Воздействие нестационарной поверхностной нагрузки на упругое моментное полупространство тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Суворов, Евгений Михайлович

• Суворов, Евгений Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Суворов, Евгений Михайлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ПЛОСКОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ О ВОЗДЕЙСТВИИ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ НА

УПРУГОЕ МОМЕНТНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО

§1.2. Общая постановка нестационарных задач механики среды

Коссера

§ 1.3. Интегральное представление напряженно-деформированного

состояния упругого моментного полупространства

§ 1.4. Постановка плоской нестационарной задачи типа Лэмба для упругого моментного полупространства, заполненного средой

Коссера

§ 1.5. Система разрешающих уравнений для плоской задачи типа

Лэмба

ГЛАВА 2. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ

ФУНКЦИЙ ВЛИЯНИЯ

§ 2.1. Построение рекуррентной последовательности задач с

применением метода малого параметра

§ 2.2. Алгоритм решения

ГЛАВА 3. ОБЪЕМНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА

УПРУГОЙ МОМЕНТНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

§ 3.1. Функции Грина

§ 3.2. Объемные функции Грина I типа

§ 3.3. Объемные функции Грина II типа

§ 3.4. Поверхностные функции Грина

§ 3.5. Интегральные представления изображений коэффициентов

рядов разложений функций влияния через функции Грина

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ РЕКУРРЕНТНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОДЗАДАЧ

§ 4.1. Решения в изображениях Фурье - Лапласа

§ 4.2. Получение оригиналов решений рекуррентной

последовательности подзадач

§ 4.3. Анализ результатов

ГЛАВА 5. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ УПРУГО МОМЕНТНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ОТ ДЕЙСТВИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ

РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ

§5.1. Алгоритм определения перемещений

§5.2. Пример решения

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Список используемой литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Воздействие нестационарной поверхностной нагрузки на упругое моментное полупространство»

Введение

Задачи о деформировании материала, при котором деформация среды описывается не только вектором перемещения, но также вектором поворота, давно привлекают внимание исследователей. Среду, моделируемую таким образом, сегодня часто называют средой Коссера, а за теорией в литературе закрепились названия моментной, несимметричной, а также микроструктурной теории упругости.

Первая попытка построения теории упругости с несимметричным тензором напряжений принадлежит Е. Cosserat and F. Cosserat [71]. Изучение вращения в трехмерном пространстве было начато У. Гамильтоном в 1848 году в его фундаментальной работе [73]. Развитие идей Гамильтона нашло отражение в работе Г. Дарбу [72]. А. Клебш и П. Дюгем ввели понятие вращательной меры деформации. О важности учета моментных напряжений говорилось и в работе В.Фойхта 1887 г. [84], который впервые рассмотрел модель среды с вращательным взаимодействием ее частиц при изучении упругих свойств кристаллов. Согласно [26] Э. и Ф. Коссера обобщили и развили работы Г. Кирхгофа, А. Клебша, П. Дюгема и В. Фойхта.

Теория Э. и Ф. Коссера [71] появилась в 1909 г. Согласно концепции братьев Коссера при изучении напряженного состояния твердого деформируемого континуума необходимо наряду с обычными напряжениями вводить в рассмотрение моментные напряжения. Появление модели континуума Коссера ознаменовало собой начало перехода в теории сплошных сред от механики Ньютона, исходным объектом которой является материальная точка, к механике Эйлера, имеющей в качестве исходного объекта твердое тело. Согласно [26] модель Коссера - континуальное обобщение уравнений механики Эйлера.

В этих моделях, в отличие от классической теории, напряженное состояние описывается несимметричным тензором напряжений, поэтому упругие тела в несимметричной теории характеризуются большим числом упругих констант. Необходимость подобного усложнения нередко оправдывается тем, что с помощью даваемых в классической теории упругих (и пьезоэлектрических) констант невозможны трактовки, например аномального пьезоэффекта в кварце, дисперсии упругих волн в сплошной среде, а также упругих свойств кварца, алмаза и других кристаллов [6].

Потеря точности в классической механике континуума может происходить по следующей причине. Если ищется реакция тела на внешнее физическое воздействие, характерный размер которого соизмерим со средним размером зерна или молекулы в теле, то зернистые или молекулярные составляющие тела возбуждаются индивидуально. В этом случае должны приниматься во внимание внутренние движения составляющих. Это становится особенно ярко выражено в связи с распространением волн с большими частотами или с малыми длинами.

В настоящее время обобщенные континуумы вызывают как теоретический, так и практический интерес и заслуживают внимания не только теоретиков, но и экспериментаторов, специализирующихся в различных отраслях механики и физики. Актуальность исследований повышает и то обстоятельство, что, в сущности, у всех природных и искусственных материалов и систем проявляются взаимодействия механических процессов различного пространственного масштаба. Эти обобщенные континуумы применяются при разработке новых металлургических технологий, позволяющих синтезировать искусственные материалы с управляемой микроструктурой. Они помогают прогнозировать поведение таких хрупких материалов, как

бетон или лед. Некоторые методы технической диагностики и неразрушающего контроля основываются на усредненных материальных свойствах обобщенных континуумов. На моделирование, базирующееся на концепциях обобщенных континуумов, возлагаются большие надежды для успешного и скорейшего развития нанотехнологий. Обобщенные континуумы, такие как микрополярные или ориентированные материалы, микроморфный континуум, высокоградиентные материалы, тела со слабыми или сильными нелокальными взаимодействиями, также привлекаются при разработке интегральных многомасштабных вычислительных процедур. Подобные компьютерные технологии имеют целью объединение различных пространственных масштабов в одной численной схеме. Начало берется в квантомеханическом описании, затем осуществляется моделирование процессов на атомарном, молекулярном, микроскопическом и, наконец, на континуальном масштабе.

В настоящее время, несмотря на то, что общая теория моментных сред достаточно развита, имеется лишь ограниченный круг решенных практически важных задач. Наиболее полные результаты получены для частного случая - среды Коссера. Практически отсутствуют публикации, посвященные нестационарным задачам механики моментных сред, т.е. задачам с начальными условиями. Тематика исследований, которым будет посвящена диссертационная работа, как раз направлена на решение нестационарных задач и призвана заполнить этот пробел. В этой связи тематика исследований по данному направлению является актуальной как в теоретическом, так и в прикладном значении.

В первой главе приведен обзор литературы, определена проблема получения аналитического решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела. Здесь же приведена полная система уравнений несимметричной теории упругости, в которую входят

линейные векторные уравнения движения в перемещениях, геометрические и физические соотношения. Сформулированы начальные и основные граничные условия для среды Коссера. Построено интегральное представление нестационарного напряженно-деформированного состояния упругого моментного полупространство с использованием функций влияния. Приведена постановка плоской задачи типа Лэмба при учете асимметричных свойств сплошной упругой среды. Получена система разрешающих уравнений.

Во второй главе для решения задачи типа Лэмба используется метод малого параметра. Построена рекуррентная последовательность задач для определения коэффициентов рядов разложений искомых поверхностных функций влияния. Приведен алгоритм решения, основанный на применении интегральных преобразований Лапласа по времени и Фурье по пространственной координате.

Во третьей главе определяются объемные и поверхностные функции Грина как решения задач о воздействии сосредоточенных и объемных сил. Функции Грина определены в пространстве изображений Фурье-Лапласа. Построены интегральные представления коэффициентов рядов разложений функций влияния через функции Грина.

В четвертой главе дано решение рекуррентной последовательности подзадач для определения коэффициентов рядов разложений функций влияния. Для построения оригиналов изображений использован метод совместного обращения Фурье - Лапласа. Замечено, что решение в нулевом приближении совпадает с известным решением плоской задачи Лэмба для линейно упругого полупространства. При этом микровращения в среде отсутствуют. Показано, что построение оригиналов перемещений и микроповоротов сводится к операции предельного перехода и вычислению сверток. Также отмечено, что учет второго и последующих слагаемых в частичных суммах рядов не

приводит к существенным отличиям, т.к. результат операции свертки есть непрерывная функция. Следовательно, все особенности функций влияния содержат нулевые и первые слагаемые.

В пятой главе построен численно-аналитический алгоритм для определения перемещений границы полуплоскости в ответ на воздействие внешней нестационарной поверхностной нагрузки. Получены решения нескольких задач о воздействии нормальной поверхностной нагрузки на упругое моментное полупространство. Приведено сравнение результатов с решениями задач классической теории упругости для упругой полуплоскости.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Суворов, Евгений Михайлович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Дана математическая постановка плоской нестационарной задачи типа Лэмба для полупространства, заполненного средой Коссера. Разработан метод решения, основанный на разложении искомых поверхностных функций влияния в ряды по малому параметру. Получена рекуррентная последовательность подзадач относительно коэффициентов рядов разложения по малому параметру.

2. В пространстве изображений Фурье-Лапласа найдены функции Грина для моментно упругой полуплоскости.

3. Разработана и реализована методика определения оригиналов коэффициентов рядов по малому параметру компонентов напряженно-деформированного состояния полуплоскости.

4. Построено интегральное представление с ядрами в виде функций влияния решений задач о действии нестационарных поверхностных возмущений на полуплоскость заполненную средой Коссера. Приведены примеры расчетов.

5. Проведено сравнение полученных результатов с решениями задач для упругой полуплоскости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Суворов, Евгений Михайлович, 2013 год

Список используемой литературы.

1. Адамов A.A. О вычислительных эффектах при решении краевых задач для изотропного однородного континуума Коссера. // Труды VI Российской научно-технической конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение», Екатеринбург, 2010.

2. Адамов А. А. О гипотезе однородности, масштабных параметрах длины и краевом эффекте для изотропного континуума Коссера // Мех. композиц. матер, и конструкций. - 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 329-346.

3. Амбарцумян С. А. Задача несимметричной термоупругости весьма пологой оболочки. Изв. АН Армении. Мех.. 2002. 55, N 3, с. 20-33.

4. Амбарцумян С. А. Температурная задача микрополярной пластинки. Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н.. 2000, N 3, с. 17-20, 195 с.

5. Атоян А. А., Саркисян С. О. Динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин. Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2004, N

1, с. 18-29, 123. Библ. 15. Рус.; рез. англ.

6. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметричной упругости. Учет внутреннего вращения // ФТТ. - 1964. - Т. 6. -Вып. 9. - С. 2689-2699.

7. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. - 1960. - Т.

2.-Вып. 7.-С. 1399-1409.

8. Баженов В. А., Сахаров А. С., Соловей Н. А.. Сходимость

моментной схемы конечных элементов в задачах статики и устойчивости оболочек при термосиловых нагрузках. Киев. гос.

техн. ун-т стр-ва и архит.. Киев. 1996, 40 е., ил.. Библ. 8 назв.. Рус.. Деп. в ГНТБ Украины 06.06.96, N 1342-Ук96

9. Бакеев Р. А., Макаров П. В., Смолин И. Ю. Численное решение двумерных упругопластических задач для микрополярной среды. Физика и химия наноматериалов: Сборник материалов Международной школы-конференции молодых ученых, Томск, 1316 дек., 2005. Томск: ТГУ. 2005, с. 147-152. Библ. 3. Рус.

10. Баскаков В. А., Бестужева Н. П. Особенности распространения гармонических волн в анизотропной среде Коссера с кубической симметрией. Проблемы механики неупругих деформаций: Сборник статей. К 70-летию Дюиса Даниловича Ивлева. М.: Физматлит. 2001, с. 52-61. Библ. 7. Рус.

11. Баскаков В. А., Бестужева Н. П., Кончакова Н. А. Особые частоты плоских волн в несимметрично упругой среде. Регион, межвуз. семин. "Процессы теплообмена в энергомашиностр.", Воронеж, [1996]: Тез. докл.. Воронеж. 1996, с. 51. Рус.

12. Белоносов С. М. Моментная теория упругости: (Статика). -Владивосток: Дальнаука, 1993. - 148 с.

13. Белоцерковский С.М. Лифанов И.К.. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. | М.: Наука, 1985.

14. Босяков С. М. Влияние моментных напряжений на распространение упругих волн в микрополярной кубически анизотропной среде. Инж.-физ. ж.. 2006. 79, N 2, с. 178-182. Библ. 12. Рус.

15. Бровко Г. Л., Иванова О. А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера // Известия РАН. Мех. тверд, тела. -2008.-№ 1.-С. 22-36.

16. Бурак Я. Й., Мороз Г. I. Математическое моделирование краевых задач нелинейной моментной теории упругости с использованием вариационного подхода. Доп. Нац. АН Украины. 2003, N 7, с. 4045. Библ. 4. Укр.; рез. англ.

17. Бытев В. О., Слезко И. В. Решение задач асимметричной упругости. Математическое и информационное моделирование: Сборник научных трудов. Вып. 10. Тюмень: Вектор Бук. 2008, с. 27-32. Рус.

18. Ванин Г. А. Моментная термодинамика неоднородных сред// Достижения и задачи машиноведения: К 70-летию академика Константина Васильевича Фролова. - М.: Ин-т машиновед. УрО РАН, 2006.-С. 192-206.

19. Васильев А. А., Мирошниченко А. Е. Многополевое моделирование тел Коссера. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 5 Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, 29-31 мая, 2008. Ч. 1. Секц. Математические модели механики. прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ. 2008, с. 83-86. Библ. 3. Рус.

20. Васильев А. А. Структурные и обобщенные континуальные модели тел Коссера. Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела // Материалы 7 международного научного симпозиума, Тверь, 16-17 дек., 2010: Посвящены 80-летию со дня рождения заслуженного деятеля науки и техники РФ профессора В. Г. Зубчанинова. - Тверь: ТГТУ, 2011.-С. 81-86..

21. Волегов 77. С., Шулепов А. В. Упругие константы монокристалла в несимметричной физической теории пластичности. Вестн. ПГТУ. Мех.. 2010, N 1, с. 19-34, 128. Библ. 6. Рус.; рез. англ.

22. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлакоеский Д.В. Волны в сплошных средах: Учеб. пособ.: Для вузов . - М.: Физматлит, 2004. - 472с.

23. Горшков А.Г., Тарлакоеский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука. Физматлит, 1995. -352 с.

24. Деев В. М. Новый метод решения статической пространственной задачи несимметричной теории упругости в перемещениях. 9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 авг., 2006: Аннотации докладов. Т. 3. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2006, с. 82. Рус.

25. Еремеев В.А. О влиянии микроструктуры материала на потерю устойчивости двухфазных нелинейно - упругих тел. // Фундам. и прикл. пробл. механ. деформир. сред и конструкций / Сб. научн. трудов. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородск. ун - та, 1993. Вып. 1. С. 183 - 193.

26. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328с.

27. Кончакова Н. А. Высокочастотные колебания и волны в несимметричной термоупругой среде. 7 Четаев. конф. "Анал. мех., устойчивость и упр. движением", Казань, 10-13 июня, 1997: Тез. докл.. Казань: Изд-во Гос. техн. ун-та. 1997, с. 145. Рус.

28. Кончакова Н. А. О построении моделей сплошных сред с несимметричными тензорами. Вестн. МГУ. Сер. 1. 2002, N 4, с. 41-47, 71. Библ. 14. Рус.

29. Корепанов В. В., Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Аналитические и численные решения статических и динамических задачнесимметричной теории упругости. 9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28

авг., 2006: Аннотации докладов. Т. 3. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2006, с. 118-119. Рус.

30. Кулеш М. А. Построение и анализ аналитических решений некоторых двумерных статических задач несимметричной теории упругости: Дис. на соиск. уч. степ., канд. физ.-мат. наук. Ин-т мех. сплош. сред УрО РАН, Пермь, 2001, 100 с.

31. Кулеш М. А., Грекова Е. Ф., Шардаков И. Н. Задача о распространении поверхностной волны в редуцированной среде коссера // Акуст. ж. - 2009. - Т. 55. - № 2. - С. 216-225.

32. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера // Известия РАН. Мех. тверд, тела. - 2007. - № 4. - С. 100-113.

33. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. О свойствах поверхностных волн в упругой среде Коссера // Математическое моделирование систем и процессов: Сборник научных трудов. Пермь: ПГТУ. - 2006. - Вып. 14. - С. 109-113.

34. Леонов А. В. Нахождение определяющих соотношений несимметричной теории упругости путем осреднения неоднородного упругого материала // Вестн. ТГТУ. - 2010. - Т. 16. -№ 3. - С. 625-631

35. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости.

36. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.

37. Миндлин Р.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений // Механика: Сборник переводов. - 1964. - Т. 85. - № 4. - С. 115-128.

38. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика: Сборник переводов. - 1964. - Т. 86. - № 4. - С. 129-160.

39. Миндлин Р.Д., Тирстен Г.Ф. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости // Механика: Сборник переводов. -1964. - Т.86. — № 4. - С. 80-114. (38)

40. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

41. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Определение эффективных термомеханических характеристик однонаправлено армированного гибридного композита в рамках несимметричной теории упругости. Мех. композиц. матер, и конструкций. 2009. 15, N 3, с. 383-394. Библ. 15. Рус.; рез. англ.

42. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872с. (41)

43. Омаров С. Е. Способ определения материальных функций в линейной моментной теории упругости // Вестн. МГУ. - Сер. 1. -2009.-№5.-С. 37-41.

44. Палъмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. - 1964. - Т.28. - Вып.6. - С. 1117-1120. (43)

45. Победря Б. Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды // Вестн. МГУ. - Сер. 1. - 2005. -№ 1. - С. 54-59, 73.

46. Победря Б. Е., Омаров С. Е. Определение материальных функций линейной моментной теории вязкоупругости.Вестн. МГУ. Сер. 1. 2007, N 5, с. 36-41, 71. Библ. 9. Рус.

47. Пронина В. С., Филатов Г. Ф. Поверхностные волны в деформированной упругой среде Коссера // Материалы 9 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец, 10-14 февр., 2003. - М. 2003. - С. 38-39.

48. Садовский В. М., Садовская О. В., Варыгина М. П. Численное моделирование пространственных волновых движений в

моментных средах // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2009. - Т. 2. - № 4. - С. 111-121.

49. Саркисян С. О. Аналитическая механика микрополярных упругих тонких оболочек, пластин и балок. Прочность, динамика, термоупругость. Вестн. Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011, N4, ч. 4, с. 1750-1752. Библ. 1.Рус.;рез. англ.

50. Саркисян С. О., Алваджян Ш. И. Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонкихбалок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик. Вопр. атом, науки и техн.. 2011, N 4, с. 196-204. Библ. 9. Рус.

51. Саркисян С. О., Варданян С. А., Фарманян А. Ж. Некоторые задачи прочности и термоупругости микрополярных пластин // Международная научная конференция по механике «4 Поляховские чтения», Санкт-Петербург, 7-10 февр., 2006: Тезисы докладов. СПб: ВВМ. - 2006. - С. 213-214.

52. Саркисян С. О., Саркисян Л. С. Динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек. Труды 21 Международной конференции по теории оболочек и пластин, Саратов, 14-16 нояб., 2005. Саратов: Изд-во СГТУ. 2005, с. 193198. Библ. 9. Рус.

53. Саркисян С.О., Саркисян A.A. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин со свободным вращением и особенности их свободных колебаний. Акуст. ж.. 2011. 57, N4, с. 461-469. Рус.

54. Смолин И. Ю. О применении модели Коссера для описания пластического деформирования на мезоуровне. Физ. мезомех.. 2005. 8, N 3, с. 49-62. Библ. 70. Рус.; рез. англ.

55. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. - Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.

56. Суворов Е.М., Федотенков Г.В. Нестационарные одномерные колебания моментноупругого полупространства под действием поверхностной нагрузки. Матер. XVI Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред» им. А.Г. Горшкова -М., 2010., том 2-С. 101.

57. Суворов Е.М., Федотенков Г.В. Плоская нестационарная задача о воздействии поверхностной нагрузки на моментно упругую полуплоскость. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. № 4. Ч. 4. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011.-С. 1794-1796.

58. Суворов Е. М., Федотенков Г.В. Нестационарные поверхностные функции влияния полупространства, заполненного средой Коссера. Сборник тезисов докладов конференции «Инновации в авиации и космонавтике - 2012». - С-Пб.: ООО «Принт-салон», 2012. - С. 286287.

59.Суворов Е. М., Федотенков Г.В. Действие нестационарной сосредоточенной поверхностной нагрузки на упругое полупространство с учетом влияния моментных напряжений. Нестационарные процессы деформирования элементов конструкций, обусловленные воздействием полей различной физической природы. - Львов: И1111ММ им. Я.С. Подстригача. -2012.-С. 192- 196.

60. Суворов Е. М., Федотенков Г.В., Кубенко В.Д. Плоская задача Лэмба для моментно-упругой среды. Матер. XVII Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред» им. А.Г. Горшкова - М., 2011., том 2 - С. 54-56.

61. Суворов Е. М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Воздействие нестационарной поверхностной нагрузки на моментно-упругую полуплоскость. Импульсные процессы в механике сплошных сред: Матер. IX междунар. научн. конф. - Николаев: КП «Микола1вська областна друкарня», 2011. - С. 147-151.

62. Суворов Е. М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарная задача о воздействии сосредоточенной нагрузки на границу упругой полуплоскости. Ломоносовские чтения -2012 С. 149.

63. Суворов Е.М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г В. Плоская задача об ударе твердого тела по полупространству, моделируемому средой Коссера // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 5. С. 850-859.

64. Суворов Е. М., Терлецкий Р.Ф.,Федотенков Г.В. Плоская задача типа Лэмба для моментноупругого полупространства. Матер. XVIII междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред» им. А.Г. Горшкова - М., 2012., том 2 - С. 149-161.

65. Ту он JI.T. Нестационарные волны в упругих моментных средах: Дис. на соиск. уч. степ., канд. физ.-мат. наук. МАИ, Москва, 2012, 111с.

66. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2011. - Т. 17. - № 2. -С. 184- 195.

67. Федоров Ю. А. Основные уравнения плоской задачи моментной теории термоупругости, изв. Иван, отд-ния Петр. Акад. наук и искусств. 1998, N 3, с. 103-105. Рус.

68. Хмиадашвили M. А., Схвитаридзе К. М, Бицадзе Р. Г. Краевые задачи моментной теории упругости для шара // Проб л. мех. -2005.-№3.-С. 74-79.

69. Шулепов А. В., Зубко И. Ю. Использование кластерных систем для расчета констант в несимметричном законе упругости. Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах (НРС-2010): Материалы 10 Международной конференции, Пермь, 1-3 нояб., 2010. Т. 2. Пермь: ПерГТУ. 2010, с. 321-323. Библ. 3. Рус.

70. Birsan Mircea. Некоторые результаты исследования задач динамики термоупругих оболочек Коссера с полостями // Mech. Res. Commun. - 2006. - V. 33,-№2.-P. 157-176.

71. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. - Paris: A. Hermann et fils, 1909. - 226 p.

72. Darboux G. Leçons sur la Theorie Generate des Surfaces. Paris, 1887.V. 1.

73. Hamilton W.R. Researches Respecting Quaterions, First Series // Trans. Roy. Irish Acad., 1848. V. 21. P. 199 - 296.

74. Kumar R., Sharma J. N. Отражение плоских волн от границы термоупругого полупространства, моделируемого моментной упругой средой без диссипации энергии // Int. J. Appl. Mech. and Eng.-2005.-V. 10,-№4.-P. 631-645.

75. Kumar Rajneesh, Singh Ranjit, Chadha Т. К. Метод собственных значений для второй динамической задачи теории микрополярных упругих тел // Indian J. Pure and Appl. Math. - 2003. - V. 34. - № 5. -P. 743-754.

76. Khmiadashvili M., Skhvitaridze K, Kharashvili M. Граничная задача установившихся колебаний моментной теории упругости для бесконечного пространства с шаровой полостью.

The boundary value problem of steady-state oscillation for the infinite space with spherical cavity in asymmetrical theory. Пробл. мех. (Грузия). 2008, N 1, с. 82-86. Библ. 10. Англ.; рез. рус.

77. Kumar Das Тарап, Kumar Biswas Pradip, Sengupta P. R. Влияние моментных напряжений на термовязкоупругие поверхностные волны в вязкоупругости высокого порядка. Couple-stress effect on thermo-visco-elastic-surface waves in solids of higher order visco-elasticity. Proc. Indian Nat. Sci. acad. . A. 1992. 58, N 5, c. 453-460. Англ.

78. Lang Holger, Linn Joachim, Arnold Martin Моделирование динамики систем многих тел геометрически точных стержнейКоссера. Multi-body dynamics simulation of geometrically exact Cosserat rods.Multibody Syst. Dyn.. 2011. 25, N 3, c. 285-312. Англ.

79. Le Roux. Etude geometrique de la torsion et de la flexion // Ann. Scient. de L'Ecole Normale Sup., Paris, 1911. V. 28.

80. Markus S., Mead D. J. Осесимметричное и несимметричное волновое движение в ортотропных цилиндрах. Axisymmetric and asymmetric wave motion in orthotropic cylinders. J. Sound and Vibr.. 1995. 181, N 1, c. 127-147. Англ.

81. Pradel Francis, Sab Karam. Модель Коссера упругой периодической структуры. Cosserat modelling of elastic periodic lattice structures. C. r. Acad. sci. Ser. 2. Fasc. b. 1998. 326, N 11, c. 699-704. Англ.; рез. фр.

82. Saxena Hirdeshwar S., Dhaliwal Ranjit S. Приложение метода собственных чисел к осесимметричной связанной микрополярной термоупругости // Bull. Pol. Acad. Sci. Techn. Sci. - 1990. - T. 38. -№ l.-C. 7-18.

83. Tanigawa Yoshinobu, Sone Daisuke, Jeon Sang-Pyo Теоретическое решение задачи термоупругости для неоднородного континуумаКоссера. Theoretical development of thermoelastic problem for Kassir's nonhomogeneous medium. 19th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Kyoto, Aug. 25-31, 1996: Abstr.. Kyoto. 1996, c. 322. Англ.

84. Voigt W. Theoretische Studien tiber die Elastizitatsverhaltnisse der Krystalle // Abn. Ges. Wiss. Gottingen, 1887. V. 34.