Возмущение и устойчивость моделей авторезонанса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Султанов, Оскар Анварович

• Султанов, Оскар Анварович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Султанов, Оскар Анварович

Оглавление

Введение

Глава 1. Функции Ляпунова для систем близких к гамильтоно-

вым

1.1. Постановка задачи

1.2. Теорема об устойчивости

1.3. Теорема о неустойчивости

1.4. Примеры

Глава 2. Возмущения начальных данных

2.1. Постановка задачи

2.2. Система уравнений главного резонанса

2.3. Система параметрического авторезонанса

Глава 3. Детерминированные возмущения

3.1. Постановка задачи

3.2. Классы возмущений

3.3. Система уравнений главного резонанса

3.4. Система параметрического авторезонанса

3.5. Устойчивость в системах близких к гамильтоновым

3.6. Постоянно действующие возмущения, ограниченные в среднем

3.7. Устойчивость на асимптотически большом промежутке времени

Глава 4. Случайные возмущения

4.1. Постановка задачи

4.2. Классы возмущений

4.3. Общие системы

4.4. Система уравнений главного резонанса

4.5. Система параметрического авторезонанса

4.6. Примеры допустимых возмущений

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Возмущение и устойчивость моделей авторезонанса»

Введение

Актуальность темы исследования. В современной математической физике исследование многих физических явлений приводит к математическим моделям, записанным в форме обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящей работе исследуются математические модели, которые описывают резонансные явления в нелинейных осциллирующих системах. Под резонансом обычно понимается явление значительного роста амплитуды или энергии колебаний, при условии, что интенсивность вынуждающей силы остается малой. При этом резонанс оказываются возможным только при наличии определенных соотношений между параметрами системы. На важную роль резонансов в механике впервые, по-видимому, обратил внимание Галилей в начале 17 века при изучении маятников [1, с. 192]. С тех пор резонансные явлений активно исследуются как математиками, так и физиками.

Рассмотрим, например, уравнение линейного осциллятора с внешней периодической силой: d2x

—г + uj2x = е cos ut, uj, v = const, 0<е<1. dt¿

Если v2 ф lü2, то общее решение можно представить в виде:

/,\ / . /ч £ cos id

хit) = a cos(cot + ф) Н—5-т,

сo¿ — v¿

где а, ф — числовые параметры, определяемые из начальных условий. Из структуры решения следует, что все траектории остаются ограниченными для любых а, ф равномерно по t G R. Однако, если выполняется соотношение: и = и, то

x(t) = a cos (cot + ф) + sinu;¿.

2си

В этом случае имеет место резонанс, который проявляется в неограниченном по времени росте амплитуды колебаний. Из явных формул для решений также видно, что на далеких временах t = е~1 амплитуда возрастает до величин порядка 0(1) вне зависимости от того, на сколько малы были начальные данные

|ж(0)| + |х'(0)| <С 1. Резонансные явления в линейных системах считаются хорошо изученными, и на сегодня не содержат принципиально новых проблем в рамках анализа дифференциальных уравнений.

Ситуация оказывается сложнее в нелинейных системах. В качестве примера рассмотрим уравнение нелинейного осциллятора с внешней силой:

В этом случае нет явных формул для точных решений. Тем не менее, известно, что при £ — 0 система описывает колебания с частотой си, которая зависит от выбора фазовой траектории или от начальных данных. Для таких систем выполнение резонансного соотношения в начальный момент не гарантирует значительного роста возмущенных колебаний: при 0<г«1иг/=о; амплитуда изменяется на величину порядка 0(^/е). Такое явление, связанное с понятием нелинейного резонанса, исследовалось в [2, 3] и др. Оказывается, что значительный рост амплитуды колебаний возможен при медленной деформации частоты накачки, например, и = со — осЬ, 0 < а 1. Тогда при определенных начальных условиях энергия системы возрастает до величин порядка 0{ 1) на временах £ = е~1 (см., например, результаты численного моделирования на рис. 1). По сути дела, происходит автоматическая подстройка фазы колебаний под внешнее воздействие, что приводит к значительному росту энергии. Такие эффекты в приложениях связывают с явлением авторезонанса [4]. Заметим, что захват в авторезонанс может наблюдаться и в случае параметрической накачки нелинейного маятника [5]:

с12х

+ втх = есов^.

(1)

(О2

(2)

1.5

0.5

10000

20000

30000

Рис. 1. Эволюция энергии системы (1) при е = Ю-3, а = Ю-5 и различных начальных данных. Две кривые соответствуют решениям разного типа: захваченное в резонанс и нерезонансное.

Впервые явление авторезонанса было открыто Векслером [6] и МакМилла-ном [7] в задачах по ускорению релятивистских частиц. Затем такие эффекты были обнаружены в астрофизике [8, 9], теории плазмы [10] и в разных физических системах, в которых ключевое место занимают нелинейные осцилляции и волны [11-15]. В последнее время явление авторезонанса стало предметом строгих математических исследований, в рамках которых анализируются системы нелинейных дифференциальных уравнений. Укажем, например, работы [16-23], посвященные асимптотическому анализу проблемы авторезонанса в уравнениях с медленно меняющимися параметрами.

В настоящей работе основными объектами исследования выступают системы модельных уравнений, которые описывают начальный этап захвата нелинейных колебательных систем в авторезонанс [23];

¿Ф 2 , л ' ---г + Ат

L ат

= b cos ф]

dr .

— = Бтф, Г dr

dr . t йф 2xi /

— = гБтф, —--г + Ат = b совф.

dr dr

(3)

(4)

Здесь A, b = const ф 0, искомые функции г(т) и ф{т) соответствуют амплитуде и сдвигу фазы гармонических колебаний. Интерес представляют решения, имеющие неограниченно растущую амплитуду г(т) —» оо при т —> оо (см. рис. 2,

а). В приложениях такие решения связывают с явлением захвата в авторезонанс. При этом физически реализуемым процессам соответствуют устойчивые решения [25]. Заметим, что рассматриваемые уравнения имеют также решения с ограниченной амплитудой (рис. 2, б), которые не имеют отношение к авторезонансу и здесь не анализируются.

2.0

1.6 1.4 1.2 1.0

20 40 60 80 100' 20 40 60 80 100

(а) (б)

Рис. 2. Эволюция амплитуды решений системы (3): Ь = 1, Л = 1, (а) г(0) = 2.5, ф(0) — 2.78, (б) г(0) = 1.42, ф(0) = 0.1.

Широкий спектр приложений приводит к необходимости изучать поведение решений под действием возмущений различных типов. Целью настоящей работы является исследование устойчивости резонансных решений по Ляпунову и при постоянно действующих возмущениях.

Рассматриваемые уравнения возникают при усреднении нелинейных одно-частотных колебаний с малой переменной накачкой. Простейший пример дает уравнение нелинейного маятника (1). Для асимптотического описания резонансных решений с начальными данными вблизи равновесия |х(0)| + |а;(0)| = 0{е1/3) воспользуемся методом двух-масштабных разложений [24]. Введем медленное время т = £2//3£/4, тогда подстановка асимптотического анзатца:

х

(*; е) = 2е1/3г(т) сое (¿А - ф{т)) + 0{е2/3): 8 0, у = и)-

оЛ,

в уравнение (1) и усреднение по быстрой переменной приводят в главном члене асимптотики к соответствующей задаче Коши для системы главного резонан-

са (3) с коэффициентами Л = 8а£-4/3 и b = 1. Аналогично для уравнения с параметрическим возмущением (2) асимптотика резонансных решений с начальными данными |х(0)| + |х(0)| = G(eописывается формулой:

x(t; е) = cos (vt + Щ^) +0(е), е 0, ь> = 1 + at,

где медленно меняющиеся функции г (г) и ф(т) удовлетворяют (4) с Л = 32ае_2, Ь = 2ит = et/4.

Качественные свойства решений модельных уравнений активно исследовались в последние десятилетия [23, 26-28]. Тем не менее, проблема устойчивости авторезонанса, как правило, оставалась в стороне от рассмотрения. Исключение составляют [29],[30, с. 131] и [31], где обсуждаются некоторые частные вопросы, связанные с устойчивостью. Однако математически строгий и полный анализ не проводился.

Одной из причин, по которой результатов об устойчивости моделей авторезонанса почти не было, по-видимому, является отсутствие явных формул для точных решений. Более того, известно, что рассматриваемые системы не интегрируемы [32]. В таких случаях при исследовании устойчивости иногда прибегают к анализу численных расчетов. Но такой нестрогий подход зачастую может ввести в заблуждение и привести к неверным выводам1. В данной работе исследуется устойчивость моделей авторезонанса на основе асимптотики решений на бесконечности с помощью прямого метода Ляпунова. Такой подход позволяет, с одной стороны, получить строгие результаты, а с другой - обойти проблему неинтегрируемости уравнений и отсутствия явных формул.

Заметим, что для анализа моделей авторезонанса и других похожих систем в теории колебаний активно используется метод адиабатических приближений, основанный на наличии малого параметра [35]. В рассматриваемых уравнениях таким параметром может служить множитель А. На этом пути ранее был

1 Так, например, дело обстоит с устойчивостью вырожденного авторезонанса [33]. См. также [34], где обсуждается проблема фиктивных асимптотик.

исследован ряд проблем [36-38]. Однако в настоящей работе наличие малого параметра в системах не предполагается и не используется.

Для некоторых исключительных резонансных решений систем (3) и (4) можно построить асимптотические разложения в виде степенных рядов с постоянными коэффициентами:

с» оо

Я0(т) = Ул^ + ^т^2, Фо(т) = Vo + т У оо. (5)

fc=0 к—1

Коэффициенты г^, фь определяются из рекуррентных формул, которые появляются после подстановки рядов в уравнения и приравнивания выражений при одинаковых степенях т. На этом пути обнаруживается несколько решений, отличия в которых связаны с выбором корня уравнения sin^o = 0. Обоснование решений со степенной асимптотикой обычно не вызывает затруднений. В частности, из результатов [39] следует существование решений Фо(т) при т > то (то = const > 0), которые имеют асимптотику (5) при т —> оо. Из теорем [40] о глобальном существовании для модельных уравнений следует, что эти решения можно продолжить на всю ось г 6 К. В данной работе исследуется устойчивость степенных решений при т > 0. Важно иметь в виду, что помимо этих частных решений модельные системы имеют двухпараметрическое семейство растущих решений, в асимптотике которых содержатся осциллирующие коэффициенты [23].

Анализ устойчивости иногда удается провести с помощью первого метода Ляпунова. В этом подходе в линеаризованной системе2 выделяются главные члены асимптотики. Для матрицы такой системы вычисляются собственные значения, и по знакам действительных частей делается вывод об устойчивости. Но в некоторых (критических) случаях собственные значения оказываются чисто мнимые, и вопрос об устойчивости методом линеаризации не решается. В таких ситуациях свойство устойчивости зависит от младших членов асимптотики, и для анализа обычно привлекают второй метод Ляпунова. Заметим, что

2 уравнения линеаризуются на выбранном решении

известные результаты об устойчивости для разных задач [41-44, 46, 47] здесь оказываются не применимы из-за специфики возникающих уравнений. Эта специфика заключается в наличии убывающих по времени коэффициентов при диссипативных членах, которые обеспечивают устойчивость равновесия.

При исследовании устойчивости авторезонанса необходимо учитывать влияние внешних возмущений, которые неотъемлемо присутствуют во всех физических процессах [25, 48, 49]. Ставится задача об устойчивости при постоянно действующих возмущениях [42, 43]. Наряду с уравнениями (3) и (4) рассматриваются возмущенные системы в виде:

dr

dr

dili

^j- — (1 + sin т -j- — т2 + Ar + дС = (b + /177) cos я/;; (6)

dr

ctr dip

— = (1 + fj£)r втф, ---r2 + At + = (6 + prj) совф. (7)

dr dr

Возмущениям соответствуют функции £(г,ф,т), г}(г,ф,т), £(г,ф,т) с параметром ¡1 > 0, который контролирует величину возмущения. Структура возмущенных систем объясняется происхождением модельных уравнений. Так, например, усреднение нелинейного осциллятора с возмущенной амплитудой и фазой накачки:

d2x

— + sinrr = е(1 + i^T(t)) cos(ut + /гФ(£)), 0 < e, a <C 1 dtz

приводит к системе (6), где

£(т) = reo, vir) = T{tl СИ = % t = 4re-2/3.

Исследование устойчивости при постоянно действующих возмущениях заключается в описании классов функций (£,77, С), при которых сохраняются резонансные решения с амплитудой, растущей как у/Хт.

В качестве постоянно действующих возмущений могут также выступать и случайные функции. Тогда 77, (, представляют собой случайные процессы, определенные на некотором вероятностном пространстве. Будем рассматривать

только такие случайные возмущения, при которых системы понимаются в обычном смысле и имеют глобальное решение [50]. Возмущения типа «белый шум» в настоящей работе не исследуются [51, 52]. Целью ставится описать классы допустимых случайных функций, при которых гарантируется устойчивость по вероятности резонансных решений с растущей амплитудой.

Отметим, что задача об устойчивости авторезонанса относительно детерминированных и случайных возмущений до последнего времени оставалась открытой. Тем не менее, эта тема является довольно популярной среди исследователей нелинейных явлений. В частности, в [53] оценивается вероятность захвата в авторезонанс в нелинейном осцилляторе при случайно возмущенных начальных данных. При этом возмущения, которые действуют в течении продолжительного времени, не рассматриваются. В работах [54, 55] обсуждается влияние случайных возмущений и шума в нелинейных задачах близкой тематики.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью данной работы является исследование устойчивости неограниченно растущих решений нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений (3) и (4) относительно возмущений начальных данных и при постоянно действующих возмущениях. Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи: 1. Рассматривается система двух нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений

^ = дуН{х, у) + F(x, y,t), ^ = -дхН(х, у) + у, t), (8)

с гамильтонианом

2 2

H(x,y) = °^- + 0(pz),

и добавками F(x, у, G(x, у, ¿), убывающими при t —»■ оо: F, G —)• 0. Предполагается, что точка х — 0, у = 0 является положением равновесия. Заметим, что к системам вида (8) сводится исследование устойчивости растущих решений моделей авторезонанса. Ставится вопрос об устойчивости равновесия (0; 0) по

Ляпунову. Из структуры уравнений видно, что в соответствующей предельной при t оо линеаризованной системе эта точка является центром. Известно, что при решении вопроса устойчивости в этом случае необходимо проводить аккуратный анализ, учитывающий структуру убывающих со временем добавок и нелинейных членов уравнений. Оказывается, что устойчивость в рассматриваемой системе определяется коэффициентами линейных членов по х и у в убывающих неавтономных добавках F и G. Рассматривается класс уравнений вида (8), в которых правые части F(x, у, t) и G(x, у, t) имеют следующую структуру в асимптотике при р —>■ 0 и t —>■ сю:

•

F = Г1[ах + Ъу + fix, у, £)], G = t~l[cx + dy + д(х, у, ¿)], |/|, \д\ = 0(р2) + 0(p)0(t~*), а, 6, с, d, = const, tf > 0.

Ставится задача: выявить условия на коэффициенты линейной части, при которых имеет место устойчивость равновесия (0; 0) в полной системе.

Отметим, что в случае линейных уравнений задача может быть решена с помощью асимптотических оценок типа ВКБ [56] для пары независимых решений. Однако для нелинейных систем таких оценок нет, и задача решается другим способом. При исследовании устойчивости весьма эффективным методом считается прямой метод Ляпунова, основанный на поиске знакоопределенных функции Ляпунова, производная по времени которых на траекториях системы принимает определенный знак [43-45]. Заметим, что в общем случае не существует регулярного способа построения таких функций. Тем не менее, существует ряд идей и подходов, которые могут привести к построению подходящих функций Ляпунова для разных классов уравнений [46, 47]. Один из таких подходов предлагается в настоящей работе для систем дифференциальных уравнений вида (8). Основная идея заключается в поиске функций Ляпунова в виде линейной комбинации гамильтониана и убывающих со временем добавок. Решению этой задачи посвящена первая глава.

2. Для ответа на вопрос об устойчивости моделей авторезонанса по Ля-

пунову необходимо применить к системам (3), (4) результаты, полученные на предыдущем этапе. Однако на этом пути возникают трудности, причина которых заключается в том, что структура негамильтоновых добавок в асимптотике при t —> оо в соответствующих уравнениях является несколько иной: F,G = Г60(р2) 4- Г1[0{р) + С(р2) + 0(р)0(Г% 0 < 5 < 1. Так как в добавках главные члены асимптотики нелинейны, то результаты первой главы оказываются здесь не применимы. Тем не менее, определяющую роль в решении вопроса устойчивости по прежнему играют линейные члены в F и G. В этом случае в конструкцию функций Ляпунова вводятся модификации, которые позволяют провести эффективный анализ устойчивости. На этом пути во второй главе исследуются системы главного резонанса (3) и параметрического авторезонанса (4), и выводятся условия на параметры моделей, при которых гарантируется устойчивость резонансных решений.

3. Решается задача об устойчивости моделей авторезонанса при постоянно действующих возмущениях. Дело сводится к анализу устойчивости равновесия в системах вида (8). В этом случае дополнительно рассматриваются возмущенные уравнения:

dx

— = дуН(х, у) + F(x, у, t) + (лР{х, у, t), dy

— = -дхН(х, у) + G{x, у, t) + pQ{x, у, t).

И задача заключается в определении условий на функции Р, Q, при которых устойчивость равновесия сохраняется. При этом необходимо учитывать, что в качестве возмущений могут выступать как детерминированные, так и случайные функции. В третьей главе исследуется устойчивость моделей авторезонанса относительно детерминированных возмущений с помощью функций Ляпунова, построенных для невозмущенных систем.

При анализе случайных возмущений модельных уравнений оказываются не применимы известные результаты из теории устойчивости, которые опираются на свойство диссипативности уравнений [50]. Действительно, при иссле-

довании решений с растущей амплитудой для уравнений (6), (7) дело сводится к анализу устойчивости положения равновесия (0; 0) в системах вида (8). Однако поскольку исходные уравнения имеют решения двух типов (с ограниченной и неограниченной амплитудой), то соответствующие преобразованные системы наряду с неподвижной точкой будут иметь решения, уходящие на бесконечность. Такие системы не обладают свойством диссипативности. С другой стороны, воспользоваться недавними результатами об устойчивости для недис-сипативных систем [57, 58] тоже напрямую не удается из-за специфики уравнений. В четвертой главе для одного специального класса уравнений проводится анализ устойчивости равновесия относительно случайных возмущений. Предлагаемый подход основан на существовании локальной функции Ляпунова для невозмущенной системы. Полученные результаты для общих уравнений затем применяются при исследовании моделей авторезонанса.

Положения, выносимые на защиту:

1. Исследована устойчивость равновесия для класса неавтономных систем двух дифференциальных уравнений близких к гамильтоновым в критическом случае пары мнимых собственных значений матрицы предельной линеаризованной системы. Предложен способ построения функций Ляпунова для систем такого вида, конструкцию которой можно использовать для анализа устойчивости в более сложных и общих ситуациях.

2. Решена задача об устойчивости по Ляпунову неограниченно растущих решений моделей авторезонанса. Получены условия на коэффициенты уравнений (3) и (4), при которых гарантируется асимптотическая устойчивость и неустойчивость решений со степенной асимптотикой.

3. Исследовано влияние постоянно действующих детерминированных возмущений на устойчивость моделей авторезонанса. Описаны классы допустимых возмущений, при которых сохраняется устойчивость резонансных решений.

4. Решена задача об устойчивости моделей авторезонанса по вероятности относительно постоянно действующих случайных возмущений. Описаны клас-

сы случайных возмущений, при которых имеет место сильная устойчивость растущих решений.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании нелинейных колебаний и устойчивости решений различных систем дифференциальных уравнений.

Методология и методы исследования. В работе применяются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы теории устойчивости. Результаты численных расчетов приводятся в качестве иллюстраций к полученным утверждениям.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинаре лаборатории природных катастроф ИПМех РАН (Москва, 2013), на семинаре «Нелинейный анализ» факультета математики Потсдамского университета (Потсдам, 2014), на семинаре «Анализ, стохастика и математическая физика» факультета математики Хемницкого технического университета (Хемниц, 2014), на семинаре лаборатории теории нелинейных явлений ИФМ УрО РАН (Екатеринбург, 2014), на общегородских семинарах им. A.M. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики ИМВЦ УНЦ РАН (Уфа, 2009-2015); на международных конференциях «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (оз. Банное, 2010, 2013, 2014), на всероссийской конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2011), на всероссийской конференции «Асимптотические методы теории дифференциальных уравнений» (оз. Еловое, 2011), на международной конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения» (Уфа, БашГУ, 2011), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2012), на международной школе-семинаре «Взаимодействие математики и физики: новые перспективы» (Москва, МИАН, 2012), на меж-

дународной конференции «Динамика, бифуркации и странные аттракторы» (Нижний-Новгород, ННГУ 2013), на международной конференции «Days On Diffraction» (Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, 2014), на VII международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (DFDE) (Москва, РУДН, 2014), на конференции «Chaotic Modeling and Simulation» (Лиссабон, 2014), на всероссийской школе-семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 печатных работах в рецензируемых журналах [33, 59-64].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Из совместных работ [33, 59] автору принадлежат доказательства основных утверждений об устойчивости решений для модельных уравнений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 100 страниц. Библиография включает 80 наименований.

Благодарности. Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Калякину Леониду Анатольевичу за постановку задачи, внимание к работе и ценные критические замечания.

Работа автора на различных этапах исследования поддерживалась грантами РФФИ (12-01-16048, 14-01-31054) и грантом Республики Башкортостан для молодых ученых и молодежных научных коллективов (№ 23 от 12.02.2013).

17

Глава 1

Функции Ляпунова для систем близких к у

гамильтоновым

1.1. Постановка задачи

Известно, что при исследовании устойчивости решений динамических систем наиболее сложным оказывается нейтральный или критический случай, когда линеаризованные уравнения имеют чисто мнимые характеристические корни и соответствующие решения осциллируют. В таких задачах основным инструментом при анализе устойчивости оказываются функции Ляпунова. Их построение далеко нетривиально и сильно зависит от вида исходных уравнений. Для автономных систем вид функций Ляпунова определяются структурой нелинейных слагаемых в асимптотике вблизи равновесия, см. например, [43, 44]. Для неавтономных систем случается, что в свойствах устойчивости главную роль играет структура старших членов разложения в асимптотике на бесконечности по времени. Как раз для одного класса такого типа систем в данной главе приводятся построение функций Ляпунова.

Рассматривается система двух нелинейных неавтономных уравнений на полуоси t > ¿о > 0:

^ = дуН(х, у) + F(x, y,t), dj-t = —дхН(х, у) + г/, t), (1-1)

которая является гамильтоновой в главном члене асимптотики по времени, т.е. F(x, у, ¿), G{x, y,t) 0 при t оо. Пусть система имеет тривиальное решение x(t) = 0, y(t) = 0, которое для предельной автономной гамильтоновой системы (F(x,y,t) = 0, G(x,y,t) = 0) представляет собой неподвижную точку типа центр общего положения. В таком случае без ограничения общности можно

считать, что гамильтониан имеет следующую структуру:

H(x,y) = ^pt- + h{x,y), h(x, у) = 0(р3) при р = V*2 + У2 0.

Далее будем считать, что функции h(x,y), F(x,y,t) и G(x,y,t), заданные в области

ЩРо, to) = {(x,y,t) еш3 : р < ро, t > to}, (0 < ро, t0 = const < оо),

являются гладкими вплоть до границы F,G,h £ С1{Т>), и асимптотические оценки для функции h(x,y) дифференцируемы: dxh, dyh = 0(р2) при р —> 0.

Предлагаемый способ исследования устойчивости положения равновесия опирается на специфическую структуру правых частей в асимптотике на бесконечности:

F = Г6[ах + Ъу + f{x, у, i)], G = Г5[сх + dy + д(х, у, *)]. (1.2)

Здесь а, Ь, c,d,6 = const, 6 > 0, а поправки к выделенным линейным слагаемым малы как на бесконечности по t так и в окрестности равновесия1:

\fix, y,t)I, \gix, y,t)| < Mp[t~v + p] V ix, y, t) G Vip0, t0), (1.3) v, M = const > 0.

В автономном случае, когда возмущение не зависит от времени: Fix, у, t) = fo{x,y), G{x,y,t) = goix,y), устойчивость возмущенной системы определяется структурой этих функций в асимптотике при х —> 0, у —> 0. Известные в этом направлении результаты обобщаются и на неавтономные системы [43]. При этом считается, что неавтономные слагаемые играют подчиненную роль. Однако, в ряде случаев как раз неавтономные слагаемые определяют свойство устойчивости. Простейший пример такого типа дает уравнение линейного осциллятора с затухающим по времени коэффициентом сопротивления

1 Скорость убывания неавтономной части (возмущения) может быть иной, например, логарифмической. Для простоты здесь рассматривается степенное убывание с 6, и > 0.

это уравнение, очевидно, эквивалентно системе типа (1.1) с а = Ь = с = О, й = 7 ф 0. Из аналогии с похожим автономным уравнением х — ^х + х = 0 можно догадаться, что устойчивость положения равновесия х = 0 зависит от знака коэффициента 7. Впрочем, в приведенном примере линейного неавтономного уравнения (1.4) свойство устойчивости можно извлечь из известных ВКБ-оце-нок [56] для пары линейно независимых решений:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Султанов, Оскар Анварович, 2015 год

Список литературы

1. Галилей Г. Избранные труды. Т. 2 / Г. Галилей — М. : Наука, 1964.

2. Чириков, Б. В. Прохождение нелинейной колебательной системы через резонанс / Б. В. Чириков // Доклады АН СССР. - 1959. - Т. 125, № 5. -С. 1015-1018.

3. Заславский, Г. М. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса / Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев. — М. : Наука, 1988.

4. Friedland, L. Autoresonance in nonlinear systems / L. Friedland // Scholarpedia. 2009. 4 (1), 5473.

5. Khain, E., Meerson, B. Parametric autoresonance / E. Khain, B. Meerson // Phys. Rev. E. - 2001. - Vol. 64. - P. 036619.

6. Векслер, В. И. Новый метод ускорения релятивистских частиц / В. И. Векслер // Доклады АН СССР. - 1944. - Т. 43. - С. 346-348.

7. McMillan, Е. М. The synchrotron-a proposed high energy particle accelerator / E. M. McMillan 11 Phys. Rev. - 1945. - Vol. 68. - P. 143-144.

8. Sinclair, A. T. On the origin of the commensurabilities amongst the satellite of Saturn / A. T. Sinclair // Month Notic Roy. Astron. Soc. — 1972. — Vol. 160. — P. 169-187.

9. Greenberg, R. J. Evolution of satellite resonance by tidal dissipation / R. J. Greenberg // Astron. J. - 1973. - Vol. 78. - P. 338-346.

10. Golovanivsky, K. S. Autoresonant acceleration of electrons at nonlinear ECR in magnetic field which is smoothly growing in time / K. S. Golovanivsky // Phys. Scr. - 1980. - Vol. 22. - P. 126-133.

11. Meerson, В., Friedland, L. Strong autoresonance excitation of Rydberg atoms: the rydberg accelerator / B. Meerson, L. Friedland // Physical Review A. — 1990. - Vol. 41. - P. 5233-5236.

12. Fajans, J., Friedland, L. Autoresonant (nonstationary) excitation of pendulums, Plutinos, plasmas, and other nonlinear oscillators / J. Fajans,

L. Friedland // Am. J. Phys. - 2001. - Vol. 69. - P. 1096-1102.

13. Assaf, M., Meerson, B. Parametric autoresonance of Faraday waves / M. Assaf, B. Meerson // Phys. Rev. E. - 2005. - Vol. 72. - P. 016310.

14. Autoresonance parametric excitation of localized oscillations of magnetization in a ferromagnet by an AC field of a variable frequency / L. A. Kalyakin, M. A. Shamsutdinov, R. N. Garifullin, R. K. Salimov // The Physics of Metals and Metallography. - 2007. - Vol. 104. - P. 107-120.

15. Glebov, S., Kiselev, O., Tarkhanov, N. Weakly nonlinear dispersive waves under parametric resonance perturbation / S. Glebov, O. Kiselev, N. Tarkhanov // Studies in applied mathematics. — 2009. — Vol. 124. — P. 19-37.

16. Глебов, С. Г., Киселев, О. М. Асимптотика жесткого режима возбуждения собственных колебаний. I / С. Г. Глебов, О. М. Киселев // Сб. тр. между нар. конференции «Комплексный анализ, диф. уравнения и смежные вопросы. II. Дифференциальные уравнения», ИМ с ВЦ УНЦ РАН. Уфа. 2000. 49-52.

17. Киселев, О. М., Глебов, С. Г. Асимптотика жесткого режима возбуждения собственных колебаний. II / О. М. Киселев, С. Г. Глебов // Сб. тр. меж-дунар. конференции «Комплексный анализ, диф. уравнения и смежные вопросы. II. Дифференциальные уравнения», ИМ с ВЦ УНЦ РАН. Уфа. 2000. 95-97.

18. Калякин, JI. А. Асимптотический анализ модели авторезонанса / JI. А. Ка-лякин // Доклады РАН. - 2001. - Т. 378, № 5. - С. 594-597

19. Kalyakin, L. A. Asymptotic analysis of an autoresonance model / L. A. Kalyakin // Russ. J. Math. Phys. - 2002. - Vol. 9. - P. 84-95.

20. Гарифуллин, P. H. Асимптотический анализ модели субгармонического авторезонанса / Р. Н. Гарифуллин // Тр. ИММ УрО РАН. - 2003. - Т. 9, № 1. - С. 56-63.

21. Гарифуллин, Р. Н. Построение асимптотических решений в задаче об ав-

торезонансе / P. H. Гарифуллин // Докл. РАН. - 2004. - Т. 398, № 3. -С. 306-309.

22. Гарифуллин, Р. Н. Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе. Внутреннее разложение / Р. Н. Гарифуллин // Фундамент, и прикл. матем. - 2006. - Т. 12, вып. 6. - С. 33-48.

23. Калякин, Л. А. Асимптотический анализ моделей авторезонанса / JI. А. Калякин // Успехи мат. наук. - 2008. — Т. 63, вып. 5. — С. 3-72.

24. Боголюбов, H. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М. : Наука, 1974.

25. Коломенский, А. А. Теория циклических ускорителей / А. А. Коломенский, А. Н. Лебедев. — М. : Физматлит, 1962.

26. Калякин, Л. А. Асимптотики решений уравнений главного резонанса / Л. А. Калякин // Теор. мат. физика. - 2003. - Т. 137, № 1. - С. 142-152.

27. Kalyakin, L. A. Justification of asymptotic expansion at infmity / L. A. Kalyakin // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 2008. — Vol. 15. S3. - P. 210-216.

28. Калякин, Л. A., Шамсутдинов, M. A. Авторезонансные асимптотики в осциллирующей системе со слабой диссипацией / Л. А. Калякин, М. А. Шамсутдинов // Теор. мат. физика. - 2009. - Т. 160, № 1. - С. 102-111.

29. Калякин, Л. А. Асимптотическое решение задачи о пороговом эффекте для уравнений главного резонанса / Л. А. Калякин // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40, № 6. - С. 731-739.

30. Киселев, О. М. Лекции по теории нелинейных колебаний / О. М. Киселев. — Уфа : Баш. гос. ун-т, 2006. — 140 с.

31. Глебов С. Г., Киселев О. М., Лазарев В. А. Порог авторезонанса в системе слабо связанных осцилляторов / С. Г. Глебов, О. М. Киселев, В. А. Лазарев // Тр. ИММ УрО РАН. - 2007. - Т. 13, № 2. - С. 43-54.

32. Багдерина, Ю. Ю. Интегрируемые уравнения главного резонанса / Ю. Ю. Багдерина // Матем. заметки. - 2006. - Т. 80, № 3. - С. 465-468.

33. Калякин, JI. А., Султанов, О. А. Устойчивость моделей авторезонанса / Л. А. Калякин, О. А. Султанов // Дифференциальные уравнения. — 2013. - Т. 49, № 3. - Р. 279-293.

34. Калякин, Л. А. Фиктивные асимптотические решения / J1. А. Калякин // Уфимск. матем. журн. - 2014. - Т. 6, № 2. - С. 45—66.

35. Арнольд, В. И. Математические аспекты классической и небесной механики / В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт. — М. : ВИНИТИ, 1985.

36. Нейштадт, А. И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно меняющимся параметром / А. И. Нейштадт // Прикладная математика и механика. — 1975. — Т. 39, № 4. — С. 621-632.

37. Haberman, R., Но, Е. К. Boundary of the basin of attraction for weakly damped primery resonance / R. Haberman, E. К. Ho // J. Appl. Mech. — 1990. - Vol. 62. - P. 941-946.

38. Kiselev, О. M., Glebov, S. G. The capture into parametric autoresonance / О. M. Kiselev, S. G. Glebov // Nonlinear Dyn. - 2007. - Vol. 48. - P. 217-230.

39. Кузнецов, A. H. О существовании входящих в особую точку решений автономной системы, обладающей формальным решением / А. Н. Кузнецов // Функц. анализ и его прилож. — 1989. — Т. 23, вып. 4. — С. 63-74.

40. Калякин Л. А. Теоремы существования и оценки решений для уравнений главного резонанса / JI. А. Калякин // Современная математика и ее приложения. - 2012. - Т. 85. - С. 73-83.

41. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. — М.-Л. : Гостехиздат, 1950.

42. Четаев, Н. Г. Устойчивость движения / Н. Г. Четаев. — М. : Наука, 1990.

43. Малкин, И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. — М.-Л. : ГИТТЛ, 1952.

44. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. — М. : Физматгиз, 1959.

45. Хапаев, М. М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний / М. М. Хапаев. — М. : Высш.шк, 1988. — 184 с.

46. Матросов, В. М., Маликов, А. И. Развитие идей А.М.Ляпунова за 100 лет: 1892-1992 / В. М. Матросов, А. И. Маликов // Изв. вузов. Математика. — 1993. - № 4. - С. 3-47.

47. Анапольский, JT. Ю., Иртегов, В. Д., Матросов, В. М. Способы построения функции Ляпунова / Л. Ю. Анапольский, В. Д. Иртегов, В. М. Матросов // Итоги науки и техники. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1975. — Т. 2. - С. 53-112.

48. Томпсон, Дж. М. Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике. / Дж. М. Т. Томпсон. - М. : Мир, 1985. - 254 с.

49. Горелик, Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику / Г. С. Горелик. — М. : Физматлит, 2007. — 565 с.

50. Хасъминский, Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р. 3. Хасьминский. — М. : Наука, 1969.

51. Schuss, Z. Theory and applications of stochastic processes / Z. Schuss. — N.-Y. : Springer, 2010.

52. Вентцель, А. Д. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений / А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин. — М. : Наука, 1979.

53. Autoresonant transition in the presence of noise and self-fields / I. Barth, L. Friedland, E. Sarid, A. Shagalov // Phys. Rev. Letters. - 2009. - Vol. 103. -P. 155001.

54. Resonant acceleration of charged particles in the presence of random fluctuations / A. Artemyev, D. Vainchtein, A. Neishtadt, L. Zelenyi // Phys. Rew. E. - 2011. - Vol. 84. - P. 046213.

55. Komarov, M., Gupta, S., Pikovsky, A. Synchronization transitions in globally coupled rotors in the presence of noise and inertia: Exact results / M. Komarov,

S. Gupta, A. Pikovsky // EPL. - 2014. - Vol. 106. - P. 40003.

56. Федорюк, M. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М. В. Федорюк. — М. : Наука, 1983.

57. Калякин, Л. А. Устойчивость недиссипативных систем относительно постоянно действующих случайных возмущений / JI. А. Калякин // Матем. заметки. - 2012. - Т. 92, № 1. - С. 145-148.

58. Калякин, Л. А. Устойчивость недиссипативных систем относительно случайных возмущений, малых в среднем / Л. А. Калякин // Тр. ИММ УрО РАН. - 2013. - Т. 19, № 2. - С. 170-178.

59. Калякин, Л. А., Султанов, О. А., Шамсутдинов, М. А. Асимптотический анализ модели ядерного магнитного авторезонанса / Л. А. Калякин, О. А. Султанов, М. А. Шамсутдинов // Теор. и мат. физика. — 2011. — Т. 167, № 3. - С. 419-430.

60. Султанов, О. А. Устойчивость моделей авторезонанса при постоянно действующих возмущениях / О. А. Султанов // Тр. ИММ УрО РАН. — 2012. — Т. 18, № 2. - С. 254-264.

61. Султанов, О. А. Функции Ляпунова для неавтономных систем близких к гамильтоновым / О. А. Султанов // Уфимский мат. журнал. — 2010. — Т. 2, № 4. - С. 88-98.

62. Султанов, О. А. Устойчивость моделей авторезонанса относительно возмущений, ограниченных в среднем / О. А. Султанов // Тр. ИММ УрО РАН. - 2013. - Т. 19, № 3. - С. 274-283.

63. Султанов, О. А. Устойчивость моделей авторезонанса относительно случайных возмущений для систем уравнений нелинейных колебаний / О. А. Султанов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2014. — Т. 54, № 1. - Р. 65-79.

64. Султанов, О. А. Устойчивость захвата в параметрический авторезонанс / О. А. Султанов // Тр. ИММ УрО РАН. - 2015. - Т. 21, № 1. - С. 220-230.

65. Меркин, Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д. Р. Мер-

кин. - СПб. : Лань, 2003. - 304 с.

66. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. — М. : Наука, 1967.

67. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. — М. : МГУ, 1984.

68. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1968. — 431 с.

69. Немыцкий, В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений /

B. В. Немыцкий, В. В. Степанов. - М. : Едиториал УРСС, 2004. 522 с.

70. Итс, А. Р. Транценденты Пенлеве. Метод задачи Римана / А. Р. Итс, А. А. Капаев, В. Ю. Новокшенов, А. С. Фокас. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 728 с.

71. Козлов, В. В. Асимптотики решений сильно нелинейных систем диффе-ренциальныхз уравнений / В. В. Козлов, С. Д. Фурта. — М. : Изд-во МГУ, 1996. - 244 с.

72. Брюно, А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях / А. Д. Брюно. — М. : Наука, 1998. — 288 с.

73. Брюно, А. Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения / А. Д. Брюно // Успехи мат. наук. — 2004. — Т. 59, № 3. - С. 31-80.

74. Калякин, Л. А. Асимптотика на бесконечности решений уравнений, близких к гамильтоновым / Л. А. Калякин // Современная математика и ее приложения. - 2008. - Т. 53. - С. 138-160.

75. Калякин, Л. А. Метод усреднения в задачах об асимптотике на бесконечности / Л. А. Калякин // Уфимский мат. журнал. —2009. — Т. 1, № 2. —

C. 29-52.

76. Гермаидзе, В. Е. Об асимптотической устойчивости по первому приближению / В. Е. Гермаидзе // Прикладная математика и механика. — 1957. —

®

Т. 21, вып. 1. - С. 133-135.

77. Гермаидзе, В. Е., Красовский, Н. Н. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях / В. Е. Гермаидзе, Н. Н. Красовский // Прикладная математика и механика. — 1957. — Т. 21, вып. 6. — С. 769-774.

78. Вркоч, И. Интегральная устойчивость / И. Вркоч // Чехословацкий математический журнал. — 1959. — Т. 9, № 1. — С. 71-129.

79. Малкин, И. Г. К вопросу об обращении теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости / И. Г. Малкин // Прикл. математика и механика. — 1954. - Т. 18, вып. 2. - С. 129-138.

80. Кац, И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры / И. Я. Кац. — Екатеринбург : Изд-во Уральской гос. академии путей сообщения, 1998.