Вращающиеся кротовые норы типа Эллиса-Бронникова и их свойства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Измаилов, Рамиль Наильевич

• Измаилов, Рамиль Наильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Измаилов, Рамиль Наильевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Кротовые норы, их геометрия и свойства. Методы исследования.

1.1 Понятие кротовой норы.

1.2 Геометрия кротовой норы.

1.3 Метод Матоса-Нюнеза для генерирования новых решений.

1.4 Основные ограничения для регулярной кротовой норы.

ГЛАВА II. Модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза.

2.1 Начальное решение и уравнения поля.

2.2 Модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза.

2.3 Решение Эллиса класса I и применение к нему модифицированного алгоритма.

2.4 Анализ геометрии в статичном и сгенерированном решении в теории Эйнштейна с минимальной связью.

2.5 Решение Эллиса класса III с поворотами Вика.

2.6 Исследование проходимости кротовой норы Эллиса класса III.

ГЛАВА III. Свойства вращающейся кротовой норы Эллиса-Бронникова и ее геометрия.

3.1 Геометрия вращающейся кротовой норы Эллиса-Бронникова.

3.2 Геодезическое движение в расширенном решении.

3.3 Эффект Саньяка в решении Эллиса-Бронникова с вращением.

ГЛАВА IV. Кротовые норы Бранса-Дикке в картине Йордана.

4.1 Картина Йордана.

4.2 Расширенное решение Бранса-Дикке класса 1.

4.3 Получение несингулярной кротовой норы Бранса-Дикке с помощью поворотов Вика.

4.4 проверка соответствия полученного несингулярного решения ограничениям кротовой норы.

4.5 Некоторые свойства кротовой норы - аналога черной дыры Горовица

Росса.

4.6 Конформная инвариантность вакуумной теории Бранса-Дикке.

ГЛАВА V. Решения для кротовых нор с вращением в картине Эйнштейна.

5.1 Картина Эйнштейна.

5.2 Аналог решения Бранса класса II в картине Эйнштейна.

5.3 Анализ трех классов статичных кротовых нор теории Эйнштейна с минимальной связью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вращающиеся кротовые норы типа Эллиса-Бронникова и их свойства»

Актуальность темы

Теоретические и наблюдательно-экспериментальные исследования, связанные с объектами с топологией кротовой норы в современной теоретической астрофизике являются весьма актуальными. Это связано с тем, что кротовые норы, вытекающие из решений теории гравитации Эйнштейна, ничем не уступают решениям для черных дыр и их существование не опровергнуто экспериментальными данными (Виссер, 1995). В свое время Эйнштейн предложил модель для элементарных частиц, решение которой очень оказалось схожим с решениями, описывающими кротовые норы (Эйнштейн и Розен, 1935 [1]), которая сейчас известна как "мост Эйнштейна-Розена". Позднее, работа Майкла С. Морриса и Кипа С. Торна (1988 [2]) вывела тему кротовых нор на новый уровень исследований. Известно, что кротовыми норами называют объекты, которые могут соединять удаленные области пространства-времени. Это означает, что гипотетически возможно осуществлять перемещение любых объектов, как микро, так и макро объектов по этим кротовым норам. Однако, следует отметить, что подобные решения требуют «экзотический» тип материи, нарушающий энергетические условия, которые обычно выполняются. Подобные решения для экзотической материи были получены ранее [3].

Арефьевой и Воловичем(2007) были предложены новые пути в исследовании проходимых кротовых нор в экспериментах на Большом Адронном Коллайдере высоких энергий. В последнее время, достаточно интенсивно ведется наблюдательный поиск подобных объектов в астрономических масштабах с помощью гравитационного линзирования (Cramer J. G., 1995, Nandi К. К., 2006) [4] и электромагнитных волн из центров галактик (Lobo F. S. N., 2008) [5]. А. А. Шацкий, И. Д. Новиков, Н. С. Кардашев (2007) [6] предположили, что черные дыры являются входами в кротовую нору. В настоящее время ведутся достаточно активные теоретические исследования кротовых нор, включая группы исследователей в Москве (А. А. Старобинский, К. А. Бронников, Р. Ф. Полищук, В. А. Березин и др.), в Казани (С. В. Сушков, Н. Р. Хуснутдинов, Игнатьев и др.), в Новосибирске (В. М. Хацимовский) и другие.

Актуальность данного исследования подтверждается тем, что большинство небесных объектов являются вращающимися. Работы в этом направлении для квантовых кротовых нор были начаты В. М. Хацимовским [7] и В. А. Березиным [8], а для классических - продолжены С. В. Сушковым [9], который исследовал классические кротовые норы в приближении медленного вращения.

Объектом исследования в данной работе является расширенный класс решений для кротовых нор с асимптотической плоскостью, принадлежащий теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью, полученный с помощью модифицированного нами алгоритма Матоса-Нюнеза [10]. Таким образом, удалось рассмотреть некоторые свойства полученных решений для кротовых нор в гравитационной теории скалярного поля.

Кротовая нора Бранса класса I в картине Йордана, к сожалению, имеет сингулярность, как было показано Старобинским [11]. Бронников, Скворцова и Старобинский недавно предположили "теорему без кротовый норы"("по-wormhole theorem") которая ограничивает существование обычных кротовых нор в скалярно-тензорной теории. С учетом данной теоремы, в предложенной диссертационной работе исследовалась возможность существования обычных кротовых нор в картине Йордана и были получены решения, учитывающие вращение в конформно нормированной картине Эйнштейна.

В работе показана возможность получения несингулярной кротовой норы из сингулярного решения класса I с помощью поворотов Вика. Это решение приводит к классу обычных кротовых нор в картине Эйнштейна. Полученные кротовые норы весьма напоминают кротовые норы типа Эллиса-Бронникова. Мы расширили решение для кротовых нор типа Эллиса

Бронникова в теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью путем введения нового дополнительного параметра а, который ранее был предложен для другой модели [10] в качестве параметра вращения и изучили геометрические свойства расширенных решений.

Цель диссертационной работы:

Изучение геометрических свойств вращающейся кротовой норы типа Эллиса-Бронникова и построение алгоритма для генерирования асимптотически плоских решений для вращающихся кротовых нор без сингулярностей из начальных решений Эллиса. Исследование роли новых параметров в расширенном решении.

В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Создание метода для генерирования решений для кротовых нор из известных статичных начальных решений, используя модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза, принадлежащих теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью.

2. Изучение поведения решений Эллиса III и Эллиса I с поворотами Вика и выявление различий в геометриях этих кротовых нор.

3. Изучение геодезического движения в расширенном решении Эллиса I с поворотов Вика и исследование параметра а Матоса-Нюнеза.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получено дважды асимптотически плоское решение и решение с вращением для кротовых нор без сингулярности в теории Бранса-Дикке.

- показано, что статичное решение Эллиса-Бронникова представляет проходимую кротовую нору. предложен модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза и исследована геометрия решения Эллиса-Бронникова с вращением.

- показано, что параметр а вращения кротовой норы пропорционален времени задержки Саньяка, при а = 0 задержки не наблюдается.

Научно-практическая значимость работы:

Проведенное исследование, безусловно, расширяют и углубляют наши представления о таких астрофизических объектах, как кротовые норы в теориях Бранса-Дикке и Эйнштейна с минимальной связью. Решения для вращающихся кротовых нор с асимптотической плоскостью встречаются в литературе не часто. Данная работа имеет практический интерес для теоретической и математической физики, так как дает возможность генерировать решения с вращением из начального решения с помощью модифицированного алгоритма Матоса-Нюнеза. Есть сферы, для которых алгоритм может быть применен и с его помощью могут быть найдены новые классы решений.

Достоверность результатов данной работы обеспечивается апробированными вычислительными методами, взаимосвязью и преемственностью с основополагающими работами в области кротовых нор. В определенных случаях результаты, вытекающие из рассмотрения предложенных решений, переходят в известные, что является подтверждением достоверности рассматриваемых теорий.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза для генерирования решений в теории Эйнштейна с минимальной связью.

2. Решение для вращающейся кротовой норы типа Эллиса-Бронникова.

3. Геодезическое движение во вращающейся кротовой норе типа Эллиса-Бронникова.

4. Задержка Саньяка во вращающейся кротовой норе типа Эллиса-Бронникова зависит от параметра вращения а.

Апробация работы:

Результаты работы, изложенные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г. Уфа, 2008 г.); Семинары на математическом факультете Северо-Бенгальского университета (г. Силигури, 2006-2008 г.); Астрофизический семинар на кафедре теории относительности и гравитации КГУ (г. Казань, 2009 г.); Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики ЧелГУ (г. Челябинск, 2010 г. ); Региональный семинар по физике на кафедре прикладной физики и нанотехнологий (г. Уфа, 2010 г.).

Личный вклад соискателя состоит в участии в постановке задач вместе с научным руководителем, проведении теоретических исследований, компьютерной обработке и интерпретации результатов расчета. Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав в основной части, заключения, списка литературы. Объем диссертационной работы составляет 112 страниц. Список литературных источников содержит 76 наименований.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Измаилов, Рамиль Наильевич

Основные результаты работы сводятся к следующему:

1. Предложен новый способ генерирования несингулярных решений для кротовых нор из решений с сингулярностью с помощью поворотов Вика. Благодаря этому удалось из решений класса I, содержащих сингулярность, получить асимптотически плоские несингулярные кротовые норы в новом диапазоне —2 < а) < —3/2.

2. Разработан модифицированный алгоритм, на основе метода Матоса-Нюнеза, позволяющий получать решения для вращающихся кротовых нор. В качестве начальных решений используются решения для статичных кротовых нор без сингулярностей.

3. Получены характеристики геодезического движения частиц во вращающейся кротовой норе, построенной из класса I решений Эллиса с поворотами Вика в теории Эйнштейна с минимальной связью.

4. Установлен физический эффект вращения кротовой норы с помощью эффекта Саньяка, возникающий вследствие ненулевого значения параметра вращения а. Расчеты показали, что указанный параметр пропорционален временной задержке Саньяка.

5. Получен новый класс вращающихся кротовых нор типа Эллиса-Бронникова.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе показаны новые интересные свойства решений для кротовых нор в гравитационной теории скалярного поля. Для их демонстрации был получен расширенный класс решений для кротовых нор с асимптотической плоскостью, принадлежащих теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью, используя модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза. В общем случае, решения в этих теориях не представляют проходимых кротовых нор, из-за возникновения сингулярностей кривизны. Однако, решение Эллиса класса I, теории Эйнштейна с минимальной связью, с поворотами Вика, содержит решение Эллиса класса III, которое, в свою очередь, описывает проходимую несингулярную кротовую нору. Становится ясно, что решения Эллиса I и Эллиса III не являются независимыми. Начальное решение, с поворотами Вика, содержит два новых параметра а и S. Исследовано геодезическое движение в расширенной геометрии и получены новые результаты в теории Эйнштейна с минимальной связью: для ненулевых значений константы 9, пространство-время играет роль радиальной воронки. Для 0 = 0, пространство-время допускает нерадиальные движения (U3 Ф 0), но параметр Матоса-Нюнеза а может быть вполне выражен исходя из констант движения. В части VII, мы вычислили эффект Саньяка в расширенном пространстве-времени и обнаружили зависимость задержки от параметра а. Если а = 0, задержка равна нулю, что предполагает интерпретацию параметра а в качестве параметра вращения, что подтверждает вывод Матоса-Нюнеза [10] с взятых вместе различных точек зрения. Анализ, приведенный в данной работе, имеет широкую применимость и может быть применен в других теориях, включая теорию струн.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Измаилов, Рамиль Наильевич, 2010 год

1. Einstein, A. The Particle Problem in the General Theory of Relativity / A. Einstein, N. Rosen // Physical Review. 1935. Vol.48. P.73-77.

2. Morris, M.S. Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity / M.S. Morris and K.S. Thorne // Am. J. Phys. 1988. Vol. 56. P. 395-412.

3. Morris, M.S. Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition / M.S. Morris, K.S. Thorne and U. Yurtsever // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 1446-1449.

4. Nandi, K.K. Brans wormholes / K.K. Nandi, A. Islam and J. Evans // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 55. P. 2497-2500.

5. Cramer, J.G. Natural wormholes as gravitational lenses / J.G. Cramer, R.L. Forward, M.S. Morris, M. Visser, G. Benford and G.A. Landis // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 3117-3120.

6. Nandi, K.K. Gravitational lensing by wormholes / K.K. Nandi, Y.Z. Zhang, A.V. Zakharov // Physical Review D. 2006. Vol.74. P.024020-024033.

7. Lobo, F. S. N. Electromagnetic signatures of thin accretion disks in wormhole geometries / T. Harko, Z. Kovacs, F. S. N. Lobo // Phys.Rev.D. 2008. Vol.78, P. 084005-084012.

8. Новиков, И. Д.Динамическая модель кротовой норы и модель Мультивселенной / И. Д. Новиков, Н. С. Кардашев, А. А. Шацкий // Успехи физических наук, 2008. Т-176 №5. С.481-488.

9. Хацимовский, В. М. Towards possibility of self-maintained vacuum traversable wormhole: препринт /В.М.Хацимовский. Novosibirsk, 1996.

10. Berezin, V.A. Quantum geometrodynamics for black holes and wormholes / V. A. Berezin, A. M. Boyarsky. A. Yu. Neronov // Phys. Rev. D. 1998. Vol.57 P.1118-1128.

11. Sushkov, S.V. Slowly rotating wormholes: the first-order approximation. / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov. Gravitation and Cosmology. 2008. Vol.14, № 1, P.80-85.

12. Matos, T. Rotating Scalar field wormhole / T. Matos and D. Nunez // Class. Quant. Grav. 2006. Vol.23 P4485-4492.

13. Bronikov, K.A. Notes on wormhole existence in scalar-tensor and F(R) gravity. / K.A. Bronnikov, M.V. Skvortsova, A.A. Starobinsky. // Grav.Cosmol. 2010. Vol.16. P.216-222.

14. Ellis, H.G. Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity./ H.G. Ellis // J. Math. Phys. 1973. Vol.14. P.104-121.

15. Visser, M. Lorentzian Wormholes-From Einstein to Hawking / M. Visser. -New York: AIP, Woodbury, 1995. P. 150.

16. Lobo, F. S. N. Phantom energy traversable wormholes. / Francisco S. N. Lobo //Phys.Rev.D. 2005. Vol.71. P.084011-084020.

17. Roman, T. A. Some Thoughts on Energy Conditions and Wormholes / Thomas A. Roman : npnnpHHT arXiv:gr- qc/ 0409090. 2004.

18. Penrose R., Lectures in Mathematics and Physics / Battele Rencontres, ed. by B. S. de Witt and J. A. Wheeler, Benjamin, 1968. New York.

19. Shinkai, H. Fate of the first traversible wormhole: black-hole collapse or inflationary expansion. / Hisa-aki Shinkai, Sean A. Hayward // Phys.Rev.D.2002. Vol.66. P. 044005-044015.

20. Hochberg, D. Lorentzian wormholes in higher order gravity theories / D. Hochberg // Physics Letters B. 1990. Vol.251. P. 349-354.

21. Agnese, A.G. Wormholes in the Brans-Dicke theory of gravitation / A.G. Agnese and M. La Camera // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 2011-2013.

22. Barcelo, C. Scalar fields, energy conditions and traversable wormholes / C. Barcelo, M, Visser // Classical and Quantum Gravity. 2000. Vol.17 P.3843-3861.

23. Ford, L. H. Motion of inertial observers through negative energy / L. H. Ford,

24. T. A. Roman // Phys. Rev. D. 1993. Vol.48. P 776-782.

25. Wu, L. Generation of Squeezed States by Parametric Down Conversion / L.

26. Wu, H. J. Kimble, J. L. Hall, H. Wu. // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 57.1. P.2520-2523.

27. Nandi, K. K. Brans-Dicke wormholes in the Jordan and Einstein frames / K. K. Nandi, B. Bhattacharjee, S. M. K. Alam, and J. Evans // Phys. Rev. D. 1998. Vol.57, P.823-828.

28. Anchordoqui, L. A. Brans-Dicke wormholes in nonvacuum spacetime / L.A. Anchordoqui, S. P. Bergliaffa, . D. F. Torres // Phys. Rev. D. 1997. Vol.55, P.5226-5229.

29. Brans, C. H. Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation. II / C. H. Brans //Phys. Rev. 1962. Vol.125. 125, P.2194-2201.

30. Nandi, K. K. Brans Type II-IV solutions in the Einstein frame and physical interpretation of constants in this solutions / A. Bhadra, K.K. Nandi // Modern Physics Letters A. 2001. Vol.16, P.2079-2089.

31. Bhadra, A. On static spherically symmetric solutions of the vacuum Brans-Dicke theory / A. Bhadra and K. Sarkar // General Relativity and Gravitation. 2005. Vol.37, P.2189-2199.

32. Бронников К. А., Рубин С. Г. Лекции по гравитации и космологии. Учебное пособие. М.: МИФИ, 2008. 460с.

33. Stephani, H., Kramer, D., MacCallum, M., Hoenselaers, С., Herlt, E., Exact soltuions to Einstein's field equations, 2nd, ed., Cambridge, U. P., U. K.,-2003.

34. Hao, J. Attractor solution of phantom field / Лап-gang Hao, Xin-zhou Li // Phys.Rev.D. 2003. Vol.67. P.107303-107307.

35. Sushkov, S. V. Wormholes supported by a phantom energy / S. V. Sushkov // Phys.Rev.D -2005. Vol.71 P. 043520-043525.

36. Kar, S. Naked singularities in low-energy, effective string theory / Sayan Kar // Classical and Quantum Gravity. 1999. Vol.16. P.101-115.

37. Cho, Y. M. Reinterpretation of Jordan-Brans-Dicke theory and Kaluza-Klein cosmology//Y. M. Cho //Phys. Rev. Lett. 1992. Vol.68. P. 3133-3136.

38. Clément, G. Spinning charged BTZ black holes and self-dual particle-like solutions / G. Clément // Physics Letters B. 1996. Vol.367, P.70-74.

39. Martinez, C. Charged rotating black hole in three spacetime dimensions / C. Martinez, C. Teitelboim, J. Zanelli // Phys. Rev. D. 2000. Vol.61. P. 104013104021.

40. Buchdahl, H. Reciprocal Static Metrics and Scalar Fields in the General Theory of Relativity / H. A. Buchdahl // Phys. Rev.- 1959. Vol.115, P.1325-1328.

41. Bronnikov, K. A. Scalar-tensor theory and scalar charge / K. A. Bronnikov // Acta. Phys. Pol.- 1973. Vol.B4. P.251-266.

42. Bhadra, A. On the equivalence of the Buchdal and the Janis-Newman-Winnicour solutions / A. Bhadra, K. K. Nandi // International Journal of Modern Physics A -2001. Vol.16. P.4543-4545.

43. Bronnikov, K. A. Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons / K. A. Bronnikov, G. N. Shikin // Grav. & Cosmol. -2002. Vol.8. P. 107-116.

44. Bhadra, A. Testing gravity at the second post-Newtonian level through gravitational deflection of massive particles / A. Bhadra, K. Sarkar, K. K. Nandi//Phys. Rev. D-2007. Vol.75, P.123004-123011.

45. Armendariz-Picon, C. On a class of stable, traversable Lorentzian wormholes in classical general relativity / C. Armendariz-Picon // Phys. Rev. D. 2002. Vol.65, P.104010-104020.

46. Nandi, K. K. Traversable Lorentzian wormholes in the vacuum low energy effective string theory in Einstein and Jordan frames / K. K. Nandi, Y-Z Zhang.

47. Nandi, K. K. Volume integral theorem for exotic matter / K. K. Nandi, Y-Z. Zhang, K. B. Vijaya Kumar // Phys. Rev. D.- 2004. Vol.70. P. 127503-127507.

48. Bertolami, O. Instanton solutions in gravitational theories with nonlinear lagrangian / O. Bertolami // Physics Letters B. 1990. Vol.234. P.258-264.

49. Magnano, G. Physical equivalence between nonlinear gravity theories and a general-relativistic self-gravitating scalar field / G. Magnano, L. M. Sokolowski // Phys. Rev. D 1994. Vol.50, P.5039-5059.

50. Parker, L. Quantized Matter Fields and the Avoidance of Singularities in General Relativity / L. Parker, S. A. Fulling // Phys. Rev. D 1973 Vol.7. P.2357—2374.

51. Matsuda, T. On the Gravitational Collapse in Brans -Dicke Theory of Gravity / T. Matsuda // Prog. Theor. Phys. 1972. Vol. 47. P.738-739.

52. Visser, M. Internal Proc. Haifa Workshop on the Structure of Black Holes and Space Time Singularities / M. Visser, D. Hochberg, 1997.

53. Bhadra, A. Wormholes in vacuum Brans-Dicke theory / A. Bhadra, K. Sarkar //Mod. Phys. Lett. A.- 2005. Vol.20. P.1831-1844.

54. Eiroa, E. F. Thin-shell wormholes in Brans-Dicke gravity / E. F. Eiroa, M. G.

55. Richarte, C. Simeone // Phys. Lett. A. 2008. Vol.373, P. 1-4.

56. Kozyrev, S. M. Composite wormholes in vacuum Jordan-Brans-Dicke theory

57. S.M.Kozyrev, S. V. Sushkov npenpHHT:arXiv:gr-qc/0812.5010.

58. Garay, L. J. Jordan-Brans-Dicke Quantum Wormholes and Coleman's

59. Mechanism / L. J. Garay, J. Garcia-Bellido // Nucl. Phys. B 1993. Vol.400.1. P. 416-434.

60. Bhadra, A. Comment on "New Brans-Dicke wormholes" / A. Bhadra, I. Simaciu, K. K. Nandi, Y.-Z. Zhang // Phys. Rev. D 2005. Vol.71, P.128501-128504.

61. Bronnikov, K. A. No realistic wormholes from ghost-free scalar-tensor phantom dark energy / K. A. Bronnikov, A. A. Starobinsky // JETP Lett.-2007. Vol.85. P.l-5.

62. Nandi, K. K. Brans-Dicke wormhole revisited / A. Bhattacharya, I.

63. Nigmatzyanov, R. Izmailov, K. K. Nandi // Class.Quant.Grav.-2009. Vol.26, 235017-235030.

64. Faraoni, V. The co —» oo limit of Brans Dicke theory / V. Faraoni // Phys. Lett.1. A 1998, Vol.245,P. 26-30.

65. Bhadra, A. Brans-Dicke theory: Jordan vs Einstein Frame / A. Bhadra, K.

66. Sarkar, D. P. Datta, K. K. Nandi // Mod. Phys. Lett. A. 2007. Vol.22. P.367-376.

67. Horowitz, H. T. Naked black holes / G.T. Horowitz, S.F. Ross, Phys. Rev. D1997. Vol.56, P.2180-2187.

68. Saa, A. New no scalar hair theorem for black holes / A. Saa. // J. Math. Phys.1996. Vol.37. P.2346-2351.

69. Zannias, T. Black holes cannot support conformal scalar hair / T. Zannias // J.

70. Math. Phys.-1995. Vol.36. P.6970-6980.

71. Bekenstein, J. D. / J. D. Bekenstein // Ann. Phys.-1975. N.Y. Vol.91, P.72-.

72. Coule, D. H. Wormholes with scalar fields / D. H. Coule, K. Maeda // Class.

73. Quantum Grav.-1990. Vol.7, P.955-959.

74. Bekenstein, J. D. Novel "no-scalar-hair" theorem for black holes / J. D.

75. Bekenstein//Phys. Rev. D -1995. Vol.51. P.6608-6611.

76. Dey, T. K. Gravitational lensing by wormholes / T. K. Dey, S. Sen // Mod.

77. Phys. Lett. A. -2008. Vol.23. P.953-966.

78. Bhattacharya, A. The Vacuole Model Revisited: New Repulsive Terms in the

79. Second Order Deflection of Light / A. Bhattacharya, A. A. Potapov // Mod. Phys. Lett. A.-2010. Vol.29. P.2399-2410.

80. Flanagan, E. E. Higher order gravity theories and scalar tensor theories / E. E.

81. Flanagan//Class.Quant.Grav. -2003. Vol.21 P.417-426.

82. Will, C. M. Testing scalar-tensor gravity using space gravitational-waveinterferometers / C. M. Will, P. D. Scharre // Phys. Rev. D -2002. Vol.65. P.042002-042010.