Вязкоупругие свойства магнитных жидкостей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Чириков, Дмитрий Николаевич

• Чириков, Дмитрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чириков, Дмитрий Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. НЕРАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕРРОЖИДКОСТИ С ЦЕПОЧЕЧНЫМИ АГРЕГАТАМИ

1.1 Основные допущения

1.2 Стационарное распределение цепочек по размерам

1.3 Поток свободных частиц на цепочку

1.4 Эволюция ансамбля цепочек

2. РЕОЛОГИЯ МОНОДИСПЕРСНЫХ ФЕРРОЖИДКОСТЕЙ

2.1 Математическая модель вязкости магнитной жидкости

2.2 Релаксация вязкости

2.3 Зависимость стационарной вязкости от скорости сдвига

2.4 Зависимость времени релаксации эффективной вязкости от величины изменения скорости сдвига

3. РЕОЛОГИЯ БИДИСПЕРСНЫХ ФЕРРОЖИДКОСТЕЙ

3.1 Постановка задачи и модифицированные уравнения

3.2 Магнитная безразмерная свободная энергия

3.3 Стерическая безразмерная свободная энергия

3.4 Результаты

4. ФЕРРОЖИДКОСТИ С КЛАСТЕРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ

4.1 Эксперименты

4.2 Теория

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вязкоупругие свойства магнитных жидкостей»

ВВЕДЕНИЕ

Магнитных жидкостей в природе не существует, все естественные жидкие и газообразные среды очень слабо взаимодействуют с магнитным полем. Тем не менее, известны многочисленные примеры искусственно синтезированных жидких и дисперсных сред, взаимодействующих с магнитным полем из-за своей способности к намагничиванию.

Магнитные жидкости (феррожидкости) представляют собой коллоидные взвеси однодоменных ферромагнитных частиц в немагнитной жидкой среде. Диаметр частиц в типичных феррожидкостях варьируется в пределах 7-20 нм. Чтобы избежать необратимой коагуляции частиц, они покрываются специальными стабилизирующими слоями. В зависимости от типа феррожидкости, эти слои могут состоять из молекул поверхностно активных веществ, или иметь ионную структуру.

Сразу же после первых сообщений о синтезе феррожидкостей в 60-х годах прошлого века, эти системы привлекли большой интерес исследователей и практиков, благодаря богатому набору уникальных свойств, перспективных для многих современных промышленных и биологических технологий. Классическое описание основ физики и методов синтеза феррожидкостей можно найти в книге [1]. Хорошее описание современного состояния дел в науке о феррожидкостях и направлениях их практического применения дано в сборнике [2].

В США работы над созданием магнитных жидкостей начались в начале шестидесятых годов в связи с выполнением программы полета к Луне и выходом человека на лунную поверхность. Одной из задач по обеспечению полета являлась задача о подаче топлива из баков ракеты в двигатели в условиях невесомости.

Была высказана идея сделать топливо намагничивающимся и управлять им с помощью неоднородного магнитного поля. В решении этой задачи самое непосредственное участие принимал Рональд Розенцвейг, который в на-

стоящее время известен своими работами по получению новых типов магнитных жидкостей, исследованию их свойств и течений, применению магнитных жидкостей в технике. Стоит отметить, что Рональд Розенцвейг первый синтезировал устойчивые феррожидкости.

Учеными многих стран написано несколько тысяч работ о свойствах магнитных жидкостей, их движений, о взаимодействии магнитных жидкостей с магнитным полем, о применении магнитных жидкостей в технике, биологии и медицине, зарегистрированы тысячи авторских свидетельств и патентов об устройствах и приборов различного назначения с использованием магнитных жидкостей.

Широко ведутся работы по магнитным жидкостям в научно-исследовательских институтах и университетах многих стран. Столь большой интерес к этой тематике связан с широкими возможностями использования этих жидкостей для разработок новых технологий, создания новых конструкций машин и приборов различного назначения.

Известны работы по конструированию электромагнитных муфт и тормозов, принцип действия которых основан на свойствах магнитных жидкостей увеличивать под действием магнитного поля свою вязкость и «прилипать» к поверхностям магнитной системы. В качестве несущей жидкости использовалось минеральное или кремнийорганическое масло.

Другая область приложений - магнитная смазка, т.е. магнитная жидкость, сделанная на основе смазочных материалов. При этом достаточно намагнитить смазываемый узел и смазка не будет вытекать.

Безусловно, одним из самых замечательных приложений является применение магнитных жидкостей в медицине для направленного транспорта лекарств, приготовленных на их основе, для диагностики и лечения опухолевых заболеваний.

Таким образом, возможность манипулировать при помощи внешнего поля свойствами и поведением феррожидкостей открывает целый ряд их технического и медицинского применения [3-5]. В частности, магнитовязкий

эффект, т.е. увеличение вязкости под действием магнитного поля, притягивает очень значительный интерес [6,7]. Понимание внутренней физической природы магнитовязкого эффекта и других транспортных явлений в феррожидкостях требует изучения влияния магнитного поля и деформирующего течения на динамику этих систем.

Чтобы создать по возможности полную картину развития и текущего состояния дел в науке о динамических свойствах феррожидкостей, необходимо начать с краткого обзора классических работ в этой области, несмотря на то, что в основном, они появились в 70-ые годы прошлого века.

В ранней макроскопической теории магнитовязкого эффекта М.И. Шлиомис [8] предположил, что намагниченность феррожидкости М определяется не только внешним магнитным полем Н, но и гидродинамическим вихрем П. Предполагая, далее, простейший экспоненциальный закон релаксации намагниченности к ее равновесному значению М в поле Н со временем релаксации т, М.И. Шлиомис сформулировал следующее уравнение феррогидродинамики:

^-[ПхМ]=--^-[Мх[МхН]]-1(м-Ме?). (1)

Здесь <р - объемная концентрация феррочастиц, щ - вязкость несущей жидкости, //0 - магнитная проницаемость вакуума. М.И. Шлиомис определил

время релаксации г как время релаксации вращательной броуновской частицы:

кТ

где Ур - объем частицы.

Как известно, для разбавленных суспензий невзаимодействующих твердых сфер эффективная вязкость определяется по классической формуле Эйнштейна:

(л 5 Л

Благодаря тому, что приложенное поле блокирует вращение частицы в завихренном гидродинамическом потоке, для феррожидкостей в правой части этой формулы появляется добавка, называемая вращательной вязкостью. Самые общие соображения гидромеханики намагничивающихся жидкостей показывают, что эта вязкость должна иметь вид:

М,Н

где ML - компонента намагниченности, перпендикулярная полю Н. В рамках теории [8] эта компонента может быть определена из решения уравнения (1). В результате, формула для вращательной вязкости феррожидкости имеет вид:

3 кЬ{к) тН т( ч / ч 1

' 2 2 + кЬ{к) ^ кТ к ' Хх

Параметр к равен отношению энергии взаимодействия магнитной частицы с полем Н к тепловой энергии системы;

- функция Ланжевена.

Микроскопический подход для определения магнитовязкого эффекта, основанный на анализе динамики магнитной частицы в гидродинамическом подходе, независимо развивался несколькими авторами [9-11]. В рамках этих подходов феррожидкость рассматривается как суспензия невзаимодействующих броуновских сфер с вмороженными в их тела магнитными диполями. Частицы находятся под влиянием внешнего поля Н и гидродинамического течения среды. По-видимому, наиболее точным и допускающим обобщение на системы взаимодействующих частиц, является приближение эффективного поля, также предложенное М.И. Шлиомисом в работе [11]:

(2)

Расчеты показывают, что формулы (1) и (2), полученные в пренебрежении влиянием скорости течения на вязкость среды, приводят к достаточно

близким результатам. Однако при учете такого влияния метод эффективного поля [11] приводит к существенно более точным результатам, чем феноменологическая модель [8]. Поэтому М.И. Шлиомисом было предложено для случаев, когда влияние скорости сдвига на вязкость и другие динамические характеристики среды несущественно, использовать более простой подход [8]. Когда это влияние нужно принимать во внимание, использовать более точный метод [11].

Обе приведенные формулы для вращательной вязкости предсказывают весьма слабый магнитовязкий эффект. На самом деле в соответствии с этими формулами даже для максимальной возможной объемной концентрации частиц, равной их концентрации при плотной упаковке и в случае бесконечно сильного поля, обе формулы дают Г]г < 1,1^0. Таким образом, в соответствии с этими формулами магнитовязкий эффект в феррожидкостях не может, даже теоретически, превышать 10%.

Модели идеальных феррожидкостей проверялись в ряде лабораторных и компьютерных экспериментов. В рамках их применимости эти модели демонстрируют хорошее согласие с экспериментами [12]. Предсказания этих моделей о зависимости эффективной вязкости от частоты приложенного поля (так называемый эффект отрицательной вращательной вязкости) также хорошо соответствуют опытам [13-15] с очень разбавленными средами.

Модели идеальных феррожидкостей с невзаимодействующими частицами очень интенсивно исследовались в литературе [16-29] и до недавних пор доминировали в работах по магнитовязкому эффекту в феррожидкостях.

В последние, примерно, пятнадцать лет стали накапливаться экспериментальные данные (см., например, [2,6,30-32]), демонстрирующие, что модели идеальных феррожидкостей оказываются неприменимыми для интерпретации экспериментов с реальными коммерческими средами. Так, попытка интерпретации экспериментов [33] на основе этих моделей потребовала гипотезы о нереалистически больших концентрациях магнитных частиц. В экс-

периментах [34] был обнаружен рост вязкости под влиянием поля намного больший, чем модели идеальных сред в принципе могут предсказать. В экспериментах [35] с кобальтовыми феррожидкостями было обнаружено увеличение вязкости в поле примерно в 100 раз (вместо максимальных 10 процентов, предсказываемых классическими идеальными моделями). Особо сильный магнитовязкий эффект наблюдается, если поле ориентировано вдоль направления градиента скорости течения. Кроме того, в этих экспериментах наблюдалось сильное уменьшение вязкости с ростом градиента скорости.

Идеальные модели [8,11,36,37] не в силах предсказать такое падение вязкости даже в принципе. Сильная анизотропия реологических свойств, для ориентаций поля вдоль скорости потока, вдоль ее градиента и вдоль направления ее вихря, обнаруженная в экспериментах [38], также, в принципе, не может быть описана моделями невзаимодействующих магнитных частиц. Можно также отметить три физических явления, обнаруженных в экспериментах с реальными феррожидкостями, которые качественно противоречат классическим моделям идеальных систем. Это обнаруженный в экспериментах [39] эффект Вайсенберга, ранее наблюдавшийся только в полимерных и жидкокристаллических средах; зависимость компонент неравновесной намагниченности от симметричной части тензора градиента скорости [40]; индуцированное сдвигом уменьшение степени анизотропии внутренней структуры феррожидкости, обнаруженное в экспериментах [41] по малоугловому рассеянию нейтронов. Обнаруженные сильные магнитовязкие эффекты, а также отмеченные явления свидетельствуют о том, что в реальных феррожидкостях межчастичные взаимодействия могут играть решающую роль при формировании их макроскопических свойств.

Известно, что дипольные и стерические взаимодействия частиц способны изменить и обогатить равновесные свойства феррожидкостей. Обзоры статистических методов и подходов для описания равновесных свойств феррожидкостей можно найти в работах [42-44].

Из-за очень большой математической сложности теоретического исследования динамических свойств феррожидкостей, для этих целей разумно использовать существенно упрощенные модели, в которых бы учитывался минимум внутренних явлений, необходимых для физического понимания исследуемых макроскопических свойств и эффектов. Так, некоторые авторы, для объяснения наблюдаемой макроскопической анизотропии постулируют, что частицы феррожидкости обладают анизотропной формой [38,45,46]. Однако для таких гипотез нет достаточного физического обоснования, особенно если учитывать условия синтеза этих частиц.

Исследования показали, что наблюдаемые сильные магнитовязкие эффекты могут обеспечиваться только появлением гетерогенных агрегатов, состоящих из феррочастиц, объединенных силами магнитного взаимодействия [2,30,31,47]. Известно два типа гетероструктур, возникающих в объемах феррожидкостей - линейные цепочечные кластеры и объемные плотные «капли», состоящие из огромного числа феррочастиц. Теоретические и экспериментальные исследования структур обоих типов можно найти в работах [2,30,31,41-43,47-50]. Следует признать, что на сегодняшний день отсутствует общепринятая теория, которая позволила бы ответить на вопрос, при каких условиях в феррожидкостях возникают цепочечные, а при каких - объемно-капельные микроструктуры.

В работе [51] сильные магнитовязкие эффекты в феррожидкостях и анизотропия их макроскопических свойств объясняется на основе предположения о формировании магнитными частицами цепочечных агрегатов. В этих агрегатах, благодаря магнитным силам, частицы соединяются по принципу голова-хвост. Для максимального упрощения математической стороны дела, цепочки рассматривались как прямые жесткие агрегаты, т.е. их флук-туационная тепловая гибкость игнорировалась. Несмотря на то, что модель цепочек как прямых стержней является сильным упрощением и, строго говоря, может быть обоснована только в весьма узкой области параметров системы [52], она оказалась способной описать сильный магнитовязкий эффект. В

ряде случаев эта модель приводит и к хорошим количественным согласиям с экспериментами. Нужно отметить, что до сих пор не удалось развить модель динамических свойств феррожидкостей, которая учитывала бы флуктуаци-онную гибкость цепочек.

В последние годы было проведено довольно много экспериментальных, теоретических и компьютерных исследований равновесной намагниченности и структуры феррожидкостей. Влияние магнитодипольного взаимодействия частиц на равновесную намагниченность было исследовано в рамках нескольких теоретических подходов. Сравнение этих теорий с компьютерными моделями и лабораторными экспериментами демонстрирует вполне удовлетворительную точность этих подходов. Интересную и очень полезную информацию о внутренней структуре феррожидкостей дают эксперименты по малоугловому рассеянию нейтронов [53]. Количественное сравнение экспериментов по малоугловому рассеянию рентгеновских лучей в водных растворах очень слабо взаимодействующих частиц с теорией было успешно осуществлено в работе [54].

Существование цепочечных структур в феррожидкостях с сильными магнитодипольными взаимодействиями было ясно продемонстрировано в компьютерных моделях (см., например [55]). Необходимо отметить, что в этих экспериментах цепочки были скорее гибкими квазиполимерными агрегатами, чем жесткими стержнями.

Благодаря недавно синтезированным кобальтовым феррожидкостям [56], частицы которых сильно взаимодействуют друг с другом и имеют очень узкий разброс по размерам, теоретическая интерпретация экспериментов по реологии и внутренней структуре феррожидкостей существенно упрощается. В этих феррожидкостях наблюдался гигантский магнитовязкий эффект, который на несколько десятичных порядков величины превосходит предсказания классических теорий идеальных феррожидкостей. Цепочечная модель способна описать этот эффект, хотя бы по порядку величины. В рамках этой модели также могут быть объяснены экспериментально обнаруженное

уменьшение вязкости при увеличении скорости течения и наблюдаемое в экспериментах по малоугловому рассеянию уменьшение внутренней анизотропии феррожидкости при увеличении градиента скорости ее течения [31]. Для достижения этого в модели [31] учитывается, что в условиях гидродинамического течения цепочки, длина которых превосходит некоторую максимальную длину, разрушаются вязкими силами, а потому не могут существовать. Максимально возможная длина цепочки определяется балансом магнитных и вязких сил. С учетом этой модификации цепочечная модель, по-видимому, является лучшей из известных моделей для описания реологических свойств феррожидкостей с сильно взаимодействующими частицами. Однако были бы очень желательные прямые эксперименты по наблюдению и исследованию цепочечных структур в феррожидкости, а также развитие экспериментальных методов, позволяющих провести количественное сопоставление теоретических результатов и экспериментов по цепочечным структурам в объемах феррожидкостей.

Для феррожидкостей с умеренно и слабо взаимодействующими частицами цепочечная модель неприменима. Но для этих систем недавно были предложены модели, основанные на методах вириального разложения и самосогласованного приближения среднего поля [57-59]. Обзор недавних исследований реологических свойств феррожидкостей, основанных на макроскопической точке зрения представлен в [60].

В последние годы были предприняты значительные усилия для того, чтобы в теоретических моделях феррожидкостей учесть эффекты полидисперсности частиц. Экспериментальные исследования демонстрируют сильное влияние полидисперсности на намагниченность и динамику феррожидкостей [61,62]. Сильное изменение равновесной намагниченности и структуры системы дипольных частиц при изменении процентного содержания относительно больших и малых частиц было обнаружено в компьютерных моделях [63]. Обобщения цепочечной модели для учета эффектов полидисперс-

ности были выполнены в [31,64], с целью учета межцепочечных взаимодействий - в [65].

Несмотря на сильные предположения, цепочечная модель оказывается способной отразить наиболее существенные особенности динамики реальных феррожидкостей с сильно взаимодействующими частицами. Преодоление этих упрощений является очень важной и вызывающей задачей. Компьютерные исследования, которые до недавних пор также были ограничены слабо-взаимодействующими системами, также способны оказать существенную помощь в понимании природы динамических свойств феррожидкостей.

В экспериментах [32,39] обнаружены реологические эффекты, которые, наряду с сильными магнитовязкими свойствами феррожидкостей, в принципе не могут быть объяснены в рамках классических одночастичных моделей. Структуры обоих типов, как цепочки, так и плотные капли, могут вызывать сильные магнитореологические эффекты [47].

Существующие теории магнитореологических свойств в феррожидкостях, в основном, посвящены стационарным течениям, в которых размер и ориентация микроагрегатов однозначно определяются составом феррожидкости, величиной приложенного магнитного поля, а также градиентом скорости макроскопического течения среды.

Однако, как с общенаучной, так и с практической точек зрения, большой интерес представляет исследование течения феррожидкостей в условиях, когда либо приложенное поле, либо градиент скорости движения меняются со временем. Эксперименты [32] показали, что типичные коммерческие феррожидкости обладают выраженными вязкоупругими свойствами, а время их реологической релаксации при изменении градиента скорости варьируется от десятых долей секунды до десяти и более секунд. Эти значения времени релаксации примерно на 4-5 десятичных порядков больше, чем предсказывают классические теории [36,37] идеальных феррожидкостей с невзаимодействующими частицами.

Попытка построения модели вязкоупругих свойств феррожидкостей с цепочными агрегатами была предпринята в работах [66,67]. В этих работах учитывалось, что каждому значению градиента скорости течения феррожидкости отвечает определенная величина угла отклонения оси цепочки от направления магнитного поля. Величина этого угла определяет величину макроскопического вязкого напряжения, следовательно, вязкости феррожидкости. При изменении градиента скорости изменение ориентации цепочки происходит не мгновенно, а за какое-то конечное время. Именно это время поворота цепочек в модели [66,67] определяет релаксационную связь между напряжением и градиентом скорости течения, т.е. вязкоупругость феррожидкости. Следует признать, что хотя время гидродинамической релаксации, оцениваемое по этой модели, существенно ближе к результатам экспериментов [32] чем время, предсказываемое классическими моделями [36,37], все же оно на 1-2 десятичных порядка меньше времени, измеренного в этих экспериментах.

Феноменологические модели нестационарного вязкоупругого течения с цепочными агрегатами были предложены в работах [68,69]. Однако в этих моделях микроскопические параметры системы (например, характерная длина цепочек и т.д.) из микроскопических соображений не вычисляются. В работе [69] вязкоупругость ассоциируется с упругим поведением магнитной жидкости, возникающим, когда цепочки магнитных частиц перекрывают канал течения феррожидкости и соединяют его стенки. Такие явления, действительно наблюдаются в феррожидкостях, когда приложенное сдвиговое напряжение очень мало. Однако в предлагаемой диссертации рассматриваются вязкоупругие эффекты при развитом нестационарном режиме течения магнитной жидкости. Поэтому статические квазиупругие эффекты находятся вне ее рамок.

Полуфеноменологический подход использовался для теоретического описания движения магнитной жидкости в трубе [70]. В этой работе предполагалось, что реологические эффекты в магнитной жидкости обусловлены

прямыми стержнеобразными цепочными агрегатами. Все цепочки полагались одинаковыми, их длина известной, а реологические характеристики феррожидкости определялись на основе статистической гидромеханики суспензий стержнеобразных частиц [71].

Однако, в силу того, что наночастицы феррожидкости вовлечены в интенсивное броуновское движение, размер цепочек имеет статистический характер, а распределение цепочек по размерам зависит от приложенного магнитного поля, градиента скорости течения и других параметров. Такие зависимости могут быть определены только на основе микроскопического анализа формирования - разрушения цепочек.

Феноменологические модели предлагают макроскопические уравнения динамического поведения феррожидкостей, но не позволяют оценивать характерные параметры (эффективная вязкость, время релаксации и т.д.), которые фигурируют в этих уравнениях, также как и зависимость этих параметров от приложенного поля, скорости сдвига и т.д. Более того, феноменологический подход может привести к конструктивным результатам только тогда, когда математические формы уравнений для напряжения и намагничивания феррожидкости известны. Однако, для феррожидкостей нелинейные функциональные формы отношения между этими величинами априорно неизвестны. Поэтому, только микроскопический анализ способен раскрыть внутренние механизмы формирования макроскопического нелинейного реологического поведения феррожидкостей и дает возможность получить макроскопические уравнения, описывающие это поведение.

Большинство теоретических работ, посвященных внутренним структурам в феррожидкостях и их влиянию на макроскопические свойства этих систем, основаны на предположении о том, что все частицы феррожидкости имеют одинаковые размеры. Однако реальные феррожидкости всегда полидисперсны, часто с широким распределением по размерам частиц [1,6]. Очевидно, полидисперсность феррожидкостей может существенно сказываться

реологии, однако учет полидисперсности феррожидкости усложняет математическую сторону теории их равновесных и динамических свойств.

Целью настоящей работы является теоретическое исследование и объяснение физической природы вязкоупругих эффектов в феррожидкостях, а также анализ влияния полидисперсности на реологические свойства этих систем. Представляется вероятным, что измеренное в [32] время релаксации вязкого напряжения в феррожидкости определяется кинетикой формирования - разрушения внутренних гетерогенных структур в этих системах после изменения градиента скорости их течения. Насколько известно, влияние эволюции внутренних гетерогенных структур в магнитных жидкостях на их реологические свойства не исследовано. Необходимо отметить, что для описания эволюции цепочечных и объемных (капельных) структур требуются различные подходы. В предлагаемой работе рассматриваются линейные цепочки, их эволюция и влияние цепочек на вязкоупругие эффекты в феррожидкостях.

Работа выполнена при поддержке грантов Министерства Науки и Образования РФ, проекты 2.1.1/2571 и 2.1.1/1535, Федеральной целевой программы, 02.740.11.0202, 02-740-11-5172, ГК-330 и ЫК-43Р(4), грантов РФФИ 10-01 -96002-Урал, 10-02-96001-Урал, 10-02-00034.

Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения. Первая глава посвящена статистической теории феррожидкости с цепочечными агрегатами. В этой главе рассматриваются механизмы роста и разрушения цепочек, оценивается максимальная длина цепочек при заданной скорости сдвига, стационарное распределение цепочек по размерам. Дается вывод системы кинетических уравнений Смолуховского, описывающих эволюцию ансамбля цепочек, определяются начальные условия для этой системы.

Вторая глава посвящена гидромеханике феррожидкостей с цепочками. При использовании микроскопического подхода, изложенного в первой главе, определяются макроскопические реологические характеристики феррожидкости (такие как вязкость, время вязкоупругой релаксации). Исследуется

зависимость стационарной вязкости и времени релаксации от магнитного поля и скорости сдвигового течения феррожидкости.

В третьей главе изучается влияние полидисперсности феррожидкостей на их вязкоупругие свойства. Для максимального упрощения анализа рассматривается бидисперсная модель феррожидкости, состоящая из двух фракций относительно больших и малых частиц.

В четвертой главе предлагается модель реологических свойств феррожидкостей с кластерными частицами, состоящими из однодоменных ферромагнитных наночастиц, помещенных в полимерную матрицу.

Общий объем диссертации 102 страницы машинописного текста. Она содержит 38 рисунков и 105 ссылок на литературные источники.

Результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры математической физики УрГУ, 14-ой Международной Плесской научной конференции по нанодисперсным магнитным жидкостям (7-10 сентября 2010, г. Плес, Россия); Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (26 - 27 ноября 2010, г. Пермь, Россия); XVII Зимней школе по механике сплошных сред (28 февраля - 3 марта 2011, г. Пермь, Россия); XXI Российской молодежной научной конференции «Проблемы теоретической и экспериментальной химии» (19 - 23 апреля 2011, г. Екатеринбург, Россия); XI Научно-практической конференции «Дни науки - 2011. Ядерно-промышленный комплекс Урала» (27 - 28 апреля 2011, г. Озерск, Россия); 7th Annual European Rheology Conference (10 - 14 мая 2011, г. Суздаль, Россия); Moscow International Symposium of Magnetism (21 — 25 августа 2011, г. Москва, Россия).

1. НЕРАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕРРОЖИДКОСТИ С ЦЕПОЧЕЧНЫМИ АГРЕГАТАМИ

1.1 Основные допущения

В данной главе предлагается простейшая модель кинетики роста цепочечных агрегатов феррожидкости, вовлеченной в течение простого сдвига. Ранее, в работе [72] была предложена аналогичная модель, основанная на кинетических уравнениях Смолуховского для функции распределения по размерам частиц. Однако эта модель развита для неподвижных систем, в ней нет учета разрушения цепочек гидродинамическими силами. Кроме того, уравнения Смолуховского были выведены для намагничивающихся частиц, что типично для магнитореологических суспензий. В изучаемых здесь феррожидкостях модуль магнитного момента частиц не зависит от внешнего магнитного поля, и максимальная длина цепочки ограничивается скоростью сдвига (при сильной скорости сдвиги цепочки разламываются пополам). Поэтому уравнения Смолуховского должны быть изменены. Результаты этой главы были получены в наших работах [73-82].

При анализе кинетики роста (разрушения) цепочек и их влияния на макроскопические реологические свойства феррожидкости, будем основываться на результатах [73-82] и приближениях, использованных ранее в работах [31,47,51,66,67]. Несмотря на то, что эти приближения очень сильные, они, все же, позволяют получить оценки для стационарной вязкости феррожидкости, неплохо соответствующие экспериментам [2,6,30-32,35].

Во-первых, необходимо иметь в виду, что все реальные феррожидкости полидисперсны, часто с широким распределением по размерам частиц. Типичные диаграммы распределения по размерам частиц в феррожидкостях можно найти в [6]. Учет существования большого числа фракций частиц с различными размерами делает задачу об определении внутренней микроструктуры феррожидкости чрезвычайно тяжелой. Для того чтобы максимально упростить вычисления и получить физические результаты в прием-

лемом виде, в этой главе рассматривается модель монодисперсной суспензии ферромагнитных сфер. Известно (см., например, [6]), что магнитовязкие эффекты в феррожидкостях обеспечиваются фракциями наиболее крупных частиц, способных образовывать гетерогенные структуры (цепочки, капли и т.д.). В развиваемой модели рассматриваются достаточно крупные частицы, способные образовывать цепочечные структуры. Предполагается, что их объемная концентрация в среде мала, не более полутора процентов. Известно [6,37], что магнитный момент т достаточно крупной ферромагнитной частицы вморожен в ее тело - при динамических процессах частица поворачивается (вращается) вместе со своим магнитным моментом. Предполагается, что это условие выполнено.

Во-вторых, пренебрегается существованием других гетерофазных структур, кроме цепочных агрегатов. В реальности кроме цепочек могут существовать и другие конгломераты феррочастиц (например, кольцевые или капельные [50]).

В-третьих, игнорируется флуктуационная гибкостью цепочек, они рассматриваются как прямые стержнеобразные агрегаты. Магнитные моменты частиц в каждой цепочке предполагаются выстроенными вдоль ее оси. В частности, это означает, что взаимодействие частиц друг с другом в цепочке предполагается существенно более сильным, чем их взаимодействие с внешним магнитным полем, причем энергия взаимодействия близко расположенных частиц гораздо больше тепловой энергии кТ. Последнее условие является необходимым для появления каких бы то ни было гетерогенных структур в феррожидкости.

В-четвертых, предполагается, что феррожидкость настолько разрежена, что можно пренебречь взаимодействием между цепочками, в том числе взаимодействием одиночных частиц с цепочками и друг с другом. Нужно отметить, что для рассматриваемой задачи, когда образование цепочек приводит к существенному росту вязкости феррожидкости, модель невзаимодействующих цепочек представляется весьма сильным приближением. Однако,

математически корректная, или надежно экспериментально апробированная теория, позволяющая учитывать гидродинамические взаимодействия вытянутых частиц (цепочек) отсутствует. В то же время, опыт использования приближения невзаимодействующих цепочек применительно к задачам о реологических эффектах в магнитных суспензиях разной природы (см., например, [6,31,47,53,83-85]), показывает, что приближение невзаимодействующих агрегатов, приводит к разумным совпадениям с экспериментами, по крайней мере, по порядку величины. Это дает основание надеяться, что и при описании нестационарных релаксационных явлений в полидисперсных средах такой подход позволяет учесть принципиально важные моменты микроскопического формирования макроскопических вязкоупругих явлений в феррожидкостях.

Необходимо отметить, что, несмотря на перечисленные выше сильные упрощения, используемая модель прямых стержней привела к оценкам реологических свойств феррожидкостей [66,67,73-82], которые согласуются с результатами экспериментов.

1.2 Стационарное распределение цепочек по размерам

Цепочечные агрегаты являются специфическими гетерогенными флук-туациями плотности. Поэтому число частиц в цепочке является случайной величиной, определяемой конкуренцией между магнитным притяжением частиц, их броуновским движением и, в случае макроскопического сдвигового течения, гидродинамическими силами, разрывающими цепочку. В макроскопической неподвижной среде максимальное число частиц в цепочке, теоретически, равно бесконечности. В деформационной движущейся среде слишком длинные цепочки разрываются гидродинамическими силами.

Рассмотрим случай, когда магнитное поле, ориентирующее оси цепей, направлено вдоль градиента скорости потока. Для того чтобы вычислить максимальную длину цепочки в феррожидкости как функцию скорости сдви-

га, предполагается, что разрыв цепочки происходит посередине [6,31]. Таким образом, магнитная сила Рт, удерживающая две частицы вместе, вычисляется следующим образом (здесь для Рт используется метод ближайших соседей, учитывая магнитодипольное взаимодействие только непосредственно соседних частиц в цепочке):

Здесь е - безразмерная, отнесенная к тепловой энергии кТ, энергия магни-тодипольного взаимодействия двух контактирующих частиц; ш - магнитный момент частицы; - ее диаметр; /л0 - магнитная проницаемость вакуума. Ясно, что цепочки могут возникать, только если е заметно больше единицы, что далее и будем учитывать.

С другой стороны, так как цепочки подвергнуты сдвиговому течению, вязкая сила .?с, действующая на цепочку и вызывающая ее разрушение, может быть оценена так (см. рис. 1.1):

Здесь % - вязкость несущей жидкости; у - градиент макроскопической скорости течения феррожидкости.

Для разлома цепочки необходимо чтобы вязкая сила была больше или равна магнитной силе Гт. Чтобы оценить максимальное число частиц в цепочке пс нужно приравнять магнитную и вязкую силу, после элементарных преобразований получаем:

Здесь Вг - коэффициент вращательной диффузии частицы.

Следует отметить, что оценка пс получена в предположении, что цепочка ориентирована вдоль магнитного поля и не отклоняется от него под действием сдвигового течения. Отклонения цепочек учитывались в работах

„ екТ /иа т2 = 3-, 8= ,

, о -

Ы 2 71 с1 кТ

[83,86], однако в рамках этого подхода максимальная длина цепочек в феррожидкости получается нереалистически большой. Дело в том, что модель, учитывающая отклонение цепочек, справедлива для не броуновских агрегатов. Так как в диссертации рассматриваются нанодисперсные магнитные жидкости, то все цепочки совершают интенсивное броуновское движение, поэтому в дальнейшем будет использоваться оценка [6,31] для пс.

Рис. 1.1. Модель цепочки при сдвиговом течении.

Обозначим gn - число п -частичных цепочек в единице объема среды. Если конвективное движение частиц вблизи цепочек пренебрежимо слабо по сравнению с их диффузионным движением, то формирование и дезагрегирование цепочек происходит, в основном, аналогично тому, как это происходит в неподвижной равновесной среде. Поэтому стационарная функция распределения gn может быть найдена так же, как и равновесная функция, с учетом ограничения на максимальную длину цепочки. Равновесная же функция распределения должна соответствовать принципу минимума свободной энергии среды.

Как отмечалось выше, предполагается, что концентрация частиц в феррожидкости мала. Это позволяет, по крайней мере, в первом приближении,

пренебречь взаимодействием цепочек друг с другом. Используя теорию Френкеля [87], а также сформулированные выше допущения, запишем свободную энергию Р единицы объема ансамбля невзаимодействующих цепочек в следующем виде:

? = + » = (1.1)

п=\ V е У о

Первый член в скобках (1.1) является энтропией газа цепочек, соответствующей их поступательному движению в пространстве, /п - безразмерная внутренняя свободная энергия цепочки, определяемая взаимодействием частиц друг с другом и с внешним полем.

Для расчетов /п используется метод ближайших соседей, учитывая магнитодипольное взаимодействие только непосредственно соседних частиц в цепочке.

Безразмерная внутренняя свободная энергия «-частичной цепочки запишется:

тН

кТ

(" Л /

ехр

V /=1 V

кТ

" РТ ¿Й-М+1

(1.2)

П(2^П £

Здесь Н - вектор магнитного поля; модуль безразмерного параметра к есть отношение энергии взаимодействия частицы с полем к тепловой энергии кТ среды; уг. - единичный вектор, задающий ориентацию магнитного момента

/ -ой частицы; С/ - потенциал диполь-дипольного взаимодействия двух фер-рочастиц.

Для расчета [51] необходимо условиться о термине «цепочка». Прежде всего, ясно, что если магнитные частички несжимаемые, то вероятность образования агрегата из физически контактирующих частиц равна нулю, поскольку любая флуктуация разрушает точечный контакт частичек. Формально это означает, что если в (1.2) потребовать г; г+1 = 2а, то в результате ин-

тегрирования получаем Zn = О и fn = оо. Далее под цепочкой будем понимать линейную последовательность частиц, соседние из которых находятся друг от друга настолько близко, что энергия их магнитного взаимодействия больше тепловой энергии системы. Такое определение обеспечивает достаточно сильную корреляционную связь между положениями и ориентациями.

В силу выбранного определения цепочки, интегрирование по г.у в (1.2)

нужно вести по объему о0, равному половине объема, внутри которого энергия магнитодипольного взаимодействия /-ой частицы с / + 1-ой по порядку величины превышает кТ. Интегрировать нужно именно по половине этого объема, так как при фиксированном положении z-ой частицы / + 1-ая не должна входить в область, принадлежащую / -1 -ой.

Для дальнейших рассуждений удобно ввести безразмерный параметр межчастичного взаимодействия у = е / 2. Наиболее выгодное положение частиц, обеспечивающее минимум суммарной энергии их взаимодействия в ли-

U V/ W /—■

неинои цепочке, — непосредственный контакт по типу «голова - хвост» и образование прямого стержнеобразного агрегата. Учитывая, что по сделанному выше ограничению s »1, е » к, и учитывая также то, что доступный объем для частички, принадлежащей цепочке, равен и0, аналогично тому, как это делается в [88], получаем:

ехр(£(«-1))Гafe^lfiV |ехр(кот>|

4ж \ и

Поскольку т »1, с логарифмической точностью:

я ехр(£(»-1)) ^ я ехр(е(в-1))5ИМ

4 я * Аж юг

Это приближение и будет использовано в дальнейшем. Из (1.2) получается:

s(n- l)+ln—^ '

(1.3)

кп

Первый член в скобках (1.3) соответствует энергии магнитодипольного взаимодействия частиц в цепочке, оцененной в приближении ближайших со-

седей, второй - ланжевеновской свободной энергии магнитной цепочки, рассматриваемой как единый кластер с магнитным моментом равным тп. Подставляя (1.3) в (1.1), получаем:

я V

оп

И=1

1п-

е\п- 1)+1п—*

КП

(1.4)

Стационарная функция распределения по размерам цепочек определяется из условия минимума свободной энергии (1.4) при учете условия нормировки:

с ф ^ о

(1.5)

Здесь с - полное число частиц в единице объема, ср - их объемная концентрация, определенная с учетом поверхностных слоев на частицах.

Функция распределения, удовлетворяющая функции (1.5), запишется:

^ (1.6) о кп

где Я это множитель Лагранжа. Для того чтобы определить его, необходимо подставить (1.6) в (1.5). После простых преобразований (см. [66]) получается трансцендентное уравнение относительно Я:

ХехрС,)1-^;^ -ХехрЫ1;^-^ =2^ехр(£), 1-Хехр(лг) 1-Хехр(-/г)

где X = ехр(е-Я). Принимая во внимание это обозначение, (1.6) можно переписать как:

8 п

V кп

Если магнитное поля равно нулю, то трансцендентное уравнение относительно Х0 перепишется следующим образом:

—"¡-У =уехр(£)'

с функцией распределения:

и

Если скорость сдвига у = 0, то неизвестный параметр X определяется по следующей формуле [67]:

1.3 Поток свободных частиц на цепочку

Кинетика роста цепочек определяется балансом потока частиц на цепочку и «испарения» частиц из цепочки за счет их теплового движения. Здесь для описания потока ферромагнитных частиц на цепочку будут применяться основные идеи модели [72], успешно использованной для описания кинетики роста цепочек поляризующихся частиц.

В рамках этой модели предполагается, что рост цепочек происходит, в основном, по механизму агрегирования «цепочка-частица». Механизмом агрегирования «цепочка-цепочка» в данном случае пренебрегается. Обоснованием этого служит то, что, во-первых, количество одиночных частиц в феррожидкости для реалистических ситуаций больше, чем число цепочек; во-вторых, гидродинамическая подвижность частиц существенно больше подвижности цепочек. Все это обеспечивает то, что поток одиночных частиц на цепочку существенно больше потока на нее других цепочек. Кроме того, предполагается, что частицы присоединяются только к полюсам цепочки, пренебрегая, таким образом, их присоединением «сбоку». Это допущение оправдано тем, что при боковом агрегировании частиц, магнитный момент которых, как и момент цепочки, направлен параллельно приложенному полю, частицам нужно преодолеть потенциальный барьер, высота которого имеет порядок величины skT. Поскольку формирование цепочек, способных повлиять на физические свойства феррожидкости, возможно только когда

х = 2ych(fc)+ зЪ(к)-42усЪ(ф shfc)]2 - 4/ Если магнитное поле отсутствует, то:

Х =

, у = K(pexp(s).

параметр а существенно больше единицы, вероятность диффузионного преодоления этого барьера мала. Намного более вероятно то, что частицы, под действием магнитных сил, притянутся непосредственно к полюсам цепочки. Следует отметить, что, как показывает анализ [89], очень длинные цепочки термодинамически неустойчивы - они должны трансформироваться в плотные объемные капли. Предполагается, что вероятность появления таких длинных цепочек ничтожно мала.

Ближайшей задачей будет определение потока частиц на цепочки, т.е. частиц, присоединяющихся к цепочкам за единицу времени. Поток частиц, испаряющихся из цепочек, приводящий к их дезинтеграции, будет рассмотрен позже.

Рассмотрим цепочку, состоящую из п частиц, окруженную свободными частицами (рис. 1.2).

Н

Рис. 1.2. Схематическое изображение цепочки и взаимодействующей с ней свободной частицы.

Обозначим ст числовую концентрацию свободных частиц (их число в единице объема) на бесконечном расстоянии от цепочки, с(г) - их концентрацию в точке г пространства. Чтобы не превышать точности расчета энергии взаимодействия частиц в цепочке, соответствующей приближению соседей, учитывается взаимодействие свободной частицы только с ближайшей к ней концевой частицей цепочки. Как показано в [72], в этом приближении магнитное притяжение свободной частицы к цепочке подобно притяжению к одиночной частице.

Рассмотрим такую частицу, моделирующую цепочку, и помесим в ее центр начало системы координат. Удобно использовать сферическую систему координат с полярной осью, направленной вдоль приложенного поля Н. Эта система координат проиллюстрирована на рис. 1.2.

Поскольку предполагается, что концентрация частиц в феррожидкости мала, можно пренебречь взаимодействием свободных частиц со всеми цепочками кроме рассматриваемой. Тогда уравнение диффузии свободных частиц вблизи этой цепочки можно записать в виде:

^ = V[D(r)Vc]+V[D(r>V^(r)], D(r) = DMr), v(r) = (1.8)

ot 4 г

Здесь udd - отнесенная к кТ энергия диполь-дипольного взаимодействия фиксированной и свободной частицы; D0 - коэффициент диффузии изолированной частицы; у/(г) - поправка, вызванная гидродинамическим взаимодействием между свободной и фиксированной частицами [90].

Граничные условия этой задачи:

(1.9)

с->0, F —^0.

Первое из этих условий имеет очевидный смысл; второе означает, что при соприкосновении с цепочкой свободная частица исчезает, превращаясь в связанную.

Уравнение (1.8) не имеет точного аналитического решения. Чтобы найти приближенное решение, как и в [91], используем следующие приближения. Во-первых, учтем, что время, необходимое для установления стационарного распределения свободных частиц вблизи цепочки (т.е. вблизи моделирующей ее частицы), существенно меньше времени, требуемого для изменения концентрации свободных частиц сК. В этом случае уравнение (1.8) можно записать в квазистационарном приближении:

V[Z)(r)Vc] + V[D(r)cVudd (г)] = 0. (1.10)

Во-вторых, потенциал udd зависит не только от расстояния г до фиксированной частицы, но и от угла 0 между радиус-вектором г частицы и полем Н. Это обстоятельство сильно затрудняет решение задачи (1.10). Чтобы получить физически приемлемые оценки для потока частиц на цепочку, как и в [39], усредним потенциал udd по углам в, соответствующим конусу притяжения между частицами. Средняя величина усредненного потенциала равна:

Как известно, потенциал диполь-дипольного взаимодействия частиц с магнитными моментами 1115 и ш2 может быть записан так:

Учет взаимодействия частицы с цепочкой сильно осложняется тем, что как частицы, так и цепочка, вообще говоря, испытывают броуновское вращательное движение. Поэтому направления их магнитных моментов, флуктуирует. Одновременный учет пространственной, вращательной диффузии частицы и цепочки и их взаимодействия представляет собой очень сложную математическую задачу. Для максимального упрощения расчетов будем считать, что моменты частицы и цепочки однозначно направлены вдоль приложенного поля. Конечно, такое приближение переоценивает влияние магнитного поля на кинетику роста цепочки, однако в достаточно сильных полях (тг>1), когда только и можно ожидать существенных магнитовязких эффектов, отклонения магнитных моментов частиц от поля малы. Поэтому ошибка сделанного приближения не может быть большой. В конечном итоге, справедливость этого приближения определяется соответствием результатов расчетов и экспериментальных данных.

^uM{r,e)d eos в

(1.11)

-i

Мо L (тДпЧг) (щ™2)

АжкТ г5 г3

(1.12)

Поскольку магнитные моменты частиц предполагаются ориентированными вдоль поля Н, в формуле (1.12) можно положить т1=т2=т:

JUQ т2 3cos26>-l ( л

Udd - , , rr 3 •

4л- кТ г

Учитывая направление этих моментов вдоль поля и подставляя (1.13) в (1.11), после несложных вычислений получаем:

Здесь x = r/d - безразмерное расстояние между свободной частицей и концевой частицей цепочки.

Именно эта средняя величина, зависящая только от расстояния г до фиксированной частицы, будет использоваться в уравнении (1.10) вместо истинного потенциала udd (г). В этом приближении вместо (1.10) имеем:

V[D(r)Vc]+V[D(r)cV^(r)]=0. Такое упрощение позволило авторам работы [39] достаточно точно описать эксперименты по кинетике агрегирования поляризующихся частиц.

В сферической системе координат с началом в центре фиксированной частицы последнее уравнение имеет следующий вид:

Э

дг

D0i//(r)r

Гдс+сдим(г)

= 0. (1.14)

дг дг

Уравнение (1.14) с граничными условиями (1.9) непосредственно приводит к следующему выражению для потока J свободных частиц на цепочку [92]:

, 4тЮгД „т °°рехрКим) 7 3 = А = (1.15)

Ж { 1//(х)х

1.4 Эволюция ансамбля цепочек

Перейдем теперь к описанию эволюции ансамбля цепочек. Изменение с течением времени функции распределения £и происходит за счет присоединения частиц к цепочкам и их «испарения» из цепочек. Как отмечалось,

предполагается, что присоединение частиц происходит только к краевым частицам цепочек. Будем также предполагать, что «испаряются» только краевые частицы. Действительно, поскольку краевая частица слабее связана с цепочкой, чем внутренняя, вероятность ее испарения выше. В результате захвата свободных частиц, цепочки, состоящие из п -частиц, трансформируются в цепочки, состоящие из п +1 частиц.

В рамках рассматриваемого механизма роста и разрушения цепочек, можно прийти к следующему кинетическому уравнению Смолуховского:

Здесь А это коэффициент захвата, определенный в (1.15), а Вп - коэффициенты, определяющие интенсивность десорбции частиц из цепочки. Эти коэффициенты будут оценены ниже. Этот тип уравнения уже использовался в другом контексте для полимеров, но с существенным отличием, связанным с тем, что полимерная цепочка может порваться в любом месте [93].

Первый член в правой части (1.16) определяет кинетику изменения концентрации п -частичных цепочек за счет присоединения свободных частиц к ним, а также к п -1 частичным цепочкам, второй - за счет десорбции одиночных частиц из цепочек с п +1 и п частицами. Выбор формы коэффициентов при gn+l и gn в десорбционном члене (1.16) в виде дробей сделан ради удобства.

Уравнение для gx имеет следующую форму:

В (1.17) учитывается, что, во-первых, что когда две частицы образуют дублет, их относительная гидродинамическая подвижность примерно вдвое больше относительной подвижности между индивидуальной частицей и неподвижной цепочкой; во-вторых, в момент, когда дублет исчезает, появляются две новые одиночные частицы. Уравнения, аналогичные (1.16) и (1.17),

(1.16)

2

(1.17)

были использованы в работе [72] при анализе эволюции ансамбля цепочек поляризующихся частиц. Отличие уравнений (1.16) и (1.17) и использованных в [72] состоит в том, что в них учитывается зависимость коэффициентов десорбции Вп от числа частиц в цепочке.

Для числа цепочек с максимально возможным числом частиц пс можно написать:

ds В ,

-^- = Agnc_lgl-B1^±gnc. (1.18)

пс

Система уравнений (1.16), (1.17), (1.18) является замкнутой, и автоматически удовлетворяет следующему условию:

И=1

где С — постоянная величина. Из физических соображений следует, что она должна быть равной общей концентрации cp/v частиц в суспензии.

Очевидно, стационарное решение g°n системы уравнений (1.16), (1.17), (1.18) соответствует равновесному состоянию системы, следовательно, должно совпадать с равновесной функцией распределения, найденной из соображений минимума свободной энергии. Можно легко проверить, что стационарным решением (1.16),(1.17),(1.18) является:

gl=^fY\ (1-19)

А

где Y - неопределенный параметр.

Приравнивания соотношения (1.7) и (1.19), получаем:

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Чириков, Дмитрий Николаевич

Основные выводы диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. В работе предлагается модель кинетики роста цепочечных агрегатов, а также влияние этого процесса на реологические свойства феррожидкостей. Несмотря на упрощения, лежащие в основе предложенной модели, она позволяет получить оценки для величины вязкости и времени вязко-упругой релаксации феррожидкости, по крайней мере, по порядку величины, совпадающие со значениями этих величин, измеренными в экспериментах. На основании выполненных расчетов можно сделать вывод о том, что темп эволюции микроскопических цепочечных структур играет определяюще важную роль в формировании макроскопических вязкоуп-ругих свойств этих систем.

2. В работе исследована зависимость вязкости 77 магнитной жидкости от скорости сдвига у и приложенного магнитного поля Н. Теоретические результаты качественно и по порядку величины соответствуют известным экспериментам. Результаты расчетов были интерпретированы в рамках традиционного реологического закона 77 - т]0 ос у~А, где г/0 - вязкость несущей среды. В рамках предложенной модели, в отличие от традиционных моделей и в согласии с экспериментами, показатель А не является постоянной величиной, а растет с увеличением скорости сдвига у и с приложенным магнитным полем. Физической причиной зависимости А от / и поля Н является броуновское движение частиц и разрушение агрегатов за счет испарения из них частиц, игнорируемое в традиционных моделях магнитовязких свойств магнитных суспензий.

3. Исследована релаксация вязкости магнитной жидкости после скачкообразного изменения у. Показано, что время релаксации сложным образом зависит от величины и характера изменения у.

4. В рамках простейшей бидисперсной модели, исследовались магниторео-логические свойства полидисперсной феррожидкости. Предполагалось, что сильные реологические эффекты, наблюдаемые в экспериментах, порождаются цепочечными агрегатами, образованными наиболее крупными частицами. Влияние малых частиц на реологические свойства феррожидкости существенно зависит от их относительного размера. Если размер этих частиц существенно меньше размера крупных частиц, из которых состоят цепочки, то магнитореологический эффект, благодаря малым частицам, становится больше. Если размеры малых частиц сопоставимы с размерами крупных, присутствие малых частиц уменьшает реологические характеристики феррожидкости.

5. Феррожидкость с кластерными частицами проявляет выраженные вяз-коупругие свойства, которые индуцированы магнитным полем. Эласто-тиксотропия жидкостей под действием сдвигового течения есть результат формирования и разрушения агломератов магнитных кластеров и сильно зависит от отношения между силой магнитного поля и механической силой. Время переходного процесса в жидкости может достигать нескольких минут, что должно быть принято во внимание для реологических измерений и возможном применении феррожидкостей с сильно взаимодействующими частицами на практике.

Необходимо отметить, что на реологические свойства реальных феррожидкостей важное влияние могут оказывать не учитываемые в работе флуктуационная гибкость цепочек, а также возникновение и эволюция капельных и других гетерогенных агрегатов. Изучение этих факторов может рассматриваться как естественное продолжение и обобщение развитой здесь модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чириков, Дмитрий Николаевич, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика, - М.: Мир, 1989. - 356 с.

2. Colloidal Magnetic Fluids, Lectures Notes in Physics. Edited by S. Odenbach. - Berlin-Springer, 2009.

3. Berkovsky В., Bashtovoy V. Magnetic Fluids and Applications Handbook. New York - Begell House, 1996.

4. Scherer C., Neto A. M. F. Ferrofluids: Properties and applications I I Braz. J. Phys. - 2005. - Vol. 35, № ЗА. - P. 718-727.

5. Raj K., Moskowitz B., Casciari R. Advances in ferrofluid technology I I J. Magn. Magn. Mater. - 1995. - Vol. 149, № 1-2. - P. 174-180.

6. Magnetoviscous Effects in Ferrofluids, Lectures Notes in Physics. Edited by S. Odenbach. - Berlin-Springer, 2002.

7. Odenbach S. Magnetoviscous and viscoelastic effects in ferrofluids II Int. J. Mod. Phys.B-2000.-Vol. 14, № 16.-P. 1615-1631.

8. Shliomis M. I. Effective viscosity of magnetic suspensions 11 Sov. Phys. JETP - 1972. - Vol. 34, № 6. - P. 1291-1294.

9. Brenner H., Weissman M. H. Rheology of a dilute suspension of dipolar spherical particles in an external field. II. Effects of Rotary Brownian motion II J. Chem. Phys. - 1972. - Vol. 41, № 3. - P. 499-531.

10. Levi A. C., Hobson, R. F., McCourt, F. R. Magnetoviscosity of Colloidal Suspensions II Canad. J. Phys. - 1973. - Vol. 51, № 2. - P. 180-194.

11. Martsenyuk M. A., Raikher Yu. L., Shliomis, M. I. On the kinetics of magnetization of suspension offerromagnetic particles II Sov. Phys. JETP - 1974. -Vol. 38, №2.-P. 413-416.

12. Embs J., Muller H.W., Wagner C., Knorr K., Lücke M. Measuring the rotational viscosity of ferrofluids without shear flow II Phys. Rev. E - 2000. -Vol. 61, № 3. - P. R2196-R2199.

13.Bacri J.-C., Perzynski R., Shliomis M. I., Bürde G. I. "Negative-Viscosity" Effect in a Magnetic Fluid II J. Chem. Phys. - 1995. - Vol. 75, № 11. - P. 2128-2131

14. Rosensweig R. E. "Negative viscosity" in a magnetic fluid II Science - 1996. -Vol. 271, №5249.-P. 614.

15. Shliomis M. L, Raikher Yu. L. Experimental investigations of magnetic fluids II IEEE Trans. Mag. - 1980. - Vol. 16, № 2. - P. 237-250.

16. Doi M., See H. Frequency Dependent Susceptibility of Ferrofluids under an Orthogonal Bias Field II J. Phys. Soc. Jpn. - 1992. - Vol. 61, № 6. - P. 20902098.

17. Perez-Madrid A., Rubi J. M. Friction, diffusion and Brownian motion in suspensions of dipolar spherical particles II Physica A — 1985. - Vol. 132, №2-3.-P. 438-456.

18. Rubi J. M., Perez-Madrid A., Saluena C. On transport coefficients and relaxation phenomena in ferrofluids: I. Viscoelastic behaviour and relaxation II Physica A - 1990. - Vol. 163, № 3. - P. 791-803.

19. Saluena C., Perez-Madrid, A., Rubi, J.M. On transport coefficients and relaxation phenomena in ferrofluids: II. Effect of an external flow II Physica A -1990. - Vol. 169, № 3. - P. 375-392.

20. Miguel M. C., Bonet Avalos J., Perez-Madrid A., Rubi J. M. On the dynamics offerromagnetic particles in a magnetic field II Physica A - 1993. - Vol. 193, №3-4.-P. 359-373.

21. Felderhof B. U., Kroh H. J. Hydrodynamics of magnetic and dielectric fluids in interaction with the electromagnetic field II J. Chem. Phys. - 1999. - Vol. 110, № 15.-P. 7403-7411.

22. Rubi J. M., Miguel M. C. Transport phenomena in ferrofluids II Physica A -1993. - Vol. 194, № 1-4. - P. 209-217.

23. Waldron J. T., Kalmykov Yu. P., Coffey, W. T. Rotational Brownian motion and dielectric relaxation of polar molecules subjected to constant bias field: Exact solution II Phys. Rev. E - 1994. - Vol. 49, № 5. - P. 3976-3989.

24. Almog Y., Frankel I. Rheology of dilute suspensions of Brownian dipolar axi-symmetric particles I I J. Fluid Mech. - 1998. - Vol. 366. - P. 289-310.

25. Perez-Madrid A., Alarcon T., Vilar J. M. G., Rubi J. M. A mesoscopic approach to the "negative" viscosity effect in ferrofluids 11 Physica A - 1999. -Vol. 270, № 3-4. - P. 403-412.

26. Felderhof B.U. Steady state magnetoviscosity of a dilute ferrofluid II Magne-tohydrodynamics - 2000. - Vol. 36, № 4. - P. 396-401.

27. Felderhof B.U. Magnetoviscosity and relaxation of ferrofluids II Phys. Rev. E - 2000. - Vol. 62, № 3. - P. 3848-3854.

28. Shliomis M. I. Ferrohydrodynamics: Testing a third magnetization equation!I Phys. Rev. E - 2001. - Vol. 64, № 6. - P. 060501.

29. Ilg P., Kröger M., Hess S. Magnetoviscosity and orientational order parameters of dilute ferrofluids II J. Chem. Phys. - 2002. - Vol. 116, № 20. - P. 9078-9088

30. Pop L., Odenbach S. Investigation of the microscopic reason for the magne-toviscous effect in ferrofluids studied by small angle neutron scattering I I J. Phys. Condens. Matter. - 2006. - Vol. 18, № 38. - P. S2785-S2803.

31.Zubarev A. Yu., Fleisher J., Odenbach S. Towards a theory of dynamical properties of polydisperse magnetic fluids: Effect of chain-like aggregates I I Physica A. - 2005. - Vol. 358, № 2-4. - P. 475-491.

32. Fleischer J. Rheologische Eigenschaften magnetischer Flüssigkeiten unterschiedlicher chemischer Zusammensetzung. Berlin-Verlag, 2004.

33. Zeuner A., Richter R., Rehberg I. Experiments on negative and positive magnetoviscosity in an alternating magnetic field II Phys. Rev. E - 1994. - Vol. 58, № 5. - P. 6287-6293.

34. Ambacher O., Odenbach S., Stierstadt K. Rotational viscosity in ferrofluids II Z. Phys. B. Condo Mat. - 1992. - Vol. 86. - P. 29-32.

35. Pop L. Investigation of the microstructure offerrofluids under the influence of a magnetic field and shear flow. Dresden-Verlag, 2006.

36. Hall W. F., Busenberg S. N. Viscosity of Magnetic Suspensions И J. Chem. Phys. - 1969. - Vol. 51, № 1. - P. 137-144.

37. Шлиомис M. И. Магнитные жидкости II Усп. физ. наук. - 1974. - Т. 112,-С. 427-458.

38. Grants A., Irbitis A., Kronkalns G., Maiorov М. М. Rheological properties of magnetite magnetic fluid II J. Magn. Magn. Mater. - 1990. - Vol. 85, №1-3.-P. 129-132.

39. Odenbach S., Rylewicz Т., Rath H. Investigation of the Weissenberg effect in suspensions of magnetic nanoparticles // Phys. Fluids. — 1999. - Vol. 11, № 10.-P. 2901-2906.

40. Odenbach S., Muller H. W. Stationary off-equilibrium magnetization in fer-rofluids under rotational and elongational flow II Phys. Rev. Lett. - 2002. -Vol. 89, №3. -P. 037202.

41. Pop L. M., Odenbach S., Wiedenmann A., Matoussevitch N., Bonnemann H. J. Microstructure and rheology of ferrofluids II J. Magn. Magn. Mater. -2005. - Vol. 289, - P. 303-306.

42. Teixeira P. I. C., Tavares J. M., Telo da Gama M. M. The effect of dipolar forces on the structure and thermodynamics of classical fluids II J. Phys. Condens. Matters. - 2000. - Vol. 12, № 33. - P. R411-R434.

43. Holm C., Weis J. J. The structure of ferrofluids: A status report II Cur. Opin. Colloid Interface Sci. - 2005. - Vol. 10, № 5-6. - P. 133-140.

44. Huke В., Lucke M. Magnetic properties of colloidal suspensions of interacting magnetic particles II Rep. Prog. Phys. - 2004. - Vol. 67, № 10. - P. 1731-1768.

45. Blums E., Cebers A., Maiorov M. M. Magnetic Fluids. De Gruyter. - BerlinSpringer, 1997.

46. Brancher J. P. Study of the constant magnetization in ferrofluid flows II C. R. Acad. Sci. Ser. Paris В - 1980. - Vol. 290, № 20. - P. 457^59.

47. Zubarev A. Yu., Iskakova L. Yu. Rheological properties of ferrofluids with microstructures II J. Phys. Condens. Matter. - 2006. - Vol. 18, № 38. - P. S2771-S2785.

48. Islam M. F., Lin К. H., Lacoste D., Lubensky Т. C., Yodh A. G. Field-induced structures in miscible ferrofluid suspensions with and without latex spheres II Phys. Rev. E. - 2003. - Vol. 67, № 2. - P. 021402.

49. Klokkenburg M., Dullens R. P. A., Kegel W. K., Erne В. H., Philipse A. P. Quantitative real-space analysis of self-assembled structures of magnetic dipolar colloids II Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 96, № 3. - P. 037203.

50. Пшеничников А. Ф., Шурубор И. Ю. Расслоение магнитных жидкостей: условия образования и магнитные свойства капельных агрегатов II Изв. АН СССР, сер. физическая - 1987. - Т. 51, № 6. - С. 1081-1087.

51. Зубарев А. Ю., Искакова JL Ю. К теории физических свойств магнитных жидкостей с цепочечными агрегатами И ЖЭТФ. - 1995. - Т. 107, №5.-С. 1534-1552.

52. Morozov К. I., Shliomis М. I. Ferrofluids: flexibility of magnetic particle chains II J. Chem. Phys. - 2004. - Vol. 16, № 23. - P. 3807-3818.

53. Ferrofluids: Magnetically controllable fluids and their applications, Lecture Notes in Physics. Edited by S. Odenbach. - Berlin-Springer, 2002.

54. Robert A., Wagner J., Autenrieth Т., Hartl W., Grubel G. Structure and dynamics of electrostatically interacting magnetic nanoparticles in suspension II J. Chem. Phys. - 2005. - Vol. 122, № 8. - P. 084701.

55. Wang Z., Holm C., Muller H. W. Molecular dynamics study on the equilibrium magnetization properties and structure of ferrofluids II Phys. Rev. E -2002. - Vol. 66, № 2. - P. 021405.

56. Boennemann H., Brijoux W., Brinkmann R., Matoussevitch N., Waldofner N., Palina N., Modrow H. A size-selective synthesis of air stable colloidal magnetic cobalt nanoparticles I I Inorg. Chim. Acta - 2003. - Vol. 150. - P. 617-624.

57. Зубарев А. Ю., Юшков А. В. Динамические свойства умеренно-концентрированных магнитных жидкостей II ЖЭТФ. - 1998. - Т. 114, № 3, - С. 892.

58. Felderhof В. D., Jones R. В. Mean field theory of the nonlinear response of an interacting dipolar system with rotational diffusion to an oscillating field II J. Phys. Condens. Matter. - 2003. - Vol. 15, № 23. - P. 4011-4024.

59. Ilg P., Hess S. Nonequilibrium Dynamics and Magnetoviscosity of Moderately Concentrated Magnetic Liquids: A dynamic Mean-field Study II Z. Naturforsch A - 2003. - Vol. 58a, № 1. - P. 589-600.

60. Rinaldi C., Chaves A., Elborai S., He X., Zahn M. Magnetic fluid rheology and flows И Cur. Opin. Colloid Interface Sci. - 2005. - Vol. 10, № 3-4. - P. 141-157.

61. Thurm S., Odenbach S. Particle size distribution as key parameter for the flow behaviour offerrofluids I I Phys. Fluids - 2003. - Vol. 15, № 6. - P. 1658-1664.

62. Saldivar-Guerrero R., Richter R., Rehberg I., Aksel N., Heymann L., Rodriguez-Fernandez O. S. Viscoelasticity of mono- and polydisperse inverse ferrofluids II J. Chem. Phys. - 2006. - Vol. 125, № 8. - P. 084907.

63. Wang Z., Holm, C. Structure and magnetic properties of polydisperse ferrofluids: A molecular dynamics study II Phys. Rev. E - 2003. - Vol. 68, №4.-P. 041401.

64. Iskakova L. Yu., Zubarev A. Yu. Chain-like structures in polydisperse ferrofluids II Physica A. - 2004. - Vol. 335, № 3-4. - P. 314-324.

65. Iskakova L. Yu., Zubarev A. Yu. Effect of interaction between chains on their size distribution: Strong magnetic field II Phys. Rev. E - 2002. - Vol. 66, № 4.-P. 041405.

66. Zubarev A. Yu., Iskakova L. Yu. Viscoelastic properties of magnetic liquids II Magnetohydrodynamics. - 2004. - Vol. 40, № 1. - P. 65-76.

67. Zubarev A.Yu., Iskakova L.Yu. Effect of chainlike aggregates on dynamical properties of magnetic liquids И Phys. Rev. E. - 2000. - Vol. 61, № 5. - P. 5415-5421.

68. Кирюшин В. В. Структурирование магнитных жидкостей II ДАН СССР. - 1983. - Т. 242, № 6, - С. 1335-1339.

69. Kiryushin V. V. Mathematical model of structure phenomena in magnetic fluids II J. Magn. Magn. Mater. - 1983. - Vol. 39, - P. 14-16.

70. Налетова В. А., Шкель Ю. M. Исследование течения магнитной жидкости в трубе с учетом анизотропии жидкости в магнитном поле // Магнитная гидродинамика. - 1987. -№ 4, - С. 51-57.

71. Покровский В. Н. Статистическая гидромеханика разбавленных суспензий, - М.: Наука, 1978. - 137 с.

72. Bossis G., Métayer С., Zubarev A. Yu. Analysis of chaining structures in colloidal suspensions subjected to an electric field II Phys. Rev. E. - 2007. -Vol. 76, № 4. - P. 041401.

73. Зубарев А. Ю., Чириков Д. H. Вязкоупругие свойства магнитных жидкостей II Тез. докл. XVII-ой Зимней школы по механики сплошных сред. - Пермь, 2011. - С. 130.

74. Зубарев А. Ю., Чириков Д. Н. К теории магнитовязкого эффекта в феррожидкостях IIЖЭТФ. - 2010. - Т. 137, № 6, - С.1139-1151.

75. Зубарев А. Ю., Искакова JI. Ю., Чириков Д. Н. К нелинейной реологии магнитных жидкостей II Коллоидный журнал - 2011. - Т. 73, № 3, - С. 1-14.

76. Chirikov D. N, Fedotov S. P., Iskakova L. Yu., Zubarev A. Yu. Viscoelastic properties offerrofluids И Phys. Rev. E - 2010. - Vol. 82, № 5. - P. 051405.

77. Зубарев A. Ю., Чириков Д. H. Вязкоупругие свойства феррожидкостей II 14-ая Международная Плесская научная конференция по нанодис-персным магнитным жидкостям. - Плес, 2010. - С. 89-94.

78. Зубарев А. Ю., Чириков Д. Н. Реологические свойства феррожидкостей II Материалы конференции НПСС-2010. - Пермь, 2010. - С. 83-86.

79. Зубарев А. Ю., Чириков Д. Н. Вязкоупругие свойства магнитных коллоидов II Тез. докл. XXI Российской молодежной научной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения академика Н.Д. Зелинского. -Екатеринбург, 2011. - С. 450-451.

80. Зубарев А. Ю., Чириков Д. Н. Вязкоупругие свойства феррожидкостей II Тез. докл. XI Научно-практической Конференции Дни Науки. -Озерск, 2011. - С. 167-168.

81. Chirikov D. N., Zubarev A. Yu. Viscoelastic properties offerrofluids // Book of Abstracts 7th Annual European Rheology Conference. - Suzdal, 2011. - P. 46.

82. Zubarev A. Yu., Chirikov D. N. Viscoelastic properties of ferrofluids II Book of Abstracts Moscow International Symposium on Magnetism. - Moscow, 2011.-P. 228.

83. Martin J., Andreson R. Chain model of electrorheology II J. Chem. Phys. -1996. - Vol. 104, № 12. - P. 4814-4828.

84. Halsey Т., Martin J., Adolf D. Rheology of electrorheological fluids II Phys. Rev. Lett. - 1992. - Vol. 68, № 10. - P. 1519-1522.

85. Shulman Z. P., Kordonsy V. I., Zaltsgendler E. A., Prokhorov I. V., Khusid В. M., Demchuk S. A. Structure, physical properties and dynamics of magne-torheological suspensions II Int. J. Multiph. Flow. - 1986. -Vol. 12, № 6. - P. 935-955.

86. Zubarev A. Yu., Iskakova L. Yu. On the theory of rheological properties of magnetic suspensions I I Physica A. - 2007. - Vol. 382, № 2. - P. 378-388.

87. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей, - Л.: Наука, 1975. -592 с.

88. Стенли Г., Фазовые переходы и критические явления, — М.: Мир, - 1967.

- 420 с.

89. Zubarev A. Yu., Iskakova L. Yu. Structural transformations in ferrofluids II Phys. Rev. E. - 2003. - Vol. 68, № 6. - P. 061203.

90. Batchelor G. K. The effect of Brownian motion on the bulk stress in a suspension of spherical particles II J. Fluid Mech. - 1977. - Vol. 83, № 1. - P. 97117.

91.Janssen J. J. M., Baltussen J. J. M., van Gelder A. P., Perenboom J. A. A. J. Kinetics of magnetic flocculation. II. Flocculation of coarse particles II J. Phys. D - 1990. - Vol. 23, № 11. - P. 1455-1461.

92. Vervey E. J. W., Overbeek J. Th. G. Theory of Stability ofLyophilic Colloids. Amsterdam-Elsevier, 1948.-P. 166.

93. Cates M. E. Reptation of living polymers: dynamics of entangled polymers in the presence of reversible chain-scission reactions II Macromolecules - 1987.

- Vol. 20, № 9. - P. 2289-2296.

94. Марценюк М. А., Райхер Ю. Л., Шлиомис М. И. К кинетике намагничивания суспензий ферромагнитных частиц // ЖЭТФ — 1973. - Т. 65, № 2. -С. 834-841.

95. Kamiyama S., Satoh A. Rheological properties of magnetic fluids with the formation of clusters: Analysis of simple shear flow in a strong magnetic field II J. Colloid Interface Sei. - 1989. - Vol. 127, № 1. - P. 173-188.

96. Melrose J. R. Brownian dynamics simulation of dipole suspensions under shear: the phase diagram /I Mol. Phys. - 1992. - Vol. 76, № 3. - P. 635-660.

97. Ilg P., Kröger M., Hess S., Zubarev A. Yu. Dynamics of colloidal suspensions offerromagnetic particles in plane Couette flow: Comparison of approximate solutions with Brownian dynamics simulations II Phys. Rev. E. - 2003. - Vol. 67, №6.-P. 061401.

98. Volkova O., Bossis G., Guyot M., Bashtovoi V., Reks A. Magnetorheology of magnetic holes compared to magnetic particles 11 J. Rheol. - 2000. - Vol. 44, № 1.-P. 91-105.

99. de Gans B.J., Hoekstra H., Mellema J. Non-linear magnetorheological behaviour of an inverse ferrofluid II Faraday Discuss. - 1999. - Vol. 112, № 1. -P. 209-225.

100. de Gans В J., Duin N., van den Ende D., Mellema J. The influence ofparticle size on the magnetorheological properties of an inverse ferrofluid II J. Chem. Phys. - 2000. - Vol. 113, № 5. - P. 2032-2043.

101. Parsons J. D. Nematic ordering in a stem of rods I I Phys. Rev. E. - 1979. -Vol. 19, №3.-P. 1225-1230.

102. Borin D., Zubarev A., Chirikov D., Müller R., Odenbach S. Ferrofluid with clustered iron nanoparticles: Slow relaxation of rheological properties under joint action of shear flow and magnetic field II J. Magn. Magn. Mater. - 2011. - Vol. 323, № 10. - P. 1273-1277.

103. Dutz S., Andrä W., Hergt R., Müller R., Oestreich C., Schmidt C., Töpfer J., Zeisberger M., Bellemann M. Influence of dextran coating on the magnetic

behaviour of iron oxide nanoparticles // J. Magn. Magn. Mater. - 2007. -Vol. 311, № 1.-P. 51-54.

104. Tunan F., Tiu C. Steady-shear viscosity and transient stress response for elasto-thixotropic fluids // Acta Mech. Sinica - 1991. - Vol. 7, № 1. - P. 4650.

V ___

105. Riha P. The unified description of viscoelastic and thixotropic properties of human blood// Rheol. Acta - 1982. - Vol. 21, № 4-5. - P. 650-652.