Вспомогательные функционалы качества и контроль устойчивости в задачах стохастической идентификации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Фатьянова, Ольга Александровна

• Фатьянова, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фатьянова, Ольга Александровна

Введение

Глава 1 Постановка задачи

1.1 Линейная дискретная стохастическая система.

1.2 Задача оценивания вектора состояния в стационарном случае. Фильтр Калмана.

1.3 Задача оценивания вектора состояния в квазистационарном случае. Уровни неопределенности. Оптимальный меф тод идентификации.

1.4 Адаптивный фильтр Калмана.

1.5 Линейные дискретные стохастические системы в стандартном наблюдаемом виде.

1.6 Задачи и методы данного исследования.

Глава 2 Вспомогательные функционалы качества

2.1 Требования к построению вспомогательных функционалов качества.

Ф 2.2 Оптимальный критерий качества.

2.3 Построение "минусового" вспомогательного функционала качества

2.4 Построение "плюсового" вспомогательного функционала качества

2.5 Выводы.

Глава 3 Численные алгоритмы идентификации по методу ВФК

3.1 Идентифицируемость по методу ВФК.

3.2 Условия и скорость сходимости вероятностных беспоисковых итеративных алгоритмов.

3.3 Многомерная процедура стохастической аппроксимации

3.4 Оптимальный алгоритм идентификации

3.5 Субоптимальный алгоритм.

3.6 Выводы.

Ф Глава 4 Модель чувствительности

4.1 Вычисление частных производных минусового ВФК

4.2 Вычисление частных производных плюсового ВФК

4.3 Разработка вычислительно эффективных формульных схем

Ш для модели чувствительности.

4.4 Выводы.

Глава 5 Динамический контроль устойчивости на основе критерия Джури

5.1 Необходимость контроля устойчивости.

5.2 Критерий Джури.

5.3 Вычисление коэффициентов характеристического многочлена

5.4 Вычисление коэффициентов характеристического многочлена. Частные случаи.

5.5 Эвристический алгоритм для контроля устойчивости

5.6 Стратегии корректировки в эвристическом алгоритме для контроля устойчивости.

5.7 Выводы.

Глава 6 Вычислительные эксперименты ф 6.1 Программный комплекс.

6.2 Типы проводимых экспериментов.

6.3 Построение линий уровня функционалов качества

6.3.1 Эксперименты для размерности тг = 1. 6.3.2 Эксперименты для размерности п =

6.4 Время сходимости вероятностных численных алгоритмов оптимизации.

6.4.1 Эксперименты для размерности п = 1. ф 6.4.2 Эксперименты для размерности п — 2.

6.5 Проверка работоспособности эвристического алгоритма контроля устойчивости при использовании различных стратегий корректировки

6.6 Выводы по результатам численного моделирования . 105 Заключение 107 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вспомогательные функционалы качества и контроль устойчивости в задачах стохастической идентификации»

Законы протекания многих процессов в окружающем мире естественным образом описываются стохастическими системами. Особенно уместно подобное описание в том случае, когда предмет исследования подвержен случайным воздействиям (шумам), которые трудно задать детерминистскими методами. -Именно поэтому теория стохастических систем в настоящее время применяется во многих отраслях человеческой деятельности, в частности, в биологии, медицине [60, 24], сейсмологии [55], навигации и радиолокации [4, 86, 100], связи и телекоммуникациях [85, 70], экономике [90], промышленности [96, 91].

Пусть имеется реальное явление и его идеальное математическое описание в виде стохастической системы, которую мы будем называть исходной. Зачастую исследователю неизвестны величины, входящие в идеальное математическое описание1. Эта неопределенность может как присутствовать изначально и порождаться нехваткой априорной информации, так и возникать по ходу развития процессов в связи с тем, что в реальности предмет исследования претерпевает изменения (называемые нарушениями).

В этом случае исследователь работает не с исходной системой, а с ее адаптивной моделью, в которой вместо вектора неизвестных параметров в А задействована его оценка 0, а вся доступная для анализа информация заключена в измерениях — данных, поступающих от реального процесса. Под термином "адаптация" понимается процесс изменения параметров модели на основе текущей информации с целью достижения определенного (опти

5В дальнейшем для краткости изложения будем отождествлять реальный процесс и и его математическое описание и обозначать их термином "исходная система", оставляя за рамками данной работы вопросы о возможности, точности, полноте такого описания для тех или иных явлений и объектов окружающего мира. малъного) состояния модели при начальной неопределенности и в изменяющихся условиях работы [44J•

Нужно отметить, что задача адаптации, по существу, представляет собой ф задачу оптимизации в условиях недостаточной априорной информации, где оптимальность понимается как согласованность модели и исходной системы.

• Адаптация включает в себя три тесно связанных компонента:

1. Задача идентификации динамических объектов, которая состоит в определении их параметров и, возможно, структуры по наблюдениям входных воздействий и выходных величин этих объектов [44].

• 2. Задача обнаружения нарушений, т.е. получение информации о том, есть ли рассогласование исходной системы и модели и если есть, то чем оно вызвано.

3. Задача выработки скорректированного (по предыдущим пунктам) управ

• ляющего воздействия.

Одними из первых в своих работах использовали понятие адаптивности Цянь Сюэ-Сэнь [47], а также Benner А.Н. и Drenick R. [57]. Эти публикации положили начало активному развитию теории адаптивных систем как в нашей стране2 [13], [14], [20], [21], [22], [28], [32], [38], [39], [40], [41], [42], [44], [46],

• так и за рубежом [53], [72], [74], [77], [78], [82], [80].

Важной вехой в теории систем стала итеративная концепция адаптивного управления, выдвинутая Беллманом [2] и поддержанная его многочисф ленными последователями [17], [43], [56], [66]. Затем эта идея нашла продолжение в работах Я.З. Цыпкина, который предложил использовать вероятностные итеративные алгоритмы оптимизации критерия качества в качестве

2В 60-е годы в СССР был более распространен термин самонастраивающиеся системы.

• универсального средства для решения различных задач адаптации [44, 45], в том числе, задачи оптимального управления в условиях нарушений и изначальной неопределенности. Эти идеи далее были развиты многими исследователями, в частности, Дж. Саридисом [25] и Сакрисоном [92, 93, 94].

Таким образом, теория адаптивных систем уже к началу 80-х сформировалась в масштабное направление с широким спектром методов, отраженных, в частности, в обзорах [84, 25, 62].

Несмотря на разнообразие существующих подходов и методов, все они могут быть разделены на две большие группы: пассивные и активные3.

Пассивные методы адаптации формируют стратегию управления по заранее известным расчетным соотношениям на основе априорной информации. К этому тину относятся байсовский подход, методы аналитической и расширенной модели. Пассивной адаптации посвящены труды Андерсона [52], Mehra [83, 84], Челпанова [48], и др. [15, 19]. Главным достоинством этого подхода является большее быстродействие по сравнению с активными методами, а к недостаткам следует отнести относительно большой объем необходимых априорных сведений и отсутствие непосредственного контроля за эффективностью настройки и правильностью принимаемых в процессе настойки решений.

Активная адаптация основана на непосредственном слежении за критерием качества или косвенными показателями оптимальности, чувствительными к отклонению параметра модели от оптимального. Оптимизация параметров системы осуществляется по текущей реализации процессов без средних оценок характеристик исходных моделей. Наличие такой обратной связи и настройка по отклонению могут, в принципе, обеспечить любую степень

Зили: разомкнутого типа и замкнутого типа. приспособляемости. Именно это обстоятельство часто позволяет отдать предпочтение активным методам адаптации. Отметим, что приведенная выше постановка задачи адаптации соответствует активному типу. Этот подход разрабатывался в уже упомянутых работах Цыпкина и Саридиса, а также целого ряда исследователей, в числе которых Эйкхофф [50], Лыонг [81], Ядыкин с соавторами [51], Семушин и Понырко [21, 22], Ци и Бар-Шалом (см. главу "Концепции и методы стохастического управления" в сборнике монографий под редакцией Леондеса [16]) и другие [88, 71, 30].

С самого начала специалисты в области адаптации стремились создать методы, дающие несмещенные оценки параметров (см., например, [95]). Первоначальная идея обучающихся фильтров [89], развитая затем рядом исследователей раннего периода [97, 6], оформилась в генеральное, "классическое" направление поисков, известное научному сообществу как метод минимальной ошибки предсказания (МОП) [81, 61].

Отличительная особенность МОП-методов состоит в том, что оптимальный настраиваемый параметр в* отыскивается в процессе минимизации (производимой в допустимом множестве О) функционала невязки r(t) = z{t) — z(t), то есть разности между наблюдаемым выходом z(t) системы и предсказанной оценкой выхода z(t). Наличие обратной связи по функционалу качества в реальном процессе идентификации, а не только в предварительных (теоретических) построениях, позволяет трактовать принцип МОП как активный принцип адаптации.

Хотя МОП-методы стали предметом огромного числа исследований за последние 30 лет, избавиться от смещения в оценках для многих практически важных ситуаций так и не удалось. Положение дел на настоящий момент таково, что несмещенные оценки оптимальных параметров могут быть нолучены только при некоторых специальных допущениях и в специальных формулировках задач [79, 59]. С упомянутым неудобством труднее всего справиться в тех случаях, когда идентификация базируется лишь на неполных и за-шумленных измерениях вектора состояний стохастической системы. В таких случаях функции чувствительности минимизируемого функционала качества могут быть коррелированны с шумом наблюдения, вследствие чего несмещенность оценок больше не может быть гарантирована (см., например, [67],[69]). Причиной смещения оценок, получаемых с помощью МОП-методов, является способ формирования функционала качества идентификации, а именно тот факт, что предсказывается не истинное (недоступное) состояние x(t) объекта, а неполные зашумленные наблюдения z(t), имеющиеся в наличии.

Ситуация усугубляется тем, что алгоритмы параметрической адаптации воздействуют на обратную связь системы управления непосредственно, т.е. очевидна попытка возложить на обратную связь две различные функции, которые противоречат друг другу — генерация сигнала управления и оценивание неизвестного параметра. Эта проблема была вскрыта А.А. Фельдба-умом [38], который сформулировал известное противоречие дуального управления. Оно заключается в невозможности корректного сформирования управляющего воздействия для системы, изменяющейся в ходе идентификации.

Последнее обстоятельство проявляется как серьезное осложнение для работы алгоритмов идентификации: решая задачу адаптации с помощью вероятностных итеративных алгоритмов, исследователь сталкивается с проблемой учета ограничений на допустимые значения настраиваемого параметра, в которой проявляется более общая проблема — проблема контроля устойчивости адаптивной модели.

Данная проблема сводится к минимизации критерия качества на некотором компактном множестве 0, где в есть область устойчивости адаптивной модели, формально задаваемая следующим образом: адаптивная модель с

А А Л некоторым параметром во устойчива тогда и только тогда, когда во G ©.

Контроль устойчивости имеет жизненно важное значение для многих прикладных задач, поскольку даже единичный выход настраиваемого пара

А /\ метра в за границы 0 может приводить к расходимости адаптивной модели [65]. Однако, несмотря на неослабевающий интерес к этой теме и наличие отдельных публикаций [54, 35], приходится признать, что проблема контроля устойчивости недостаточно освещена в литературе. Так, Дж. Саридис отмечает в [25]: "Вопросы устойчивости при проектировании самоорганизующихся систем управления либо вообще не рассматривались, либо рассматривались поверхностно вовсе не потому, что ими можно пренебрегать, а вследствие трудностей, связанных с подобными исследованиями. В случае методов параметрической адаптации исследование сходимости алгоритма чаще всего не проводилось в связи с возникающими аналитическими трудностями. Вследствие этого имели место и неустойчивые машинные решения". Дж. Саридис также подчеркивает, что для систем с неопределенностью требуется использование теории стохастической устойчивости, что означает "обращение к весьма сложной математике и приводит к рекомендациям, которые иногда вызывают сомнения у проектировщиков".

В самом деле, хотя основные результаты теории стохастической устойчивости разработаны достаточно давно, их применение на практике весьма затруднено. Так, известно, что линейная адаптивная модель устойчива, если ее спектральный радиус не превышает единицу. Следовательно, проверка на устойчивость сводится к вычислению собственных чисел А, (0 < г < п), которые являются корнями характеристического многочлена х(^) =

CI*=o аг^п~г ■ Критерий Джури [1, 73], представляющий собой распространение критерия Рауса-Гурвица на дискретные системы, позволяет проверить адаптивную модель на устойчивость без вычисления А», а лишь на основании анализа коэффициентов а* (0 < г < п). Однако как вычисление собственных чисел, так и нахождение коэффициентов xW представляет собой непростую задачу. В общем случае она вряд ли может быть решена аналитически (т.е. вряд ли удастся напрямую выразить а* через в), использование же численных методов порождает ряд серьезных проблем, в числе которых высокая вычислительная сложность (порядка п3 и выше) и борьба с нестабильностью алгоритмов [8]. Наконец, численный метод может дать лишь приближенное значение а*.

Из сказанного видно, что серьезные затруднения имеются уже на этапе проверки устойчивости адаптивной модели с конкретным значением §о па

А А, раметра 9, не говоря уже о том, чтобы получить описание множества О в А виде ограничений, представляющих собой явные функции от 9.

Последнее обстоятельство лишает возможности прибегнуть к известному аппарату условной стохастической минимизации [44] на основе вероятностного варианта теоремы Куна-Таккера, поскольку этот аппарат предполагает использование ограничений именно в указанном виде. Даже если указанное препятствие удалось бы обойти, остается другое, более серьезное: методы

А Л условной минимизации допускают, что 9 может находиться вне О в течение некоторого времени. По приведенным выше причинам этого допускать нельзя. Из этих же соображений нельзя задействовать и метод штрафных функций.

Вследствие перечисленных трудностей, экспериментальное исследование устойчивости ограничено конкретными, причем небольшими размерностями системы (как правило, рассматриваются системы второго порядка) [25, 54].

Сложность проблемы адаптации как таковой, невозможность одновременного решения задач идентификации и управления, и, в частности, такие проблемы, как смещение получаемых оценок и выход алгоритмов идентификации за пределы области устойчивости, породили пессимизм у части исследователей относительно "классического" направления поисков и надежды на совершенно иные — "неклассические" направления, такие, например, как нейронные сети [33, 54, 76, 87]. Более того, некоторые авторы [33] ставят под сомнение саму возможность и оправданность практического применения теории адаптивных систем.

Однако далеко не все исследователи разделяют подобные настроения, о чем свидетельствует целый ряд работ [5, 68, 34, 18, 49, 70, 61, 7] и др. Наоборот, в последнее время достижения вычислительной техники заметно оживили интерес к адаптивным системам. Так, Gustafsson подчеркивает, что сегодня адаптивные системы являются активно развивающейся областью не только в теоретическом, но и в практическом отношении. В своей книге [70] он подкрепляет это заявление большим количеством прикладным примеров, а также данными о числе патентов в этой области. Gustafsson и др. (например, [101]) также отмечает сходство задачи идентификации и обнаружения и сходство методов их решения. Эта идея, развитая в трудах ряда авторов [25, 5, 34, 31, 29], позволяет обойти противоречие, описанное Фельдбау-мом. Решение, предлагаемое в этих работах, состоит в том, чтобы выполнять процессы идентификации и управления попеременно, причем функцию переключения между ними должен осуществлять блок обнаружения. В этом случае особенно важно свести время, затрачиваемое на идентификацию, к минимуму, чтобы вновь получить возможность применять управление.

Таким образом, в современной теории адаптивной обработки сигналов на данный момент остро стоят две проблемы:

• построение невязок и функционалов, гарантирующих несмещенность оценок в случае неполных зашумленных измерений и позволяющих повысить эффективность работы методов идентификации;

• разработка методов динамического контроля устойчивости адаптивной системы в ходе идентификации, в частности, проверка критерия Джури и получение явных выражений коэффициентов щ через в для систем произвольной, сколь угодно большой размерности.

Данная работа направлена на решение этих актуальных проблем. Соответственно, целыо работы является повышение качества (скорости сходимости и устойчивости) идентификации систем с активным принципом адаптации.

Диссертация объемом 135 страниц состоит из введения, б глав, заключения, списка литературы из 102 наименований и одного приложения. Работа включает 22 таблицы и 43 иллюстрации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Фатьянова, Ольга Александровна

6 Выводы по результатам численного моделирования

По результатам трех типов экспериментов сделаем следующие выводы.

1. Построение линий уровня функционалов качества. Для систем второго типа у "минусовых" функционалов ближайшая линия уровня располагается очень далеко от точки минимума. Это свидетельствует о плохих селективных свойствах: в довольно большой окрестности оптимального значения упомянутые функционалы изменяются незначительно, т.е. качество оценивания вектора состояния будет приблизительно одинаковым для большого числа параметров. В этом случае мы можем ожидать (при проведении в экспериментов второго типа), что алгоритмы идентификации будут давать к концу моделирования оценки, отличные от оптимальных. В этом смысле для систем второго типа будет лучше применять "плюсовый" ВФК, поскольку он обладает лучшими селективными свойствами. Для систем первого типа селективные свойства "минусовых" и "плюсовых" функционалов сравнимы, соответственно, следует ожидать примерно одинаковой скорости сходимости.

2. Время сходимости итеративных алгоритмов идентификации. Результаты второго типа экспериментов подтвердили правильность сделанных в предыдущем пункте предположений о скорости сходимости алгоритмов идентификации. Для систем первого типа скорость сходимости примерно одинакова; для систем второго типа "плюсовый" ВФК значительно лучше "минусового" ВФК. Более того, для систем второго типа при использовании "минусового" ВФК даже при значительном увеличении времени моделирования не удалось добиться попадания в коридор. Таким образом, единственным приемлемым решением для таких систем является применение "плюсового" ВФК.

3. Проверка работоспособности эвристического алгоритма контроля устойчивости при использовании различных стратегий корректировки. Сравнительный анализ различных стратегий корректировки подтвердил преимущества третьей, комбинированной стратегии над двумя другими.

Показано, что третья стратегия действительно соотносит способ корт ректировки с ситуацией и потому позволяет избежать нарушения или замедления сходимости.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Построен новый ("плюсовый") вспомогательный функционал качества, который задействует только доступную информацию и является экви-минимальным по отношению к исходному (недоступному) критерию качества фильтрации, обеспечивая тем самым несмещенность оценок, получаемых посредством алгоритмов идентификации.

2. На основе экспериментального испытания нового функционала проведен анализ его селективных свойств, определяющих скорость сходимости алгоритмов идентификации.

3. Получены эффективные (экономичные с вычислительной точки зрения) формульные схемы для вычисления функций чувствительности, учитывающие особенности матриц системы в стандартном наблюдаемом виде.

4. Разработан и испытан эвристический алгоритм для контроля и обеспечения устойчивости адаптивной системы в процессе идентификации, а также предложены, проанализированы и экспериментально протестированы стратегии корректирующих действий при выходе настраиваемого параметра за пределы допустимого множества.

5. Доказана теорема о коэффициентах характеристического уравнения для линейных дискретных систем произвольной размерности в стандартном наблюдаемом виде, позволяющая алгоритмизировать контроль устойчивости системы.

Эти результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. Предложенный в работе "плюсовый" функционал качества гарантирует несмещенность оценок в условиях неполных зашумленных измерений.

2. Использование "плюсового" функционала качества позволяет добиться повышения эффективности работы методов идентификации по сравнению с"минусовым" функционалом, ^причем преимущества первого наиболее заметны для систем со слабо выраженной внутренней динамикой, которые особенно трудны для идентификации.

3. Формульные схемы для функций чувствительности, учитывающие особенности матриц системы в стандартном наблюдаемом виде, обеспечивают существенную, количественно подтвержденную вычислительную экономию.

4. Предложенный и испытанный эвристический алгоритм контроля устойчивости представляет собой простое (в вычислительном отношении) средство, способное на практике придавать адаптивной идентификации желаемое свойство безусловной работоспособности в широком классе стандартных наблюдаемых моделей произвольной размерности. Сравнительный анализ различных стратегий корректировки, проведенный на основе экспериментальных данных, подтверждает преимущества впервые предложенной в работе комбинированной стратегии над остальными стратегиями.

5. Выведенные в работе явные формулы для коэффициентов характеристического уравнения для линейных дискретных систем произвольной размерности в стандартном наблюдаемом виде снимают ограничения на размерность системы в алгоритме контроля устойчивости, тем самым существенно расширяя возможности этого алгоритма и избавляя от неудобств, связанных с использованием громоздких численных методов общего вида.

Общенаучная значимость работы определяется тем, что сделанные построения и разработанные алгоритмы решают актуальные проблемы, связанные с процессом идентификации в адаптивных системах, а именно:

• построение функционалов качества для получения несмещенных оценок в случае неполных зашумленных измерений

• разработка методов контроля устойчивости адаптивной системы произвольной размерности и их внедрение в процесс идентификации.

Практическая ценность работы заключается в том, что:

1. Предложенный в работе "плюсовый" функционал качества дает специалистам, применяющим адаптивную обработку сигналов, практический инструмент повышения качества работы методов идентификации. Математикам, работающим в области идентификации, предложенный функционал демонстрирует новые полезные идеи преобразований для улучшения селективных свойств функционала качества.

2. Сравнительный анализ плюсового и минусового функционалов качества может использоваться специалистами-практиками как рекомендация по обоснованному выбору того или иного функционала для конкретной прикладной задачи.

3. Предложенный и испытанный соискателем эвристический алгоритм контроля устойчивости представляет собой простое (в вычислительном от* ношении) средство, способное на практике придавать адаптивной идентификации желаемое свойство безусловной работоспособности в широком классе стандартных наблюдаемых моделей произвольной размерности.

4. Программа, созданная средствами Matlab/C++, полезна как инструментарий студента при изучении адаптивных систем обработки информации методами численного моделирования и вычислительного эксперимента.

Вместе с тем настоящая работа не претендует на исчерпывающий охват всех аспектов проблемы. По мнению автора, ряд вопросов, оставшихся за рамками данного исследования, требует дальнейшего анализа, в том числе:

1. Модификация вспомогательных функционалов качества (при условии сохранения свойства эквиминимальности по отношению к исходным критериям качества фильтрации) с целью улучшения их селективных свойств и дальнейшего повышения эффективности работы алгоритмов идентификации.

2. Получение описания области устойчивости (для систем произвольной размерности) в виде ограничений, представленных как функции от параметра адаптивной модели, что даст возможность дальнейшего совершенствования методов контроля устойчивости.

- Ill -ф

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фатьянова, Ольга Александровна, 2006 год

1. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. — М.: Радио и связь, 1983. — 320с.

2. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. — М.: Наука, 1964.

3. Вазан М. Стохастическая аппроксимация. — М.: Мир, 1972. — 295с.

4. Гловаи А.А. Алгоритмический контроль фильтра Калмапа. // Автоматика и телемеханика, 1993, №. 7. — С. 173-185

5. Горохов О.Ю. Исследование совместно выполняемых операций обнаружения, идентификации и адаптации в дискретных стохастических системах.: Дис. канд. ф.-м. наук: 01.01.09 / Ульяновский государственный университет. — Ульяновск, 2002. — 136с.

6. Горский А.А. Автоматическая оптимальная фильтрация. // Изв. АН СССР, ОТН, Энергетика и автоматика, 1962, вып. 5. — С.87-96

7. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. — М.: Наука, 2003. 291с.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512с.

9. Кондратьев А.Е., Фатьянова О.А. Алгоритмы начала-остановки для адаптивной фильтрации. // Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета, УлГУ, Ульяновск, 2001. — С.6-7

10. Кондратьев А.Е., Фатьянова О.А. Сравнительное исследование численных методов оптимизации по методу вспомогательного функционала качества. // Доклад в кн. "Надежность и качество", ПГУ, Пенза, 2002. С.208-209

11. Красовский А.А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем. — М.: Физматгиз, 1963.

12. Лайниотис Д. Разделение — единый метод построения адаптивных систем. I. Оценивание. II. Управление. // ТИИЭР, 1976, Т. 64. № 8. — С.8-27; С.74-93

13. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. — М.: Наука, 1966.

14. Максин Д.Г. Параметрическая идентификация в адаптивных цифровых системах управления. // Управление и информационные технологии. СПб.: ЛЭТИ, 2003, т. 1. С.156-158

15. Мальцев А.А., Силаев A.M. Обнаружение скачкообразных изменений параметров и оптимальное оценивание состояния дискретных динамических систем, j j Автоматика и.телемеханика, 1985, № 1. — С. 48-85.

16. Полосеико В. П., Сему шин И. В. О свойствах невязки измерений и ихиспользовании для адаптивного управления сходимостью фильтра, j j Автометрия, 1989, № 1. — С.64-68

17. Понырко С.А., Семушин И.В. Использование активного принципа при построении самонастраивающихся фильтров. // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1971, № 1. — С.223-227

18. Понырко С.А., Семушин И.В. Построение обучающихся винеровских фильтров при ограниченном объеме априорной информации. // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1971, № 5. С.215-220

19. Понырко С.А., Семушин И.В. О выборе алгоритма начала-остановки при минимизации среднеквадратического критерия качества. // Автометрия, 1973, № 2. С. 68-74

20. Рудкевич М.В. Стохастическая имитационная модель одного механизма пульмо-кардиальной системы.: Дис. канд. ф.-м. наук: 05.13.18 / Ульяновский государственный университет. — Ульяновск, 2005. — 103с.

21. Саридис Дж. Самоорганизг^щиеся стохастические системы управления. — М.: Наука, 1980. — 400с.

22. Семушин И.В. Использование активного принципа фильтрации нестационарных случайных процессов. // Сб. тез. докл. III НТК. Новгород: Новгородский филиал ЛЭТИ им. В.И. Ульянова (Ленина), 1968. С.64

23. Семушин И.В. Алгоритм учета ограничений типа неравенств при программировании адаптивных систем. // Автоматика и Вычислительная техника, АН Латв. ССР, 1971, № 4.

24. Семушин И.В. Активная адаптация оптимальных дискретных фильтров. // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1975, № 5. — С.195-198

25. Семушин И.В. Адаптивные схемы идентификации и контроля при обработке случайных сигналов. — Саратов: Саратовский университет, 1985. 180с.

26. Семушин И.В. Идентификация линейных стохастических объектов по неполным зашумленным измерениям вектора состояния. // Автоматика и телемеханика, 1985, № 8. — С.61-71

27. Семушин И.В., Горохов О.Ю., Фатьянова О.А., Кондратьев А.Е. Интерактивный РЕ-дизайн для повышения качества стохастического управления с линейными моделями систем. // Управление и информационные технологии. СПб.: ЛЭТИ, 2003, т. 1. — С.336-341

28. Срагович В.Г. Адаптивное управление. — М.: Наука, 1981.

29. Терехов В.А., Тюкин И.Ю. Адаптивные системы управления: проблемы и тенденции. // Управление и информационные технологии. СПб.: ЛЭТИ, 2003, т. 1. С. 146-154

30. Теряев Е.Д., Шамриков Б.М. Цифровые системы и поэтапное адаптивное управление. — М.: Наука, 1999.

31. Тягунов О.А. Исследование устойчивости систем автоматического управления высокого порядка корневыми методами. Управление и информационные технологии. СПб.: ЛЭТИ, 2003, т. 1. — С.143-145