Алгебры с нечеткими операциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Яхъяева, Гульнара Эркиновна

• Яхъяева, Гульнара Эркиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Яхъяева, Гульнара Эркиновна

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕРМИНОВ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. Обзор направлений теории "fuzzy"

2. Размытые порядки

2.1. Нечеткое отношение непосредственного следования

2.2. Размытые функции.

2.3Ь Размытая арифметика

2.4. Размытый линейный порядок.

3. Размытые группы

3.1. Нечеткие операции.

3.2. Нейтральные и обратные элементы

3.3. Группы с нечеткими операциями.

3.4. Структура размытой группы

3.5« Изоморфизм размытых групп.

3.6, Гомоморфизмы и фактор-групцы размытых групп

4. Практические приложения размытых алгебр

4.1. Размытая динамическая модель клеточного цикла

4.2. Лингвистические размытые модели.

4.2.1. Алгоритм определения семантического поля данного слова.

4.2.2. Двухязыковой словарь-переводчик.

4.2.3. Многоязыковой словарь-переводчик.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебры с нечеткими операциями»

В свое время появление формальной логики было шагом вперед в борьбе с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческих знаний, что приводило к непониманию между различными субъектами. Логика была призвана исключить нестрогость, неоднозначность из рассуждений. Теперь же возникла насущная необходимость создания теории, позволяющей формально описывать нестрогие, нечеткие понятия и обеспечивать возможность продвинуться в познании процессов рассуждений, содержащих такие понятия.

Анализируя конкретную систему, мы фактически рассматриваем выделенную нами часть более полной сложной системы. Само это выделение мы производим, поскольку не в состоянии охватить и достаточно компактно математически описать и исследовать все многообразие свойств полной системы. Выделяя подсистему, мы фактически вводим границы, которые на самом деле не существуют. Анализируя выделенную подсистему, мы не можем игнорировать ее связи с остальной частью более полной системы. Не имея возможности и средств точно описать все эти связи, мы используем либо свои собственные представления об этих связях, либо обращаемся за помощью к экспертам, которые этими представлениями обладают. Важно то, что эта информация чаще всего бывает выражена в понятиях, которые имеют нечеткий смысл с точки зрения классической математики.

В свете господствующего мнения, порожденного так называемой декартовой рационалистской методологией, традиционно существует тенденция отвергать такие термины, как неясность, неопределенность, нечеткость и неточность из-за их ненаучной или иррациональной концепции. Однако в реальном мире мы неминуемо сталкиваемся со множеством случаев, когда невозможно избежать проблемы учета неясной или неточной информации о сведениях, явлениях или событиях и т.п. Ситуация ухода от нечеткости существовала до 1965 года, когда Л. Заде предложил теорию нечетких множеств [1] - многообещающую теорию и технику для анализа и представления неясных или неточных понятий, используемых в утверждениях о событиях и фактах для описания отношений между объектами или действиями. Нечеткое множество это математическая модель класса с нечеткими или, иначе, размытыми границами. В этом понятии учитывается возможность постепенного перехода от принадлежности к непринадлежности элемента данному множеству. Иными словами, элемент может, вообще говоря, иметь степень принадлежности множеству, промежуточную между полной принадлежностью и полной непринадлежностью.

В 1972 году Заде предложил теоретико-множественную интерпретацию лингвистических переменных и ограничений [2] , которая отражала лингвистические аспекты отношения принадлежности в нечетких множествах. Например, если .высказывание о некотором факте несет оттенок неуверенности, то его можно характеризовать лингвистически как, скажем, истинное, не истинное, очень истинное, более-менее истинное, не очень истинное и т. п., определяя каждым таким истинно-значным представлением нечеткого объекта смысл лингвистического ограничения.

Несколько позже [3] Заде предложил ввести в рассмотрение нечеткую логику с лингвистическими, а не числовыми значениями истинности. Согласно такой логике высказывание может принимать истинное значение типа: истинно, ложно, абсолютно истинно, совсем ложно и т. п. - и каждое такое значение представляет нечеткое подмножество единичного интервала.

Далее Заде исследовал метаязык, называемый PRÜF (Possi-bilistic Relational Universal Fuzzy), чтобы отразить смысловое представление естественных языков [4] . Язык PRÜF опирается на логику с лингвистическими значениями истинности, в которой неточность или неясность, присущая естественным языкам, описывается в терминах распределения возможностей. Кванторы в PRÜF также выражаются с помощью лингвистических терминов. Кроме того, понятия семантической равносильности и семантического следования введены так, что PRÜF может служить в качестве языка для системы "вопрос - ответ" и вывода из нечетких посылок.

Современная библиография по теории нечетких множеств, содержащая несколько тысяч ссылок, охватывает не только теоретические аспекты теории, но и такие прикладные области, как распознавание образов, кластерный анализ, принятие решений, разработка роботов, медицинская диагностика, инженерное искусство, системное моделирование, процесс управления, психология, лингвистика, общественные и политические науки, управление каким-либо процессом, в том числе и наукой. Что же достигнуто с помощью теории нечетких множеств в различных отраслях человеческих знаний?

В философском плане теория нечетких множеств примечательна тем, что открывает новый подход к решению проблемы абстракции и образования понятий, обладающих богатством всевозможных оттенков [5], [6], [7].

В области анализа больших систем (например, системы управления экономикой страны, отрасли т. д.) открывается возможность моделирования неопределенности, выраженной, в частности, в градациях информированности центра о нижележащих уровнях [8], [9], [10], [11], [38], [13].

В области психологии - это моделирование свойств целостности, диффузности психических образов и представлений, гибкости мышления, многозначности элементов языка, присутствующих па всех уровнях отражения, регуляции и коммуникации [14], [15].

В области лингвистики - это моделирование смысла предложений и текстов с помощью распределения возможностей, описываемых функциями принадлежности [16], [17], [18], [19], [20].

В области здравоохранения - разработка информационно-технологических методов деагностирования и создание на. их основе автоматизированных диагностирующих систем [21], [22], [23], [24].

В области техники теория нечетких алгоритмов стимулирует развитие гибких автоматизированных производств и робототех-нических комплексов, в частности, роботов, способных выполнять отдельные интеллектуальные действия человека [25], [26], [27], [28]. Это дало толчок как развитию командного управления (выполнение нечетких инструкций), так и созданию управляемых систем с повышенной автономностью. Открытость системы, взаимодействие с внешней средой ставят целый ряд новых проблем при конструировании соответствующих моделей. Эти проблемы связаны с неопределенностями, неизбежными при описании состояния внешнего мира. Источниками неопределенности такого представления являются: невозможность сколь угодно точного измерения реальных величин; невозможность полного и четкого описания многих физических объектов и ситуаций; принципиальные ограничения по точности и большие погрешности выполнения сенсорных или перцептивных действий; неточность исполнительских действий, которые зачастую не достигают цели; недостаточность размерности модели, не позволяющая отразить все значимые свойства мира.

Эти рассуждения наталкивают на мысль о несовершенстве метода нечетких множеств для формализации окружающего нас.мира. Общество нуждается в новых способах борьбы с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческого знания, которые в совокупности с методом нечетких множеств дали бы нам возможность создания более приближенных к действительности формальных систем.

С множеством неопределенностей такого рода справляется интервальный анализ. Непосредственное применение интервальных методов в вычислительных процессах позволяет заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно лишь то, что они лежат в определенных интервалах [29]. Однако, при точном определении входных данных задачи, получаемые решения так же являются точными значениями.

В природе же часто встречаются процессы, в которых не объекты, а действия над ними содержат нечеткость. Так, например, связь между поколениями осуществляется через гены, которые определяют развитие того или иного признака. Обозначим ген, определяющий доминантный признак буквой А, а соответствующий ему рецессивный ген - буквой а. Тогда каждый из двух предков обладает гаметой АА, либо Аа, либо аа.

Гипотеза чистоты гамет устанавливает, что закон расщепления есть результат случайного сочетания гамет, несущей ген А или же а, при условии равной жизнеспособности гамет и равного их количества, одинаково вероятного контактирования. При случайном характере соединения гамет общий результат оказывается закономерным. Здесь видна статистическая закономерность, определяемая большим числом равновероятных встреч гамет.

В этом примере мы имеем конкретные объекты, действия производимые над которыми расплывчатые.

Идея одного такого способа формализации информации прослеживается еще в работах Е. С. Ляпина. Евгений Сергеевич писал [30] о нередко встречающейся необходимости допустить, чтобы результат действия состоял не из одного элемента, а представлял бы собой некоторое подмножество исходного множества. Однако систематического изучения этого метода до сегодняшнего времени не велось.

Вопросам исследования алгебраических систем, содержащих нечеткие операции, посвящена настоящая работа.

Первая глава - обзорного характера. В ней рассмотрены основные направления теории "fuzzy", показана взаимосвязь этих направлений с исследованиями автора.

При исследовании арифметики в той или иной форме проводится аналогия с числовыми множествами. Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению нечеткого натурального ряда и нечеткого целочисленного ряда. Опираясь на аксиоматику Пеано, была построена аксиоматическая теория, модели которой являются нечеткими натуральными рядами. Принципиальное отличие от обычного множества натуральных чисел заключается в том, что каждый элемент имеет не один, а конечное множество последователей. Таким образом, функция непосредственного следования носит нечеткий характер. Далее, в этой главе, производится обобщение понятия нечеткой или, другими словами, размытой функции.

В третьей главе вводится определение размытой алгебраической операции через размытую функцию от двух переменных. Далее, вводится понятие размытой группы, для определения которой помимо традиционных свойств ассоциативности, существования нейтрального элемента, существование обратного элемента, необходимо выполнение еще одного свойства, которое автором предложено назвать свойством компактности. Рассматриваются основные свойства размытых групп.

В четвертой главе предлагаются на рассмотрения два конкретных приложения размытых алгебраических структур. В разделе 4.1 описывается размытая динамическая модель клеточного цикла, которая позволяет формализовать гетерогенность, связанную с ростом и развитием биологической клетки. Строится модель, изоморфная размытому натуральному ряду, введенному и описанному в главе 2. В разделе 4.2 описывается ряд лингвистических моделей, каждая из которых изоморфна некоторой конечной размытой группе. 9

В заключение намечаются дальнейшие направления и перспективы развития теории размытых систем.

Результаты, изложенные в диссертационной работе докладывались следующих международных конференциях: по математике, посвященной памяти А. Д. Тайманова (г. Алматы), по математической логике, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Мальцева (г. Новосибирск), "Логика и приложения", посвященной 60-летию академика Ю. Л. Ершова (г. Новосибирск), а так же на следующих семинарах: общегородском семинаре г. Алматы "Алгоритмические вопросы алгебры и теории моделей", объединенном семинаре лаборатории программных систем и лаборатории логических основ программирования института математики г. Новосибирска, семинаре "Прикладные вопросы математики" института теоретической и прикладной математики HAH PK, семинаре " Вопросы языковедения" филологического факультета АГУ им. Абая г. Алматы.

Я выражаю искреннюю благодарность своему руководителю В. П. Добрице за многочисленные полезные обсуждения результатов и проблематики проводимых исследований. Я также благодарна Ю. И. Маслову за постоянное внимание к работе и моральную поддержку.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Яхъяева, Гульнара Эркиновна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение "нечеткости" на алгебраических системах может вестись в трех различных аспектах:

1. Рассматриваются нечеткие отношения, но четкие операции. Это направление активно разрабатывается на западе ("fuzzy"). Множество А задается вместе с функцией приоритета /хд, определенной на этом множестве, и принимающей значения на отрезке [0,1]. Такое множество принято называть нечетким, т.е. отношение принадлежности объектов данному множеству нечеткое. Выполнение же операций над нечеткими объектами остается обычное - "четкое".

2. Наоборот, в рассматриваемой системе все отношения четкие, а операции "размытые", т.е. результатом выполнения операции является целое множество, на котором задана характеристика предпочтительности.

В этом направлении исследования начаты нашей группой. Ранее публикации в этом направлении нами не встречались.

В данной диссертационной работе были рассмотрены алгебраические системы, содержащие одну нечеткую операцию. Дальнейшее исследование предполагает изучение структур, содержащих несколько размытых операций, а также структур, содержащих как четкие, так и нечеткие операции.

Особый интерес представляет изучение колец, обе операции в которых являются размытыми. Если на размытую операцию умножения наложить аналог свойства х • х = х, то, возможно, мы получим размытую булеву алгебру. А это, в свою очередь, приводит к логике, содержащей несколько различных значений истинны и лжи.

3. На системе и отношения, и операции являются нечеткими. Это направление ждет своего исследования. Публикаций по этому подходу нами так же не встречалось.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Яхъяева, Гульнара Эркиновна, 2000 год

1. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Inform, and control. 1965. Vol. 8. -P. 338-353.

2. Zadeh L.A. A fuzzy-set-theoretic interpretation ofiinguistic hedges // J. Cybern. 1972. Vol. 2. - P. 4-34.

3. Zadeh L.A. The concept of linguistic variable and approximaterea-soning // information Sciences. 1974. Vol. 8. - P. 199-249.

4. Zadeh L.A. PRUF a meaning representation language for natural languages // Int. J. Man - Mach., Stud. 1978. - Vol. 10. -P. 395-460.

5. Swapan R., Kumar S. R. Reasoning with vague truth // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 105, N3. - P. 385-399.

6. Tzouvaras A., Modeling vagueness by nonstandardness // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 94, N3. - P. 385-396.

7. Pedrycz W., Fuzzy set technology in knowledge discovery // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 98, N3. - P. 279-290.

8. Dompere К. K. The theory of social costs and costing for cost-benefit analysis in a fuzzy-decision space // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 76, N1. - P. 1-24.

9. Dompere К. K. The theory of approximate prices: Analytical foundations of experimental cost-benefit analysis in a fuzzy-decisior space // Fuzzy Sets And Systems. 1997. Vol. 87, N1. - P. 1-26.

10. Wu K. Consumer surplus and producer surplus in fuzzy sense // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 103, N3. - P. 405-419.

11. Yao J. S., Wu K. Consumer surplus and producer surplus for fuzzy demand and fuzzy supply // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 103, N3. - P. 421-426.

12. Buckley J.J. Solving fuzzy equations in economics and finance // Fuzzy Sets and Sistems. 1992. Vol. 48, N3. - P. 289-296.

13. Fedrizzi M., Ostasiewicz W. Towards fuzzy modelling in economics // Fuzzy Sets and Sistems. 1993. Vol. 54, N3. - P. 259-268.

14. Figue J., Grabisch M., Charbonnel M. P. A method for still image interpretation relying on a multi-algorithms fusion scheme. Application to human face characterization // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 103, N2. - P. 317-337.

15. Su Lan, Mo Zhiwen Closure of finite-state automaton languages // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 75, N3. - P. 393-397.

16. Herrera F., Herrera-Viedma E., Verdegay J. L. Choice processes for non-homogeneous group decision making in linguistic setting // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 94, N3. - P. 287-308.

17. Herrera F., Herrera-Viedma E., Verdegay J. L. A model of consensus in group decision making under linguistic assessments // Fuzzy Sets and Sitsems. 1996. Vol. 78, N1. - P. 73-87.

18. Goran B. D., Endre Pap Muiticriteria-multistages linguistic evaluation and ranking of machine tools // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 102, N3. - P. 451-461.

19. Wen-June Wang, Shao-Feng Yan, Chih-Hui Chiu Flexible stability criteria for a linguistic fuzzy dynamic system // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 105, N1. - P. 63-80.

20. Blanco A., Delgado M., Fajardo W. Representation model of information in linguistics terms // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 107, N3. - P. 277-287.

21. Strackeljan J., Behr D., Kocher Т., Fuzzy-pattern recognition for automatic detection of different teeth substances // Fuzzy Sets And Systems. 1997. Vol. 85, N2. - P. 275-286.

22. Waschek Т., Levegrn S., van'KampenM., Glesner M., Engenhart-Cabillic R., Schlegel W. Determination of target volumes for three-dimensional radiotherapy of cancer patients with a fuzzy system // Fuzzy Sets And Systems. 1997. Vol. 89, N3. - P. 361-370.

23. Нурманганбетова M.O., Применение методов принятия решений на основе нечетких множеств в медицине // "Новости науки Казахстана", экспресс информация. 1994.

24. Marin R., Mira J. On knowledge-based fuzzy classifiers: A medical case study // Fuzzy Sens and Sistems. 1991. Vol. 44, N3. - P. 421-430.

25. Fathi M., Lambrecht M. EBFLATSY: A fuzzy logic system to calculate and optimize parameters for an electron beam welding machine // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 69, N1. - P. 3-13.

26. Trauwaert E., Reynders R., T. Van Roy Fuzzy optimization and nuclear production processes // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. -Vol. 74, N1. P. 93-102.

27. Van de Walle В., De Baets В., Kerre E. E. Fuzzy multi-criteria analysis of cutting techniques in a nuclear reactor dismantling project // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 74, N1. - P. 115-126.

28. Kitainik L. M. Cut technique in valued relational systems: mainsprings and applications // Fuzzy sets and Sistems. 1995. Vol. 75, N2. - P. 143-164.

29. Nogueira M., Nandigam F. Why Intervals? Because if we allow other sets, tractable problem become intractable // Reliable Computing. 1998. Vol. 4. - P. 389-394.

30. Ляпин. E. С. Полугруппы. M.: Гос. из-во ф.-м. лит-ры. 1960.

31. Bellman R., Giertz M. On the analytic formalism of the theory of fuzzy sets // information Sciences. 1974. Vol. 5. - P. 149-157.

32. Dombi J. A general class of fuzzy operators, the De Morgan class of fuzzy operators and fuzziness measures induced by fuzzy operators // Fuzzy Sets and Sistems. 1982. Vol. 8. - P. 55-73.

33. Dubois D., Prade H. A class of fuzzy measures based on triangular norms // Int. G. General Systems. 1982. Vol. 8. - P.43-61.

34. Klement E.P. Construction of fuzzy ст-algebras using triangular norms // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1982. Vol. 85. - P. 543-565.

35. Butnariu D., Klement Б. P., Zafrany S. On triangular norm-based propositional fuzzy logics // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 69, N3. - P. 241-255.

36. Hong D. H. A note on t-norm-based addition of fuzzy intervals // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 75, N1. - P.73-76.

37. Mesiar R. Triangular-norm-based addition of fuzzy intervals // Fuzzy Sets and Sistems. 1997. Vol. 91, N2. - P. 231-237.

38. Buckley J. J., Siler W., A new t-norm //' Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 100, N1. - P. 283-290.

39. Klement E. p., Navara M. A survey on different triangular norm-based fuzzy logics // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 101, N2. - P. 241-251.

40. Mesiar R., Navara M. Diagonals of continuous triangular norms // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol 104, N1. - P. 35-41.

41. Negoita C.V., Minou S., Stan E. On considering imprecision in dynamic linear programming // ECEESR. 1976. Vol. 3. - P. 83-95.

42. Тарасов В.Б. О соотношении различных подходов к описанию нечетких понятий / В кн.: Управление при наличии расплывчатых категорий: Тезисы 6 научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС. 1983. С. 41-45.

43. Мс Vicax-Whelan P. J. Fuzzy and multivalued logic // 7th International Symposium on Multivalued Logic, N. C. 1977. P. 98-102.

44. Goguen J. A. L-fuzzy sets // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1967. Vol. 18. - P. 145-174.

45. Wechler W. Analyse and synthese zeitvariabler R-fuzzy automaten // ZKJ Information. 1974. Vol. 1. - P. 32-366.

46. Ralescu D. A. Fuzzy subobjects in a category and the theory of C-sets // Fuzzy Sets and Sistems. 1978. Vol. 1. - P. 193-202.

47. De Luca A., Termini S. Entropy of L-fuzzy sets // Information and Control. 1974. Vol. 24. - P. 55-73.

48. Koczy L. Vector-valued fuzzy sets // BUSEFAL. 1980. P. 41-57.

49. Kaufmann A. Progress in modelling of human reasoning by fuzzy logic / In: Fuzzy Automata and Decision Processes / Ed. by M. M. Gupta, G. Saridis, B. Gaines. Amsterdam: North-Holland. 1977. P. 11-16.

50. Wong С. K. Fuzzy points and local propertiesof fuzzy topology // J. Math. Anal., Appl. 1974. Vol. 46. - P. 316-328.

51. T Kudri S. R. Countability in L-fuzzy topology // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 71, N2. - P. 241-249.

52. Dang S., Behera A. On fuzzy compact-open topology // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. Vol. 80, N3. - P. 377-381.

53. Cuchillo-Ibanez E., Tarres J. On zero dimensionality in fuzzy topological spaces // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. Vol. 82, N3. - P. 361-367.

54. Mukherjee A. Some more results on induced fuzzy topological spaces // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 96, N2. - P. 255-258.

55. El-Saady K., Bakeir M. Y. Separation axioms in fuzzy topological ordered spaces // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 98. N1.- P. 211-215.

56. Demirci M. Three topological structures of smooth topological spaces // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 101, N1. - P. 185-190.

57. Georgiou D. N., Papadopoulos В. K. Convergences in fuzzy topological spaces // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 101, N3.- P.495-504.

58. Добрица В.П. Нечеткие алгебры как модели булевозначной логики // Материалы 4-ой международной конференции по прикладной логике, Иркутск. 1995. - С. 25-26.

59. Malic D.S., Mordeson John N., Nair P.S. Fuzzy normal subgroups in fuzzy subgroups //J. Korean Math. Soc. 1992. Vol. 29, N1.- P. 1-8.

60. Абдухаликов К.С., Туленбаев М.С., Умирбаев У.У. О нечетких базисах // Алгоритмические вопросы в алгебре и теории моделей. Алматы. 1995. - С. 35-43.

61. Lubczonok P. Fuzzy vector spaces // Fuzzy Sets and Sistems. 1990. Vol. 38. - P. 329-343.

62. Yeh R. T., Bang S. Y. Fuzzy relations, fuzzy graphs and their applications to clustering analysis / In: Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes / Ed. by L.A.Zadeh et fl., N.Y.: Academic Press. 1975. P. 125-149.

63. Ruspini E. H. A new apprach to clustering // Information and Control. 1969. Vol. 15. - P. 22-32.

64. Ruspini E. H. Numerical methods for fuzzy clustering // Information Sciences. 1970. Vol. 2. - P. 319-350.

65. Tamura S., Yiguchi S., Tanaka K. Hfttern classification based on fuzzy relations // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. 1971. Vol. SMC-1. - P. 61-66.

66. Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. М.: Наука. 1982. - 168 с.

67. Bezdek J.С. Numerical taxonomy with fuzzy sets // Jornal of Mathematical Biology. 1974. Vol. 1. - P. 57-71.

68. Ruspini E.H. A new approach to clustering // Information and Control. 1969. Vol. 15. - P. 22-32.

69. Zadeh L.A. Fuzzy sets and their application to pattern classification and cluster analysis // Information Sciences. 1971. Vol. 3. - P. 177-200.

70. Орловский С.А. Проблемы принятия решения при нечеткой исходной информации. М.: Наука. 1981. - 208 с.

71. Tazaki E., Amagasa M. Structural modelling in a class of systems using fuzzy sets theory // Fuzzy Sets and Sistems. 1979. Vol. 2. - P. 87-103.

72. De'Luca A., Termini S. A definition of a non-probabilistic entropy in the setting of fuzzy sets theory // Information and Control. 1972. Vol. 20. - P. 301-312.

73. Dumitrescu D. Entropy of fuzzy dynamical systems // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 70, N1. - P. 45-57.

74. Chen Y. H., Wang W. Y. Fuzzy entropy management via scaling, elevation and saturation // Fuzzy Sets And Systems. 1998. -Vol. 95, N2. P. 173-178.

75. Mesiar R., Rybrik J. Entropy of fuzzy partitions: A general model // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 99, N1. - P. 73-79.

76. Chen Y. H., Wang W. Y. Fuzzy entropy management via scaling, elevation and saturation // Fuzzy Sets And Systems. 1998. -Vol. 95, N2. P. 173-178.

77. Khare M. Fuzzy -algebras and conditional entropy // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 102, N2. - P. 287-292.

78. Wen-June Wang, Chih-Hui Chiu The entropy change in extension principle // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 103, N1. - P. 153-162.

79. Fan J., Xie W. Distance measure and induced fuzzy entropy // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 104, N2. - P. 305-314.

80. Frank H. A new axiom system of fuzzy logic // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. Vol. 77, N2. - P. 203-205.

81. Virant J., Zimic N. Attention to time in fuzzy logic // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. Vol. 82, N1. - P. 39-49.

82. Xu H., Kwan C. M., Haynes L., Pryor J. D. First-order logic The unity of fuzziness and randomness // Fuzzy Sets And Systems. 1998. - Vol. 93, N2. - P. 185-195.

83. Atanassov K., Gargov G. Elements of intuitionistic fuzzy logic. Part I // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 95, N1. - P. 39-52.

84. Mizumoto M., Tanaka K. Algebraic propeties of fuzzy numbers / In: Proc. IEEE Int. Conf. Cybernetics and Society. 1976. -P.559-563.

85. Dubois D., Prade H. Fuzzy real algebra: some results // Fuzzy Sets and Sistems. 1979. Vol. 2, N4. - P. 327-348.

86. Yager R. R. Fuzzy equations / In: Proc. of IEEE Int. Conf. Decision and Control. 1977. P. 596-600.

87. Yager R. R. On solving fuzzy mathematical relationships // Information and Control. 1979. Vol. 41, N1. - P. 29-55.

88. Saad О. M. Stability on multiobjective linear programming problems with fuzzy parameters // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. -Vol. 74, N2. P. 207-215.

89. Inuiguchi M., Sakawa M. Possible and necessary efficiency in pos-sibilistic multiobjective linear programming problems and possible efficiency test // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 78, N2. - P. 193-202.

90. Huey-Kuo Chen, Huey-Wen Chou Solving multiobjective linear programming problems a generic approach // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. - Vol. 82, N1. - P. 35-38.

91. Buckley J. J., Feuring Т., Hayashi Y. Neural net solutions to fuzzy linear programming // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. -Vol. 106, N2. R 99-111.

92. Sakawa M., Kato K., Interactive decision-making for multiobjective linear fractional programming problems with block angular structure involving fuzzy numbers // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 97, N1. - P. 19-31.

93. Dubois D., Prade H. Sistems of linear fuzzy constraints // Fuzzy Sets and Sistems. 1980. Vol. 3, N1. - P. 327-348.

94. Prade H. Using fuzzy set theory in scheduling problem: a case study // Fuzzy Sets and Sistems. 1972. Vol. 2, N2. - P. 153-165.

95. Иванов B.H., Угодчиков Г.А. Клеточный цикл микроорганизмов и гетерогенность их популяций. Киев: Наук, думка. 1984. - 279 с.101

96. Школьник Е.М. Динамические модели клеточного цикла // в кн. Динамика химических и биологических систем. Новосибирск: Наука. 1989. С. 230-260.

97. Фултон А. Цитоскелет Архитектура и хореография клетки. -М.: Мир. 1986. С. 73-109.

98. Налимов В.В. Вероятностная модель языка-М.: Наука. 1979. 303 с.

99. Арапов М.В. Связь между полисемией и употребительностью слова. / В кн. Лингвистические задачи и обработка данных на ЭВМ. М. 1987. - С. 171-192.'

100. Ахмаяова О.С. Словарь лингвистических терминов. М. Советская энциклопедия. 1996. 608 с.

101. Вежбицкая А. Язык. Культура. Познание. М.: Русские словари. 1996. - 416 с.

102. Александрова З.Е. Словарь синонимов русского языка М.: Русский язык. 1986. - 600 с.

103. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

104. Яхъяева Г. Э. О нечетком отношении следования на нечетких счетных множествах // Поиск, Алматы. 1998. Т. 3. - С. 115120.

105. Яхъяева Г. Э. Одно нечеткое отношение непосредственного следования // Труды конференции по математике, посвященной памяти А. Д. Тайманова. Алматы. 1998. С. 120-123.

106. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О возможных подходах в изучении нечеткости // Материалы годичной научной конференции профессорско-преподавательского состава и аспирантов МП и ВО РК, АГУ им. Абая. Алматы. 1999. С. 58-59.

107. Яхъяева Г. Э. О нечетких функциях от одной переменной // Вестник КазГУ: серия математика, механика, информатика. Алматы. 1999. Т 3, N17, - С. 147-152.

108. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О группах с нечеткими операциями // Материалы международной конференции по математической логике, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Мальцева. Новосибирск. 1999. С. 18-19.

109. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О группах с нечеткими операциями // Вычислительные системы. Новосибирск. 1999, N 165. С.127-138.

110. Яхъяева Г. Э. Изоморфизмы размытых групп // Вестник АГУ: серия физико-математических наук. Алматы. 2000. -N1, С. 90-98.

111. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О гомоморфизмах размытых групп // Тезисы международной конференции "Логика и приложения", посвященной 60-летию академика Ю. Л. Ершова. Новосибирск. 2000. С. 43-44.