Задачи позиционного управления и моделирования в динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Стихина, Татьяна Кабдешевна

• Стихина, Татьяна Кабдешевна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стихина, Татьяна Кабдешевна

ВВЕДЕНИЕ.

Г Л А В А I. Позиционное управление в системах, обладающих последействием по фазовым координатам

§ I. Задачи на минимум и максимум гарантированного результата. Дифференциальная игра.

§ 2. Вспомогательные построения.

§ 3. Оценка гарантированных результатов.,

§ 4. Цена и седловая точка в дифференциальной игре

§ 5. О построении цены игры и оптимальных законов управления

Г Л А В А П. Позиционное управление в динамических системах, содержащих последействие в управляющих силах.

§ I, Задачи на минимум и максимум гарантированных результатов. Дифференциальная игра.

§ 2. Леммы о близости движений.

§ 3. Об оценке гарантированных результатов. Цена и седловая точка вспомогательной дифференциальной игры

§ 4. Оптимальное управление по гарантированному результату в случае функционала качества специального вида . . . ♦ .III

Г Л А В А Ш. Позиционное моделирование в системах с последействием.

§ I. Постановка задачи.

§2. Свойства множества движений.

§ 3. Решение задачи о моделировании.

§ 4. Пример

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи позиционного управления и моделирования в динамических системах»

Данная работа посвящена исследованию некоторых задач позиционного управления и тесно связанных с ними задач позиционного моделирования. В первых , речь идёт о законах управления по принципу обратной связи, обеспечивающих оптимальные гарантированные результаты в типичных задачах управления. Во"вторых -о законах моделирования по принципу обратной связи неизвестных характеристик движения динамических .систем, причём искомые законы моделирования строятся на той ке идейной основе, что и законы оптимального гарантированного управления.

Задачи гарантированного управления составляют предмет теории дифференциальных игр, изучающей проблемы управления в условиях конфликта или неопределённости. Эта теория, имеющая своим источником практические задачи-из инженерного дела, физики, экономики, биологии, интенсивно развивается многими учёными. Существенный Еклад в становление и развитие теории дифференциальных игр внесли Р.Айзеке, Н.Н.Красовский, Л.С.Понтрягин, Е.Ф. Мищенко, Б.Н.Пшеничный, А.И.Субботин, В.Флеминг, В.Д.Батухтин, П.Б.Гусятников, Н.Калтон, А.В.Кря&имский, А.Б.Курганский, М.С. Никольский, Ю.С.Осипов, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян, Г.К.Лонариц-кий, И.Роксин, Н.Сатимов, В.Е.Третьяков, А.Фридман, Ю.Хо, А.Г. Ченцов, Ф.Л.Черноусько, А.А.Чикржй, С.В.Чистяков, Р.Эллиот, и другие авторы.

Существенное место в теория дифференциальных игр занимает Еопрос об условиях, при которых е типичных задачах существуют оптимальные законы управления, использующие информацию только о текущих состояниях объекта управления и обладающие свойством универсальности:"один и тот же такой закон работает как оптимальный, начиная с любой возмокной позиции" I 8 1 . Другой ■ важный вопрос - Еопрос о способе построения таких законов управления. Перечисленным вопросам посвящены исследования! 5 - 9,11 1

Вопросы существования оптимальных позиционных законов управления, обладающих свойством универсальности, и способы построения таких законов обсувдаются и в первых двух главах данной работы. Существенная по сравнению с Г 5-9, 11 3 особенность рассматриваемых здесь задач состоит в том, что объекты управления обладают эффектом последействия в фазовых координатах или каналах управления. В третьей главе работы для системы с последействием в фазовых координатах строится позиционный закон моделирования неизвестных возмущения и запаздывания в системе по текущим замерам траектории движения, обладающий свойством устойчивости: результат моделирования тем точнее, чем меньше погрешности в замерах. Рассмотренные в работе задачи изучаются на основе общего подхода к проблеме управления по принципу обратной сеязи, развиваемого Н.Н.Красовским и его школой. При этом существенно используются понятия и результаты работ С 5 - 11 19 "* 21 Т.

Перейдем к более конкретной характеристике содержания работы (В работе принят следующий порядок ссылок на формулы, теоремы и т.п.: в пределах конкретной главы (или введения) двойная нумерация, например, формулы - означает, что речь идёт о формуле данной главы; ссылка не, например, на формулу (I; 2.3) означает,что имеется ввиду формула 2.3 главы I).

В первой главе рассматриваются задачи на минимум и максимум гарантированных результатов для систем, описываемых дифференциальными уравнением

XC-t) = Acfc)xct) + A c-t) xc-fc-'M 1 В c-t) v +

0.1) J u e P „ ir € Q. , t £ T-l -t6 -9>1.

7 ' "I

Здесь X - TL -мерный вектор, *t - время, U --мерный вектор управления, ^ ~ \ ~меРный вектор помехи; 0 — запаздывание; Ф, Q - компакты; матрицы А , А , 5 , С суть непрерывные 1 функции переменной t е "f ; все векторы трактуются как векторы-столбцы.

В системе (ОД) допускаются любые измеримые реализации управления и С• 1 в £*ц с*fc 1 , "t ^ "t £ Ф } и помехи ire-1 « ^ "\rc-L~i , -t^ ^ -t 4 . В качестве фазового пространства системы (0.1) принято пространство измеримых на П- , О 3 функций . <з со значениями в R с нормой

11 Ч И » ( 1 4C0)\L + S I 4CcL) \Ldl)ilL имеется ввиду измеримость по Борелю, интегралы понимаются в смысле Лебега; 1 х. | - норма в Ц 71 : } ос | « < ос у vc у1/*- — ( ос + + гс1 ) ) . Под движением системы \ i И ' '

0.1) из заданной позиции р = { -Ь х , "t €

Г* С * •> 4 •> * , X СО € 7L , порождаемым реализациями , iyz-1 , понимается абсолютно непрерывное решение X it 1 =• 0CC"b ^ р^ ^ -МС-1 , VC- 3 1 , "t - *t ^ Ф уравнения (0.1) при пл = И L -Ь 1 , v = = тГс. -t 1 , -i 4 -t & ; jctt-h-l =

На реализациях движений, управлений и помех задан функционал

- б С X П • Т , 14 D 1 - S б С -t ^cilJ/ACoU) (0.2) + S С<Фс-Ь1гсс-Ь1 лгсс-1-з> оценивающий качество процесса управления. Здесь , т -непрерывные на Т матрицы; б (-tl X) - при фиксированном X е R ^ измерима по "t € Т и при фиксированном "t липшицева по х ; JX - борелевская мера на Т • Задача на минимум функционала содержательно состоит в следующем: требуется построить закон управления системой (0.1) по принципу обратной связи И c*t~\ = u (i, х С* 1 S » -t ' гарантирующий возможно меньшее значение показателя' ^ . Задача на максимум функционала ^ содержательно состоит в следующем: требуется указать способ формирования помехи по принципу обратной связи VC i ] = С "t ^ ос^ VI ) , гарантирующий возможно большее значение показателя ^ . Здесь х = {/XL*t -t* oL 1 ^ — Ль ^ d ^ ^ 1 ~ 0ТРез°к траектории системы (0.1), реализовавшийся к моменту времени "L

Строго эти задачи формализуются в §1 следующим образом. Вводятся понятия стратегий. Стратегией и С-) называется функция и СО я { -ы С t , Ч , о у i е Т , ¥ еК) £ € (0,о°)^со значениями в (Р . Стратегией г^с-) называется функция V(') = ^ -t £ Т t £(0,00)1 со значениями в Q . Вводятся понятия движений, отвечающих стратегиям. Именно, пусть задан промежуток С "t

К 5

Ф 1 и позиция р = { t X . Пусть Д. =

ДДчгЛ - разбиение С -tu ^ ft 1 точками. 1 = t < t <. l » i 0 0 1 t ; тала, (т, - t.); Д , - означа

L t-Ч . L О ет разбиение Л , для которого сГ С А 4 сГ . Движением системы (0.1) из позиции , отвечающим стратегии

ПАС - ") при заданных t > 0 и Д. , называется абсолютно непрерывная на С -i ft 1 функция ос еЧл =

Л »

- X t -t. } Р* i ^ ^ > £ •> ^ 1 » Удовлетворяющая условиям: при почти Есех "t € t ^^ , ^i+i*^ s Ь — О, . i ос. t-ь i « /\c-uxt-ti xri - hi +

4 В C"t) "W (t; X Z'~] t) + Cc-t^c-ti

I J Xj^ '

XC-t-^3 я ( -b ~ -Ь* - t^ « t ^ t^H-fv . Здесь , ^ ^ - какая-то допустимая реализация помехи. Аналогичным образом определяется движение xc-tn = > £ , -Ц £ -fc . Далее, следуя

С 5"- 6 11 ] , определяются гарантированные результаты для стратегий UC-) и У" СО . Гарантированию результатом для стратегии и и позиции р^ называется число хс-1 /и с- з ^vz-i).

Здесь X С • 1 - реализация движения из позиции р ^ , отвечающего стратегии "WO) ; UC- 1 , 3 - реализации управления и помехи, поровдащие это движение; верхняя грань вычисляется по всем допустимым реализациям помехи irc-i. Гарантированным результатом для стратегии тг со и позиции р^ называется число

О (no iinl Inl fi.Ki-1 ). e-^o <T-ro Aj* txc-i

Здесь xt.-] - реализация движения из позиции р^ , отвечающего стратегии тго) ; и с • l , irc-i - реализации управления и помехи, порождающие это движение; нижняя грань вычисляется по всем допустимым реализациям управления ut-1 Стратегия г(°СО - оптимальна, если

Р С Р ) - Р ( и 0 > > Р- h J * для любой позиции b е G . Стратегия - опти

1 * мальна, если pcu СО, р ) = <WJpр eveo , р )7 для любой позиции b е С! Здесь { KCO^j ( л

- мнонество всех стратегий К СО \ V СО J ; множество

G = {-L-t,У 1 feTxTb-teTjmi^ , постоянные Д. 3 , определяются по коэффициентам систеш (0.1), 7*0 ~ ^ 0 . (Содержательный смысл G состоит в том, что это множество содержит в себе все потенциально возможные позиции системы (0.1). Для выяснения этого свойства множества (я доказывается некоторый аналог леммы Гронуолла, представляющий самостоятельный интерес.) Величина р° СР ) « о \ J и *

-Р CU°0)? р ) (Р (р ) = J называется оптимальным гарантированным результатом (контррезультатом) для позиции |э

Исходные задачи на минимум и максимум показателя Y4 строго формулируются теперь так.

Задача (I; I.I). Найти оптимальный гарантированный результат ( р V , p^eQ и оптимальную стратегию tt°0)

Задача (I; 1.2). Найти оптимальный гарантированный контррезультат j) ° ( р ) , р € G и оптиглальную стратегию ir°c- }

Подчеркнём, что в этих задачах речь идёт о построении стратегий, обладающих свойством универсальности С !) -* 9 , 11 3 : они дошны быть оптимальными для любой позиции р £ G\ .

Задачи (I; I.I), (I; 1.2) объединяются в позиционную дифференциальную игру I i 0 1 . Скажем, что эта игра имеет седловую точку { к°0) vV и цену jo°( р) , если для любой позиции р е Р^(-р)=г])0Ср'>=: j^P^ *

Следующие параграфы главы I посвящены наховдению седловой точки и цены этой игры.

В §2 доказываются леммы о близости специальным образом конструируемых движений. Они играют Еажную роль в дальнейших построениях. Приведём одну из них. Системе (0.1) сопоставляется управляемая система il-t) ~ Atoxcb + bctnt + CtVnr 1 <cK-t)U,U> - <vVc-t')^ir> (0.3)

Р 3 i е Т и ещё один её экзешляр int) « Actmc-h + ^ctm-t-i) + bcvw + Caw * Р , veft , ЬТ, называемый, следуя С 8 7 , моделью. Позиции р = ^ t } Ч f Cj^ Для системы (0.3) (модели

0.4)) выбираются из некоторого множества 6t ( Q * 1 » конструируемого по множеству Gt и величинам Ф , Q , °|р , "ty* и содержащего все возможные позиции для системы 0.3 (модели 0.4). Пусть фиксированы позиции b = I -t х С Л г * I * > * > I3 = Н* \ € Q* . и промежуток С t t Зс I • Пусть -Ч C-t 1 - 4 ос С-t 7 ч ? L ' vt-fc, , t^tu4 движение системы (0.3) из позиции b , порождаемое реализаf * цией ' 1 = (V"C-ll э "t ^ ^ и постоянной реализацией

К^С- 1 - { , \ управления, где Еектор и ^ доставляет минимум на JP функции < Х^ СО-) - W* С 0 ) у Ъ Ct^) и > + < , U > . Пусть {тлМЯ"!, Зг^СП] = tH.^.tlC-T, -^C-Jll,

•t £ -t < "t* - движение модели (0.4) из позиции f ,

I * порождаемое реализацией 'Ut-l^j'UC-tl , "t^ ^ "t "t*^ управления и постоянной реализацией iT^ С - 1 - ^ -L ^ *t*j помехи, где вектор ту доставляет максимум на Q. функции < ос^СО) - + СЧ^ ^«J^ct.) -V , V > (движения ^ Г -t 1 , л ПтМ * 1

С "t 7 определяются аналогично движению ос. t -t D r >4 0 г»1 "> Г * ?

U 01^01]). Рассмотрим на Г * ft х R функционал

Пусть XM-WC-З ^ t-И" 3 l-tl )

•К

•t £ -t 6 -Ь . Доказывается следующее утверждение

Леша (I; 2.1). Для любого числа е > 0 можно указать число (Г > 0 так, что, каковы бы ни были промежуток t-t^Vl с Т , позиции р^ £ Q , р^ € G[ , реализации управления U С -1 и помехи , выполняется оценка L-t 1 ^ } L-t^l -v i (Д - ^ t^ £ -t ^ -t* , если только *t — "i <Г.

В §3 доказываются леммы об оценках для гарантированных результата и контррезультата. Из них вытекает следующее утверждение, обобщающее известный результат С 8 3 , относящийся к конечномерным управлявши системам.

Теорема (I; 3.1). Пусть на множестве G существует функция Ч, ( *t 5 VfCO , fy) со значениями в R. 1 » обладающая свойствами:

I) г С & , V СО 5 ) - б" (d/uuo)) jjl ct «)

2°) при фиксированном -fc t ("t} W40 } ^) липшицева по о , J

3") ч. C-fc , таГС-),^) = tC"t}W*C-"),0) + ^ j 4°) t. (."t , "WCO , является гс -стабильной: кэкоеы бы ни были промежуток t ± ±* ^ с Т » позиция b =

П * * ) № Ъ: ) €. Gi > реализация помехи z • 1 "Ь 4 "t ^ ~t* j , число £ > о , найдется реализация К управления ЦС-Т =» jnc-ti *t ^ -t ^ -t ^ такая, что для

V» X ^ движения =» {^Cil £ \ = к С-ток-13

L » Ц+1 J 5 I * 7 » У

-fc ^ "t $ -t модели (0.4) имеем

Т»"

Ct*, WVCO , fe СЛ) + S 6" Ct,vrCtT)MCo(t^

5°) *с (."Ъ , V4-) , с^4) V -стабильна: каковы бы ни были промежуток t^ , "t ] с Т , позиция р , реализация управления . t ^ i ^ t* \ » число

7 «Jt J 0 , найдётся реализация помехи ц-П- "1 = Jvc-tl , -t < й -t 6 -L J такая, что для движения С -t 1 , -Ь ^ t ^ -t*

•х модели (0.4) имеем

•bCt*,^,!- jl , Vi^*^ + ^ fCt^C-hl^Cot-t^ 1 *

6°) при фиксированных -t и о^ функция t (i wco С^. ) слабо в непрерывна.

Тогда рассматриваемая дифференциальная игра имеет седловую точку |г( °с-) ^ ТУС^] и цену =• г С t ? хсо, 0) , { t } Х(-)} £ G • Оптимальные стратегии u°С-), строятся так. Значение и ° с t ? ос со t} есть век о тор К , для которого ie(0^Bc-fcVu°> -V <Фс^гс\кв>

Нч

0.5)

-mlYb э Bct^> ^+1<Фс1)г(,1(> j , о

Здесь функция ( CO = t (• "t £ С-л £Л £ и число

1 >

С о

•Ь ~ -ъ (.t % X СО , ) есть решение задачи:

П+1 п+< > 5 p°(t хсо)-£*со) « n^oru j рЧ-fc ХСО--tco1)- i "l J ' U б V n4"J

T- > h+1 3

1 + £ I + t ^ Щ) I>LCt - ±

Те. п-м 0 '

Значение D"°("t , XC-^O есть вектор , для которого

XW Ca^°> + 5е v-°> =

0.6) пикс \ < T°(.o) CotW> +T ^Штг ir>~l. . /-i 1. 7 h+1 '•> -tf-e Gt

Здесь функция «t CO « э t, ХСЛ и число

-Ь — ОС CO есть решение задачи: h-M w+1 ' 5 J

Сp^t.xco-- V = тХкъ { p°(t ясл-fcov j U * V '

- 4 \ п-м J

11 € \\L + 4 [t-v £Ct-t )] еослэ txc-t-t)]. v * H + i 0 Г о'-1

Далее, в §4, используя известное понятие Q. -процедуры, строится функция "L , обладающая свойствами 1°-6°. Таким путем приходим к утверждению.

Теорема (I; 4.1). Дифференциальная игра, складывающаяся из задач (I; I.I), (I; 1.2), имеет цену Х.О)) , { Ь ,

ХСо)е С\ и седловую точку | /u°C-^ , т^Ч-) \ , определяемую соотношениями (0.4), (0.5).

Способ построения цены игры, о котором шла речь в §4, является неконструктивным. Поэтому в §5 рассматривается случай функционала ^ , когда цена и седловая точка игры строятся конструктивно. Приводится также иллюстрирующий пример.

Во второй главе рассматриваются задачи на минимум и максимум гарантированного результата для систем с запаздыванием в управлении хс4о « Ас-Ь)хоЬ) + Bct)wc-b-f do-и c-t-4о+Сылт*;

0.7) t 6 Т , и 9 э тг е б .

Входящие в (0.7) величины имеют тот же смысл, и удовлетворяют тем же условиям, что и в случае системы (0.1). Функционал качества ^ задаётся соотношением (0.2).

В §1 даётся строгая постановка задач на минимум и максимум гарантированного результата, подобно тому, как это сделано в §1 главы I. При этом в качестве фазового пространства системы (0.7) выбирается множество R х И сЧ о ) , где

Ц С- 0 ) - совокупность всех измеримых на С- ^ о) функций U — £ К Col.) — ii £ cL < О "J, со значениями в

Ф . Таким образом, в качестве позиций системы выбираются тройки р {"t ^ К } € Т * К X W Г- *{г, 0 ) . Вводятся понятия стратегий. Стратегией U называется функция И (i t X г< N £ ) , t -t e T , t>t;

Ue и ru 0) d > 0 , со значениши в c-t. t ) . Стратегией V называется функция

Vc-t , x О , -l е Т cxieR" и е. U triiO)% > 0 со значениями в У. . Определяются движения системы (0.7), отвечающие стратегиям, конструируется множество

G\ - аналог множества Gi . Затем определяются гарантированные результаты, оптимальные стратегии II , V , оптимальные результат J) (И ^ р) и контррезультат jd cV ^ р). Формулируются задачи, аналогичные задачам (I; I.I), (I; 1.2). Они объединяются в дифференциальную игру, которая изучается в следующих параграфах главы.

В §2 доказываются леммы о близости движений, аналогичные леммам из §1 главы I. Роль функционала ^ играет теперь функционал о (-t х,гО « ( \L + $ lwc.Ol'eU )геC-t-teV]e

1 ~r

Основным результатом §3 является теорема (2; 3.1), утверждающая, что рассматриваемая дифференциальная игра имеет седловую точку [ Wj ^ "V } и цену С *Ь ) ос ? v. ) , ^•Ь X и"!) & (п . Это достигается, как и в §3 главы I, на пути оценок гарантированных результатов и использования Q. -процедур. Указываются соотношения, построенные по функции цены,которым удовлетворяют искомые оптимальные стратегии "U , "V" •

В §4 указывается случай функционала ^ , когда цена игры и оптимальные стратегии могут быть построены конструктивно. При этом стратегия II отождествляется теперь с функцией

IT (-t ,u , е) ^ieT, хс R^k > о •

В третьей главе рассматривается задача позиционного моделирования для системы j^l ХС-И- ^/^Х^-Г/ШТ-^С* хШ , (0.8)

X(.i~ 1^(40), ^Ob), i е Т ? * Cbe+*^ (**) -ft ± 4 * 0 ?р = = > 0.

Здесь х пъ -мерный вектор. %нкции ^ и определяющие структуру системы (0.8), известны. Неизвестными являются запаздывания t.CtTi , t C't4) и возмущение

1 Д "Ь в I . Содержательно задача состоит в следующем. Имеется некоторое измерительное устройство, которое в каждый текущий момент *i оценивает предысторию ос-^ о) - | х

5 -J) ^ -i ^ 0 ] фазового вектора ХС-Ь") и запаздывание t.C-t) . Результат оценивания есть функция х* СО х и число т * , удовлетворяющие неравенствам

Требуется указать алгоритм, который в процессе движения системы (0.8) на оснований этой информации восстанавливает (в некотором смысле) возмущение и запаздывания t1 , 11 . Алгоритм должен быть устойчивым: результат восстановления должен быть тем точнее, чем меньше погрешности измерений ^

В §1 даётся строгая постановка этой задачи. Системе (0.8) сопоставляется специальным образом конструируемая управляемая система, называемая моделью. Вводится понятие стратегии моделирования. На основании этой стратегии управление моделью осуществляется по принципу обратной связи (по текущим замерам Т*С-Ь), Х^ СО и текущему состоянию модели) в дискретной по времени схеме - подобно тому, как это делается в задачах позиционного управления по гарантированному результату, рассмотренных в предыдущих главах. Исходная задача формализуется теперь как задача позиционного управления (моделирования), цель которого состоит в том, чтобы гарантировать наименьшее возможное значение показателя моделирования - рассогласования траектории системы (0.8) и траектории модели.

Обоснование предлагаемого алгоритма - стратегии моделирования - опирается на свойстео компактности множества движений системы (0.8). Поэтому в §2 доказывается это свойство.

В §3 изложено решение задачи о моделировании. В §4 приводится иллюстрирующий пример.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты.

1. Для линейных: систем с запаздыванием в фазовых координатах или управлениях, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, и стандартного функционала качества даны строгие постановки задач на минимум и максимум гарантированных результатов. Доказано, что позиционная дифференциальная игра, складывающаяся из этих задач, имеет седловую точку и цену. Указаны процедуры построения оптимальных стратегий по известной цене, образующих седловую точку,

2. Вццелены случаи, когда цена игры и оптимальные стратегии могут быть построены конструктивно. Указаны процедуры построения этих величин.

3. Для нелинейных динамических систем нейтрального типа дана строгая постановка задачи о моделировании по принципу обратной связи неизвестного возмущешш и неизвестных запаздываний в системе. Построен алгоритм решения этой задачи, устойчивый по отношению к информационным помехам.

Примечание. Основные результаты диссертационной работы изложены в публикациях С 50 - 55 1 .В работах С 51 , 54 Д Ю.С. Осипову принадлежит постановка задач. Доказательство основных утверждений проведено автором. В работе L 52 "] формализация задач осуществлена совместно с В.И.Максимовым. Конструкция и обоснование алгоритма моделирования принадлежит автору.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стихина, Татьяна Кабдешевна, 1984 год

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. - М.: Мир. 1967. - 479с.

2. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 623 с.

3. Гусятников П.Б. Об одной проблеме t убегания. Прикл. математика и механика, 1976, т.40, вып.1, с. 25-37.

4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных: задач. М.: Наука, 1974. - 479 с.

5. Красовский А.Н. 0 позиционном минимаксном управлении. Прикл. математика и механика, 1980, т.44, вып.4, с. 602-610.

6. Красовский А.Н. Дифференциальная игра для позиционного функционала. Докл. АН СССР, 1980, т.253, №6, с.1303-1307.

7. Красовский А.Н., Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры. Прикл. математика и механика, 1982, т.45, вып.4,с.579-586.

8. Красовский Н.Н. Дифференциальные игры. Аппроксимационные и формализованные модели. Мат.сб., 1978, т.107, вып.4 (12), с. 541-571

9. Красовский Н.Н., 0 стохастическом программном синтезе стратегий в дифференциальной игре. Прикл. математика и механика, 1982, т.46, вып.6, с. 885-892.

10. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. - 456 с.

11. Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Одна задача оптимального управления на минимум гарантированного результата. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1983, №2, с. 6-23.

12. Кряжимский А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения. Докл. АН СССР, 1978, т.239, М, с. 779782.

13. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 390 с.

14. Максимов В.И., Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О позиционном моделировании в динамических системах. Прикл. математика и механика, 1983, т.47, вып.6, с. 883-890.

15. Мищенко Е'.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр. Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, 1971, №5, с. 3-9.

16. Мищенко Е.§., Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры. Докл. АН СССР, 1967, т.174, М, с. 27-29.

17. Никольский М.С. Линейные дифференциальные игры преследования при наличии запаздываний. Докл. АН СССР, 1971, т.197, 11=5, с. I0I8-I02I.

18. Никольский М.С. О некоторых дифференциальных играх с фиксированным временем. Докл. АН СССР, 1978, т.240, №2, с. 272275.

19. Осипов Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием. -Докл. АН СССР, 1971, т.196, М, с. 779-782.

20. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием. Прикл. математика и механика, 1978, т.42, вып.6, с. 969-977.

21. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. О позиционном управлении при последействии в управляющих силах. Прикл. математика и механика, 1981, т.45, вып.2, с. 223-229.

22. Петров Н.Н. О существовании значения игры преследования. -Докл. АН СССР, 1970, т.190, №6, с. I289-I29I.

23. Петров Н.Н. Об отсутствии значения игры преследования. -Дифференц. Уравн., 1973, т.9, F5, с. 860-867.

24. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. JI.: Изд-во ЛГУ, 1977. - 224 с.25