделе «Идентификация» накоплен большой опыт построения математических моделей динамических свойств объектов управления. На практике предпочтение для построения математических моделей такого рода процессов отдаётся моделям в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Более точные методы описания динамических свойств идентифицируемого объекта, такие как функциональные ряды и нелинейные ДУ, требуют при идентификации неприемлемо большого объема аппаратно-временных затрат, так что полученная модель либо теряет свою адекватность, вследствие неизбежных изменений параметров объекта, либо может использоваться на временных интервалах, значительно меньших чем время, затрачиваемое на определение модели. Данный подход позволяет сокращать время, затрачиваемое на определение моделей каждого из каналов многомерного объекта и увеличивать время использования этих моделей каналов, если режим работы объекта не выходит за пределы окрестностей типовых значений, учтенных при идентификации. Как будет показано ниже, задача идентификации объектов ДУ до сих пор не получила исчерпывающего решения. Современные высокоразвитые вычислительные системы, такие как MATLAB, не имеют в своих арсеналах эффективных алгоритмов идентификации объектов по реализациям вход-выход в виде ДУ, ограничиваясь лишь разностными аналогами. Однако известно, что разностное уравнение не позволяет однозначно восстановить обыкновенное ДУ. В связи с этим возникает необходимость разработки алгоритмов и реализующих их программных средств идентификации объектов моделями, описываемыми ДУ высокого порядка по коротким реализациям вход-выход.

В данной диссертационной работе разрабатываются алгоритмы идентификации объектов в рассматриваемых условиях линейными обыкновенными ДУ, позволяющими исследовать характерное поведение объекта в окрестности выбранного установившегося режима. Алгоритмы открыты для дальнейших обобщений на объекты с запаздыванием и некоторые классы нелинейных объектов.

Объект, предмет и рамки исследования

Объектом исследования являются системы автоматического управления техническими объектами, в том числе многомерные. Предметом исследования являются каналы одно- или многомерного объекта, экспериментально исследуемого по технологии «один вход — все выходы» моделями в виде линейного ДУ с постоянными коэффициентами.

Методом исследования являются двупараметрические интегральные преобразования сигналов вход-выход каналов объекта, локализованные во временной и частотной областях, аналогичные вейвлет-преобразованиям, названные Увае-вым А.И., преобразованиями Гаусса [82], [83]. Несмотря на их тридцатилетнюю историю, они не получили должного освещения в литературе. Эти преобразования позволяют получать вполне приемлемые алгоритмы, эффективно реализуемые на базе современных вычислительных средств. Подтверждением этого являются результаты данной диссертационной работы.

Постановка цели и задачи исследований

Цель работы заключается в разработке и исследовании алгоритмов идентификации канала одно- или многомерного объекта моделью в виде линейного ДУ с постоянными коэффициентами по коротким реализациям сигналов вход-выход, использующих априорную информацию о величине допустимой погрешности аппроксимации заданного выходного сигнала канала выходным сигналом его модели.

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих основных задач.

1. Выбор интегральных преобразований финитных реализаций вход-выход объекта, осуществляющих алгебраизацию линейного ДУ и аппроксимацию сигналов.

2. Исследование основных свойств вейвлет-подобных преобразований Гаусса и разработка алгоритмов использования изображений сигналов вход-выход.

3. Выработка рекомендаций по выбору известных численных процедур, позволяющих программно реализовать алгоритм идентификации объекта обыкновенными ДУдо 10-го порядка включительно.

4. Исследование предложенных алгоритмов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса для подтверждения их работоспособности и выработки рекомендаций по практическому применению.

Научная новизна

1. Предложена коррекция обыкновенного линейного ДУ для описания связи между финитными реализациями вход-выход объекта. Обоснована методика учёта постначальных и предоконечных координат фазового состояния финитной реализации вход-выход.

2. Исследовано аппроксимационное свойство преобразований Гаусса, позволяющее оценивать векторы фазовых координат предначального состояния реализации вход-выход объекта на одной методической основе с решением других этапов процедуры идентификации.

3. Исследованы преобразования Гаусса полигармонических и случайных сигналов с целью выделения области значений их параметров, при которых они обладают либо сглаживающими, либо резонансными свойствами.

4. Разработаны алгоритмы формирования систем линейных алгебраических уравнений из преобразований Гаусса реализаций вход-выход объекта при идентификации объекта моделями-кандидатами.

5. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение обобщенной идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса, позволяющие формировать банк моделей-кандидатов и выбирать из него одну модель-претендент, минимизирующую функционал ошибки аппроксимации выхода объектов.

Методы проведения исследований

Теоретические исследования основаны на гипотезе о возможности описания динамических свойств объекта (или одного из его каналов) линейными ДУ заданной структуры с постоянными коэффициентами, определяющими связь между финитными реализациями вход-выход объекта, и методах вычислительной математики и моделирования. Программная реализация осуществлялась на базе пакета MATLAB в среде программирования Delphi 7.

Практическая ценность

Проведено комплексное исследование свойств алгоритмов идентификации линейных объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса. Разработанная процедура идентификации не содержит методических погрешностей и потому её следует применять: а) для контроля качества численного решения обыкновенных линейных ДУ; б) идентификации объектов по реализациям вход-выход длительностью единицы или десятки секунд с помощью разработанного программного продукта, в том числе и при искажениях выходного сигнала аддитивными шумами умеренной интенсивности.

Материалы исследований и разработанный программный продукт использованы в учебном процессе в Рязанском государственном радиотехническом университете и Рязанском высшем военном командном училище связи (военном институте) имени маршала Советского Союза М.В. Захарова, а также внедрены в проектах ООО «Космические системы спасения», г. Москва.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Коррекция обыкновенного линейного ДУ, задающего связь между реализациями вход-выход, заданными на всей числовой оси, с целью получения связи между финитными реализациями вход-выход.

2. Результаты теоретических исследований основных свойств преобразований Гаусса, позволяющих эффективно решать задачу обобщенной идентификации.

3. Алгоритмы обобщенной идентификации линейных стационарных объектов на основе преобразований Гаусса реализаций вход-выход объекта с использованием банка моделей.

4. Результаты исследования эффективности разработанных алгоритмов обобщенной идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса.

Апробация научных положений

Научные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались на следующих международных, всероссийских и межрегиональных научно-технических конференциях: 2-й международной конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (г. Москва, 1999); 36-й научно-технической конференции и 47-й студенческой научно-технической конференции (г. Рязань, 2000); международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000 (г. Москва, 2000); " межвузовской научно-методической конференции «VII Рязанские педагогические чтения» (г. Рязань, 2000); 6-й всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» (г. Рязань, 2001); XII всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» (г. Рязань, 2007); 33-й всероссийской научно-технической конференции «Сети, системы связи и телекоммуникации. Деятельность вуза при переходе на Федеральный государственный стандарт 3-го поколения» (г. Рязань, 2008).

Публикации по теме

Основное результаты диссертационной работы отражены в 10 печатных работах, в том числе в 5 статьях, 2 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав с выводами по каждой из них, заключения, перечня литературы и 14 приложений. Общий объём работы 298 стр., из них 164 стр. основного текста, 9 таблиц, 40 рисунков. Список литературы содержит 101 наименование.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Минко, Анна Александровна

ВЫВОДЫ

1. Проделанный теоретический анализ и разработанные алгоритмы идентификации линейного стационарного объекта на основе вейвлет-подобных ПГ по коротким реализациям вход-выход объекта позволили создать программный продукт, позволяющий поставить задачу обобщённой идентификации объектов до 10-го порядка включительно в плоскость практического применения.

2. Выбор модели-претендента объекта осуществляется из банка, содержащего 55 определённых моделей-кандидатов, на основе выбранного критерия качества аппроксимации выхода объекта выходным сигналом модели. При этом ySf(t), /е(0,Г), получается путём численного решения ДУ, задающего модель. Моделирования условий поставленной задачи обобщённой идентификации показали необходимость тщательного выбора численных методов, реализующих разработанные алгоритмы:

-для численного определения ПГ Gx\r,s), / = 0,11, следует воспользоваться квадратурной формулой трапеций, поскольку она наилучшим образом отвечает условию компромисса между величиной методической ошибки квадратурной формулы и её чувствительностью к шумам;

- сформированную СЛАУ желательно решать с помощью метода, использующего сингулярное разложение матриц или SVD-метода;

- наиболее устойчивым методом при численном интегрировании ДУ является метод трапеций с интерполяцией.

3. С целью упрощения процедуры идентификации рекомендуется осуществлять старт объекта из нулевых YQ = 0 предначальных условий, а входной сигнал v(t), t е(0,Г), выбирать известным аналитически для нахождения VQ+ постначального вектора фазовых координат входного сигнала объекта. Невыполнение данных рекомендаций существенно затруднит процедуру идентификации, поскольку задачи определения Г0 и V0+ по сложности не уступают самой процедуре идентификации.

4. Для формирования СЛАУ желательно воспользоваться следующим подходом (см. главу 3):

Gy0){г(,).Gj,1}{rt,s() = = 1^20, поскольку в данном случае не придётся вычислять \r,s), точность определения-которого ниже, чем у .

5. Последовательность параметров «сдвига» rn i = \,q, ПГ должна быть локализована примерно на переходном процессе объекта или его первой половине, причём значения т\, г2 могут быть и отрицательными. Параметр «масштаба» s ПГ первоначально рекомендуется выбирать равным 1. Если выход определённой в данном случае «наилучшей» модели объекта недостаточно точно будет аппроксимировать выход объекта, его значение следует уменьшить. При наличии аддитивного гауссовского белого шума на выходе объекта увеличение (5 > 1) параметра s может привести к сглаживанию высокочастотных составляющих выхода объекта.

6. Для подтверждения адекватности модели были использованы следующие методы:

- визуальный: путём сравнения y(ty и Ум(0> *е (0,2^), на графике;

- формальная мера расстояния между сигналами y{t) и yM(t), £ е (0,Г), критерий соответствия объект-модель J (4.40);

- процедура перекрёстного подтверждения, проводимая на основе нового множества входных данных, не использовавшихся в процессе определения неизвестных параметров модели объекта.

7. Особо следует подчеркнуть неизбежный субъективизм процедур подтверждения модели.

8. Рассмотренные в данной диссертационной работе алгоритмы идентификации на основе вейвлет-подобных ПГ не зависят от устойчивости каналов объекта. Любой объект, динамические свойства которого возможно описать с помощью линейного ДУ до 10-го порядка, является потенциальным приложением разработанных алгоритмов идентификации или его модификаций.

9. Разработанные алгоритмы рекомендуется использовать для контроля качества численного интегрирования линейных ДУ.

10. Вышеотмеченные положительные свойства разработанного программного продукта, по мнению авторов, наиболее полно соответствуют перспективным направлениям развития теории и практики идентификации.

163

В заключение приведём основные выводы по данной диссертационной работе, посвященной разработке алгоритмов обобщённой идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса.

1. Несмотря на значительное число публикаций (более 4-104), посвящённых решению различных аспектов задачи идентификации объектов по реализациям вход-выход, эта задача всё ещё остаётся актуальной.

2. Современные тенденции развития теории автоматического управления, такие как нечёткое и робастное управление и т.д., базируются на множествах моделей объекта, моделирующих его поведение в локальных режимах. Эти тенденции заостряют необходимость разработки быстрых алгоритмов идентификации, позволяющих получать линейные модели по переходным составляющим реакций объектов, удовлетворяющие требованиям адекватности.

3. Анализ основных подходов к решению задачи идентификации объектов, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, показал эффективность обобщённой идентификации объекта, при которой без дополнительных вычислений модель объекта пригодна для прогнозирования поведения объекта на интервалах времени, следующих за интервалом идентификации.

4. Отмечено, что удобной формой описания модели являются дифференциальные уравнения вход-выход или эквивалентные им уравнения состояния в нормальной форме Коши, скорректированные балансирующими членами, учитывающими финитность реализаций вход-выход объекта, предъявляемых для его идентификации.

5. Основным приёмом определения параметров линейного дифференциального уравнения всегда являлись интегральные преобразования, алгебраизи-рующие дифференциальное уравнение. Современным требованиям, по мнению автора, наиболее полно удовлетворяют преобразования Гаусса, ядра которых являются обобщением группы вейвлетов-гауссидов.

6. Проанализированы основные свойства преобразований Гаусса, показана их связь с коэффициентами Фурье разложения сигналов по полиномам Эрмита. Получены оригинальные выражения, позволяющие оценить векторы постначальных и предоконечных значений координат фазового состояния финитных сигналов. Выражения базируются на секвенциальном подходе к исследованию сингулярных 8 —функций, отличающемся в деталях от аксиоматического подхода.

7. Разработано теоретическое и алгоритмическое обеспечение решения задачи идентификации объектов с неизвестной структурой обобщённой моделью, параметры которой определяются на основе обработки преобразований Гаусса реализации вход-выход объекта (или одного канала многомерного объекта). Показана практическая целесообразность ограничения порядка ДУ п <10. При этом процедура идентификации включает формирование и решение 55 систем линейных алгебраических уравнений, каждое из которых определяет параметры одной модели-кандидата. Порядок старшей системы линейных алгебраических уравнений равен 30. Отмечены затруднения, сопровождающие процедуру идентификации, в случаях, когда старт объекта происходит из ненулевых пред-начальных условий, а входной сигнал не описан аналитической функцией. При старте объекта из нулевых предначальных условий порядок старшей системы линейных алгебраических уравнений равен 20, вектор постначальных значений координат фазового состояния выходного сигнала объекта определяется аналитически, исходя из постначальных значений координат фазового состояния входного сигнала и коэффициентов дифференциального уравнения модели-кандидата.

8. В разработанном оригинальном программном продукте, автоматизирующем решение задач процедуры идентификации, для. выбора модели-претендента из 55 моделей-кандидатов предусмотрено вычисление одного из формальных критериев Jn, J12, Jlx, J^ выбора претендента, для которого

J* = min, к е 1,4, и построение графиков выхода объекта и модели-кандидата.

J уе[1,55]

9. Суждение о пригодности или непригодности модели-кандидата остаётся за исследователем. Оно может быть основано либо на опыте исследователя, либо на формальном сравнении значения критерия J*k с его допустимым значением.

10. Результаты моделирования процедуры идентификации полностью подтвердили то, что разработанная методика идентификации на основе преобразований Гаусса реализации вход-выход вполне соответствует требованиям к качеству моделей объектов, некритична к устойчивости объекта, способна работать в условиях аддитивных шумов, допуская определение моделей до 10-го порядка включительно.

11. При незначительных модификациях разработанная методика позволит идентифицировать объекты с запаздыванием, некоторые классы нестационарных и нелинейных объектов [50], [86].

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Минко, Анна Александровна, 2009 год

1. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Пакет программ АДАПЛАБ: Новые возможности для идентификации // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. -С.123 -132.

2. Альберг Дж., Никольсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложение. -М.: Мир, 1972.-316 с.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: Мир, 1976. -755 с.

4. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 336 с.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. - 447 с.

6. Балонин Н.А., Габитов Е.А. Численные алгоритмы идентификации параметров систем в режиме нормального функционирования // Автоматика и телемеханика. 1997. - Вып. 2. - С. 140-146.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975. -631 с.

8. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории: Учебное пособие: Пер. с нем.

9. Кренкеля Т.Э. / Под ред. Кюркчана А.Г. М.: Техносфера, 2006. — 271 с.

10. Брикман М.С., Кристинков Д.С. Аналитическая идентификация управляющих систем. Рига: Зинатне, 1974. - 108 с.

11. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.-432 с.

12. Булычёв Ю.Г., Бурлай И.В. Многократное дифференцирование финитных функций с использованием теоремы отсчетов в задачах оценивания, управления и идентификации // Автоматика и телемеханика. 1996. -Вып. 4. -С. 53 -65.

13. Булычёв Ю.Г., Бурлай И.В. Метод параметрической идентификации системуправления при неточном задании входных данных // Автоматика и телемеханика. 1997. - Вып. 11. - С. 56 - 65.

14. Вавилов А.А., Солодовников А.И. Экспериментальное определение частотных характеристик. М.: Госэнергоиздат, 1963. - 252 с.

15. Ван-Трис С. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. — М.: Мир, 1964.-168 с.

16. Вапник В, Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979.-447 с.

17. Васильев В.А. Об идентификации динамических систем авторегрессионного типа // Автоматика и телемеханика. 1997. - Вып. 12. - С. 107 - 119.

18. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов/ В.М. Вержбицкий. 2-е изд., испр. — М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005. - 432 с.

19. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов.- М.: Изд. ИЛ, 1961.-158 с.

20. Владимиров B.C. Обобщенные функции в, математической физике. — М.: Наука, 1976.-280 с.

21. Воробьёв В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. -С. Пб.: ВУС, 1999.-204 с.

22. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции и действия над ними.-М.: Физматгиз, 1959.-470 с.

23. Гельфанд И.М., Яглом A.M. Интегрирование в функциональных пространствах и его применение в квантовой физике // Успехи математических наук. 1956. XI выпуск (67). - С. 77 - 114.

24. Гинсберг К.С. Неклассические задачи структурной идентификации // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. - С. 992 - 1006.

25. Гинсберг К.С., Лотоцкий В.А. II международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Пленарные доклады // Автоматика и телемеханика. 2005. — Вып. 6. - С.175-180.

26. Гренадер У., Сегё Г. Теплицевы формы и их приложения. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. -308 с.

27. Гроп П. Методы идентификации систем.- М.: Мир, 1979. 302 с.

28. Гугушвили А.Ш., Руруа А.А., Сесадзе В.К. Применение теории катастроф в адаптивных системах управления с идентификатором // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. -М, 2000. С. 83 - 91.

29. Дмитриев А.Н. Теория и спектральные алгоритмы идентификации динамических объектов на основе проблемы моментов: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. — М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1977.-334 с.

30. Дмитриев А.Н., Уваев А.И. Исследование точности идентификации характеристик безынерционных преобразователей рядами полиномов Эрмита // Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях. -М.: НЦБИ, 1980. С. 61-66.

31. Добеши П. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ РиХД, 2001. — 464 с.

32. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. — М.: СОЛОН-Р, 2002. -440 с.

33. Дьяконов В.П. Matlab 6/6.1/6.5+Simulink4/5. основы применения. М.: СО-ЛОН-Пресс, 2004. - 767 с.

34. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1989. - 656 с.

35. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958.-507 с.

36. Клейман Е.Г. Идентификация входных сигналов в динамических системах // Автоматика и телемеханика. 1999. - Вып. 12. - С. 3-15.

37. Колмогоров А.Н., Фомин G.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968. 496 с.

38. Кристалинский Р.Е., Кристалинский В.Р. Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики: Учебное пособие для вузов. М: Горячая линия — Телеком, 2006. - 216 с.

39. Лабутин С.А. Структурная идентификация и анализ модели роста населения земли // Труды» международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. - С. 164 - 170.

40. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB. — СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2005. 512 с.

41. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководств. М.: Наука, 1961. - 542 с.

42. Леоненков А.В. Нечёткое моделирование в среде MATLAB и fuzzy TECH. — С.-Пб.: БХВ Петербург, 2003. - 736 с.

43. Лобанов А.В. Распределённое мажорирование информации с обнаружением и идентификацией проявлений неисправностей // Автоматика и телемеханика.- 1997. -Вып.1. С. 145-149.

44. Ломов А.А. Идентификация линейных динамических систем по коротким участкам переходных процессов при аддитивных измерительных возмущениях // Теория систем управления. 1997. №3. - С. 20 - 26

45. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ./Под. Ред. Я.3. Цыпкина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. -432 с.

46. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. Пер. с англ. Б.Н. Казака. / Под ред. и с дополнением Б.М. Наймарка. М.: Изд-во Мир, 1977. - 584 с.

47. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. - 671 с.

48. Минко А.А. Идентификация линейного объекта по реакции-на гармонический сигнал // Вестник Рязанского государственного университета. № 1 (выпуск 23). Рязань, 2008. - С. 63 - 68.

49. Минко А.А., Витязев В.В. Обобщенная идентификация линейного объекта по сигналам вход-выход // Цифровая обработка сигналов. — М., 2008. — С. 34-40:

50. Мишкин Э., Браун JI. Приспосабливающиеся автоматические системы. -М.: Изд-во иностр. лит., 1963. — 670 с.

51. Мышкис А.Д:, Зельдович Я.Б. Элементы прикладной математики. Изд. 2-е -М.: Наука, 1967.-648 с.

52. Мышляев Л.П., Львова Е.И. Опыт идентификации промышленных объек-' тов в действующих системах управления // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. - С. 1943 - 1964.

53. Налимов В.В. Теория эксперимента. — М.: Наука, 1971. — 208 с.

54. Орлов Ю.Ф. Определение структурных инвариантов многомерного объекта по его частотным характеристикам // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. - С. 221 - 237.

55. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений/ Пер. с англ.; под ред. А.А. Абрамова. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1986. - 288 с.

56. Перельман И.И. Оперативная идентификация объектов управления. М.: Энергоиздат, 1982. - 272 с.

57. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. С-Пб.: Издательство СПбГТУ, 1999.- 132 с.

58. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.G. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.