Вычислительные алгоритмы для задач однофазной и двухфазной фильтрации на основе схемы КАБАРЕ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Канаев, Антон Андреевич

• Канаев, Антон Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Канаев, Антон Андреевич

Введение.

Глава 1. Модификация конвективных потоков в схеме КАБАРЕ для одномерных нелинейных скалярных гиперболических уравнений.

1.1 Схема КАБАРЕ для простейшего линейного уравнения переноса.

1.2 Проблема переключения потоков в схеме КАБАРЕ.

1.3 Обобщение схемы КАБАРЕ на случай нелинейных потоков.

1.4 Частная задача Римана для уравнения с выпуклыми потоками.

1.5 Форма представления оператора Римана, не опирающаяся на свойство дифференцируемости функции потока.

1.6 Процедура согласования начальных значений консервативных и потоковых переменных и оператор переключения потоковых переменных

1.7 Невыпуклые функции потоков. Принцип минимума парциальной локальной вариации.

1.8 Одномерные квазилинейные уравнения с произвольными потоками. Примеры расчетов.

Глава 2. Одномерные модели двухфазной и однофазной фильтрации в зоне неполного влагонасыщения.

2.1 Постановка задачи о просачивании влаги в зоне аэрации.

2.2 Одномерное двухфазное просачивание. на основе схемы КАБАРЕ, и был сформулирован «принцип минимума парциальных локальных вариаций» для определения конвективных потоков при численном решении одномерных нелинейных скалярных гиперболических уравнений.

2.3 Просачивание влаги в пустую пористую среду.

2.4 Скалярный закон сохранения с функцией потоков, зависящей от координат.

2.5 Алгоритм учета удерживающих связей.

2.6 Задача о просачивании жидкости в пустую (заполненную вакуумом) пористую среду с учетом капиллярных сил.

Глава 3. Двумерные модели двухфазной и однофазной фильтрации в зоне неполного влагонасыщения.

3.1 Прецизионный явно-неявный алгоритм для решения системы двумерных уравнений Лаверетта-Бакли с использованием схемы КАБАРЕ

3.2 Тестовая задача о дифракции фронта вытеснения воды (нефти) газом на непроницаемой трещине.

3.3 Обобщение однофазного приближения теории просачивания на многомерный случай.

3.4 Протекание по двумерным перколяционным решеткам. Гидростатическое приближение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительные алгоритмы для задач однофазной и двухфазной фильтрации на основе схемы КАБАРЕ»

Образование радиоактивных отходов — неотъемлемое свойство ядерных технологий, а безопасное обращение с ними — важная часть проблемы безопасности ядерной энергетики. Основная задача здесь состоит в том, чтобы исключить распространение в окружающей среде радиоактивных веществ, образующихся при работе атомных станций, предотвратить их воздействие на человека и природу при хранении.

В ближайшие десятилетия наиболее реальным технически достижимым методом, способным обеспечить изоляцию отработанного ядерного топлива и остеклованных высокоактивных отходов от окружающей среды в течение 10 тыс. или более лет, является удаление этих ядерных отходов в глубокозалегающие породы — гранит, глина, соль, туф.

Многие из нуклидов, которые содержатся в продуктах переработки ядерного топлива, имеют очень большой период полураспада, исчисляемый сотнями и тысячами лет, а для распада трансурановых нуклидов (актинидов) нужно время порядка миллиона лет. Понятно, что сегодня у людей нет опыта контроля над какими-либо техническими устройствами в течение столь длинного периода времени. Решить данную проблему можно с помощью надежного прогнозирования поведения радионуклидов в подземном хранилище. Один из подходов к решению данной задачи заключается в построении математических моделей, адекватно описывающих перенос радионуклидов в сильно неоднородных, неупорядоченных геологических структурах.

Математические модели, описывающие динамику многокомпонентных сред в пористых и трещиноватых геологических породах с учетом реальных уравнений состояния и термодинамических процессов в настоящее время хорошо известны и широко применяются при расчетах геотермальных источников и задач нефте- и газодобычи [1-6]. Несколько другой класс моделей используется при решении задач фильтрации промышленных и экологических загрязнений через зону неполного влагонасыщения в грунтовые воды [1-14]. Вычислительные методики, реализующие эти модели, также хорошо известны [1, 2, 15-26].

Общим для этих классов задач является то, что результаты, полученные с точностью до десяти процентов, с практической точки зрения являются вполне приемлемыми. Совершенно иные требования предъявляются к результатам анализа безопасности захоронения радиоактивных отходов. Здесь требуются иные постановки задач и новые методы их решения.

При анализе безопасности долговременного хранилища радионуклидов на полигоне штата Невада (Yucca Mountain) возникает задача моделирования протечек в водоненасыщенном пласте вулканического туфа, обладающего малой проницаемостью.

Зона неполного насыщения (зона аэрации). Основной вопрос, касающийся оценки проводящих свойств ненасыщенных трещиноватых пород — это вопрос о механизме распространения влаги в таких средах. Согласно классической капиллярной модели [27, 28], вода за счет капиллярного эффекта впитывается в твердую матрицу и распространяется за счет фильтрации по ней. При этом трещины являются препятствиями для движения воды на большие расстояния. Для сред, наиболее интересных с точки зрения задачи захоронения отходов (например, трещиноватый туф Yucca Mountain), по-видимому, более реалистична другая модель, согласно которой основным каналом распространения воды являются именно трещины, а капиллярное впитывание представляет сравнительно слабый эффект [2, 29]. В этом случае фильтрационный поток оказывается крайне неоднородным и нестационарным, наблюдаются наличие предпочтительных путей распространения. Режим распространения воды и переноса примесей определяется статистическими свойствами сети трещин.

К настоящему времени проведено немного экспериментальных исследований фильтрации воды и транспорта примесей в трещиноватых ненасыщенных породах. В [30, 31] описана серия полевых экспериментов с измерениями структуры фильтрационного потока и транспорта примесей через трещиноватую породу, а также внутренней структуры трещин. Наблюдения [30, 31] показали пространственную и временную нестабильность потока, сильное каналирование, когда большая часть потока (70-100%) проходит через малую часть доступного сечения трещин (15-20%). При этом «активные» пути движения воды постоянно меняются в зависимости от циклов смачивания/осушения, химического взаимодействия потока со стенками, отложений на стенках растворенных в воде материалов. Все это значительно усложняет картину фильтрации в ненасыщенной зоне по сравнению с насыщенной.

В [32] описаны результаты пневматических испытаний, проведенных в туннеле на Yucca Mountain, Nevada, USA, который является предположительным местом захоронения отходов. В блоке с размерами 15x20x15 м было просверлено в разных направлениях около 30 скважин длиной 5-10 м. В каждой скважине имелся уплотненный участок, через который подавался воздух с постоянным расходом. Одновременно с подачей воздуха измерялось давление в самой нагнетаемой скважине и во всех остальных. Процедура нагнетания и измерения давления повторялась последовательно со всеми скважинами. Отклик давления быстро, в течение нескольких минут устанавливался на стационарном значении. Эти данные позволили оценить проницаемость вблизи каждой скважины (усредненную по длине уплотненной области), а также с помощью моделирования тестов (программа Т01ЮН2) путем подбора проницаемости во всей расчетной области. В результате получена трехмерная карта проницаемости на сетке 34x26x24.

Эти данные не могут, конечно, характеризовать структуру сети трещин на исследуемом участке. В то же время они дают информацию о разбросе локальных значений проницаемости. Этот разброс очень велик — пять порядков величины. Быстрый отклик давления, наблюдаемый во всех скважинах, свидетельствует о том, что все они хорошо соединены друг с другом сетью трещин (по крайней мере, пневматически).

Многочисленные исследования показывают, что стандартные гомогенизированные модели приводят к качественно неверным результатам. Причиной таких отклонений может служить фрактальный характер сетей трещин, по которым происходит просачивание влаги, изменяющий сам характер осредненного закона Дарси.

Эту задачу можно формулировать как двухфазную, когда первой фазой является вода, а второй - вытесняемый ей воздух. Такая постановка приводит к системе из двух уравнений Лаверетта-Бакли, описывающих баланс каждой фазы. В случае, когда второй фазой является нефть, система уравнений Лаверетта-Бакли достаточно хорошо изучена и широко применяется на практике. Плотности и подвижности воды и нефти относительно близки, поэтому трудностей принципиального характера при численном решении этих уравнений не возникает, либо они достаточно легко преодолеваются. Иное дело, когда второй фазой является воздух или газ, отличающийся по этим параметрам от воды на несколько порядков.

Расчеты задач просачивания в сильно неоднородных трещиновато-пористых средах представляют собой серьезную вычислительную проблему, поскольку наличие у большинства известных алгоритмов аппроксимационной вязкости (в рассматриваемом случае «аппроксимационных капиллярных сил») существенно искажает характер решения в экстремальных случаях. Естественным решением, в этой ситуации, представляется выбор численной схемы, относящейся к т.н. алгоритмам «высокой разрешающей способности» [15, 17, 18, 21, 24, 25, 33]. Альтернативным подходом можно считать использование схемы КАБАРЕ [34-45]

Схема КАБАРЕ для простейшего одномерного линейного уравнения переноса была предложена и подробно исследована в работах Головизнина В.М. и Самарского A.A. в 1998 году. Позже выяснилось, что в западной литературе она известна как схема Айзерлиса (Upwind Leapfrog) поскольку является представителем семейства разностных схем, исследованных эти автором на устойчивость в 1986 году. В дальнейшем, эта схема претерпела ряд эволюционных скачков. Значительный вклад в ее развитие внесли Головизнин В.М., Карабасов С.А., Кобринский И.М. К наиболее важным изменениям исходной трехслойной схемы КАБАРЕ (Upwind Leapfrog) можно отнести ее представление в двухслойном виде, что было осуществлено введением дополнительных неизвестных, т.н. «консервативных» переменных. Затем она была дополнена алгоритмом коррекции потоков, базирующемся на прямом использовании принципа максимума. Это сделало возможным ее обобщение на более содержательные и сложные по сравнению с простейшим уравнением переноса, случаи.

Для задач подземной гидродинамики схема КАБАРЕ была впервые использована в работе (Головизнин В.М., Карабасов С.А.,1998) для решения системы уравнений Лаверетта-Бакли в двумерной задаче о скважине. Работа носила чисто методический характер - в ней было проведено сравнение четырех возможных способов обобщения схемы КАБАРЕ, три из которых основывались на трехслойной версии алгоритма. Результат, полученный по одной из этих схем, оказался на то время удовлетворительным. Дальнейшее развитие схемы КАБАРЕ привело к необходимости критического пересмотра полученных ранее результатов с целью их качественного улучшения на новой методической основе.

Целью настоящей работы является^дальнейшее развитие схемы КАБАРЕ для решения одномерных нелинейных законов сохранения с выпуклыми и невыпуклыми функциями потоков; разработка на базе модифицированной схемы нового эффективного вычислительного алгоритма для численного решения одномерных задач однофазной и двухфазной фильтрации в зонах неполного влагонасыщения; разработка новых математических моделей двумерной однофазной и двухфазной фильтрации в геологических формациях с сильно неоднородными фильтрационными свойствами.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Канаев, Антон Андреевич

Заключение

Разработан новый вид численных потоков для схемы КАБАРЕ. Проведены исследования пределов применимости новой модификации методики КАБАРЕ для задач с невыпуклой функцией потоков. Показано, что включение в алгоритм диссипатора Паниковского с коэффициентом £ = 0.6 позволяет получать энтропийные решения для невыпуклых функций потока при высоких порядках касания производной в точках смены выпуклости. Установлено, что к такому же эффекту приводит сужение области возможных значений потоковых переменных, допускаемой принципом максимума.

На основе схемы КАБАРЕ разработаны новые вычислительные алгоритмы для одномерной однофазной и двухфазной фильтрации в зоне неполного влагонасыщения. Задача однофазной фильтрации сформулирована как задача решения одномерного квазилинейного гиперболического уравнения при наличии ограничивающей связи.

Разработан алгоритм учета такой связи в алгоритме КАБАРЕ с использованием вариационного принципа для возмущений потоков. Предложен способ учета капиллярных эффектов. Для двухфазной фильтрации с учетом явления вытеснения воздуха получено аналитическое выражение для градиента давления через величину влагонасыщения, что привело к классической одномерной гиперболической задаче с немонотонной функцией потоков. Проведено сравнение численных результатов решения модельной задачи о просачивании по двум этим моделям, Показано, что при реальных значениях отношения подвижностей воздуха и воды физические результаты получаются близкими, в то время как вычислительные затраты в однофазной модели существенно меньше.

Разработаны новые математические модели двумерной однофазной и двухфазной фильтрации в зоне аэрации. Для двумерной двухфазной модели Лаверетта-Бакли с учетом вытесняемого воздуха разработан вычислительный алгоритм на основе схемы КАБАРЕ. Вычислительные особенности этого алгоритма продемонстрированы на модельной задаче о напорном течении в пористой среде с непроницаемой трещиной.

Представлена двумерная постановка задачи об однофазной фильтрации с учетом ограничений на решение. Разработан эффективный вычислительный алгоритм, являющийся обобщением одномерного алгоритма. Для убыстрения счета задач о динамике протечек на перколяционных решетках разработано т.н. «гидростатическое» приближение. Работоспособность и вычислительная эффективность нового подхода продемонстрирована на ряде модельных и тестовых задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Канаев, Антон Андреевич, 2012 год

1. Gwo, J.P., et al., Using multiregion model to study the effect of advective and diffusive mass transfer on local physical nonequilibrium and solute mobility in a structured soil. Water Resources Research, 1996. 32(3): p. 561-570.

2. Pruess, K., A mechanistic model water seepage through thick unsaturated zones in fractured rocks of low matrix permeability. Water Resources Research, 1999. 35(4): p. 1039-1051.

3. Баренблатт, Г.И., B.M. Ентов, and B.M. Рыжик, Движение жидкостей и газов в пористых пластах. Недра, 1984: р. 224.

4. Коновалов, А.Н., Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. «НАУКА», Сибирское отделение, 1988: р. 166.

5. Самсонов, Б.Г. and JI.M. Самсонова, Миграция вещества и решение гидро-геологических задач. Недра, 1987: р. 118.

6. Селяков, В.И. and В.В. Кадет, Перколяционные модели процессов переноса в микронеоднородных средах. Недра, 1995: р. 222.

7. Закиров, С.Н., et al., Многомерная и многокомпонентная фильтрация. 1988, Москва: Недра. 335.

8. Коллинз, Ю.Р., Течение жидкостей через пористые материалы, ed. Г.И. Баренблат. 1954, Москва.

9. Нигматулин, ¥ Ж., Динамика многофазных сред. 1987, Москва: Наука. 464,360.

10. Николаевский, В.Н., е1 а1., Механика насыщенных пористых сред. 1970, Москва: Недра. 339.

11. Цыпкин, Г.Г., Аналитическое решение нелинейной задачи разложения газового гидрата в пласте. Механика жидкости и газа, 2007. 5: р. 133142.

12. Цыпкин, Г.Г., Инжекция раствора соли в геотермальный резервуар, насыщенный перегретым паром. Механика жидкости и газа, 2008. 5: р. 120-131.

13. Цыпкин, Г.Г., Влияние капиллярных сил на распределениевлагонасыщенности при протаивании мерзлого грунта. Механика жидкости и газа, 2010. 6: р. 122-132.

14. Цыпкин, Г.Г., Нелинейная задача протаивания ненасыщенного мерзлого грунта при наличии капиллярных сил. Механика жидкости и газа, 2012. 1.

15. Boris, J.P. and D.L. Book, Flux-corrected transport I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works. J. Comput. Phys., 1997. 135(2): p. 172-186.

16. Fedkiw, R.P., B. Merriman, and S. Osher, Efficient characteristic projection in upwind difference schemes for hyperbolic systems: the complementary projection method. J. Comput. Phys., 1998. 141(1): p. 22-36.

17. Harten, A., et al., Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes, 111. J. Comput. Phys., 1987. 71(2): p. 231-303.

18. Jiang, G.-S., et al., High-Resolution Nonoscillatory Central Schemes with Nonstaggered Grids for Hyperbolic Conservation Laws. SIAM J. Numer. Anal., 1998. 35(6): p. 2147-2168.

19. Kurganov, A. and E. Tadmor, New high-resolution central schemes for nonlinear conservation laws and convection ¡diffusion equations. J. Comput. Phys., 2000. 160(1): p. 241-282.

20. Li, Y., Wavenumber-extended high-order upwind-biased finite-difference schemes for convective scalar transport. J. Comput. Phys., 1997. 133(2): p. 235-255.

21. Marano, S. and M. Franceschetti, Ray propagation in a random lattice: a maximum entropy, anomalous diffusion Process. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2005. 53(6): p. 1888-1896.

22. Mazzia, A., L. Bergamaschi, and M. Putti, A time-splitting technique for the advection-dispersion equation in groundwater. J. Comput. Phys., 2000. 157(1): p. 181-198.

23. Mohanty, B.P., et al., New piecewise-continuous hydraulic functions for modeling preferential flow in intermitten-flood-arranged field. Water Resources Research, 1997. 33(9): p. 15.

24. Sheu, T.W.H., S.K. Wang, and S.F. Tsai, Development of a high-resolution scheme for a multi-dimensional advection-diffusion equation. J. Comput. Phys., 1998. 144(1): p. 1-16.

25. Shu, C.-W. and S. Osher, Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes,II. J. Comput. Phys., 1989. 83(1): p. 3278.

26. Yavneh, I., Analysis of a fourth-order compact scheme for convection-diffusion. J. Comput. Phys., 1997.133(2): p. 361-364.

27. Peters, R.R. and E.A. Klavetter, A continuum model for water movement in an unsaturated fractured rock mass. Water Resour. Res., 1988. 24(3): p. 416430.

28. Wang, J.S.Y. and T.N. Narasimhan, Hydrologic Mechanisms Governing Fluid Flow in a Partially Saturated, Fractured, Porous Medium. Water Resour. Res., 1985. 21(12): p. 1861-1874.

29. Pruess, К., B. Faybishenko, and G.S. Bodvarsson, Alternative concepts and approaches for modeling flow and transport in thick unsaturated zones of fractured rocks. Journal of Contaminant Hydrology, 1999. 38(1-3): p. 281322.

30. Dahan, O., et al., Field observation offlow in a fracture intersecting unsaturated chalk. Water Resour. Res., 1999. 35(11): p. 3315-3326.

31. Dahan, O., et al., On Fracture Structure and Preferential Flow in Unsaturated Chalk. Ground Water, 2000. 38(3): p. 444-451.

32. Huang, K., Y.W. Tsang, and G.S. Bodvarsson, Simultaneous inversion of air-injection tests in fractured unsaturated tuff at Yucca Mountain. Water Resour. Res., 1999. 35(8): p. 2375-2386.

33. Куликовский, А.Г., H.B. Погорелов, and А.Ю. Семенов, Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. 2001, Москва: Физматлит. 607.

34. Goloviznin, V.M., A balance-characteristic method for the numerical solution of one-dimensional equations of gas dynamics in Euler variables. Mat. Model., 2006.18(11): p. 14-30.

35. Goloviznin, V.M. and S.A. Karabasov, Digital Transport Algorithm for Hyperbolic Equations. Hyperbolic problems: theory, numerics, applications. 2006, Yokohama: Yokohama Publishers.

36. Goloviznin, V.M. and S.A. Karabasov, Compact Accurately Boundary-Adjusting High-Resolution Technique for Fluid Dynamics. J. Comput. Phys., 2009. 228(19): p. 7426-7451.

37. Goloviznin, V.M., S.A. Karabasov, and I.M. Kobrinskii, Balance-characteristic schemes with separated conservative and flux variables. Mat. Model., 2003.15(9): p. 29-48.

38. Goloviznin, V.M. and A.A. Samarskii, Some properties of the difference scheme "cabaret". Mat. Model., 1998. 10(1): p. 101-116.

39. Goloviznin, V.M. and A.A. Samarskii, Finite approximation of convective transport with a space splitting time derivative. Mat. Model., 1998. 10(1): p. 86-100.

40. Головизнин, B.M., Балансно-характеристический метод численного решения уравнений газовой динамики. Докл.Акад. Наук, 2005. 403(4): р. 1-6.

41. Головизнин, В.М. and С.А. Карабасов, Дискретные математические модели двухфазной фильтрации с пространственным расщеплением временной производной. Известия РАН, серия Энергетика, 2000(4).

42. Головизнин, В.М. and С.А. Карабасов, Некоторые примеры численного моделирования двумерной фильтрации. Препринт ИБРАЭ. 1998, Москва: ИБРАЭ РАН.

43. Головизнин, В.М. and С.А. Карабасов, Нелинейная коррекция схемы «КАБАРЕ» Математическое Моделирование, 1998. 12(1): р. 107-123.

44. Головизнин, В.М., et al., Новый вычислительный алгоритм для математического моделирования просачивания влаги сквозь ненасыщенную трещиноватую геологическую среду с низкой проницаемостью. Препринт ИБРАЭ №IBRAE 2006-07. 2006, Москва: ИБРАЭ РАН. 53.

45. Iserles, A., Generalized Leapfrog Methods. IMA Journal of Numerical Analysis, 1986. 6: p. 381-392.

46. Ostapenko, V.V., On the monotonicity of the balance-characteristic scheme. Mat. Model., 2009. 21(7): p. 29-42.

47. Горицкий, Ф.Ю., C.H. Кружков, and Г.А. Чечкин, Уравнения с частными производными первого порядка. 1999, Москва: МГУ им. М.В. Ломоносова (учебное пособие). 95 стр.

48. Kurganov, A., G. Petrova, and В. Popov, Adaptive Semidiscrete Central-Upwind Schemes for Nonconvex Hyperbolic Conservation Laws. SIAM J. Sci. Comput., 2007. 29(6): p. 2381-2401.

49. Kurganov, A., S. Noelle, and G. Petrova, Semidiscrete Central-Upwind Schemes for Hyperbolic Conservation Laws and Hamilton—Jacobi Equations. SIAM J. Sci. Comput., 2001. 23(3): p. 707-740.

50. Pruess, К., C.M. Oldenburg, and G.J. Moridis, TOUGH2 User's Guide Version 2. 1999, Berkeley: Lawrence Berkeley National Laboratory.

51. Buckley, S.E. and M.C. Leverett, Mechanism of Fluid Displacement in Sands. Petroleum Transactions, AIME, 1942.146: p. 10.

52. Fischer, U., et al., Modeling nonwetting-phase relative permeability accounting for a discontinuous nonwetting phase. Soil Science Society of America, 1997. 61(5): p. 15.

53. Ортега, Д. and P. Вернер, Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. 1975, Москва: МИР.

54. Finsterle, S., J.Т. Fabryka-Martin, and J.S.Y. Wang, Migration of a water pulse through fractured porous media. Journal of Contaminant Hydrology, 2002. 54(1-2): p. 37-57.

55. Harten, A., High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. J. Comput. Phys., 1997. 135(2): p. 260-278.

56. Tsypkin, G.G., Mathematical Models of Gas Hydrates Dissociation in Porous Media. Annals of the New York Academy of Sciences, 2000. 912(1): p. 428436.

57. Басниев, K.C., И.Н. Кочина, and B.M. Максимов, Подземная гидромеханика. 1993: Недра. 417.

58. Лукхаус, С. and П.И. Плотников, Энтропийные решения уравнений Баклея-Леверетта. Сибирский математический журнал, 2000. 41(2): р. 400-420.