Алгоритмы и программное обеспечение для решения систем линейных алгебраических уравнений при анализе электромагнитного излучения проводных структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Куксенко, Сергей Петрович

• Куксенко, Сергей Петрович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Куксенко, Сергей Петрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ: ОБЗОР.

1.1 Важность решения СЛАУ.

1.2 Необходимость использования итерационных методов для решения

СЛАУ с плотной матрицей.

1.3 Итерационные методы.

1.3.1 Общий подход к построению проекционных методов.

1.3.2 Подпространства Крылова.

1.3.3 Предобусловливание.

1.3.4 Предфильтрация.

1.3.5 Методы крыловского типа.

1.4 Обзор программного обеспечения.

1.5 Цель работы и формулировка задач исследования.

2. РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ.

2.1 Новые способы предфильтрации.

2.1.1 Предфильтрация, основанная на норме строк исходной матрицы.

2.1.2 Предфильтрация, основанная на норме исходной матрицы.

2.2 Совершенствование известных способов алгебраической предфильтрации.

2.3 Реализация методов решения СЛАУ в виде отдельных функций.

2.4 Разработка модуля матричных операций для единой системы моделирования.

2.4.1 Функциональные возможности системы TALGAT.

2.4.2 Функциональные возможности модуля MATRIX.

2.5 Основные результаты главы.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ.

3.1 Сравнение итерационных методов без использования предобусловливания.

3.2 Сравнение итерационных методов при использовании предобусловливания.

3.3 Оптимизация допуска обнуления при решении СЛАУ итерационными методами.

3.4 Ускорение получения заданных характеристик за счет снижения точности вычисления.

3.5 Сравнение способов предфильтрации.

3.6 Совершенствование способов предфильтрации.

3.7 Сравнение новых и усовершенствованных способов предфильтрации с известными.

3.8 Рекомендации по использованию итерационных методов решения

СЛАУ.

3.9 Основные результаты главы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы и программное обеспечение для решения систем линейных алгебраических уравнений при анализе электромагнитного излучения проводных структур»

Актуальность работы. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет большое значение, поскольку к нему сводится решение широкого круга сложных практических задач. В линейной алгебре эту задачу называют первой основной задачей. Так, около 75% всех расчетных математических задач приходится на решение СЛАУ. Хотя эта задача сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением компьютера. Как известно, значительная часть численных методов решения различных (в особенности нелинейных) задач включает в себя решение СЛАУ как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

Необходимость решения СЛАУ возникает при решении многомерных анизотропных краевых задач, в задачах вычислительной гидродинамики, в теории электрических цепей, при решении уравнений балансов и сохранения в механике, гидравлике и т.п. В геомеханике матрица СЛАУ имеет чрезмерно большие размеры и является плохо обусловленной. Поэтому обычные методы решения СЛАУ здесь оказываются неэффективными. Задача нахождения устойчивых приближенных решений СЛАУ является определяющей задачей для гравиметрии и магнитометрии. Необходимость решения трехдиагональных СЛАУ возникает в оптике, теории теплопроводности, газовой динамике, теории разностных схем и др. Также проблема решения СЛАУ существует в задачах управления и контроля, которые предъявляют высокие требования к скорости получения результатов, пусть даже приближенных. Среди них можно выделить класс задач оценки и предсказания критических ситуаций, связанных, например, с измерением температуры и вычислением плотности теплового потока на поверхности спускаемого летательного аппарата и др.

Особая необходимость в решении СЛАУ возникает при использовании широкого класса моделей и подходов, применяемых при автоматизированном проектировании аппаратуры с учетом электромагнитной совместимости. Например, решение задач излучения или рассеяния электромагнитной волны сложными объектами может быть получено с помощью интегральных уравнений, сводящихся методом моментов к СЛАУ с плотной, комплексной и несимметричной матрицей большой размерности NxN. Достаточно важной задачей является анализ излучения проводных структур, поскольку он необходим при моделировании проводных антенн, аппроксимации излучающей поверхности проводной сеткой, создании различных симуляторов электромагнитного поля и др. Таким образом, вычислительные трудности решения таких СЛАУ во многом обусловлены заполненностью матриц, приводящей к огромному объему вычислений (особенно в трехмерных задачах).

Для решения СЛАУ с плотными матрицами традиционно используются точные методы, например, метод исключения Гаусса. Но их вычислительные затраты, пропорциональные N3, существенно ограничивают круг решаемых задач даже на высокоскоростных компьютерах. Необходимость решения сложных задач, дающих рост N, привела к широкому применению итерационных методов. Наиболее эффективными и устойчивыми (с точки зрения сходимости к точному решению) среди итерационных методов являются, так называемые, методы крыловского типа. В связи с тем, что матрица СЛАУ, полученная применением метода моментов, является, как правило, плохо обусловленной, использование итерационного метода без предобусловливания не вполне обоснованно, поскольку метод может застопориться или даже оборваться. Использование предфильтрации (игнорирования незначительных элементов) позволяет задать структуру разреженности матрицы СЛАУ, что, в свою очередь, позволяет применить алгоритмы технологии разреженных матриц (предобусловливание) и тем самым уменьшить время решения.

Между тем, ряд возможностей совершенствования решения СЛАУ с плотной матрицей итерационными методами при исследовании проводных структур остаётся неиспользованным. Так, недостаточно разработаны способы выбора структуры разреженности с помощью предфильтрации матрицы СЛАУ, позволяющие добиться ускорения решения за счет более эффективного использования предобусловливания. Следует отметить, что исследователи, решающие СЛАУ с плотными матрицами, как правило, приводят результаты при фиксированных параметрах предфильтрации (в частности, допуске обнуления), без оценки их влияния на общие временные затраты. Кроме того, недостаточно представлено сравнение этих способов между собой, что затрудняет корректный выбор способа предфильтрации и его параметров на практике.

Свободно распространяемое программное обеспечение, позволяющее решать СЛАУ с плотными матрицами эффективными итерационными методами без дополнительной модификации, практически отсутствует. Так, известный и постоянно развиваемый пакет LAPACK (последняя версия 3.1.1 вышла 26.02.2007) использует только прямые методы. В системе SciLab, являющейся бесплатным аналогом MatLab, содержатся встроенные средства работы с разреженными матрицами, в т.ч. возможности LU-разложения. В состав последних версий включены и итерационные методы крыловского типа для решения разреженных СЛАУ. Подобная ситуация наблюдается и в MatLab. Специализированное программное обеспечение для электромагнитного моделирования, как правило, использует только прямые методы решения СЛАУ. Так, один из лучших зарубежных программных продуктов FEKO использует метод исключения Гаусса. В других не всегда уточняется, каким методом получено решение. Поэтому, характерной чертой такого обеспечения является то, что даже высококвалифицированный пользователь не может добиться изменения некоторых параметров численного метода. В результате эффективность исследований с помощью такой системы часто оставляет желать лучшего, а отсутствие у пользователя возможности ее модернизации делает это обеспечение весьма неэффективным. Еще одним недостатком такого обеспечения является его высокая стоимость.

Цель работы - разработка алгоритмов и комплекса программ для решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих в задачах анализа электромагнитного излучения проводных структур.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать новые алгоритмы предфильтрации.

2. Усовершенствовать известные способы предфильтрации.

3. Разработать комплекс программ, реализующий новые и известные алгоритмы предфильтрации, методы решения СЛАУ и способы предобусловливания.

4. Апробировать основные способы алгебраической предфильтрации на задаче анализа излучения проводных структур.

5. Произвести сравнение результатов, полученных при использовании разных способов предфильтрации на нескольких конфигурациях.

В работе использовались: теория матриц, прямые и итерационные методы решения СЛАУ, объектно-ориентированное программирование.

Достоверность результатов подтверждается проверкой корректности программной реализации на примере нахождения заведомо известного решения, совпадением результатов, полученных несколькими методами.

Научная новизна

1. Разработаны два новых способа алгебраической предфильтрации.

2. Предложено усовершенствование известных способов алгебраической предфильтрации.

3. Показано, что при использовании предложенных способов предфильтрации существует оптимальное значение допуска обнуления по критерию минимизации времени решения СЛАУ.

4. Выявлена стабильность (при изменении частоты) и установлена контролируемая зависимость (от изменения дискретизации) оптимального значения допуска обнуления (по критерию минимизации времени решения СЛАУ) при использовании предложенного способа предфильтрации на примере, определения токов в проводной антенне.

Практическая значимость

1. Программно реализован модуль матричных операций единой системы компьютерного моделирования электромагнитной совместимости, позволяющий использовать широкий ряд прямых и итерационных методов решения СЛАУ как в виде функций, так и в виде DHTML диалогов. Возможности модуля позволяют его использовать для решения других задач, требующих решения СЛАУ с плотной матрицей.

2. Выполнено сравнение способов алгебраической предфильтрации при решении СЛАУ итерационными методами, позволяющее оценить изменение оптимального значения порога/допуска обнуления для каждого из способов, на примере определения токов в проводной антенне, как при изменении частоты, так и при изменении дискретизации.

3. Приведены рекомендации по использованию итерационных методов.

4. Результаты работы активно используются в учебном процессе.

Апробация результатов

Результаты диссертационной работы представлялись и докладывались в материалах следующих симпозиумов и конференций:

Всероссийская научно-техническая конференция студентов и молодых ученых "Научная сессия ТУСУР", г. Томск, 2004;

XII Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция, г. Казань, 2004;

Всероссийская научно-практическая конференция "Проблемы информационной безопасности общества и личности", г. Томск, 2004, 2005;

Международная научно-практическая конференция "Электронные средства и системы управления", г. Томск, 2005;

Международный симпозиум по ЭМС и электромагнитной экологии, г. Санкт-Петербург, 2005, 2007;

Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Научная сессия ТУСУР", посвященная 45-летию ТУСУРа, г. Томск, 2007.

Публикации. По результатам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 19 научных работ: 6 статей в журналах из перечня ВАК; 10 докладов и 1 тезисы в материалах симпозиумов и конференций; 1 свидетельство об отраслевой регистрации разработки; 1 монография.

Структура и объём диссертации. В состав диссертации входят введение, 3 главы, заключение, список литературы из 109 наим., 3 приложения с актами внедрения. Объём диссертации составляет 103 стр., в том числе 24 рис. и 23 табл.

Личный вклад. Все результаты работы получены автором лично или при непосредственном его участии совместно со следующими сотрудниками:

Исследование итерационных методов выполнено совместно с Газизовым Талъгатом Рашитовичем, Костаревым Игорем Степановичем и Сивцевым Семеном Степановичем.

Программная реализация системы компьютерного моделирования электромагнитной совместимости выполнена совместно с Газизовым Талъгатом Рашитовичем, Мелкозеровым Александром Олеговичем, Газизовым Тимуром Талъгатовичем и Заболоцким Александром Михайловичем.

Внедрение результатов работы

1. Реализованный комплекс программ использовался для оценки паразитных электромагнитных эффектов в печатных платах и в кабелях аппаратуры, разрабатываемой в НПЦ «Полюс» (ПРИЛОЖЕНИЕ 1).

2. Разработанный комплекс программ использован для выполнения проекта «Разработка системы компьютерного моделирования электромагнитной совместимости». (Заключительный отчет ВТК-15 по мероприятию 3.1.3а инновационной программы ТУ СУР, 2006 г. и свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 8376) (ПРИЛОЖЕНИЕ 2).

3. Результаты использованы в учебном процессе ТУСУРа (одна лабораторная работа, две авторские лекции, учебно-методическое пособие, монография) (ПРИЛОЖЕНИЕ 3).

4. Реализованные итерационные методы использованы при выполнении проекта 06-08-01242 «Исследование новых модальных явлений в структурах многопроводных линий передачи с неоднородным диэлектрическим заполнением», поддержанного Российским фондом фундаментальных исследований.

Положения, выносимые на защиту

1. Для решения СЛАУ итерационными методами с предобусловливанием предложен новый способ предфильтрации, показавший стабильность оптимального (по критерию минимизации времени решения СЛАУ) значения допуска обнуления при изменении частоты и его контролируемую зависимость от изменения дискретизации при решении задачи определения токов в проводной антенне.

2. За счет выбора способа предфильтрации и оптимального значения порога/допуска обнуления можно сократить время решения СЛАУ итерационными методами с предобусловливанием на 40%.

3. При решении СЛАУ итерационными методами с предобусловливанием в сочетании с предфильтрацией, поиск максимального элемента не по всей матрице, а только на главной диагонали, позволяет уменьшить время решения на 13%.

4. Выбором оптимального значения допуска обнуления предфильтрации, при решении СЛАУ итерационными методами с предобусловливанием, можно ускорить решение по сравнению с методом Гаусса до 20 раз.

Краткое содержание работы. В гл. 1 выполнен обзор проблемы решения СЛАУ с плотной матрицей, а также сформулированы конкретные вопросы, подлежащие исследованию для решения этой проблемы. В гл. 2 приведены новые способы, совершенствования известных способов алгебраической предфильтрации, а также представлены результаты реализации созданного комплекса программ. В гл. 3 выявлены новые закономерности решения СЛАУ при использовании новых способов предфильтрации и приведено сравнение способов предфильтрации между собой. Приведены рекомендации по использованию итерационных методов. В заключении сделаны выводы по работе. Далее приведён список литературы. В приложениях представлены копии документов, подтверждающих использование результатов работы.

1. РЕШЕНИЕ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ:

ОБЗОР

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Куксенко, Сергей Петрович

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Разработаны и программно реализованы два новых способа алгебраической предфильтрации. Первый, основанный на евклидовых нормах строк, показал (при решении задачи определения токов в проводной антенне) стабильность при изменении частоты и контролируемую зависимость при изменении дискретизации оптимального значения (по критерию минимизации времени) допуска обнуления. Его использование позволит минимизировать затраты времени, например, при многовариантном анализе в большом числе частотных точек или при оптимизации по частоте, широко применяемым на практике.

2. Показано, что при использовании предложенного способа предфильтрации существует оптимальное значение допуска обнуления по критерию минимизации времени решения СЛАУ. На исследованных примерах выбор оптимального значения допуска обнуления, при использовании данного способа, ускорил решение по сравнению с методом Гаусса до 20 раз.

3. Предложено усовершенствование (за счет поиска максимального элемента не по всей матрице, а только на главной диагонали) известного способа предфильтрации, позволившее сократить время решения СЛАУ на 13%.

4. Разработанный комплекс программ для решения СЛАУ при анализе электромагнитного излучения проводных структур, встроенный в систему компьютерного моделирования электромагнитной совместимости TALGAT, позволяет решать СЛАУ, используя 8 прямых и 6 итерационных методов, 6 способов предобусловливания и 10 способов предфильтрации (включая предложенные автором новые и усовершенствованные). Таким образом,[jj, возможности комплекса позволяют использовать его для других задач, требующих решения СЛАУ с плотной матрицей, а также в учебном процессе, как средство изучения численных методов. Реализована возможность использования методов решения СЛАУ с помощью DHTML диалогов. Реализована визуализация матриц, как после предфильтрации, так и после формирования матрицы предобусловливания.

5. Выполненное сравнение способов алгебраической предфильтрации при решении СЛАУ итерационными методами позволяет оценить изменение оптимального значения порога/допуска обнуления для каждого из способов, на примере определения токов в проводной антенне, как при изменении частоты, так и при изменении дискретизации. Показано, что можно добиться ускорения во времени решения СЛАУ на 40% за счет выбора способа предфильтрации.

6. Приведены рекомендации по использованию итерационных методов.

Реализованный модуль использовался для оценки паразитных электромагнитных эффектов в печатных платах и в кабелях аппаратуры, разрабатываемой в НПЦ «Полюс», и при выполнении проекта РФФИ. Кроме того, все результаты работы активно используются в учебном процессе ТУСУР две авторские лекции, лабораторная работа, учебно-методическое пособие и монография).

Совокупность этих выводов позволяет считать, что цель диссертационной работы достигнута.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Куксенко, Сергей Петрович, 2007 год

1. Ильин В.П. Линейная алгебра: от Гаусса до суперкомпьютеров будущего. Природа. No 6,1999, С. 11-18.

2. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: ФМ, 1963, 656 С.

3. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

4. Крицкий О.Л. Анализ итерационных методов решения многомерных анизотропных краевых задач. Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН, г. Новосибирск, 25-26 декабря, 2000.

5. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Дрофа, 2003.

6. ШашкинК.Г. Использование эффективных алгоритмов больших систем линейных алгебраических уравнений в задачах геотехники. Интернет-журнал. Реконструкция городов и геотехническое строительство. No.3,2000.

7. Barrett R., Berry M., Chan T.F., Demmel J., Donato J., Dongarra J,, Eijkhout V., Pozo R., Romine C., and van der Vorst H. Templates for the solution of linear systems: building block for iterative methods. SIAM, Philadelphia, 1994, P. 124.

8. Axellson O. Iterative Solution Methods. Cambridge University Press, New York, 1994, P. 166.

9. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. Second edition. January 3rd, 2000, P. 447.

10. Van der Vorst H. Iterative Krylov methoda for large linear system. Cambridge University Press, New York, 2003, P. 221.

11. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения линейных систем. М.: Физмат, 1995.

12. Харрингтон Р.Ф. Применение матричных методов к задачам теории поля, Труды ИИЭР, №2,1967. С. 5-19.

13. CuiT.J., ChewW.C. Accurate model of arbitrary wire antennas in free space, above or inside groud. IEEE Trans, on Antennas and Propag., vol.48, no.4, April 2000, P.482-493.

14. Пименов A.C. Вейвлет-анализ в численном моделировании тонкопроволочных антенн. Вестник СамГУ, №2, 2006. С. 44-61.

15. Tesche F.M., Ianoz M.V., Karlsson Т. EMC analysis methods and computational models. A Wiley-Interscience publication, 1992. 623 p.

16. Газизов T.P. Уменьшение искажений электрических сигналов в межсоединениях и преднамеренных электромагнитных помех. Диссертация на соискание ученой степенидоктора технических наук, г. Томск, 2005.

17. Harrington R.F. Origin and Development of the Method of Moments for Field Computation, IEEE Antennas and Propagation Society Magazine, pp.31-36, June 1990.

18. Канторович JI.B., Крылов B.M. Приближенные методы высшего анализа.-М.-Л.: Физматгиз, 1962.

19. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.-М.: Физматгиз, 1959.

20. Harrington R.F. Field Computation by Moment Methods, New York, The MacMillian Co., 1968; reprinted by Krieger Publishing Co., Malabar, Fl., 1982.

21. Antonini G., Orlandi A., and Ruehli A.E. Analytical integration of quasi-static potential integrals on nonorthogonal coplanar quadrilaterals for the PEEC method, IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol.44, no.2, May 2002, pp.399-403.

22. SarkarT.K. at al. Survey of numerical methods for solution of large systems of linear equations for electromagnetic field problems, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.29, pp.847-856., Nov. 1981.

23. OlyslagerF. at all. Numerical and experimental study of the shielding effectiveness of a metallic enclosure. IEEE Trans, on Electromagn. Compat., vol.41, no.3, August 1999. P.202-213.

24. Carpes W.P., Pichon L. and Razek A. Analysis of the coupling of an incident wave with a wire inside a cavity using an FEM in frequency and time domains. IEEE Trans, on Electromagn. Compat. vol.44, no.3, August 2002. P. 470-475.

25. Correira L.M. A comparison of integral equation with unique solution in the resonance region for scattering by conducting bodies. IEEE Trans, on Antennas and Propagat., vol.41, no. 1, Jan. 1993, P.52-58.

26. Ji Y., Hubing Т.Н. On the interior resonance problem when applying a hybrid FEM/MoM approach to model printed circuit boards. IEEE Trans, on Electromagn. Compat. vol. 44, no. 2, May 2002, P.318-323.

27. ShengX.-Q. at all. On the formulation of hybrid finite-element and boundary-integral methods for 3-D scattering. IEEE Trans, on Antennas and Propagat., vol.46, no. 3, March 1998, P.303-311.

28. Carpes W.P., Pichon L. and Razek A. Analysis of the coupling of an incident wave with a wire inside a cavity using an FEM in frequency and time domains. IEEE Trans, on Electromagn. Compat. vol.44, no.3, August 2002. P. 470-475.

29. Nayanthara K., Rao S., and Sarkar T. Analysis of two-dimensional conducting and dielectric bodies utilizing the conjugate gradient method. IEEE Trans, on Antennas and Propag., vol.35, no.4, April 1987, P.451^153.

30. Singer H. The method of moments (MOM) and related codes. Supplement to Proc. of the 13th Int. Zurich Symp. on EMC. Zurich, Switzerland, February 16-18,1999, pp. 11-19.

31. Chew W.C., Jin J.-M., Lu C-C., Michielssen E., Song J.M. Fast solution methods in electromagnetics. IEEE Trans, on Antennas and Propag. Vol. 45, No. 3, March 1997. P. 533-543.

32. Форсайт Дж., МоулерК. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969.

33. Голуб Дж., Лоун Ч.В. Матричные вычисления. М: Мир, 1999.

34. Saad Y., van der Vorst H. Iterative solution of linear systems in the 20-th century. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 123, No 1,1 November 2000, pp. 1-33.

35. Колотилина Л.Ю. Явно предобусловленные системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей. Советская математика, №43, 1988, с. 2566-2573.

36. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. -М.: Мир, 1991.

37. Benzi M. Preconditioning techniques for large linear systems: a survey. Journal of computation physics, No 182, pp. 418-447, 2002.

38. Chen K. Matirx preconditioning techniques and applications. Cambridge University Press, New York, 2005, P.576.

39. Saad Y. ILUT: a dual threshold incomplete LU factorization, Numer. Linear Algebra Appl. 1(4), 1994, pp. 387-402.

40. SaadY., Zhang J. BILUTM: a domain-based multilevel block ILUT preconditioner for general sparse matrices. SIAM J. Matrix Anal. Appl. Vol. 21, No. 1, pp. 279-299,1999.

41. Li N., Saad Y., Chow E. Crout Versions of ILU for General Sparse Matrices, SIAM Journal on Scientific Computing, Vol. 25, N. 2, 2003, pp. 716-728.

42. Lee J., Zhang J., Lu C. Incomplete LU preconditioning for large scale dense complex linear systems from electromagnetic wave scattering problems. In: J. of Comput. Phys., 185, 2003, pp. 158-175.

43. BangtssonE., NeytchevaM. Approaches to reduce the computational cost when solving linear systems of equations arising in Boundary Element Method discretizations. Uppsala University, Department of Information Technology, TR/2003-053.

44. Antonini G., Orlandi A., Ruehli A. Fast iterative solution for the wavelet-PEEC method, in Proc. of 14th International Zurich Symposium on EMC, Zurich, Switzerland, February 2022,2001.

45. Rahola J., Tissari S. Iterative solution of dense linear systems arising from the electrostatic integral equation in MEG. Physics in medicine and biology, No.47,, 2002, pp. 961-975.

46. Zunoubi M.R. A combined BI-CGSTAB(Z) and wavelet transform method for EM problems using method of moments. Progress in electromagnetics research, PIER 52, 2005, pp. 205224.

47. Carpentieri В., Duff I.S., Giraud L. Some sparse pattern selection strategies for robust Flobenius norm minimization preconditioners in electromagnetism. RAL-TR-2000-009.

48. Benzi M., Tuma M. Numerical experiments with two approximate inverse preconditioners. CERFACS TR/PA/97/11.

49. Benzi M., Tuma M. A comparative study of sparse approximate inverse preconditioners. Los Alamos national laboratory technical report LA-UR-98-0024.

50. Chow E., Saad Y. Approximate inverse preconditioners via sparse-sparse iterations. SIAM J. on Scientific Computing, 1998, Vol. 19, Issue 3, pp. 995-1023.

51. Grote M., Huckle T. Parallel preconditioning with sparse approximate inverses, SIAM J. Sci. Comput., No 18,1997, pp. 838-853.

52. Kolotilina L.Yu.,. Yeremin A.Yu. Factorized sparse approximate inverse preconditioning I. Theory, SIAM J. Matrix Anal. Appl. Nol4,1993, pp. 45-58.

53. EweW.-B., LiL.-W., Wu Q., LeongM.-S. Preconditioners for adaptive integral method implementation. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 53, No. 7, July 2005, pp.2346-2350.

54. Poirier J.R, Boderies P., Mittra R., Varadarajan V. Numerically efficient solution of dense linear system of equations arising in a class electromagnetic scattering problems. Trans. On Antennas and propagation, Vol. 46, No. 8,1998, pp. 1169-1175.

55. Alleon G„ Benzi M., Giraud L. Sparse Approximate Inverse Preconditioning for dense Linear Systems Arising in Computation of Electromagnetics. Numerical algorithm, No. 16, 1997, pp. 1-15

56. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М. Мир, 1988.

57. Carpentieri В., Duff I.S., Giraud L., Magolu M. Made. Sparse symmetric preconditioners for dense linear systems in electromagnetism. CERFACS TR/PA/01/35.

58. Bruno Carpentieri. Sparse preconditioners for dense linear systems from electromagnetic applications. CERFACS TH/PA/02/48

59. Alpet В., Beylkin G., Coifman R., Rokhlin V. Wavelet-like bases for the fast solution of second-kind integral equation. SIAM, Sci. Comput., Vol. 14, No. 1,1993, pp. 159-184.

60. FranzaO., Wagner R., ChewW.C. Wavelet-like bases for solvingscattering integral equation. IEEE, 1994.

61. Wagner R.L., Chew W.C. A stydy of wavelets for the solution of electromagnetic integral equations. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 43, No. 8, August 1995, pp.802-810.

62. Prakash V.V.S., Mittra R. An efficient preconditioner for iterative solvers. Turk J. Elec. Engin., Vol. 10, №2 2002, pp. 371-375.

63. Chen K. Discrete wavelet transforms accelerated sparse preconditioners for dense boundary element systems. Electronic transactions on numerical analysis. Vol. 8,1999, pp. 138-153.

64. Ford l.M. An improved DWT-based preconditioner for dense matrix problem. Manchester centre for computational mathematics numerical analysis reports. Numerical analysis report No. 412, 2002.

65. Sertel K., Volakis J.L. "Incomplete LU preconditioner for FMM implementations," 2000 Applied Computational Electromagnetics Society, Monterey, CA, pp. 859-866.

66. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems. SIAM J. Scientific and Statistical Computing, No. 7,1986, pp. 856-869.

67. Fletcher R. Conjugate gradient methods for indefinite systems. In G.A. Watson, editor, Proceedings of Dundee Biennal Conference on Numerical Analysis, 1974, pp. 73-89.

68. Van der VorstH. Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of Bi-CG for solution of nonsymmetric linear systems. SIAM J. Scientific and Statistical Computing, No. 13,1992, pp. 631-644.

69. Freund R.W., Nachtigal N.M. QMR: a quasi-minimal residual method for non-hermitian linear system. Num.Math., 60,1991, pp. 315-339.

70. Sonneveld P. CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems, SIAM J. Sci. Statist. Comput., 10,1989, pp. 36-52.

71. Hestenes M.R., Steifel E. Methods of conjugate gradient for solving linear systems, J. of Res. Nat. Bureau Standards, No. 49, 1952, pp. 409-436.

72. Ewen T.L. Mixed product Krylov subspace methods for solving linear systems. MASTER of Science, 1999, P. 98.

73. Норенков И.П. Автоматизированное проектирование. М.: 2000.86. www.feko.co.za.87 www.emss.co.za. '88. www.poynting.co.za.

74. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство. Изд. 2-е, испр. М.: Едиториал УРСС, 2004. С. 272.

75. ШимковичД.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. М.: ДМК Пресс, 2001. С. 448.91. http://www.mscsoftware.com/products/.

76. Алямовский А.А. SolidWorks/COSMOSWorks. Инженерный анализ методом конечных элементов. М.: ДМК Пресс, 2004. С. 432.93. http://www.soIidworks.com/

77. Газизов Т.Р., Куксенко С.П. Оптимизация допуска обнуления при решении СЛАУ итерационными методами с предобусловливанием в задачах вычислительной электродинамики. Электромагнитные волны и электронные системы. №8, 2004. С. 2628.

78. Kominami М., Rokushima К. On the integral equation of piecewise linear antennas, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 29, pp. 787-792, September 1981.

79. Рыбин А.П., Лощилов А.Г., Малютин Н.Д. Моделирование и экспериментальное исследование широкополосных антенн в ДКМВ диапазоне. Сборник научных трудов всероссийской научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР -2004», 2004, С. 122-125.

80. Куксенко С.П. Исследование решения системы линейных алгебраических уравнений итерационным методом BiCGstab. Сборник научных трудов всероссийской научно-технической конференции "Научная сессия ТУСУР", г. Томск, 2004, ч. 1, С. 110-113.

81. Куксенко С.П. Повышение эффективности решения системы линейных алгебраических уравнений. Сборник научных трудов международная молодежная научная конференция, Казань, 2004, Т. 3, С. 160-161.

82. Куксенко С.П., Газизов Т.Р. Сравнение способов предфильтрации при решении СЛАУ с плотной матрицей итерационными методами с предобусловливанием. Инфокоммуникационные технологии, 2007, Том 5, No. 2. С. 14-18

83. Duffl.S., GiraudL., LangouJ., Martin E. Using spectral low preconditioned for large electromagnetic calculations. CERFACS TR/PA/03/95.

84. Еремин А.Ю., Никишин A.A. Переобусловливание линейных систем с несимметричными матрицами с помощью факторизованных разреженных приближенных обратных. Записки научных семинаров ПОМИ. Т.284, 2002, С. 18-35.