Задача Дирихле для многомерных эллиптических систем уравнений второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Халилов, Шавкат Бобоевич

• Халилов, Шавкат Бобоевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Халилов, Шавкат Бобоевич

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Теория ньютоновых потенциалов и эллиптические уравнения

1.2 Эллиптические по Петровскому системы уравнения в частных производных.

2 Задача Дирихле для эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными главными частями

2.1 Общее представление решения систем с симметричной главной части без младших членов.

2.2 Задача Дирихле для модельной системы с постоянными коэффициентами . ,.

2.3 Задача Дирихле для модельной системы с переменными коэффициентами

2.4 Задача Дирихле для системы (2.0.1) с постоянными коэффициентами

2.5 Задача Дирихле для общей системы (2.0.1) с переменными коэффициентами.

3 Задача Дирихле для несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

3.1 Общие представления решений модельных систем.

3.2 Решение задачи Дирихле для модельной системы (3.0.1) в полупространстве . .•.

3.3 Решение задачи Дирихле для системы (3.0.1) в ограниченной области.

3.4 Решение задачи Дирихле для системы (3.1.1) в шаре

3.5 Задача Дирихле для системы (3.0.3).

3.6 Задача Дирихле для системы (3.0,4).

Задача Дирихле для несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с переменными коэффициентами

4.1 Задача Дирихле для системы (4.0.1) в произвольной ограниченной области.

4.2 Задача Дирихле для системы (4.0.2).

4.3 Задача Дирихле для системы (4.0.3).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Дирихле для многомерных эллиптических систем уравнений второго порядка»

Актуальность темы. В 1937 году И.Г.Петровский [30] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, называемых теперь эллиптическими по Петровскому. Решения таких систем обладают многими свойствами, характерными для решений одного эллиптического уравнения. Например, все регулярные решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения. В 1948 году А.В.Бицадзе [4] построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которого нарушалась нетеровость задачи Дирихле. В связи с системой Бицадзе для эллиптических по Петровскому систем возник вопрос классификации граничных задач по характеру их разрешимости. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем не всегда нетеро-вы, поэтому класс таких систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Вскоре такие дополнительные ограничения нашел М.И.Вишик [10]. Он усилил условия эллиптичности по Петровскому требованием сильной эллиптичности, то есть либо положительной, либо отрицательной определенностью симметричной составляющей характеристической матрицы системы. Сильно эллиптические системы по характеру разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, то есть эти задачи всегда петеровы.

Задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем была сформулирована в совместном докладе И.М.Гельфанда, И.Г.Петровского, Г.Е.Шилова на III Математическом съезде в 1956 г. [12], и там же была подчеркнута важность исследований несильно эллиптических систем.

Исследованиям краевых задач для несильно эллиптических систем посвящены работы известных ученых А.В.Бицадзе [3]- [4], А.И.Янушаускаса [51]- [62], А.Д.Джураева [16], Ю.Т.Антохипа [1], М.З.Соломяка [40],

А.П.Солдатова [39], Л.П.Волевича [11], Б.В.Вайнберга , В.В.Грушина [6], В.И.Шевченко [49], В.Н.Черномаза [50], В.С.Виноградова [9], Р.С.Сакса [33]- [35], Е.Н.Кузьмина [18], В.Феллера [46], П.С.Фролова

47], Н.Е.Товмасяна [43], [44], а также работы их учеников.

Система Бицадзе тесно связана с системой Коши-Римана. Изучение эллиптических систем с двумя независимыми переменными привело к созданию теорий обобщенных аналитических функций [8]. К настоящему времени эллиптические системы первого порядка с двумя независимыми переменными исследованы достаточно хорошо. Также хорошо разработана теория эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными [3], а для систем с двумя независимыми переменными любого порядка решена задача гомотопической классификации [47]. В общем случае для граничных задач не наблюдается никаких новых явлений по сравнению с системой Бицадзе, содержащей к тому же младшие члены. Для эллиптических систем со многими независимыми переменными характер разрешимости классических граничных задач существенно зависит от структуры системы, размерности пространства, структуры рассматриваемой области. Корректность же классических граничных задач для общих эллиптических по Петровскому систем, даже с постоянными коэффициентами, исследована пока еще мало, также далека от полного решения и задача гомотопической классификации таких систем по характеру их разрешимости. Эти обстоятельства указывают на актуальность исследования вопроса о разрешимости классических граничных задач для многомерных (п > 2) несильно эллиптических систем.

Эллиптические по Петровскому систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными А.В.Бицадзе разделил на два класса - слабосвязанные и сильносвязанные системы [3]. Для слабосвязанных систем задача Дирихле всегда нетерова, а для сильносвязанньгх систем нетеровость задачи Дирихле и других классических граничных задач нарушается. Определение слабой и сильной связанности системы дается через представления ее решений при помощи аналитических функций комплексного переменного. Поэтому эти определения не обобщаются на многомерные случаи. Однако из определения сильиосвязанной эллиптической системы следует, что для такой системы всегда существует некая полуплоскость, в которой нарушается нетеровость задачи Дирихле. Это свойство сильносвязанных систем можно положить в основу обобщения понятия сильной связанности системы о , на многомерный случай.

По аналогии с системой Бицадзе были построены примеры эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с тремя и четырьмя независимыми переменными [56], [7]. Также построен многомерный аналог системы Бицадзе в пространстве любой размерности [45]. Эти системы получены при помощи системы Мойсила-Теодореско и систем, удовлетворяющих компонентам голоморфных кватернионов. Все построенные таким образом эллиптические системы второго порядка являются сильносвязанными, то есть для них всегда можно найти полупространство, в котором нарушается нетеровость задачи Дирихле.

В работах Н.Е.Товмасяна [43], [44], Р.С.Сакса [33]- [35], А.И.Янушаускаса [51 j- [62] при исследовании задачи Дирихле для несильно эллиптических систем было обнаружено три новых эффекта, которые не наблюдаются для силыю эллиптических систем:

1) однородная задача Дирихле может иметь бесконечное множество линейно независимых решений, либо для разрешимости неоднородной задачи необходимо накладывать на данные задачи бесконечное множество условий типа ортогональности;

2) на характер разрешимости задачи Дирихле влияют младшие члены;

3) для существования решений задачи Дирихле необходимо требовать повышенную гладкость данных задачи. <• • •

Эти новые явления в теории задачи Дирихле привели к тому, что стали рассматриваться новые, более широкие классы систем, так называемые равномерно пеэллпптические системы [С] и слабо эллиптические системы [35] псевдодифферепциальных уравнений. Если две системы гомотопны друг другу и одна из них сильно связана [56], то вторая не обязана быть сильно связанной. Вопрос о том, сохраняется ли эффект потери гладкости решения задачи Дирихле при гомотопии многомерных эллиптических систем, пока не изучен.

В случае эллиптических по Петровскому многомерных систем с переменными коэффициентами гомотопический класс таких систем зависит от точки рассматриваемой области, а на границе перехода от одного гомотопического класса к другой обычно такие системы вырождаются. Представляет большой интерес определение области фредгольмовости граничных задач для таких систем, когда нарушается условия сильной эллиптичности.

В данной работе в произвольной ограниченной области с достаточно гладкой границей доказана фредгольмовость задачи Дирихле для эллиптической системы с симметричной главной частью вида

-Ащ + ЛЁ 7Г1 + Е = j = ^ (0-°-1) ах3 i=l °Xi k=1 относительно неизвестных функций и^щ, • • • , где Л - вещественный параметр, А ф 1, Хф 2, Л - оператор Лапласа, Lkj ~ дифференциальные операторы первого порядка, a fj(x) - заданные функции. Доказывается, что если главная часть системы (0.0.1) совпадает с многомерным аналогом системы А.В.Бицадзе [56] (Л = 2), или когда система вырождается (Л = 1), нарушается фреДгольмовость рассматриваемой задачи.

Эти результаты обобщаются на случай более общей системы, когда вещественный параметр Л заменен достаточно гладкой функцией Х(х).

Все известные до настоящего времени и полученные в диссертации результаты относительно системы с симметричной главной частью обобщаются на случаи различных типов многомерных несильно эллиптических систем уравнений второго порядка с несимметричными главными частями.

Обозначим n-мерное вещественное евклидовое пространство через а его точки через x,y,z и т.д. Евклидово расстояние между точками х,у обозначим через г(х,у).

Пусть D - ограниченная область в евклидовом пространстве Е11 с границей S. Относительно S в дальнейшем предположим, что она является поверхностью Ляпунова.

Определение 1. Функции U\,U2,-'- ,ип называются регулярным решением системы (0.0.1) в ограниченной области D, если они принадлежат, классу C2(D) П Cl{D) и у до в лет в оряют. в эт.ой облает,и сист.еме (0.0.1).

Определение 2. Функции щ,и2, • ■ ■ ,ип называются регулярным решением системы (0.0.1) в неограниченной области D', если они являются регулярным решением системы (0.0.1) в любой ограниченной подобласть области D' и стремятся к нулю на бесконечности.

В диссертации исследуется задача Дирихле в следующей постановке.

Задача Дирихле. Найти регулярные в области D решения щ, и2, • ■ • ,и системы (0.0.1), которые удовлетворяют на границе S области D краевым, условиям uj\s=9j(x), j = «■ • (0.0.2) где gj(x) - заданные в S функции класса Cl(S).

Цель и задачи исследования (

Изучение условий корректности классической задачи Дирихле для многомерных несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными и несимметричными главными частями в ограниченных и неограниченных областях, проверка влияния младших членов на разрешимость задачи и эффект потери гладкости при гомото-пии.

Научная новизна результатов. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Рассмотренные в работе эллиптические системы уравнения второго порядка являются обобщением ранее рассмотренных систем.

-Построено общее представление решения системы с симметричной главной частью в произвольной' ограниченной области, а для систем с несимметричными главными частями построены общие представления решений в полупространстве, в шаре и в произвольной ограниченной области.

Для систем с несимметричными главными частями доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле в полупространстве.

-Доказана фредгольмовость задачи Дирихле для общих систем с постоянными коэффициентами в областях достаточно малой размерности.

-Для общих систем с переменными коэффициентами найдена область фредгольмовости задачи Дирихле.

Научная и практическая значимость. Исследования, содержащиеся в диссертации, являются теоретическими. Их можно использовать при гомотопической классификации многомерных общих эллиптических систем. Рассматриваемые в диссертации системы встречаются в теории упругости и поэтому результаты диссертации могут найти применение и в этой области.

Методы исследования в основном базируются на классических методах интегральных уравнений, методах функции Грина и функции Леви (метод параметрикса).

Апробация работы. Результаты работы обсуждались и докладывались на семинарах Института математики Академии наук Республики Таджикистан, на семинарах кафедры высшей математики, кафедры теория функций и математического анализа ТНУ, на семинаре Института математики СО РАН "Избранные вопросы математического анализа" (рук. д. ф.-м. наук А.И Кожанов), на международной конференции "ЗЗ74' Iranian Mathematics conference" (Мешхад, Иран, 2002), на 7th International Pure

Mathematics conference (2006, Islamabad, Pakistan), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007), на IV международной конференции по математическому моделированию (Якутск. 2004). па международной паучттой конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", посвященной 60-летию Т. Собирова ( Душанбе, 2002), на научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, 2003), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа", (Душанбе,ТГНУ, 2005), на научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости РТ (Душанбе, 2006), на международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа,.'дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70-летию академика АН РТ'З.Д.Усманова (Душанбе, 2007), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвя-щсппая 7о-летпю со дни рождения академика А.Д.Джураепа (Душанбе4. 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 22 работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена па 223 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 84 наименований. В каждой главе введена сквозная нумерация параграфов, формул и теорем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Халилов, Шавкат Бобоевич, 2009 год

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Э Н Ц И К Л О П Е Д И Я / / I.I. Бицадзе уравнения. М.: Советская энциклопедия. 1977, 449 с.

2. МИРАНДА К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ. 1967, 256 с.

3. Михлин СТ. Многомерные^сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз. 1962, 254 с.

4. МИХЛИН с.г. Линейные уравнения в частных производных. М.: ВШ. 1977, 431 с. г 1 ' ' •

5. МУСАЕВ М.Видоизмененная задача Дирихле ДЛЯ системы, меняющей гомотопический тип//Доклады АН Тадж. ССР. 1985, T.XXVIII, №3,

6. 136 - 140. 28| ОшоРОВ Б.Б. О некоторых модельных эллиптических системах уравнений в четырехмерном пространстве// Вестник НГУ, т.Ш, 2003, ,' C.91 - 98.

7. ПАЛЕКАС Э. О задаче Дирихле для одной эллиптической систе- мы//Дифференц. уравнения и их применение. Вильнюс. 1981, вып. 30, C.47 - 55.

8. САКС Р.С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Новосибирск, изд. НГУ, 1975, 164с.

9. САКС Р .С Краевые задачи для слабоэллиптических систем дифференциальных уравнений//Докл. АН СССР. 1977, т.236, Ш6, с. 1312 -1316.

10. СОЛОМЯК М.З. О линейных эллиптических системах первого поряд- ка//Докл. АН СССР. 1963, тЛ50, №1, с.48 - 51. 41| СТРЕТЕНСКИЙ Л.Н. Теория ныотонового ' потенциала. М.;Л.:Гостехтеориздат, 1946, 318с.

11. Ф Р О Л О В П.С. О компонентах связности вещественных эллиптических систем на плоскости//Докл. АН СССР. 1968, т.181, N"-6, с.1350 -1353.

12. ЯИУШАУСКАС А.И.Аналитическая теория эллиптических уравне- ний//Новосибирск. Наука. 1979. 192 с.

13. ЯИУШАУСКАС А.И. К вопросу о корректности задач для систем уравнений с частными производными второго порядка//Дифференц. уравн. 1980, T.16, №1, с.150 - 160.

14. ЯНУШАУСКАС А.И. Методы потенциала в теории эллиптических уравнений. Вильнюс: Мокслас, 1990, 264 с.

15. ХАЛИЛОВ Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных//Материалы конф. молодых ученых АН Тадж. ССР,секция физ. - мат. наук. Душанбе. 1987, C.64 - 66.

16. ХАЛИЛОВ Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной системы дифференциальных уравнений эллиптического типа//Доклады АН Тадж.ССР. 1987, т.ХХХ, №6, с.339 - 342.

17. ХАЛИЛОВ Ш.Б. О задачи Дирихле душ одной многомерной системы эллиптического типа.//Дифференц. уравнения. 1987, т.23, №9, с.1608 -1612. ' • •

18. ХАЛИЛОВ Ш.Б. Задача Дирихле для многомерных не сильно эллиптических систем уравнений второго порядка//Дисс. на соискание уч. степени канд. физ. - мат. наук. Душанбе. 1988, с.101.

19. ХАЛИЛОВ Ш.Б. К теорий многомерных несильно эллиптических си- стем//Куляб.: Тезисы республиканской научно - практической конф. ученых и специалистов Тадл<икистана. 1991, с.29 - 31

20. ХАЛИЛОВ Ш.Б. О задачи Дирихле для несильно эллиптических систем уравнений в частных производных// Математические заметки ЯГУ. 2004, Т.11, вьш.2. с.98 - 110. '' '

21. ХАЛИЛОВ Ш.Б. К теории краевых задач для многомерных эллиптических систем уравнений с частными производными. Материалы II международной научно-практической конференции "Перспективы развития науки и образования в XXI веке". Душанбе. 2007, с.29 - 31.