Задачи достижимости и синтеза управлений для гибридных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Точилин, Павел Александрович

• Точилин, Павел Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Точилин, Павел Александрович

Содержание

Перечень основных обозначений.

Введение.

1 Достижимость и верификация в гибридных системах.

1.1 Гибридная система.

1.1.1 Описание модели.

1.1.2 Классы допустимых управлений.

1.1.3 Траектория гибридной системы.

1.1.4 Дополнительные ограничения на параметры системы.

1.1.5 Кусочно-линейная система с переключениями.

1.2 Множество достижимости и задача верификации.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Дискретная история траектории гибридной системы.

1.2.3 Свойства множества достижимости.

1.2.4 Решение задачи верификации.

1.2.5 Метод динамического программирования. Функции цены.

1.2.6 Решение задачи верификации с помощью функций цены.

1.2.7 Об эллипсоидальной аппроксимации множества достижимости.

1.2.8 Примеры построения аппроксимации множества достижимости.

2 Задача синтеза управлений для гибридной системы.

2.1 Слабо инвариантное множество.

2.1.1 Дискретная история траектории гибридной системы. Представление слабо инвариантного множества в виде композиции одношаговых операторов.

2.1.2 Функции цены для слабо инвариантного множества.

2.2 Решение задачи синтеза управлений при помощи функции цены.

2.3 Об эллипсоидальной аппроксимации слабо инвариантного множества.

3 Примеры.

3.1 Пример в К2. Моделирование движения бильярдного шара.

3.1.1 Описание математической модели.

3.1.2 Эффект Зенона.

3.1.3 Квазипериодические траектории.

3.2 Пример в Ж3. Задача управления шариком, скачущим на вращающейся плоскости.

3.2.1 Описание математической модели.

3.2.2 Задача управления траекторией гибридной системы.

3.2.3 Функции цены и уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана.

3.2.4 Оптимальное управление.

3.2.5 Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи достижимости и синтеза управлений для гибридных систем»

Данная работа посвящена анализу математических моделей сложных процессов, относящихся к числу так называемых гибридных. Они представляют собой математические модели систем управления, в которых непрерывная динамика, порождаемая в каждый момент времени одной из априорно заданного набора непрерывных систем, перемежается с дискретными операциями, подающими команды либо на мгновенное переключение с одной системы на другую, либо на мгновенную перестройку с заданных текущих координат на другие координаты, либо на то и другое одновременно. Таким образом, гибридная динамика системы заключается в альтернированной комбинации непрерывной динамики с дискретной, скачкообразной. Непрерывная и дискретная составляющие системы могут включать некоторые параметры, влияющие на поведение системы. Значениями части таких параметров - управлений можно распоряжаться, значения же других параметров -помех или неопределенностей формируются в результате функционирования сложных, плохо формализованных механизмов, либо являются результатом погрешностей, допущенных при математическом моделировании.

Гибридные системы часто встречаются в различных прикладных задачах из таких областей знания, как автомобилестроение [65], авиастроение [4], робототехника [33], электроэнергетика [69], обеспечение безопасного движения в пространстве [37], [66], [70] на суше [56], [75], на воде и др. Математическая модель гибридной системы возникает каждый раз, когда необходимо исследовать взаимодействие среды, непрерывно изменяющейся в соответствии с некоторыми физическими законами, и управляющих элементов, срабатывающих в дискретные моменты времени. Примерами таких комплексов могут служить электронные системы автоматического управления самолетом, либо автомобилем, системы автоматического регулирования температуры, влажности в помещении и др. Возможности подобных систем проявляются шире, чем обычных.

Гибридная система может быть получена также при кусочно-линейной аппроксимации сложной нелинейной системы дифференциальных уравнений. Решение различных задач управления для нелинейной системы, таким образом, може/г быть аппроксимировано решениями аналогичных задач для гибридной системы.

По-видимому, в силу чрезмерной широты охвата, не следует концентрироваться на поисках удовлетворительной универсальной модели гибридной системы и устоявшейся системы обозначений, используемых при её описании. Тем более, что каждый класс моделей гибридной системы был, как правило, мотивирован конкретными видами прикладных задач. Различные представления для моделей гибридных систем приведены, например, в [10], [25], [32], [41], [42], [54], [59], [60], [74].

Исследование гибридных систем и решение для них различных задач управления расширяет область применения соответствующей математической теории. Для гибридных систем могут быть сформулированы различные известные задачи оптимального управления, достижимости и верификации, темы исследования на устойчивость, новые задачи стабилизации, идентификации и др. В связи с гибридными системами возникает также множество новых постановок, требующих оригинальной модификации известных ранее методов, в которых могут соединяться элементы разных математических дисциплин (в частности, теории дифференциальных уравнений, математической логики, теории конечных детерминированных автоматов), равно как и вновь придуманных математических средств.

Среди классических задач теории управления, поставленных для гибридных систем, значительные результаты были получены в решении задач стабилизации [34], [42], [64], [68], а также в ряде задач оптимального управления. Данным вопросам посвящены работы M.S. Branicky, М. Johansson, S. Sastry. Стоит отметить работу [32], в которой для решения задачи оптимального управления гибридной системой были выведены квазивариационные неравенства для специально сконструированной функции цены. В работах ,Т. Lygeros [36], [37] рассматриваются задачи управления для стохастических гибридных систем.

В данной работе рассматриваются задачи достижимости, верификации и синтеза управлений для гибридной системы.

Задача достижимости состоит в построении множества достижимости гибридной системы, состоящем из всевозможных состояний системы, в которые можно перейти при помощи соответствующего допустимого управляющего воздействия из фиксированного в заданный начальный момент времени состояния (или множества таковых). Эволюцию множеств достижимости описывает трубка достижимости.

К задачам достижимости примыкают задачи верификации, в которых необходимо узнать, может ли анализируемая система попасть (или, наоборот, не попасть) в одно из предписанных" состояний ("желательных" или "нежелательных"). Такая постановка задачи может быть обусловлена, например, проблемами обеспечения безопасности движения в пространстве.

Задачи достижимости и верификации для гибридной системы рассматривались, в частности, в работах Е. Асарина, J. Lygeros, С. Tomlin и др.: [10], [55], [57], [65], [72]. В работах [27], [29] для их решения были применены геометрические методы. В работе [10] предложены схемы, основанные на разработанном ранее эллипсоидальном исчислении [45], [47]. Применение данной техники позволит построить для гибридных систем конструктивную теорию, направленную на решение задач достижимости и верификации "до конца", т.е. до практически реализуемого алгоритма.

Центральной в теории управления является, как известно, задача синтеза управлений, которая состоит в построении входного воздействия, переводящего систему в предписанное конечное состояние из фиксированного множества начальных состояний. При этом управление в задаче синтеза является позиционным, то есть зависит как от времени, так и от позиции системы, включающей, в частности, фазовые переменные и номер действующей системы дифференциальных уравнений. Использование таких управлений обусловлено решением практических задач в условиях неполной или неточной информации при наличии возмущений.

Один из методов решения задач програмлтого управления для обычных, негибридных систем опирается на принцип максимума JI.C. Понтрягина [15], при помощи которого могут быть получены необходимые условия оптимальности. Принцип максимума может быть применен в обобщенной формулировке и для гибридных систем [77]. В отсутствии возмущений значение критерия оптимальности при позиционных стратегиях совпадает со значением, полученным при программных управлениях. Однако, при наличии возмущений одних программных управлений уже недостаточно. В таком случае нужны позиционные управления, найденные, например, путем использования методов динамического программирования [1], а также теория, разработанная для негибридных систем H.H. Красовским [б], [7], [8]. Задача синтеза может быть также сформулирована как задача поиска такого позиционного управления, которое удерживает траекторию внутри системы слабо инвариантных лтоо/сеств (попятных множеств достижимости, множеств разрешимости), образующих трубку разрешимости [45] (стабильный мост [8]) и т.п. По найденным слабо инвариантным множествам можно построить синтез с требуемыми свойствами, опираясь на метод экстремального прицеливания, [7].

Применению методов динамического программирования для решения задач управления гибридными системами посвящены работы [28], [32], [33], [43] [57], [67], [71] и другие.

Основная цель данной работы состоит в исследовании структуры множеств достижимости для гибридной системы без неопределенности, в решении задач верификации, численного построения множеств достижимости или разрешимости, а также в решении задачи синтеза управлений.

В первой главе диссертации рассматривается задача построения множества достижимости для гибридной системы, а также задачи верификации. В разделе 1.1 описывается математическая модель гибридной системы, используемая в следующих разделах и главах. Эта модель включает в себя непрерывную и дискретную составляющие. Непрерывная составляющая системы представлена совокупностью N систем обыкновенных дифференциальных уравнений: и«) ,/ = 1,.,ЛГ, (1) где в каждый момент времени активной является одна из указанных систем. Здесь .т^ £ £1Х С М"* - вектор фазовых координат, 6 Кп"с - управление. На управление и^ наложены геометрические ограничения: и^ = и^^) £

Дискретная составляющая модели гибридной системы содержит правила мгновенного перехода от одной системы дифференциальных уравнений (1) к другой - переключения системы. Переключение с г-ой системы (1) на другую может произойти лишь при определенных условиях, а именно, при £ <5(г), где 5(г) С М71* - пространственная область переключения. В данной работе всюду считается, что множества с?(г) представляют собой конечные объединения гиперплоскостей и полос в пространстве К"-".

Кроме правил перехода от одной системы дифференциальных уравнений (1) к другой дискретная составляющая гибридной системы содержит соотношения, описывающие так называемые перестройки состояния - мгновенные изменения вектора фазовых переменных. Перестройки состояния могут происходить только в так называемых областях перестроек, которые в рассматриваемой модели приняты совпадающими с областями переключений Б (¿).

Функционирование дискретной составляющей гибридной системы при переключении и/или перестройке может быть описано уравнением: 0)} = 0),г-,«Д (2) где г-,г+ € {1,., ./V} - номера систем дифференциальных уравнений (1) до и после переключения, I 6 [¿о, /]], —0), ¿'^(¿+0) 6 - векторы фазовых переменных непосредственно до и сразу после перестройки, иа € МПц<г - управляющий параметр, на значения которого наложено ограничение: и^ = г ) £ 'Ра{г ). где 'Ра{г )-некоторое множество в пространстве Е'1"^.

Управления ис могут быть взяты либо из класса программных управлений ¿1) тогда ис = и^(¿) - функция времени, зависящая также от номера активной системы (1)), либо из класса позиционных управлений ¿4,/. В последнем случае ис является многозначным отображением а^ = и^ (¿, х) С зависящим от времени, вектора фазовых переданных и номера активной системы (1). При использовании многозначных позиционных управлений необходимо убедиться, что после их подстановки в уравнения системы будут получены дифференциальные включения, имеющие решения (в смысле, определенном в монографии [22]) Использование известной теоремы о существовании решения у полунепрерывного сверху, выпуклозначного, компактнозначпого дифференциального включения, в данной работе невозможно. Вместо указанной теоремы из [22] в работе использован результат, приведенный в [76] и позволяющий работать с управлениями, приводящими к невыпуклозначным дифференциальным включениям.

При решении различных задач управления для гибридных систем ключевым является определение понятия позиции системы. В данной работе под позицией системы понимается четверка {£, х,г,в}, в которой / Е [¿сь ¿1] — текущий момент времени, х Е - вектор фазовых переменных, / € {1,., А"} - номер активной системы дифференциальных уравнений, в € [¿о, ~ момент последнего произошедшего переключения или перестройки. Компонента в позволяет различать позиции системы непосредственно перед переключением и/или перестройкой и сразу после таковой. Определенная таким образом позиция системы позволяет формулировать принцип оптимальности в форме полугруппового свойства для функций цены, используемых для решения задач управления методами динамического программирования.

Частным случаем рассматриваемой модели гибридной системы является кусочно-линейная система с переключениями ([74], [42], [10]), в которой область фазового пространства Их разбита гиперплоскостями на части каждой из которых поставлена в соответствие некоторая система линейных дифференциальных уравнений с управляющими параметрами. Уравнения из описания модели гибридной системы при этом являются линейными по вектору фазовых переменных и управлению: „СО) = + + (3)

Здесь (¿) : [¿о, —»• Мп"с - фиксированная непрерывная функция,

АОО € € С([*о,*1],Кп*хп"с),С'.(*) € С([*о,и]ЛпМс), х, I, иа) = з^щ, если х £ . . { Кф)х + ^/i7(í)г¿f^ + , если х £ П® п гьх [ь, х, г, ив.) — л х , иначе

Здесь — Vd.it,г) - фиксированное отображение, £ МГ1жХ,г;с, е ЕПхХПг'.г, Ш.ПхХП"<1, с^ ф 0, щ £ Та - выпуклое, компактное множество. Часть результатов в данной работе получена при предположении, что исследуемая гибридная система является кусочно-линейной системой с переключениями. Используется также более слабое предположение о линейной структуре гибридной системы, когда уравнения из описания модели являются линейными, но нет никаких ограничений, связанных с разбиением фазового пространства на области

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Точилин, Павел Александрович

Основные результаты, приведенные в данной диссертации:

• Исследована ветвящаяся структура прямого и попятного множеств достижимости для гибридной системы с линейной структурой без неопределенности. Приведены описания указанных множеств в виде попеременных суперпозиций операторов простой структуры, а также в виде множеств нулевого уровня специальных функций цены. Для этих функций методами выпуклого анализа выведены выражения, которые можно использовать для их численного расчета. Кроме того, получены уравнения типа Гамильтона-Якоби-Беллмана, которым должны удовлетворять указанные функции. Предложены численные методы расчета множеств достижимости, основанные на использовании аппарата эллипсоидального исчисления. Проведены расчеты аппроксимаций множеств достижимости для нескольких примеров гибридных систем.

• На основании функции цены для попятного множества достижимости (слабо инвариантного множества) и соответствующих уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана построен синтез, решающий задачу перевода траектории системы в целевое множество на заданном отрезке времени.

• Для конкретного примера гибридной системы на плоскости исследованы возможности появления эффекта Зенона, а также квазипериодических или асимптотически квазипериодических траекторий.

• Решен ряд задач управления для математической модели шарика, скачущего на вращающейся плоскости в пространстве. Предложены эффективные методы численного расчета функций цены для этих задач, построен синтез управлений. Произведены расчеты функций цены и оптимальных траекторий при конкретных параметрах системы.

Заключение