Выпуклые функции и характеризация следовых функционалов на алгебрах фон Неймана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Абед Сами Абдулла Абед

• Абед Сами Абдулла Абед
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Абед Сами Абдулла Абед

Введение

Предварительные сведения и обозначения

Обзор литературы

Глава 1. Неравенства для проекторов и непрерывных

функций

1.1 Неравенства Йенсена для проекторов

1.2 Коммутативность проекторов

1.3 Характеризация следовых функционалов

Глава 2. Коммутативность проекторов и

характеризация следа

2.1 Определение и свойства паранормальных элементов в нормированной алгебре

2.2 Новые критерии коммутативности проекторов

2.3 Характеризация следовых функционалов

Заключение

Список условных обозначений

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Выпуклые функции и характеризация следовых функционалов на алгебрах фон Неймана»

Актуальность темы исследования.

Во второй половине 20-х годов XX века на фоне бурного развития квантовой механики Джон фон Нейман пишет несколько работ, которые в итоге дадут основу для вышедшей в 1932 году на немецком языке монографии «Математические основания квантовой механики» [53]. В продолжение разработки этого подхода Джон фон Нейман совместно с Френсисом Джозефом Мюрреем пишет цикл работ [48-50;52], которые можно считать началом изучения полных нормированных операторных колец и алгебр.

В предложенном подходе физическим наблюдаемым соответсвуют эрмитовы операторы, а их вещественному спектру соответствует набор значений, которые эта физическая величина может принимать. Собственным векторам физической величины обычно сопоставляют так называемые «чистые состояния», то есть те состояния, в которых с единичной вероятностью наблюдается некоторое конкретное значение физической величины. В более общих нотациях векторы заменяют положительные линейные функционалы единичной нормы. Эволюция замкнутых квантовых систем описывается с помощью применения сопряженных между собой унитарных операторов слева и справа. В связи с этим особая роль возникает у унитарно-инвариантных фунционалов, поскольку для таких функционалов эволюция системы не влияет на значение, получаемое для одной и той же величины. Унитарная инвариантность функционала является одним из эквивалентных условий, характеризующих следовость функционала. Кроме того, значимость следовых функционалов и следов усиливается наличием некоммутативных теорем типа Радона-Никодима, где в качестве канонического интеграла берется нормальный полуконечный след.

В 1943 г. советские математики Израиль Моисеевич Гельфанд и Марк Аронович Наймарк ввели в рассмотрение более общий объект — инволютивные банаховы алгебры с одним дополнительным свойством, в настоящее время во всем мире известный как С*-алгебры. С*-алгебры тесным образом связаны с алгебрами фон Неймана. В частности, всякая С*-алгебра имеет универсальную обертывающую алгебру фон Неймана, изометрически изоморфную второму сопряженному пространству к самой алгебре. Также всякая алгебра фон Неймана является С*-алгеброй.

С *-алгебры оказались куда более многообразным объектом для изучения, в том смысле, что если для алгебр фон Неймана задача полной классификации была решена к середине 1980-х годов, то проблема полной классификации С*-алгебр до сих пор является открытой.

Исследования по проблеме характеризации следовых функционалов на С*-алгебрах начались в 1970-е годы; различные характеризации предложили Ш. А. Аюпов [1], А. М. Бикчентаев [4; 7; 8; 10-13; 26], Л. Т. Гарднер [38], Д. Ч. Хоа [20;21], Д.Ч. Хоа, Х. Осака, Х.М. Тоан [41], М. С. Матвейчук [15; 16], Г. К. Педерсен, Е. Штёрмер [56], Д. Петц, Я. Земанек [57], Т. Сано, Т. Ятсу [59], О. Е. Тихонов [14; 17; 18;62], Х. Упмайер [63], К. Чо [31] и др. Подробный обзор работ в этом направлении был опубликован в 2012 г. А.М. Бикчентаевым [29]. Родственной к проблеме характеризации следовых функционалов является задача характеризации центральных элементов. Отсчет изучения характеризации следов неравенствами можно начать с работы Л. Гарднера [38]. Также стоит упомянуть работы А. М. Бикчентаева, Д. Виростека, А. А. Новикова, А. Н. Столярова, О. Е. Тихонова, А. Н. Шерстнева, [8; 14; 17; 18; 24; 25; 29; 54; 64].

Известно [9; 28; 29], что если такие неравенства как неравенство Гельде-ра, Коши-Шварца-Буняковского, Голдена-Томпсона выполняются даже только для проекторов, то они характеризуют следовые функционалы среди прочих положительных нормальных функционалов на алгебре фон Неймана.

Было получено много результатов о коммутативности С*-алгебр с различных точек зрения: характеризация с помощью идеалов и нильпонентов Каплан-ского (см. [34;45]), численная характеризация М. Дж. Крабба, Дж. Дункана и К.М. МакГрегора (см. [32]), порядковая характеризация Т. Огасавары (см. [55]), С. Шермана (см. [60]), M. Фукамийи, М. Мисону и З. Такеды (см. [35]), Вей Ву (см. [65]), спектральная характеризация, данная Р. Накамото [51] и И. Като (см. [46]). Дж. Ли и Дж. Томияма дали еще три типа характеризаций коммутативности С*-алгебр [44].

Более подробный обзор, изложенный в хронологическом порядке, будет представлен в соответсвующем разделе диссертации.

Все вышесказанное свидетельствует об актуальности:

1. поиска условий абелевости С*-алгебр;

2. поиска условий, выделяющих следовые функционалы среди всех положительных линейных функционалов на С*-алгебрах;

3. исследования классов элементов нормированных алгебр.

Цель настоящей диссертационной работы - исследование вопросов характе-ризации следовых функционалов на алгебрах фон Неймана и характеризации коммутативности этих алгебр.

Для достижения поставленной цели ставились следующие задачи:

1) нахождение новых признаков перестановочности проекторов гильбертова пространства;

2) получение новых критериев абелевости алгебр фон Неймана;

3) получение новых характеризаций следовых функционалов на алгебрах фон Неймана;

4) выделение новых классов элементов нормированной алгебры и исследование

их свойств.

Перечислим основные положения, выносимые на защиту:

1. установлены новые критерии коммутативности проекторов в терминах операторных неравенств, включающих функциональное исчисление;

2. введены и исследованы классы паранормальных элементов в банаховых алгебрах;

3. найдены новые неравенства, характеризующие следовые функционалы на алгебре фон Неймана.

Научная новизна: Все представленные в диссертации основные результаты являются новыми. В работе были определены два новых класса функций, для которых выполняется неравенство Йенсена для пар проекторов гильбертова пространства. Предложено понятие паранормального элемента в произвольной нормированной алгебре, которое в случае алгебры всех линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве совпадает с классическим определением паранормального оператора. Получены новые критерии абелевости произвольных алгебр фон Неймана.

Научная и практическая значимость. Установленные критерии абелевости алгебр фон Неймана позволяют использовать для них известную структурную теорему о том, что максимальная абелева алгебра фон Неймана *-изоморфна алгебре мультипликаторов ЬЖ)(0,, на локализуемом пространстве с мерой (П, действующих в гильбертовом пространстве Ь2(&, А,д). Найденные характеризации следовых функционалов с помощью операторных неравенств дополняют известные результаты о том, что выполнение каждого из классических неравенств квантовой статистической механики (Араки-Либа-Тирринга, Гольдена-Томпсона, Паэрлса-Боголюбова) и теории

интегрирования (Коши-Буняковского-Шварца, Гельдера, Юнга) дает такую характеризацию.

Степень достоверности полученные в диссертации результатов гарантируется полными подробными доказательствами. Исследования велись в русле современных исследований, проводимых другими математиками.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на следующих научных мероприятиях

— 26 июня — 2 июля 2016 г. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии (Казань, К(П)ФУ) [А4];

— 24—29 ноября 2016 г. Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2016» (Казань, К(П)ФУ) [А5];

— 21—27 августа 2017 г. XIII Международная летняя школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, К(П)ФУ) [А6];

— 24—29 ноября 2017 г. Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2017» (Казань, К(П)ФУ) [А7]

— 28 января — 1 февраля 2019 г. Международная научная конференция «Бесконечномерный анализ и математическая физика», посвященная памяти С.В. Фомина (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова).

20 сентября 2019 г. работа в целом докладывалась на семинаре «Операторные алгебры» иностранного члена академии наук Армении проф. Сурена Аршако-вича Григоряна при Казанском государственном энергетическом университете. Личный вклад автора. Диссертант активно участвовал в процессе доказательств всех основных результатов, представленных в работе. Постановки большинства задач принадлежат научному руководителю. В совместных статьях [А2] и [А3] диссертанту принадлежит 50% содержания.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в семи печатных изданиях.

Статьи, опубликованные в рецензируемых журналах, входящих в перечень журналов ВАК Российской Федерации.

Scopus и WoS:

[A1] Abed S.A. An inequality for Projections and Convex Functions / S.A. Abed // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2018. - V. 39, № 9. - P. 1287-1292; [A2] Бикчентаев А.М. Паранормальные элементы в нормированной алгебре / А.М. Бикчентаев, С.А. Абед // Известия вузов. Математика. - 2018, № 5. - С. 13-19;

[A3] Bikchentaev A.M. Projections and Traces on von Neumann Algebras / A. M. Bikchentaev, S.A. Abed // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2019. - V. 40, № 9. - P. 1260-1267.

В других изданиях:

[A4] Abed S.A. An inequality for projections and convex functions / S.A. Abed // Матер. международной конф. по алгебре, анализу и геометрии, посв. юбилеям Петра Алексеевича (1895-1944) и Александра Петровича (1926-1998) Широковых, и мол. школы-конф. по алгебре, анализу, геометрии. (Казанский федеральный университет, 26 июня - 2 июля 2016 г.). - Казань: Казанский университет; изд-во АН РТ, 2016. - С. 37-38.

[A5] Abed S.A., Commutativity of projections / S.A. Abed // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского, Т. 53. (Казанский федеральный университет, 24 - 29 ноября 2016 г.). - Казань: изд-во Каз. мат. общ., Изд-во Академии наук РТ. - 2016. - С. 175-176.

[A6] Абед С.А. Паранормальные элементы в нормированной алгебре / С.А. Абед, А.М. Бикчентаев // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского, Т. 54. - Матер. Тринадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции. (Казанский федеральный университет, 21-27 августа 2019 г.). - Казань: Изд-во Казанск. матем. о-во, Изд-во Академии наук РТ. -С. 72-74.

[A7] Abed S.A. On some operator inequalities / S.A. Abed // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 55. Лобачевские чтения - 2017: материалы Шестнадцатой молодежной научной школы-конференции (Казань, 24-29 ноября 2017 г.). - С. 167-168.

Объем и структура работы. Диссертационная работа включает введение, параграф предварительных сведений, параграф обзора литературы, две главы, разбитые на шесть параграфов, список обозначений и список литературы. Полный объем составляет 77 страниц, список литерутуры содержит 65 наименование.

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, дан небольшой исторический очерк ее проблематики, перечислены авторы-предшественники и дан краткий обзор их работ. Определены объект исследования, его цель и задачи. Приведено сжатое изложение основных результатов диссертации, объяснены научная новизна, практическая ценность исследований, изложена апробация работы, приведен список публикаций автора по теме диссертации. В конце изложено краткое содержание работы.

После введения приведен раздел обозначений и предварительных сведений. За ним следует развернутый обзор литературы.

Первая глава (§ 1.1-1.3) посвящена исследованию задач 1), 2) в случае алгебр фон Неймана. Здесь получено условие, которое достаточно наложить на непрерывную функцию, чтобы соотвествующая функция в смысле функционального исчисления была проекторно-выпуклой, т.е.

f (АР + (1 - X)Q) < А/ (Р) + (1 - A)/(Q)

для любых проекторов Р и Q и вещественного А £ (0,1). Также получена ха-рактеризация коммутирования двух проекторов и характеризации следов в терминах неравенств для неплоских функций.

В § 1.1. исследуется неравенство Йенсена для пары проекторов из *-алгебры В(Н) всех линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н, и функции / из класса

К = Не С [0,1] : Д1)х + Д0)(1 - х) > Дх) Ух е (0,1)}.

Класс К существенно шире класса операторно выпуклых функций на полуоси [0, + то).

Теорема 1. Для любого А е [0,1], любой функции / е К и каждой пары проекторов Р,Ц е В(Н)рг выполняется следующее неравенство

А/(Р) + (1 - А)ДЦ) > /(АР + (1 - А)Ц).

В § 1.2 исследуется задача 1). Здесь найдены условия на функцию /, обеспечивающие перестановочность пары проекторов:

Теорема 2. Пусть Р, Ц е В(Н)рг, А е [0,1] и / е С[0,1] будут такими, что

= дх^-ло) = Л1) _ /(0)

и либо Дд) = р/(1) + (1 — д)Д0), либо /(1 - р) = р/(1) + (1 — д)Д0) для р е (0,1) \ {А,1 - А}. Имеем

/(А Р + (1 - А)0) = А/(Р) + (1 - А) ДЦ)

тогда и только тогда, когда РЦ = ЦР.

В конце параграфа приведены примеры таких функций.

В § 1.3 исследуется задача 2). В терминах достижения равенства в неравенстве Йенсена описаны следовые функционалы в классе всех положительных функционалов на произвольной алгебре фон Неймана.

Теорема 3. Для алгебры фон Неймана М положим р £ и функция

/ £ С[0,1] удовлетворяет условиям

/(0) + /(1) = /(1 - х) + /(ж) для всех х £ [0,1],

и /(ж) = /(0) + (/(1) — /(0))ж для всех х £ (0,1) \ {^}. Тогда следующие утверждения равносильны:

(1) для любого числа 0 < Л < 1 и для любой пары проекторов Р, ^ £ Мрг выполняется равенство

р(А/(Р) + (1 — А)/т = (АР + (1 — А)^));

(п) существует число 0 < А < 1 такое, что для любой пары проекторов Р, ^ £ Мрг выполняется равенство

р(А/(Р) + (1 — А)/(<Э)) = (АР + (1 — А)^));

(Ш) - следовый функционал.

Во второй главе диссертации (§ 2.1) дано определение паранормального элемента в нормированной алгебре и получены основные свойства таких элементов. Пусть Л - нормированная алгебра,

Л = {А £ л : ||Л|| = 1} и

гк(Л) = {Т £ л : ||Тк+1 Л|| > ||ТЛ|^+1 для всех Л £ Л:}.

Очевидно, 0 е Тк(Л) и Т лежит в Тк(Л) тогда и только тогда, когда АТ лежит в Тк (Л) для всех А е Л \ {0} и натуральных к. Теорема 5. Имеем Т1(Л) С Тк (Л) для всех натуральных к.

Если Л - плотная подалгебра нормированной алгебры В, то Тк (Л) С Тк (В) для всех натуральных чисел к (предложение 1).

Теорема 6. Пусть Л - нормированная унитальная алгебра и и У е Л1 такие, что Уи = I. Если Т принадлежит классу Тк (Л), то иТУ также принадлежит классу Тк (Л) для всех натуральных к.

В частности, если Т лежит в Тк (Л), где Л - унитальная С *-алгебра, а к - натуральное число, то иТи* также лежит в Тк(Д) для всех изометрий и е Л (следствие 5). Если Л абелева и ||Т21| = ||Т||2 для всех ее элементов Т, то Т1(Л) = Л (предложение 6).

Теорема 7. Пусть Т принадлежит Т\(Л), где Л - нормированная унитальная алгебра. Если элемент Т обратим справа, то его правый обратный элемент Т-1 принадлежит Т1(Л).

Теорема 8. Пусть Т принадлежит Т1(Л), где Л — нормированная алгебра, тогда любая натуральная степень Тп лежит в Т1 (Л).

Также во второй главе исследуются задачи 1) и 2). Теорема 9. Для проекторов Р,Ц е В(Н)рг следующие условия эквивалентны:

(1) для некоторого числа 0 < р < 1 выполняется неравенство

( ^ > ;

(п) РЦ является паранормальным; (ш) РЦ является М*-паранормальным; (Гу) проекторы Р и Ц коммутируют.

Как следствие, получен один критерий абелевости произвольной алгебры фон Неймана.

В § 3.2 исследуется задача 2) в классе алгебр фон Неймана. Теорема 10. Для всякого ультраслабо непрерывного положительного функционала р(£ М+) на алгебре фон Неймана М следующие утверждения равносильны:

(1) для всех £ Мрг и для некоторого числа р = р(Р,0) £ (0,1] выполняется неравенство

(п) для всех £ Мрг и для некоторого положительного числа р = р(Р,0) > 1, Ч = р/(р — 1), где р = 2, выполняется неравенство

(ш) р является следовым.

В доказательстве последней теоремы введены два семейства одномерных проекторов в М2(С), параметризованные одним положительным числом, и использовано разложение по формуле Тейлора. В качестве следствия был найден еще один критерий абелевости произвольной алгебры фон Неймана.

р(Р)1/рр(Я)1/^ > р(РЯР);

Обозначения и предварительные сведения

1. Алгеброй называется векторное пространство Л над полем Л (= К или С), в котором определено умножение элементов, удовлетворяющее условиям

х(уг) = (ху)г, (у + г)х = ух + гх,

X (У + £) = ХУ + \(ХУ) = (XX )У = X (ХУ)

для всех Х,У^ £ Д и Л £ Л. Алгебра Л унитальна (т. е. обладает единицей), если существует элемент (0 =)1 £ Л такой, что IX = XI = X (X £ Д). Алгебра называется инволютивной, если определена операция * такая, что * : X £ Л ^ X* £ Л со свойствами

ЛХ * = (XX )*; X * + У * = (X + У )*;

У *Х * = (ХУ )*; X = (X *)*.

2. Элемент X унитальной алгебры Л называется обратимым справа, если существует элемент X—1 £ Л такой, что XX—1 = I, аналогично обратимым слева, если существует элемент X—1 £ Л такой, что X—1Х = I. Если X обратим и слева и справа, то он называется обратимым и левый обратный оператор совпадает с правым обратным оператором.

3. Алгебра Л называется нормированной, если в Л определена такая норма || • ||, что ||ХУ|| < ||Х||||У|| для всех Х,У £ Д. Если подалгебра в Д, снабжена индуцированной нормой, то она сама является нормированной алгеброй. Для инволютивной нормированной алгебры необходимо также, чтобы ||Х*|| = ||Х||.

4. Также напомним, что элемент Т е Л называется квазинильпотентом, если ||Тп||« ^ 0 при п ^ то, и называется нормалоидным, если ЦТпЦ = ||Т||п для всех п е N.

5. Пусть Л - нормированная унитальная алгебра. Тогда в Л существует (эквивалентная исходной норме) норма || • |1 такая, что |/|1 = 1 (для каждого Х е Л рассмотрим оператор к(Х)(У) = ХУ {У е А) и положим ||Х||1 = ||^(Х)||).

6. Пусть А1, А2, Аз, ..., Ап - конечный набор нормированных алгебр, тогда алгебра А1 х А2 х Л3 х • • • х Ап с нормой

||(Х)Г=1| = тах ||Хг||

1<г<п

есть нормированная алгебра ( [3], гл. I, §2).

Рассмотрим В(Н), *-алгебру всех линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н, - тождественный оператор. Скалярное произведение, обеспечивающее структуру гильбертова пространства будем обозначать (•,•).

7. Оператор Х е В(Н) называется паранормальным (соответственно, М*-паранормальным для некоторого числа М > 0), если ||Х|| > ||Х£||2 для всех £ е Н с ||£|| = 1 (соответственно, М||Х|| > ||Х*^||2), см. [36;42;47].

8. Оператор Т называется гипонормальным, если Т*Т > ТТ*; изометрией, если Т* Т = .

9. С*-алгеброй называется инволютивная комплексная банахова алгебра для всех элементов Х которой справедливо равенство ||Х*Х|| = ||Х||2. Для всякой С*-алгебры А можно подобрать такое гильбертово пространство Н, что А вкладывается В(Н) как С*-подалгебра (теорема Гельфанда-Наймарка).

10. Пусть X С В(Н). Коммутантом множества X будем называть

X' = {У е В(Н) : ХУ = УХ для всех Х е X}.

алгеброй фон Неймана называется *-подалгебра М С В(Н), если М = М''. Коммутант X' множества X С В (Н) является алгеброй фон Неймана, а X" является минимальной алгеброй фон Неймана, содержащей X.

Пусть М - алгебра фон Неймана операторов в гильбертовом пространстве Н, обозначим решетку проекторов через

Мрг = {Р £ М \Р* = Р, Р2 = Р},

конус положительных операторов

М+ = {X £ М \ X = X*, V/ £ Н (X/, /) > 0},

а (М) обозначает центр алгебры М.

11. Для проектора Р £ Мрг обозначим ортогональное дополнение Р^ = I — Р и обозначим через Мр = {РХ\рн : X £ М} редуцированную алгебру фон Неймана. Для Р^ £ Мрг пишем Р ~ Q, если Р = V*У и Q = УУ* с некоторым V £ М. Пусть М* обозначает множество всех линейных функционалов на М, непрерывных по норме и М* - предсопряженное пространство алгебры М. Проектор Р £ М называется абелевым, если редуцированная алгебра Мр коммутативна.

12. Алгебра фон Неймана М называется алгеброй типа 1п, п = 1,2,..., если существует ортосемейство {Р1, ...,Рп} абелевых проекторов такое, что Р{ ~ Р^,

п

Ь 3 = 1,...,П,Т; Рг = I.

¿=1 _

13. Линейный функционал р на М называется эрмитовым, если р(Х*) = р(Х) для всех X £ М; эрмитов функционал р называется положительным, если р(Х) > 0 для всех X £ М+. Положительный функционал р на М называется следовым, если р(ХХ*) = р(Х*Х) для всех X £ М.

14. Конусом в векторном пространстве будем называть множество К замкнутое относительно операций сложения векторов и умножения на вещественные положительные числа.

15. Рассмотрим множество

К = {/ е С[0,1] : xf (1) + (1 - x)f(0) > f(x) для всех 0 < ж < 1}.

К является конусом в С[0,1], также рассмотрим

Ki = {f е С[0,1] : xf (1) + (1 - x)f(0) > f(x) для всех 0 < x < 1}

является подконусом в К. Множество всех выпуклых функций f е С[0,1] также является подконусом в К.

Лемма 1 ( [61], глава 5, теорема 1.41, пункт (ii)). Если алгебра фон Неймана М минимальная алгебра фон Неймана, содержащая проекторы P,Q е В (H)pr, то существует единственный проектор Z е Z(.V) такой, что алгебра Mz имееет тип 12, а Mz^ является абелевой, причем dimCMz^ < 4.

Лемма 2 ( [58], теорема 2.3.3). Пусть алгебра фон Неймана М будет типа 1п (где п - кардинальное число). Тогда алгебра N является *-изоморфной тензорному произведению Z(.VВ(Н), где Н - гильбертово пространство с размерностью dim% = п.

16. Пусть П - локально компактное хаусдорфово топологическое пространство. Через МП(С(П)) обозначим *-алгебру всех функциональных п х п-матриц с элементами из С(П).

Лемма 3 ([33], следствие 3.3 ). Для всякого X е МП(С(n))sa алгебра МП(С(П)) содержит унитарный оператор U такой, что U*XU(w) диагональна для всякой ш Е П.

Если X формулой

множество, то индикатор подмножества А С X определяется

1 0, если х £ А; 1А(х) = '

1, если х £ А.

Обзор литературы

В обзоре отдельно в двух ветках в хронологическом порядке приведем список публикаций по теме характеризаций следовых функционалов и следов и список публикаций по характеризации коммутативности С*-алгебр.

Характеризация следовых функционалов.

1974: М.С. Матвейчук [15; 16] представил характеризацию следов на конечных алгебрах фон Неймана с помощью неравенств субаддитивности [15] и мультипликативности случайных норм [16]. 1979: Л.Т. Гарднер [38]

Гарднер показал, что следующее неравенство характеризует следы в широком классе весов неравенством: р(\Х\) > \р(Х)\.

Если р - следовый функционал на С*-алгебре Л, то неравенство Гарднера выполняется для всех элементов X £ Л и, обратно, если для всех X £ Л. выполняется неравенство Гарднера и р - положительный функционал, то этот функционал является следовым.

Пусть М - алгебра фон Неймана, а нормальный сильно полуконечный вес р удовлетворяет условию, что для всякой ^-конечных проекторов Р £ М, неравенство Гарднера (р(\Х\) > \р(Х)\) выполняется для всех X = РХ0Р, где Х0 £ М, тогда вес является следом.

1981: Х. Упмайер [63] сделал большое продвижение в доказательстве характеризации окончательно сформулированной Ш.А. Аюповым в 1986 году [1]. 1982: Г. Педерсен, Э. Штермер [56]

Пусть р - линейный функционал на С*-алгебре Л. Тогда следующие условия равносильны:

(1) р - положительный и следовый;

(п) для любого положительного целого к и любого X из Л выполняется неравенство р(\Х\к) > \<р(Хк)\;

(Ш) существует положительное целое к такое, что р(\Х\к) > \р(Хк)\ для всех X из Л.

1986: Ш.А. Аюпов [1] доказал, что для веса р на алгебре фон Неймана М равенство р(Х) = р(ЗХЗ) выполняется для всех X £ М+ и всех симметрий $ (т.е. унитарных самосопряженных элементов) алгебры М тогда и только тогда, когда р является следом.

1988: Выдающаяся работа Д. Петца, Я. Земанека [57] содержит много различных характеристик следа. В частности, следующее: положительный функционал р на алгебре фон Неймана является следовым только и только тогда, когда он является суббадитивным на решетке проекторов (т.е. р(Р) + р(^) > \р(Р V Q)\ для любых двух проекторов Р и Q из алгебры М).

Также в этой статье был получен критерий абелевости алгебры фон Неймана.

Алгебра фон Неймана является абелевой тогда и только тогда, когда всякое состояние субаддитивно на решетке проекторов этой алгебры. 1992: А.И. Столяров, О.Е. Тихонов [17]

Впервые в депонированной работе сформулирован критерий следовости в терминах выполнения неравенства треугольника для модулей самосопряженных операторов под знаком веса. Были получены характеризации следов в широком классе весов, включающие все конечные веса. Далее, результаты развивались и расширялись в работах [18] и [54]. 1995: А.М. Бикчентаев [8]

Была дана оригинальная характеризация следов в широком классе весов, содержащих все нормальные веса на алгебре фон Неймана. Доказательства были опубликованы в работе 1998-го года [4].

2002: А.И. Столяров, О.Е. Тихонов, А.Н. Шерстнев [18] доказали, что нормальный полуконечный вес р на алгебре фон Неймана М удовлетворяющий неравенству р(|А|) + р(|В|) > р(|А + В|) для всех р G Msa, является следом.

В работе также приведены несколько подобных характеризаций следов среди всех положительных функционалов. В частности, усилена характеризация Гарднера.

Некоторые результаты были анонсированы в 2004: А.М. Бикчентаев, А.С. Русаков, О.Е. Тихонов [14] и позже опубликованы наряду с другими результатами в [25] в 2007 году.

Также среди всех имеющихся работ одной из наиболее ярких является 2005: О.Е. Тихонов [62]

В работе приведено следующее утверждение.

Пусть р - положительный нормальный функционал на алгебре фон Неймана М и вещественнозначная измеримая по Борелю функция f на R+ такова, что она ограничена на ограниченных подмножествах R+ и /(0) = 0. Также положим, что для всех операторов А и В из М+ выполняется неравенство

р(/(А)) + р(/(В)) >р(/(А + В)).

Тогда выполняется одна из следующих альтернатив:

(i) f имеет вид f(x) = сх для некоторого с G R;

(ii) f выпукла и р - следовый;

(iii) f субаддитивна, р - следовый и носитель з(р) является абелевым проектором;

(iv) р есть функция тождественная нулю.

Также в этой работе окончательно обосновано сведение доказателсьтва следовости функционалов на произвольной алгебре фон Неймана к доказательству для случая матричной алгебры М2(С).

В том же 2005 году выходит статья А.М. Бикчентаева, О.Е. Тихонова [24] о характеризации следа неравенством Юнга.

Положительный функционал на алгебре матриц является следом тогда и только тогда, когда для любой пары неотрицательно определенных матриц X и У и фиксированной пары чисел > 0 с а + ¡3 = 1 выполняется неравенство ар(Х1/а) + ) > <р(\ХУ\).

Некоторые интересные результаты были получены в работе 2006: Т. Сано, Т. Ятсу [59]. 2007: А.М. Бикчентаев, О.Е. Тихонов [25]:

Пусть 0 < а < ж и р - положительный функционал на МП(С) такой, что

р(В1+а) > р(А1+а)

для 0 < А < В. Тогда р = А1т, где Л > 0.

Пусть р - положительный функционал на МП(С) такой, что для любой пары Х,У £ М^а такой, что X < У, выполняется неравенство

р(ехр(У)) > р(ехр(Х)).

Тогда р = А1т, где Л > 0.

Также в 2007 выходит работа по характеризации следов весовыми неравенствами монотонности Д.Ч. Хоа, О.Е. Тихонова [39].

Используя методы работы [24] в 2009: К. Чо, Т. Сано [31] охарактеризовали следовые функционалы с помощью неравенства Юнга для общих выпуклых функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абед Сами Абдулла Абед, 2020 год

Список литературы

1. Аюпов Ш.А., Классификация и представление упоряденных йордановых алгебр / Ш.А. Аюпов; отв. редактор Т.А. Сарымсаков; АН УзССР, Ин-т математики им. В.И. Романовского. - Ташкент: Фан, 1986. - 121 с.

2. Бикчентаев А.М. Два класса т-измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана / А.М. Бикчентаев // Изв. вузов. Матем. - 2017. -№ 1. - С. 86-91.

3. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки // (Мир, М., 1972).

4. Бикчентаев А.М. Об одном свойстве ^^-пространств на полуконечных алгебрах фон Неймана / А.М. Бикчентаев // Матем. заметки. - 1998. - Т. 64, № 2. - С. 185-190.

5. Бикчентаев А.М. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Неймана. I / А.М. Бикчентаев // Изв. вузов. Матем. -2009. - № 12. - С. 80--83.

6. Бикчентаев А.М. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Неймана / А.М. Бикчентаев // Сиб. матем. жур. - 2010. - Т. 51, № 6. - С. 1228-1236.

7. Бикчентаев А.М. Перестановочность операторов и характеризация следа на С *-алгебрах / А.М. Бикчентаев // Докл. Акад. наук. - 2013. - Т. 448, № 5. - С. 506-509.

8. Бикчентаев А.М. Характеризация следов в некоторых классах весов на алгебре фон Неймана / А.М. Бикчентаев // В сб. Теория функций и ее приложения, Казань: Казанск. фонд математика, 1995. - С. 8-9.

9. Бикчентаев А.М. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Неймана. II / А.М. Бикчентаев // Матем. заметки. - 2011. - Т. 89, № 4. - С. 483-494.

10. Бикчентаев А.М. Разности идемпотентов в С*-алгебрах / А.М. Бикчентаев // Сиб. матем. журн. - 2017. - T. 58, № 2. - С. 243-250.

11. Бикчентаев А.М. Разности идемпотентов в С*-алгебрах и квантовый эффект Холла / А.М. Бикчентаев // ТМФ. - 2018. - Т. 195, № 1. - С. 75-80.

12. Бикчентаев А.М. След и разности идемпотентов в С*-алгебрах / А.М. Бикчентаев // Матем. заметки. - 2019. - Т. 105, № 5. - С. 647-655.

13. Бикчентаев А.М. Метрики на проекторах алгебры фон Неймана, ассоциированные со следовыми функционалами / А.М. Бикчентаев // Сиб. матем. журн. - 2019. - Т. 60, № 6. - С. 1223-1228.

14. Бикчентаев А.М. Характеризация следа степенными неравенствами / А.М. Бикчентаев, А.С. Русаков, О.Е. Тихонов // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 23. Алгебра и анализ - 2004. Матер. межд. конф., посв. 200-летию Казан. гос. ун-та (Казань, 2-9 июля 2004 г.). - Казань: Изд-во Казан. матем. о-во, 2004. - С. 45-46.

15. Матвейчук М.С. Случайные нормы и свойства вероятностных мер на ор-топроекторах, присоединенных к фактору / М.С. Матвейчук // Вероятн. методы и кибернетика. Вып. IX. Казань: Изд-во Казанс. ун-та, 1971. - С. 73-78.

16. Матвейчук М.С. О кольцах со случайной нормой / М.С. Матвейчук // Вероятн. методы и кибернетика. Вып. X-XI. Казань: Изд-во Казанс. ун-та, 1974. - С. 43-50.

17. Столяров A.^ О характеризации следов в терминах некоммутативного интегрирования I A.^ Столяров, О.Е. Тихонов. Рукопись деп. Казанск. ун-том 05.11.1992, № 318б-В92 Деп. M.: ВИНИТИ AН СССР, 1992. - 9 с.

18. Столяров A^. Характеризация нормальных следов на алгебрах фон Неймана неравенствами для модуля I A.^ Столяров, О.Е. Тихонов, A.^ Шерстнев Ц Mатем. заметки. - 2002. - Т. 72, № 3. - С. 448-454.

19. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах I П. Хaлмош Ц ^ир, M., 1970).

20. Хоа Д.Ч. Взвешенные неравенства монотонности для следов на операторных алгебрах I Динь Чунг Хоа, O.E. Тихонов Ц Mатем. заметки. - 2010.

- Т. 88, № 2. - С. 193-200.

21. Хоа Д.Ч., Операторные и следовые неравенства в алгебрах операторов I Динь Чунг Хоа II Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук, Казанский федеральный университет, Россия, Казань, 2010. - 89 с.

22. Akemann СА. Triangle inequalities in operator algebras II СА. Akemann, J. Andern, G.K. Pedersen II Linear Multilinear Algebra. - 1982. - V. 11, № 2.

- P. 1б7-178.

23. Arora S.C. M*-paranormal operators I S.C. Arora, J.K. Thukral II Glas. Math. Ser. III. - 1987. - V. 22. - P. 123-129.

24. Bitahentaev A.M. Charaсterization of the traœ by Young's inequality I A.M. Bitahentaev, O.E. Tikhonov II Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematks. - 2005. - V. б, № 2. - Artide 49.

25. Bikchentaev A.M. Characterization of the trace by monotonicity inequalities / A.M. Bikchentaev, O.E. Tikhonov // Linear Algebra and its Applications. -2007. - V. 422, № 1. - P. 274-278.

26. Bikchentaev A.M. Commutation of projections and characterization of traces on von Neumann algebras. III / A.M. Bikchentaev // Inter. J. Theor. Physics. - 2015. - V. 54, № 12. - P. 4482-4493.

27. Bikchentaev A.M. Paranormal measurable operators affiliated with a semifinite von Neumann algebra / A.M. Bikchentaev // Lobachevskii J. Math. - 2018. -V. 39, № 6. - P. 731-741.

28. Bikchentaev A.M. The Peierls-Bogoliubov inequality in von Neumann algebras and characterization of tracial functionals / A.M. Bikchentaev // Lobachevskii J. Math. - 2011. - V. 32, № 3. - P. 175-179.

29. Bikchentaev A.M. Characterization of traces on C*-algebras: a survey / A.M. Bikchentaev // Gaspar, D. (ed.) et al., An operator theory summer. Proc. 23rd Internat. Conf. Operator Theory. Timisoara, Romania, June 29 - July 4, 2010. Bucharest: The Theta Foundation. Theta Series in Advanced Math. 13, P. 1-12 (2012).

30. Blackadar B., Operator algebras. Theory of C*-algebras and von Neumann algebras / B. Blackadar //V. 122 of Encyclopedia of Mathematical Sciences (Springer, Berlin, 2006).

31. Cho K. Young's inequality and trace / K. Cho, T. Sano // Linear Algebra Appl. - 2009. - V. 431. - P. 1218-1222.

32. Crabb M.J. Characterization of commutativity for C*-algebras / M.J. Crabb, J. Dunkan, C.M. McGregor // Glasgow Math. J. - 1974. - V. 15, № 2. - P. 172-175.

33. Deckard D. On matrices over ring of continuous complex valued functions on a Stonian space / D. Deckard, C. Pearcy // Proc. Amer. Math. Soc. - 1963. -V. 14, № 2. - P. 322-328.

34. Dixmier J. C*-algebras / J. Dixmier // North-Holland Mathematical Library, Vol. 15, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1977.

35. Fukamiya M. On order and commutativity of B*-algebras / M. Fukamiya, M. Misonou, Z. Takeda // Tohoku Math. J. - 1954. - V. 6, № 2. - P. 89-93.

36. Furuta T. On the class of paranormal operators / T. Furuta // Proc. Japan Acad. - 1967. - V. 43, № 7. - P. 594-598.

37. Furuta T. A remark on a class of operators / T. Furuta, M. Horie, R. Nakamoto // Proc. Japan Acad. - 1967. - V. 43, № 7. - P. 607-609.

38. Gardner L.T. An inequality characterizes the trace / L.T. Gardner // Canad. J. Math. - 1979. - V. 31, № 6. - P. 1322-1328.

39. Hoa D.T. Weighted trace inequalities of monotonicity / D.T. Hoa, O.E. Tikhonov // Lobachevskii J. Math. - 2007. - V. 25. - P. 63-67.

40. Hoa D.T. On weighted monotonicity and characterization of the traces / D.T. Hoa // Lobachevskii J. Math. - 2012. - V. 33, № 2. - P. 152-157.

41. Hoa D.T. On generalized Powers-St0rmer's inequality / D.T. Hoa, H. Osaka; H.M. Toan // Linear Algebra Appl. - 2013. - V. 438, № 1. - P. 242-249.

42. Istratescu V. On some hyponormal operators / V. Istratescu // Pacific J. Math - 1967. - V. 22, № 3. - P. 413-417.

43. Istratescu V. On a class of operators, / V. Istratescu, T. Saito, T. Yoshino // Tohoku Math. J. - 1966. - V. 18, № 4. - P. 410-413.

44. Ji G. On characterization of commutativity of C*-algebras / G. Ji, J. Tomiyama // Proc. Amer. Math. Soc. - 2003. - V. 131. - P. 3845-3849.

45. Kadison R.V. Foundamentals of the theory of operator algebras, Vol.1. Elementary Theory / R.V. Kadison, J.R. Ringrose // Pure and Applied Mathematics, 100, Academic Press, Inc., New York-London, 1983.

46. Kato Y. A characterization of commutative C*-algebras by normal approximate spectra / Y. Kato // Math. Japan. - 1979/1980. - V. 24. - P. 209-210.

47. Kubrusly C.S. Hilbert space operators. A problem solving approach / C.S. Kubrusly // (Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2003).

48. Murray F.J. On rings of operators / F.J. Murray, J. von Neumann // Ann. Math. - 1936. - V. 37, № 1. - P. 116-229.

49. Murray F.J. On rings of operators II / F.J. Murray, J. von Neumann // Trans. Amer. Math. Soc. - 1937. - V. 41, № 2. - P. 208-248.

50. Murray F.J. On rings of operators IV / F.J. Murray, J. von Neumann // Ann. Math. - 1943. - V. 44, № 4. - P. 716-808.

51. Nakamoto R. A spectral characterization of commutative C*-algebras / R. Nakamoto // Math. Japan. - 1979/1980. - V. 24. - P. 399-400.

52. von Neumann J. On rings of operators III / J. von Neumann // Ann. Math. -1940. - V. 41, № 1. - P. 94-161.

53. von Neumann J. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik / J. von Neumann // Springer. - 1932. - 262 P.

54. Novikov An.An. Characterization of central elements of operator algebras by inequalities / An.An. Novikov, O.E. Tikhonov // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2015. - V. 36, № 2. - P. 208-210.

55. Ogasawara T. A theorem on operator algebras / T. Ogasawara //J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. - 1955. - V. 18. - P. 307-309.

56. Pedersen G.K. Traces on Jordan algebras / G.K. Pedersen, E. St0rmer // Canad. J. Math. - 1982. - V. 4, № 2. - P. 370-373.

57. Petz D. Characterizations of the trace / D. Petz, J. Zemanek // Linear Algebra Appl. - 1998. - V. 111. - P. 43-52.

58. Sakai S. C*-algebras and W*-algebras / S. Sakai // (Springer-Verlag, New York, 1971).

59. Sano T. Characterizations of the tracial property via inequalities / T. Sano, T. Yatsu //J. Inequal. Pure Appl. Math. - 2006. - V. 7. - Article 36.

60. Sherman S. Order in operator algebras / S. Sherman // Amer. J. Math. - 1951. - V. 73, № 1. - P. 227-232.

61. Takesaki M. Theory of Operator algebras / M. Takesaki // (Springer, Berlin, 1979), Vol. 1.

62. Tikhonov O.E. Subadditivity inequalities in von Neumann algebras and characterization of tracial functionals / O.E. Tikhonov // Positivity. - 2005. -V. 9, № 2. - P. 259-264.

63. Upmeier H. Automorphism groups of Jordan C*-algebras / H. Upmeier // Math. Z. - 1982. - V. 12. - P. 569-579.

64. Virosztek D. Connections between centrality and local monotonicity of certain functions on C *-algebras / D. Virozstek //J. Math. Anal. Appl. - 2016. - V. 453, № 1. - P. 221-226.

65. Wu W. An order characterization of commutativity for C*-algebras / Wei Wu // Proc. Amer. Math. Soc. - 2000. - V. 129, № 4. - P. 983-987.