Задачи зондирования слоистых сред и восстановление неунимодальных профилей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 04.00.23, кандидат физико-математических наук Нестеров, Иван Анатольевич

• Нестеров, Иван Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нестеров, Иван Анатольевич

Введение.

Глава 1. Обзор задач зондирования слоистых сред.

1.1 Распространение электромагнитных волн в слоистой плазме.

1.2 Постановки прямых и обратных задач зондирования слоистых сред.

1.3 Использование точно решаемых моделей.

1.4 Дифференциальные уравнения, определяющие коэффициент отражения, и их численное решение.

1.5 Методы решения обратной задачи рассеяния.

Глава 2. Прямая задача.

2.1 Метод дельта-потенциалов.

2.2 Приближение, основанное на методе фазовых функций.

2.3 Приближенное решение прямой задачи для больших потенциалов с долинами.

2.4 Краткие выводы.

Глава 3. Обратная задача. Потенциалы малой величины.

3.1 Величина потенциала и её влияние на возможность успешного численного решения обратной задачи.^.

3.2 Метод Гельфанда-Левитана-Марченко.

3.3 Итерационная процедура для решения обратной задачи.

3.4 Краткие выводы.

Глава 4. Обратная задача. Потенциалы большой величины.

4.1 Монотонный гладкий потенциал. Унимодальный потенциал.

4.2 Потенциалы с долинами. Анализ структуры решения прямой задачи и возможности решения обратной задачи.

4.3 Постановка обратной задачи с использованием параметров резонансов и метод её решения.

4.4 Численный эксперимент.

4.5 Краткие выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи зондирования слоистых сред и восстановление неунимодальных профилей»

Многие геофизические среды содержат слоистые структуры: ионосфера, атмосфера, океан и т.д. Для широкого класса задач распространения волн в слоистых средах поведение комплексной амплитуды4 плоской монохроматической электромагнитной волны описывается одномерным уравнением Гельмгольца + к2п2(х,/)и = 0 (0.1) — частота волны, к = 2я//с — волновое число, с — скорость света, п — показатель преломления). Для электромагнитных волн в "холодной" изотропной слоистой плазме оно имеет вид [15,22,46,62] dx' + (k2-q(x,f))u = 0 (0.2) е N{x) где д(х,/) =-Г7-. , л, N(x) — электронная концентрация, v(x) — e0mc{\ + iv(x)/2nf) эффективная частота соударений, ей т — заряд и масса электрона), аналогичный виду стационарного уравнения Шрёдингера в квантовой механике (функцию q(x) называют потенциалом). Помимо квантовой механики, уравнение (0.2) возникает в задачах сейсмики [3,108], а также в оптике и акустике при описании падения плоской волны на слоистую среду под различными углами [12,29,55,67,79,86,119]. Более того, существует замена переменных, переводящая (0.1) в (0.2) для сред без поглощения [67,84]. Близки к (0.1), (0.2) и уравнения, возникающие в задаче электромагнитной разведки [66]. Таким образом, уравнение (0.2) соответствует широкому кругу задач распространения волн в слоистых средах — это задачи радиозондирования ионосферы, радио- и акустического зондирования атмосферы и океана, сейсмики и электромагнитной разведки, а также задачи зондирования лабораторной плазмы и полупроводниковых плёнок. 4

Теория обратной задачи рассеяния (ОЗР) для уравнения Шрёдингера на полупрямой была развита в классических работах И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана [14], В.А. Марченко [52-54], М.Г. Крейна [36-37], А.Ш. Блоха [11], И.Кея [100,101] и др. В соответствии с этой теорией по коэффициенту отражения для всех положительных значений волнового числа и характеристикам связанных состояний можно однозначно восстановить действительный потенциал ^(х). В дальнейшем этот результат был обобщен для задачи на всей прямой [70,88,107], для комплексных потенциалов на полупрямой [51], и для действительных потенциалов со степенной зависимостью от энергии [26]. Альтернативные методы решения ОЗР (методы послойного восстановления) были предложены Б.Н. Захарьевым [24-26], П. Дейфтом и Е. Трубовицем [88], И. Ченом и В. Рохлиным [84].

Схожие по постановке, задачи зондирования слоистых сред (слоистой плазмы) имеют ряд отличий от классической ОЗР. Во-первых, в квантовой механике потенциал — действительная функция, а в задачах распространения волн при учёте поглощения он должен быть комплексным. Обобщение метода Гельфанда-Левитана-Марченко (ГЛМ) на случай комплексных потенциалов для задачи на полуоси было получено в [51], при этом требуется знание коэффициента отражения в нефизической области отрицательных частот. Во-вторых, в задачах распространения волн потенциал может зависеть от частоты. Обобщение методов ОЗР было получено [26] лишь для степенной зависимости от энергии при условии действительности потенциала. И в-третьих, наиболее существенная особенность задач распространения волн состоит в том, что в них потенциал может иметь весьма большую величину. (Под безразмерной величиной потенциала будем понимать произведение характерного значения потенциала д0 на квадрат его характерной ширины А, т.е. д0А2, или, что практически тоже самое, квадрат его ширины, выраженной в длинах волн на критической частоте.) Так, для полных ионосферных профилей (слой Р) величина потенциала составляет 109 -10й, для слоя Е — 10б -Ю7, а для спорадических слоев Ег — 1-Ю4. Большая величина потенциала приводит к тому, что традиционные методы решения ОЗР оказываются непригодными для задач зондирования слоистых сред, так как с ростом величины потенциала погрешности вычислений начинают лавинообразно нарастать.

Таким образом, при решении обратной задачи зондирования слоистых сред возникают следующие проблемы: учёт поглощения (комплексность потенциала), учёт зависимости потенциала' от частоты и численное решение задачи для больших потенциалов, когда вычисления неустойчивы.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов решения задачи дистанционного радиозондирования ионосферной плазмы и математически эквивалентых ей задач зондирования слоистых сред в геофизике (а также в квантовой механике, оптике и т.д.) для случаев малых и больших, неунимодальных (имеющих более одного максимума) и комплексных (с учётом поглощения) потенциалов.

Научная новизна и практическая ценность работы. В работе развиты новые методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач зондирования слоистых сред и исследованы путем численного эксперимента области применимости различных методов решения обратных задач (приближенных, итерационных, метода ГЛМ и др.). Практическая ценность работы определяется возможностью применения предложенных в ней методов к широкому кругу задач дистанционного зондирования в геофизике, а также в оптике, акустике, квантовой механике (задачи радиозондирования ионосферы, радио- и акустического зондирования атмосферы и океана, а также зондирования лабораторной плазмы, полупроводниковых плёнок и т.д.).

В первой главе работы даётся обзор задач, аналогичных ОЗР и краткий очерк истории проблемы. Во второй главе рассматриваются методы решения прямой задачи, в ней представлены новые приближенные решения прямой задачи для малых комплексных потенциалов и для больших действительных потенциалов с долинами, а также эффективный численный метод решения прямой задачи. В третьей главе рассматриваются методы решения обратной задачи для потенциалов не слишком большой величины и обсуждаются области применимости этих методов. Построена итерационная процедура решения обратной задачи для весьма широкого класса комплексных потенциалов небольшой величины (дА2 <3). В четвёртой главе рассмотрены особенности решения обратной задачи в случае больших потенциалов. Для профилей с долиной исследуется возможность решения обратной задачи и вскрываются причины трудностей при восстановлении больших потенциалов. Предлагается метод решения обратной задачи для больших действительных потенциалов с долинами, основанный на приближённом решении прямой задачи, полученном во второй главе.

Новые результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать в виде следующих положений, выносимых на защиту.

1. Предложен простой (вычисления производятся по рекуррентной формуле) метод решения прямой задачи, основанный на приближении потенциала набором дельта-функций.

2. Разработана итерационная процедура, позволяющая при использовании минимальной информации и без больших вычислительных затрат восстанавливать финитные потенциалы не слишком большой величины (дА2 < 3), в том числе комплексные. Также получено обобщение этой итерационной процедуры для весьма широкого класса комплексных потенциалов, зависящих от частоты.

3. Предложен метод приближенного решения прямой задачи для больших неунимодальных потенциалов. Построено аналитическое выражение для коэффициента отражения в случае большого потенциала с долиной, которое хорошо приближает резкие изменения фазы коэффициента отражения на 2ж в узких частотных интервалах вблизи квазисвязанных состояний в долине, что соответствует резонансным пикам для производной фазы коэффициента отражения по частоте (так называемым резонансам групповых задержек). Получены количественные оценки ширины и высоты этих резонансов.

4. Получены принципиальные ограничения на возможность восстановления структуры неунимодальных профилей. Показано, что для достаточно больших барьеров перед долиной далеко не все резонансы групповых задержек могут регистрироваться в эксперименте, так как их ширина (по частоте) уменьшается с экспоненциальной скоростью с ростом барьера, а значит полностью восстановить структуру долины практически невозможно.

5. На основе приближенного решения прямой задачи для большого потенциала с долиной построен алгоритм решения обратной задачи в случае, когда параметры резонансов известны.

Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных конференциях. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ: [39-42, 58, 59, 102, 103].

В работе принята тройная нумерация формул и рисунков: первое число соответствует номеру главы, второе — номеру пункта и третья — номеру формулы или рисунка в соответствующем пункте.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Нестеров, Иван Анатольевич

Основные выводы и результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Предложен эффективный и простой для реализации метод численного решения прямой задачи, основанный на представлении потенциала набором дельта-функций.

2. Важной характеристикой потенциала, существенно влияющей на решение обратной задачи, является безразмерная величина потенциала — произведение характерного значения потенциала на квадрат его ширины. Для потенциалов малой величины (дА2 <10) успешно работают такие классические методы решения ОЗР, как метод ГЛМ или приближение коэффициента отражения дробно-линейной функцией, в то же время для потенциалов большой величины (дгЛ2 >10 — 100) эти методы оказываются непригодными.

3. Для малых финитных потенциалов предложены новое приближённое решение прямой задачи и основанная на этом приближении итерационная процедура для решения обратной задачи. Итерационная процедура обладает рядом важных достоинств: необходимый объём исходных данных существенно меньше, чем необходимо для численной реализации метода ГЛМ, возможен учёт поглощения и, одновременно, зависимости потенциала от частоты, что позволяет описывать магнитоактивную плазму ионосферы. Численный эксперимент показал, что итерационная процедура сходится при величине потенциала меньше или порядка трёх, что приблизительно соответствует толщине порядка 100 м для спорадических ионосферных слоёв, 10ч -10"3 м для лабораторной газовой плазмы, 1-100 мкм для полупроводниковых плёнок.

4. В случае потенциалов большой величины важная для решения обратной задачи информация об участках потенциала позади максимумов может заключаться в экспоненциально малых вариациях данных рассеяния, либо быть локализованной в экспоненциально (по величине потенциала) узких частотных интервалах, что приводит к потере этой информации за счет неизбежных погрешностей исходных данных.

5. Для исследования поведения коэффициента отражения для больших плавно меняющихся неунимодальных действительных потенциалов с долинами предложено приближённое решение прямой задачи, качественно и количественно хорошо согласующееся с результатами численного решения прямой задачи — в области долины наблюдаются резонансы групповых задержек, т.е. узкие пики производной по частоте фазы коэффициента отражения. На основе анализа приближённого решения получены оценки ширины резонансов по частоте, показывающие, что для достаточно больших потенциалов можно зарегистрировать лишь несколько первых резонансов, тогда как остальные, необходимые для восстановления долины резонансы не могут быть выявлены из-за того, что их ширина экспоненциально быстро убывает при понижении частоты ниже критической частоты долины. Для потенциалов типа Е-Р-слоёв ионосферы все характеризующие долину резонансы не могут быть зарегистрированы, что делает восстановление структуры долины практически невозможным.

6. На основе приближённого решения прямой задачи разработан метод решения обратной задачи для больших плавно меняющихся действительных потенциалов с долиной. Если параметры всех характеризующих долину резонансов известны, то потенциал может быть успешно восстановлен, что было продемонстрировано с помощью численного эксперимента. ^

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нестеров, Иван Анатольевич, 1998 год

1. Абловиц М, Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 478 с.

2. Агранович З.С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков: Изд-во Харьковского государственного университета, 1960. 268 с.

3. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. Пространственная задача для волн типа SH. // Известия АН СССР, серия геофизическая. 1962. № 11. С. 1514-1531.

4. Альберверио С., Гестези Ф, Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.

5. Анютин А.П. Об особенностях искажения AM и 4M сигналов, отражённых от слоя Эпштейна//Изв. вузов. Радиофизика. 1979. Т. 22. № 6. С. 703-710.

6. Анютин А.П. О влиянии неоднородности плазмы на характер искажения AM и 4M сигналов //Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т. 23. № 5. С. 524-528.

7. Арсенин В.Я., Горячев В.А., Загонов В.П. и др. О методе расчёта коэффициентов отражения радиоволн СВ и КВ диапазонов от ионосферы. М.: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша. Препринт №134 за 1978 г. 43 с.

8. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М.: Наука, 1988. 255 с.

9. Барашков A.C., Дмитриев В.И., Костомаров Д.П. К вопросу об обратной задаче вертикального зондирования // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1972. вып. 25. С. 37-49.

10. Барашков A.C. Фазовый метод восстановления немонотонных Я(А)-профилей // Геомагнетизм и аэрономия. 1975. Т. XV. №4, С.655-658.

11. Блох А.Ш. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной матрице-функции//ДАН. 1953. № 92. С. 209-212.

12. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 423 с.

13. Васильев А.Н. Волны в плазме твёрдого тела. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 99 с.

14. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. математ. 1951. Т. 15. № 4 С.309-360.

15. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.684 с.

16. Годин O.A. Об отражении плоских волн от слоистого полупространства // ДАН СССР. Т. 255. № 5. С. 1069-1072.

17. Годин O.A. Примеры расчета отражения плоской волны от слоистых сред // Вопросы дифракции элекромагнитных волн: Сб. научн. тр. / МФТИ. М., 1982.1. С.107-114.

18. Голант В.Е. Сверхвысокочастотные методы исследования плазмы. М.: Наука, 1968.327 с.

19. Гусев В.Д., Жидовленко И.Ю., Приходько Л.И. Отражение и рассеяние радиоволн в ионосферном спорадическом слое Es И Радиотехника. 1986. № 6. С. 71-73.

20. Гусев В.Д., Приходько Л.И. Отражение радиоволн от неоднородных ионосферных слоёв с поглощением // Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах. Тезисы докладов. М., 1994. С. 34-35.

21. Днестровский Ю.П., Костомаров Д.П. Определение плотности ионосферной плазмы с помощью фазового метода // Геомагнетизм и аэрономия. 1966. Т. 6. №1. С.138-140.

22. Дэвис К. Радиоволны в ионосфере. М.: Мир, 1973. 502 с.

23. Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. Дубна, ОИЯИ, 1996. 300 с.

24. Захарьев Б.Н., Мельников В.Н, Рудняк Б.В., Сузько A.A. Обратная задача рассеяния (конечно-разностный подход) // ФЭЧАЯ. 1977. Т. 8. вып. 2. С. 290-330.

25. Захарьев Б.Н., Ниязгулов С.А., Сузько A.A. Приближенные методы в обратной задаче теории ядра//ЯФ. Т. 20. вып. 6. 1974. С. 1273-1281.

26. Захарьев Б.Н., Сузько A.A., Потенциалы и квантовое рассеяние: Прямая и обратная задачи. М.: Энергоатомиздат, 1985. 233 с.

27. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. М.: Мир, 1972. 290 с.

28. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны: Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985.469 с.

29. Кард П.Г. Анализ и синтез многослойных интерференционных фильтров. Таллин:1. Валгус. 1971. 235 с.

30. Карташев В.Г., Скачков В.Л. Метод определения полного профиля электронной концентрации плазмы. // Радиотехника и электроника. 1979. Т. XXIV. №7. 14211463.

31. Керблай Т.С., Минуллин Р.Г., Овезгельдыев О.Г. и др. Спорадический слой Es и его роль в ионосферном распространении радиоволн // XV Всесоюзная конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов. М.: Наука, 1987.1. С. 7-8.

32. Керблай Т.С., Носова Г.Н. Применение аналитических моделей слоя Es при интерпретации ионограмм // Ионосферные модели: Сб. научн. тр. / Наука. М., 1975.1. С. 169-175.

33. Кошелев О.Г., Форш Е.А. Контроль неоднородностей проводимости вблизи поверхности легированных полупроводниковых пластин // Изв. РАН. 1998. №12. (Принята к печати.)

34. Крейн М.Г. О переходной функции одномерной краевой задачи второго порядка // ДАН. 1953. №88. С. 405-408.

35. Крейн М.Г. Об определении потенциала частицы по её ^-функции // ДАН. 1955. №105. С. 433-436. ,

36. Куницын В.Е., Левашов А.Б. Восстановление К(Ь)-профиля ионосферы по данным внешнего и трансионосферного зондирования // Дифракция и распространение волн. М.: МФТИ, 1985. С. 108-113.

37. Куницын В.Е., Нестеров И.А. Восстановление профиля диэлектрической проницаемости плазмы // IV Международная научно-техническая конференция "Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах". Тезисы докладов. М., 1994. С.30-31.

38. Куницын В.Е., Нестеров И. А. Реконструкция профиля диэлектрической проницаемости слоистой плазмы // Вопросы дифракции и распространения волн. М: МФТИ, 1994. С.36^16.

39. Куницын В.Е., Нестеров И.А. Реконструкция профиля электронной концентрации для плазменных слоев различной величины по данным радиозондирования// Вестник МГУ. Физика, Астрономия. 1997. №5. С. 17-21.

40. Куницын В.Е., Смородинов В.А., Усачёв А.Б. Амплитудно- и фазочастотные характеристики отражённых от ионосферы радиоволн // Радиотехника. 1987. № 9. С. 61-63.

41. Куницын В.Е., Смородинов В.А., Усачёв А.Б. Коэффициент отражения радиоволн от немонотоного ионосферного слоя // Дифракция и распространение волн. М.: МФТИ, 1985. С. 87-92.

42. Куницын В.Е., Смородинов В.А., Усачёв А.Б. Отражение радиоволн от произвольного ионосферного слоя // Радиотехника и электроника. 1989. Т.33. №2. С. 233-240.

43. Куницын В.Е., Терещенко Е.Д. Томография ионосферы. М.: Наука, 1991. 175 с.

44. Куницын В.Е., Усачёв А.Б. Коэффициент отражения радиоволн от ионосферных слоёв, моделирующих слой Es II Геомагнетизм и аэрономия. 1988. Т.28. № 5.1. С. 855-857.

45. Куницын В.Е., Усачёв А.Б. Отражение радиоволн от немонотоных ионосферных слоёв // Изв. вузов. Радиофизика. 1990. Т. 33. № 3. С. 267-273.

46. Куницын В.Е., Усачёв А.Б. Расчёт ионограмм вертикального зондирования слоистой ионосферы // Геомагнетизм и аэрономия. 1993. №1. С. 145-148.

47. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989. 767 с.

48. Лянце В.Э. Несамосопряженный дифференциальный оператор второго порядка на полуоси. // В кн.: Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.:1. Наука, 1969.

49. Марченко В.А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн //ДАН. 1955. С. 695-698.

50. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциальных операторов второго порядка. //ДАН 1950. № 72. С. 457-460.

51. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка. 1 ч. // Труды Моск. матем. о-ва. 1952. № 1. С. 327-420.

52. Метфессель С. Тонкие плёнки, их изготовление и применение. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. 272 с.

53. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 592 с.

54. Намазов С.А., Орлов Ю.И., Фёдоров Н.Н. Искажения радиоимпульсов при отражении от области максимума ионосферного слоя // Радиотехника и элекроника. 1984. Т. 29. №4. С. 608-619.

55. Нестеров И.А. Восстановление профиля диэлектрической проницаемости для толстых плазменных слоев // Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов -96". Секция "Физика". 1996. С. 208.

56. Нестеров И.А. Задача восстановления профиля электронной концентрации для плазменных слоёв с долиной // Труды XI Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. М., МГУ, 1998. С. 237-238.

57. Овезгельдыев О.Г. , Келов Г А. О некоторых особенностях отражения радиоволн от слоя Es //Изв. вузов. Радиофизика. 1975. Т. 18. № 12. С. 1794-1800.

58. Орлов Ю.И., Фёдоров H.H. О границе применимости асимптотического описания полей радиоимпульсов вблизи критической частоты // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27. №9. С. 1130-1135.

59. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела. М.: Мир, 1975.436 с.

60. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М.: Мир, 1994. 494 с.

61. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган, М.:1. Наука, 1979. 832 с.

62. Среднеширотный спорадический слой Е ионосферы / Чавдаров С.С., Часовитин Ю.К., Чернышёва С.П. и др., М.: Наука, 1975. 120 с.

63. Тихонов А Н. К математическому обоснованию теории элекромагниггных зондирований // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. № 3. С.541-549.

64. Тихонравов A.B. Амплитудно-фазовые свойства спектральных коэффициентов слоистых сред // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 1985. Т. 25. С. 442-450.

65. Усачёв А.Б. Отражение радиосигналов от слоистой ионосферы с учётом волновых явлений: Дис. . канд. ф.-м. наук. М., 1988. 138 с.

66. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // УМН. 1959. Т. XIV. вып. 4(88). С. 58-119.

67. Фаддеев Л.Д. Свойства ¿'-матрицы одномерного уравнения Шрёдингера // Труды Мат. Инст. Стеклова. 1964. Т. 73. С. 314-336.

68. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 352 с.

69. Фелсен Л., Маркувиц И. Излучение и рассеяние волн. Т.2. М.: Мир, 1978. 555 с.

70. Худак Ю.М., Гласко В.Б. Аддитивные представления характеристик слоистой среды и проблема единственности обратных задач // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 1980. Т. 20. С. 482-490.

71. Черкашин Ю.Н., Рутковский B.C. Почти безотражательные потенциалы в задачах дифракции // Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах. Тезисы докладов. М., 1994. С. 23-24.

72. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Наука, 1969. 592с.

73. Abraham Р.В., DeFacio В., Moses Н.Е. Parity-dependent potentials for the one-dimensional Schrodinger equation obtained from inverse spectral theory // J. Phys. A: Math. Gen. 1983. N 16. p. 303-316.

74. Ambartsumian V. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie. // Zeitschrift fur Physik. 1929, V. 53, p. 690-695.

75. Bargman V. Remarks on the determination of a central field of force from the elastic scattering phase shift // Phys. Rev. 1949. V. 75. p. 301.

76. Bolomey J.-C., Lesselier D., Pichot C., Tabarra W. Spectral and Time Domain Approaches to Some Inverse Scattering Problems // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1981. V. AP-29. N 2. p. 206-212.

77. Bordner A.J. Operator transformation between exactly solvable potentials and the Lie group generators//!. Phys. A. 1997. V. 30. N 11. p. 3927-3936.

78. Borg G. Uniqueness theorems un the spectral theory of у" + (A, q(x))y = 0. // Onzieme congres des mathematiciens scandinaves tenu a Troudheim le 22-25 a£nt 1949. p. 276-287.

79. Case K.M. On discrete inverse scattering problems. II. // J. Math. Phys. 1973. V. 17. N7. p. 916-920.

80. Chan C.K., Lu P. Construction of a symmetric potential barrier from tunneling tramsmission coefficients //Phys. Rev. A. 1980. V. 22. N 5. p. 1869-1871.

81. Chen Y., Rokhlin V. On the inverse scattering problem for the Helmholtz equation in one dimension // Inverse Problems. 1992. N 8. p. 365-391.

82. Coen S. Exact Solution to an Inverse Scattering Problem // AP-S Session 20. p. 578-580.

83. Coen S., Mai K.K., Angelakos D.J. Inverse Scattering Technique Applied to Remote Sensing of Layered Media // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1981. V. AP-29. N 2. p. 298-306.

84. Coutinho F.A.B., Nogami Y., Perez J.F. Generalized point interactions in one-dimensional quantum mechanics// J. Phys. A. 1997. V. 30. N 11. p. 3927-3936.

85. Deift P., Trubowitz E." Inverse scattering on the line // Comm. Pure Appl. Math. 1979. V. XXXII. p. 121-251.

86. Epstein P. Reflection of waves in an inhomogeneous absorbing medium // Proc. Nat. Sei. USA. 1930. V. 16. p. 627.

87. Fosterling K. Uber die Ausbreitung electromagnetischer Wellen in einem magnetisieren Medium bei senkrechter Inzidenz. // Hochfrequenz-technik und Elelktroakustik. 1942. V.59. Januar, p. 11-22.

88. Fr odberg C.E. Calculation of the interaction between two particles from the asymptotic phase // Phys. Rev. 1947. V.72. p.519.

89. Ginocchio J.N. A class of exactly solvable potentials. 1. One-dimensional Shrodinger equation // Annals of Physics. 1984. V. 152. p. 203-219.

90. Holmberg B. A remark on the uniqueness of the potential determined from the asymptotic phase // Nuovo Cimento 1952. V.9. p.597.

91. Hylleraas E.A. Calculation of a perturbing central field of force from the elastic scattering phase shift//Phys. Rev. 1948. V.74. p. 301.

92. Ivanov I. A. WKB quantization of the Morse Hamiltonian and periodic meromorphic functions//! Phys. A. 1997. V. 30. N 11. p. 3977-3982.

93. Jordan A.K., Ahn S. Inverse scattering theory and profile reconstruction // PROC. IEE 1979. V. 126. N 10: p. 945-950.

94. Jost R., Kohn W. Construction of a potential from phase shift // Phis Rev. 1952. V.87. p. 979.

95. Jost R., Kohn W. Equivalent Potentials // Phis Rev. 1952. V. 88. N 2. p. 382-386.

96. Jost R., Kohn W. On the relation between phase shift, energy levels and the potential // Kgl. Danske Videnskab Selskab mat.-fys. medd. 1953. V. 29. N 9.

97. Key I. The inverse scattering problem // Res. Rep. 1955. No. EM-74.

98. Kunitsyn V.E., Andreeva E.S., Nesterov I.A., Razinkov O.G. Possibilities, perspectives and limitation of ionospheric studies by tomographic methods // Ionosperic Effect Symposium. Proceedings. Washington, 1996. p. 25-32.

99. Kunitsyn V.E., Nesterov I.A. Inverse problems of electromagnetic probing of layered plasma // XXV General Assembly URSI. Abstracts. Lille, 1996. p.75.

100. Levinson N. Certain explicit relation between phase shift and scattering potential. //Phys. Rev. 1953. V. 89. p. 755-757.

101. Levinson N. On the uniqueness of the potential in a Schroedinger equation for a given asymptotic phase // Kgl. Danske Videnskab Selskab mat.-fys. medd. 1949. V. 25. N 9.

102. Miller K.L., Smith L.G. Reflection of radio waves by sporadic-^ layers // J. Atmos. Terr. Phys. 1977. V. 39. p. 899-911.

103. Newton R.G. Inverse scattering. I. One dimension. // J. Math Phys. 1980. V. 21. N 3. p.493.505.

104. Newton R.G. Inversion of reflection data for layered media: a review of exact methods // Geophys. J. R. astr. Soc. 1981. 65. p. 191-215.

105. Newton R.G., Jost R. The Construction of Potentials from the ¿'-matrix for Systems of Differential Equations // II Nuovo Cimento 1955 V. 1. N 4. 590-622.

106. Nygren T. A simple method for obtaining reflection and transmission coefficients and field for an electromagnetic wave in a horizintally stratified ionosphere // Astrophys. Space Sci. 1981. V. 29. N5. p. 521-528.

107. Pechenick K.R., Cohen J.M. Exact class of inverse scattering solutions // Phys. Lett. 1981. V. 82A.N 4. p. 156-160.N

108. Pechenick K.R., Cohen J.M. Exact solutions to the valley problem in inverse scattering // J. Math Phys. 1983. V. 24. N 2. p. 406-409.

109. Pechenick K.R., Cohen J.M. Inverse scattering exact solution of the Gelfand-Levitan equation//J. Math Phys. 1981. V. 22. N 7. p. 1513-1516.

110. Pechenick K.R., Cohen J.M. Inverse scattering with coinciding-pole reflection coefficients // J. Math Phys. 1983. V. 24. N 1. p. 115-119.

111. Reilly M.H., Jordan A.K. The applicability of an inverse method for reconstruction of electron-density profiles // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1981. V. AP-29. N 2. p. 245252.

112. Rydbeck O. The reflection of electromagnetic waves from a parabolic layers // Phil. Mag.1943. V. 34. p. 342.

113. Samsonov B.F. On the equivalence of the integral and the differential exact solution generation methods for the one-dimensional Schrodinger equation // J. Phys. A. 1995. V.

114. Vogelzang E., Yevick D., Ferwerda H.A. A numerical procedure for solving the inverse scattering problem for stratified dielectric media // Optics comm. 1983. V. 45. N 6. p. 376379.

115. Vollmer G. Inverse problem in Atom-Atom Scattering inWKB Approach // Z. Physik.1969. 226, p. 423-439.

116. Zang D.Y. A new method of calculating the transmission and reflection coefficients and fields in a magnetized plasma layer // Radio Sci. 1990. V. 26. N 6. p. 1415-1418.