Задачи смешанного управления для линейных распределенных систем соболевского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Исламова, Анна Фаридовна

• Исламова, Анна Фаридовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Исламова, Анна Фаридовна

Обозначения и соглашения

Введение

Глава I

1.1. Функциональные пространства

1.2. Относительно р-секториальные и р-радиальные операторы

1.3. Сильное решение задачи Коши

1.4. Линейная задача управления

Глава II

2.1. Задачи управления с компромиссным функционалом

2.2. Задачи управления с функционалом со слабой нормой функции состояния.

2.3. Задачи с жестким управлением.

2.4. Задачи жесткого управления со слабой нормой функции состояния.

2.5. Смешанное управление для функционала с нормой графика

2.6. Случай относительно р-радиального оператора

Глава III

3.1. Начально-краевая задача для уравнения переходных процессов в полупроводниках.

3.2. Смешанное управление уравнением, описывающим переходные процессы в полупроводнике

3.3. Начально-краевая задача, для уравнения Дзекцера

3.4. Задачи оптимального управления для уравнения Дзекцера

3.5. Задачи оптимального управления для уравнения с многочленами от эллиптического самосопряженного оператора

3.6. Линеаризованная система уравнений фазового поля с нулевым временем релаксации.

3.7. Задачи управления для линеаризованной системы уравнений фазового поля.

3.8. Линеаризованная система уравнений Буссинеска.

3.9. Задача смешанного управления для линеаризованной системы Буссинеска.

Глава IV

4.1. Сопряженная задача для уравнения переходных процессов в полупроводнике

4.2. Критерий оптимальности для уравнения, описывающего переходные процессы в полупроводнике.

4.3. Сопряжённая задача для системы уравнений фазового поля

4.4. Критерий оптимальности для системы уравнений фазового поля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи смешанного управления для линейных распределенных систем соболевского типа»

В гильбертовых пространствах X, У и Ы будут рассмотрены задачи оптимального управления системами, состояние которых описывается уравнением

Ьх(е) = Мх{Ь)+у(Ь) + Ви(г)у (0.1) не разрешенным относительно производной по времени, и определяется начальным условием ж(0) = v. (0.2)

Здесь Ь £ £(Х;У), кет Ь ф {0}, М е С1(Х;У), В е С(Ы;У), функции и : [0,Т] -> 14, у : [0,Т] Т £ М+. Назовем сильное решение х <Е Нг(Х) задачи (0.1), (0.2) состоянием системы (0.1), (0.2). При фиксированном у воздействие на систему (0.1), (0.2) производится с помощью варьирования функций и, у, назывемых управлением или функциями управления. Поскольку управляющее воздействие входит в управляемую систему в качестве начального значения (стартовое управление) и функции в правой части уравнения (0.1) (распределенное управление), то такое управление назовем смешанным. Возникающие в задачах естественные ограничения на функции и, у приводят к появлению некоторого множества Яд, называемого множеством допустимых управлений, и соответствующего условия задачи управления щу)еИд. (0.3)

Условие минимизации функционала качества (или стоимости) в задаче управления запишем в виде и, у) т£. (0.4)

Тройка (х,и,у) называется допустимой для задачи (0.1) - (0.4), если она удовлетворяет условиям (0.1) - (0.3). Множество всех допустимых пар обозначим через 2П. Задача оптимального управления заключается в отыскании такой допустимой тройки (х, й, г)), для которой выполняется соотношение

J(x,й,v) = ш£ Лх,и,у). х,и,у)€%В

В работе рассматриваются различные функционалы стоимости вида т/ \ 1|| ~ м2 II ~и2 и ~п2

3{х, и, v) = -\\х - х\\нгчх) + —\\и - и\\нг2{и) + —\\у - у\\х, где п £ {0,1}, г2 £ N0, V £ X - заданный вектор, ж, и - заданные функции, N1, N2 > 0, Из ~ непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений НГ2(Ы) х X.

При некоторых естественных предположениях на операторы Ь и М, гарантирующих существование аналитической в секторе разрешающей полугруппы уравнения Ьх{Ь) = Мх({), задача (0.1), (0.2) является абстрактной формой многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании и технике [18, 80, 126]. При этом заметим, что в приложениях часто более естественным оказывается вместо условия Коши (0.2) рассматривать так называемое обобщенное условие Шоуолтера [140, 142]

Рх{ 0) = V, (0.5) где Р - проектор, являющийся единицей упомянутой полугруппы операторов.

Целью данной работы является исследование разрешимости описанных задач оптимального управления при различных п, г2 в случаях N^N2 > 0 и N1 — N2 — 0 (случай жесткого управления). При этом взаимосвязанные параметры Г\ и Г2 берутся по возможности минимальными в целях ослабления требований на гладкость функций состояния и, соответственно, управления. Увеличение одного из этих параметров в рассмотренных задачах позволяет уменьшить другой без потери функционалом стоимости свойства коэрцитивности. Особенности же вырожденного уравнения (0.1) таковы, что взять одновременно П = 0 и Г2 = 0 без потери коэрцитивности не представляется возможным.

Отметим, что задача смешанного управления не сводится к обычной задаче распределенного управления с ограниченным оператором В при управлении. Действительно, после замены, скажем, Х\{{) = х(1)—у мы получим из (0.1), (0.2) начальное условие £1(0) = 0 и уравнение Ьх\{Ь) = Мх\{1) -\-yit)+ Би(£) + Му, в котором распределенное управление Ви(Ь) + Му можно привести к виду В\{и(Ь), у), где матричный оператор В\ = (В, М) является на используемом в большинстве случаев пространстве управлений НР+1(Ы) х X неограниченным в силу неограниченности оператора М.

Полученные результаты используются при исследовании задач оптимального управления для неразрешенных относительно производной по времени линейных распределенных систем, встречающихся в математической физике, таких, как линеаризованная система Бусси-неска, линеаризованная система уравнений фазового поля с нулевым временем релаксации, уравнение переходных процессов в полупроводнике, уравнение Дзекцера эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости и др.

Историография вопроса

В настоящее время одной из важных областей практического использования математики является теория оптимального управления. С развитием науки и техники люди имеют дело со все более сложными системами и процессами, которыми необходимо управлять. Вместе с этим растет сложность задач математической теории оптимального управления.

Некоторые управляемые объекты можно характеризовать в каждый момент времени конечным набором параметров. Это так называемые объекты с сосредоточенными параметрами, они описываются системами обыкновенных дифференциальных или дифференциально-разностных уравнений. Бурное развитие теории управления системами с сосредоточенными параметрами во многом связано с использованием принципа максимума JI.C. Понтрягина [77], методов динамического программирования [3, 94], с результатами H.H. Красовского и его школы, касающимися классической ¿-проблемы моментов, теории игр и др. [1, 43, 44, 45, 49, 97, 99, 143].

В то же время для эффективного управления многими реальными объектами необходимо их рассматривать как объекты с распределенными параметрами, то есть объекты, состояние которых в каждый момент времени характеризуется функциями распределения. В этом случае возникают задачи оптимального управления для систем дифференциальных уравнений в частных производных - распределенных систем. Дать хоть сколько-нибудь полный обзор по теории управления распределенными системами не представляется возможным. О многообразии сфер применения этой теории, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами [8/9, 20, 21, 57], с теорией игр и задачами позиционного управления [33, 37, 64, 65, 67, 68], с обратными задачами динамики управляемых систем [28, 35, 36, 47, 48, 58, 59, 60, 61, 66]:

В монографии Ж.-Л. Лионса [55] исследованы различные задачи оптимального управления для систем, описываемых корректными по Адамару краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптических, гиперболических, параболических, корректных по Петровскому. Для этого состояние системы выражается через управление, и коэрцитивный функционал стоимости становится зависящим лишь от функции управления. Работы [56, 114, 115] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределенных систем, описываемых некорректными краевыми задачами. При этом выразить функцию состояния через функцию управления, вообще говоря, не представляется возможным, и для установления разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем - так называемое условие компактности.

В данной диссертации исследуются задачи смешанного оптимального управления с различными квадратичными функционалами для систем, описываемых задачей Коши (0.2) или обобщенной задачей Шо-уолтера (0.5) для уравнения (0.1) с сильно (£,р)-секториальным оператором М, то есть в Случае существования аналитической в секторе разрешающей полугруппы уравнения !/£(£) = Мх({), кет Ь ^ {0}. Поэтому важными для диссертационной работы являются вопросы однозначной разрешимости задач (0.1), (0.2) и (0.1), (0.5) в смысле сильных решений.

Заметим, что исследования уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешимых относительно старшей производной, во многом обусловленные интересом к системе Навье - Стокса, встречаются еще в работах Пуанкаре [138], Озин [135], Лере, Шауде-ра [130, 131]. Первые систематические исследования начально-краевых задач для таких уравнений были осуществлены С.Л. Соболевым [92, 93], поэтому такие уравнения, в частности уравнение (0.1), часто называют "уравнениями соболевского типа" или "уравнениями типа Соболева" [18, 71, 82, 139]. В контексте данной работы уравнение (0.1), снабженное начальным условием, будем называть распределенной системой управления соболевского типа.

Перечислим некоторые из наиболее существенных на наш взгляд результатов, касающихся уравнений соболевского типа.

Задача Коши для уравнения (0.1) в конечномерном случае (X = У = Rm, L, М - постоянные квадратные матрицы) исследовалась еще К. Вейерштрассом для регулярных и JI. Кронекером для сингулярных пучков матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р. Гантмахера [13, гл. XII].

Ю.Е. Бояринцевым и В.Ф. Чистяковым [4, 5, 6, 116, 117, 118] продолжены исследования конечномерной задачи в случае X — Rn, У = Rm. При этом, вообще говоря, L = L(t), М = M(t). Используются различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных (т Ф п) матриц, понятия левого регуляризующего оператора и индекса системы (см. также [7, 119, 120]).

М.И. Вишиком [10] исследована задача (0.1), (0.2) в случае, когда У - сепарабельное гильбертово пространство, пространство X плотно и непрерывно вложено в У, операторы L и М фредгольмовы, L самосопряженный и положительно определенный. Методом Галерки-на - Петрова установлены существование и единственность решения, кроме того, описана его непрерывная зависимость от данных задачи.

Задачу (0.2) для однородного уравнения (0.1) изучали математики из школы С.Г. Крейна. Продолжая традицию, восходящую к К. Вейер-штрассу и JI. Кронекеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка М + ¡iL [24, 46].

А.П. Осколковым [69, 70] исследована разрешимость в пространствах Соболева и в пространствах Гельдера начально-краевой задачи w(x,0) = и>о(х), iGfi, w{x,t) = 0, (x,t) едйх (О,Т), для системы уравнений

Л - А )wt - vA w + ур = /, V • w = О в цилиндре Q х (О, Т). Здесь Мп, р:Пх (О, Т) М,

I/ > О, А > — Ai, Ai - наименьшее собственное число спектральной задачи

Av = Xv, • v = 0, v =0. dfl

Отметим работы H.A. Сидорова и его учеников - O.A. Романовой, М.В. Фалалеева и др. [89, 90, 91, 100]. В них исследуется задача Ко-ши. для уравнения (0.1) в банаховом пространстве с замкнутым фред-гольмовым оператором L, замкнутым оператором М в предположении, что оператор L имеет полный М-жорданов набор. Обобщенное решение уравнения (0.1) построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятий псевдообратного, фундаментального операторов.

Заметим также что R.E. Showalter [140] и H.A. Сидоров [89] независимо друг от друга рассматривали начальную задачу

Lx(0) = Lx0 (0.6) для уравнений соболевского типа. Задача (0.1), (0.6) в точности совпадает с задачей (0.1), (0.5) в случае, когда оператор М сильно (L, 0)-секториален, то есть когда разрешающая полугруппа однородного уравнения (0.1) вырождается только на ядре оператора L.

А.И. Кожанов [32], распространяя теорию уравнений в частных производных составного типа на уравнения нечетного порядка, в частности рассматривает уравнения вида

I-A)ut = Bu + f(x,t), где А, В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах Л и Б. В работе [29] А.Й. Кожанов сформулировал корректную постановку начально-краевой задачи для уравнения Ащ + Bu = /(х, t), где А, В - эллиптико-параболические дифференциальные (по х) операторы второго порядка, а оператор А 4- В эллиптичен. Получены теоремы о разрешимости такой задачи и о поведении решений на бесконечности. Отметим также работы [30, 31].

Монография Г.В. Демиденко и C.B. Успенского [18] содержит систематическое изложение результатов цикла работ авторов, касающихся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. В частности, с использованием методов построения приближенных решений и получения Lp-оценок решений [16, 17] изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского типа.

В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, C.B. Попова [22] на основе результатов исследования соответствующих спектральных задач изучается разрешимость некоторых классов уравнений вида (0.1) с самосопряженными операторами L, М.

Нельзя не упомянуть о работах А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова и их соавторов ([38, 39] и др.). Монографии [40, 41, 80] (см. многочисленные ссылки там же) посвящены исследованию проблем глобальной по времени разрешимости и разрушения за конечное время решений начальных и начально-краевых задач для различных классов линейных и нелинейных уравнений соболевского типа.

Современное состояние области исследования

В монографии [124] исследованы задачи оптимального управления для невырожденных распределенных систем (0.1), т. е. в случае бесконечномерного пространства X — У — U, L = В = I. Рассмотрены задачи быстродействия и минимизации нормы управления в Loo((0,T);W) при заданном финальном условии х(Т) = хт- При этом используются методы теории полугрупп операторов, в частности, предполагается, что оператор М порождает Co-непрерывную полугруппу.

Необходимость в исследовании задачи (0.1) - (0.4) с вырожденным оператором L и с конечномерными пространствами Х,У,Ы часто возникает при моделировании некоторых процессов в механике и технике. При этом соответствующая система называется дескрипторной (D.G. Luenberger [133], D. Cobb [123], Е. Jonckheere [129]) или алгебро-дифференциалъной (Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков [6, 118]). Задачи управления алгебро-дифференциальными' системами также исследуют в своих работах L. Pandolfi [136, 137], Г.А. Курина [50, 51, 52, 53], F.L. Lewis [132].

L. Pandolfi в работе [137] получены условия существования оптимальных решений конечномерной задачи (0.1) - (0.3) и вычислено значение функционала стоимости на оптимальных траекториях.

Г.А. Курина [50] рассмотрела задачу минимизации функционала С (и), заданного в матричном виде, на траекториях системы jt(Lx(t)) = M(t)x(t) + B(t)u(t), Lx(t0) = xo, где x(t) G Km, £ Mr, причем допустимые управления u(t) являются непрерывными функциями на фиксированном конечном интервале времени to < t < Т, переводящими систему из состояния, удовлетворяющего начальному условию, в произвольную точку пространства Rm. МатрицаХ предполагается вырожденной. Г.А. Куриной доказано равенство, которое определяет оптимальное управление в виде обратной связи, а также найдено минимальное значение функционала стоимости. Аналогичный результат для случая бесконечного интервала времени получен Г. А. Куриной в более поздней работе [52].

Ю.Е. Бояринцевым и В.Ф. Чистяковым [6] рассмотрена конечномерная задача (0.1), (0.2) с компромиссным квадратичным функционалом стоимости общего вида. При этом матрицы L и М являются квадратными, начальное значение xq берется из аффинного многообразия, определяемого значениями функций и их производных в правой части уравнения. Найдены необходимые и достаточные условия оптимальности пары (состояние, управление) в терминах сопряженной системы. Кроме того, в [4] показано, что задача Lx(0) = xq для уравнения (0.1) в Мп разрешима тогда и только тогда, когда разрешима некоторая задача минимизации квадратичного функционала на решениях краевой задачи для вспомогательной алгебро-дифференциальной системы.

В работах Г.А. Свиридюка и A.A. Ефремова [23, 84, 85] исследована задача распределенного управления (0.1), (0.3), (0.4) (с заданным начальным условием ж(0) = Xq) в бесконечномерных пространствах при условии (L, ^-ограниченности или сильной (L,p)~ секториальности оператора М с параметрами функционала г\ = 1, f2 = Р + 1- Заметим, что для разрешимости задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1) с вырожденным оператором L необходимо выполнение некоторого условия согласования между проекцией начального значения Хо этой задачи на ядро разрешающей полугруппы и проекцией вектора Ви(0) + у{0) [6, 82, 142]. Другими словами, начальное значение должно принадлежать некоторому аффинному многообразию, определяемому вектором Ви{0) + у{0). Авторы работ [23, 84, 85] добились выполнения этого условия путем существенного сужения пространства функций управления. А именно, ими используется пространство управлений {и G HP+1(U) : = 0, к = 0,. + 1}, а начальные значения задачи Коши берутся из множества

L е X : (/ - Р)х = - ¿; GkM^{I - Q)y^k\0) l к=0 где Р - единица упомянутой разрешающей полугруппы (или группы) операторов, Q - единица разрешающей полугруппы уравнения, эквивалентного уравнению Lx(t) = Mx(t), но заданного на пространстве У, а р - наибольшая длина цепочки относительно М-присоединенных векторов оператора L, на которых вырождается проектор Р. Это позволило Г.А. Свиридюку и A.A. Ефремову, используя классическую технику, предполагающую выражение функционала в явном виде только через распределенное управление, установить однозначную разрешимость рассмотренных задач. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании задач оптимального управления для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной, описывающего процесс фильтрации в трещиновато-пористой среде, и для уравнения свободной эволюции поверхности фильтрующейся жидкости.

Актуальность темы исследования

Высокий уровень развития современных технологий свидетельствует о важности использования систем управления различными процессами в промышленности и о необходимости исследования соответсву

0.7) ющих задач управления. Поэтому теория оптимального управления является современным и актуальным направлением науки. Практическое исследование различных систем зачастую проводят с помощью нахождения численного решения задачи оптимального управления. Однако для полного исследования необходимо выяснить при каких условиях на параметры задачи существует решение. Данная работа посвящена рассмотрению вопросов разрешимости задач оптимального управления для линейных распределенных систем, не разрешенных относительно производной по времени, а также нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности для таких задач. Заметим при этом, что часто изучение линейных систем становится первым шагом на пути изучения нелинейных объектов, и в то же время линейные системы могут представлять и самостоятельный интерес в смысле приложений (см., например, [18, 69]).

Результаты представленного исследования позволяют проверять условия разрешимости конкретных задач оптимального управления для целого класса систем уравнений и находить для этих задач системы оптимальности. При этом речь идет как о системах с сосредоточенными параметрами (дескрипторные или алгебро-дифференциальные системы), так и о распределенных системах. И если даже исследования задач оптимального управления дескрипторными системами в настоящее время далеки от завершения, то исследование задач управления вырожденными распределенными системами находится только в начальной стадии развития. Поэтому тема исследования диссертационной работы представляется весьма актуальной.

Методы исследования задачи

A.B. Балакришнан подчеркивал [2], что удобным инструментом исследования задач оптимального управления распределенными системами, описываемыми линейными эволюционными уравнениями с постоянными коэффициентами, является теория полугрупп операторов. В то же время в настоящее время весьма популярным подходом к исследованию разрешимости абстрактной задачи (0.1), (0.2) является подход, основанный на идеях и методах теории полугрупп операторов. Особо отметим, что характерной чертой полугруппы, разрешающей однородное уравнение (0.1) с вырожденным оператором Ь} является наличие у ее единицы нетривиального ядра.

Вырожденные полугруппы операторов исследуются в работах А. Бауш и А. Уа^ [125, 126, 144], И.В. Мельниковой [62, 63]. В данной работе будут использованы результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитой в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [82, 88, 101, 142]. В работе предполагается, что оператор М в уравнении (0.1) сильно (£,р)-секториален. Выполнение такого условия, как уже было сказано, влечет существование аналитической в секторе разрешающей полугруппы однородного уравнения, вырождающейся не только на ядре оператора Ь, но и на его М-присоединенных векторах высоты не больше р. Кроме того, отсюда следует представление пространств Х,У в виде прямых сумм ядра и образа единиц полугрупп операторов и расщепление действий операторов Ь, М вдоль этих подпространств. При этом на одном подпространстве непрерывно обратим оператор М, а на другом - оператор Ь. Все это позволяет редуцировать исходное уравнение (0.1) к системе, двух уравнений ¿(¿) - + Ь^ВиЦ) + (0.8) х(ть) + м01(/ - Я)Ви{1) + Мог(1 - 0)у{г\ (0.9) заданных на взаимно дополнительных подпространствах Xх и Х° соответственно. При этом оператор 5 = Ь^Мх порождает Со-полугруппу и поэтому задача Коши для уравнения (0.8) является корректно поставленной.

Возникающий в уравнении (0.9) оператор С является нильпотент-ным, что позволяет получить однозначную разрешимость этого уравнения без какого бы то ни было начального условия. По этой причине задача Коши для уравнения (0.9), а значит и для всего уравнения (0.1), разрешима лишь при начальных значениях у из аффинного многообразия, определяемого вектором (I — 0)(Ви(0) + у(0)). Именно, чтобы тройка (х, и, г>) была допустимой, небходимо, чтобы выполнялось условие р+1

1-Р)у =вкМъ\1 - Я)(Ви{-к\0) + з/*)( 0)) (0.10) к=0 на управление и, у. В отличие от упомянутых работ [23, 84, 85] здесь не накладываются на функции управления дополнительные условия = 0, к = 0,. и пространство для управлений и, вообще говоря, берется более широким, вплоть до Ь2{Ы). Достигается это за счет использования удобной для систем, описываемых некорректными краевыми задачами, схемы исследования задач оптимального управления, предложенной в [115]. Эта схема позволяет, не выражая функции состояния х через функции управления--и, установить существование и единственность решения задачи оптимального управления при выполнении так называемого условия нетривиальности и условий ограниченности снизу, полунепрерывности снизу и коэрцитивности функционала стоимости. Условие нетривиальности означает существование хотя бы одной тройки функций {х, г/, у), удовлетворяющей условиям (0.1) - (0.3), например, существование достаточно гладкой функции управления и, для которой выполняется условие (0.10) с выбранным у и заданным в задаче у. При этом для остальных функций управления задача (0.1), (0.2) может вообще оказаться неразрешимой.

Полученный при редукции линеаризованной системы уравнений Буссинеска к уравнению (0.1) оператор М является (Ь,р)~ секториальным (не сильно). Отличие в этом случае состоит лишь в том, что оператор Ьв уравнении (0.8) не является непрерывным, но является замкнутым и плотно определенным, поэтому приходится усиливать условия на правую часть уравнения для его разрешимости.

Все трудности, связанные с согласованием начального значения у с правой частью уравнения, исчезают при рассмотрении обобщенного условия Шоуолтера (0.5) вместо условия Коши (0.2). В этом случае условие нетривиальности для задачи (0.1), (0.3), (0.4), (0.5) выполняется в случае, скажем, существования хотя бы одной достаточно гладкой функции управления и класса НР+1(Ы) без других дополнительных условий.

Новизна полученных результатов

В данной диссертационной работе, по-видимому, впервые исследуются задачи смешанного оптимального управления с различными функционалами стоимости для систем, описываемых уравнением (0.1), не разрешимым относительно производной и снабженным условием Коши или обобщенным условием Шоуолтера. Целью работы было рассмотрение наиболее общей постановки задач оптимального управления для распределенных систем соболевского типа, поэтому рассмотрены задачи, в которых ипользуются одновременно распределенное и стартовое управления. В работе рассматривается случай сильно (I/, р)-секториального оператора, который соответствует большинству рассмотренных здесь уравнений и систем уравнений в частных производных. (Как уже было замечено, линеаризованной системе уравнений Буссинеска соответствует мало отличающийся случай (Ь,р)~ секториального оператора, который также исследован.) Полученные в данной работе результаты являются более общими, чем результаты работ предшественников о задачах распределенного управления (см. выше) даже в тех редких случаях, когда они касаются близких по постановке задач. В частности, это объясняется отсутствием в представленных здесь результатах ограничений на функции управления и их производные в начальный момент времени.

При этом, в отличие от работ других авторов, в работе рассмотрены различные варианты функционалов стоимости, в частности терминальный функционал, зависящий от финального наблюдения состояния системы, а также задачи с жестким управлением. Отметим, что возможность исследования задачи с каждым функционалом из рассмотренных классов не достигается автоматически, а сопровождается соответствующими специальными построениями. Например, в задачах жесткого управления приходится дополнительно требовать ограниченности множества допустимых управлений. В случае компромиссного функционала со слабой нормой функции состояния приходится усиливать требования на функции управления (дополнительная гладкость функции распределенного управления по времени и функции стартового управления - по пространственным переменным) и их норму в функционале.

Задачи оптимального управления для бесконечномерных систем с обобщенным условием Шоуолтера ранее в подобной постановке также не рассматривались. При этом условие Шоуолтера естественным образом возникает при рассмотрении различных систем уравнений математической физики и даже часто является более "физичным", как, например, при рассмотрении линеаризованной системы Буссинеска или системы уравнений фазового поля (см. третью главу).

Полученные абстрактные результаты используются при исследовании задач оптимального управления для линеаризованной системы Буссинеска, линеаризованной системы уравнений фазового поля, а также для уравнения (0.1), в котором операторы ЬяМ являются многочленами от эллиптического самосопряженного оператора высокого порядка. Частными случаями такого уравнения являются уравнение переходных процессов в полупроводниках, уравнение Дзекцера и некоторые другие уравнения математической физики.

Помимо результатов о разрешимости задач смешанного управления для распределенных систем соболевского типа в диссертационной работе для некоторых конкретных задач осуществлен вывод систем оптимальности - необходимых и достаточных условий экстремума. С помощью метода Лагранжа для задач жесткого смешанного управления распределенной системой, описываемой уравнением Дзекцера, а также уравнениями фазового поля, были выведены сопряженные задачи, особенностью которых оказался тот факт, что в конечный момент времени в задачах определено не значение самой функции, а значение ее образа при действии оператором Ь. В терминах сопряженных задач впервые сформулированы критерии оптимальности для рассмотренных задач смешанного оптимального управления.

Краткое содержание диссертации

Диссертационная работа содержит Введение, четыре главы и Список литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Исламова, Анна Фаридовна, 2012 год

1. Асеев С.М. Принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности для одной задачи оптимального управления на бесконечном интервале / С.М. Асеев, A.B. Кряжимский, A.M. Тара-сьев // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН,- 2001,- Т.233 -С.71.

2. Балакришнан, A.B. Прикладной функциональный анализ / A.B. Балакришнан.- М.: Наука, 1980 384 с.

3. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман.-М.: Иностр. лит., I960.- 333 с.

4. Бояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев.- Новосибирск: Наука, 1988 158 с.

5. Бояринцев, Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Бояринцев Новосибирск: Наука, 2000.- 223 с.

6. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков.- Новосибирск: Наука, 1998.- 224 с.

7. Булатов, М.В. О свойствах конечномерных систем нелинейных уравнений с кратными решениями / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков // Вестник Челябинск, гос. ун-та.- 2009 № 20 - С.20-36.

8. Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский.- М.: Наука, 1975.- 568 с.

9. Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев.- М.: Наука, 1981,- 400 с.

10. Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных ; уравнений и приближенный метод их решения / М.И. Вишик // Мат. сб.- 1956,- Т.38, вып.1 С.51-148.

11. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас.- М.: Мир. 1978,- 336 с.

12. Гайдомак, C.B. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1, к) / C.B. Гайдомак, В.Ф. Чистяков // Вычислит, технологии.-2005.- Т. 10, № 2,- С.45-59.

13. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер,- М.: Наука, 1967,- 576 с.

14. Данилин, А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в регулярном случае / А.Р. Данилин // Дифференц. уравнения,- 2006,- Т.42, № 11.- С.1473-1480.

15. Данилин, А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления в регулярном случае / А.Р. Данилин, Ю.В. Парышева // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН 2007 - Т. 13, № 2,- С.55-65.

16. Демиденко, Г.В. Задача Коши для псевдопараболических систем / Г.В. Демиденко // Сиб. мат. журн 1997 - Т.38, № 6-С.1251-1266.

17. Демиденко, Г.В. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши Ковалевской /Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Тр. Ин-та математики СО РАН,- 1994.™ Т.26.- С.42-76.

18. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский-Новосибирск: Научная книга, 1998.- 438 с.

19. Дзекцер, Б.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // ДАН СССР 1972-Т.202, № 5 - С. 1031-1033.

20. Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А.И. Егоров.- М.: Наука, 1978.- 463 с.

21. Егоров, А.И. Основы теории управления / А.И. Егоров.- М.: Физ-матлит, 2004 502 с.

22. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, C.B. Попов.- Новосибирск: Наука, 2000 336 с.

23. Ефремов, A.A. Исследование оптимального управления линейными уравнения типа Соболева: 01.01.02 / A.A. Ефремов; Челяб. гос. ун т.- Челябинск, 1996 - 102 с.

24. Зубова, С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве / С.П. Зубова // ДАН СССР,- 1982,- Т.264, вып.2,- С.286-291.

25. Ильин, A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / A.M. Ильин,- М.: Наука, 1989.- 336 с.

26. Ильин, A.M. Линейные уравнения второго порядка параболического типа / A.M. Ильин, A.C. Калашников, O.A. Олейник // Успехи мат. наук,- 1962.- Т.17, № 3,- С.3-146.

27. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач / АД. Иоффе, . В.М. Тихомиров.- М.: Наука, 1974,- 479 с.

28. Ким, A.B. Обратные задачи динамики параболических систем / A.B. Ким, А.И. Короткий, Ю.С. Осипов // Прикл. математика и механика,- 1990.- Т.54, № 5,- С.754-759.

29. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // ДАН СССР.- 1992-Т.326, № 5,- С.781-786.

30. Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А.И. Кожанов // Сиб мат. журн.- 1994 Т.35, № 2.- С.359-376.

31. Кожанов, А.И. Задача с косой производной для некоторых псевдопараболических и близких к ним уравнений / А.И. Кожанов // Сиб мат. журн.— 1996,- Т.37, № 6,- С. 1335-1346.

32. Кожанов, А.И. О разрешимости задач со смещением для псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов, Н.С. Попов// Вестник Новосибирск, гос. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика,- 2010.- Т. 10, № 3.- С.46-62.

33. Короткий, А.И. Об аппроксимации задач позиционного управления / А.И. Короткий // Прикл. математика и механика,- 1980-Т.44, № 6,- С.1010-1018.

34. Короткий, А.И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами / А.И. Короткий // Изв. вузов. Математика,- 1995,- № 11.- С.101-123.

35. Короткий, А.И. Восстановление множества управлений по измерениям состояний эволюционной системы / А.И. Короткий // Прикл. математика и механика 1997 - Т.61, вып.З.- С.440-446.

36. Короткий, А.И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности / А.И. Короткий // Известия РАН. Теория и системы управления 2000 - № 1- С.21-24.

37. Короткий, А.И. О позиционном управлении в системах с распределенными параметрами / А.И. Короткий, Ю.С. Осипов // Прикл. математика и механика.- 1980 Т.44, № 4.- С.611-617.

38. Корпусов, М.О. О разрешимости одной начально-краевой задачи для уравнения внутренних волн / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // Журн. вычислит, математики и мат. физики,-1997.- Т.37, № 5.- С.617-620.

39. Корпусов, М.О. К задаче о колебаниях двустороннего отрезка в стратифицированной жидкости / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // Журн. вычислит, математики и мат. физики,-1997,- Т.37, № 8,- С.968-974.

40. Корпусов, М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях / М.О. Корпусов,- М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ2010-240 с.

41. Корпусов, М.О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях / М.О. Корпусов- М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ 2011,- 376 с.

42. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнения Соболева Галь-перна / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва-1961- Т.Ю.- С.273-284.

43. Красовский, H.H. Теория управления движением / H.H. Красовский М.: Наука, 1968 - 359 с.

44. Красовский, H.H. Управление динамической системой / H.H. Красовский М.: Наука, 1985.-520 с.

45. Красовский, H.H. Позиционные дифференциальные игры / H.H. Красовский, А.И. Субботин,- М.: Наука, 1974,- 456 с.

46. Крейн, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышов.-Новосибирск, 1979.- 18 е.- (Препринт / АН СССР, СО, ИМ).

47. Кряжимский, A.B. О моделировании управления в динамической системе / A.B. Кряжимский, Ю.С. Осипов // Изв. АН СССР. Тех. кибернет,- 1983.- № 2,- С,51-60.

48. Кряжимский, A.B. О позиционном моделировании в динамических системах / A.B. Кряжимский, В.И. Максимов, Ю.С. Осипов // Прикл. математика и механика.- 1983.- Т.47, № 6 С.883-889.

49. Куржанский, A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / A.B. Куржанский М.: Наука, 1977.- 392 с.

50. Курина, Г.А. Управление с обратной связью для линейных систем, не разрешенных относительно производной / Г.А. Курина// Автоматика и телемеханика.- 1984,- № 6.- С.37-41.

51. Курина, Г. А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной / Г.А. Курина // Изв. РАН. Тех. киберн,- 1992,- № 4,- С.20-48.

52. Курина, Г.А. О регулировании дескрипторной системой на бесконечном интервале /Г.А. Курина /./ Изв. РАН. Тех. кибернет,-1993.- № 6.- С.33-38.

53. Курина, Г.А. Обратимость оператора, возникающего в теории управления линейными системами / Г.А. Курина // Мат. заметки.- 2001.- Т. 70, вып. 2,- С.230-236.

54. Ладыженская, O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / O.A. Ладыженская.-М.: Наука, 1970288 с.

55. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972,- 412 с.

56. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе М.: Наука, 1987 - 456 с.

57. Лурье, К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К.А. Лурье М.: Наука, 1975.-478 с.

58. Максимов, В.И. Позиционное моделирование управлений в параболических вариационных неравенствах / В.И. Максимов // Автоматика и телемеханика.- 1988.- № 4 С.21-27.

59. Максимов, В.И. О моделировании управлений в параболических вариационных неравенства / В.И. Максимов // Дифференц. уравнения,- 1991- Т.27, № 9,- С.1603.

60. Максимов, В.И. Об отслеживании эталонного решения управляемой системы уравнений фазового поля / В. И. Максимов //Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН 2010,- Т.271.- С. 148-158.

61. Максимов, В.И. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах / В.И. Максимов, Л. Пан-долфи // Прикл. математика и механика- 2001.- Т.65, № 3.-С.385-390.

62. Мельникова, И.В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений / И.В. Мельникова // Сиб. мат. журн,- 2001.- Т.42, № 4.- С.892-910.

63. Мельникова, И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Алыпанский // Докл. РАН,- 1994,- Т.336, № 1,- С.17-20.

64. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами / Ю.С. Осипов // ДАН СССР.1975,- Т.223, № 6.- С.1314-1317.

65. Осипов, Ю.С. Позиционное управление в параболических системах / Ю.С. Осипов // Прикл. математика и механика. 1977-Т.2, № 6,- С.195-201.

66. Осипов, Ю.С. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах / Ю.С. Осипов, А.И. Короткий // Изв. АН СССР. Тех. кибернет.- 1991.- № 2,- С.154-164.

67. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в параболических системах / Ю.С. Осипов, С.П. Охезин // ДАН СССР1976.- Т.226, № 6,- С.1267-1270.

68. Осипов, Ю.С. К теории позиционного управления в гиперболических системах / Ю.С. Осипов, С.П. Охезин // ДАН СССР.-1977,- Т.233, № 4,- С.551-554.

69. Осколков, А.П. О некоторых линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / А.П. Осколков //Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР 1976 - Т.59-С.133-177.

70. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина Фойгта и жидкостей Олдройта /A.П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР.- 1988.-Т.179.-С.126-164.

71. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ,- 1991,- Т. 198.- С.31-48.

72. Плеханова, М.В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления.- 2004 № 5. С.40-44.

73. Плеханова, М.В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа /М.В. Плеханова,B.Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления,- 2007.-№ 2,- С.37-44.

74. Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, A.B. Клепачева // Сиб. мат. журн,- 2001,- Т.42, № 3,- С.651-669.

75. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старо-войтов // Дифференц. уравнения,- 1993.- Т.29, № 3,- С.461-471.

76. Понтрягин, J1.C. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко.- М.: Наука, 1976,- 392 с.

77. Пятков, С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков / С.Г. Пятков / / Сиб. мат. журн,- 1989,- Т.ЗО, № 4-С.111-124.

78. Пятков, С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков / С.Г. Пятков // Мат. сб.- 1994,- Т.185, № 3.- С.93-116.

79. Свешников, А.Г. Разрушение в неклассических волновых уравнениях / А.Г. Свешников, А.Б. Альшйн, Ю.Д. Плетнер, М.О. Корпусов,- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.- 736 с.

80. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения 1987.- Т.23, № 12.-С. 2168-2171.

81. Свиридюк, Г.А. К общей теории, полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук 1994 - Т.49, № 4 - С.47-74.

82. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк // Докл. РАН,- 1994,- Т.337, № 5,- С.581-584.

83. Свиридюк, Г.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, A.A. Ефремов // Дифференц. уравнения.-1995.-Т. 31, № 11- С. 1912-1919.

84. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, A.A. Ефремов // Изв. вузов. Математика,- 1996,- № 12,- С. 75-83.

85. Свиридюк, Г.А. Об относительно сильной р-секториальности линейных операторов / Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов // Докл. РАН,- 1999.- Т. 365, № 6,- С. 736-738.

86. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.В. Плеханова // Дифференц. уравнения,- 2002,- Т.38, № 7.- С.997-998.

87. Свиридюк, Г.А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн,-1998,- Т.39, № 3,- С.604-616.

88. Сидоров, H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / H.A. Сидоров Иркутск: Иркут. ун-т, 1982,- 211 с.

89. Сидоров, H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, O.A. Романова / / Дифференц. уравнения.- 1983 Т. 19, № 9-С.1516-1526.

90. Сидоров, H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения.- 1987.- Т.23, № 4,- С.726-728.

91. Соболев, C.JI. Об одной новой задаче для систем уравнений в частных производных / C.JI. Соболев // ДАН СССР- 1951.-Т.81, № 6.- С.1007-1009.

92. Соболев, C.JI. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. Мат.- 1954,- Т.18.- С.3-50.

93. Субботина, H.H. Метод динамического программирования для класса локально-липшицевых функций / H.H. Субботина // Докл. РАН,- 2003,- Т.389, № 2,- С.169.

94. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика,-1998.- № 3,- С.47-54.

95. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения,- 2000,- Т.36, № 8,- С.1106-1112.

96. Тарасьев, A.M. об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления / A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов // Прикл. математика и механика.- 1987 Т.51, № 2,- С.216.

97. Трибель, X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель.- М.: Мир, 1980.- 664 с.

98. Ушаков, В.Н. Стабильные мосты в дифференциальных играх на конечном промежутке времени / В.Н. Ушаков, A.A. Успенский, Т.Б. Токманцев // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН-2004.- Т.10, №2,- С.155-177.

99. Фалалеев, М.В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, О.В. Коробова // Сиб. мат. журн,- 2008.- Т.49, № 4,- С.916-927.

100. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ.- 2000.- Т. 12, вып.З С.173-200.

101. Федоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Дифференц. уравнения.- 2001 -Т.37, № 12,-С. 1646-1649.

102. Федоров, В.Е. Единицы вырожденных аналитических полугрупп операторов и относительная р-секториальность / В.Е. Федоров // Уравнения соболевского типа: сб. науч. работ- Челябинск: Че-ляб. гос. ун-т, 2002,- С. 138-155.

103. Федоров, В.Е. Ослабленные решения, линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. Мат.- 2003.- Т.67, № 4,- С.171-188.

104. Федоров, В.Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах /B.Е. Федоров // Дифференц. уравнения 2004.- Т.40, № 5C.702-712.

105. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб.- 2004,- Т.195, № 8,- С.131-160.

106. Федоров, В.Е. Обобщение теоремы Хилле Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн,- 2005.- Т.46, № 2.~ С.426-448.

107. Федоров, В.Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В.Е. Федоров // Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2009. - Вып. 11., № 20 (158).- С. 12-1-9.

108. Федоров, В.Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Дифферент уравнения,- 2004,- Т.40, №11.- С. 1548-1556.

109. Федоров, В.Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Вычислит, технологии,- 2004,- Т.9, № 2,- С.92-102.

110. Федоров, В.Е. Задача стартового управления для класса полулинейных распределенных систем соболевского типа / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Тр! Ин-та математики и механики УрО РАН,- 2011,- Т. 17, № 1,- С.259-267.

111. Фурснков, A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье Стокса и Эйлера / A.B. Фурсиков // Мат. сб. - 1981.- Т.115, № 2,- С.281-307.

112. Фурсиков, A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / A.B. Фурсиков,- Новосибирск: Научная книга, 1999,- 350 с.

113. Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков.- Новосибирск: Наука, 1996.278 с.

114. Чистяков, В.Ф. О понятии индекса алгебро-дифференциальных систем /В.Ф. Чистяков // Уравнения соболевского типа: сб. науч. тр.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002.- С.156-177.

115. Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова,- Новосибирск: Наука, 2003,- 320 с.

116. Чистяков, В.Ф. О нелокальных теоремах существования решений у дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 / В.Ф. Чистяков, Е.В. Чистякова // Известия вузов. Математика,-2007.- №.1- С.76-81.

117. Чистяков, В.Ф. О непрерывной зависимости решений линеных систем дифференциально-алгебраических уравнений от параметра / В.Ф. Чистяков, М. Пешич // Дифференц. уравнения,- 2009.-Т.45, № 3,- С.363-372.

118. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Эк-ланд, Р. Темам М.: Мир, 1979. - 20 с.

119. Эскин, Г.И. О единственности решения задачи Коши для уравнений не типа Ковалевской / Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва.-1961.- Т. 10.- С.285-295.

120. Cobb, D. Descriptor variable systems and optimal state regulation / D. Cobb // IEEE Trans. Autom. Control.- 1983,- Vol.28.- P. 601611.

121. Fattorini, H.O. Infinite Dimensional Linear Control Problems / H.O. Fattorini.- Amsterdam: Elsevier, 2005.

122. Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Ann. Mat. Pur. et Appl.- 1993-Vol.CLXIII.- P.353-384.

123. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- New York etc.: Marcel Dekker Inc., 1999.- 324 p.

124. Fedorov, V.E. Applications of the theory of degenerate operator semigroups to the initial-boundary value problems / V.E. Fedorov // Contemporary Mathematics and Its Applications.- 2003.- Vol.9.-P.215-223.

125. Fedorov, V.E. Solvability of start control problems for semilinear distributed Sobolev type systems / V.E. Fedorov, M.V. Plekhanova // Int. J. Mathematical Modelling and Numerical Optimisation.- 2010,- Vol.1, No.3 P.153-167.

126. Jonckheere, E. Variational calculus for descriptor problems / E. Jonckheere // IEEE Trans. Autom. Control.- 1988,- Vol.33-C.491-495.

127. Leray, J. Essai sur mouvement plans d'un liquide visqueux que limitent des parois / J. Leray // J. Math. Pures Appl. Ser. IX.-1934,- Vol.13, fasc.4 P.331-418.

128. Leray, J. Topologie et equations fonctionnelles / J. Leray, J.Schauder // Ann. Sei. Ecole Norm. Super Ser. 3,- 1934,- Vol.51.- C.45-78.

129. Lewis, F.L. A survey of linear singular systems / F.L. Lewis // Circuits, Systems and Signal Processing.- 1986.- Vol.5, № 1- C.3-36.

130. Luenberger, D.G. Dynamic equations in descriptor form / D.G. Luenberger // IEEE Trans. Autom. Control.- 1977,- Vol.22-C.312-321.

131. Müller, P.C. Linear control design of linear descriptor systems / P.C. Muller // 14th Triennial World Congress.- 1999,- Beijing, P.R. China.- P.31-36.

132. Oseen, C.W. Neuere methoden und ergebnisse in der Hydrodynamik / C.W. Oseen Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft M.B.H., 1927.-P.353.

133. Pandolfi, L. Controllability and stabilization for linear systems of algebraic and differential equations / L. Pandolfi // J. Optimiz. Theory and Appl.- 1980.- Vol.30, № 4,- P.601-620.

134. Pandolfi, L. On the regulator problem for linear degenerate control systems / L. Pandolfi // J. Optimiz. Theory and Appl.- 1981.-Vol.33, № 2,- P.241-254.

135. Poincare, H. Sur l'équilibré d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation / H. Poincare // Acta Math.- 1885.- Vol.7-P.259-380.

136. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I / R.E Showalter // Appl. Anal.- 1975,- Vol.5, № 1- P.15-22.

137. Showalter, R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R.E Showalter // SIAM J. Math. Anal.- 1975.- Vol.6, № 1.- P.25-42.

138. Showalter, R.E. Pseudoparabolic partial differential equations / R.E Showalter, T.W. Ting // SIAM J. Math. Anal.- 1970,- Vol.1, № 1.- P.l-26.

139. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov Utrecht etc.: VSP, 2003,- P.216.

140. Ushakov, V.N. On procedures for constructing • solutions in differential games on a finite interval of time / V.N. Ushakov, A.M. Taras'ev, T.B. Tokmantsev, A. A. Uspenskii //J. Math. Sciences.- 2006,- T.139, № 5.- P.6954.

141. Yagi, A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear operators / A. Yagi // Osaka J. Math.- 1991.- Vol.28.- P.385-410.Основные публикации по теме диссертации

142. Плеханова, М.В. О разрешимости задач смешанного оптимального управления линейными распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени /М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Известия вузов. Математика. 2011. -№ 7. - С.37-47.

143. Исламова, А.Ф. Минимизация функционалов со слабой нормой на решениях вырожденного линейного уравнения /А.Ф. Исламова // Вестник ЮУрГУ. Математическое моделирование и программирование. 2011. - Вып. 8 - № 17(234) - С. 37-46.

144. Плеханова, М.В. Задачи с жестким смешанным управлением для линеаризованного уравнения Буссинеска /М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Дифференциальные уравнения. 2012. - Т.48, № 4 - С. 565-576.

145. Исламова, А.Ф. Задачи с жестким смешанным управлением для линейных уравнений соболевского типа / А.Ф. Исламова, М.В. Плеханова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Тр. международ, науч. конф. Стерлитамак: СГПА, 2008. С. 111-115.

146. Плеханова, М.В. Исследование линеаризованной системы уравнений Буссинеска методами теории вырожденных полугрупп / М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Вестник ЧелГУ. Математика. Механика. Информатика. 2009. - Вып. И. - С.62-70.

147. Исламова, А.Ф. Задачи с жестким смешанным управлением для линейных уравнений.соболевского типа / А.Ф. Исламова // Тр.Воронежской зимней мат. школы С.Г. Крейна. Воронеж: ВГУ, 2010 С.69-74.

148. Исламова, А.Ф. Смешанное оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / А.Ф. Исламова, М.В. Плеханова // Тез. докл. Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Владимир: ВлГУ, 2008. С. 123.

149. Исламова, А.Ф. Смешанное управление системой уравнений, описывающей переходные процессы в полупроводнике /А.Ф. Исламова // Тез. докл. Воронежской зимней мат. школы С.Г. Крейна. Воронеж: ВГУ, 2010. С. 68.

150. Исламова, А.Ф. Задача смешанного управления для уравнения Дзекцера / А.Ф. Исламова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Междунар. конф., посвященной памяти В.К. Иванова. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011 С.235.