Высокоточные вычисления с динамической длиной операндов в многопроцессорных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат технических наук Морозов, Виталий Александрович

• Морозов, Виталий Александрович
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Морозов, Виталий Александрович

1 ДИНАМИЧЕСКАЯ ДЛИНА ОПЕРАНДОВ КАК СРЕДСТВО

ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

1.1 Способы устранения ошибок округления.

1.1.1 Системы аналитических преобразований.

1.1.2 Учет и оценка погрешности округления

1.1.3 Арифметика многократной точности.

1.2 Анализ применяемых вычислительных алгоритмов.

1.2.1 Матричные вычисления.

Умножение матриц.

Итерационные вычисления.

Прямые методы решения СЛАУ.

1.2.2 Проблемы вычислительной геометрии.

1.3 Организация вычислений с динамической длиной операндов

1.3.1 Последовательные вычисления .у** у

Пакет программ АСЫТН.

Пакет со строковым представлением.

Пакет ЫМ-арифметики.

1.3.2 Распараллеливание операций многоразрядной арифметики

Конвейерные ЭВМ.

Вычислительные среды и нейронные сети.

Мультипроцесорные системы.

1.4 СПАРО-БШИ) вычисления.

Высокоточные векторные операции.

1.5 Выводы.

2 АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

СПАРФ-ВЫЧИСЛЕНИЙ

2.1 М1МБ-системы. работающие в режиме передачи сообщений

2.2 Топология коммуникационной сети.

2.3 Критерии оценки и вычислительная сложность алгоритмов

2.4 Способы оценки коммуникационных затрат.

- 32.5 Модель передачи сообщений.

2.5.1 Точечные взаимодействия

Операции блокирующего типа.

Операции неблокирующего типа.

2.5.2 Упаковка/распаковка данных.

2.6 Групповое движение данных.

2.6.1 Распространение.

2.6.2 Сбор и распределение.

2.6.3 Групповые арифметические операции.

2.6.4 Скалярное произведения двух векторов.

2.6.5 Сложные типы обменов.

2.7 Организация многоразрядной арифметики с динамической длиной операндов

2.7.1 Алгоритмы сложения/вычитания.

2.7.2 Алгоритмы логических сдвигов.

2.7.3 Алгоритмы умножения.

2.7.4 Вычисление обратной величины.

2.8 Анализ точности вычисления арифметических операций

2.8.1 Вычисление сложения и вычитания.

2.8.2 Вычисление логических сдвигов.

2.9 Алгоритмы ускоренного умножения/деления.

2.9.1 Построение и анализ алгоритмов.

Умножение.

Деление.

2.9.2 Точность вычисления операций.

2.10 Элементарные функции.

2.10.1 Обзор основных методов

2.10.2 Вычисление функции у = sin х.

2.10.3 Вычисление функции у = cos х.

2.10.4 Вычисление функций у = tg х и у = ctg х

2.10.5 Вычисление функции у = Inх

2.10.6 Вычисление функции у =

2.10.7 Вычисление функции у = ех.

2.11 Выводы.

3 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

СПАРФ-ВЫЧИСЛЕНИЙ

3.1 Вычислительная система Intel iPSC/

3.1.1 Аппаратное обеспечение

Хост-машина.

Стандартный блок.

3.1.2 Программное обеспечение

3.1.3 Организация коммуникационных процедур.

3.2 Вычислительная система Parsytec PowerXplorer.

3.2.1 Аппаратное обеспечение

3.2.2 Программное обеспечение

3.2.3 Организация коммуникационных процедур.

3.3 Форматы СПАРФ-чисел и способы организации вычислений

3.4 СПАРФ-библиотека для MIMD-вычислений.

3.4.1 Арифметические операции.

3.4.2 Арифметико-логические операции.

3.4.3 Функции преобразования форматов данных.

3.4.4 Функции управления ресурсами.

3.4.5 Функции управления разрядностью.

3.4.6 Операции межпроцессорных взаимодействий.

3.4.7 Сервисные функции.

3.5 Базовые коммуникационные процедуры.

3.5.1 Точечные взаимодействия

3.5.2 Распространение.

3.5.3 Сбор.

3.5.4 Групповая арифметическая операция.

3.5.5 Распределенное скалярное произведение

3.6 FORTRAN СПАРФ-MIMD.

3.6.1 Unix Fortran.

3.6.2 Microsoft Fortran.

3.6.3 Intel iPSC/860 Fortran.

3.6.4 Parsytec PowerXplorer Fortran

Последовательная FORTRAN-программа.

Параллельная FORTRAN-программа.

3.7 Выводы.

4 ОРГАНИЗАЦИЯ И ВЫПОЛНЕНИЕ

ВЫЧИСЛЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СПАРФ-MIMD

4.1 Скалярное произведение векторов.

4.2 Вычисление полиномов.

4.3 Численное интегрирование.

4.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений

4.4.1 Итерационные методы

Улучшение сходимости итерационных методов.

Параллельный алгоритм.

Использование стандартных типов данных.

Использование многоразрядных данных.

4.4.2 Прямые методы.

4.5 Произведение матриц.

4.6 Выводы.

5 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СП АРФ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСНОЙ ФОРМЕ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

В ВИБРАЦИОННОМ ПОЛЕ

5.1 Постановка задачи, основные уравнения.

Вариационная формулировка.

5.2 Вычислительная схема.

5.3 Основные результаты вычислительных экспериментов

5.4 Высокоточная проверка полученного результата

5.5 Вывод.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Высокоточные вычисления с динамической длиной операндов в многопроцессорных системах»

Диссертация посвящена организации вычислений с динамической длиной операндов на базе многопроцессорных систем с передачей сообщений.

Актуальность темы. При обработке данных на ЭВМ полученный результат. как правило отличается от истинного. Это отклонение определяет погрешность вычислений. Различают три типа погрешностей: погрешности метода, погрешности в исходных данных и погрешности округления и представления. Если первые два типа погрешностей связаны с компьютером не так явно, то ошибки округления и представления появляются в связи с фиксированной и относительно малой длиной операндов в современных компьютерах. Для уменьшения влияния или проведения учета погрешностей округления и представления необходимо разрабатывать специальные алгоритмические или программные средства.

В настоящее время вычислитель часто сталкивается с задачами, которые невозможно решить без применения многоразрядных форматов. Примерами может служить задача, промежуточные результаты в которых невозможно представить в стандартном формате плавающей запятой (64 разряда). Задача обращения матрицы Гильберта часто появляется при переходе из цилиндрической системы координат в сферическую. Аналитическое решение получить затруднительно, а значения, составляющие обратную матрицу имеют очень большие абсолютные величины. Другим примером является вычислительный алгоритм, содержащий данные из большого диапазона. Постоянная Планка И = (6.626176 =Ь 0.000036) • Ю-27 эрг• с. отношение длины окружности к диаметру 7г « 3.1415926535897932. и масса Солнца М© = 1.99 • 1033г имеют различие 60 порядков. Использование в одном алгоритме таких величин может привести к непредсказуемым результатам.

Программная реализация или микропрограммная интерпретация арифметики с увеличенной длиной слова может сильно замедлить вычислительный процесс. Использование динамической длины операндов является одним из способов ускорения решения задачи. Ускорение вычислительного процесса достигается путем обработки каждый раз лишь такого количества разрядов, которое позволяет получить результат с гарантированной точностью.

Широкое распространение параллельных ЭВМ различного типа вновь поднимает вопрос точности вычислений. Помимо потенциальных источников появления ошибок при последовательной обработке, параллельная обработка содержит дополнительные возможности их возникновения в силу особенностей аппаратной реализации арифметических операций. Таким образом, как показано в работах Ратца, Хаммера. Миренкова, параллельные ЭВМ менее точны, чем последовательные.

Тем не менее, параллельная обработка открывает широкие возможности для организации вычислений с повышенной точностью. Традиционно, параллельные ЭВМ рассматриваются как ускорители последовательной обработки информации. Известно большое число научных и практических работ по созданию средств поддержки вычислений с программируемой разрядностью как на базе последовательных, так и параллельных ЭВМ. Большинство известных систем реализует последовательный высокоточный вычислитель с программируемой длиной слова, либо конвейеризует вычисления.

Системы с распределенной памятью являются одним из важнейших подклассов параллельных ЭВМ типа МШТ). Относительно низкая стоимость, но, в то же время, достаточно высокая производительность делает этот тип компьютеров привлекательным для решения различных вычислительных задач. Поэтому вопрос повышения точности параллельных ЭВМ с передачей сообщений является актуальным.

Целью диссертационной работы является создание алгоритмических и программных средств поддержки высокоточных вычислений с динамической длиной операндов на базе М1МБ-систем с распределенной памятью, а также разработка методики проектирования высокоточных алгоритмов с изменяемой длиной слова для этих систем. Достижение указанной цели связано с решением следующих задач:

• разработка и анализ формата высокоточных чисел, допускающего передачу по межпроцессорной сети и произвольное изменение длины;

• анализ выполнения арифметических операций и специальных (в том числе распределенных) процедур при обработки данных в этом формате;

• разработка переносимой системы программирования высокоточных вычислений с динамической длиной операндов для параллельных ЭВМ с передачей сообщений;

• разработка способов регулирования разрядности операндов при решении практических задач (прежде всего, задач линейной алгебры и матричного анализа);

• разработка методики решения численных задач с применением средств высокоточных вычислений.

В диссертации предлагается использовать многоразрядные данные в каждом вычислительном узле параллельной системы. Обработка длинных чисел проводится аналогично числам в традиционном формате представления. Такой подход позволяет получать ускорение путем параллельной обработки самих длинных операндов. Таким образом, появляется возможность комплексного использования высокоэффективных параллельных алгоритмов. наилучшим образом приспособленных к решению прикладной задачи на данной архитектуре; многоразрядной арифметики, позволяющей в принципе исключить ошибки округления и представления данных из вычислительного процесса; и динамической длины операндов, позволяющей на каждом этапе вычислений использовать только значащие разряды. Этот подход ведет к существенному ускорению обработки информации либо созданию иного способа ее обработки (иного метода).

Научная новизна заключается в разработке высокотехнологичной методики решения задач с требуемой точностью на параллельных ЭВМ с распределенной памятью, а также в проектировании программного обеспечения, необходимого для реализации этой методики. Научную новизну раскрывают следующие результаты:

Первое - Созданы теоретические предпосылки и методика проектирования высокоточных алгоритмов и программ для параллельных ЭВМ с распределенной памятью. Преодоление погрешностей округления и представления данных за приемлемое время осуществляется путем комплексного использования многоразрядной арифметики, динамической длины операндов и параллелизма базового компьютера. Показана практическая эффективность данных систем.

Второе - Обоснована возможность использования параллельных систем с распределенной памятью, обменивающихся информацией посредством приема/передачи сообщений, в качестве базы для создания средств программирования высокоточных вычислений с динамической длиной операндов. Показана целесообразность использования совмещенной оценки коммуникационных затрат, позволяющей учитывать коммуникационное замедление алгоритма.

Третье - Разработан специализированный формат данных. Изучены и разработаны способы выполнения арифметических операций, операций регулирования разрядности и процедур межпроцессорных взаимодействий. Предложен и исследован ряд высокоточных алгоритмов реализации стандартных арифметических и специальных сервисных функций (тригонометрических. логарифмической и т.п.) использующих динамическую длину операндов.

Четвертое - Разработана мобильная библиотека программ, поддерживающая вычисления с динамической длиной операндов как на последовательных ЭВМ с различными трансляторами, так и на ряде параллельных компьютеров с различной организацией межпроцессорных обменов. При этом, структура библиотеки позволяет учесть коммуникационные свойства конкретной системы, позволяя перенастраивать только процедуры межпроцессорных взаимодействий.

Пятое - На базе созданного пакета программ разработан ряд параллельных алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений прямыми и итерационными методами и решения задач матричного анализа. Показан способ регулирования разрядности и автоматического выбора длины операндов для сходимости итерационного процесса. Разработанные алгоритмы проверены не только на тестовых примерах, но и при решении реальной физической задачи вибрационной конвекции.

Шестое - Получены опенки сложности алгоритмов групповых межпроцессорных взаимодействий и параллельных вычислительных алгоритмов с динамической длиной операндов, коэффициенты ускорения вычислений как за счет использования параллелизма вычислительной системы, так и за счет использования динамической длины операндов.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том. что спроектирован метод программирования прикладных MIMD-систем, позволяющий комплексно использовать многоразрядную арифметику, динамическую длину операндов и естественный параллелизм многопроцессорного компьютера, а значит и алгоритмы, наилучшим образом приспособленные для этого класса систем.

Получены основные характеристики комплекса программ, разработана технология его использования, получены результаты численного решения ряда типовых задач для машин IBM PC, Power Xplorer фирмы Parsytec, Silicon Graphics Indy и Silicon Power Challenge фирмы Silicon Graphics Inc. гиперкуба Intel iPSC-860 (Intel) и созданной в НИИ "КВАНТ"на базе процессора i860 системы МВС-100, мультитранспьютерной системы Т800-20. Созданы С и FORTRAN версии программного обеспечения для названных ЭВМ. Проведенные в работе исследования позволили перенести пакет на целый ряд вычислительных систем как последовательного так и параллельного действия, а значит использовать его при решении научных и практических задач на этих системах.

На основании приобретенного опыта разработки, реализации и практического использования названных выше средств, делается вывод, что разработанные параллельные программы могут быть использованы при создании новых типов численных экспериментов и новых вычислительных алгоритмов. Использование методов автоматического выбора длины операндов и пошагового уточнения в итерационном алгоритме позволяет упростить проблему выбора метода при решении большого числа задач.

Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе для изучения новых типов параллельных архитектур и алгоритмов, как достаточно сильно устойчивых к влиянию погрешностей округлений, так и чрезвычайно неустойчивых к таким погрешностям.

Реализованная библиотека программ включена в состав системы Сверхточной Параллельной АРиФметики (системы СПАРФ-вычислений) и является составной частью системы высокоточных вычислений СПАРФ-MIMD.

Апробация работы Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на объединенном семинаре отдела Высокопроизводительных Вычислительных Систем ИВМиМГ СО РАН и кафедры "Параллельные вычислительные технологии" Новосибирского Государственного Технического Университета (Новосибирск, 199598 гг), а также семинаре кафедры "Вычислительные системы" Новосибирского Государственного Университета (Новосибирск. 1994-96 гг), международной конференции "Parallel Computing Technologies" РаСТ'95 (сентябрь 1995, Санкт-Петербург), XXXIV международной конференции "Студент и научно-технический прогресс" (апрель 1996. Новосибирск), международной конференции "Parallel Algorithms/Architecture Synthesis" pAs;97 (март 1997, Aizu-Wakamatsu. Fukushima, Japan), международной конференции "Parallel Computing Technologies" PaCT'97 (сентябрь 1997, Ярославль), международной конференции "3rd Real Numbers and Computers" RNC3 (март 1998, Paris, France), конференции молодых ученых Института Вычислительной Математики и Математической Геофизики (март 1998, Новосибирск), Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), посвященном памяти академика C.JI. Соболева (1908-1989) (июнь 1998, Новосибирск), международной конференции "Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications" PDPTA'98 (июль 1998. LasVegas. Nevada, USA), 12-ой зимней школе по механике сплошных сред (январь 1999, Пермь).

Публикации Основные положения и результаты диссертации опубликованы в девяти печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (включает 65 наименований) и приложения. Основной текст изложен на 135 страницах и содержит 43 рисунка и 10 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Морозов, Виталий Александрович

5.5 Вывод

Показано, что

• многоразрядная арифметика с динамической длиной операндов может быть использована при выборе подходящего итерационного метода решения;

• многошаговая итерационная схема может использоваться для автоматического подбора такой длины операндов, которая приводит к полу

О 64 128 192 256 320 384 448 512 576 640 704 768 832 896 960 Длина операндов (в битах)

Рис. 42: Влияние процесса многостадийного уточнения на время решения. N = 312

Длина операндов (в битах)

Рис. 43: Влияние значения на процесс уточнения. N = 312 чению финального результата.

• выбор начальных параметров многошаговой итерационной схемы можно осуществить так. что накладные расходы на выбор длины невелики.

Таким образом, при решении задачи можно использовать методы, которые должны сходиться по условию задачи, однако расходящиеся или плохо сходящиеся при использовании данных с плавающей запятой. Разработанный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с использованием многостадийной вычислительной схемы и автоматическим регулированием текущей разрядности является высоко технологичным и может служить базой для разработки специализированных пакетов.

6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках исследований, проведенных в диссертационной работе, получены следующие основные научные и практические результаты:

1. Созданы теоретические предпосылки и методика проектирования высокоточных алгоритмов и программ для параллельных ЭВМ с распределенной памятью. Преодоление погрешностей округления и представления данных за приемлемое время осуществляется путем комплексного использования многоразрядной арифметики, динамической длины операндов и параллелизма базового компьютера. Показана практическая эффективность данных систем.

2. Обоснована возможность использования параллельных систем с распределенной памятью, обменивающихся информацией посредством приема/передачи сообщений, в качестве базы для создания средств программирования высокоточных вычислений с динамической длиной операндов. Показана целесообразность использования совмещенной оценки коммуникационных затрат, позволяющей учитывать коммуникационное замедление алгоритма.

3. Разработан специализированный формат данных. Изучены и разработаны способы выполнения арифметических операций, операций регулирования разрядности и процедур межпроцессорных взаимодействий.

Предложен и исследован ряд высокоточных алгоритмов реализации стандартных арифметических и специальных сервисных функций (тригонометрических. логарифмической и т.п.) использующих динамическую длину операндов.

4. Разработана мобильная библиотека программ, поддерживающая вычисления с динамической длиной операндов как на последовательных ЭВМ с различными трансляторами, так и на ряде параллельных компьютеров с различной организацией межпроцессорных обменов. При этом, структура библиотеки позволяет учесть коммуникационные свойства конкретной системы, позволяя перенастраивать только процедуры межпроцессорных взаимодействий.

5. На базе созданного пакета программ разработан ряд параллельных алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений прямыми и итерационными методами и решения задач матричного анализа. Показан способ регулирования разрядности и автоматического выбора длины операндов для сходимости итерационного процесса. Разработанные алгоритмы проверены не только на тестовых примерах, но и при решении реальной физической задачи вибрационной конвекции.

6. Получены оценки сложности алгоритмов групповых межпроцессорных взаимодействий и параллельных вычислительных алгоритмов с динамической длиной операндов, коэффициенты ускорения вычислений как за счет использования параллелизма вычислительной системы, так и за счет использования динамической длины операндов.

Ссылки

1] Ахо А. Хопкрофт Дж., Ульман Дж Построение и анализ вычислительных алгоритмов. - М: Мир. 1979. - 536 с.

2] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. - М.: Наука. 1987.

3] Благовещенский Ю.В., Теслер Г.С. Вычисление элементарных функций на ЭВМ. - Киев: Техника, 1977. - 208 с.

4] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры, - М.; Физматгиз, 1963.

5] Фаддеева В.Н., Колотилина Л.Ю. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. Вычислительные методы линейной алгебры. Набор матриц для тестирования. Часть I. II, III, Ленинград, ЛОМИ АН СССР, 1982.

6] Карцев М.А. Арифметика цифровых машин. - М: Наука, 1968. - 576 с.

7] Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. В 3 т., М: Мир, 1977. Т 2. Получисленные алгоритмы, 724 с.

8] http://www.netlib.org/lapack- официальная страница свободно распространяемого пакета прикладных программ Lapack.

9] Любимов Д.В., Саввина М.В., Черепанов A.A. О квазаравновесной форме свободной поверхности жидкости в модулированном поле тяжести. Задачи гидромеханики и теплообмена со свободными границами, межвузовский сборник научных трудов. Институт Гидродинамики, Темплан, 1987, Новосибирск. N713, с.97-105.

10] Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. Перевод с англ. - М.: Мир, 1980. - 608 с.

11] Матиясевич Ю.В. Вещественные числа и ЭВМ, Кибернетика и вычислительная техника. Выпуск 2. - М.: Наука, 1986. - С. 104-133.

12] Миренков H.H. Вычислительные системы, работающие с учетом ошибок округления. - Новосибирск: 1979. - 26 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние; ИМ: ОВС-08).

13] Миренков H.H. Параллельное программирование для многомодульных вычислительных систем. - М.: Радио и связь. 1989. - 320 с.

14] Миренков H.H. Вычислительная система "СИБИРЬ" - суперполигон для анализа, крупноблочного конструирования и использования высокопроизводительных многопроцессорных комплексов.- Новосибирск: 1989. - 31 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние; ВЦ: 870).

15] Морозов В.А. Важенин А.П. Программирование высокоточных вычислений с динамической длиной операндов на мультипроцессорных системах. Программирование. N5 1996. с. 64-75.

16] Морозов В.А. 'Библиотека высокоточных вычислений для многопроцессорных систем5. Материалы Международной конференции "Студент и Научно-Технический Прогресс". Апрель 1996. Новосибирск. Россия, с 47-48.

17] Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. М.: Радио и связь. 1985.

18] Оракский A.M. Рейхенберг A.JI. Таблично-алгоритмические методы вычисления арифметических и элементарных функций. Функциональное преобразование информации. Минск. 1971. с. 41-43.

19] Попов Б.А. Теслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ: Справочник. -Киев: Наук, думка. 1984. - 599 с.

20] Реддауэй С. Распределенный матричный процессор: Архитектура и производительность. Высокоскоростные вычисления. Архитектура, прикладные алгоритмы и программы супер-ЭВМ. - М.: Радио и связь. 1988. - с. 79-105.

21] Рогалев А.Н., Шокин Ю.И. Пакет интервальных операций для ЭВМ БЭСМ-6.- Новосибирск, 1981. (Препринт ИТПМ СО АН СССР: N24.)

22] Aguliar M.F., Duprat J. Towards a high precision massively parallel computer. Proc. of PARLE'94, Parallel Architectures and Languages Europe. Athens. Greece. Springer-Verlag, Berlin. P. 73-84, 1994. (Lect. Not. in Comp. Sci., 817).

23] Aguliar M.F. High-precision arithmetic units for fine-grain massively parallel computing, Proc. of the First Int. Conf. on Massively Parallel Computing Systems (MPCS), IEEE Comp. Soc. Press, Los Alamitos, California, P. 403-407, 1994.

24] Batcher K.E. Bit-serial parallel processing systems, IEEE Trasation on Computers, Vol. C-31, N. 5, P. 377-384, 1982.

25] Batcher K.E. STARAN series E, Proc. of the Int. Conf. on Parallel Processing IEEE, New York, P. 140-143, 1977.

26] Bebb II R.G. Programming Parallel Processors Addison-Wesley Publ. Co., 1988.

27] Bleher J.H., Rump S.M., Kulisch U., et al. FORTRAN-SC: a Study of a FORTRAN Extension for Engineering/Scientific Computation with Access to ACRITH, Computing, Springer, Vol. 39, P. 93-110, 1987.

28] Bohlender G., Wolf V., Gudenberg J. Accurate matrix multiplication on the array computer AMT DAP, Computer Arithmetic, Scientific Computation and Mathematical Modelling. Proc. of SCAN'90. Albena, 1990. IMACS Annals on Computing and Applied Mathematic, Vol. 12, (1992), J.C. Baltzer AG, Basel, P. 133-150, 1991.

29] Brent R.P. A FORTRAN multiple precision arithmetic package, ACM Trans. Math. Sofware, Vol. 4, P. 57-70, 1978.

30] Buell D., Ward R. A multiprecise integer arithmetic package, The Journal of Supercomputing, Vol. 3, N. 2, P. 89-107, 1989.

31] Cohen M.S., Hull T.E., Hamacher V.C. CAD AC: a Controlled-Precision Decimal Digital Arithmetic Unit, IEEE Trans, on Comput., Vol. 32, P. 370377, 1983.

32] Davidenkoff A. High accuracy arithmetic on transputers. Computer Arithmetic. Scientific Computation and Mathematical Modelling. Proc. of SCAISP90. Albena, 1990. IMACS Annals on Computing and Applied Math-ematic, Vol. 12, (1992), J.C. Baltzer AG, Basel, P. 45-61, 1991.

33] J.E. Dennis Jr, Schnabel R.B. Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1983.

34] Fortune S., Van Wyk C. Efficient exact arithmetic for computational geometry, Proc. of the 9-th ACM Symposium on Computational Geometry, P. 163-172, San Diego, May 1993.

35] Fox L. An Introduction to Numerical Linear Algebra, Oxford University Press, New York, 1965.

36] Mounir Hamdi, R.W. Hall An Efficient Class of Interconnection Networks for Parallel Computations. The Computer Jornal. Vol. 37, No. 3, 1994, pp. 206-218.

37] i PSC©/860 System User's Guide, Intel Corporation.

38] Jansen. P., Weidner P. High-accuracy arithmetic software - Some tests of ACRITH problem-solving routines, ACM Trans, on Mathematical Software, Vol.12, No.l, P. 62-70, 1984.

39] Jeter J.P., Shriver B.D. Variable precision and interval arithmetic: a portable enhancement to FORTRAN, Adv. Eng. Software, 1984, 6, N1, P. 45-50.

40] Klatte R., Kulisch U., Neaga M., Ratz D., Ullrich Ch. Pascal-XSC. Language Reference with Examples Springer-Verlag. 1991.

41] Kriickeberg Fr. Arbitrary accuracy with variable precision arithmetic, Proc. Int. Symp. "Interval Mathematics 1989", Ed. K. Nickel, Freiburg, FRG, 1985, Springer-Verlag, Berlin, P. 95-101, 1985. (Lect. Not. in Comp. Sci., 212)

42] Knuth D.E. The Art of Computer Programming. Val. 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley. Reading. Mass. 1969.

43] Lange, E. Implementation and test of the ACRITH facility in a System/370, IEEE Transactions on Computers. Vol.C-36, N 9, P. 1088-1096, 1987.

44] D.V.Lyubimov, A.A. Cherepnov, T.P.Lyubimova, B.Roux. Orienting effect of vibrations on the interphase. C.R.A.S., 1997, t.325, Serie II b, P. 391-396.

45] Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Meradji S., Morozov V., Roux B. On Equilibrium Shape of Free Surface of Liquid in a Vibration Field, Proc. of the 12-th Winter School in Continuous Media Mechanics, P. 37, Perm, Russia, January, 1999.

46] Message Passing Interface Forum. MPI: A Message-Passing Interface Standard, International Journal of Supercomputer Applications and High Performance Computing, 8(3/4), 1994. Special issue on MPI. Эта работа доступна также в электронном виде: URL ftp://www.netlib.org/mpi/mpi-report.ps.

47] Michelucci D. Arithmetic Issues in Geometric Computations, Proc. Second Real Numbers and Computer Conference, P. 43-69, CIRM, Marseille, France, April 1996.

48] V. Morozov, A. Vazhenin. Parallel iterative solution of systems of linear equations with dynamically changed length of operands, Proc. of the International Conference "Parallel Computing Technologies (PaCT-95)'", Springer-Verlag, 1995, Lect. Notes in Comp. Sci. Vol.964, P. 294-303.

49] V. Morozov, A. Vazhenin Portable Multiprecision Arithmetic Package Based on Message Passing Interface, Proceedings of International Conference pAs'97, Aizu-Wakamatsu City, Fukushima. Japan, March 1997. IEEE Computer Society, Los Alamitos, California. USA, P. 324-331.

50] V. Morozov, A. Vazhenin SPARTH: A family of systems for high-accuracy computations, Proc. Int. Conf. PaCT'97 Parallel Computing Technologies, 1997, Yaroslavl, Russia, Lecture Notes in CS, Vol.1277, P. 436-454.

51] Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. - Philadelphia: SIAM, 1979.

52] Numerical Recipes in Fortran: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1986-1992.

53] De Pinto P., Lauria Fr. E., Sette M. Implementing arbitrary precision arithmetic in a general purpose neural networks. Parallel Computing: Problems, Methods and Applications. Elsevier Science Publ. B.V., P. 477-485, 1992.

54] Ratz D. The effects of the arithmetic of vector computers on basic numerical methods, Contributions to Computer Arithmetic and Self-Validating numerical methods. IMACS Annals on Computing and Applied Mathematics. J.C.Baltzer AG, Basel, P. 499-514, 1990.

55] Rice J.R. Matrix Computations and Mathematical Software, McGraw-Hill Book Company, New York. 1981.

56] Schonhage A. Schnelle Berechnung von Kettenbruchentwicklungen. Acta Inform,. 1, 1971, S. 139-144.

57] Shand M., Bertin P., Vuillemin J. Hardware speedup in long integer multiplication, Computer Architecture News, Vol. 3, N 1, P. 106-113. 1991.

58] Sudhakar Yalamanchili. J.K. Aggarwal. A Characterization and Analysis of Parallel Processor Interconnection Networks, IEEE Transactions on Computers, Vol. C-36, No. 6, June 1987, P. 680-691.

59] Vazhenin, A. Programming system for high-accuracy computations for associative array processors. Proc. of the Int. Conf. CONPAR 90- VAPP IV, Vol. of Special Technical Contributions, Zurich. 1990. pp. 69-72.

60] Vazhenin A., Vartazarjan A. Parallel algorithms of matrix multiplication with multidigital elements, Preprint 973. Computing Center of Siberian Division of the Russian Ac. Sci., Novosibirsk, 1992. 32p. (In Russian)

61] Vazhenin A. Hardware and algorithmic support of high-accuracy computations in vertical processing systems, Proc. of Int. Conf. Parallel Computing

Technologies (PaCT-93) V.Malyshkin, August 30 - September 4, 1993, Obninsk. Russia. ResCo, Moscow. P. 149-162. 1993.

62] Vazhenin A.P. Mirenkov N.N. SCORE: Scientific Computers Overcoming Rounding Errors, PARALLEL COMPUTING: Trends and Applications, North-Holland, P. 387-394, 1994.

63] Vazhenin A. Efficient high-accuracy computations in massively parallel systems. Proc. Workshop on Parallel Scientific Computing PARA94-L, Lyn-gby, Denmark, Springer-Verlag, Berlin. 1994, P. 505-519. (Lect. Not. in Comp. Sci., 879).

64] Vazhenin A. Parallel algorithm for solving systems of linear equations with dynamically changed length of operands, Proc. The First Aizu International Symposium on Parallel Algorithms/ Architecture Synthesis, IEEE Comp. Soc. Press, Los Alamitos, California, P. 100-106, 1995.

65] Vazhenin A. Implementing exact calculations in parallel computers, Proc. The Second Real Numbers and Computer Conference, CIRM, Marceille, France, P. 173-196, 1996.

66] Yohe J.M. Software for interval arithmetic: a reasonably portable package, ACM Trans. Math. Software. 1975. 5, N.l, pp 50-63.