Высокотемпературные разложения большого термодинамичекого потенциала в фоновых полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Калиниченко, Игорь Степанович

• Калиниченко, Игорь Степанович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Калиниченко, Игорь Степанович

Оглавление

Введение

1 Общая формула высокотемпературного разложения

2 Постоянное магнитное поле

2.1 Тепловое ядро

2.2 Заряженное скалярное поле

2.3 Дираковские фермионы

2.4 Высокотемпературные разложения

2.4.1 Скалярные частицы

2.4.2 Скалярные фермионы

2.4.3 Дираковские фермионы

2.5 Заряженные бозоны в магнитном поле

2.6 Учет кольцевых диаграмм

3 Стационарное гравитационное поле

3.1 Введение

3.2 Сведение к с1 + 1

3.3 Высокотемпературные разложения

3.4 Формулы спуска

3.5 Тепловое ядро

3.5.1 Теория возмущений

3.5.2 Непертурбативпые поправки

3.6 Высокотемпературные разложения 2

Заключение

Список литературы

Приложение А Полезные соотношения с вектором Киллинга

Приложение В Коэффициенты теплового ядра

Приложение С Теория возмущений

Приложение О Поправка второго порядка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Высокотемпературные разложения большого термодинамичекого потенциала в фоновых полях»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Нерелятивистская теория поля при конечной температуре и плотности была разработана в конце 50-х годов прошлого века для теоретического описания твердого тела и конденсированного состояния вещества в лабораторных условиях. Несмотря на то, что эта теория базировалась только на уравнении Шредипгера и статистической механике, она представляла удобный формализм для работы с большим числом частиц. Часто ее называют «задачей многих тел».

Релятивистская теория поля при конечной температуре впервые была рассмотрена Фрадкиным в 1965 г. и переоткрыта десять лет спустя. Основной мотивацией в то время было описание фазового перехода в ранней Вселенной, который происходил в электрослабом секторе стандартной модели при температуре порядка 200 ГэВ. Название «релятивистская теория» говорит о том, что основой для нее являются Лоренц-инвариантные волновые уравнения: Клейна-Гордона, Дирака и пр., а также, что средние энергии достаточны для рождения пар частица-античастица (Т т): т.е. реализуется так называемый высокотемпературный предел. Позднее, в начале 80-х, теорией па решетке было предсказано существование кварк-глюонпой плазмы (деконфайпмепт) при температуре, оцениваемой сейчас в 150 МэВ. Возможность наблюдения нового состояния материи в столкновениях ультрарелятивистских тяжелых ионов подстегнуло дальнейшее развитие формализма. К сожалению, предсказания релятивистской теории поля при конечной температуре довольно тяжело проверить в лаборатории, где обычно пет условий для реализации таких высоких температур и плотностей, поэтому непосредственное ее применение лежит все же в области астрофизики и космологии.

Большой термодинамический потенциал (^-потенциал) является основной функцией, определяющей термодинамические свойства системы. Таким образом, при исследовании релятивистских систем па передний план выходит задача о получении высокотемпературных разложений ^-потенциала. Асимптотические формулы для таких разложений в отсутствие фоновых полей были получены в 70-80-х

годах, см., например, [1, 2]. Однако, большинство интересных систем обычно находятся в области воздействия классических гравитационных и электромагнитных полей. Именно этим и мотивировано изучение высокотемпературных разложений термодинамических потенциалов в фоновых полях различных конфигураций.

Так, классической задачей является изучение термодинамического поведения газа заряженных частиц в сильном однородном магнитном поле [3 17]. В случае скалярных частиц в литературе имеется много расхождений относительно свойств такого газа при высоких температурах и плотностях. В работе [3] с использованием наивного однопетлевого приближения было показано, что газ заряженных скалярных частиц переходит в сверхпроводящее состояние при достаточно высокой плотности. Позднее этот результат был подтвержден во многих статьях как в релятивистском, так и в нерелятивистском режиме [13, 14, 17 24]. Однако, род такого фазового перехода оставался неизвестным. В некоторых работах [14, 18 20, 23] авторы предполагали, что реализуется «диффузный» тип фазового перехода без критической температуры. В других статьях утверждалось, что в трехмерном пространстве газ заряженных скалярных частиц не конденсируется (в смысле существования фазового перехода) пи при какой температуре и плотности при условии, что магнитное поле не равно пулю, не важно насколько оно мало. В статье [17] было показано, что (используя терминологию этой статьи) в любом «локальном» магнитном поле, В/О, бозе-эйнштейновская конденсация релятивистского газа бозонов не происходит, однако такой Возе-газ может сконденсироваться в ненулевом «внешнем» магнитном поле, Н ф 0. Тем не менее, пи критическая температура, пи род этого фазового перехода не были найдены. В группе статей [25, 26] авторы высказывают идею о том, что такой газ может конденсироваться, если выйти за пределы наивного однопетлевого приближения и учесть вклад так называемых кольцевых диаграмм.

Получение высокотемпературных разложений для статистических сумм также является классической проблемой квантовой теории поля (КТП) па кривом фоне. Что касается однопетлевых вкладов в свободную энергию квантовых полей, упомянем лишь работы [27 37], в которых применялись различные подходы к решению этой задачи. Однако, несмотря па то, что первые попытки найти высокотемпературные разложения были предприняты еще тридцать лет назад [27], проблема в общем положении для произвольного стационарного (не статического) гравитационного фона не была полностью решена. Отметим также, что высокотемпературное разложение свободной энергии для фермионов может быть использовано для анализа разложения по производным однопетлевого вклада в эффек-

тивное действие при нулевой температуре [38 40], регуляризовапиого обрезанием по энергии. В соответствии с общим предписанием теории перенормировок [41] структуры, появляющиеся как расходимости в эффективном действии, должны быть включены в исходное действие для сокращения этих расходимостей. Обычно эти расходимости и конечная часть нетривиально зависят от вектора Киллинга

определяющего стационарность фона и вакуумное состояние квантовых полей (см. [42], а также [43 46]). Таким образом, анализ высокотемпературного разложения может пролить свет па квантовую динамику векторного поля Кроме того, в литературе [47 49] неоднократно упоминался тот факт, что эффективное действие, а значит и термодинамический потенциал, должны обладать пепертур-бативными поправками. Однако, ни явная форма таких слагаемых для достаточно широкого класса фоновых метрик лоренцевой сигнатуры, ни даже их выражение в виде интегралов не приводилось.

Цель и задачи

Целью диссертационной работы является получение и анализ высокотемпературного разложения большого термодинамического потенциала в фоновых полях специальных конфигураций.

Задачи исследования:

1. Вывести полную асимптотическую формулу для высокотемпературного разложения одиопетлевого термодинамического потенциала для фоновых полей произвольной природы с учетом непертурбативных (по константе связи) поправок.

2. Получить высокотемпературное разложение ^-потенциала для заряженных скалярных и дираковских частиц в постоянном однородном магнитном поле. Изучить термодинамические свойства такого газа. Найти поправку к однопетлевому результату с помощью суммирования кольцевых диаграмм, а также изучить влияние таких поправок на термодинамические свойства системы.

3. Получить высокотемпературное разложение свободной энергии для скалярных частиц в произвольном стационарном гравитационном поле. Изучить зависимость расходящейся и конечной части разложения от вектора Киллинга. Вывести явные выражения для непертурбативных поправок к свободной энергии в случае стационарных медленно меняющихся в пространстве полей.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся:

1. Полное высокотемпературное разложение однопетлевого ^-потенциала в пренебрежении экспоненциально подавленными (при /3 —>• 0) членами.

2. Виедиагопальпые элементы теплового ядра для Фурье-преобразоваппого по времени уравнения Клейна-Гордона в постоянном однородном электромагнитном поле. Высокотемпературные разложения однопетлевых поправок к термодинамическому потенциалу от заряженных скалярных и дираковских частиц в постоянном магнитном поле для частиц и античастиц по отдельности. Явные формулы для непертурбативных поправок в эффективное действие при конечной температуре в этом случае. Доказательство наличия у системы заряженных бозонов фазового перехода первого рода из диамагнитного в сверхпроводящее состояние в однопетлевом приближении, а также приближенные формулы для основных термодинамических величии, характеризующих переход. Доказательство перехода системы в ферромагнитное состояние при учете кольцевых диаграмм и его основные характеристики.

3. Полное высокотемпературное разложение однопетлевой поправки в свободную энергию скалярного поля па стационарном гравитационном фоне. Явные выражения для расходящейся и конечной части высокотемпературного разложения. Явные формулы для непертурбативных поправок в эффективное действие при конечной температуре. Доказательство явной зависимости непертурбативного вклада от вектора Киллинга и невозможности его выражения в терминах метрики, кривизны и ее ковариаптных производных конечного порядка.

Все выносимые па защиту результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость

Высокотемпературные разложения в сильных магнитных полях могут играть большую роль в астрофизике и космологии. Например, белые карлики, сверхновые и нейтронные звезды являются теми представителями звездных объектов, в которых могут реализовываться рассмотренные условия. Кроме того, поля большой интенсивности реализовывались во время электрослабого фазового перехода в ранней Вселенной, когда температуры достигали 200 ГэВ. Сильные электромагнитные поля и высокие температуры присутствуют также во время формирования кварк-глюонной плазмы при столкновении тяжелых ионов.

Наличие нетривиальной зависимости эффективного действия от вектора Кил-линга, определяющего стационарность фона и вакуумное состояние квантовых полей, приводит к появлению динамики этого поля и дает одно из возможных объяснений темной материи. Такого типа члены в эффективном действии дают ведущий вклад в гравитационный сдвиг масс частиц.

Развитые в диссертации методы получения высокотемпературных разложений и неиертрубативных поправок могут быть применены к другим задачам: полевым конфигурациям, отличных от рассмотренных, фоновым полям другой природы, частицам с более высоким спином. Кроме того, модифицируя коэффициенты теплового ядра, можно рассматривать задачи с нетривиальными граничными условиями, например, модель адрона как мешка кварков, которая описывает нуклон как три свободных кварка (асимптотическая свобода), заключенных в некоторую полость (конфайпмепт).

Методология и методвг исследования

При выводе формулы высокотемпературного разложения использовались методы комплексного анализа: аналитическое продолжение, преобразование Мелли-на, метод Ватсопа. Было введено и исследовано понятие спектральной ^-функции для операторов типа Клейна-Гордона. Повсеместно используется разложение теплового ядра, его пересуммирования, формулы спуска.

При анализе неиертурбативных эффектов во внешних полях существенно используются метод фонового поля и нестационарная теория возмущений.

Термодинамические свойства частиц в магнитном поле изучаются с помощью формализма КТП при конечной температуре.

При вычислении неиертурбативных поправок и изучении термодинамических свойств была использована система компьютерной алгебры Mathematica.

Степенв достоверности и апробация резулвтатов

Достоверность результатов объясняется их внутренней самосогласованпо-стыо, а также совпадением в частных случаях с уже известными результатами.

Основные результаты диссертации докладывались па Всероссийской конференции «Молодые ученые России» (г. Москва, 2013 г.), Международной конференции «20th International Conference on General Relativity and Gravitation» (г. Варшава, Польша, 2013 г.), Международной конференции «Quantum Field Theory and Gravity» (г. Томск, 2014 г.), Международной конференции «Fonrteenth Marcel Grossmann Meeting» (г. Рим, Италия, 2015 г.), Международном семинаре «Strong

Field Problems in Quantum Theory» (г. Томск, 2016 г.), а также на научных семинарах кафедр квантовой теории ноля и теоретической физики Томского государственного университета.

По материалам диссертации опубликовано 4 статьи в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 3 статьи в высокорейтинговых зарубежных научных журналах: электронный журнал «Journal of High Energy Physics» (имнакт-фактор 6,063, квартиль 1), «Physical Review D» (имнакт-фактор 4,568, квартиль 2), индексируемых Web of Science и Scopus, и 1 статья в российском научном журнале, переводная версия которого индексируется Web of Science):

1. I. S. Kalinichenko, P. O. Kazinski, High-temperature expansion of the one-loop free energy of a scalar field on a curved background, Phys. Rev. D 87, 084036 (2013).

2. I. S. Kalinichenko, P. O. Kazinski, Non-perturbative corrections to the one-loop free energy induced by a massive scalar field on a stationary slowly varying in space gravitational background, JHEP 1408, 111 (2014).

3. I. S. Kalinichenko, P. O. Kazinski, One-loop thermodynamic potential of charged massive particles in a constant homogeneous magnetic field at high temperatures, Phys. Rev. D 94, 125012 (2016).

4. I. S. Kalinichenko, P. O. Kazinski, Nondiagonal values of the heat kernel for scalars in a constant electromagnetic field, Russian Physics Journal 59, 1942 (2017).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений.

В первой главе с помощью свойств ^-функции, ассоциированной с оператором тина Клейна-Гордона, и интегрального преобразования Меллина выводятся асимптотические формулы высокотемпературного разложения ^-потенциала для бозонов и фермионов. Формулы получены для частиц и античастиц по отдельности. Разложения имеют общий вид для фоновых полей различной конфигурации. Приводится связь высокотемпературных разложений с вакуумной энергией (эффективным действием при пулевой температуре).

Вторая глава посвящена изучению системы частиц в постоянном магнитном поле. Выводится точное выражение для теплового ядра в случае скалярного поля на постоянном электромагнитном фоне, изучается структура его особенностей. Для скалярных и дираковских частиц вычисляются высокотемпературные разложения ^-потенциала, а также вакуумная энергия в двух режимах: сильных (В > т2) и слабых полей (В < т2). В пределе слабых полей явно вычисляются экспоненциально подавленные (непертурбативные) поправки. С помощью одно-петлевых высокотемпературных разложений анализируются свойства газа бозонов в постоянном магнитном поле. Доказано наличие фазового перехода в сверхпроводящее состояние, найдены его основные характеристики. Рассматриваются скалярные частицы с самодействием ХфА. Доказано наличие фазового перехода такой системы в ферромагнитное состояние при учете кольцевых диаграмм.

В третьей главе рассматриваются скалярные частицы па стационарном гравитационном фоне общего вида. Описывается математический трюк, позволяющий свести исходную трехмерную задачу к четырехмерной с сохранением явной общей ковариантности. Получены бозонные и фермионные высокотемпературные разложения для свободной энергии. Анализируются коэффициенты такого разложения и их зависимость от вектора Киллинга. Выводятся различные формулы спуска, связывающие коэффициенты разложения теплового ядра в (1 и {(1+1)-мерном пространстве. С помощью формализма теории возмущений находится приближенное выражения для теплового ядра. Полученное тепловое ядро используется для нахождения непертурбативных поправок в высокотемпературное разложение.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе и выносимые па защиту.

Благодарности

Я глубоко признателен своим научным руководителям доктору физико-математических паук, доценту Казинскому Петру Олеговичу и доктору физико-математических паук, профессору Ляховичу Семену Леонидовичу за помощь в создании этой работы. Также выражаю благодарность всем сотрудникам кафедр квантовой теории поля и теоретической физики ТГУ за создание благоприятных условий труда.

Глава 1

Общая формула

высокотемпературного

разложения

Перед получением формулы высокотемпературного разложения ^-потенциала полезно оказывается рассмотреть аналитические свойства интегралов следующего вида

1\ = йххх^{х), 0 < Л < +оо, (1.1)

Л

как функций комплексной переменной Л. Для таких интегралов имеет место следующая теорема (см., например, [50, 51]).

Теорема 1. Пусть (р(х) абсолютно интегрируема на (О, Л], и при х —>• +0 имеет место следующее асимптотическое разложение

N

ф) = ^акхк + 0(х"+1). (1.2)

к=0

Тогда

1. Функция I\ аналитична при Г» е Л > —1 и может быть аналитически продолжена в область Г»е Л > —2 — N, где у нее имеются простые полюсы, в точках А = — к, к = 1, А^ + 1 с вылетами соответственно;

2. 1\ —У 0 при 11т Л| —>• оо в области Ие Л > — 2 — N. Доказательство. Интегралы 1\ и д\1\ сходятся абсолютно при Ие Л > —1, и, как

следствие, /д является аналитической функцией Л в этой области. В этой области имеем

/•Л /-Л /-Л дЛ+1

/д = / — <2о] + <2.0 / dxxx = / — <2о] + <^0Т-Г- (1-3)

Jo Jo Jo Л +1

Правая часть этого равенства определена и при Re Л > —2, Л —1, и задает аналитическое продолжение /д в эту область. Функция /д имеет простой полюс

в точке Л = — 1 с вычетом ао- Продолжая этот процесс вычитания слагаемых асимптотического ряда (1.2) из (р(х), мы придем к первому утверждению теоремы. При Re Л > —2 — N имеем

М N N лЛ+fc+l

h = I dxxx ip{x)~ У ai.-.r'' + У^ (¡h д"' ^ | (1.4)

Л + к + 1

fc=0 fc=0

Делая подстановку у = 1пж, мы сведем интеграл в этом выражении к преобразованию Фурье. В рассматриваемой области плоскости Л подынтегральное выражение абсолютно интегрируемо, и, следовательно, в соответствии с леммой Римана-Лебега (см., например, [52]) интеграл в (1.4) стремится к пулю при 11т А| —>• оо. Впеиитегральпые слагаемые в (1.4) также стремятся к пулю при |1тА| -> оо и А > 0. □

Во многих случаях эта теорема позволяет изучать аналитические свойства функции /д без явного вычисления ин теграла (1.1). Если верхний предел интеграла (1.1) А = +оо, то интеграл следует разбить на два и свести их к (1.1) заменой переменной х —>• х~1 в интеграле с бесконечным пределом. Если асимптотическое разложение (1.2) идет по дробным степеням ж, то имеющийся интеграл можно привести к форме (1.1) подходящей заменой переменной интегрирования х и переопределением А. Дифференцированием /д по А можно обобщить теорему на случай, когда асимптотическое разложение (р(х) содержит слагаемые вида хк1п1 х. В этом случае /д имеет кратные полюсы в комплексной плоскости А. Теорема 1, примененная к спектральной плотности самосопряженного оператора А > 0, дает структуру особенностей спектральной дзета-функции ((и. А) в комплексной плоскости V и связывает вычеты спектральной дзета-функции с коэффициентами разложения теплового ядра.

Перейдем теперь к непосредственному выводу формулы высокотемпературного разложения термодинамического потенциала. Пусть /С(и) есть фурье-образ эрмитового оператора типа Клейна-Гордона. Поместим рассматриваемую систему

в большой ящик и предположим, что 1С(и) самосопряженный оператор лапла-совского типа, обладающий спектром, ограниченным сверху при фиксированном значении од в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций, удовлетворяющих определенным граничным условиям па поверхности ящика. Тогда спектр Ек{ш) такого оператора является дискретным с точкой накопления на бесконечности [53 55]. Введем следующий оператор

Г Лтт"-1 ]с 2т

/С7"М := e~mvY(l - и) I ——е"т/си, (1.5)

хде контур С идет снизу вверх немного левее и параллельно мнимой оси, a rv : = |rjz/ewargr, argr £ [0,27г). Оператор (1.5) является ядерным, когда Re v < 0. Пусть oj^, а = 1 ,п(к): п(к) < оо, представляют собой вещественные решения уравнения

= (1.6)

4К)^о. (1.7)

Тогда функция

= Тг/С^М, (1.8)

понимаемая как обобщенная функция ад является аналогичной при Re v < 1 и допускает аналитическое продолжение во всю комплексную плоскость v. Пусть

ср(и) тестовая функция, тогда

г г°° г

I duxp(uj)(+(v, и) = J dee vfLp(e), f^{£) = ~J dcu(p(uj)d£ Tr 6()С(си) — e),

(1.9)

где Tr0(JC(uj)) обобщенная функция од считающая число положительных собственных значений 1С (си). Предположим, что бесконечно дифференцируема в точках и выполнено условие (1.7). Тогда верно следующее асимптотическое разложение

оо fc=0

при £ —>• +0. Следовательно, в соответствии с Теоремой 1 обобщенная функция и) обладает особенностями в форме простых полюсов в точках v G N, а функция Со>)/Г(1 — и) есть целая функция переменной v.

Пусть выполнены дополнительные условия стабильности [56 58]:

a) sgnK)4Kft) > О, Ъ) {+(v,u) = 0, си G (-6,6), (1.11)

для некоторого е > 0. Тогда одиопетлевой ^-потенциал принимает вид [59]

П = - / duj

00 - С+(0, ш) С| (0, -Oj)

'о

+

теР(и-и) ± 1 ± 1

(1.12)

Первое слагаемое в данном выражении представляет собой вклад частиц, а второе соответствует античастицам.

Теорема 1 позволяет нам привести простой вывод общей формулы для высокотемпературного разложения ^-потенциала [59, 60]. Напомним основные предположения, сделанные относительно дзета-функции:

1. (+(v:uj) = 0 для и G [0,ojc];

2. и) абсолютно локально интегрируема па луче [ис, +оо) (при Re v < 1);

3. Имеется следующее асимптотическое разложение при и —>• +оо:

N

= + (1.13)

fc=0

Как было показано в [59, 60] прямым вычислением, третье свойство выполнено для оператора /С(и;), являющегося фурье-образом оператора типа Клейна-Гордона. Коэффициенты Cki^) выражаются через коэффициенты разложения теплового ядра, возникающего в (1.5) (см., например, [36, 37, 56, 59, 60]). Второе свойство следует из определения (1.8).

Начнем со случая распределения Бозе-Эйпштейпа и введем следующее обозначение

где /i G (0,ojc). Воспользовавшись преобразованием Меллина, заменим нетривиальную функциональную зависимость подынтегрального выражения от и более

простой степенной

1 /' (1,4

Re(w - (i) > 0, (1.15)

где контур С\ идет параллельно мнимой оси снизу вверх чуть левее точки s = —1. Тогда

Ш = 1с ^¡r(-SK(-s)ß3vaM, (1.16)

хде

/•ОС рос

(Jsv{ß) := I düü(üü - и) = I düü(üü - w). (1-17)

J 0 Jeoc

Формула (1.16) верна, когда контур С\ сдвинут в область Res < 2 Re г/ — d — 1, где интеграл по и в (1.17) сходится.

Для того чтобы получить высокотемпературное разложение (1.16), необходимо сдвинуть контур С\ в область положительных Re s и учесть полюсную структуру подынтегрального выражения. Положение полюсов функции Г(— s)£( — s) очевидно, а структура особенностей функции <т®(/л) может быть определена с помощью Теоремы 1. Заменой переменного х = (со — /i)-1 приведем интеграл к нужной форме

= I dxx~s-0X+{v,ß + x~l). (1.18)

./о

Не сложно найти и асимптотическое разложение подынтегрального выражения:

ат(фт+0(хм+1) , аМ = ^ Сш-пН—^ _2и_ т) ,

т=0 ' п=0 ^ '

(1.19)

где И := d+1. Все условия Теоремы 1 выполнены. Следовательно, функция <т®(/л) может быть аналитически продолжена в область Re8 — d + N, хде

И^-м) г *

аМ = I dxx-s'2 ({и, ¡1 + ж"1) - ^ аМх21/-с1+т

(1.20)

s + D — 2ь> — т

т=О

Она имеет полюсы в точках s = 2ь> — d — 2 + fc, к = 1, TV + 1, с вычетами — <2fc_i(/i). Утверждение Теоремы 1

lim <7®(д) = 0, Res < 2Rez/-d + 7V, (1.21)

| Im s|—>co

гарантирует сходнмосп, (1.16) и позволяет сдвигать контур С\ направо.

Таким образом, получаем

N т п

Цц) = ]Г /Г+2г/-°С(£> - 2г/ - т) Г(£ - 2г/ - т + п)С,1

т=о п=о п'

(—1)/С(—/) ,, , Г ж

+ Е Г(/ + 1) ^^ + Ус,

где /о = [2 Ие г/ — (1 + Отметим, что член с I = —1 понимается в смысле предела, а контур Ох теперь идет чуть левее линии Ие 5 = Л^ + 2 Ие V — (1.

Если N оо, то, отбрасывая экспоненциально подавленный при (5 —>• +0 член, мы получим из (1.22) асимптотическое разложение

г/ —>■ 0. (1.23)

В случае фермиоиов рассуждения вполне аналогичны с той лишь разницей, что всюду дзета-функция Римапа ((г) должна быть заменена па эта-функцию Дирихле 1](г) := (1 — 21~г)((г). Таким образом,

/и* и , -I- V «• ~Т~ -I- у

г/ —>■ 0, (1.24)

ь?=о ' /=0 1 7

Слагаемое с I = —1 отсутствует в этом разложении, так как эта-фупкция не имеет особенности при г = 1 в отличие от дзета-функции. Вклады при четных

положительных I во втором слагаемом в (1.22), (1.23) и (1.24) равны пулю. С помохцыо формул (1.19), (1.20) для особенностей <т®(/л) можно непосредственно проверить, что выражения (1.23), (1.24) конечны при V —>• 0.

Вклад от античастиц в высокотемпературное разложение ^-потенциала выводится аналогично. Пусть

N

-Ш) = у СкМ^21/~к + 0(сис1-21/-м~и +оо. (1.25)

к=0

Введем следующие функции

/00

7-;(/i) := / + Res < 2Rez/-rf- 1, (1.26)

./о

понимаемые в смысле аналитического продолжения при Res > 2Rеи — d — 1. Тогда

'•'ОС'

düj£+(i/, —а;)

- - f-i/V*

= £Г^-^СУ + 1 - 21/ - ш)£г((| + 1- 2!/- т + n)C_n(i/)^L

/71=0 п=0

/о

(1.27)

Доказательство этой формулы абсолютно аналогично приведенному выше доказательству для частиц.

Полученные фермионное (1.24) и бозонное (1.23) высокотемпературные разложения будут существенно использоваться при дальнейшем изложении. Так в Главе 2 формулы будут применены для анализа системы частиц, находящейся в постоянном магнитном поле, а в Главе 3 к газу бозонов па стационарном гравитационном фоне.

Кроме того, высокотемпературное разложение для фермиопов может быть использовано для нахождения вклада в эффективное действие при пулевой температуре (вакуумную энергию). Данный факт основывается на следующем наблюдении

/t=0 е + 1 Ä^o ¿-^ 2 '

хде Еп есть энергия моды с номером п. Следует отметить, что распределение Ферми-Дирака в этой формуле играет роль регуляризующего множителя, а /Зо параметр регуляризации, никак не связанный с температурой. Полученная формула дает неперенормировапную энергию вакуумных флуктуаций для бозонов; фермиопный вклад задается аналогичной формулой, но с заменой Qf —

Глава 2

Постоянное магнитное поле

2.1 Тепловое ядро

Выведем точное выражение для теплового ядра, входящего в определение дзета-функции, в случае массивного заряженного скалярного поля на постоянном однородном электромагнитном фоне (см. также [8, 11, 12, 16, 61, 62]). Тепловое ядро представляет собой оператор эволюции

у) := (х|е-г5("ЯИ)|у), (2.1)

взятый при мнимом времени в = ¿т, для некоторой кваитово-мехапической системы с «гамильтонианом» —Н(и). В данном случае

Н = -т/"^ - гА^){ди - %АУ) - т2 = {р - А)2 - т2, ц^ = Мад{ 1,-1, -1, -1),

(2.2)

где заряд е включен в определение электромагнитного потенциала. Таким образом,

Н{и) = -(р - А)2 - т2 + {и - А0)2. (2.3)

Разложим электромагнитное поле в ряд

А,(х) = А,(0) + дгА,(0)хг + \дгд3А,{+ ..., (2.4)

воспользуемся фоковской калибровкой Аг(х)хг = 0, и удержим только линейную по х часть:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Калиниченко, Игорь Степанович, 2017 год

Список литературы

[1] Dolan L. Symmetry behavior at finite temperature / L. Dolan, R. Jackiw // Phys. Rev. D. 1974. Vol.9. P.3320.

[2] Haber H. E. Finite-temperature symmetry breaking and Bose-Einstein condensation / H. E. Haber, H. A. Weldon // Phys. Rev. D. 1982. Vol.25.

P.502.

[3] Schafroth M. R. Superconductivity of a charged ideal Bose gas // Phys. Rev. 1955. Vol.100. P.463.

[4] Kirzhnits D. A. Symmetry behavior in gauge theories / D. A. Kirzhnits, A. D. Linde // Annals Phys. 1976. Vol.101. P.195.

[5] Linde A. D. Phase transitions in gauge theories and cosmology // Rep. Prog. Phys.

1979. Vol.42. P.389.

[6] Dittrich W. Effective Lagrangians at finite temperature // Phys. Rev. D. 1979. Vol.19. P.2385.

[7] Kapusta J. I. Bose-Einstein condensation, spontaneoussymmetry breaking, and gauge theories // Phys. Rev. D. 1981. Vol.24. P.426.

[8] Шабад A. E. Поляризация вакуума и квантового релятивистского газа во внешнем поле // Труды ФИАН. 1988. Т. 192. С.5.

[9] Chodos A. QED with a chemical potential: The case of a constant magnetic field / A. Chodos, K. Everding, D. A. Owen // Phys. Rev. D. 1990. Vol.42. P.2881.

[10] Loewe M. Thermal effects and the effective action of quantum electrodynamics / M. Loewe, J. C. Rojas // Phys. Rev. D. 1992. Vol.46. P.2689.

[11] Elmfors P. QED effective action at finite temperature and density / P. Elmfors, D. Persson, B.-S. Skagerstam // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol.71. P.480.

[12] Elmfors P. Real-time thermal propagators and the QED effective action for an external magnetic field / P. Elmfors, D. Persson, B.-S. Skagerstam // Astropart. Phys. 1994. Vol.2. P.299.

[13] Statistical mechanics of the magnetized pair quantum gases / J. Daicic [et. al.] // Phys. Rep. 1994. Vol.237. P.63.

[14] Perez Rojas H. Bose-Einstein condensation may occur in a constant magnetic field // Phys. Lett. B. 1996. Vol.379. P. 148.

[15] Kirsten K. Simple criterion for the occurrence of Bose-Einstein condensation / K. Kirsten, D. J. Toms // Phys. Lett. B. 1996. Vol.368. P. 119.

[16] Elmfors P. Electromagnetic fields in a thermal background / P. Elmfors, B.-S. Skagerstam // Phys. Lett. B. 1995. Vol.348. P. 141.

[17] Condensation and magnetization of the relativistic Bose gas / P. Elmfors [et. al.] // Phys. Lett. B. 1995. Vol.348. P.462.

[18] Perez Rojas H. On Bose-Einstein condensation in any dimension // Phys. Lett. A. 1997. Vol.234. P.13.

[19] Perez Rojas H. Bose-Einstein condensation in a constant magnetic field / H. Perez Rojas, L. Villegas-Lelovski // Braz. J. Phys. 2000. Vol.30. P.410.

[20] Delgado R. L. Two-step condensation of the charged Bose gas / R. L. Delgado, P. Bargueno, F. Sols // Phys. Rev. E. 2012. Vol.86. P.031102.

[21] Standen G. B. Statistical mechanics of nonrelativistic charged particles in a constant magnetic field / G. B. Standen, D. J. Toms // Phys. Rev. E. 1999.

Vol.60. P.5275.

[22] Toms D. J. Weak field superconductivity for relativistic charged gases at high temperature // Phys. Rev. D. 1995. Vol.51. P.1895.

[23] Daicic J. Superconductivity of the Bose gas / J. Daicic, N. E. Frankel // Phys. Rev. D. 1996. Vol.53. P.5745.

[24] Standen G. B. Bose-Einstein condensation of the magnetized ideal Bose gas / G. B. Standen, D. J. Toms // Phys. Lett. A. 1998. Vol.239. P.401.

[25] Magnetic catalysis of a charged Bose-Einstein condensate / A. Ayala [et. al.] // Phys. Rev. D. 2012. Vol.86. P.076006.

[26] Phase diagram for charged scalars in a magnetic field at finite temperature / A. Ayala [et. al.] // Phys. Rev. D. 2013. Vol.88. P.036010.

[27] Dowker J. S. Finite temperature and boundary effects in static space-times / J. S. Dowker, G. Kennedy // J. Phys. A. 1978. Vol.11. P.895.

[28] Nakazawa N. On the energy-momentum tensor at finite temperature in curved space-time / N. Nakazawa, T. Fukuyama // Phys. Rev. B. 1985. Vol.252. P.621.

[29] Dowker J. S. High-temperature expansion of the free energy of a massive scalar field in a curved space / J. S. Dowker, J. P. Schofield // Phys. Rev. D. 1988. Vol.38. P.3327.

[30] Dowker J. S. Chemical potentials in curved space / J. S. Dowker, J. P. Schofield // Phys. Rev. B. 1989. Vol.327. P.267.

[31] Hu B. L. Finite-temperature quantum field theory in curved space-time: Quasilocal effective Lagrangians / B. L. Hu, R. Critchley, A. Stylianopoulos // Phys. Rev. D. 1987. Vol.35. P.510.

[32] Kirsten K. Casimir effect at finite temperature // J. Phys. A. 1991. Vol.24. P.3281.

[33] Kirsten K. Grand thermodynamic potential in a static spacetime with boundary // Class. Quantum Grav. 1991. Vol.8. P.2239.

[34] Camporesi R. Finite temperature and chemical potentials in higher dimensions // Class. Quantum Grav. 1991. Vol.8. P.529.

[35] Gusev Yu. V. Finite temperature nonlocal effective action for quantum fields in curved space / Yu. V. Gusev, A. I. Zelnikov // Phys. Rev. D. 1998. Vol.59. P.024002.

[36] Fursaev D. V. Kaluza-Klein method in theory of rotating quantum fields // Phys. Rev. B. 2001. Vol.596. P.365.

[37] Fursaev D. V. Statistical mechanics, gravity, and Euclidean theory // Phys. Rev. B (Proc. Suppl.) 2002. Vol.104. P.33.

[38] Kazinski P. O. One-loop omega-potential of quantum fields with ellipsoid constant-energy surface dispersion law / P. O. Kazinski, M. A. Shipulya // Ann. Phys. (NY) 2011. Vol.326. P.2658.

[39] Kazinski P. O. One-loop effective potential of the Higgs field on the Schwarzschild background // Phys. Rev. D. 2009. Vol.80. P. 124020.

[40] Kazinski P. O. Gravitational mass-shift effect in the standard model // Phys. Rev. D. 2012. Vol.85. P.044008.

[41] Collins J. C. Renormalization / J. C. Collins. Cambridge : Cambridge University Press, 1984. 390 p.

[42] Kazinski P.O. Propagator of a scalar field on a stationary slowly varying gravitational background [Electronic resource] // Cornell University Library. 2013.

45 p. URL: http://arxiv.org/abs/1211.3448 (access date: 17.04.2016).

[43] DeWitt B. S. Quantum field theory in curved spacetime // Phys. Rep. 1975. Vol.19. P.295.

[44] Brown M. R. Conformally invariant quantum field theory in static Einstein spacetimes / M. R. Brown, A. C. Ottewill, D. N. Page // Phys. Rev. D. 1986. Vol.33.

P.2840.

[45] Frolov V. P. Killing approximation for vacuum and thermal stress-energy tensor in static space-times / V. P. Frolov, A. I. ZeFnikov // Phys. Rev. D. 1987. Vol.35.

P.3031.

[46] Frolov V. P. Black hole physics: basic concepts and new developments / V. P. Frolov, I. D. Novikov. New York : Springer-Verlag, 1998. 786 p.

[47] Grib A. A. Vacuum quantum effects in strong fields / A. A. Grib, S. G. Mamayev, V. M. Mostepanenko. St. Petersburg : Friedmann Lab. Publ., 1994. 361 p.

[48] ZeFnikov A. I. The vacuum polarization of massive fields in algebraically special spaces // Abstracts of Vl-th Soviet Gravitational Conference. Moscow, 1984.

[49] Gavrilov S. P. Vacuum instability in external fields / S. P. Gavrilov, D. M. Gitman // Phys. Rev. D. 1996. Vol.53. P.7162.

[50] Gel'fand I. M. Generalized functions. Properties and operations / I. M. Gel'fand, G. E. Shilov. New York : Academic Press, 1964. 423 p.

[51] Wong R. Asymptotic approximations of integrals / R. Wong. Philadelphia : SIAM, 2001. 543 p.

[52] Reed M. Methods of modern mathematical physics / M. Reed, B. Simon. New York : Academic Press, 1975. 400 p.

[53] Агранович M. С. Эллиптические операторы па замкнутых многообразиях // Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, ВИНИТИ. 1990. Т.63. С.5-129.

[54] Shubin М. A. Pseudodifferential operators and spectral theory / M. A. Shubin. Berlin : Springer, 2001. 295 p.

[55] Gilkey P. B. Asymptotic formulae in spectral geometry / P. B. Gilkey. Boca Raton : CRC Press LLC, 2004. 312 p.

[56] Fursaev D. Operators, geometry and quanta: methods of spectral geometry in quantum field theory / D. Fursaev, D. Vassilevich. Heidelberg : Springer, 2011. 294 p.

[57] Migdal A. B. The pion spectrum in nuclear matter and pion condensation / A. B. Migdal, O. A. Markin, I. I. Mishustin // Sov. Phys. JETP. 1974. Vol.39. P.212.

[58] Fursaev D. V. Spectral geometry of operator polynomials and applications to QFT [Electronic resource] // Cornell University Library. 2003. 9 p. URL: http://arxiv.org/abH/hep-th/0311080 (ассекк date: 11.06.2016).

[59] Kalinichenko I. S. Non-perturbative corrections to the one-loop free energy induced by a massive scalar field on a stationary slowly varying in space gravitational background [Electronic resource] / I. S. Kalinichenko, P. O. Kazinski // JHEP. 2014. Vol.1408. P.lll. URL:https://link.springer.com/content/pdf/ 10.1007%2FJHEP08%282014%29111.pdf (access date: 20.03.2016).

[60] Kalinichenko I. S. High-temperature expansion of the one-loop free energy of a scalar field on a curved background / I. S. Kalinichenko, P. O. Kazinski // Phys. Rev. D. 2013. Vol.87. P.084036.

[61] Shovkovy I. A. One-loop finite temperature effective potential in QED in the worldline approach // Phys. Lett. B. 1998. Vol.441. P.313.

[62] Cangemi D. Temperature expansions for magnetic systems / D. Cangemi, G. Dunne // Annals Phys. 1996. Vol.249. P.582.

[63] Elmfors P. Thermally induced photon splitting / P. Elmfors, B.-S. Skagerstam // Phys. Lett. B. 1998. Vol.427. P. 197.

[64] Weldon H. A. Proof of zeta-function regularization of high-temperature expansions // Nucl. Phys. B. 1986. Vol.270. P.79.

[65] Свешников А. Г. Теория функций комплексного переменного / А. Г. Свешников. Москва : Физматлит, 1967. 321 с.

[66] NIST handbook of mathematical functions / F. W. J. Olver [et. al.]. New York : Cambridge University Press, 2010. 967 p.

[67] Khalilov V. R. Electrons in strong electromagnetic fields: an advanced classical and quantum treatment / V. R. Khalilov. Amsterdam : Gordon and Breach Sci. Pub., 1996. 240 p.

[68] Bogolyubov N. N. Introduction to the theory of quantized fields / N. N. Bogolyubov, D. V. Shirkov. New York : Wiley, 1980. 480 p.

[69] Dunne G. Heisenberg-Euler effective Lagrangians: Basics and extensions [Electronic resource] // Cornell University Library. 2004. 82 p. URL: http://arxiv.org/abs/hep-th/0406216 (access date: 21.05.2016).

[70] Landau L. D. Electrodynamics of continuous media / L. D. Landau, E. M. Lifshitz, L. P. Pitaevskii. Oxford : Pergamon, 1984. 474 p.

[71] Lifshits E. M. Statistical physics. Part II / E. M. Lifshits, L. P. Pitaevskii. New York : Pergamon, 1980. 397 p.

[72] Landau L. D. The classical theory of fields / L. D. Landau, E. M. Lifshitz. San Francisco : Butterworth-Heinemann, 1994. 438 p.

[73] Zelmanov A. L. Chronometric invariants and comoving coordinates in General Relativity // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1956. Vol.107. P.815.

[74] Владимиров Ю. С. Системы отсчета в теории гравитации / Ю. С. Владимиров. Москва : Энергоиздат, 1982. 257 с.

[75] Мицкевич Н. В. Динамика нолей в общей теории относительности / Н. В. Мицкевич, А. П. Ефремов, А. И. Нестеров. Москва : Энергоатомиздат, 1985.

186 с.

[76] DeWitt В. S. The global approach to quantum field theory, Vol. 1,2 / B. S. DeWitt.

Oxford : Claredon Press, 2003. 1132 p.

[77] Wald R. M. General Relativity / R. M. Wald. Chicago : University of Chicago Press, 1984. 495 p.

[78] Vassilevich D. V. Heat kernel expansion: user's manual // Phys. Rep. 2003. Vol.388. P.279.

[79] Avramidi I. G. Covariant methods for the calculation of the effective action in quantum field theory and investigation of higher-derivative quantum gravity [Electronic resource] : Ph.D. thesis // Cornell University Library. 1996. 159 p. URL: http://arxiv.org/abs/hep-th/9510140 (access date: 11.02.2016).

[80] Avramidi I. G. A covariant technique for the calculation of the one-loop effective action // NhcI. Phys. B. 1991. Vol.355. P.712.

[81] van de Ven A. E. M. Index-free heat kernel coefficients // Class. Quantum Grav.

1998. Vol.15. P.2311.

[82] Gilkey P. B. The spectral geometry of a Riemannian manifold // J. Diff. Geom.

1975. Vol.10. P.601.

[83] Parker L. New form for the coincidence limit of the Feynman propagator, or heat kernel, in curved spacetime / L. Parker, D. J. Toms // Phys. Rev. D. 1985. Vol.31. P.953.

[84] Jack I. Proof of summed form of proper-time expansion for propagator in curved space-time / I. Jack, L. Parker // Phys. Rev. D. 1985. Vol.31. P.2439.

[85] Barvinsky A. O. New nonlocal effective action / A. O. Barvinsky, V. F. Mukhanov // Phys. Rev. D. 2002. Vol.66. P.065007.

[86] Gradshteyn I. S. Table of integrals, series, and products / I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. Boston : Acad. Press, 1994. 1762 p.

[87] Kapusta J. I. Finite-temperature field theory / J. I. Kapusta, Ch. Gale. Cambridge : Cambridge University Press, 2006. 442 p.

[88] Dowker . S. Conformal properties of the heat-kernel expansion. Application to the effective Lagrangian // Phys. Rev. D. 1989. Vol.39. P.1235.

[89] Coleman S. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking / S. Coleman, E. Weinberg // Phys. Rev. D. 1973. Vol.7. P.1888.

[90] Hawking S. W. Particle creation by black holes // Commun. Math. Phys. 1975. Vol.43. P.199.

[91] Kostelecky V. A Gravitational phenomenology in higher-dimensional theories and strings / V. A. Kostelecky, S. Samuel // Phys. Rev. D. 1989. Vol.40. P.1886.

[92] Kostelecky V. A. Gravity, Lorentz violation, and the standard model // Phys. Rev. D. 2004. Vol.69. P.105009.

[93] Bluhm R. Spontaneous Lorentz and diffeomorphism violation, massive modes, and gravity / R. Bluhm, S.-H. Fung, V. A. Kostelecky // Phys. Rev. D. 2008. Vol.77. P.065020.

[94] Will C. M. The confrontation between General Relativity and experiment // Living Rev. Relativity. 2006. Vol.9. 117 p.

[95] Landau L. D. Electrodynamics of continuous media / L. D. Landau, E. M. Lifshitz. Oxford : Pergamon, 1984. 474 p.

[96] Page D. N. Thermal stress tensors in static Einstein spaces // Phys. Rev. D. 1982. Vol.25. P.1499.

[97] Courant R. Methods of mathematical physics, Vol. 2 / R. Courant, D. Hilbert. New York : Wiley, 1962. 879 p.

[98] Gilkey P. B. Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem / P. B. Gilkey. Wilmington : Publish or Perish, 1984. 352 p.

[99] Birrell N. D. Quantum fields in curved space / N. D. Birrel, P. C. W. Davies. Cambridge : CUP, 1984. 352 p.

[100] Balian R. Distribution of eigenfrequencies for the wave equation in a finite domain. Part I / R. Balian, C. Bloch // Ann. Phys. (NY). 1970. Vol.60. P.401.

[101] Balian R. Distribution of eigenfrequencies for the wave equation in a finite domain. Part II / R. Balian, C. Bloch // Ann. Phys. (NY). 1971. Vol.64. P.271.

[102] Balian R. Distribution of eigenfrequencies for the wave equation in a finite domain. Part III / R. Balian, C. Bloch // Ann. Phys. (NY). 1972. Vol.69. P. 76.

[103] Hu B. L. Effective Lagrangian for Xcf)4 theory in curved spacetime with varying background fields: Quasilocal approximation / B. L. Hu, D. J. O'Connor // Phys. Rev. D. 1984. Vol.30. P.743.

[104] Petrov A. Z. Einstein spaces / A. Z. Petrov. Oxford : Pergamon, 1969. 419 p.

[105] Bekenstein J. D Path-integral evaluation of Feynman propagator in curved spacetime / J. D. Bekenstein, L. Parker // Phys. Rev. D. 1981. Vol.23. P.2850.

[106] Weinberg S. Phenomenological lagrangians // Physica A. 1979. Vol.96. P.327.

[107] Donoghue J. F. Dynamics of the Standard Model / J. F. Donoghue, E. Golowich and B. R. Holstein. Cambridge : CUP, 1994. 560 p.

[108] Anderson P. R. Stress-energy tensor of quantized scalar fields in static spherically symmetric spacetimes / P. R. Anderson, W. A. Hiscock and D. A. Samuel // Phys. Rev. D. 1995. Vol.51. P.4337.

[109] Howard K. W. Vacuum (T in Schwarzschild spacetime // Phys. Rev. D. 1984. Vol.30. P.2532.

[110] Balian R. Solution of the Schrodinger equation in terms of classical paths / R. Balian, C. Bloch // Ann. Phys. (NY). 1974. Vol.85. P.514.

[111] Landau L. D. Quantum mechanics / L. D. Landau, E. M. Lifshitz. Oxford : Pergamon, 1965. 679 p.

[112] Brill D. R. Interaction of neutrinos and gravitational fields / D. R. Brill, J. A. Whiller // Rev. Mod. Phys. 1957. Vol.29. P.465.

[113] Mamaev S. G. Particle creation from the vacuum near a homogeneous isotropic singularity / S. G. Mamaev, V. M. Mostepanenko, A. A. Starobinskii // Sov. Phys. JETP. 1976. Vol.43. P.823.

[114] Buldyrev V. S. Asymptotic solutions of an elliptic equation system on a Riemannian manifold concentrated in the vicinity of a phase trajectory / V. S. Buldyrev, V. E. Nomofilov // J. Phys. A: Math. Gen. 1981. Vol.14. P.1577.

[115] Quasi-classical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics of a charged particle in a curved spacetime / V. G. Bagrov [et. al.] // Class. Quantum Grav. 1991. Vol.8. P.515.

[116] Landau L. Diamagnetismus der Metalle // Z. Phys. 1930. Vol.64. P.629.

[117] Vshivtsev A. S. Landau oscillations in (2 + l)-dimensional quantum electrodynamics / A. S. Vshivtsev, K. G. Klimenko, B. V. Magnitskii // J. Exp. Theor. Phys. 1995. Vol.80. P. 162.

[118] Shoenberg D. Magnetic oscillations in metals / D. Shoenberg. Cambridge : CUP, 1984. 594 p.

[119] Lifshits I. M. Electron theory of metals / I. M. Lifshits, M. Ya. Azbel, M. I. Kaganov. New York : Consultants Bureau, 1973. 326 p.

[120] Landau L. D. Statistical physics. Part I / L. D. Landau, E .M. Lifshitz. Oxford : Pergamon, 1978. 562 p.

[121] Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys. Rev. 1951. Vol.82. P.664.

[122] Heisenberg W. Folgerungen aus der Diracschen theorie des positrons / W. Heisenberg, H. Euler // Z. Phys. 1936. Vol.98. P.714.

[123] VasiFev A. N. The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics / A. N. VasiFev. Boca Raton : Chapman & Hall/CRC, 2004. 698 p.