Задачи оптимизации противоэпидемической профилактики с учетом особенностей сезонных подъемов заболеваемости ОРВИ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Житкова, Екатерина Михайловна

• Житкова, Екатерина Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Житкова, Екатерина Михайловна

Введение

Глава 1. Основные принципы моделирования профилактики

1.1. Исходные ограничения

1.2. Схема развития эпидемического процесса

1.3. Моделирование управляемого эпидемического процесса

1.3.1. Принцип введения управляющего воздействия

1.3.2. Простейшая математическая модель управляемого эпидемического процесса.

1.4. Особенности сезонных подъемов и учет их в организации профилактики

1.4.1. Особенности развития сезонных подъемов ОРВИ

1.4.2. Виды и средства профилактики

1.5. Задачи исследования.

Глава 2. Плановая профилактика в случае медленного роста заболеваемости

2.1. Постановка задачи

2.2. Методика построения оптимальной программы.

2.2.1. Алгоритм решения задачи (2.1)-(2.4)

2.2.2. Алгоритм решения задачи (2.1)-(2.5)

2.3. Особенности развития эпидемиологической обстановки и влияние на нее управляющих факторов

2.4. Численные эксперименты.

2.4.1. Сравнение оптимальных режимов в слабовыраженной и

- 32.4.2. Ситуации, соответствующие таблице 2.

2.5. Проверка качественных предположений

2.6. Изопериметрическая задача.

2.6.1. Постановка задачи для п групп риска

2.6.2. Метод решения

2.6.3. Численный пример

Глава 3. Плановая профилактика в случае повышенного роста заболеваемости

3.1. Постановка задачи

3.2. Методика построения оптимальной программы

3.2.1. Метод решения основанный на принципе максимума

3.2.2. Численный эксперимент

3.2.3. Другой подход

3.2.4. Численный эксперимент

Глава 4. Задачи организации очереди в случае повышенного роста заболеваемости

4.1. Обоснование задачи построения очереди.

4.2. Организация очереди по вакцинации школ

4.3. Организация очереди по вакцинации профессиональных групп

4.3.1. Метод решения

4.3.2. Численный пример

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи оптимизации противоэпидемической профилактики с учетом особенностей сезонных подъемов заболеваемости ОРВИ»

Актуальность темы. В диссертационном исследовании рассматривается проблема защиты населения от ежегодных подъемов заболеваемости ОРВИ (острыми респираторно-вирусными инфекциями), которые остаются наиболее массовыми инфекционными заболеваниями в России. Одной из важнейших задач здравоохранения является разработка и реализация комплекса профилактических мероприятий, направленных на сдерживание (снижение) эпидемического роста заболеваемости ОРВИ [13, 45, 47]. Решение этого вопроса осуществляется путем проведения профилактических мероприятий. При введении этих мер учитывается срочность вакцинации и ограниченность количества младшего медицинского персонала (медсестер) и врачей.

В настоящей работе разрабатываются модели управляемых процессов и алгоритмы их оптимизации. Построение оптимальных режимов основано на введении функционала и отыскания его минимума. Управляемым процессом является сезонный подъем заболеваемости ОРВИ, средством управления -вакцинация, а функционал определяет величину затрат на ее проведение.

В диссертации используются особенности развития эпидемического процесса, состоящие в различной скорости роста заболеваемости на разных фазах сезонного подъема: в фазе медленного роста и фазе повышенного роста заболеваемости. Поясним это. В силу непредсказуемости эпидемического процесса медленный подъем может неожиданно перейти в более быстрый (см. рис 1). Качественное различие между этими двумя случаями состоит в том, что в первом эпидемическая компонента гриппа отсутствует, а во втором -начинает существенно сказываться. Это приводит к разным моделям, разным задачам и разным методам их решения.

При назначении санэпиднадзором плановой профилактики учитываются два наиболее важных момента: эпидемический и экономический, которые июль Июнь

Рис. 1. Типовая кривая годовой динамики заболеваемости ОРЗ (без эпидемий гриппа) в г. Ленинграде за 1953-1979 гг. (по И.Г. Мариничу, Ю.Г. Иванникову) [10, с. 193]. рассматриваются в диссертации отдельно. Под эпидемическим аспектом понимается уменьшение числа инфицированных за время ее проведения, а под экономическим - снижение затрат на проведение профилактики. Оба эти аспекта связаны со скоростью роста заболеваемости. Если скорость достаточно мала, то назначается режим А (вакцинация в условиях медленного подъема), если же скорость повышена, то режим Б (вакцинация в условиях неожиданно начавшегося ускоренного подъема заболеваемости). Исследование проблемы уменьшения сезонной заболеваемости гриппом, путем введения ряда организационных мер только по плановой профилактике - вакцинации, проводится на участке сезонного подъема заболеваемости, не переходящего в эпидемический.

Актуальность тематики определяется необходимостью создания моделей и разработки эффективных приемов решения задач оптимизации для критериев двух типов: экономического и эпидемического. Кроме того, применение математического моделирования и численных методов к оптимизации вакци-иопрофилактики позволяет получить комплекс программ необходимых для более эффективной защиты населения от ОРВИ.

Основные понятия и определения, используемые в диссертации

Общепринято делить профилактику ОРВИ на плановую и экстренную.

Плановая профилактика проводится в предэпидемический период и состоит в вакцинировании населения и групп риска (специфическая профилактика); назначается ежегодно, независимо от того будет или не будет эпидемический подъем.

Экстренная профилактика - «комплекс мероприятий по защите населения в условиях уже начавшейся эпидемии гриппа. Он осуществляется за счет средств неспецифической профилактики (химиопрофилактика, интерферон и т.д.). В основном, она ориентируется на защиту невакцинированных групп населения. Применяется экстренная профилактика и как метод дополнительной защиты привитых с высоким риском заражения [14, стр. 158] ». Подобные мероприятия описаны в [29, 30].

Под сезонным подъемом понимается ежегодное повышение заболеваемости ОРВИ, приходящееся на холодное время года (осенне-зимний сезон).

Под эпидемическим подъемом заболеваемости эпидемиологи понимают переход заболеваемости через некоторый уровень, называемый пороговым (для разных городов он разный).

Под иммунным барьером понимается общее число лиц, имеющих постклинический иммунитет и иммунитет, приобретенный при вакцинации. Постклинический иммунитет создается перенесенным ранее заболеванием. Управление уровнем иммунного барьера осуществляется путем вакцинации, которая начинается за 1-2 месяца до начала эпидемии.

В настоящей работе рассматриваются только те инфекции, для которых разработаны специфические средства защиты. Управляемыми называются инфекции, для которых найдено надежное средство подавления возбудителя. Вакцина - одно из таких средств. Важно, чтобы вакцинация проходила значительно раньше возможного заражения, так как она помогает организму человека выработать защитные тела к данному вирусу и устанавливает иммунитет к заболеванию.

Важным моментом является необходимость прекращения вакцинации до момента объявления начала сезонного подъема с учетом стабилизационного периода иммунной системы после прививки. Обоснованием этому является то, что ослабленный вакциной организм при встрече с вирусом не готов с ним бороться (поскольку вакцинация провоцирует легкое «переболеваиие», которое в итоге и создает иммунитет).

Одним из эффективных средств предотвращения эпидемии гриппа была и остается плановая вакцинация. История массовых прививок против гриппа в СССР и России насчитывает почти 40 лет. Необходимо заметить, что хотя вакцинопрофилактика гриппа общепризнанна в качестве основного направления защиты населения, фактически она не оказывает заметного влияния на развитие эпидемии в массе населения (чтобы эффект был заметен необходимо вакцинировать до 70% численности населения, что требует больших организационных усилий и затрат) [14, 29, 48]. Поэтому, в силу неэффективности массовой вакцинации, эпидемиологами была'предложена стратегия вакцинирования групп риска (наиболее восприимчивых к вирусу групп населения и социально значимых групп, таких как: дети, пожилые люди; профессиональные группы: врачи, медицинские сестры, кондукторы общественного транспорта, работники торговли, пожарные, социальные работники, воспитатели детских садов и др.). Наиболее опасной является группа риска «младшие школьники», в силу их высокой контактируемости и отсутствия своевременного самоконтроля [45]. Например, в работе [13] приведены данные, свидетельствующие о том, что «массовая вакцинация против гриппа детей может существенно снизить заболеваемость гриппом невакцинированных членов их семей, а также невакцинированной популяции в целом, снизить смертность от гриппа и его осложнений у пожилых лиц, а также уменьшить заболеваемость гриппом и рядом заболеваний, возникающих как осложнение гриппозной инфекции у невакцинированных пожилых лиц». Как показал ряд исследований и математический анализ, экономический ущерб при массовой вакцинации детей для популяции в целом снижается (при вакцинации 80 % детей заболеваемость гриппом популяции в целом может снизиться на 80-90%) .

Вакцинацию групп риска называют выборочной. Однако не исключается вакцинация общей массы населения в некоторых случаях (начало циркуляции нового варианта вируса гриппа, т.е. того вируса, к которому нет иммунитета у населения). Кроме того, следует учитывать, что вирус гриппа изменчив, что снижает качество имеющихся вакцин. Это доказано не только российской, но и мировой практикой [24].

Путем вакцинации можно увеличить иммунную прослойку людей, разрывая, таким образом, механизм передачи возбудителя болезни от человека к человеку. Именно такой механизм имеет место при развитии эпидемии гриппа (передача возбудителя через воздух при дыхании, кашле, чихании, разговоре). Эпидемия гриппа - быстродействующий процесс, охватывающий большие массы населения, но помимо гриппа, циркулирует множество других форм ОРВИ. Вакцинированные против гриппа всегда могут заболеть одной из этих форм. Это снижает эффективность вакцинопрофилактики. Согласно [47], около 30 % вакцинированных заболевает. В настоящее время вакцина разработана только против гриппа, против других ОРВИ вакцин не разработано. Ежегодно всемирная организация здравоохранения (ВОЗ) пересматривает формулу вакцины, предназначенной для применения в текущем эпидемическом сезоне.

История количественных наблюдений за развитием эпидемий начинается с конца XIX века [4]. Несмотря на разнообразие видов инфекционных возбудителей, существуют общие закономерности развития эпидемического процесса. Наблюдения за развитием ряда эпидемий послужили основой для создания феноменологических моделей, описывающих фазовые изменения. Предыстория нынешних моделей тесно связана с работами Р. Росса [56-58], который первым попытался дать количественное описание эпидемий малярии, используя системные представления. Позднее Кермак и Мак Кендрик обобщили этот подход и построили стохастическую и детерминированную модели эпидемии [55]. Можно отметить также количественные наблюдения, который послужили позже базой для создания математических моделей в частных производных [60-62].

В отечественной литературе история развития математического моделирования эпидемий отображена в работах О.В. Барояна, JT.A. Рвачева и Ю.Г. Иванникова [4, 43]. Ими же собран большой количественный материал, послуживший основой для создания модели распространения эпидемии гриппа на обширной территории [4].

Развитие системных представлений в 1950-х гг. дало новый импульс математическому моделированию эпидемий. Это развитие прослеживается в работах [5, 11, 26, 35, 52-54, 60-63]. Отмеченные работы затрагивают неуправляемый эпидемический процесс. Одним из прикладных направлений моделирования стало введение управляющего воздействия. В частности, в работе [53] рассматривалось управление типа вакцинация. Оптимизация управления эпидемическим процессом с помощью принципа максимума Понтрягина проводилась в работах [51]. Схожие постановки задач и приемы их решения были рассмотрены в работах [2, 3]. Продолжением этого направления является настоящая работа.

В качестве базовой модели предложена управляемая модель эпидемического процесса, развивающегося в массе городского населения и захватывающего группы риска. Модель отражает три фазы развития, аналогичные принятым в модели Кермака - Мак Кендрика [55], и реализует принцип дифференциации населения по степени восприимчивости, выделяя группы с наибольшей восприимчивостью (группы риска). Принцип введения в модель управляющего воздействия (вакцинации) вытекает из механизма действия вакцины.

По аналогии с классической моделью Кермака - Мак Кендрика механизм заражения реализуется через встречи восприимчивых с зараженными. Развитие эпидемического процесса моделируется как последовательный переход из группы восприимчивых в группу инфицированных, а из нее - в группу иммунных. Этот процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений: dxi/dt — — ах\х2, dxz/dt = ах\х2 — (3x2, dx^/dt = /3x2, + х2 + ^з = N — const, xl(0)=x°1, х2(0) = х%, . ж3(0) = ж§ > 0, где х\ - ЧИСЛО восприимчивых, х2 - ЧИСЛО больных, xz - число иммунных, ах\Х2 - интенсивность заражения восприимчивых в контакте с больными (заболеваемость), (Зх2 - интенсивность выздоровления (/3 = 1/Т , Т - характерная длительность болезни), х\ + + - общее число лиц, участвующих в эпидемическом процессе (принимается постоянной), а, (3 - постоянные положительные коэффициенты. Также модель дополняется условиями начала эпидемии: ах\х2 — /Зх2 >0, (3/а.

Однако эта модель описывает неуправляемый эпидемический процесс. В диссертации вакцинопрофилактика формализуется как введение управляющего воздействия в уравнения развития эпидемии (в первое - со знаком минус, в третье - со знаком плюс). Учет групп риска привел к дополнительной трудности, состоящей в необходимости разработки схемы взаимодействия групп риска с населением города.

Диссертационная работа построена следующим образом.

В главе 1 даются исходные предпосылки, описываются схемы развития эпидемического процесса и строится простейшая математическая модель управляемого процесса. На основе этой модели будут формулироваться задачи исследования в последующих главах. Далее описаны особенности сезонных подъемов ОРВИ, виды и средства профилактики. Также в главе 1 сформулированы основные задачи исследования.

В главе 2 рассматривается плановая профилактика в случае медленного роста заболеваемости и ставится задача оптимизации профилактики без учета внутригруппового заражения. Приводится метод решения, основанный на принципе максимума Понтрягина. Кроме того, рассматривается изоперимет-рическая задача с заданным финансированием на проведение профилактики и лечения.

В главе 3 рассматриваются задачи плановой профилактики в случае повышенного роста заболеваемости с учетом внутригруппового заражения. Для группы риска «школьники» показана методика построения оптимальной про-"' граммы.

В 4.-й главе дается обоснование и ставится задачи построения очереди, с использованием критерия оптимальности, при повышенном подъеме заболеваемости.

Цели исследования:

1. Разработка математических моделей организации профилактики ОРВИ в группах риска;

2. Разработка алгоритмов решения задач организации профилактики в группах риска на разных этапах развития эпидемического процесса.

- 12

Полооюения, выносимые на защиту:

1. Две теоремы о существовании оптимальных решений в задаче организации вакцинопрофилактики.

2. Алгоритмы построения оптимальной программы вакцинации при заданном и неполностью определенном конечном состоянии эпидемического процесса.

3. Алгоритм решения изопсриметрической задачи с заданным финансированием.

4. Алгоритм построения оптимальной очереди групп риска на вакцинацию.

Методика исследований. Применяются методы теории оптимального управления, использующие принцип максимума, численные методы теории дифференциальных уравнений, а также элементы теории составления расписания.

Научная новизна состоит в построении ряда моделей, отображающих особенности сезонных подъемов ОРВИ и специфику заболеваемости групп риска, а также в применении двухрежимной вакцинопрофилактики, позволяющей менять интенсивность вакцинации в зависимости от уровня заболеваемости. В отличие от моделей взаимного заражения обоснована схема одностороннего заражения профессиональных групп риска от городского населения. В отличии от известных моделей с непрерывной вакцинацией предложена модель с дискретной вакцинацией профессиональных групп.

Теоретическая ценность результатов, полученных в диссертации, заключается в том, что они развивают теорию математического моделирования сезонных подъемов ОРВИ, учитывающих профилактические мероприятия. А также состоит в разработке аналитических приемов оптимизации. Полученные аналитические выражения позволяют рассчитать оптимальные режимы профилактики с учетом различных особенностей эпидемического процесса, а также определять очередность расстановки групп риска на вакцинацию.

Практическая значимость диссертации заключается в том, что разработанные модели и алгоритмы оптимизации профилактики позволяют снизить общее число переболевших за сезонный подъем. Они могут быть использованы при комплексных исследованиях организационных мероприятий по защите населения от ОРВИ, а также для разработки новых технологий обработки медицинских данных на основе применения современных компьютерных технологий.

Апробация работы.Результаты научных исследований прошли апробацию на научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ-ПУ СПбГУ(2001-2008 гг); на международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление» (Самара, 2004 г.); на межрегиональной конференции «Современные математические методы и информационные технологии в образовании» (Тюмень, 2005 г.); на научных семинарах кафедры управления медико-биологическими системами факультета ПМ-ПУ.

Публикации По материалам диссертации опубликованы 16 работ, четыре из которых в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Житкова, Екатерина Михайловна

Заключение

Итогом проведенной работы являются следующие результаты.

1. Построены математические модели сезонного подъема заболеваемости, учитывающие особенности взаимодействия населения с группами риска на разных фазах подъема (медленного, повышенного) и организационные особенности профилактические мероприятия (вакцинация).

2. Доказаны две теоремы существования оптимального решения задач оптимизации для случаев медленного и повышенного роста заболеваемости; приведены 2 следствия к теореме 1.

3. Разработан алгоритм нахождения оптимального режима в задаче плановой вакцинопрофилактики в случае медленного роста заболеваемости.

4. Разработан алгоритм нахождения оптимального режима при наличии ограниченной суммы средств на лечение и профилактику.

5. Разработан алгоритм нахождения оптимального режима в задаче плановой вакцинопрофилактики в случае повышенного роста заболеваемости.

6. Разработан алгоритм организации очереди по вакцинации школ с учетом внутригруппового заражения и заражения извне.

7. Разработан алгоритм организации очереди на вакцинацию профессиональных групп с учетом заражения только извне.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Житкова, Екатерина Михайловна, 2009 год

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2005, 384 с.

2. Бабаджанянц JT.K., Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах // Вопросы механики и процессов управления. Вып 22: Динамика, оптимизация, управление СПб.: Изд-во СПб-ГУ.

3. Бароян О.В., Рвачев J1.A., Иванников Ю.Г. Моделирование и прогнозирование эпидемий гриппа для территории СССР. М.: Наука, 1977.

4. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970.

5. Белов А.В., Огарков П.И. Дискуссионные проблемы общей эпидемиологии. //Журн. микробиологии. 2003.№ 2.С. 109-115.

6. Беляков В.Д. Избранные лекции по общей эпидемиологии инфекционных и неинфекционных заболеваний. М.: Медицина, 1995.

7. Беляков В.Д., Каминский Г.Д. Структура популяций возбудителей инфекционных болезней и механизм развития эпидемического процесса// Журн. микробиологиии. 1993. №1. С. 40-45.

8. Беляков В.Д., Голубев Д.Б., Каминский Г.Д., Тец В.В. Саморегуляция паразитарных систем. JL, 1987.- 8910. Беляков В.Д., Яфаев Р.Х. Эпидемиология. М.: Медицина, 1989.

9. Букринская А.Г. Вирусология. М.: Медицина, 1986.

10. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., 1976.

11. Гендон Ю.З. Массовая вакцинопрофилактика гриппа у детей как главный фактор борьбы с эпидемиями гриппа // ЖМЭИ, 2007. №4, с. 78-85.

12. Грипп / Под ред. Г.И.Карпухина. JI.: Медицина, 1986.

13. Житкова Е.М. Обзор современных разработок компьютерных технологий управления медицинской профилактикой // Сборник трудов международной конференции "Устойчивость и процессы управления". Санкт-Петербург, 2005. с. 1080-1083 .

14. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Оптимизация профилактики групп риска // ОПиПМ.2007, Том 14. Вып 2. с.293-294.

15. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Применение принципа максимума к оптимизации плановой профилактики // ОПиПМ, 2008 Том 15. Вып 2. с.293-294.

16. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Задача организации экстренной профилактики групп риска // Вестник СПбГУ, сер. 10, 2007, вып. 3. с.18-21.

17. Колесин И.Д., Житкова Е.М. Оптимизация противоэпидемической профилактики школьников // Автоматика и Телемеханика, 2008, № 7. с. 129135.

18. Житкова Е.М., -Колесин И.Д. Задача управления профилактикой гриппа// Процессы управления и устойчивость: Труды XXXVI научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. СПб: Издательство СПбГУ, 2005, с. 219-222.

19. Житкова Б.М., Колесин И.Д. Прикладное значение изопериметрических задач // Процессы управления и устойчивость. Труды XXXVIII международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб: Издательство СПбГУ, 2008, с.209-212.

20. Журнал «Фармацевтический вестник» за 2001-2008 гг.

21. Зубов В.И. Моделирование биологических процессов при помощи дифференциальных уравнений // Вопросы кибернентики. Вып. 25. 1975.

22. Икрамова Х.З. Математические методы прогнозирования эпидемических процессов. Ташкент, ФАН, 1979.

23. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

24. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям. М.,Наука, 1976.

25. Карпухин Г.И. Грипп. СПб, 2001.

26. Колесин И.Д. Математическая модель предэпидемической циркуляции: анализ механизмов направленной перестройки // Журн. микробиологии. 1997. №3. С.43-45.

27. Колесин И.Д. Математическая модель саморегулируемой паразитарной системы // Биофизика, 1993. Т.38. Вып.5 с. 892-894.

28. Колесин И.Д., Тендера М.Ф. Оптимизация противогриппозной профилактики//Автоматика и телемеханика. 1998. № 3. С.132-139.

29. Лисенков А.Н. и др. Методы математического моделирования эпидемий. Материалы XVI сессии ИПВЭ АМН СССР, вып.1, 1969.

30. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М., 1982.

31. Математические модели систем управления / под ред. В.Ф. Демьянова. СПб.: СПбГУ, 2000. с. 5-15.

32. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

33. Петросян Л.А., Захаров В.В. Математические модели в экологии. СПб.: Издательство СПбГУ, 1997.

34. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2005. 544 с.

35. Понтрягин Л.С. Принцип максимума. М.: Фонд мат. образования и просвещения, 1998. 70 с.- 9242. Понтрягин Л.С., Блотянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.

36. Рвачев JI.A. Детерминированные методы математического и машинного моделирования эпидемий большого масштаба. Автореф. к.ф-м. н., Киев, 1968.

37. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.

38. Сергиев В.П., Дрынов И.Д., Смирнов Ю.А., Франк К.Д. Филатов Н.Н. Проблема гриппа и система профилактики массового распространения единого комплекса ОРВИ // ЖМЭИ, 2007г., №1, с. 17-23.

39. Сергиев В.П., Литвин В.Ю. и др. Эволюция эпидемиологии.// Журн. микробиологии. 2003. №2. С. 75-83.

40. Смирнов B.C. Современные средства профилактики и лечения гриппа и ОРВИ. СПб.: ФАРМиндекс, 2003.

41. Смородинцев А.А. Грипп и его профилактика. Л.: Медицина, 1984.

42. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980г.

43. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 487 с.

44. Шаповалова И.А. Оптимальное управление процессом распространения заболевания // Применение функционального анализа в теории приближений. 4.2. Тверской гос. университет, 1998. с. 180-185.

45. Bailly N. The mathematical theory of epidemics. London, 1957.- 9353. Gonsales-Gusman J. An epidemiological model for direct and indirect transmission of Typhoid Fever //Math.Biosci. 1989. V. 96. P.33-46.

46. Kendall D. Deterministic and stochastic epidemic closed population. Proc.3-d. B.Sym., v.4, 1956.

47. Kermack W.O., Mc Kendrick A.G. A contribution to the mathematical theory of epidemics // Proceedings of the Royal Society. 1927, Ser. A. V. 115, № A771. p.700-721.

48. Ross R. An Application of the theory of probabilities to the study of a priori pathometry. Part I.// Proc. Rey. Soc., A, v.92, 1916, p.204-230.

49. Ross R. Some a priori pathometric equations. Brit. Med. Journal, 27, 1915.

50. Ross R. Some quantitative studies in epidemiology // Nature, London, October 5, 1911.

51. Zhitkova E. Asymptotic of solutions of singular system describing development of epidemic // Proceeding IMBE, Sidney, Australia, 2003.

52. Busenberg S., Cooke K, Iannelli M. Endemic thresholds and stability in a class of age-structured epidemics // SIAM J. Appl. Math. 1988. V. 48. № 6. P. 1379-1395.

53. Inaba H. Threshold and stability results for an age-structured model for parasitic infections //J. Math. Biol. 1990. V. 28. P.411-434.

54. Kretzschmar M. A renewal eqatuin with a birth-death process as a model for parasitic infections //J. Math. Biol. 1989. V. 27. № 2. P. 191-221.

55. Rnaldi F. Global stability results for epidemic models with latent period // IMA J. Math. Appl. Med. And Biol. 1990. V 7. № 2. P. 69-75.

56. Bollapragada Skinivas, Bussieck Michael R., Mallik Suman Scheduling commercial videotapes in broadcast television // Oper. Res. 2004. 52. 5. P. 679-689.

57. Slomp Jannes, Suresh Nallan C. The shift team formation problem in multi-shift manufacturing operations // Eur. J. Oper. Res. 2005. 165. № 3. P. 708728.

58. Zhao Chuanli, Tang Heng-Yong Single machine scheduling problems with deteriorating jobs // Appl. Math, and Comput. 2006. 161. № 3. P. 865-874.