Вязко-невязкое взаимодействие в трехмерных течениях с подковообразными вихревыми структурами: численное моделирование тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Колесник Елизавета Владимировна

• Колесник Елизавета Владимировна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Колесник Елизавета Владимировна

Список обозначений

Введение

1. Литературный обзор

1.1. Численные методы для расчета сверхзвуковых течений на неструктурированных сетках

1.2. Вязко-невязкое взаимодействие в трехмерных течениях с подковообразными вихревыми структурами

2. Математическая модель и численный метод

2.1. Математическая модель

2.2. Общие положения метода конечных объемов

2.3. Аппроксимация потоков на гранях контрольного объема

2.4. Повышение порядка точности

2.5. Способы подавления «карбункул»-неустойчивости для расчета высокоскоростных течений

2.6. Схемы продвижения по псевдовремени и физическому времени

2.7. Регуляризация для расчета течений с низкими числами Маха

2.8. Программная реализация

3. Верификация программного кода и тестовые расчеты

3.1. Предварительные замечания

3.2. Трансзвуковое обтекание профиля NACA-0012

3.3. Сверхзвуковое течение в канале с центральным клином

3.4. Гиперзвуковое обтекание цилиндра

3.5. Пограничный слой на плоской пластине

3.6. Двумерное сверхзвуковое обтекание решетки осевого компрессора

4. Влияние сжимаемости на вихревые структуры и теплообмен при дозвуковом

турбулентном обтекании установленного на пластине затупленного тела

4.1. Предварительные замечания

4.2. Детали постановки задачи и математической модели

4.3. Тестовые расчеты неизотермического течения несжимаемой жидкости и сопоставление с экспериментальными данными

4.4. Влияние числа Прандтля на интенсификацию теплообмена подковообразными вихревыми структурами

4.5. Варианты термического граничного условия на пластине. Случай числа Маха, стремящегося к нулю

4.6. Влияние сжимаемости среды на структуру потока и локальный теплообмен

5. Сверхзвуковое стационарное ламинарное обтекание области сопряжения затупленного ребра и пластины

5.1. Предварительные замечания

5.2. Детали постановки задачи и математической модели

5.3. Влияние схемных/численных факторов на предсказываемые характеристики вязко-невязкого взаимодействия

5.4. Структура потока и локальный теплообмен при различных наборах значений определяющих параметров задачи

6. Двойственность стационарных и нестационарных решений в задаче сверхзвукового ламинарного обтекания области сопряжения затупленного

ребра и пластины

6.1. Предварительные замечания

6.2. Детали постановки задачи и математической модели

6.3. Пример двойственности стационарного решения

6.4. Исследование бифуркации стационарных решений

6.5. Расчет автоколебательных режимов течения

7. моделирование обтекания установленного на пластине затупленного ребра сверхзвуковым потоком с турбулентным пограничным слоем

7.1. Предварительные замечания

7.2. Детали постановки задачи и математической модели

7.3. Характерные особенности предсказываемой динамической картины вязко-невязкого взаимодействия

7.4. Исследование сеточной сходимости

7.5. Влияние модели турбулентности

Заключение

Литература

Приложения

П.1. Квазиодномерный подход для решения системы уравнений Эйлера: общие сведения [173, 108]

П.2. Регуляризация системы газодинамических уравнений по методу Туркела [176]

П.3. Схемы расчета конвективных потоков

Список обозначений

Q - произвольный контрольный объем; Sf - площадь текущей грани; w - вектор консервативных переменных; q - вектор примитивных переменных; F - вектор невязких потоков; Fvisc - вектор вязких потоков; F^ - суммарный вектор; n - вектор нормали к поверхности; i, j, k - орты декартовой системы координат; V = (u1, U2, U3) = (u, v, w) - вектор скорости; p - плотность кг/м3; p - давление, Па; T - температура, K;

Taw -температура адиабатической стенки, K; a - скорость звука, м/с; E - полная энергия, Дж; H - полная энтальпия, Дж;

Cp, Cv - удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме, Дж/(кгК); у = Cp/Cv - показатель адиабаты;

ц - коэффициент молекулярной динамической вязкости, Па-с;

X - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К);

Pr - число Прандтля;

M - число Маха;

Re - число Рейнольдса;

St - число Стэнтона;

у - функция квазиодномерного ограничителя; ф - функция скалярного ограничителя; X - собственные числа Якобиана A = dF/dw; D - диаметр затупления передней кромки тела, м; 8 - толщина набегающего пограничного слоя, м;

Ь - длина передней отрывной области, м;

Индексы

(.. .)р - центр контрольного объема (КО); (...)/ - центр грани;

(.)ь, (...)я - значения «слева» и «справа» от грани;

(.. (.. - реконструированные значения «слева» и «справа» от грани;

(...)ь - значение на грани КО, лежащей на границе расчетной области;

(...)£> - значение в заграничной ячейке;

(.. ,)ш - значение на входной границе расчетной области;

(...)< - значение на бесконечности;

(.. - значение на стенке;

Введение

Исследования и инженерный анализ сложных течений вязкого газа методами численного моделирования приобретают в настоящее время все большую важность и распространенность, так как позволяют существенно снизить объем дорогостоящих экспериментов и получить детальную информацию о структуре и особенностях, присущих конкретному потоку. В частности, для решения многих задач в области аэрокосмической техники и энергомашиностроения чрезвычайно актуальным является применение методов численного моделирования транс- и сверхзвуковых течений.

На практике часто встречаются задачи, которые требуют детальных знаний об особенностях обтекания сверхзвуковым потоком вязкого газа какого-либо препятствия, установленного на обтекаемой поверхности. Течения в такого рода конфигурациях являются, как правило, существенно трехмерными и им присущи сложные, не до конца изученные явления вязко-невязкого взаимодействия: формирование системы скачков и волн уплотнения, вид которой зависит не только от геометрии обтекаемого препятствия, но и от параметров пограничного слоя в набегающем потоке; образование перед препятствием отрывной области с системой подковообразных вихрей; высокая неоднородность локального теплообмена и т.д.

Для достоверного моделирования таких течений необходимы численные методы, обеспечивающие достаточно точное разрешение всех специфических особенностей, обусловленных вязко-невязким взаимодействием трехмерного характера. При этом создание собственного программного обеспечения (ПО) требуемого уровня позволяет не только снизить затраты на проведение расчётов, уходя от использования коммерческого ПО, но и, что особенно важно для организаций исследовательского профиля, дает возможность реализовывать и апробировать оригинальные алгоритмы, численные схемы и замыкающие модели, обеспечивающие высокое качество и эффективность численного моделирования.

В настоящее время в России разработка исследовательских кодов ведется во многих научных группах. Среди отечественных программных комплексов, предназначенных для расчета течений сжимаемого газа, можно выделить: код NTS (разрабатывается в СПбПУ и компании NTS под руководством М. Х. Стрельца), ориентированный на расчёт сложных турбулентных течений и явлений аэроакустики с

использованием алгоритмов повышенной точности; программный комплекс NOISEtte (разрабатывается в ИПМ им. М. В. Келдыша РАН под руководством Т. К. Козубской), предназначенный для решения задач вычислительной газовой динамики и аэроакустики; пакет HSFlow (разрабатывается в ЦАГИ и ФАЛТ МФТИ под руководством И. В. Егорова), служащий для моделирования высокоскоростных течений вязкого газа, а также исследований механизмов развития неустойчивостей и ламинарно-турбулентного перехода; программный комплекс JET3D (Д. А. Любимов, ЦИАМ им. П. И. Баранова) для расчёта сложных турбулентных дозвуковых и сверхзвуковых течений; программный комплекс CABARET (разрабатывается в ИБРАЭ РАН и МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством В. М. Головизнина), ориентированый на расчёт одно- и многокомпонентных течений вязкого газа; программный комплекс NESVETAY-3D (В. А. Титарев, ВЦ им. А. А. Дородницына РАН) для моделирования сжимаемых турбулентных течений на неструктурированных сетках. Активно развивается многофункциональный код ЛОГОС (разрабатывается в РФЯЦ ВНИИЭФ под руководством Р. М. Шагалиева), предназначенный, в том числе, для решения задач аэродинамики и аэроакустики. Хорошо известен и отечественный коммерческий пакет FlowVision (разрабатываемый компанией Тесис), позволяющий решать сложные задачи гидрогазодинамики на адаптивных и подвижных сетках.

Отдельные примеры использования упомянутых кодов для расчетов течений вязкого газа при наличии скачков уплотнений представлены, например, в работах [1, 13, 26, 28, 160, 171].

Цели и задачи работы

Целью настоящей работы является исследование газодинамики и теплообмена в трехмерных течениях с подковообразными вихревыми структурами на основе авторской программной реализации совокупности современных численных методов для расчета сжимаемых (до-, транс- и сверхзвуковых) течений вязкого газа.

Задачи диссертационной работы, отвечающие поставленной цели, состоят в следующем:

1. Обзор существующих численных методов для расчета сжимаемых течений на неструктурированных сетках и отбор успешно апробированных в литературе схем для реализации в исследовательском программном коде широкого назначения.

2. Реализация на базе разрабатываемого в СПбПУ неструктурированного конечно-объемного программного кода SINF/Flag-S численного метода, который позволяет проводить расчеты течений вязкого газа в широком диапазоне чисел Маха на основе единого подхода.

3. Верификация и валидация реализованных в программном коде численных методов. Проведение сопоставительных расчетов, тестирование и оценка работоспособности реализованных методов.

4. Обзор представленных в литературе работ по исследованию явлений вязко-невязкого взаимодействия в трехмерных течениях с подковообразными вихревыми структурами.

5. Численное исследование влияния сжимаемости среды на структуру потока и локальный теплообмен при турбулентном дозвуковом обтекании установленного на пластине затупленного тела. Проверка соответствия решения, рассчитываемого по разработанному алгоритму при очень малых значениях числа Маха, результатам вычислений по алгоритму, ранее реализованному в коде для расчетов течений несжимаемой жидкости.

6. Отработка методики численного исследования явлений вязко-невязкого взаимодействия на примере задачи сверхзвукового обтекания области сопряжения затупленного ребра и пластины, тестирование различных схем аппроксимации конвективных потоков и способов повышения порядка точности.

7. Численное исследование ламинарного обтекания вязким газом области сопряжения затупленного ребра и пластины при варьировании определяющих параметров задачи (числа Рейнольдса, числа Маха, температурного фактора, толщины пограничного слоя на пластине). Исследование вопросов перехода от стационарных режимов течения к нестационарным автоколебательным режимам при увеличении числа Рейнольдса.

8. Численное моделирование турбулентного режима обтекания установленного на пластине затупленного ребра на основе подхода с применением одно- и двухпараметрических моделей турбулентности.

Научная новизна работы

На основе единого конечно-объёмного подхода, используемого в коде SINF/Flag-S, проведено систематическое тестирование различных схем повышенного порядка точности, предложенных в литературе для расчета существенно сжимаемых течений на неструктурированных сетках, и получен большой объем новых данных о работоспособности этих схем на сетках с различным типом сеточных элементов.

Для задачи о дозвуковом турбулентном течении и теплообмене вблизи установленного на пластине затупленного тела, в виде цилиндра с обтекателем, получены новые данные о влиянии сжимаемости среды на структуру потока и локальный теплообмен, а также данные о влиянии типа термического граничного условия на пластине. Для случая несжимаемой среды впервые количественно определено влияние числа Прандтля на характеристики теплообмена, интенсифицируемого подковообразными вихревыми структурами, которые формируются вблизи обтекаемого тела.

На примере задачи о сверхзвуковом стационарном ламинарном обтекании области сопряжения затупленного ребра и пластины рассмотрены вопросы чувствительности предсказываемых характеристик трехмерного вязко-невязкого взаимодействия к выбору той или иной численной схемы второго порядка точности и сеточному разрешению. В результате многовариантных расчетов получены и систематизированы уточненные данные о газодинамической структуре потока, протяженности передней области отрыва пограничного слоя и характеристиках локального теплообмена при различных наборах значений определяющих безразмерных параметров задачи.

Впервые установлено, что в некотором интервале значений числа Рейнольдса существуют два устойчивых стационарных решения задачи о сверхзвуковом ламинарном обтекании области сопряжения затупленного ребра и пластины. Эти решения отвечают различным метастабильным состояниям потока и, в основном, различаются по числу вихрей, формирующихся в передней отрывной зоне, и протяженности последней. Показано также, что с ростом числа Рейнольдса выявленные метастабильные решения приобретают автоколебательный характер. Получены новые данные о возникающих нестационарных тепловых и динамических нагрузках и их частотных характеристиках.

На основе подхода, с применением одно- и двухпараметрических моделей

турбулентности, проведены расчеты трехмерного обтекания установленного на пластине

затупленного ребра сверхзвуковым потоком с турбулентным пограничным слоем. Получены новые данные о влиянии сеточного разрешения и модели турбулентности на предсказываемую динамическую картину вязко-невязкого взаимодействия в сопоставлении с представленными в литературе результатами измерений.

Практическая значимость работы

Существенно расширены возможности развиваемого в СПбПУ неструктурированного конечно-объемного гидродинамического кода SINF/Flag-S. Это достигнуто благодаря разработке автором комплекса программных модулей, в которых реализованы современные численные методики расчета сжимаемых течений, включая различные способы повышения порядка точности при работе с неструктурированными сетками.

Представленные в работе результаты методических исследований по оценке работоспособности различных схем и сеточной чувствительности численных решений сложных задач динамики вязкого газа могут быть полезны другим исследователям и инженерам, нацеленным на повышение качества трехмерных газодинамических расчетов с использованием неструктурированных сеток.

Полученные с использованием расширенной версии кода SINF/Flag-S численные решения уточняют представления о спектре газодинамических и теплообменных процессов, характерных для вязко-невязкого взаимодействия в трехмерных течениях с подковообразными вихревыми структурами. Глубокое понимание специфики данного класса течений важно, в частности, для дальнейшего совершенствования конструктивных элементов высокоскоростных летательных аппаратов и проточных частей газовых турбин и компрессоров.

Достоверность полученных результатов

Все расчеты проведены с использованием разрабатываемого в СПбПУ программного кода SINF/Flag-S, который в настоящее время рассматривается как надежный вычислительный код для решения задач гидродинамики и широко применяется для расчетов течения и теплообмена в случае несжимаемой жидкости (см., например, [165]).

Для расширенной автором версии кода SINF/Flag-S проведена детальная верификация разработанных программных модулей, обеспечивающих возможность

расчета существенно сжимаемых течений. Верификация проведена как при численном решении ряда относительно простых тестовых задач, в сопоставлении с известными аналитическими решениями, так и посредством сопоставления решений для нескольких вариантов трехмерных задач с имеющимися в литературе расчетными данными. Дополнительно, при решении одной из сложных задач, было проверено, что решение, рассчитанное по разработанному алгоритму при очень малых значениях числа Маха, с высокой степенью точности соответствует результатам вычислений по алгоритму, ранее реализованному в коде для расчетов течений несжимаемой жидкости.

Сопоставление полученных в работе численных решений для отдельных постановок трехмерных задач с имеющимися экспериментальными данными показало хорошую согласованность результатов.

Апробация работы

Результаты работы были представлены на российских и международных конференциях и семинарах: Школа-семинар молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках» (Санкт-Петербург, 2017; Москва, 2019); Всероссийская конференция по аэрогидродинамике, посвященная 100-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (Санкт-Петербург, 2017); Международная конференция ФизикА.СПб (Санкт-Петербург, 2017, 2019, 2020); Научный форум с международным участием «Неделя науки СПбПУ» (Санкт-Петербург 2017, 2018, 2019); XXV Всероссийский семинар с международным участием по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург, 2018); Профессиональный слёт разработчиков отечественных CFD кодов «Отечественные CFD коды» (CFD Weekend), ИПМ им. М.И.Келдыша (Москва, 2018, 2019, 2020); XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 2019); The 5 th ECCOMAS Young Investigators Conference YIC2019 (Krakow, Poland, 2019); Всероссийская научная конференция с международным участием XI Семинар ВУЗов по теплофизике и энергетике (Санкт-Петербург, 2019); Доклад на видеосеминаре по аэромеханике ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбПУ - НИИМ МГУ (Санкт-Петербург, 2019); XX Международная конференция по методам аэрофизических исследований ICMAR 2020 (Новосибирск, 2020).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вязко-невязкое взаимодействие в трехмерных течениях с подковообразными вихревыми структурами: численное моделирование»

Структура работы

Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения, списка литературы и 3 приложений.

В первой главе дан обзор литературы, состоящий из двух частей. Первая часть содержит обзор численных методов, применяемых для расчета сжимаемых течений, особое внимание уделяется методам повышения порядка точности, используемым в случае неструктурированных сеток. Вторая часть содержит обзор работ, посвященных задачам вязко-невязкого взаимодействия в трехмерных течениях с подковообразными вихревыми структурами.

Вторая глава посвящена описанию математической модели течения вязкого сжимаемого газа и численного метода, реализованного в коде SINF/Flag-S для расчета сжимаемых течений. В приложениях 1, 2 и 3 приведены дополнительные сведения и выкладки, относящиеся к описанию численного метода.

Третья глава содержит результаты верификации разработанного кода при численном решении ряда относительно простых тестовых задач, в сопоставлении с известными аналитическими решениями. Проиллюстрированы результаты тестовых расчетов, полученных при помощи различных схем повышенного порядка точности на сетках с различным типом сеточных элементов.

В четвертой главе представлены результаты численного исследования структуры потока и теплообмена при турбулентном дозвуковом обтекании установленного на пластине затупленного тела. Для случая несжимаемой среды показано влияние числа Прандтля на характеристики теплообмена, интенсифицируемого подковообразными вихревыми структурами. Приводятся результаты исследования влияния сжимаемости среды на структуру потока и локальный теплообмен вблизи области соединения затупленного тела и пластины (вплоть до значения числа Маха равного нулю).

Пятая глава содержит результаты численного исследования ламинарного обтекания вязким газом области сопряжения затупленного ребра и пластины. Освещаются вопросы чувствительности предсказываемых характеристик трехмерного вязко-невязкого взаимодействия к выбору той или иной численной схемы второго порядка точности и сеточному разрешению. Для полученных в работе численных решений при варьировании определяющих параметров задачи (числа Рейнольдса, числа Маха, температурного фактора, толщины пограничного слоя на пластине) дается анализ

газодинамической структуры потока, протяженности передней области отрыва пограничного слоя и характеристик локального теплообмена.

Шестая глава посвящена исследованию вопросов двойственности численного решения в задаче сверхзвукового ламинарного обтекания установленного на пластине затупленного ребра, а также перехода от стационарных режимов течения к нестационарным режимам при увеличении числа Рейнольдса. Дается предварительный анализ возникающих нестационарных автоколебательных режимов обтекания.

В седьмой главе представлены результаты численного моделирования турбулентного режима обтекания установленного на пластине затупленного ребра на основе подхода. Приводятся данные о влиянии сеточного разрешения и модели

турбулентности на предсказываемую картину вязко-невязкого взаимодействия в сопоставлении с представленными в литературе результатами измерений.

1. Литературный обзор

1.1. Численные методы для расчета сверхзвуковых течений на неструктурированных сетках

Для сверхзвуковых течений характерно наличие газодинамических разрывов в поле течения, поэтому для численного моделирования требуются специальные методы, позволяющие находить слабые решения уравнений. Существует два основных класса методов, позволяющих получить численное решение, содержащее разрывы. Появившиеся исторически первыми методы с выделением разрывов позволяют разделить расчетную область на подобласти, в каждой из которых решение является гладким; уравнения сохранения решаются отдельно в каждой подобласти, а на внутренних границах, которые являются разрывами, задаются специальные граничные условия, на основе соотношений Рэнкина-Гюгонио. В настоящее время наиболее широко используемыми являются методы сквозного счета, в которых расчет производится по единому алгоритму во всей расчетной области, при этом разрывы размываются на несколько ячеек, ширина области размытия при этом зависит от численной диссипации, присущей выбранной схеме. Первый метод сквозного счета, предложенный в [183], основан на добавлении в уравнение движения невязкого газа специального диссипативного члена (искусственной вязкости), приводящего к размытию ударных волн на несколько ячеек. Последующее развитие методов сквозного счета в основном связано с реализацией идеи о замене дополнительных членов искусственной вязкости на схемную вязкость [110].

В настоящей работе рассматриваются только методы сквозного счета, основанные на использовании метода контрольных объемов. Качество и точность получаемых численных решений, а также скорость получения решений определяются различными составляющими численного метода. В данном параграфе рассмотрены существующие в литературе схемы аппроксимации конвективных потоков, описаны основные подходы к повышению порядка точности на неструктурированных сетках, способы борьбы с возникающей ударно-волновой неустойчивостью. Кроме того, в данном обзоре вкратце изложены вопросы, касающиеся численных алгоритмов интегрирования уравнений, и способы эффективного численного решения системы в случае дозвуковых течений.

Схемы аппроксимации конвективных потоков

При использовании метода контрольных объемов для расчета сверхзвуковых течений необходимо использовать такие схемы аппроксимации конвективных потоков на гранях контрольного объема, которые позволяют с достаточной степенью точности разрешать газодинамические разрывы на небольшом числе внутренних точек и при этом не допускают появления осцилляций поля течения и возникновения неустойчивости в окрестности разрывов.

Современные методы расчета невязких потоков на грани контрольного объема в том или ином виде используют характеристические свойства системы уравнений. Среди таких методов можно выделить два основных направления: методы годуновского типа, основанные на точном или приближенном решении задачи Римана о распаде произвольного разрыва (например, схемы Годунова, Роу, ИЬЬ и ИЬЬС), и методы, использующие расщепление вектора потоков.

Основная идея методов расщепления состоит в обобщения свойств противопоточной схемы для одномерного скалярного уравнения переноса на случай системы уравнений Эйлера. К таким схемам можно отнести схему расщепления матрицы коэффициентов [59], Стегера-Уорминга [169], Ван Лира [114] и схемы семейства АШМ [122, 123, 124].

В схеме расщепления матрицы коэффициентов [59] проводится расщепление матрицы Якоби на две составляющие, одна из которых имеет неотрицательные собственные числа, а вторая - неположительные, что обеспечивает учет характеристических свойств системы. Однако, поскольку схема базируется на неконсервативной форме записи исходной системы уравнений, то она не обеспечивает выполнения законов сохранения на разрывах, и, следовательно, не пригодна для расчета течений с разрывами. Идея расщепления применительно к консервативной форме записи уравнений Эйлера получила развитие в методах расщепления векторов потоков. Впервые такой метод был предложен Стегером и Уормингом [169], согласно ему вектор потоков представляется в виде суммы составляющих, отвечающих положительным и отрицательным числам матрицы Якоби. В случае сверхзвукового течения схема является полностью противопоточной. Однако существенный недостаток данной схемы, заключающийся в недифференцируемости расщепленных потоков в окрестностях точек, где собственные числа системы меняют знак, часто приводит к невозможности получить

сошедшееся решение из-за возникновения осцилляций в окрестностях этих точек. Существуют модификации данного метода, в которых предложен способ коррекции собственных чисел [55]. Кроме того, существуют другие виды расщеплений, например, метод расщепления вектора потоков Ван Лира [ 114], в которых изначально гарантируется дифференцируемость расщепленных потоков.

В последнее время наблюдается активное развитие схем расщепления семейства АШМ (Адуес1юп-ир81геат^р1М^-Ме1:Ьоф. Первая схема АШМ была предложена в 1993 году [122], основная идея её построения заключается в представлении конвективной и акустической волн как двух физически различных процессов, для которых расщепление проводится отдельно. Существует ряд модификаций схемы АШМ,среди которых можно выделить схемы, ориентированные для расчета низкоскоростных течений, АШМ+ир [123] и SLAU [158], схемы, предназначенные для более точного разрешения контактных разрывов, например АШМБ и ее разновидности (АШМБУ, АШМУ) [185].

В 1959 году С.К. Годунов опубликовал знаменитую работу [8], в которой была предложена схема, согласно которой вектор потоков на грани определяется из точного решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. Этот подход основывается на физике газодинамических процессов при вычислении потоков на грани: используемое кусочно-постоянное распределение газодинамических переменных в каждой расчетной ячейке приводит к тому, что на каждой грани реализуются условия задачи о распаде произвольного газодинамического разрыва, имеющей аналитическое решение. Распад разрыва сопровождается возникновением ударных волн, центрированных волн разрежения и контактных разрывов, при этом, в зависимости от параметров слева и справа от грани, могут возникнуть различные конфигурации течения.

Для точного решения задачи Римана на каждой грани необходимо решать нелинейную систему алгебраических уравнений, что обусловливает повышенные вычислительные затраты при использовании схемы Годунова. Вместе с тем, создание схемы Годунова послужило началом развития целого класса схем, основанных на приближенном решении задачи Римана о распаде разрыва. К ним относятся схемы: Роу [154], Русанова [31], HLL [83], HLLC [172], Ошера [74] и др.

Приближенное решение задачи Римана состоит в представлении решения на грани в виде нескольких элементарных разрывов, в качестве которых рассматривается ударная волна, контактная поверхность или волна разрежения [173]. Может использоваться

трехволновая модель, содержащая две нелинейные волны и контактный разрыв; к таким методам относятся схемы Роу и ИЬЬС. Существуют неполные методы, в которых используются конфигурации, не содержащие контактных разрывов в явном виде, к ним относятся схемы Русанова и ИЬЬ, использование таких схем приводит к сильной диссипации контактных разрывов.

В схеме Роу [154] для каждой грани рассматривается задача Римана для некоторым

и и и и и и

образом линеаризованной системы уравнений Эйлера, причем для этой линейной системы находится точное решение (в отличие от схемы Годунова это не требует итерационного процесса). Для линейной системы решение состоит из бегущих разрывов, которые отделяются друг от друга областями постоянных значений величин, при этом, за счет выбора специального осреднения на грани (осреднение «по Роу»), на каждом разрыве точно выполняются соотношения Рэнкина-Гюгонио для ударных волн. Схема ИЬЬ [83] основывается на приближенном решении задачи Римана о распаде произвольного разрыва, в котором учитываются только сильные особенности типа ударных волн; контактные или тангенциальные разрывы при этом не учитываются. Схема ИЬЬС [172] является усовершенствованием схемы ИЬЬ, в ней помимо двух основных разрывов добавляется средняя волна, то есть контактная поверхность. Можно отметить также метод Ошера [74], в котором решение задачи о распаде произвольного разрыва строится с использованием двух волн разрежения.

В настоящее время существует большое количество различных схем аппроксимации конвективных потоков. Однако, как показывает практический опыт расчётов, универсальной схемы, которая могла бы одинаково успешно использоваться для расчета широкого класса задач газовой динамики и удовлетворяла бы всем необходимым требованиям к точности и устойчивости расчёта (особенно в случае использования неструктурированных сеток), пока не существует, и исследования в этом направлении до сих пор являются актуальными.

Методы повышения порядка точности

Упомянутые выше схемы в своем первоначальном варианте являются схемами первого порядка точности. Однако для получения более точного решения, как в области разрывов, так и в областях гладкого изменения газодинамических переменных, предпочтительно использование схем повышенного порядка точности.

Основополагающей работой в области разработки схем повышенного порядка точности можно считать работу В.П. Колгана [15]. Он предложил метод, согласно которому внутри каждой расчетной ячейки формируется линейное распределение переменных и при решении задачи о распаде разрыва используются уточненные значения переменных на грани, при этом обеспечение монотонности решения основано на принципе минимальных

и с» т-ч и с» и

значений производной. В развитие этой идеи возник обобщенный подход, известный в литературе как MUSCL-подход (MUSCL - Monotonic Upstream-Centered Scheme), согласно которому повышение порядка точности схемы достигается путем замены постоянного распределения газодинамических величин в каждой расчетной ячейке линейным [16, 113] или параболическим [65], а для вычисления потоков на грани используются реконструированные значений переменных.

Хорошо известно, что при реализации схем повышенного порядка аппроксимации в численном решении возникают нефизические осцилляции, как правило, в окрестности ударных волн, и требуются специальные методы для их подавления. В случае использования MUSCL подхода для монотонизации решения в процедуру построения кусочно-полиномиальных распределений вводятся специальные функции-ограничители (limiters), которые модифицируют наклоны распределений переменных в ячейках для предотвращения возможного возникновения осцилляций.

Концептуально, большинство методов контроля осцилляций основано на анализе различных схем для одномерного скалярного уравнения переноса. Для численного решения этого уравнения разработана надежная теория неосциллирующих схем повышенного порядка. В работе [8] впервые было введено строгое определение монотонных схем, т. е. таких, которые не приводят к возникновению осцилляций в численном решении. При этом было показано, что среди линейных схем с постоянными коэффициентами монотонными могут быть только схемы первого порядка точности. Поэтому для построения схем повышенного порядка точности на практике используется более широкий класс схем, приводящих, как и монотонные схемы, к неосциллирующим решениям. А. Хартен в работе [82] ввел понятие полной вариации, которое характеризует меру «негладкости» решения, и рассмотрел класс TVD-схем (Total Variation Diminishing), для которых выполняется условие невозрастания полной вариации любого физически допустимого решения. К недостаткам TVD-схем можно отнести значительную численную вязкость, возникающую из-за применения ограничителей, при этом порядок

точности схемы на каждом экстремуме решения уменьшается до первого. В работе [93] предложены схемы на основе LED-принципа (LED - Local Extremum Diminishing) [50], согласно которому возникший в решении локальный максимум не должен увеличиваться, а использование «мягкого» ограничителя позволяет повысить порядок точности на гладких экстремумах [94].

Отметим, что существует широкий класс схем повышенного порядка точности, в которых не используют ограничители, а подавление осцилляций достигается за счет использования «плавающего» шаблона в окрестности рассматриваемой ячейки, таким образом, они сохраняют базовый порядок точности на гладких экстремумах решения. К этому классу относятся схемы ENO [84] и WENO [125] и их различные модификации.

При решении многомерных задач с использованием структурированных (регулярных) сеток, схемы повышенного порядка, разработанные для одномерного случая, можно обобщить путем применения квазиодномерного подхода вдоль каждого координатного направления. Такой подход получил широкое распространение и успешно применяется в настоящее время [12, 6, 14, 23].

В случае неструктурированных сеток, из-за отсутствия выделенных направлений, невозможно непосредственно использовать квазиодномерные вычисления, и требуются специальные подходы для построения схем повышенного порядка точности с применением ограничителей. Можно выделить два основных класса методов. Использование методов первого класса связано с применением квазиодномерных вычислений при помощи построения для каждой грани некоего подходящего направления (аналогичного координатному направлению, исходно присутствующему в структурированной сетке). Данный подход называют квазиодномерным, его реализация имеет свои особенности в каждом из двух основных подходов к построению контрольных объемов: вокруг узла расчетной сетки (vertex-based arrangement) или же непосредственно формируемых элементами (ячейками) исходной сетки (cell-centered arrangement) [4, 6].

Второй класс методов охватывает подходы, исходно предназначенные для

__Т"ч и и

многомерного случая. В них значение единого для расчетной ячейки скалярного ограничителя вычисляется с использованием информации из всех соседних ячеек. Вычисленное значение ограничителя применяется при реконструкции переменных для всех граней.

Практика последних десятилетий позволяет заключить, что в случае неструктурированных сеток использование схем второго порядка точности, основанных на линейной реконструкции с применением ограничителей, является в большинстве случаев разумным компромиссом: такой подход с одной стороны, имеет умеренную сложность и ресурсоемкость вычислительного алгоритма, а с другой - позволяет получить достаточное качество численного решения для широкого круга газодинамических задач (не включающих, однако, задачи аэроакустики, требующие для своего решения схем более высокого порядка точности [4]).

Исторически первым возник квазиодномерный подход, как более естественный и обобщающий уже существующие идеи и методы для случая структурированных сеток. Так, в работе [35] схема Годунова и Колгана обобщается на произвольные нерегулярные сетки. В работе [56] предложено обобщение TVD-схемы для сеток, состоящих из треугольных элементов, и показано, что эффективность работы ограничителя очень сильно зависит от расчетной сетки, а в некоторых случаях вообще не удается устранить осцилляции. Однако это обобщение ограничено только случаем «вершинно-центрированного» подхода (vertex-based).

Если рассматривать общий принцип построения схем на основе квазиодномерного подхода для случая неструктурированных сеток, состоящих из произвольных элементов, то ключевым моментом является восстановление значений переменных в нескольких точках вдоль направления, пересекающего грань контрольного объема [52]. Эти значения далее могут используются для вычисления ограничителя и реконструкции переменных для данной грани согласно схемам, разработанным для одномерного случая.

Существуют различные варианты восстановления точек. Наиболее простыми и, благодаря этому, часто используемыми являются способы, предложенные в работах [52, 68]. Некоторые методы требуют более сложных вычислений, например алгоритм, предложенный в работе [117], позволяет лучше учитывать особенности неструктурированной сетки и добиться уменьшения осцилляций по сравнению с [68], в работе [86] предложен метод, позволяющий учесть неравномерность сетки, а в работе [69] алгоритм восстановления точек учитывает скошенность элементов сетки. Во всех этих работах для восстановления точек используется значение градиента, вычисленное в центрах контрольных объемов, что может вносить неточность в вычисления (из-за погрешности вычисления градиента для решений с разрывами).

Для некоторых методов не требуется значение градиента при восстановлении точек; в этом случае алгоритм реконструкции требует значительного объема вычислений, особенно при решении трехмерных задач. Отдельно стоит выделить подход, который предложен в относительно недавней статье [174] и развит в работах [4, 43], позволяющий без вычисления градиента провести реконструкцию переменных с повышенным порядком точности.

В рамках квазиодномерного подхода существуют обобщения £N0 и ШБКО схем на случай неструктурированных сеток [37, 77, 89, 175]. Однако повышенная сложность алгоритма реконструкции для этих схем приводит при их реализации к сильному росту вычислительных затрат.

Начиная с пионерской работы [45], активно развивается подход, получивший название «скалярный», исходно разработанный для неструктурированных сеток; при вычислении ограничителя для ячейки используется информация во всех ближайших соседних ячейках. При этом значение ограничителя является единым для ячейки, т.е. оно используется при реконструкции решения на любую грань, вне зависимости от направления. К настоящему времени предложено большое количество скалярных ограничителей [180, 130, 141, 54]. Общей идеей скалярного подхода является использование информации не только вдоль одного направления, как в случае квазиодномерного подхода, а для всех соседних ячеек. Основное отличие между ограничителями заключается в используемом шаблоне ячеек; здесь можно выделить две основные группы методов: в одном случае определение соседей ячейки строится с использованием общих граней, например [45, 130, 180], в другой - с использованием вершин ячейки [141].

На основе работы Вай&^ре^оп [45] в [188] предложен новый подход, согласно которому градиент ограничивается в каждом направлении независимо, при этом для каждой грани ограничивается только нормальная составляющая градиента. Таким образом, как и в случае квазиодномерного подхода, для граней внутри ячейки используется разное значение ограничителя.

Одним из недостатков скалярного подхода является возможное «паразитное» включение ограничителя в областях вдалеке от разрывов, что может приводить к снижению точности схемы. Рядом авторов было предложено использование «второго» ограничителя для контроля области, где включается основной ограничитель, например

работы [97, 131]. Однако для эффективной работы многих «вторых» ограничителей, в частности, предложенного в [131], требуется задание большого числа констант, значения которых необходимо подбирать в зависимости от рассматриваемой задачи. Существуют и более универсальные подходы, например, в [160] используется подход, основанный на анализе значений давления в соседних ячейках. Стоит отметить, что для решения задач аэроакустики исследователи часто используют расширенный шаблон, позволяющий повысить точность вычислений.

Выделим еще один тип ограничителей, которые условно тоже могут быть отнесены к скалярным - это матричные ограничители. В этом случае ограничитель является диагональной матрицей, также единой для рассматриваемой ячейки, при этом каждый компонент градиента ограничивается независимо, то есть градиент не только ограничивается по модулю, как при использовании скалярных ограничителей, но и поворачивается на некоторый угол. В работе [48] было предложено для определения матричного ограничителя решать задачу оптимизации: ищется такой модифицированный градиент, которой наиболее близок к исходному, но при этом находится в области монотонного решения.

Все описанные выше методы построения ограничителей основаны на априорной оценке, то есть используются значения переменных на текущем временном слое. Существуют подходы, в которых значение ограничителя вычисляется на основе апостериорной оценки, то есть для его вычисления необходимо делать дополнительный «пробный» шаг по времени [63], однако такой подход является вычислительно более затратным.

В целом, следует отметить, что построение схем повышенного порядка точности для неструктурированных сеток является активно развивающимся направлением, и количество публикаций по данной тематике постоянно растет. Исследования посвящены как разработке новых подходов, так и направлению, связанному с тестированием и определением областей применения и эффективности схем для различного класса задач.

«Карбункул»-неустойчивость

Численное моделирование сверхзвуковых и особенно гиперзвуковых течений может осложняться возникновением численной неустойчивости, которая приводит к появлению нефизических возмущений, приводящих к искажению или изгибу фронта

ударной волны; часто это проявляется в виде «опухолеподобного» нароста на фронте ударной волны, из-за чего наблюдаемое явление получило название «карбункул»-неустойчивости (используются также термины «ударно-волновая неустойчивость» или, более точно, «многомерная ударно-волновая неустойчивость»). Впервые такое явление было обнаружено в 1988 году [144] при численном решении задачи о сверхзвуковом обтекании затупленного тела с использованием схемы Роу, впоследствии было показано, что ударно-волновая неустойчивость проявляется и при использовании некоторых других методов сквозного счета [139]. При этом неустойчивость может проявляться не только при расчете гиперзвуковых течений, но и при расчете сверхзвуковых течений с умеренными значениями числа Маха [152].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колесник Елизавета Владимировна, 2021 год

Литература

1. Абалакин И. В. Параллельный программный комплекс NOISETTE для крупномасштабных расчетов задач аэродинамики и аэроакустики / И.В. Абалакин, П.А. Бахвалов, А.В. Горобец, А.П. Дубень, Т.К. Козубская // Вычислительные методы и программирование. - 2012. - Т. 13. - С. 110-125.

2. Абалакин И. В. Разработка метода расчёта течений с малыми числами маха на неструктурированных сетках в программном комплексе NOISETTE / И.В. Абалакин,

B.Г. Бобков, Т.К. Козубская // Матем. моделирование. - 2016. - Т. 29. - № 4. -

C. 101-112.

3. Адуевский B. C. Физические особенности течения в области отрыва при трехмерном взаимодействии пограничного слоя с ударной волной / B.C. Адуевский, К.И. Медведев // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1967. - № 1. - С. 25-34.

4. Бахвалов П. А. Схема с квазиодномерной реконструкцией переменных, определенных в центрах элементов трeхмерной неструктурированной сетки / П.А. Бахвалов, Т.К. Козубская // Матем. моделирование. - 2016. - Т. 28. - № 3. - С. 79-95.

5. Войтенко Д. М. Обтекание цилиндрического препятствия на пластине сверхзвуковым потоком газа / Д.М. Войтенко, А.И. Зубков, Ю.А. Панов // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1966. - № 1. - С. 121.

6. Волков К. Н. Разностные схемы расчета потоков повышенной разрешающей способности и их применение для решения задач газовой динамики / К.Н. Волков // Выч. мет. и программирование. - 2005. - Т. 6. - С. 146-167.

7. Волков К. Н. Разностные схемы в задачах газовой динамики на неструктурированных сетках / К.Н. Волков, Ю.Н Дерюгин., В. Н. Емельянов, А.С. Козелков, И.В. Тетерина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 416 с.

8. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики / С. К. Годунов // Математический Сборник. - 1959. - Т. 47. - № 3. -С. 271-306.

9. Годунов С. К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов и др. - Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1976. - 400 с.

10. Гувернюк С. В. Экспериментальное исследование трехмерного сверхзвукового обтекания осесимметричного тела с кольцевой каверной / С.В. Гувернюк, А.Ф. Зубков, М.М. Симоненко, А.И. Швец // Изв. РАН. МЖГ. - 2014. - № 4. - С. 136-142.

11. Гужавин А. И. О гистерезисе сверхзвуковых отрывных течений / А.И. Гужавин, Я.П. Коробов // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1984. - №2. - С. 116-125.

12. Егоров И. В. Применение полностью неявных монотонных схем для моделирования плоских внутренних течений / И.В. Егоров, Д.В. Иванов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1996. - Т. 36. - № 12. - C. 91-107.

13. Егоров И. В. Численное моделирование обтекания сегментально-конического тела на основе уравнений Рейнольдса / И. В. Егоров, А. В. Новиков, Н. В. Пальчековская // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2018. - Т. 58. - №1. -С. 123-135.

14. Жалнин В. Р. Пакет программ ЛОГОС. Методика повышенного порядка точности на блочно-структурированных сетках с использованием реконструкции типа WENO / Р.В. Жалнин и др. // Современные проблемы науки и образования. - 2012. - Т. 6. -С. 583-583.

15. Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики / В.П. Колган // Ученые Записки Цаги. - 1972. - Т. 3. - № 6. - С. 68-77.

16. Колган В. П. Конечно-разностная схема для расчета разрывных решений нестационарной газовой динамики / В.П. Колган // Ученые Записки Цаги. - 1975. -Т. 6. - № 1. - С. 9-14.

17. Колесник Е. В. Тестирование различных схем с квазиодномерной реконструкцией газодинамических переменных при расчетах на неструктурированных сетках / Е.В. Колесник, Е.М. Смирнов // Научно-технические ведомости СПБГПУ. Физико-математические науки. - 2017. - Т. 10. - № 3. - С. 123-139.

18. Колесник Е. В. Численное решение трехмерной задачи обтекания установленного на пластине цилиндрического тела сверхзвуковым потоком вязкого газа при M=2,95 / Е.В. Колесник, Е.М. Смирнов, А.А. Смирновский // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2019. - Т. 12. - № 2. - С. 7-22.

19. Колесник Е. В. Численное исследование вихревых структур и теплообмена при сверхзвуковом обтекании области сопряжения затупленного тела и пластины / Е.В.

Колесник, Е.М. Смирнов // Журнал технической физики. - 2020. - Т. 90. - № 2. -С. 185-192.

20. Колесник Е. В. Двойственность вихревой структуры, возникающей при сверхзвуковом обтекании области сопряжения затупленного тела и пластины вязким газом / Е.В. Колесник, Е.М. Смирнов, А.А. Смирновский // Письма в ЖТФ. - 2020. -Т. 46. - № 12. - С. 10-13.

21. Колесник Е. В. Сверхзвуковое ламинарное обтекание затупленного ребра: двойственность численного решения / Е.В. Колесник, Е.М. Смирнов // Журнал технической физики. - 2021. - Т. 91. - №5. - С. 764-771.

22. Корнилов В. И. Пространственные пристенные турбулентные течения в угловых конфигурациях / В.И. Корнилов. - Наука. - Новосибирск, 2000. - 390 с.

23. Кудрявцев А. Н. Применение схем высокого порядка точности при моделировании нестационарных сверхзвуковых течений / А.Н. Кудрявцев, Т.В. Поплавская, Д.В. Хотяновский // Матем. моделирование. - 2007. - Т. 19. - № 7. - С. 39-55.

24. Кудрявцев А. Н. Явление гистерезиса при обтекании системы цилиндров сверхзвуковым потоком / А.Н. Кудрявцев, Д.Б. Эпштейн // Изв. РАН. МЖГ. - 2012. - № 3. - С. 122-131.

25. Левченя А. М. Численное исследование трехмерного течения и теплообмена в месте сопряжения цилиндрических тел с пластиной и в приторцевых областях турбинных решеток. Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2010. 142 с.

26. Любимов Д. А. Исследование нестационарных режимов работы сверхзвукового воздухозаборника RANS/ILES-методом / Д. А. Любимов, И. В. Потехина // Теплофизика высоких температур. - 2016. - Т. 54. - №5. - С. 784-791.

27. Нехамкина О. А. Об иерархии моделей естественной конвекции совершенного газа / О. А. Нехамкина, Д. А. Никулин, М.Х. Стрелец // Теплофизика высоких температур. - 1989. - Т. 27. - № 6. - С. 1115-1125.

28. Погосян М. А. Применение отечественных суперкомпьютерных технологий для создания перспективных образцов авиационной техники / М.А. Погосян, Е.П. Савельевских, Р.М. Шагалиев, А.С. Козелков, Д.Ю. Стрелец, А.А. Рябов, А.В. Корнев, Ю.Н. Дерюгин, В.Ф. Спиридонов, К.В. Циберев // Журнал ВАНТ, сер. Математическое моделирование физических процессов. - 2013. - №2. - С. 3-17.

29. Родионов А. В. Применение искусственной вязкости для борьбы с численной неустойчивостью типа «карбункул» / А.В. Родионов. - Саров: РФЯЦ-ВНИИЭ. -2017. - 53 с.

30. Родионов А. В. Искусственная вязкость для подавления численной неустойчивости типа «карбункул» в расчетах трехмерных задач / А.В. Родионов // ВАНТ, сер. Математическое моделирование физических процессов. 2018. - 2018. - Т. 3. - № 2.

- С. 44-51.

31. Русанов В. В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями / В.В. Русанов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1961. - Т. 1. - № 2.

- С. 267-279.

32. Стрелец М. Х. Метод масштабирования сжимаемости для расчета стационарных течений вязкого газа при произвольных числах Маха / М.Х. Стрелец, М.Л. Шур // ЖВМ и МФ. - 1988. - Т. 28. - № 2. - С. 254-266.

33. Тагирова И. Ю. Применение искусственной вязкости для борьбы с «карбункул»-неустойчивостью в схемах типа Годунова / И.Ю. Тагирова, А.В. Родионов // Матем. моделирование. - 2015. - Т. 27. - № 10. - С. 47-64.

34. Тетерин М. П. Исследование течения газа в области падения скачка уплотнения на цилиндр, обтекаемый потоком большой сверхзвуковой скорости / М.П. Тетерин // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1967. - № 2. - С. 143-147.

35. Тилляева Н. И. Обобщение модифицированной схемы С.К. Годунова на произвольные нерегулярные сетки / Н.И. Тилляева // Ученые Записки Цаги. - 1986.

- Т. 17. - № 2. - С. 18-26.

36. Шрейбер Х. А. Исследование течения в элементарном венце трансзвукового компрессора методом испытаний решетки / Х.А. Шрейбер, Х. Штаркен; пер. с англ. // Труды ASME. Энергетические машины. -Т. 106. - 1984. - № 2. - С. 12-21.

37. Abgrall R. On essentially non-oscillatory schemes on unstructured meshes: Analysis and implementation / R. Abgrall // J. Comp. Phys. - 1994. - Vol. 114. - P. 45-58.

38. van Albada G. D. A Comparative Study of Computational Methods in Cosmic Gas Dynamics / G.D. van Albada, B. van Leer, W.W. Roberts // Upwind and High-Resolution Schemes. - Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1997. - P. 95-103.

39. Amick J. L. Pressure measurements on sharp and blunt 5° and 15° half cone at Mach number 3.86 and angles of attack to 100° / J. L. Amick // NASA TN D-173/ - 1961.

40. Apsley D. D. Investigation of advanced turbulence models for the flow in a generic wing-body junction / D.D. Apsley, M.A. Leschziner // Flow, Turbul. Combust. - 2001. - Vol. 67. - № 1. - P. 25-55.

41. Babinsky H. Shock wave/boundary-layer interactions / H. Babinsky, J.K. Harvey -Cambridge: Cambridge University Press, 2011. - 461 p.

42. Baker C. J. The laminar horseshoe vortex / C.J. Baker // Journal of Fluid Mechanics. -1979. - Vol. 95. - № 2. - P. 347-367.

43. Bakhvalov P. A. Cell-centered quasi-one-dimensional reconstruction scheme on 3D hybrid meshes / P.A. Bakhvalov, T.K. Kozubskaya // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2016. - Vol. 8. - № 6. - P. 625-637.

44. Ballio F. A survey of time-averaged charactensbcs of laminar and turbulent horseshoe vortices / F. Ballio, C. Bettoni, S. Franzetti // Journal of Fluids Engineering, Transactions of the ASME. - 1998. - Vol. 120. - № 2. - P. 233-242.

45. Barth T. J. The design and application of upwind schemes on unstructured meshes / T.J. Barth, D.C. Jespersen // 27th Aerospace Sciences Meeting. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1989.

46. Barth T. J. An unstructured mesh Newton solver for compressible fluid flow and its parallel implementation / T.J. Barth, S. Linton // 33rd Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. -Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1995.

47. Batten P. LNS - An approach towards embedded LES / P. Batten, U. Goldberg, S. Chakravarthy // 40th AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit. Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics. - 2002. - P. 1-10.

48. Berger M. Analysis of slope limiters on irregular grids / M. Berger, M.J. Aftosmis, S.M. Murman // 43rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit - Meeting Papers. - 2005. - P. 2361-2382.

49. Blazek J. Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications / J. Blazek. -Elsevier, 2015. - 447 p.

50. Boris J. P. Flux-corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works / J.P. Boris, D.L. Book // Journal of Computational Physics. - 1973. - Vol. 11. - № 1. -P. 38-69.

51. Borovoy V. The shock-waves interference in the flow around a cylinder mounted on a blunted plate / V. Borovoy et al. // 7 th European Conference For Aeronautics And Aerospace Sciences. - 2017. - P. 1-8.

52. Bruner C.W. S. Parallelization of the Euler equations on unstructured grids / C.W.S. Bruner, R.W. Walters // 13th Computational Fluid Dynamics Conference. - 1997. -P. 446-470.

53. Brusniak L. Physics of unsteady blunt-fin-induced shock wave/turbulent boundary layer interactions / L. Brusniak, D.S. Dolling // Journal of Fluid Mechanics. - 1994. - Vol. 273.

- P. 375-409.

54. Buffard T. Monoslope and multislope MUSCL methods for unstructured meshes / T. Buffard, S. Clain // Journal of Computational Physics. - 2010. - Vol. 229. - № 10. -P. 3745-3776.

55. Buning P. Solution of the two-dimensional Euler equations with generalized coordinate transformation using flux vector splitting / P. Buning, J. Steger // 3rd Joint Thermophysics, Fluids, Plasma and Heat Transfer Conference. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1982.

56. Cabello J. A comparison of higher order schemes used in a finite volume solver for unstructured grids / J. Cabello, K. Morgan, R. Loehner // Fluid Dynamics Conference / ed. Intergovernmental Panel on Climate Change. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1994. - Vol. 53. - P. 1-30.

57. Caramana E.J. Formulations of Artificial Viscosity for Multi-dimensional Shock Wave Computations / E.J. Caramana, M.J. Shashkov, P.P. Whalen // Journal of Computational Physics. - 1998. - Vol. 144. - № 1. - P. 70-97.

58. Carrion M. Implementation of all-Mach Roe-type schemes in fully implicit CFD solvers -demonstration for wind turbine flows / M. Carrion et al. // Int. J. Numer. Meth. Fluids 2013.

- 2013. - Vol. 73. - P. 693-728.

59. Chakravarthy S. The Split Coefficient Matrix method for hyperbolic systems of gasdynamic equations / S. Chakravarthy, D. Anderson, M. Salas // 18th Aerospace Sciences Meeting. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics.

- 1980.

60. Chauvat Y. Shock wave numerical structure and the carbuncle phenomenon / Y. Chauvat, J.-M. Moschetta, J. Gressier // International journal for numerical methods in fluids. -2005.- Vol. 47. - P. 903-909.

61. Chen S. Affordable shock-stable item for Godunov-type schemes against carbuncle phenomenon / S. Chen et al. // Journal of Computational Physics. - 2018. - Vol. 373. -P. 662-672.

62. Choi Y.-H. The Application of Preconditioning in Viscous Flows / Y.-H. Choi, C.L. Merkle // Journal of Computational Physics. - 1993. - Vol. 105. - № 2. - P. 207-223.

63. Clain S. A high-order finite volume method for systems of conservation laws-Multidimensional Optimal Order Detection (MOOD) / S. Clain, S. Diot, R. Loubere // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230. - № 10. - P. 4028-4050.

64. Clemens N. T. Low-Frequency Unsteadiness of Shock Wave/Turbulent Boundary Layer Interactions / N.T. Clemens, V. Narayanaswamy // Annual Review of Fluid Mechanics. -2014. - Vol. 46. - № 1. - P. 469-492.

65. Colella P. The Piecewise Parabolic Method (PPM) for gas-dynamical simulations / P. Colella, P.R. Woodward // Journal of Computational Physics. - 1984. - Vol. 54. - № 1. -P. 174-201.

66. Combs C.S. Investigating unsteady dynamics of cylinder-induced shock-wave/transitional boundary-layer interactions / C.S. Combs et al. // AIAA Journal. - 2018. - Vol. 56. - № 4. - P. 1588-1599.

67. Courant R. On the Partial Difference Equations of Mathematical Physics / R. Courant, K. Friedrichs, H. Lewy // IBM Journal of Research and Development. - 1967. - Vol. 11. -№ 2. - P. 215-234.

68. Darwish M. S. TVD schemes for unstructured grids / M.S. Darwish, F. Moukalled // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2003. - Vol. 46. - № 4. - P. 599-611.

69. Denner F. TVD differencing on three-dimensional unstructured meshes with monotonicity-preserving correction of mesh skewness / F. Denner, B.G.M. van Wachem // Journal of Computational Physics. - 2015. - Vol. 298. - P. 466-479.

70. Devenport W. J. Time-dependent and time-averaged turbulence structure near the nose of a wing-body junction / W.J. Devenport, R.L. Simpson // Journal of Fluid Mechanics. -1990. - Vol. 210. - № 23. - P. 23-55.

71. Dolling D. S. Blunt fin-induced shock wave/turbulent boundary-layer interaction / D.S. Dolling, S.M. Bogdonoff // AIAA Journal. - 1982. - Vol. 20. - № 12. - P. 1674-1680.

72. Dolling D. S. Fifty years of shock-wave/boundary-layer interaction research: What next? / D.S. Dolling // AIAA Journal. - 2001. - Vol. 39. - № 8. - P. 1517-1531.

73. Einfeldt B. On Godunov-Type Methods for Gas Dynamics / B. Einfeldt // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1988. - Vol. 25. - № 2. - P. 294-318.

74. Engquist B. One-Sided Difference Approximations for Nonlinear Conservation Laws / B. Engquist, S. Osher // Mathematics of Computation. - 1981. - Vol. 36. - № 154. -P. 321-351.

75. Ferziger J. H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics / J.H. Ferziger, M. Peric. - Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1999. - 423 p.

76. Fleming J. L. An experimental study of a turbulent wing-body junction and wake flow / J.L. Fleming et al. // Experiments in Fluids. - 1993. - Vol. 14. - № 5. - P. 366-378.

77. Friedrich O. Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for the Interpolation of Mean Values on Unstructured Grids / O. Friedrich // Journal of Computational Physics. - 1998.

- Vol. 144. - № 1. - P. 194-212.

78. Gaitonde D. V. Progress in shock wave/boundary layer interactions / D. V. Gaitonde // Progress in Aerospace Sciences. - 2015. - Vol. 72. - P. 80-99.

79. Gang D. Characteristics of the cylinder-induced shock wave and turbulent boundary layer interactions / D. Gang, S. Yi, L. He // Journal of Visualization. - 2016. - Vol. 19. - № 4.

- P. 581-585.

80. Gressier J. Robustness versus accuracy in shock-wave computations / J. Gressier, J.M. Moschetta // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2000. - Vol. 33. -№ 3. - P. 313-332.

81. Harlow F. H. A numerical fluid dynamics calculation method for all flow speeds / F.H. Harlow, A.A. Amsden // Journal of Computational Physics. - 1971. - Vol. 8. - № 2. -P. 197-213.

82. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten // Journal of Computational Physics. - 1983. - Vol. 49. - № 3. - P. 357-393.

83. Harten A. On Upstream Differencing and Godunov-Type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws / A. Harten, P.D. Lax, B. van Leer // SIAM Review. - 1983. - Vol. 25.

- № 1. - P. 35-61.

84. Harten A. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes, III / A. Harten et al. // Journal of Computational Physics. - 1987. - Vol. 71. - № 2. - P. 231-303.

85. Hayakawa K. Hot-wire investigation of an unseparated shock-wave/turbulent boundary-layer interaction / K. Hayakawa, A.J. Smits, S.M. Bogdonoff // AIAA Journal. - 1984. -Vol. 22. - № 5. - P. 579-585.

86. Hou J. Improved total variation diminishing schemes for advection simulation on arbitrary grids J. / J. Hou, F. Simons, R. Hinkelmann // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2011. - Vol. 65. - P. 236-253.

87. Houwing A. F. P. Laminar boundary layer separation at a fin-body junction in a hypersonic flow / A.F.P. Houwing et al. // Shock Waves. - 2001. - Vol. 11. - № 1. - P. 31-42.

88. Hung C.-M. Simulation of blunt-fin-induced shock-wave and turbulent boundary-layer interaction / C.-M. Hung, P.G. Buning // Journal of Fluid Mechanics. - 1985. - Vol. 154. - P. 163-185.

89. Hu C. Weighted Essentially Non-oscillatory Schemes on Triangular Meshes / C. Hu, C.W. Shu // Journal of Computational Physics. - 1999. - Vol. 150. - № 1. - P. 97-127.

90. Hu Y.-C. Bistable states and separation hysteresis in curved compression ramp flows / Y.-C. Hu et al. // Physics of Fluids. - 2020. - Vol. 32. - № 11. - P. 113601.

91. Jameson A. Numerical solution of the Euler equations by finite volume methods using Runge Kutta time stepping schemes / A. Jameson, W. Schmidt, E. Turkel // 14th Fluid and Plasma Dynamics Conference. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1981. - P. 1-19.

92. Jameson A. Implicit Schemes and LU Decompositions / A. Jameson, E. Turkel // Mathematics of Computation. - 1981. - Vol. 37. - № 156. - P. 385-397.

93. Jameson A. Artificial diffusion, upwind biasing, limiters and their effect on accuracy and multigrid convergence in transonic and hypersonic flows / A. Jameson // 11th Computational Fluid Dynamics Conference. - 1993. - P. 1-28.

94. Jameson A. Positive schemes and shock modelling for compressible flows / A. Jameson // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 1995. - Vol. 20. - № 8-9. -P. 743-776.

95. Kang M. B. Heat transfer and flowfield measurements in the leading edge region of a stator vane endwall / M.B. Kang, A. Kohli, K.A. Thole // ASME J. Turbomach. - 1999. - Vol. 121. -№3. - P. 558-568.

96. Karpov A. V. The method of the artificial zig-zag grid-lines dumping of numerical fluctuations behind a strong waves in a shock-capturing schemes / A.V. Karpov, E.I. Vasilev. // Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia 1. Matematika. Fizika. - 2002. - Vol. 7. - P. 40-49

97. Kitamura K. Simple and parameter-free second slope limiter for unstructured grid aerodynamic simulations / K. Kitamura, E. Shima // AIAA Journal. - 2012. - Vol. 50. -№ 6. - P. 1415-1426.

98. Knight D. D. Advances in CFD prediction of shock wave turbulent boundary layer interactions / D.D. Knight et al. // Progress in Aerospace Sciences. - 2003. - Vol. 39. -P. 121-184.

99. Knight D. Hypersonic shock wave transitional boundary layer interactions - A review / D. Knight, M. Mortazavi // Acta Astronautica. - 2018. - Vol. 151. - P. 296-317.

100. Kolesnik E. V. Analysis of performance of scalar limiters in high-order schemes used for unstructured-grid gasdynamic flow computations / E.V. Kolesnik, E.M. Smirnov // Advanced Math. Models & Applications. - 2017. - Vol. 2. - № 3. - P. 258-266.

101. Kolesnik E. V., Smirnov E.M. Some aspects of numerical modeling of inviscid supersonic flow in a duct with a central wedge / E.V. Kolesnik, E.M. Smirnov // Journal of Physics: Conference Series. - 2018. - Vol. 1038. - № 1. - P. 012133.

102. Kolesnik E. V. Numerical study of the vortex structure influence on heat transfer in the supersonic flow past a plate and a blunt fin junction / E.V. Kolesnik, A.A. Smirnovsky // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol. 1400. - № 077030. - P. 077030.

103. Kolesnik E. V. Compressibility effect on heat transfer intensified by horseshoe vortex structures in turbulent flow past a blunt-body and plate junction / E.V. Kolesnik, A.A. Smirnovsky, E.M. Smirnov // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1565. - P. 012104.

104. Kolesnik E. V. Self-excited periodic oscillations in a supersonic laminar flow past a blunt-fin body mounted on a plate / E.V. Kolesnik, A.A. Smirnovsky, E.M. Smirnov // J. Phys. Conf. Ser. - 2020. - Vol. 1697. - P. 012223.

105. Korkegi R. H. Survey of viscous interactions associated with high Mach number flight / R.H. Korkegi // AIAA Journal. - 1971. - Vol. 9. - № 5. - P. 771-784.

106. Lakshmanan B. Study of supersonic intersection flowfield at modified wing-body junctions / B. Lakshmanan, S.N. Tiwari // AIAA Journal. - 1993. - Vol. 31. - № 5. -P. 877-883.

107. Lakshmanan B. Investigation of three-dimensional separation at wing/body junctions in supersonic flows / B. Lakshmanan, S.N. Tiwari // Journal of Aircraft. - 1994. - Vol. 31. -№ 1. - P. 64-71.

108. Laney C. B. Computational Gasdynamics / C.B. Laney. - Cambridge University Press, 1998. - 629 p.

109. Lash E. L. Developing an image-based analysis of the dynamics of transitional shock wave-boundary layer interactions / E. Lara Lash et al. // 32nd AIAA Aerodynamic Measurement Technology and Ground Testing Conference. - 2016. - P. 1-15.

110. Lax P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation / P. D. Lax // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1954. -Vol. 7. - № 1. - P. 159-193.

111. van Leer B. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme. II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme / B. van Leer // Journal of Computational Physics. - 1974. - Vol. 14. -№ 4. - P. 361-370.

112. van Leer B. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme. IV. A New Approach to Numerical Convection / B. van Leer // Journal of Computational Physics. - 1977. -Vol. 23. - P. 276-299.

113. van Leer B. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme V. A Second-Order Conservative Difference Scheme. Sequel to Godunov's Method / B. van Leer // Journal of Computational Physics. - 1979. - Vol. 32. - № 1. - P. 101-136.

114. van Leer B. Flux-vector splitting for the Euler equations / B. van Leer // Lect. Not. Phys. - 1982. - Vol.170- P. 507-512.

115. van Leer B. The Development of Numerical Fluid Mechanics and Aerodynamics since the 1960s: US and Canada / B. van Leer // Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design. - 2009. - Vol. 100. - P. 159-185.

116. Levchenya A. M. RANS-based numerical simulation and visualization of the horseshoe vortex system in the leading edge endwall region of a symmetric body / A.M. Levchenya, E.M. Smirnov, V.D. Goryachev // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 2010. -Vol. 31. - № 6. - P. 1107-1112.

117. Li L. An improved r-factor algorithm for TVD schemes / L. Li, H. Liao, L. Qi // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2008. - Vol. 51. - P. 610-617.

118. Li X. An Improved Roe Scheme for All Mach-Number Flows Simultaneously Curing Known Problems / X. Li, X. Ren, C. Gu // arXiv: 1711.09272 Computational Physics. -2017.

119. Li J. Comparison of the generalized Riemann solver and the gas-kinetic scheme for inviscid compressible flow simulations / J. Li, Q. Li, K. Xu // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230. - № 12. - P. 5080-5099.

120. Lindörfer S. A. Numerical Simulations of a Cylinder-Induced Shock Wave/Boundary Layer Interaction / S.A. Lindörfer et al. // 55th AIAA Aerospace Sciences Meeting. -Reston, Virginia: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2017. - Vol. 0534.

- P. 1-22.

121. Lindörfer S. A. Scaling of cylinder-generated shock-wave/turbulent boundary-layer interactions / S.A. Lindörfer et al. // Shock Waves. - 2020. - Vol. 30. - № 4. - P. 395-407.

122. Liou M.-S. A New Flux Splitting Scheme / M.-S. Liou, C.J. Steffen // Journal of Computational Physics. - 1993. - Vol. 107. - № 1. - P. 23-39.

123. Liou M.S. A sequel to AUSM, Part II: AUSM+-up for all speeds / M.S. Liou // Journal of Computational Physics. - 2006. - Vol. 214. - № 1. - P. 137-170.

124. Liou M.S. The evolution of AUSM schemes / M.S. Liou // Defence Science Journal. -2010. - Vol. 60. - № 6. - P. 606-613.

125. Liu X.-D. Weighted Essentially Non-oscillatory Schemes / X.-D. Liu, S. Osher, T. Chan // Journal of Computational Physics. - 1994. - Vol. 115. - № 1. - P. 200-212.

126. Luo H. A Fast, Matrix-free Implicit Method for Compressible Flows on Unstructured Grids / H. Luo, J.D. Baum, R. Löhner // Journal of Computational Physics. - 1998. - Vol. 146.

- № 2. - P. 664-690.

127. Majda A. The derivation and numerical solution of the equations for zero Mach number combustion / A. Majda, J. Sethian // Combustion Science and Technology. - 1985. -Vol. 42. - № 3-4. - P. 185-205.

128. Mengaldo G. A Guide to the Implementation of Boundary Conditions in Compact HighOrder Methods for Compressible Aerodynamics / G. Mengaldo et al. // 7 th AIAA Theoretical Fluid Mechanics Conference. - Reston, Virginia: American Institute of Aeronautics and Astronautics. - 2014.

129. Menter F. R. Ten Years of Industrial Experience with the SST Turbulence Model Turbulence heat and mass transfer / F.R. Menter, M. Kuntz, R. Langtry // Heat and Mass Transfer. - 2003. - Vol. 4. - P. 625-632.

130. Michalak C. Limiters for unstructured higher-order accurate solutions of the Euler equations / C. Michalak, C. Ollivier-Gooch // 46th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. - 2008. - P. 1-14.

131. Michalak C. Accuracy preserving limiter for the high-order accurate solution of the Euler equations / C. Michalak, C. Ollivier-Gooch // Journal of Computational Physics. - 2009. -Vol. 228. - № 23. - P. 8693-8711.

132. Mortazavi M. Shock Wave Laminar Boundary Layer Interaction at a Hypersonic Flow Over a Blunt Fin-Plate Junction / M. Mortazavi, D.D. Knight // 55th AIAA Aerospace Sciences Meeting. - Reston, Virginia: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2017. - P. 1-9.

133. Mortazavi M. Numerical Simulation of ShockWave/Laminar Boundary Layer Interaction Over a Blunt Geometry / M. Mortazavi, D.D. Knight // 7 th European Conference For Aeronautics And Aerospace Sciences. - 2017.

134. Mortazavi M. Simulation of Hypersonic-Shock-Wave-Laminar-Boundary-Layer Interaction over Blunt Fin / M. Mortazavi, D. Knight // AIAA Journal. - 2019. - Vol. 57.

- № 8. - P. 3506-3523.

135. Najm H. N. Modeling low mach number reacting flow with detailed chemistry and transport / H.N. Najm, O.M. Knio // Journal of Scientific Computing. - 2005. - Vol. 25. -№ 1-2. - P. 263-287.

136. Nejat A. A High-Order Accurate Unstructured Newton-Krylov Solver for Inviscid Compressible Flows / A. Nejat, C. Ollivier-Gooch // 36th AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibit. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2006. - P. 1-18.

137. Nishikawa H. Very simple, carbuncle-free, boundary-layer-resolving, rotated-hybrid Riemann solvers / H. Nishikawa, K. Kitamura // Journal of Computational Physics. - 2008.

- Vol. 227. - № 4. - P. 2560-2581.

138. Oliveira M. Implicit LES for Shock/Blunt Body Interaction / M. Oliveira, C. Liu // 48th AIAA Aerospace Sciences Meeting Including the New Horizons Forum and Aerospace

Exposition. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics. -2010. - P. 1-10.

139. Pandolfi M. Numerical Instabilities in Upwind Methods: Analysis and Cures for the "Carbuncle" Phenomenon / M. Pandolfi, D. D'Ambrosio // Journal of Computational Physics. - 2001. - Vol. 166. - № 2. - P. 271-301.

140. Panov Y. A. Pressure oscillation on a plane upstream of an obstacle in a supersonic flow / Y.A. Panov, A.I. Shvets // Fluid Dynamics. - 1998. - Vol. 33. - № 1. - P. 56-60.

141. Park J. S. Multi-dimensional limiting process for hyperbolic conservation laws on unstructured grids / J.S. Park, S.H. Yoon, C. Kim // Journal of Computational Physics. -2010. - Vol. 229. - № 3. - P. 788-812.

142. Patankar S. V. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows / S. V. Patankar, D.B. Spalding // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1972. - Vol. 15. - № 10. - P. 1787-1806.

143. Pattenden R. J. Measurements of the flow over a low-aspect-ratio cylinder mounted on a ground plane / R.J. Pattenden, S.R. Turnock, X. Zhang // Exp. Fluids. - 2005. - Vol. 39. -№ 1. - P. 10-21.

144. Peery K. Blunt-body flow simulations / K. Peery, S. Imlay // 24th Joint Propulsion Conference. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1988.

- P. 1-15.

145. Praisner T. J. The Dynamics of the Horseshoe Vortex and Associate Endwall Heat Transfer

- Part I: Temporal Behavior / T.J. Praisner, C.R. Smith // ASME J. Turbomach. - 2006. -Vol. 128. - № 4. - P. 747-754.

146. Praisner T. J. The Dynamics of the Horseshoe Vortex and Associate Endwall Heat Transfer

- Part II: Time-Mean Results / T.J. Praisner, C.R. Smith // ASME J. Turbomach. - 2006.

- Vol. 128. - № 4. - P. 755-762.

147. Quirk J. J. A contribution to the great Riemann solver debate / J.J. Quirk // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 1994. - Vol. 18. - № 6. - P. 555-574.

148. Ramshaw J. D. A numerical technique for low-speed homogeneous two-phase flow with sharp interfaces / J.D. Ramshaw, J.A. Trapp // Journal of Computational Physics. - 1976.

- Vol. 21. - № 4. - P. 438-453.

149. Ren Y.-X. A robust shock-capturing scheme based on rotated Riemann solvers/ Y.-X. Ren // Computers and Fluids. - 2003. - Vol. 32. - P. 1379-1403.

150. Robinet J. C. Shock wave instability and the carbuncle phenomenon: Same intrinsic origin? / J.C. Robinet et al. // Journal of Fluid Mechanics. - 2000. - Vol. 417. - P. 237-263.

151. Rogers S. A diagonal algorithm for the method of pseudocompressibility / S. Rogers, D. Kwak, J. Chang // 4 th Joint Fluid Mechanics, Plasma Dynamics and Lasers Conference. -Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics. - 1986. - P. 1-8.

152. Rodionov A. V. Artificial viscosity in Godunov-type schemes to cure the carbuncle phenomenon / A. V. Rodionov // Journal of Computational Physics. - 2017. - Vol. 345. -P. 308-329.

153. Rodionov A. V. Artificial viscosity to cure the carbuncle phenomenon: The three-dimensional case / A. V. Rodionov // Journal of Computational Physics. - 2018. -Vol. 361. - P. 50-55.

154. Roe P. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes / P. Roe // Journal of Computational Physics. - 1981. - Vol. 43. - № 2. - P. 357-372.

155. Roe P. L. Characteristic based schemes for the Euler equations/ P. Roe // Ann. Rev. Fluid Mech. - 1986. - Vol. 18. - № 1. - Pp. 337-365.

156. Saad Y. GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Systems / Y. Saad, M.H. Schultz // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. - 1986. - Vol. 7. - № 3. - P. 856-869.

157. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems / Y. Saad. - Society for Industrial and Applied Mathematics. - 2003. - 547 p.

158. Shima E. On New Simple Low-Dissipation Scheme of AUSM-Family for All Speeds / E. Shima, K. Kitamura // 47th AIAA Aerospace Sciences Meeting including The New Horizons Forum and Aerospace Exposition. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics. - 2009. - P. 1-12.

159. Shu C.-W. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes / C.-W. Shu, S. Osher // Journal of Computational Physics. - 1988. - Vol. 77. -№ 2. - P. 439-471.

160. Shur M. L. Noise Prediction for Underexpanded Jets in Static and Flight Conditions / M. L. Shur, P. R. Spalart, M. K. Strelets // AIAA JOURNAL. - 2011. - Vol. 49. - № 9. -P. 2000-2017.

161. Schulz W. D. Tensor artificial viscosity for numerical hydrodynamics / W.D. Schulz // Journal of Mathematical Physics. - 1964. - Vol. 5. - № 1. - P. 133-138.

162. Schuricht P. H. Hypersonic interference heating induced by a blunt fin / P.H. Schuricht, G.T. Roberts // AIAA Journal. - 1998. - Vol. 1579. - P. 1-9.

163. Smirnov E. M. Modification of Wall Boundary Conditions for Low-Re £-© Turbulence Models Aimed at Grid Sensitivity Reduction / E.M. Smirnov, D.K. Zaitsev // European Conference for Aerospace Sciences. - 2005. - 7 p.

164. Smirnov E. M. Application of an unstructured Navier-Stokes code to prediction of adiabatic effectiveness of endwall flush-slot-cooling for a stator vane passage / E.M. Smirnov, P.E. Smirnov // Proceedings of the 3rd international Conference on Advanced Computational Methods in Engineering (ACOMEN-2005). - 2005. - 11p.

165. Smirnov E. M. Comparison of RANS and IDDES solutions for turbulent flow and heat transfer past a backward-facing step / E.M. Smirnov, A.A. Smirnovsky, N.A. Schur, D.K. Zaitsev, P.E. Smirnov // Heat Mass Transfer. - 2018. - Vol. 54. - № 8. - P. 2231-2241.

166. Sonneveld P. CGS, A Fast Lanczos-Type Solver for Nonsymmetric Linear systems / P. Sonneveld // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. - 1989. - Vol. 10. -№ 1. - P. 36-52.

167. Spalart P. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows / P. Spalart, S. Allmaras // 30th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics. - 1992. - P. 23.

168. Spalart P. Trends in turbulence treatments / P. Spalart // Fluids 2000 Conference and Exhibit. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics. - 2000.

169. Steger J. L. Flux vector splitting of the inviscid gasdynamic equations with application to finite-difference methods / J.L. Steger, R. Warming // Journal of Computational Physics. -1981. - Vol. 40. - № 2. - P. 263-293.

170. Sweby P. K. High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws. / P.K. Sweby // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1984. - Vol. 21. - № 5. -P. 995-1011.

171. Titarev V. A. Application of the Nesvetay Code for Solving Three-Dimensional High-Altitude Aerodynamics Problems / V.A. Titarev // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2020. - V.60. - № 4. - P. 737-748.

172. Toro E. F. Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann solver / E.F. Toro, M. Spruce, W. Speares // Shock Waves. - 1994. - Vol. 4. - № 1. - P. 25-34.

173. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics / E.F. Toro. -Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2009. - 738 p.

174. Le Touze C. Multislope MUSCL method for general unstructured meshes / C. Le Touze, A. Murrone, H. Guillard // Journal of Computational Physics. - 2015. - Vol. 284. -P. 389-418.

175. Tsoutsanis P. WENO schemes on arbitrary mixed-element unstructured meshes in three space dimensions / P. Tsoutsanis, V.A. Titarev, D. Drikakis // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230. - № 4. - P. 1585-1601.

176. Turkel E. Preconditioned methods for solving the incompressible and low speed compressible equations / E. Turkel // Journal of Computational Physics. - 1987. - Vol. 72. - № 2. - P. 277-298.

177. Turkel E. Preconditioning Techniques in Computational Fluid Dynamics / E. Turkel // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1999. - Vol. 31. - № 1. - P. 385-416.

178. Turkel E. Robust low speed preconditioning for viscous high lift flows / E. Turkel // 40th AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics. - 2002.

179. Tutty O.R. High-speed laminar flow past a fin-body junction / O.R. Tutty, G.T. Roberts, P.H. Schuricht // Journal of Fluid Mechanics. - 2013. - Vol. 737. - P. 19-55.

180. Venkatakrishnan V. Convergence to Steady State Solutions of the Euler Equations on Unstructured Grids with Limiters / V. Venkatakrishnan // Journal of Computational Physics. - 1995. - Vol. 118. - № 1. - P. 120-130.

181. Visbal M.R. Structure of laminar juncture flows / M.R. Visbal // AIAA Journal. - 1991. -Vol. 29. - № 8. - P. 1273-1282.

182. Volkov K. N. Preconditioning of the equations gas dynamics in calculations of flow compressed gas with low-Mach number / K. N. Volkov, A.G Karpenko// Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2015. - V. 55. - №6. - P. 1058-1075.

183. VonNeumann J. A Method for the Numerical Calculation of Hydrodynamic Shocks / J. VonNeumann, R. D. Richtmyer // Journal of Applied Physics. - 1950. - Vol. 21. - № 3. -P. 232-237.

184. van der Vorst H.A. Bi-CGSTAB: A Fast and Smoothly Converging Variant of Bi-CG for the Solution of Nonsymmetric Linear Systems / H.A. van der Vorst // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. - 1992. - Vol. 13. - № 2. - P. 631-644.

185. Wada Y. An accurate and robust flux splitting scheme for shock and contact discontinuities / Y. Wada, M. Liou // SIAM J. Sci. Comput. - 1997. - Vol. 18. - № 3. - P. 633-657.

186. Wang Z.J. A fast nested multi-grid viscous flow solver for adaptive Cartesian/Quad grids / Z.J. Wang // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 2000. - Vol. 33. - P. 657-680.

187. Weiss J. Preconditioning applied to variable and constant density time-accurate flows on unstructured meshes / J. Weiss, W. Smith // Fluid Dynamics Conference. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics. - 1994. - Vol. 33.

188. Zheng H.W. A new limiter for hybrid grid / H.W. Zheng // Procedia Engineering. - 2013. - Vol. 67. - P. 430-437.

189. Zhuang Y.Q. Quasi-periodic Aerodynamic Heating in Blunt-fin Induced Shock Wave/Boundary Layer Interaction / Y.Q. Zhuang, X.Y. Lu // Procedia Engineering. -2015. - Vol. 126. - P. 134-138.

Приложения

П.1. Квазиодномерный подход для решения системы уравнений Эйлера: общие сведения [173, 108]

При построении численных схем на основе квазиодномерного подхода обычно исходят из рассмотрения системы одномерных нестационарных уравнений Эйлера в направлении к нормали для текущей грани.

Одномерная система уравнений Эйлера в консервативной форме записывается в виде (n - направление нормали к текущей грани):

8w 8F -— + — = 0. 8t dn

(П.1.1)

Вектор консервативных переменных w и вектор невязких потоков F определяются соотношениями (П.1.2) и (П.1.3).

Р

pu

w = pv pw pE

' pV ■ n pV ■ nu + pn ■ i F = pV ■ nv + pn ■ j pV ■ nw+pn ■ k pV ■ пЯ

Систему (П.1.1) можно переписать в неконсервативной форме:

8w . 8w

--h А-= 0,

8t dn

(П.1.2)

(П.1.3)

(П.1.4)

где A - матрица Якоби, имеющая следующий вид:

А = ст/ дw -

п„

п„

п„

0

V2

(у-1)VI пх -uVn Vn + пхи (2-у) пуи - Пху(у-1) п2и - пхм (у-1) (у-1)

) п.

V 2

(у-1) пу - пху - пуи (у-1) К + пуу (2-У) - пу™ (у-1) (у-1)

п

V2

)п

(у-1)~2 п; -wVn пх^-пи(у-1) пу*-(у-1) К + (2-у) (у-1)п

(у-1) VnV2-уEVn Нпх-(у-1) uVn Нпу-(у-1) vVn Нп2-(у-1) ^ уVn

Характеристические свойства системы определяются собственными числами матрицы А, которые вычисляются по формулам:

(П.1.5)

Чз = К ± а

X = V

' 2,3,4 у- •

(П.1.6)

В ряде случаев систему (П.1.4) удобно переписать относительно примитивных переменных ц:

Р и

V

w Т

(П.1.7)

Для этого вводится матрица перехода от консервативных переменных к примитивным 8 = д^/дц, которая записывается следующим образом:

§ = ^ = дц

Гр

р Ри р

р Pw

0 0 0

р 0 0

0 р 0

0 0 р

рт

рт и рт у

рт

(П.1.8)

ррН -1 ри рv рw ргН + рс

Производные рр, рт для совершенного газа вычисляются по формулам:

р

гр Л 2 '

р др а

др р

УТ ст т

Тогда систему (П.1.4) можно записать в следующем виде:

(П.1.9) (П.1.10)

+Л8^а=о

01 оп Матрица Л8 = дР/дц будет иметь вид

(П.1.11)

(П.1.12).

" (V ЯТ )Уп рпх рпу

(1/ ЯТ) уи + пх р (ипх + у) Рипу

(V ЯТ )¥ПУ + пу рупх р( шу + У п)

(V ЯТ )Упн> + пг рwnx рwny

рп ~рУ„1Т

рип/ -рУпи/Т

рш/ -ру^!Т

р(+ У п ) -рУп^1Т

(П.1.12)

(11/ЯТ)УпИ рпхН + риУп рпуИ + ргУп рпН + рwVn -(рУп/Т)У2/2_

Если ввести обозначение Ад = 8-1Л8, то система (П.1.11) перепишется в виде:

+а =о.

0г 4 0п

Приведем явный вид матрицы Ад = 8-1дР/дц:

(П.1.13)

А =

V пхрЯТ У пурЯТ у п/рЯТ у о

п*1 р К о о о

Пу/р о к о о

/ о о У о

(П.1.14)

о (У-1) пхТ (у-1) пуТ (у-1) п2Т Уп При переходе к примитивным переменным характеристические свойства системы и, соответственно, собственные числа не меняются, то есть собственные числа матрицы Ад совпадают с собственными числами матрицы А, которые имеют вид (П.1.6).

П.2. Регуляризация системы газодинамических уравнений по методу Туркела [176]

Для перехода от системы (П.1.11) к системе уравнений Эйлера в «стандартной» форме относительно примитивных переменных обе части системы необходимо умножить слева на матрицу К:

К =

-[И -(и

В результате получится система:

1 0 0 0 0

-и 1 0 0 0

-V 0 1 0 0

-w 0 0 1 0

'2 + V2 + w2)l -и -V -w 1

(П.2.1)

га д + КЛ8 д = 0

(П.2.2)

д? дп

Матрица КЗ при векторе производных по времени дц/д/ определяется следующей таблицей:

К8 =

р р 0 0 0 рг

0 р 0 0 0

0 0 р 0 0

0 0 0 р 0

-1 0 0 0 рср

(П.2.3)

В случае регуляризации системы уравнений Эйлера по методу Туркела в матрице (П.2.3) вводится следующая замена:

Рр = 4 =

а

1

Рг

0 рс

(П.2.4)

р У

Отметим, что в случае 0 = рр, в = а2 формулы, приведённые далее, тождественно совпадают с аналогичными формулами для нерегуляризованной системы.

С учетом введенных обозначений матрица 8 (обозначается через Г для регуляризованной системы) и обратная ей запишется в виде:

Г

е 0 0 0 р г

ем р 0 0 рт и

г = еу 0 р 0 ргу

ем> 0 0 р р^

ен -1 ри рУ р^ ртн + рср _

1 V 2 и V w 1

Тср е-1 2 гс ре-1 гс ре-1 гср е-1 гср е

-(1 р) и 1 р 0 0 0

-(1 р) V 0 1/ р 0 0

-(1/ р) ^ 0 0 1 р 0

г (е^2 - н ^ +1) г еи г еу г еw ге

р(ГСр9-1) р(Твр е-1) р(ГСр9-1) р(ГСр9-1) р(ГСр9-1)

(П.2.5)

(П.2.6)

Матрица Ar = Г-1 dF/dq = Г-1 A S примет следующий вид:

Ar =

Vn Cv nxTc pp nyTC pp nTc pp 0

R (TCp0-1) Tc p 0-1 Tcp 0-1 TC p 0-1

nJ P Vn 0 0 0

пу1 p 0 v„ 0 0

njp 0 0 V 0

Vn (RT0-1) nTT nT nzT Vn

Rp(TCp9-1) Tc p 0-1 TCp 0-1 Tc p 0-1

(П.2.7)

Модуль матрицы |Аг| вычисляется как сумма положительной и отрицательной составляющей:

| А 1= Аг • (П.2.8)

Для расчета матриц А^г можно воспользоваться экономичными вычислениями, в

которые входят только компоненты двух (отвечающих собственным числам Х.1,5 = Уп±а) правых и левых собственных векторов:

Компоненты матриц А^г вычисляются по формулам:

(^L = m (■ "V)^"^ min V' Vn -■(}Т + VA

(Ar").. = m min{0, ■(}/f

, при Vn > 0,

(A;).. = rfmax {0, A, 1} /«

, при V < 0,

(П.2.9)

(П.2.10)

(A") = r™ (■ - V )/f -r(1) max{V , V "■■}/^ + VS„

V Г / m n m V 5 n / n m n ' n 1 J n n »

где m, n = 1,2,..., 5, Smn - символы Кронекера, r(\ - компоненты 1-го и 5-го

правого и левого собственных векторов матрицы Aq:

,(i) -

rr (D 1 '1 " pß " \r (5) 1 '1 " pß i

r (1) '2 _ -1 nx (Vn-■() r (5) '2 _ 1 n. (Vn-■)

r (1) 'З r (1) '4 «y (Vn -■() n (Vn-■() r (() = r (5) 'З ' (5) '4 ny (Vn-■) n (Vn-■)

pß(^5 -^1) , r = pß(^5 -^1)

r (1) _'5 _ ß / Cp ' (5) _'5 _ ß/Cp

(П.2.11)

i(1) =[/i(1), /21), /з(1), /41), /5(1) ] = [■ - Vn pßn Pßn, pßn 0],

i(5) = [/(5), /25), /35), /45), /(5) ] = [■( - Vn Pßnx pßn pßn 0].

(П.2.12)

П.3. Схемы расчета конвективных потоков

При описании схем используются понятия значений величин слева и справа от грани, обозначаемые индексами «Ь» и «Я». Если в качестве таких значений берутся значения из центров прилегающих ячеек, то в этом случае численный метод имеет первый порядок точности. Для реализации схем повышенного порядка точности в качестве значений слева и справа от грани используются «уточненные» значения переменных.

Схема Годунова

Схема Годунова [8] основана на аналитическом решении задачи Римана для нелинейной системы уравнений Эйлера (П.1.1). Задача Римана (задача о распаде произвольного разрыва) состоит в определении обобщенного решения интегральных законов сохранения массы, количества движения и энергии при / > 0, удовлетворяющего кусочно-постоянным начальным условиям. Решается одномерная задача о распаде разрыва, полагается, что при / < 0 две области пространства с различными значениями параметров, соответствующие параметрам в ячейке слева и справа, были разделены тонкой перегородкой, а в начальный момент времени / = 0 перегородку убирают. Подробно численный метод описан в [9].

Предполагается, что решение является автомодельным и может быть представлено с помощью х-/ диаграммы в виде комбинации элементарных решений, которые отделены друг от друга областями с постоянными значениями параметров [108, 172]. Схема решения приведена на рисунке П.3.1, решение состоит из трех газодинамических особенностей, левая и правая особенность может быть ударной волной или волной разрежения, они разделены контактной поверхностью.

Поскольку известно, какие соотношения выполняются при переходе через газодинамическую особенность (ударная волна, волна разрежения, контактная поверхность), это позволяет построить алгоритм для нахождения решения. На сильных разрывах (ударная волна и контактная поверхность) выполняются соотношения Рэнкина-Гюгонио, при этом на контактной поверхности выполняется также условие равенства давления и скорости. Волна разрежения является слабым разрывом, при переходе через него наблюдается постоянство инвариантов Римана.

Детально алгоритм нахождения решения состоит в следующем. В предположении, что левая особенность является ударной волной, можно записать соотношение (П.3.1),

связывающее значение скорости и давления, соответствующих параметрам «слева», и значениям на контактной поверхности:

и-и, + р-л- - 0, (П.3.1)

т1

ть ф Р Л )• (П.3.2)