Выделение сингулярности при численном решении задач механики трещин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кабо, Елена Альбертовна

• Кабо, Елена Альбертовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кабо, Елена Альбертовна

Содержание

Введение

Глава 1. Основные положения линейной механики разрушения

1.1. Постановка задачи о трещине в однородном упругом теле

1.2. Поля напряжений и перемещений вблизи фронта трещины. Коэффициенты интенсивности напряжений

1.3. Критерии прочности

1.4. Трещинодвижущая сила и критерий развития трещины

1.5. Интеграл Райса и его связь с трещинодвижущей силой

1.6. Трещина на границе раздела двух сред

Глава 2. Численные методы расчета коэффициентов интенсивности напряжений для упругого тела с трещиной с использованием МКЭ

2.1. Конечно-элементный анализ в статической линейной упругости

2.2. Изопараметрические конечные элементы

2.3. Асимптотические (прямые) методы

2.4. Энергетические методы

2.5. Методы суперпозиции и альтернирования

Глава 3. Экстремальные принципы с варьированием

коэффициентов интенсивности напряжений в задачах линейной механики разрушения

3.1. Плоская деформация

3.2. Антиплоская деформация

3.3. О вычислении интегралов

3.4. Пространственный случай

3.5. К обоснованию вариационной постановки

Глава 4. Методы расчета коэффициентов интенсивности

напряжений с учетом сингулярности на фронте

4.1. Итерационный алгоритм

4.2. Обоснование сходимости итерационного алгоритма

4.3. Метод суперпозиции

Глава 5. Программная и численная реализация конечно-элементной процедуры

решения задач линейной механики разрушения

5.1. Архитектура программной системы

5.2. Проблемы численного интегрирования

5.3. Результаты сравнительного тестирования традиционного и новых методов расчета

коэффициентов интенсивности напряжений

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Выделение сингулярности при численном решении задач механики трещин»

Введение

Теория разрушения занимает особое место в механике деформируемого твердого тела.

Многочисленные разрушения конструкций и сооружений при напряжениях значительно меньше расчетных подтверждают недостаточность классических представлений о прочности как о постоянной материала. Поэтому в исследованиях прочности появилось направление, в основе которого лежит детальное изучение самого процесса разрушения. Согласно этому подходу, поскольку разрушение происходит в результате развития реальных дефектов, при оценке прочности нужно учесть имеющиеся в теле трещины и определить их влияние на прочность.

Явление разрушения изучается с разных позиций, в частности, с позиций механики сплошной среды. Настоящая работа основывается на положениях линейной механики разрушения, связанной с изучением состояния тел с трещинами в предположении о том, что материал сохраняет свойство линейной упругости вплоть до разрушения во всем объеме тела, за исключением, быть может, небольшой окрестности вершины трещины.

Но, считая материал сплошным, однородным, упругим и пользуясь аппаратом линейной теории упругости, мы приходим к парадоксальному выводу о том, что напряжения по мере приближения к вершине трещины растут неограниченно. Этот парадокс служит расплатой за простоту, связанную с распространением линейной теории упругости на область, в которой она заведомо не верна. Но простая и лаконичная теория позволяет решать задачи для тел с трещинами сложной конфигурации. Так не будем ругать ее за кажущиеся недостатки!

В первой главе данной работы излагаются необходимые понятия и основные положения линейной механики разрушения: модельное представление тела с трещиной, асимптотика перемещений и напряжений, критерии развития трещины. Выдвигается основной тезис: прочность тела с дефектом определяется не столько величиной напряжений, сколько поведением самого дефекта. Вводится фундаментальное понятие в механике разрушения — понятие трещинодвижущей силы. Формулируется критерий разрушения: пока трещинодвижущая сила достаточно мала, прочность тела обеспечена. Рассматривается интеграл Райса, не зависящий от пути интегрирования, и его связь с трещинодвижущей силой. Здесь же выводятся асимптотические представления для не часто встречаемой в литературе задачи о трещине на границе раздела двух материалов с разными упругими свойствами.

Решение задач механики деформируемого тела для областей с разрезами связано с известными трудностями вследствие наличия особых точек. Поэтому эффективное решение большинства подобных задач требует вмешательства современной вычислительной техники. Среди численных методов решения задач механики разрушения в настоящее время наиболее широкое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). При анализе поведения конструкций с трещинами заслуживают внимания три группы методов:

• методы с использованием сингулярных элементов, в которые преднамеренно включены типичные особенности;

• энергетические методы, основывающиеся на соотношениях между уменьшением потенциальной энергии и коэффициентами интенсивности напряжений;

• методы суперпозиции решений, полученных аналитически и с помощью конечно-элементного анализа.

С кратким обзором этих и некоторых других возможных подходов и свойственных им проблемах можно ознакомиться, обратившись ко второй главе.

Представленные в диссертации результаты обзора доступной литературы дают основание сделать вывод о недостаточной корректности и эффективности существующих методов расчета. Поэтому остается актуальной проблема разработки и численной реализации метода непосредственного расчета коэффициентов интенсивности напряжений на фронте произвольной трещины с использованием МКЭ. Решение этих вопросов составляет суть диссертационной работы, им посвящены все последующие главы.

В главе 3 предлагается модификация вариационного принципа Лагранжа в задачах линейной механики трещин. Коэффициенты интенсивности напряжений рассматриваются как самостоятельные неизвестные. Вклад области вокруг фронта трещины представляется отдельным слагаемым в функционале. Варьируются не только перемещения, но и коэффициенты интенсивности. Из условия стационарности функционала получены как обычные уравнения теории упругости, так и дополнительные интегральные соотношения. Сформулированы вариационные принципы для линейно-упругого тела с трещиной в условиях плоской или антиплоской деформаций. Особое внимание уделяется вариационной постановке пространственной задачи. Рассматривается вариант постановки задач с заданием силовых условий на границе выделяемой области в окрестности фронта трещины.

Завершает эту главу доказательство корректности предложенной вариационной постановки. Аналитически обосновывается вариационная постановка плоской и антиплоской задач механики трещин.

В главе 4 рассматривается новый подход, эффективный для численного решения задач линейной механики трещин, позволяющий учесть сингулярный характер напряжений на фронте трещины, используя обычный МКЭ без введения специальных элементов. Вниманию читателя предлагаются разработанные методы расчета трещинодвижущих сил: итерационный метод с обоснованием сходимости при достаточно малой окрестности фронта и метод суперпозиции с использованием различных вариационных постановок.

Реальная вычислительная эффективность алгоритмов установлена для задач о теле с трещиной в условиях плоской и антиплоской деформаций с помощью созданного программного комплекса. Проблемы численной реализации разработанных методов обсуждаются в пятой главе. Здесь же проводится анализ основных результатов сравнительного тестирования традиционного и новых методов расчета коэффициентов интенсивности напряжений при различных параметрах конечно-элементных моделей, даются практические рекомендации по вопросам численного интегрирования.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кабо, Елена Альбертовна

Заключение

Данная работа отнюдь не претендует на исчерпывающий и революционный характер исследований. Осуществлена попытка обращения к основам механики разрушения, акцентируя внимание на необходимости расчета трещинодвижущих сил для сложных конструкций с трещинами при обязательном учете сингулярности на фронте.

На защиту выносятся следующие результаты работы.

1. Предложена модификация вариационного принципа Лагранжа для линейно-упругих тел с трещинами. Коэффициенты интенсивности напряжений представлены как независимые переменные. В функционале особо выделена энергия деформации прифронтовой области, зависящая от коэффициентов интенсивности. Из условия стационарности функционала наряду с уравнениями Эйлера получены дополнительные интегральные соотношения. Вариационная постановка выведена для плоской, антиплоской и пространственной задач. Все указанные задачи рассмотрены и в случае задания по асимптотическим представлениям силового граничного условия на внутреннем контуре в окрестности вершины трещины (на поверхности прифронтовой трубки в пространственной постановке).

2. Получено аналитическое обоснование вариационной постановки для задач о плоской и антиплоской деформации тела с трещиной.

3. Разработаны новые методики расчета трещинодвижущих сил с использованием МКЭ без введения каких-либо специальных элементов, обеспечивающие необходимый учет сингулярности на фронте трещины и не усложняющие обычную процедуру конечно-элементного анализа.

Обоснована сходимость итераций при достаточно малой области, выделяемой в окрестности фронта трещины.

4. Осуществлена численная реализация алгоритмов, разработанных на основе предложенных вариационных принципов. Создана программная система расчета параметров механики трещин, позволяющая получать приемлемые результаты при минимальных затратах.

5. Проведено сравнительное тестирование традиционных и новых методик расчета коэффициентов интенсивности напряжений с помощью разработанной программной системы анализа работоспособности элементов конструкций с трещинами. Реальная практическая эффективность разработанных программ подтверждается их успешным использованием в учебных и научно-практических целях в лаборатории "Компьютерные технологии в механике" при Санкт-Петербургском государственном техническом университете.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кабо, Елена Альбертовна, 1998 год

Список литературы

1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. —М.: Стройиздат, 1982. — 448 с.

2. Броек Д. Основы механики разрушения. — М.: Высшая школа, 1980.

— 368 с.

3. Вычислительные методы в механике разрушения / Под ред. Атлури С.

— М.:Мир, 1990. —391 с.

4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984. — 428 с.

5. Гордон Дж. Конструкции или почему не ломаются вещи. — М.: Мир, 1980. —390 с.

6. Гордон Дж. Почему мы не проваливаемся сквозь пол. — М.: Мир, 1971, —272 с.

7. Елисеев В.В. Введение в механику сплошной среды. — СПб.: СПбГТУ, 1995, — 84 с.

8. Елисеев В.В. Новые разделы теории упругости: дефекты, разрушение и композиты. — СПб.: СПбГТУ, 1995. — 69 с.

9. Елисеев В.В., Кабо Е.А. Применение новых вариационных принципов при численном решении задач механики разрушения. — Доклады I Международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения". Санкт-Петербург, 28-30 ноября 1995 г. — СПб.: СПбГТУ, 1995. — С. 55-56.

10. Елисеев В.В., Кабо Е.А. Новый вариационный подход к решению пространственной задачи механики разрушения. Доклады II Международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения". Санкт-Петербург, 18-20 ноября 1997 г. — СПб. : СПбГТУ, 1997. — С. 34-35.

11. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. —541 с.

12. Ингленд А. Трещина между двумя разными средами. — Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. Е. Прикладная механика, 1965, т. 32, № 2, с. 165-168.

13. Кабо Е.А. Численный метод для упругих тел с трещинами с выделением сингулярности. Тезисы докладов Российской научно-технической конференции "Инновационные наукоемкие технологии для России". Санкт-Петербург, 25-27 апреля 1995 г. — СПб: СПбГТУ, 1996.— С. 77.

14. Карзов Г.П., Марголин Б.З., Швецова В.А. Физико-механическое моделирование процессов разрушения. — СПб.: Политехника, 1993. — 391 с.

15. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974. — 311с.

16. Лурье А.И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 940 с.

17. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. — М.: Наука, 1980. — 254 с.

18. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. — М.: Наука, 1984. —255 с.

19. Павлов П.А, Паршин Л.К. Элементы линейной механики разрушения.

— СПб.: СПбГТУ, 1993. — 58 с.

20. Партон В.З.. Механика разрушения: от теории к практике. — М.: Наука, 1990.—238 с.

21. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. — М.: Наука, 1985. — 504 с.

22. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1979. —744 с.

23. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. — М.: Наука, 1987.

— 80 с.

24. Разрушение / Под ред. Г. Либовица. Т. 2. Математические основы теории разрушения. — М.: Мир, 1975. — 764 с.

25. Разрушение / Под ред. Г. Либовица. Т. 7. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Часть 1. Неорганические материалы (стекла, горные породы, композиты, керамики, лед). — М.: Мир, 1976. — 634 с.

26. Райе Дж. Не зависящий от пути интеграл и приближенный анализ концентрации деформаций у вырезов и трещин. — Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. Е. Прикладная механика, 1968, т. 35, № 4, с. 340-350.

27. Райе Дж., Си Дж. Плоские задачи о трещинах, расположенные на границе раздела двух различных сред. — Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. Е. Прикладная механика, 1965, т. 32, №2, с. 186-192.

28. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979. — 192 с.

29. Сиратори М. и др. Вычислительная механика разрушения. — М.: Мир, 1986.— 334 с.

30. Слепян JI. И. Механика трещин. — Л.: Судостроение, 1990. — 296 с.

31. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В двух томах. Т. 1 / Под ред. Мураками Ю. — М.: Мир, 1990. — 448 с.

32. Степанян С.П., Афян Б.А. Расчет коэффициента интенсивности напряжений методом податливости. — Механика деформируемого твердого тела. — Ереван, 1990. — с. 115-118.

33. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1975. — 576 с.

34. Тихомиров В.В. Напряженное состояние составного пространства с полубесконечной межфазной трещиной. — Механика твердого тела, 1994, №6, с. 51-56.

35. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. — М.: Мир, 1982. — 232 с.

36. Хеллан К. Введение в механику разрушения. — М.: Мир, 1988. — 364 с.

37. Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теории операторов. — М.: Мир, 1983. — 432 с.

38. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974. — 640 с.

39. Шабров H.H. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. — Л.: Машиностроение, 1983. — 212 с.

40. Эрдоган Ф. Распределение напряжений в связанных разнородных материалах с трещинами. — Труды американского общества

инженеров-механиков. Сер. Е. Прикладная механика, 1968, т. 35, № 4, с. 169-177.

41. Advances in research on the Strength and fracture of materials. — Proceedings of the 4-th Int. Conference on fracture. University of Waterloo, Canada, June, 1977. V. ЗА. Analysis and mechanics / Ed. by D.M.R. Taplin. — New York: Pergamon, 1978. — 530 p.

42. Atluri S.N., Katheresan K. 3-D analysis of surface flows in thick-walled reactor pressure vessels using a displacement hybrid finite element method.

— Nucl. Engng. And Design, 1979, v. 51, p. 136-176.

43. Atluri S.N., Kobayashi A.S., Nakagaki M. An assumed displacement hybrid finite element model for linear fracture mechanics. — Int. J. Fracture, 1975, v. 14, No. 2, p. 257-271.

44. Babuska I. The finite element method with Lagrange multipliers. — Numer. Meth., 1973, v. 20, p. 179-192.

45. Banks-Sills L. Quarter-point singular elements revisited. — Int. J. Fracture, 1985, v. 34, No. 4, p. R63-R69.

46. Barsuom R.S. Application of quadratic isoparametric finite elements in linear fracture mechanics. — Int. J. Fracture, 1974, v. 10, No. 4, p. 603605.

47. Bergmann V.L., Mukherjee. A hybrid strain finite element for plates and shells. — Int. J. Numer. Meth. in Engng., 1990, v. 30, No. 2, p. 233-257.

48. Defects and fracture. — Proceedings of the 1-st Int. Symposium on defects and fracture. Tuczno, Poland, 13-17 Oct., 1980 / Ed. by Sih G.C., Zorski H.

— Hague a.o.: Nijhoff, 1982. — 276 p.

49. Elastic-plastic fracture mechanics. — Proceedings of the 4th Advanced Seminar on Fracture Mechanics. Ispra, Italy, 24-28 Oct, 1983 / Ed. by Larsson L.H. — Dordrecht e.a.: Reidel, 1985. — 527 p.

50. Eliseev V.V., Kabo E.A. A new variational formulation of the three-dimensional fracture mechanics problems. Proceedings of the Symposium on Inelasticity and damage in solids subject to microstructural change. St. John's, Newfoundland, Canada, 3-6 September, 1996 (в печати).

51. Eliseev V.V., Kabo E.A. Extreme principle of the three-dimensional crack mechanics problem with stress intensity factors varying. Proceedings of the International Conference on Tools for Mathematical Modelling. Saint-Petersburg, 3-5 December, 1997 . — Saint-Petersburg: SPbSTU, 1998. — C. 36-41.

52. Grebrer H., Strathmeler U. Strain energy release rate determination of stress intensity factor by FEM. — Eng. Fracture Mechanics, 1985, v. 22, No. 1, p. 17-35.

53. He W., Ding H., Ни H. Improved BHS element in finite element method analysis of the fracture problem. — Eng. Fracture Mechanics, 1992, v. 41, No. 3, p. 387-392.

54. Heppler G., Hansen J.S. Mixed mode fracture analysis of rectifmear anisotropic plates by high order finite elements. — Int. J. Numer. Meth. in Engng, 1981, v. 17, No. 3, p. 445-464.

55. Heyliger P.R. On conventional and quarter-point mixed elements in linear elastic fracture mechanics. — Eng. Fracture Mechanics, 1988, v. 31, No. 1, p. 157-172.

56. Hung N.D., Saxce G., Kang C.-H. The computation of 2-D stress intensity factors using hybrid finite element method. — Eng. Fracture Mechanics, 1991, v. 38, No. 2-3, p. 197-205.

57. Irwin G.R. Analysis of stress and strain near the end of a crack traversing a plate. — J. Appl. Mech., 1957, v. 24, No. 3, p. 361-364.

58. Jih C.J., Sun C.T. Evaluation of a finite element based on crack-closure method for calculating static and dynamic strain energy release rates. — Eng. Fracture Mechanics, 1990, v. 37, No. 2, p. 313-323.

59. Joch J., Ptar S. On stress intensity factors computation by finite element method under mixed-mode loading conditions. — Eng. Fracture Mechanics, 1989, v. 34, No. l,p. 169-179.

60. Katheresan K. An efficient three-dimensional hybrid finite element for fracture mechanics analysis. — Int. J. Fracture, 1981, v. 17, R67-R70.

61. Kuna M., Zwicke M. A mixed hybrid finite element for three-dimensional elastic crack analysis. — Int. J. Fracture, 1990, No. 1, p. 65-79.

62. Maiti S.K. Finite element computation of crack closure integrals and stress intensity factors. — Eng. Fracture Mechanics, 1992, v. 41, No. 3, p. 339— 348.

63. Maiti S.K. Finite element computation of the strain energy release rate for kinking of a crack. — Int. J. Fracture, 1990, v. 43, No. 3, p. 161-174.

64. Mechanics of fracture. V. 1. Methods of analysis and solutions of crack problems / Ed. by G.C. Sih. — Leyden: Noordhoff intern, publ., 1975. — 517 p.

65. Mechanics of fracture. V. 2. Three-dimensional crack problems / M.K. Kassir, G.C. Sih. — Leyden: Noordhoff intern, publ., 1975. — 452 p.

66. Parks D.M. A stiffness derivative finite element technique for determination of crack tip stress intensity factors. — Int. J. Fracture, 1974, v. 10, No. 4, p. 487-502.

67. Pian T.H.H., Wu C.C. A rational approach for choosing stress terms for hybrid finite element formulations. — Int. J. Numer. Meth. in Engng., 1988, v. 26, No. 10, p. 2331-2343.

68. Punch E.F., Atluri S.N. Development and testing of stable, invariant, isoparametric curvilinear 2- and 3-D mixed-hybrid elements. — Comput. Meth. in Appl. Mech. and Engng., 1984, v. 47, p. 331-356.

69. Rubinstein R., Punch E.F., Atluri S.N. An analysis of, and remedies for, kinematic models in hybrid-stress finite elements. — Comput. Meth. in Appl. Mech. and Engng., 1983, v. 38, p. 63-92.

70. Saxce G., Kang C.-H. Application of the hybrid mongrel displacement finite element method to the computation of stress intensity factors in anisotropic materials. — Eng. Fracture Mechanics, 1992, v. 41, No. 1, p. 71-83.

71. Staab G.H. Estimating stress intensity factors with singular components of the total finite element solution. — Int. J. Numer. Meth. in Engng., 1992, v. 18, No. 7, p. 1063-1076.

72. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack. — J. Appl.Mech., 1957, v. 24, p. 109-114.

73. Xue W.-M., Karlkowitz L.A., Atluri S.N. On the existence and stability conditions for mixed-hybrid finite element solutions based on Reissner's variational principle. — Int. J. Solids and Structures, 1985, v. 21, p. 97116.

74. Yagawa G., Nishioka T. Three-dimensional finite element analysis of a through-wall crack in a thick plate. — Int. J. Numer. Meth. in Engng.,

1978, v. 12, p. 1295-1310.

75. Yagawa G., Nishioka T. Finite element analysis of stress intensity factors for plane extension and plate bending. — Int. J. Numer. Meth. in Engng.,

1979, v. 14, p. 727-740.

76. Yamamoto Y., Sumi Y. Stress intensity factor for three-dimensional cracks.

— Int. J. Fracture, 1978, v. 14, p. 17-38.

77. Zhichao W., Lisu Z., Chun-Tu 1. A new formulated method of a quasi-compatible finite element (SQCE) and its application in fracture mechanics.

— Eng. Fracture Mechanics, 1990, v. 37, No. 6, p. 1195-1201.