Вычисление ядра уравнения теплопроводности методами ковариантной теории возмущений: [ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат физико-математических наук Гусев, Юрий Владимирович

• Гусев, Юрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1996

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гусев, Юрий Владимирович

Оглавление

1 Введение

1.1 Введение

1.2 Ковариантная теория возмущений

2 След ядра уравнения теплопроводности в третьем порядке по

кривизнам

2.1 Третий порядок теорий возмущений для следа ядра уравнения теплопроводности

2.2 Разложение Тг К (в) по степеням кривизн до третьего порядка

2.3 Представление форм-факторов следа ядра уравнения теплопроводности в форме полиномов по а -параметрам

2.4 Сведение форм-факторов в виде полиномов по «-параметрам к базовым форм-факторам

2.5 Окончательный результат для следа ядра уравнения теплопроводности

2.6 Поведение следа ядра уравнения теплопроводности при больших значениях собственного времени

2.7 Поведение следа ядра уравнения теплопроводности при малых значениях собственного времени и сравнение его с разложением Швингера-Девитта

3 Ядро уравнения теплопроводности во втором порядке по кривизнам

3.1 Метод производящего функционала для ядра уравнения теплопроводности

3.2 Второй порядок теории возмущений для ядра уравнения теплопроводности

3.3 Представление форм-факторов ядра уравнения теплопроводности чрез полиномы по а-параметрам

3.4 Окончательный результат для ядра уравнения теплопроводности

до второго порядка по кривизнам

3.5 Поведение ядра уравнения теплопроводности при малых значениях собственного времени и сравнение его с разложением Швингера-Девитта

4 Полевые модели инвариантные по Вейлю

4.1 Однопетлевое эффективное действие для инвариантных по Вейлю моделей скалярных полей в двух измерениях

4.2 Функция Грина для конформной модели скалярного поля в двух измерениях

4.3 Вейлевская аномалия в четырёх измерениях

5 Заключение

А Базис нелокальных инвариантов кривизн в третьем порядке

В Явное представление для форм-факторов третьего порядка следа ядра уравнения теплопроводности

С Явное представление для форм-факторов второго порядка ядра уравнения теплопроводности

Б Форм-факторы для вычисления вейлевской аномалии

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычисление ядра уравнения теплопроводности методами ковариантной теории возмущений: [»

Введение

1.1 Введение

Изучение ядра уравнения теплопроводности является важным направлением в теоретической физике и прикладной математике. Решения уравнения теплопроводности и подобных ему уравнений, таких как уравнение диффузии и уравнение Шрёдингера, подробно изучены в математической литературе [1, 2, 3, 4, 5, 6]. В данной диссертации мы рассматриваем уравнение теплопроводности в виде:

д * *

—К(з\х,у) = Р{ух)К(з\х,у), (1.1)

где 5 - параметр собственного времени вдоль геодезической линии, соединяющей две точки пространства-времени х и у. Мы проводим вычисления в искривлённом пространстве-времени с постоянной положительной сигнатурой метрического тензора, т.е. в Эвклидовом пространстве-времени. Размерность пространства-времени произвольна всюду за исключением 4-й главы диссертации. Р{4) в уравнении (1.1) - дифференциальный оператор второго порядка, действующий на возмущения полей в точке х. Символ" поверх величин К и Р означает, что эти величины являются матрицами. В таких обозначениях уравнение теплопроводности принимает вид:

К(з\х, у) = ехр [з^У*)] 5(х, у). (1.2)

Решение уравнения теплопроводности (1.2) было применено в теоретической физике Р.Фейнманом [7, 8, 9] для вычисления пропагатора:

Р{Чх)6(х,у) = -Щх,у). (1.3)

Ядро уравнения теплопроводности определяет пропагатор или функцию Грина при помощи известного уравнения Швингера [10]:

roo

G(x,y)= dsK(s\x, у). (1.4)

Jo

Если S[(p] - действие полевой модели, то её индуцированный дифференциальный оператор находится следующим образом:

= (1.5)

Мы ограничимся изучением моделей, которые характеризуются так называемым минимальным оператором второго порядка [11],

F(V) = OÍ + р- (1.6)

где оператор Лапласа-Бельтрами (или кратко лапласиан),

(1.7)

построен из ковариантных производных V^. Оператор F(V) действует на малые возмущения произвольного набора полей tpA(x). Матричная природа F(V) происходит из тензорной структуры возмущений полей <рА(х), на которые действует оператор. Нами приняты следующие матричные соглашения:

i = 5АВ, Р = РАВ, ... (1.8)

Матричный след по индексам А обозначается как tr:

tri = 5AA, trР = РАа, ••• (1.9)

Метрический тензор входящий в (1.7), участвует в образовании тензоров

кривизны Римана и Риччи:

R^ca/P = ~ ^P^av + ^„Г^д — Гд^Г^,

Ra/3 = R^aiipi R = Q^RaP, (1-Ю)

- ковариантная производная с произвольной связностью. Она характеризуется коммутатационным тензором кривизны

[VM, V,]*/ = - V„VM)6<РА = nABftJipB, KABflu = n„v. (1.11)

Член со скаляром кривизны Риччи R включен в потенциал в (1.6) по соображениям удобства. Он важен при изучении конформно инвариантных моделей в четырёх измерениях (см. раздел 4.3).

В данной диссертации мы использовали обозначения Б. Девитта [12]. В этих обозначениях индекс А обозначает любой набор дискретных индексов спинорно-тензорных полей. В результате член взаимодействия Р может быть произвольным матричным потенциалом, определяемым конкретными полевыми моделями. В принятых обозначениях один и тот же символ TZ,W может означать и тензор напряжённости неабелевых калибровочных полей (полей Янга-Миллса), когда его матричные индексы описывают внутренние степени свободы, и электромагнитный тензор, не обладающий спинорными степенями свободы. Он может также представлять и тензор кривизны Римана, тогда в нём появляется дополнительная пара пространственно-временных индексов, а 1 = gßU. Набор тензоров напряжённости поля, называемых в дальнейшем кривизнами,

RnßliU, Р (1-12)

и характеризующих фоновые поля, будет обозначаться как Мы рассматриваем асимптотически плоские многообразия с тривиальной топологической структурой R2,UJ. Многообразия с нетривиальной топологий типа R3 х S1 здесь не рассматриваются. Для рассматриваемых многообразий кривизны калибровочных и гравитационных полей, а также потенциал Р, (1.12), исчезают на бесконечности.

Много работ, предшествующих данному исследованию, было посвящено разложению ядра уравнения теплопроводности при малых значениях параметра собственного времени, которое известно также как ряд Швингера-ДеВитта [10, 12]:

1 < ) 00 k(s\x, у) = ———e~z~^LD1/2(x, у) £ Snän(x, у), а -> 0, (1.13)

где сг(х,у) - мировая функция [13] или геодезический интервал, который в декартовой системе координат равняется половине квадрата расстояния вдоль геодезической линии, соединяющей две точки пространства-времени х и у. Повсюду предполагается, что 2о> - размерность пространства-времени. Двухточечная плотность D(x,y) - детерминант Ван-Флекка-Моретт [14, 15],

D=-det(-dPd»o(x,y)). (1.14)

Коэффициенты Швингера-ДеВитта ап(х,у) могут быть найдены по рекуррентным соотношениям [12, 11] или другими независимыми методами [5, 16, 17]. С момента своего открытия эти коэффициенты играли огромную роль в квантовой теории поля [18, 11, 19] и остаются важным инструментом до сегодняшнего дня [20, 21].

Хотя для многопетлевых вычислений в квантовой теории поля важно найти двухточечное ядро уравнения теплопроводности К(з\х,у), для однопетлевых вычислений требуется знать только его предел совпадения К(в\х,х). В таком случае уравнение (1.13) упрощается:

К(з\х,х) = ^^^зпап(х,х), з- 0, (1.15)

147Г5У п=О

где д - определитель метрического тензора д = ([еЬ^"). Коэффициенты Швингера-ДеВитта ап(х,х) были вычислены явно для п = 0 до 3 [12, 11, 4, 22]. Ограниченные результаты известны для случая п — 4 [23, 16, 17]. Коэффициенты ап(х,у) являются локальными функциями фоновых полей, входящих в оператор (1.6). Такое разложение по малых значениям собственного времени послужит нам предельным случаем и способом проверки результатов, представленных в данной диссертации.

Конечная цель данного исследования - применение ядра уравнения теплопроводности при вычислении однопетлевого эффективного действия и функций Грина [8, 12, 11]. Эффективное действие содержит в себе всю важную физическую информацию о теории поля и представляет собой производящий функционал для одночастично неприводимых диаграмм [8, 12]. Данный факт особенно важен для квантовой гравитации, где работа со стандартными фейнмановски-ми диаграммами сильно затруднена вследствие их числа и сложности. Хотя и невозможно получить замкнутое представление для эффективного действия во всех порядках по постоянной Планка Н, зачастую достаточно знать только низшие по Н поправки к классическому действию, т. е. однопетлевое эффективное действие ИЛ Так как мы работаем в формализме функционального интеграла [8, 24], эффективное действие определено как преобразование Лежандра от логарифма производящего функционала функций Грина, т. е. от производящего функционала связных функций Грина. Его итеративное решение выражается

через дифференциальный оператор (1.6):

W = -Tr InF - [ ¿2шх6{2ш\х,х)(...). (1.16)

2 J

Под не выписанными членами (...) подразумеваются вклады локальной меры функционального интеграла пропорциональной дельта функции в совпадающих точках [25]. Как было показано в [26], этот вклад всегда сокращается с объёмными расходимостями. Для операторов безмассовых теорий (1.6) такое сокращение равносильно вычитанию члена нулевого по кривизне.

Знание ядра уравнения теплопроводности (1.2) позволяет построить ковари-антное разложение в диаграммах Фейнмана [11, 12, 27, 28] до любого порядка по числу петель. Как видно из (1.16), однопетлевое эффективное действие задается следом ядра уравнения теплопроводности:

~W = l Г —TrК(з) + [d2uJxS^\x, х){...), (1.17)

2 Jo s J

где Tr в отличие от tr в (1.9) обозначает функциональный след

TrK(s) = j d2"xtxK{s\x,x). (1.18)

Далее и везде размерность пространства-времени в интегральной мере не будет выписываться явно: dx = d2u} х.

Ультрафиолетовые расходимости квантовой теории поля возникают в интегралах по собственному времени s на нижних пределах интегрирования (1.15). Они устраняются процедурой перенормировки [12, 11]. В моделях с массивными полями в петлевых интегралах (1.13) и (1.15) всегда присутствует массовый множитель ersrn2, обеспечивающий их сходимость на верхних пределах s —> ос. К сожалению, петлевые интегралы безмассовых теорий расходятся также и на верхних пределах. Такие инфракрасные расходимости являются недостатком способа вычислений, а не самих полевых моделей. Этот факт иллюстрируется тем, что разложение ядра уравнения теплопроводности при малых значениях собственного времени становится в эффективном действии и функциях Грина разложением по большим массам. Возникает потребность в новом методе, позволяющем вычислять ядро уравнения теплопроводности при любых значениях собственного времени s от 0 до оо. Такой метод, называемый ковариантной теорией возмущений, будет представлен в следующем разделе.

Ковариантная теория возмущений [29, 30, 31] эквивалентна суммированию членов данного порядка по кривизне изо всех коэффициентов разложения Швингера-ДеВитта. Данный метод, предложенный в работах [32, 33], производит нелокальные выражения, т.е. выражения, которые содержат бесконечное число производных, действующих на кривизны. В общем виде такое выражение имеет вид:

Тг К (в) = ¡¿хд^х^т^ + зШ + з2^^0^)^

+ з3 £ Р(8, □!, П2, сдаадз + } > (1-19)

где функции /г и Рг являются аналитическими функциями по безразмерным аргументам —вШ. Они называются форм-факторами и действуют на тензорные инварианты, построенные из кривизн Хотя данное выражение и похоже на ряд Швингера-ДеВитта (1.13) для ядра уравнения теплопроводности, оно действительно при любых значениях собственного времени. Структура (1.19) действительна только до третьего порядка, так как в членах высших порядков невозможно выразить форм-факторы исключительно через лапласианы (1.7). Начиная с четвёртого порядка по кривизнам появляется новый тип смешанных производных [34]. Область применимости ковариантной теории возмущений ограничена условием

» К2. (1.20)

Это условие ограничивает применимость теории быстро осциллирующими фоновыми полями малых амплитуд. Противоположный предел медленно осциллирующих полей больших амплитуд также представляет значительный интерес [35]. Этот предел в виде разложения по производным для внешних электромагнитных полей был изучен в работе [36].

Хотя суммирование (1.19) может быть проведено непосредственно [16], только ковариантная теория возмущений позволяет провести вычисления выше второго порядка по кривизнам. Вычисление третьего порядка по кривизнам в следе ядра уравнения теплопроводности - главная задача данной работы. Данное исследование мотивировано проблемой излучения Хокинга [37] - эффекта рождения частиц при гравитационном коллапсе [38, 33]. Хорошо известно, что чёрная дыра излучает с температурой обратно пропорциональной её массе [18]. Как было показано в [38, 33] этот квантовый эффект может быть получен из не локального

эффективного действия в двух измерениях, где такое действие известно точно (см. раздел 4.1). В четырёх измерениях излучение Хокинга появляется в третьем порядке в разложении по кривизнам для эффективного действия [27, 39, 40]. Недавно были получены результаты, подтверждающие верность этого направления [41]. К сожалению, вычисление эффективного действия (1.17) для моделей общего типа лежит за рамками данной диссертации и изучено в других работах [42, 43, 44].

Необходимо подчеркнуть различие между ковариантной теорией возмущений [29, 30] и стандартной теорией возмущений в плоском пространстве-времени [23]. Нековариантные вершины являются расходящимися во всех порядках стандартной теории возмущений. Эти расходимости могут, однако, сокращаться в некоторых задачах [45]. Физические эффекты определяются ковариантным эффективным действие W, которое конечно, начиная с третьего порядка по кривизнам [42]. Ковариантная теория перенормировок в калибровочных теориях поля -главная область приложений представленных здесь результатов. Инфракрасная перенормировка квантовой электродинамики уже была осуществлена подобным способом в работе [46].

Поскольку след ядра уравнения теплопроводности (1.18) может быть использован как производящий функционал для ядра уравнения теплопроводности [28, 47], довольно интересно получить K(s\x, х) таким способом, но он позволяет провести вычисления только до второго порядка по кривизнам [48]. Результат применения вариационного метода [47] выглядит похоже на (1.19):

K(s\x, х) = {sJ2d(s, □)» + S2 £ G(s, ПЬ П2, Пз)ад2 + 0[5R3]} . (1.21)

(47TS )ш 1 J

Мы также выведем это выражение с точностью до второго порядка непосредственно методами ковариантной теории возмущений и убедимся, что результаты этих двух методов совпадают.

Нужно подчеркнуть, что и ряд Швингера-Девитта и ковариантная теория возмущений являются методами фонового поля, т.е. фоновые поля являются классическими полями, на которых рассматривается динамика квантовых полей. Фоновые поля характеризуются кривизнами (1.12).

Важным элементом данной работы является проведение символьных вычис-

лений на компьютерах, без которых работа не была бы выполнена. Были проведены компьютерные символьные вычисления двух типов. Первый - чисто алгебраические преобразования форм-факторов, проведённые с помощью программного обеспечения универсального типа, такого как Mathematica и Maple [49, 50]. Другой тип вычислений - это тензорные преобразования с целью получения тензорных инвариантов. Для таких вычислений применялись специальные пакеты MathTensor [51] и Ricci [52], которые работают как приложения к программе Mathematica. Все математические выражения в формате ТцК , содержащиеся в приложениях к диссертации, произведены непосредственно программами Mathematica или Maple.

Данная диссертация организована следующим образом. Она состоит из Введения, трёх глав и нескольких приложений. Главы 2 и 3 содержат основные результаты: след ядра уравнения теплопроводности до третьего порядка по кривизнам и ядро уравнения теплопроводности до второго порядка по кривизнам. Эти главы имеют одинаковую структуру, они начинаются с разложений по теории возмущений и заканчиваются ковариантной формой этих разложений. Далее находятся интегральные представления для форм-факторов в Тг К (s) и К (s) и изучаются их асимптотические пределы по собственному времени. В последней главе изучается конкретная полевая модель - модель инвариантная по Вейлю. В двух разделах 4-й главы найдены замкнутые выражения для однопетлевого эффективного действия и функции Грина для двумерной модели скалярного поля. В третьем разделе этой главы выводится вейлевская (конформная) аномалия в четырёх измерениях непосредственно из следа ядра уравнения теплопроводности. Несколько приложений к диссертации содержат таблицы форм-факторов, а также вывод тензорных нелокальных инвариантов третьего порядка.

Результаты разделов 2.1-2.3 были получены автором диссертации независимо от А.О. Барвинского, который проводил параллельные вычисления. Проверка раздела 2.6 была проведена В.В. Житниковым. Остальное содержание главы 2-й, а также главы 3 и 4 представляют полностью независимые результаты автора.

1.2 Ковариантная теория возмущений

В теории возмущений [10, 23] ядро уравнения теплопроводности раскладывается по степеням возмущения:

сю

= (1.22)

п=О

где Кп(з) - член п-ой степени по возмущению. В простом случае плоского пространства-времени при отсутствии калибровочных полей возмущение представляет собой потенциальный член Р. В таком случае возможно написать представление Кп(з) для любого п в замкнутой форме [23].

Для построения теории возмущений в ковариантной форме нужно ввести расщепление метрического тензора и ковариантной производной на вспомогательные части и возмущения:

= + (1.23)

= + (1.24)

Вспомогательные части метрического тензора и ковариантной производной принимаются «плоскими», т.е. они образуют нулевые кривизны:

^иаМ = о, (1.25)

= (1.26)

Здесь и ниже символ [,] обозначает коммутатор, введенный в (1.11).

В результате мы получаем три независимых возмущения: возмущение метрического тензора, возмущение связности и потенциальный член:

Дифференциальный оператор (1.6) выражается через эти возмущения следующим образом:

Р(У) = П + У(Ч), (1.28)

где возмущение представлено как

У(У) - + (1.29)

Поднимание и опускание индексов всегда осуществляется с помощью вспомогательной метрики д^ за исключением случая (1.29)

рм = + (1.30)

Пертурбативное решение уравнения (1.1) можно найти итерациями в виде

Кп(з) = Г сЙп Г dtn^1... Г (Иге{з-Ьп)БУе^-'п-1)БУ... е(м)5Уе'15 (1.31) Ь Jo

Фактически - это ряд Дайсона [8, 24, 53]. Для нулевого порядка ядра уравнения теплопроводности е*п существует точное решение [9, 12]:

K0(s\x,y)

(47TS)'

(1.32)

Здесь а0 означает оператор параллельного переноса вдоль геодезической линии, соединяющей у их, [12], д- определитель вспомогательного метрического тензора д^, а <т - вспомогательная мировая функция, которая в декартовых координатах упрощается до (х — у)2/2.

С помощью (1.32) возможно найти результат действия (1.29) на ядро е30:

У(Уг)К0{Зг\Уг,у^1) = ---Оо(Ух, X) X

ехр

(^{Уг,Уг+1)

— о i V

2s?;

г v /л

(4тт si)w

(1.33)

где экспонента от возникает из ковариантного ряда Тейлора [11]. Она действует только на первый аргумент II. а? - векторы в точке х, определённые следующим образом:

а? = Ъ = Уг), (1.34)

Ü(x\Us) = 1

^(аО + Рф-ЬфО*-

(1.35)

8- ' ' ' ' 6 Таким образом возможно провести замену переменных, преобразующую (1.31) к виду:

roo roo . J}_ . rSn

TV KM = Jo dsi... Уо dsn5(! - E 50 l dt x J dx j dyt... dyntY{K0(t\x,y1)V{y1)K0(s1\y1,y2)... V(yn-i)K0(sn-i\yn-i, yn)V(yn)K0(sn-t\yn, ж)}. (1.36)

После того, как вычислены интегралы по х и £ и проведена ещё одна замена переменных, мы получаем следующее выражение:

о г п ~ ~

Тг Кп{з) = -1 (Га5(\-^«¿)Тг{Уе5а1П...Уе^п}. (1.37)

Для вычисления оставшихся интегралов по пространству-времени нужно положить уг = х и сделать ещё одну замену переменных для пространственно-временных аргументов:

дуг

а ~и

Уг П ,

~д1'2{х)Г1/2{у^ (1-38)

д(7г

Тогда это выражение приводится к виду Гауссового интеграла по а[30].

След от Кп(з), вычисленный по описанному алгоритму, принимает общий вид, [30]:

1 1

^{ехр[512п(а1,...ап|У*)]53в'^(а1,...0!п|а;<)}| . (1.39)

V. I- .1 } IX ? —X

п

/=о

Используя обозначение

/ йпа6(1-^г)Паъ---ап\хг) _ = </>„, (1.40)

^ Хг—Х

он может быть записан в форме:

ЪКп{8) = /172 (1.41)

Г2„(о;1,... ап\Чг) является оператором второго порядка по V4. Производная V' действует на возмущение с индексом г, содержащееся в В'п. Каждый член в выражении В1п{ах,... ап\хг), где г меняется от 1 до п, представляет собой п возмущений (1.27), определённых в точках х\,... хп, где индекс г у возмущения обозначает точку ж*, в которой оно определено, например, Д = Р(х 1). После действия производных V1 на возмущения все точки х* приравниваются к точке интегрирования х в (1.39) и (1.41). Упрощение, получаемое при интегрировании по частям по х, выражается тождеством:

п

= (1.42)

г=1

Оно применяется для перевода форм-факторов третьего порядка в форму, представленную в следующем разделе.

Последняя операция состоит в переводе ряда (1.22) в явно ковариантный вид. Она состоит в замене возмущений (1.27) и вспомогательных метрики и производной (1.23)—(1.24) ковариантными тензорами кривизны (1.12), ковариантной метрикой и ковариантной производной. Все вычисления в ковариантной теории возмущений проводятся с точностью 0[3£п], т. е. до членов п-ой степени по кривизнам включительно (1.12). Нужно заметить, что в ковариантной теории возмущений любой член, выраженный через метрику дсодержит бесконечные степени по кривизнам, а символ 0[9?п] обозначает члены, содержащие п и более степени по кривизнам в явном виде.

Разложение по кривизнам для возмущений (1.27) может быть получено из уравнений (1.25)—(1.26). Их решения в общем виде получаются итерациями из интегральных уравнений в терминах Я^ав и [30]:

1га/3 = 2- 4^ | (УДД+ 2

\ } + 0[п (1.43)

Гм = -1 {[п^, (Чтг^)] + 2(уА1тгЛст) а1ка<7)

+ 2ум ((¿да/3)} + 0[й3]. (1.44)

Символ 1/П обозначает функцию Грина от «плоского» оператора □. Всюду использованы упрощённые обозначения для функций Грина. Предполагается, что они обладают теми же тензорными свойствами, что и функции, на которые они действуют. Это важно помнить при переходе от V к V.

В низшем порядке по кривизнам поведение возмущений на бесконечности найдено в [30]:

= 0(г"2ш+2), г^ = 0(г-2ш+1), (1.45)

где г - геодезическое расстояние от произвольной фиксированной точки, вычисленное по метрике д^. Это поведение справедливо в любом порядке по кривизне.

Поскольку первый член в (1.29) является ведущим на бесконечности членом возмущения V асимптотическое поведение возмущения:

у = 0 (г~2ш+2). (1.46)

Отсюда следует, что интеграл (1.37) сходится, если размерность пространства-времени п > ии /(ш — 1). Поэтому следует проявлять осторожность при работе с данным выражением, а когда оно несправедливо, использовать выражение (1.36). Выражение □ через □ имеет общий вид:

□ = П + СОЯ, У) + 0[3?2], (1.47)

где 0(3?, V) - оператор, линейно зависящий от кривизны. Для скаляра, например, Я, этот переход записывается так:

их = □Х-2(^Ла/3)УаУ/3А: + 0[й2], (1.48)

а для матрицы, например, Р:

их = их-2(^к*р)чаЧрХ-2 (уа^7га/3),уД +о[зг2], (1.49)

и, наконец, для вектора:

ПХ» = иХ^-2 +

+ 2 ЫАщ + чЛ-Щ - У^О + 0[Я?2], (1.50)

аП 0 ^ а □

Правила (1.48)—(1.50) могут дать формулы перехода для смешанного случая, например, для симметричного тензора:

+ 4 (уа^ + У^Л^ - У(^Да/3) + 0[П% (1.51)

и матричнозначного вектора,

+ 2 (чАщ + VАк - У^О VQX'? + + 0[3?2](1.52)

'и Р рПа

Симметризация по индексам /¿¿/ в (1.51) предполагает численный множитель 1/2:

хЬ'уи) = ^(Х^У" + Х"У). (1.53)

1 ч

Вскоре при работе с ядром уравнения теплопроводности нам потребуются другие разложения по кривизнам из работы [30]:

+ + (у^д)(ув1д) + 0[&], (1.54)

- 4(У^Д^) (У^Да„) + + 0[К3], (1.55)

= (1.56)

Тензор Римана не появляется в ковариантной теории возмущений [30], так как он может быть представлен как нелокальный функционал от тензора Риччи, если определены граничные условия для гравитационного поля. Получение этого функционала заключается в решении итерациями дифференциального тождества Бианки:

пяа^ = 1 (у»+ у^уд^ - ууд^9 - у^уд^

- УУ^Д"01 - + уу^д^ + У^УД*"*)

+ д^ д"^ - д^д^

- 4Да(ДДИЛ/3<г - Яа1\х11^а\ (1.57)

Где в символе антисимметризации содержится множитель 1/2. Точность низших порядков по кривизне достаточна, чтобы найти нелокальные взаимоотношения среди кубических инвариантов. Тем не менее, при обсуждении коэффициентов Швингера-ДеВитта в разделе 2.7 потребуется решение для тензора Римана с точность до 0[Д3]. Это решение выглядит следующим образом [54, 34, 55]:

= 1 {1(ууд"0 + уауд^ - - у'уд"'3

- УУ^ - УУД"01 + У УД"" + У^УД"") + 24"(УЛУ[а5^]И) + 2Д£ (У^^ДЯ"!)

- 8(VAV[°^Í$) (VaV^ÍT1") - 8(vV^i^) (VAV^ÍT1'7)

- (VaV1^^) + 8(vAV[aii^) (vCTV[^irlA)

+ 8(VAV^i?№) + 8(VAV^Í^)

+ O [R3]. (1.58)

На правой стороне этого уравнения производится антисимметризация по индексам ¡ли и а/3. Здесь тензор Риччи играет роль источника и определяет тензор Римана с точностью до начальных или граничных условий оператора □. В случае асимптотически плоских пространств с положительной сигнатурой метрики итеративное решение единственным образом определено как функция Грина 1/П с нулевыми граничными условиями на бесконечности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гусев, Юрий Владимирович, 1996 год

Литература

[1] P. B. Gilkey, Invariance theory, the heat equation and the Atiyah-Singer index theorem (Publish or Perish, Wilmington, 1984).

[2] T. Sakai, On eigen-values of Laplacian and curvature of Riemannian manifold, Töhoku Math. J. 23 (1971) 589.

[3] P. Günter and R. Schimming, Curvature and spectrum of compact Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 12 (1977) 599.

[4] P. B. Gilkey, The spectral geometry of a Riemannian manifold, J. Diff. Geom. 10 (1975) 601.

[5] S. A. Fulling and G. Kennedy, The resolvent parametrix of the general elliptic linear differential operator, Transac. Amer. Math. Soc. 310 (1988) 583.

[6] T. P. Branson, P. B. Gilkey, and B. 0rsted, Leading terms in the heat invariants, Proc. Amer. Math. Soc. 109 (1990) 437.

[7] R. P. Feynman, The theory of positrons, Phys. Rev. 76 (1949) 749.

[8] A. N. Vasil'ev, Funkzional'nye metody v kvantovoy teorii poly a i statistike (in Russian, Functional methods in quantum field theory and statistics) (Izdatelstvo Leningradskogo Universiteta, Liningrad, 1976).

[9] S. A. Fulling, Aspects of quantum field theory in curved space-time (Cambridge University Press, Cambridge, 1989).

[10] J. Schwinger, On gauge invariance and vacuum, polarization, Phys. Rev. 82 (1951) 664.

[11] A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, The generalized Schwing er-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity, Phys. Rep. 119 (1985) 1.

[12] B. S. DeWitt, Dynamical theory of groups and fields (Gordon and Breach, New York, 1965).

[13] J. L. Synge, Relativity: the general theory, (North Holland, Amsterdam, 1971).

[14] J. H. Van Vleck, The correspondence principle in the statistical interpretation of quantum mechanics, Proc. Nat. Acad. Sc. USA 14 (1928) 178.

[15] C. Morette, On the definition and approximation of Feynman's path integral, Phys. Rev. 81 (1951) 848.

[16] I. G. Avramidi, A covariant technique for the calculation of the one-loop effective action, Nucl. Phys. B355 (1991) 712.

[17] P. Amsterdamski, A. L. Berkin, and D. J. O'Connor, 'Hamidew' coefficient for a scalar field, Class. Quantum Grav. 6 (1989) 1981.

[18] N. D. Birell and P. C. W. Davies, Quantum fields in curved space (Cambridge University Press, Cambridge, 1982).

[19] R.D. Ball, Chiral gauge theory, Phys. Rep. 182 (1989) 1.

[20] A.E.M. Van de Ven, Two-loop quantum gravity, Nucl. Phys. B 378 (1992) 309.

[21] V. P. Frolov, D. V. Fursaev, and A. I. Zelnikov, Black hole entropy: off-shell vs on-shell, Phys. Rev. D54 (1996) 2711.

[22] G.'t Hooft, An algorithm for the poles at dimension four in the dimensional regularization procedure, Nucl. Phys. B62 (1973) 444.

[23] S. F. Wilk, Y. Fujiwara, and T. A. Osborn, N-body Green's functions and their semiclassical expansions, Phys. Rev. A24 (1981) 2187.

[24] L. S. Brown, Quantum field theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1992).

[25] E. S. Fradkin and G. A. Vilkovisky, S matrix for gravitational field. II. Local Measure; General relationas; Elements of renormalization theory, Phys. Rev. D8 (1973) 4241.

[26] E. S. Fradkin and G. A. Vilkovisky, On the renormalization of quantum field theory in curved space-time, Lett. Nouvo Cim. 19 (1977) 47.

[27] G. A. Vilkovisky, Heat kernel: rencontre entre physiciens et mathématiciens, Publication de l'Institut de Recherche Mathématique Avancée, R.C.P. 25, vol.43 (Strasbourg, 1992) p. 203.

[28] A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, The effective action in quantum field theory: two-loop approximation, Quantum Field Theory and Quantum Statistics, vol. 1, eds. I. A. Batalin, C. J. Isham and G. A. Vilkovisky (Hilger, Bristol, 1987) p. 245.

[29] A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, Beyond the Schwinger-DeWitt technique: converting loops into trees and in-in currents, Nucl. Phys. B282 (1987) 163

[30] A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, Covariant perturbation theory (II). Second order in the curvature. General algorithms, Nucl. Phys. B333 (1990) 471.

[31] A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, Covariant perturbation theory (III). Spectral representations of the third-order form factors, Nucl. Phys. B333 (1990) 512.

[32] A.0.Barvinsky and G.A.Vilkovisky, The generalized Schwinger-DeWitt technique and the unique effective action in quantum gravity, Proc. of the Third seminar on Quantum Gravity, eds. M.A.Markov, V.A.Berezin and V.P.Frolov (World Scientific, Singapore, 1985) p. 141.

[33] G. A. Vilkovisky, The Gospel according to DeWitt, Quantum theory of gravity, ed. S. M. Christensen (Hilger, Bristol, 1984) p. 169.

[34] A. O. Barvinsky, Yu. V. Gusev, G. A. Vilkovisky, and V. V. Zhytnikov, The basis of nonlocal curvature invariants in quantum gravity theory. (Third order), J. Math. Phys. 35 (1994) 3525.

[35] I. G. Avramidi, Covariant algebraic method for calculation of the low-enregy heat kernel, J. Math. Phys. 36 (1995) 5055.

[36] F. H. Molzahn, T. A. Osborn, and S. A. Fulling, Gauge invariant asymptotic expansion for Schrodinger propagators on manifolds, Ann. Phys. (N.Y.) 204 (1990) 64.

[37] S. W. Hawking, Particle creation by black holes, Comm. Math. Phys. 43 (1975) 199.

[38] V. P. Frolov and G. A. Vilkovisky, Spherically symmetric collapse in quantum gravity, Proc. Second Seminar on Quantum Gravity (Moscow, 1981), eds. M.A.Markov and P.C.West (Plenum, London,1983) p.267; Phys. Lett. B106 (1981) 307.

[39] G. A. Vilkovisky, Effective action in quantum gravity, Class. Quantum Grav. 9 (1992) 895.

[40] A. G. Mirzabekian and G. A. Vilkovisky, The model-independent approach to quantum gavity: implications of asymptotic flatness, Phys. Lett. B317 (1993) 517.

[41] A. G. Mirzabekian and G. A. Vilkovisky, Gravitational waves generated by the vacuum stress, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 3974.

[42] A. O. Barvinsky, Yu. V. Gusev, G. A. Vilkovisky, and V. V. Zhytnikov, The one-loop effective action and trace anomaly in four dimensions, Nucl. Phys. B439 (1995) 561.

[43] A. O. Barvinsky, Yu. V. Gusev, G. A. Vilkovisky, and V. V. Zhytnikov, Asymptotic behaviors of 1-loop vertices in the gravitational effective action, Class. Quantum Grav. 12 (1995) 2157.

[44] A. 0. Barvinsky, G. A. Vilkovisky, Yu. V. Gusev, and V. V. Zhytnikov, Covariant curvature expansion and trace anomaly in four dimensions, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity, Discourses in Mathematics and Its Applications, No. 4, ed. by S. A. Fulling (Texas A&M University, College Station, 1995), p. 163.

[45] F. A. Berends and R. Gastmans, Quantum electrodynamical corrections to graviton-matter vertices, Ann. Phys. (N.Y.) 98 (1976) 225.

[46] A. A. Ostrovsky and G. A. Vilkovisky, The covariant effective action in QED. One-loop magnetic moment, J. Math. Phys. 29 (1988) 702.

[47] A. O. Barvinsky and Yu. V. Gusev, Covariant algorithms for 1-loop radiation currents in gauge theories and quantum gravity, Class. Quantum Grav. 9 (1992) 383.

[48] A. O. Barvinsky and Yu. V. Gusev, Heat kernel and one-loop radiation currents by the generating function method, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity, Discourses in Mathematics and Its Applications, No. 4, ed. by S. A. Fulling (Texas A&M University, College Station, Texas, 1995) p. 189.

[49] S. Wolfram, Mathematica: a system for doing mathematics by computer (Addison-Wesley, Reading, 1991).

[50] M. Abell, J.P. Braselton, The Maple V handbook (Academic Press, 1994)

[51] L. Parker and S. M. Christensen, MathTensor. A system for doing tensor analysis by computer (Addison-Wesley, Reading, 1994).

[52] J. M. Lee, Ricci (University of Washington, Seattle, 1995).

[53] F. Dyson, The radiation theory of Tomonaga, Schwinger, and Feynman, Phys. Rev. 75 (1949) 486.

[54] A. O. Barvinsky, Yu. V. Gusev, G. A. Vilkovisky, and V. V. Zhytnikov, Covariant perturbation theory (IV). Third order in the curvature, report of the University of Manitoba (University of Manitoba, Winnipeg, 1993).

[55] A. O. Barvinsky, Yu. V. Gusev, G. A. Vilkovisky, and V. V. Zhytnikov, Asymptotic behaviors of the heat kernel in covariant perturbation theory, J. Math. Phys. 35 (1994) 3543.

[56] A. O. Barvinsky, Yu. V. Gusev, G. A. Vilkovisky, and V. V. Zhytnikov, Covariant nonlocal effective action, Proc. of the Fifth Canadian Conf. on General Relativity and Relativistic Astrophysics, eds. R. B. Mann and R. G. McLenaghan (World Scientific, Singapore, 1994) p. 147.

[57] Т. A. Osborn, R. A. Corns and Y. Fujiwara, Schrödinger semigroups for vector fields, J. Math. Phys. 26 (1985) 453.

[58] H. Weyl, Reine Infinitesimaleometrie, Mathematische Zeitschrift 2 (1918) 384.

[59] H. Weyl, Eine neue Erweiterung der Relativitätstheorie, Annalen der Physik 59 (1919) 101.

[60] M. J. Duff, Twenty years of the Weyl anomaly, Class. Quantum Grav. 11 (1994) 1387.

[61] A. M. Polyakov, Quantum geometry ofbosonic strings, Phys. Lett. B103 (1981) 207.

[62] S. M. Kuzenko and 0. A. Soloviev, Regularized scalar Green function on Riemannian surfaces, JETP Lett. 51 (1990) 256.

[63] D. M. Capper and M. J. Duff, Trace anomaly in dimensional regularization, Nuovo Cimento A23 (1974) 173.

[64] M. J. Duff, Observations of conformal anomalies, Nucl. Phys. B125 (1977) 334.

[65] L. S. Brown, Stress-tensor trace anomaly in a gravitational metric: scalar fields, Phys. Rev. D15 (1977) 1469.

[66] L. S. Brown and J. P. Cassidy, Stress-tensor trace anomaly in a gravitational metric: general theory, Maxwell fields, Phys. Rev. D15 (1977) 2810.

[67] E. S. Fradkin and G. A. Vilkovisky, Conformal off-mass-shell extension and elimination of conformal anomalies in quantum gravity, Phys. Lett. B73 (1978) 209.

[68] S. Deser and A. Schwimmer, Geometric classification of conformal anomalies in arbitrary dimensions, Phys. Lett. B309 (1993) 279.

[69] S. Deser, M. Duff and C. J. Isham, Non-local conformal anomalies, Nucl. Phys. Bill (1976) 45.

[70] A. G. Mirzabekian, G. A. Vilkovisky and V. V. Zhytnikov, Partial summation of the nonlocal expansion for the gravitational effective action, Phys. Lett. B369 (1996) 215.

[71] A. 0. Barvinsky, A. G. Mirzabekian and V. V. Zhytnikov, Conformal decomposition of the effective action and covariant curvature expansion, gr-qc/9510037.

[72] D. A. R. Dalvit and F. D. Mazzitelli, Running coupling constants, Newtonian potential and non localities in the effective action, Phys. Rev. D50 (1994) 1001.

[73] Z. Bern, String based perturbative methods for gauged theories, Recent directions in particle theory, Proceedings of TASI school (Colorado, Boulder, 1992) p. 471; hep-ph/9304249.

[74] E. D'Hoker, D. G. Gagne, World line integrals for fermions with scalar, pseudoscalar and vector couplings, Nucl. Phys. B467 (1996) 272.

[75] M. J. Strassler, Field theory without Feynman diagrams: one loop effective actions, Nucl. Phys. B385 (1992) 145.

[76] P. Haberl, D. Fliegner, M.G. Schmidt, C. Schubert, An improved heat kernel expansion from worldline path integral method, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity, Discourses in Mathematics and Its Applications, No. 4, ed. by S. A. Fulling (Texas A&M University, College Station, 1995), p. 87.

[77] M. G. Schmidt, C. Schubert, On the calculation of effective actions by string methods, Phys. Lett. B318 (1993) 438.

[78] Z. Bern, L. Dixon, D. A. Kosower, Progress in one loop QCD computations, hep-ph/9602280.

[79] L. Alvarez-Gaume and E. Witten, Gravitational anomalies, Nucl. Phys. B234 (1984) 269.

[80] F. Bastianelli and P. van Nieuwenhuizen, Trace anomalies from quantum mechanics, Nucl. Phys. B389 (1993) 53.

[81] S. Ichinose and N. Ikeda, New formulation of anomaly, anomaly formula and graphical representation, Phys. Rev. D53 (1996) 5932.

[82] A. O. Barvinsky, T. A. Osborn, and Yu. V. Gusev, A phase-space technique for the perturbation expansion of Schrôdinger propagators, J. Math. Phys. 36 (1995) 30.

[83] A. Zelnikov, Nonlocal heat kernel with separated points, Phys. Lett. B273 (1991) 471.

[84] A. V. Leonidov and A.I. Zelnikov, On the nonlocal effective action at finite temperature, Phys. Lett. B276 (1992) 122.