Явные и неявные энергетически устойчивые схемы решения задач статики и динамики сооружений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Белаш, Владимир Валентинович

• Белаш, Владимир Валентинович
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Белаш, Владимир Валентинович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 .СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

1.1. Обзор основных методов решения задач строительной механики, литературных источников

1.2. Дифференциальные уравнения движения теории упругости

1.3. Вариационные принципы динамической теории упругости

1.4. Основные соотношения динамической теории упругости в свертках

1.4.1. Формулировка основных соотношений динамической теории упругости в перемещениях

1.4.2. Формулировка основных соотношений динамической теории упругости в скоростях

Глава 2. ЯВНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ТЕОРИИ СООРУЖЕНИЙ

2.1. Энергетически возможные перемещения, деформации, напряжения

2.2. Методы последовательных приближений решения систем линейных алгебраических уравнений

2.3. Метод энергетического баланса в решениях систем

линейных алгебраических уравнений

2.4. Геометрическое истолкование решения систем уравнений методом энергетического баланса

2.5. Примеры расчета и анализ результатов

2.6. Выводы по главе

Глава 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

СООРУЖЕНИЙ

3.1. Схемы прямого интегрирования уравнений движения

3.2. Основные положения метода точечного сохранения инвариантов

инвариантов

3.3. Построение энергетически устойчивой неявной схемы прямого интегрирования методом точечного сохранения инвариантов

3.4. Построение энергетически устойчивых явных схем прямого интегрирования

3.5. Анализ точности схем прямого интегрирования

3.6. Примеры расчета и анализ результатов

3.7 Выводы по главе

Глава 4.ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

4.1. Объемные конечные элементы

4.2. Примеры расчета пространственных задач

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Явные и неявные энергетически устойчивые схемы решения задач статики и динамики сооружений»

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена разработке энергетически устойчивых явных схем решения динамических задач теории сооружений, а также итерационных методов расчета задач статики теории упругости.

В первой вводной главе приводится обзор основных методов решения задач строительной механики, а также обзор литературных источников. Кроме того в этой главе показаны дифференциальные уравнения движения теории упругости, основные вариационные принципы динамической теории упругости и сформулированы основные соотношения в свертках в перемещениях и в скоростях.

Во второй главе излагается метод энергетического баланса в решениях систем статики сооружений. Разработан итерационный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены контрольные примеры.

Третья глава посвящена разработке энергетически устойчивых явных схем прямого интегрирования уравнений движения. На тестовых примерах проведена апробация нескольких полученных явных схем, которая показала хорошую сходимость схем 1 и 2.

В четвертой главе рассматривается объемная задача МКЭ с использованием эффективного восьмиузлового КЭ. Задача решается по неявной схеме в перемещениях и в скоростях.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ состоит в разработке явных эффективных схем прямого интегрирования уравнений динамики сооружений; итерационного метода решения задач статики сооружений; в построении алгоритмов разработанных схем при реализации на ЭВМ.

НАУЧНУЮ НОВИЗНУ РАБОТЫ составляют следующие результаты, защищаемые автором:

=>разработан итерационный метод решения линейных алгебраических

уравнений статики сооружений; =>получена явная энергетически устойчивая схема прямого интегрирования уравнений движения. =2>разработаны и апробированы алгоритмы численно реализующие предложенные методики расчета статических и динамических, плоских и объемных задач теории сооружений. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ состоит в том, что разработанная методика, алгоритм и программа могут быть использованы при решении статических и динамических задач теории сооружений. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в учебном процессе.

ДОСТОВЕРНОСТЬ проведенных научных исследований и полученных численных результатов обеспечивается применением фундаментальных принципов и методов строительной механики и, подтверждается решением контрольных примеров, имеющих аналитическое решение, либо решенных хорошо исследованными методами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научно-технических конференциях преподавателей кафедр Ростовского государственного строительного университета (Ростов-на-Дону, 1997, 1998 г.г.), на объединенном семинаре кафедр механического цикла РГСУ (1999 г.). По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы [29, 31, 39, 40]. СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка использованной литературы, включающего 131 наименование. Полный объем диссертации 198 страницы, включая 68 рисунков и 15 таблиц. Основной текст (без оглавления, библиографического списка использованной литературы, рисунков и таблиц) излагается на 131 страницах машинописного текста.

Нумерация формул, таблиц и рисунков ведется отдельно по каждому разделу. Нумерация литературных источников - сквозная по всей работе.

Автор выражает благодарность своему научному консультанту П.П. Гайджурову, полезные советы которого были использованы при написании диссертации.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Белаш, Владимир Валентинович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. При решении конечномерных задач строительной механики вводится новое понятие - энергетически возможный вектор перемещений, который по определению удовлетворяет уравнению баланса энергии и одновременно является геометрически возможным. При решении задач статики любой геометрически возможный вектор перемещений путем введения корректирующего множителя превращается в энергетически возможный. Величина и знак корректирующего множителя определяется из уравнения баланса энергии. При решении задач динамики в каждой расчетной точке временной оси этот коэффициент определяется из уравнения закона сохранения полной энергии для консервативных систем. Такой подход составляет суть метода точечного сохранения инвариантов и в данной работе применен для построения явных энергетически устойчивых схем решения задач статики и динамики сооружений.

2. Разработан новый эффективный метод итерационного решения линейных задач статики сооружений - метод энергетического баланса, в котором на каждом итерационном шаге используется энергетически возможные векторы перемещений. Приведена теорема, показывающая, что преобразование произвольного геометрически возможного вектора перемещений в энергетически возможный, уменьшает величину полной потенциальной энергии. В принципе метод энергетического баланса можно применять для любых систем линейных алгебраических уравнений с положительно определенной симметричной матрицей.

3. Решен ряд контрольных примеров демонстрирующих хорошую сходимость нового итерационного метода, а также его отличительную особенность, которая заключается в том, что энергетический функционал значительно приближается к своему минимуму уже на первых двух шагах итерационного процесса. Замечено, что если начальный вектор перемещений выбран неудачно, то число итераций по методу энергетического баланса сокращаются на порядок в сравнении с известными методами последовательных приближений.

4. На основании метода точечного сохранения инвариантов получены новые эффективные энергетически устойчивые явные схемы прямого интегрирования уравнений движения в перемещениях и в скоростях. При построении явных схем для определения корректирующего коэффициента методом точечного сохранения инвариантов получена простая формула в конечном виде, включающая приращение энергии и энергию приращений. Показывается, что при решении задач линейной динамики нет необходимости хранить в памяти ЭВМ общие матрицы жесткости и масс, а величина полной энергии определяется поэлементно.

5. Решение тестовых примеров показало, что полученные явные схемы являются абсолютно устойчивым и имеют хорошую сходимость с решением, полученным по неявным схемам. Обнаружено, что при шаге интегрирования АI = Т - 0,01, где Т - период колебаний основного тона, решение по явным схемам и по неявным практически совпадают.

6. Для объемной задачи динамики сооружений проведен тестовый расчет сферической оболочки с использованием восьмиузлового объемного КЭ. Сравнение решений, полученных по неявным схемам в перемещениях и в скоростях показало, что схема в скоростях предпочтительнее. Так при уменьшении шага интегрирования графики перемещения и скорости, полученные по схеме в перемещениях уточняются и приближаются к решению, полученному по схеме в скоростях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Белаш, Владимир Валентинович, 1999 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ

ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. - М.: Стройиздат, 1983. - 488с.

2. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. Для строит, спец. вузов. - М.: Высшая школа, 1990. - 400 с., ил.

3. Александров A.B., Шапошников H.H. Об использовании дискретной модели при расчете пластинок с применением ЦВМ. - труды МИИТ. - Вып. 194, 1966. - с. 50-67.

4. Бате К. , Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М. : Стройиздат, 1982. 448 с.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1973 - 632с.

6. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. - М. : Высшая школа, 1968. - 512 с.

7. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. - М.: Высш. шк., 1987. - 264 с.

8. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. -М.: Физ.-мат. лит-ра, 1994. -442с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2. - М.: ФМ - 1962.

10. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности. - Прикладная механика, 1951, XV, № 6, с. 1053-1059.

11. Биргер И.Э., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1986. - 560 с.

12. Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. - М.: Стройиздат, 1962. -132 с.

13. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности/ Пер. с англ. - М. : Мир, 1987. - 542 с.

14. Васильков Г.В. Итерационные методы решения физически нелинейных задач строительной механики.// Исследования по расчету пластин и оболочек. - Ростов н/Д: РИСИ, 1982,- С.3-32.

15. Васильков Г.В. О прямых методах решения упруго-пластических задач динамики сооружений // Исследования по расчету пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. - 1987. - № 4. - С. 35- 39.

16. Васильков Г.В. О решении нелинейных динамических задач строительной механики шаговыми методами.// Известия ВУЗов. - Строительство и архитектура, 1985. -№ 11. - С. 52-56.

17. Васильков Г.В. Об устойчивости прямых методов решения физически нелинейных задач строительной механики // Известия ВУЗов. - Строительство и архитектура, 1986. - № 10. - С. 41-45.

18. Васильков Г.В., Панасюк JI.H. Вычислительная механика и моделирование работы конструкций. Часть 1. Статический расчет стержневых систем с учетом физической нелинейности.: Учебное пособие. - Ростов-на-Дону: РИСИ - 1992. - 97с.

19. Васильков Г.В. Вычислительная механика. Часть 2. Некоторые модели и методы теории упругости и пластичности.: Учебное пособие. - Ростов-на-Дону: Рост. гос. акад. строит., 1993. - 124 с.

20. Васильков Г.В. Вычислительная механика: Учебное пособие. - Часть 3. Прямые методы решения нестационарных задач строительной механики. Ростов-на-Дону: Рост. гос. академия строительства, 1994. - 156 с.

21. Васильков Г.В., Бабаян В.Р., Панасюк JI. Н. О решении нелинейных динамических задач строительной механики шаговым методом //Тезисы докладов V Всесоюзной конференции по статике и динамике пространственных систем. - Киев: КИСИ, 1985. - С. 41.

22. Васильков Г.В., Краснов A.A., Чепиль М.В. Исследование НДС предварительно напряженной балки из вязкоупругого материала. / Известия выс-

ших учебных заведений Северо-Кавказского региона. Естественные науки/ 1995.

23. Васильков Г.В., Кудинов O.A., Панасюк JI.H. Итерационные методы решения нелинейных динамических задач строительной механики // Деп. в ВИНИТИ, № 775- В86,1986. -С. 17.

24. Васильков Г.В., Краснов A.A. Об одном методе повышения точности схем прямого интегрирования уравнений движения. Деп. в ВИНИТИ № 610-В95 от 3.03.95.

25. Васильков Г.В., Кудинов O.A., Панасюк JI.H. Итерационные методы решения упруго-пластических задач динамики сооружений // Исследования по расчету пластин и оболочек // Межвуз. сб. научн. трудов, РИСИ, 1986. -С.17.

26. Васильков Г.В., Кудинов O.A., Панасюк JI.H. Итерационные методы решения упруго-пластических задач динамики сооружений // Строительная механики и расчет сооружений. - № 1,1987, - С. 87.

27. Васильков Г.В., Панасюк JI.H., Кудинов O.A. О решении нестационарных задач строительной механики прямыми методами.//Строительная механики и расчет сооружений. - 1989. - № 1. - С. 52-56

28. Васильков Г.В., Имедашвили Н.Г. Метод точечного сохранения инвариантов в решениях нестационарных задач механики// Известия вузов. Стр-во, 1997. № 4 - С.60-68.

29. Васильков Г.В., Белаш В.В. Явные энергетически устойчивые схемы решения задач динамики сооружений// Известия Ростовского государственного строительного университета. - 1997. - № 2 - С.47-54.

30. Васильков Г.В., Лопатин С.Я. Вычислительная механика. Часть 4. Устойчивость деформируемых систем. Учебное пособие. Авторское издание.

31. Васильков Г.В., Белаш В.В. Явные схемы решения линейных систем алгебраических уравнений теории сооружений. Деп. В ВИНИТИ №2604-В98 от 19.08.98г.

32. Вилипыльд Ю.К., Хархурим И.Я. Расчет упругих систем по методу конеч-

ных элементов. - М.: Гипротис, 1969. Вып. 1-108.

33. Винокуров O.A. Смешанная вариационная постановка динамической задачи теории упругости и ее применение.//Метод конечных элементов и строительная механика. - Л.: Изд-во ЛПИ, 1979. - С. 16-21.

34. Винокуров O.A. Применение вариационных функционалов в свертках к решению динамических задач теории упругости // Деп. в ВИНИТИ, № 895-79, 1979. - 11 с.

35. Винокуров O.A. Решение динамических задач теории упруости на основе функционала Лагранжа в свертках // Известия ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева. - Сб. научн. трудов. - т. 140, 1980. - С. 60- 63.

36. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем: 2-е изд. перераб. и лоп. - М.: Наука, 1967. 984 с. Библиогр. : 547 назв.

37. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек. ПММ. т. 20 Вып. 4. - 1956,- с. 449-474.

38. Ворович И.И., Лебедев Л.П. О существовании решения в нелинейной теории оболочек. ДАНССР, т. 117. - 1957. - с. 203-206.

39. Гайджуров П.П., Белаш В.В. Исследование свойств матриц жесткости объемных конечных элементов. Деп. в ВИНИТИ отправлено 4.01.99г. №17/1236

40. Гайджуров П.П., Белаш В.В. Численные методы решения прикладных задач динамической теории упругости. Деп. в ВИНИТИ отправлено 11.12.99г. №17/1176

41. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: пер. с англ.. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

42. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 548 с.

43. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетон и ж/б. -М.: Стройиздат. - 1974. - 316с.

44. Гвоздев A.A., Карпенко Н.И. Работа железобетона с трещинами при плоском напряженном состоянии. - Строительная механика и расчет сооружений, 1965. -№ 2.

45. Гольденблат Н.М. Нелинейные проблемы теории упругости. - М.: Наука, 1969. - 336 с.

46. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988,- 332с.

47. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.: пер. с англ. - М. : Мир, 1975.-С.514.

48. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.: пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - С. 318.

49. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред : пер. в англ. - М.: Недра, 1975. - 240 с.

50. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Курс высшей математики и математической физики, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1978, 304с.

51. Ильюшин A.A. Пластичность. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

52. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во Московского унта, 1990. -310 с.

53. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением. -Киев: Укр. математический журнал, 1954. - № 3 - с. 314-324.

54. Кадидов В.П., Чесноков С.С., Выслоух В.А. Метод конечных элементов в задачах динамики. - М.: Изд-во МГУ, 1980. - 165 с.

55. Каудерер Г. Нелинейная механика. - М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1961. -777 с.

56. Качанов A.M. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 232 с.

57. Клафф Р. Метод конечного элемента в решении плоской задачи таории упругости // расчет строительных конструкций с применением электронных машин. - М.: Стройиздат, 1967. - С. 181-193.

58. Клафф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. - М.: Стройиздат, 1979. -320 с.

60. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1968. - С. 720.

61. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. - М.: Наука, 1964. - 193с.

62. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. - М.: Наука, 1968. - 260с.

63. Коротких Ю.Г. и др. Анализ методом конечных элементов задач динамики сплошных сред // Метод конечных элементов в строительной механике. -Горький, 1975.-С. 96-107.

64. Крылов В.И. и др. Вычислительные методы высшей математики т.1 под ред. И.П. Мысовских. - Мн., Вышэйш. школа, 1972 - 584с.

65. Кудашов В.И., Козачевский А.И. К решению трехмерной задачи теории упругости железобетона методом конечных элементов. Известия ВУЗов. -Строительство и архитектура. Новосибирск, 1979, № 3.

66. Ливсли Р. Матричные методы строительной механики. - М.: Стройиздат, 1980. - 222 с.

67. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. - М.: Стройиздат, 1978. - 208 с.

68. Ляв А. Математическая таория упругости (пер. с англ.). - М.-Л.: ОНТН, 1935 - С. 374.

69. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ. Пер. с англ. - М.: Мир, 1977.

70. Малинин H.H. Прикладная теория ползучести и пластичности,- М.: Машиностроение. -1975.-399 с.

71. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980. -С.36-56.

72. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - ЛГУ, 1963. - С. 546.

73. Мелош Р. Основы получения матриц для прямого метода жесткостей. Ракетная техника и космонавтика. - М.: 1963. - № 7. - с. 169-176.

74. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. Сахарова A.C. и Альтенбаха И.И. - Киев : Вища школа, 1982. - 480 с.

75. Мизес Р. Механика твердых тел в пластическом деформированном состоянии. //Теория пластичности.// - М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. - с. 57- 59.

76. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М., 1970.

- 512с.

77. Москвитин В.В. Пластичность при переменных нагружениях. - М.: Издательство МГУ, 1965. - 263 с.

78. Новожилов В.В. Теория упругости. - Л.,Гос. изд. судостроительной промышленности, 1958. - 372 с.

79. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1948. - 370 с.

80. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1962. - 431 с.

81. Норри Д. Же де Фриз. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981.-304 с.

82. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М. : Мир, 1976. - С. 459.

83. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. - Саратов. Изд. Саратовского ун-та. - 1975. - 119с.

84. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Изд-во МГУ, 1981.-344 с.

85. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчете судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974. - 342 с.

86. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. - 398 с.

87. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х томах под ред. Биргера И.А., Пановко Я.Г. - М.: Машиностроение, 1968. - т. 1 - 831 е., т.2

- 463 е., т.З - 567 с.

88. «Путешествие по стр. журнала «САПР и графика»» . Компьютер-пресс. №

12, 1997. с. 264.

89. Рабинович И.М., Синицын А.П., Лужин О.В., Теренин Б.И. Расчет сооружений на импульсивные воздействия. - М.: Стройиздат, 1970. - 304 с.

90. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 650 с.

91. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1968. -752 с.

92. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. - JI. : Изд-во Лениздат, ут-та, 1978. - 223 с.

93. Розин Л .А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. - М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

94. Розин Л.А. Решение статических и динамических задач расчета гидросооружений МКЭ // Численные методы решения задач строительной механики. - Киев: КИСИ, 1978. - С. 3-7.

95. Розин Л.А. О связи метода конечных элементов с методами Бубнова-Галеркина и Ритца. В сб.: Строительная механика и расчет сооружений. -Л.: ЛПИ, 1971.-c.6-28.

96. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. - М.: Стройиздат, 1968. - 418 с.

97. Ржаницын А.Р. Ползучесть строительных материалов и конструкций. - М.: Изд. лит-ры по строительству, 1964. - 292 с.

98. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материала. - М.: Госстройтехиздат, 1954. - 287 с.

99. Савельев Л.М. Прямое интегрирование уравнений движения в методе конечных элементов // Прочность и долговечность конструкций летательных аппаратов. - Куйбышев, 1984. - С. 37-44.

100. Самарский A.A. Теория разностных схем. - М.: Наука, 2983. - 427 с.

101. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. - М.: Наука, 1973.-415с.

102. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. Учеб. пособие для инж.-строит. специальностей ВУзов. - М.:Высшая школа, 1970,- 288 с.

103. Сахаров A.C., Гуляр А.И., Кислоокий В.Н. Исследование устойчивости осесимметричных оболочек при больших перемещениях с учетом физической нелинейности. //Проблемы прочности.// - 1974. - № 6. - с. 45-71.

104. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов : пер с англ. - М.: Мир, 1979. - 392с.

105. Сегерлинд Л. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1972. -245с.

106. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1976., т. 1. - 536 е., т.2. - 576 с.

107. Синицын А. П. Метод конечных элементов с динамике сооружений. - М.: Стройиздат, 1978. - 230 с.

108. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. - М.: Трансжел-дориздат, - 1958. - С.435-525.

109. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я.. Шапошников H.H. строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: Учеб. для вузов./Под ред. А.Ф. Смирнова. - М.: Стройиздат, 1984. - 416 е., ил.

110. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я.. Шапошников H.H. строительная механика. Стержневые системы: : Учеб. для вузов./Под ред. А.Ф. Смирнова. - М.: Стройиздат, 1981. - 512с.

111. Соколовский В.В. Теория пластичности.-М.: Высшая школа, 1969.-608 с.

112. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов : пер. с англ. -М.: Мир, 1977.-350 с.

113. Ухов С.Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов. -М.: МИСИ, 1973,- 118 с.

114. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформированного тела. - М.: Наука. 1981. - т.2- 616 е., т.З. - 480 с.

115. Филипов А.П. Колебания деформируемых систем - М.: Мир, 1970.-736 с.

116. Ходж Ф. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций. М.: Машгиз, 1963. - 308 с.

117. Фу. Численное интегрирование уравнений движения, связанных с мето-

дом конечных элементов. Прикладная механика. - М.: Мир, 1970. - № 3. -с. 27-33.

118. Шапошников Н.Н., Римский Р.А., Полторак Г.В., Бабаев В.Б. Применение метода конечных элементов к решению динамических задач // Расчеты на прочность. - М.: Машиностроение, 1982. - вып. 23. - С. 73-86.

119. Шапошников Н.Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента. Вопросы прикладной механики. Вып. 260. - М.: МИИТ, 1968. - с. 134-144.

120. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений.: Пер. с англ. под ред. Марчука Г.И.. - М.: Мир, 1978. -461 с.

121. Arguris J.H., Dunne Р.С. and Angelopos Т. Nonlinear oscillations using the finite element technique, Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - vol. 2, 1973, pp. 203-250.

122. Arguris J.H. Recent advances in matrix methods of structural analysis. - Perga-mon Press, 1964.

123. Bathe K.J. An assessment of Current finite element analysis of nonlinear problems in solid mechanics. Proceedings Symposium on the Numerical solution of Partial differential equations, May, 1975, Academic Press, Inc., 1976.

124. Drucker D.C. Variational principles in the mathematical theory of plasticity. - In: Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, vol. 8. - McCraw-НШ, 1958, pp. 7-22.

125. Gurtin M.E. Variational principles for linear elastodynamics. - Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1964, vol. 16, pp. 34-50.

126. Gurtin M.E. Variational principles for linear initial value problems, Quart. Appl. Math., 1964, vol. 22, n3, pp. 252-256.

127. Gurtin M.E. Variational principles for linear theory of viscoelasticity. - Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1963, vol. 13, pp. 179-191.

128. Hodge P.G. Jr. The mathematical theory of plasticity. - In: Elasticity and plasticity. Ed. by J.N. Goodier, P.G. Hodge, Jr. - Wiley, 1958, pp. 51-152.

129. Nickell R.E. On the stability of Approximation operators in Problems of Structural Dynamics// International journal of Solids and Structures. - 1971. Vol. 7. -p.301-309.

130. Philips D.V., Zienkiewicz O.C. Finite elements non-linear analysis of concrete structures. «Proc. Instn. Civ. Engrs.» Part 2,1976, vol 61, Mar. pp. 59-88.

131. Zienkiewicz O. C., Holister G.S., eds. Stress analysis. - Wiley, 1965.