Задачи калибровки бесплатформенных инерциальных навигационных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Деревянкин, Алексей Викторович

• Деревянкин, Алексей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Деревянкин, Алексей Викторович

Содержание

Введение

1 Методика стендовой калибровки блока акселерометров

1.1 Модель блока акселерометров.

1.1.1 Акселерометр.

1.1.2 Матричная модель блока акселерометров

1.2 О выборе плана эксперимента при калибровке блока акселерометров

1.2.1 Основное калибровочное соотношение

1.2.2 Стандартная форма задачи оценивания

1.2.3 О гарантирующем подходе к задаче оценивания.

1.2.4 Оптимальный гарантирующий план измерений.

1.2.5 О сокращении числа положений в плане эксперимента.

1.3 Основные расчетные соотношения.

1.3.1 Расчетная калибровочная система.

1.3.2 Анализ ошибок оценок.

1.3.3 Простейшая итерационная процедура.

1.3.4 Алгоритм калибровки (I).

1.4 Общая итерационная процедура построения оценок.

1.4.1 Об одном способе выбора расчетной системы координат

1.4.2 Построение итерации.

1.4.3 Алгоритм калибровки (II)

1.5 Результаты моделирования.

1.5.1 Ход моделирования.

1.5.2 Результаты моделирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи калибровки бесплатформенных инерциальных навигационных систем»

Инерциальная навигация — метод определения местоположения, скорости и ориентации подвижных объектов без использования внешней информации, исходя из показаний чувствительных элементов механической природы, находящихся на объекте [39]. В связи с тем, что для решения навигационных задач при помощи метода инерциальной навигации не требуются внешние измерения и сигналы, этот метод имеет особое значение среди всех существующих методов навигации; поэтому он находит самое широкое применение в управлении космическими аппаратами, самолетами, судами и другими объектами. Основы инерциальной навигации были заложены в 30-е годы XX века (хотя фактически первое применение инерциальных методов в навигации состоялось еще в начале XX века, с изобретением корабельных гирокомпасов); решающий вклад в создание этих основ внесли работы Б. В. Булгакова, А. Ю. Ишлинского, А. Н. Крылова, Е. Б. Левенталя, Г. О. Фридлендера, Ч. Дрейпера, М. Шулера. Интенсивное развитие метода инерциальной навигации началось в послевоенные годы; значительный вклад в развитие теории инерциальной навигации в этот период в нашей стране внесли В. Д. Андреев, Е. А. Девянин, С. П. Дмитриев, Н. А. Парусников и многие другие ученые. В настоящее время широкие исследования в области инерциальной навигации ведутся во многих учреждениях — в частности, в лаборатории управления и навигации Московского государственного университета под руководством А. А. Голована и Н. А. Парусникова. История развития теории инерциальной навигации и ее современное состояние подробно отражены в работах [2, 3, 11, 12, 13, 19, 20, 21, 23, 24, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 47, 53, 56, 57, 58, 59, 64, 66, 72, 78, 80].

Информация в инерциальных навигационных системах формируется на основании показаний чувствительных элементов, к которым относятся: акселерометры1, измеряющие удельную силу, действующую на их чувствительную массу; датчики угловой скорости, или гироскопы.

1Б классической литературе по механике [2], [39] указывается, что корректнее использовать название «пыотонометр», однако в настоящей работе будем употреблять более распространенный термин «акселерометр».

В показаниях этих чувствительных элементов содержатся ошибки, которые со временем приводят к накоплению ошибок определения координат, скоростей и ориентации объекта. Таким образом, один из путей повышения точности решения навигационной задачи заключается в оценивании инструментальных ошибок и введении соответствующих поправок в показания чувствительных элементов. Определение указанных ошибок, то есть зависимостей между показаниями чувствительных элементов и фактическими значениями измеряемых величин, называется калибровкой

Проблема калибровки инерциальных навигационных систем исследовалась, начиная с 1970-х гг., во многих научных учреждениях и специализированных предприятиях. Можно отметить, в частности, такие работы, посвященные решению задачи калибровки, как [7, 8, 10, 14, 17, 22, 31, 32, 54, 55, 61, 63, 68, 81]. Однако, несмотря на значительное количество исследований, посвященных проблеме калибровки, и существенные успехи, достигнутые в этой области, общая целостная и методически корректная теория, которая содержала бы подробное математическое исследование этой проблемы, до сих пор отсутствует. Это, в частности, связано с тем, что информационный обмен между различными научно-инженерными коллективами недостаточно интенсивен, а публикации в открытой печати довольно скупы и появляются с большой задержкой. Часто на предприятиях ограничиваются приближенными «инженерными» алгоритмами, основанными на хорошей профессиональной интуиции и дающими приемлемые (а иногда и весьма точные) оценки параметров моделей; при этом суждения об эффективности алгоритмов калибровки выводятся из окончательного поведения инерциальной системы на штатных траекториях. Подобные алгоритмы часто позволяют успешно решать конкретные задачи, возникающие на предприятиях; однако, при таком подходе источники основных погрешностей остаются недостаточно ясными, а предельно допустимые точности оценивания не обсуждаются, и, следовательно, усовершенствование алгоритмов калибровки затруднено. Отметим, что эпизодически доступные западные публикации не содержат внятного анализа ключевых этапов калибровки, определяющего ее эффективность. В связи с вышеизложенным описание алгоритмов калибровки со строгих математических позиций представляется актуальным.

Наиболее эффективным является подход к решению задачи калибровки, основанный на теории оценивания в линейных динамических системах [1]. В соответствии с этим подходом задача калибровки рассматривается как задача оценивания вектора ошибок инерциальной навигационной системы по измерениям выходных сигналов инерциальной системы и, возможно, по некоторым внешним измерениям. Классические методы оценивания исходят из предположения, что вероятностные характеристики ошибок измерений известны; в частности, в задаче калибровки бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) часто полагают, что флуктуационные ошибки чувствительных элементов описываются процессами типа белого шума. Это предположение приводит к методам оценивания, подобным методу наименьших квадратов или фильтру Калмана [1, 58, 60, 73, 75, 76]. Однако на практике не всегда можно с достаточной уверенностью сделать какие-либо предположения относительно статистических характеристик ошибок измерений; в этом случае представляется целесообразным применение гарантирующего подхода, который обеспечивает оптимальную оценку параметров в предположении ограниченности модулей ошибок измерений известными величинами. Традиционные постановки задач гарантирующего оценивания используют в качестве независимой переменной время, однако при решении некоторых механических задач в качестве независимой переменной целесообразно выбирать пространственный вектор: например, при ре? шении задачи калибровки блока акселерометров БИНС в качестве такого вектора может выступать вектор, задающий ориентацию блока [7, 29, 30].

Идея применения гарантирующего подхода к решению задач механики впервые была использована, по-видимому, Б. В. Булгаковым более 70 лет назад [13]2. Однако широкое развитие гарантирующих методов оценивания3 началось в 60-е годы XX века; в СССР основы данного направления, были заложены работами [40] и [45]. Достижения в этой области отражены в монографиях [5, 41, 43, 46, 50, 62, 65, 67, 74, 77, 79]. Гарантирующий подход с успехом применяют и для решения навигационных задач [7, 9, 30, 51].

Настоящая работа состоит из двух глав. В первой главе введена модель блока акселерометров БИНС, предполагающая, что статистические характеристики ошибок измерений неизвестны, а известны лишь ограничения на модули-этих ошибок.

2Первое издание монографии, на которую указывает данная ссылка, вышло в 1939 г.

3Гарантирующие методы оценивания называют также минимаксными, или робастными.

Рассмотрена методика стендовой калибровки блока, основанная на использовании гарантирующего подхода и обеспечивающая в этом смысле оптимальную точность оценивания параметров блока. Описан оптимальный плап эксперимента, полученный при помощи сведения исходной проблемы к задаче построения обобщенного чебышевского полинома посредством применения теории двойственности; приведены расчетные соотношения; получены оценки точности определения параметров; описаны результаты моделирования. Отличительной особенностью рассмотренной методики является то, что она не предъявляет высоких требований к точности угловой ориентации блока и может быть, таким образом, реализована даже на достаточно грубых калибровочных стендах. Другой отличительной особенностью методики является наличие второй итерации, позволяющей существенно повысить точность оценивания параметров блока. Предложенный подход позволяет провести декомпозицию исходной полной проблемы калибровки БИНС, сделав ее доступной для аналитического исследования и, тем самым, более контролируемой.

Во второй главе представлено математическое исследование алгоритма стендовой калибровки БИНС, разработанного в Московском институте электромеханики и автоматики (МИЭА) [18]. Несмотря на то,.что указанный алгоритм применялся на практике и давал удовлетворительные результаты, детальное математическое исследование этого алгоритма, позволяющее проверить его корректность, оценить предельно достижимые точности оценивания параметров и, возможно, предложить способы модернизации этого алгоритма, отсутствовали. В связи с этим возникала необходимость провести такое исследование, которое и представлено во второй главе диссертации.

При использовании рассматриваемого алгоритма параметры погрешностей блоков чувствительных элементов БИНС определяются по скоростной информации после специальных движений корпуса БИНС, установленной на поворотном стенде, основание которого неподвижно относительно Земли. Основную методическую сложность данной задачи составляет необходимость погрузить рассматриваемый алгоритм калибровки, содержащий многократные перезапуски и выставки системы, в русло стандартной постановки задач оценивания, что дает возможность учесть всю имеющуюся информацию и применить стандартные методы оценивания (фильтр

Калмана). Для преодоления указанной трудности построена специальная динамическая система «телескопической» структуры. В работе представлена модель блока датчиков угловой скорости-, описана дискретизация уравнений ошибок БИНС; получены выражения для переходной матрицы системы, математического ожидания начального значения вектора состояния и начальной ковариационной матрицы; построена «телескопическая» система, позволяющая описать алгоритм калибровки в рамках стандартной постановки задач оценивания. Помимо этого, подробно описан процесс выставки БИНС и получены связи параметров системы, порождаемые выставкой; представлены результаты вычислений. Получены оценки точности определения параметров блоков чувствительных элементов по формулам, предложенным в МИЭА, и проведено сравнение точности этих формул с точностью оценок, получаемых с помощью фильтра Калмана, примененного к «телескопической» системе. Разработанная математическая формализация привносит методическую ясность в задачу калибровки и может быть применена как для модификации рассмотренного во второй главе алгоритма, так и для исследования других алгоритмов стендовой калибровки БИНС.

По теме диссертации были сделаны доклады на научном семинаре им. А. Ю. Ишлинского кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ (2007, 2008 и 2011 гг.), на IX и X Конференции молодых ученых в ЦНИИ «Электроприбор» (2007 и 2008 гг.), па Научной сессии МИФИ (2008 г.), на XV Санкт-петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам в ЦНИИ «Электроприбор» (2008 г.), на XVII международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (2008 г.).

Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [9]4, [25]5, [26]6,

4Б о л от и н Ю. В., Деревянкин А. В., М атас о в А. И. Итерационная схема калибровки блока акселеромеаров при помощи гарантирующего подхода. Известия РАН. Механика твердого тела, 2008, т. 3, с. 48-61.

5Деревяпкин А. В., М атасов А. И. К теории калибровки блока акселерометров (тезисы доклада). XV Санкт-Петербургская мео/сдупародная конференция по интегрированным навигационным систелгам. СПб: ЦНИИ «Электроприбор», 2008, с. 71—72.

6Д еревянкин А. В. Об одном подходе к калибровке блока акселерометров (тезисы доклада). Гироскопия и навигация, 2007, № 2, с. 87.

27]7, [28]8, [29]9, [ЗО]10, [71]п.

Работа над диссертацией выполнялась при поддержке РФФИ (грант № 08-08-00904-а).

Автор выражает глубокую признательность доц. В. В. Тихомирову за ценные советы и замечания по содержанию диссертации.

7Д еревянкин А. В. Гарантирующий подход для калибровки блока акселерометров (тезисы доклада). Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации. Труды XVII международного научно-технического семинара. СПб.: ГУАП, 2008, с. 196.

8Д еревянкин А. В. Алгоритмы калибровки бесплатформенных инердиальных навигационных систем (тезисы доклада). Гироскопия и навигация, 2008, № 2, с. 79.

9Д е р е в я н к и н А. В., Матасов А. И. Пространственные задачи гарантирующего оценивания. Современные проблемы математики и механики. Прикладные исследования, 2009. т. 1, с. 165-179.

10Деревянкин А. В., Матасов А. И. Методика калибровки блока акселерометров при грубой информации о его угловом положении. Изд-е 2-е. М.: Механико-математический факультет МГУ, 2010. nD е г е vy an k i n A. V., Matasov A. I. The theory of spatial guaranteed estimation and calibration problem. Proceedings of the 3rd IEEE Multiconference on Systems and Control. The IEEE Control Systems Society, Saint-Petersburg, 2009.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Деревянкин, Алексей Викторович

Заключение

В главе 1 рассмотрена общая методика стендовой калибровки блока акселерометров, основанная на использовании гарантирующего подхода. Отличительной особенностью методики является детальный анализ второй итерации, позволяющей повысить точность оценивания параметров. В главе 2 представлено исследование алгоритма стендовой калибровки БИНС, разработанного в Московском институте электромеханики и автоматики (МИЭА). Построена специальная динамическая система «телескопической» структуры, что позволило учесть наличие многократных перезапусков системы и свести задачу к стандартной постановке задач оценивания, применив для ее решения фильтр Калмана. Показано, что как рассмотренный алгоритм калибровки, так и фильтр Калмана дают улучшение точности оценивания всех параметров (для большинства параметров — значительное). При увеличении промежутка времени между скоростными измерениями точность оценивания фильтром Калмана повышается, в то время как точность оценивания по формулам МИЭА падает. Таким образом, алгоритм МИЭА дает приемлемую точность оценивания, но имеет ограниченную область применимости.

Разработанная формализация привносит методическую ясность в общую задачу калибровки БИНС и может быть эффективно применена на специализированных предприятиях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Деревянкин, Алексей Викторович, 2011 год

1. А л е к с а н д р о в В. В., Болтянский В. Г., Лемак С. С., Парусников Н. А., Тихомиров В. М. Оптимальное управление движением. М.: Изд-во МГУ, 2005.

2. Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации (автономные системы). М.: Наука, 1966.

3. А н д р е е в В. Д. Теория инерциальной навигации (корректируемые системы). М.: Наука, 1967.

4. Ашманов С. А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

5. Бахшиян Б. Ц., Н аз и ров Р. Р., Эльясберг П. Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

6. Белоусов Л. 10. Оценивание параметров движения космических аппаратов. М.: Физматлит, 2002.

7. Бобрик Г. И., М атасов А. И. Оптимальное гарантирующее оценивание параметров блока ньютонометров. Известия РАН. Механика твердого тела, 1993, № 5, с. 8—14.

8. Б о л о т и п Ю. В. Алгоритмы калибровки акселерометров и СКТ ИНС-2К на поворотном столе. Отчет лаборатории управления и навигации механико-математического факультета МГУ, 2006.

9. Болотин Ю. В., Дер ев ян к ин А. В., М атас о в А. И. Итерационная схема калибровки блока акселерометров при помощи гарантирующего подхода. Известия РАН. Механика твердого тела, 2008, т. 3, с. 48—61.

10. Браславский Д. А., Поликовский Е. Ф., Якубович А. М. Метод калибровки трехосного блока акселерометров. Заявка на изобретение № 2422425/23 с приоритетом от 24 ноября 1976 г.

11. Броксмейер Ч. Ф. Системы инерциальной навигации. Л.: Судостроение, 1967.

12. Б р о м б е р г П. В. Теория инерциальных систем навигации. М.: Наука, 1979.

13. Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. Изд-е 3-е. М.: Изд-во МГУ, 1976.

14. Вавилова Н. Б., Парусников Н. А., Сазонов И. Ю. Калибровка бескарданных навигационных систем при помощи грубых одностепенных стендов. Современные проблемы математики и механики. Прикладные исследования, 2009, т. 1, с. 212-223.

15. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

17. Голиков В. П., Ларионов С. В., Требухов А. В., Болотин Ю. В., Тихомиров В. В., Трубников С. А. Алгоритмы калибровки платформенной инерциальной навигационной системы. Гироскопия и навигация, 2006, № 4, с. 89.

18. Голован А. А., Парусников Н. А. Математические основы навигационных систем. Часть I. Математические модели инерциальной навигации. Изд-е 3-е. М.: Изд-во МГУ, 2011.

19. Голован А. А., Парусников Н. А. Математические основы навигационных систем. Часть II. Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. М.: Изд-во МГУ, 2008.

20. Г о р е н ш т е й н И. А., Ш у л ь м а н И. А. Инерциальные навигационные системы. М.: Машиностроение, 1970.

21. Гусинский В. 3., Лесю невский В. М., Литманович Ю. А., Столбов А. А. Алгоритм калибровки трехосного блока акселерометров, предназначенного для использования в БИНС. XXII научно-техническая конф. памяти Н. Н. Острякова. СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 2000.

22. Д е в я н и н Е. А. О возможных принципах построения систем инерциальной навигации. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1969, № 6, с. 10—14.

23. Дев я нин Е. А., И га лип с кий А. Ю., Климов Д. М. Механика гироскопических и навигационных систем. — В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. I. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1968.

24. Деревянкин А. В., Мат ас о в А. И. К теории калибровки блока акселерометров (тезисы доклада). XV Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. СПб: ЦНИИ «Электроприбор», 2008, с. 71—72.

25. Деревянкин А. В. Об одном подходе к калибровке блока акселерометров (тезисы доклада). Гироскопия и навигация, 2007, № 2, с. 87.

26. Деревянкин А. В. Алгоритмы калибровки бесплатформенных инерци-альных навигационных систем (тезисы доклада). Гироскопия и навигация, 2008, № 2, с. 79.

27. Деревянкин А. В., М атасов А. И. Пространственные задачи гарантирующего оценивания. Современные проблемы математики и механики. Прикладные исследования, 2009. т. 1, с. 165—179.

28. Деревянкин А. В., Матасов А. И. Методика калибровки блока акселерометров при грубой информации о его угловом положении. Изд-е 2-е. М.: Механико-математический факультет МГУ, 2010.

29. Ермаков В. С. и др. Калибровка бесплатформенных инерциальных систем навигации и ориентации. Аэрокосмическая техника. Вестник ПГТУ, 2004, т. 18, с. 25-30.

30. Инерциальная навигация. Анализ и проектирование. — под ред. К. Ф. О'Дон-нела. М.: Наука, 1969.

31. Иперциальные системы управления. — под ред. Питтмана Д., пер. с англ. под ред. Д. М. Комарова. М.: Воениздат, 1964.

32. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

33. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

34. Ишлинский А. Ю. Инерциальное управление баллистическими ракетами. М.: Наука, 1968.

35. Ишлинский А. Ю., Блюмин И. Д. Теория гироскопических и инерциальных систем. — в кн.: История механики с конца XVIII века до середины XX века. М.: Наука, 1972.

36. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976.

37. К р а с о в с к и й Н. Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем. Прикладная математика и механика, 1964, 1, с. 3—14.

38. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.мы на неподвижном основании. Фундаментальная и прикладная математика, 2005, т. 11, № 7, с. 159-166.

39. Парусников Н. А. Задача калибровки бескарданной инерциальной навигационной системы. Известия РАН. Механика твердого тела, 2009, т. 4, с. 3—9.

40. Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.: Наука, 1973.

41. Р и в к и н С. С. Теория гироскопических устройств, ч. I. Л.: Судпромгиз, 1962; ч. II. Л.: Судостроение, 1964.

42. Р и в к и н С. С. Метод оптимальной фильтрации Калмана и его применение в инерциальных навигационных системах. Обзор отечественной и зарубежной литературы. Л.: Судостроение, ч. I — 1973, ч. II — 1974.

43. Риглей В., Вудбери Р., Говорка Дж. Инерциальная навигация. Пер. с англ. под ред. Г. О. Фридлендера. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

44. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1992.

45. Сазонов И. Ю., Шаймарданов И. X. Калибровка бесплатформенной инерциальной навигационной системы на микромеханических датчиках акселерометров и гироскопов. Вопросы оборонной техники. Серия 9, 2010.

46. Смоляк С. А., Титоренко Б. П. Устойчивые методы оценивания. М.: Статистика, 1980.

47. Тихомиров В. В. Оценка дрейфов БИНС на неподвижном стенде. Отчет лаборатории управления и навигации механико-математического факультета МГУ, 2008.

48. Фридлендер Г. О. Инерциальные системы навигации. М.: Физматгиз, 1961.

49. X ь ю б е р П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984.

50. Чел панов И. Б. Оптимальная обработка сигналов в навигационных системах. М.: Наука, 1967.

51. Черноусько Ф. JI. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

52. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Часть 1. Изд-е 6-е. М.: Высшая школа, 1984.

53. В ash ко v A., Kolmanovskii V., Мао X., Matasov A. Mean-Square Filtering Problem for Discrete Volterra Equations. Stochastic Analysis and Applications, 2004, vol. 22, № 4, pp. 1085—1110.

54. Derevyankin A. V., Matasov A. I. The Theory of Spatial Guaranteed Estimation and Calibration Problem. Proceedings of the 3rd IEEE Multiconference on Systems and Control. The IEEE Control Systems Society, Saint-Petersburg, 2009.

55. Draper C. S., Wrigley W., Horovka J. Inertial Guidance. Oxford, Pergamon Press, 1960.

56. J a z w і n s к і A. H. Stochastic Processes and Filtering Theory. Academic Press, New York, 1970.

57. К а і 1 a t h Т., S а у e d A. H., H a s s і b і В. Linear Estimation. New Jersey, Prentice Hall, 2000.

58. К a 1 m a n R. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Transactions of the American Society of the Mechanical Engineers. Journal of Basic Engineering, 1960, vol. 82.

59. Kalman R., Bucy R. New Results in Linear Filtering and Prediction Theory. Transactions of the American Society of the Mechanical Engineers. Journal of Basic Engineering, 1961, vol. 83.

60. Matasov A. I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999.

61. Savant C. I. Jr., Howard R. C., S olio way C. B., Savant C. A. Prinziples of Inertial Navigation. McGraw-Hill Book. Co., New York, 1961.

62. Schweppe F. C. Uncertain Dynamic Systems. Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1973.

63. Space Navigation Guidance and Control. Ed. by J. E. Miller. Maidenhead, Technivision, 1966.

64. Syed Z. F., Aggarwal P., Good all C., Niu X., and El-She i m y N. A New Multi-position Calibration Method for MEMS Inertial Navigation Systems. Measurement Science and Technology, 2007, vol. 18, pp. 1897-1907.