Возбуждение атома водорода внешним полем тяготения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Усенко, Константин Владимирович

• Усенко, Константин Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Усенко, Константин Владимирович

Введение

Гл. I СПЙНОШОЕ ПОЛЕ В ОТО

§ 1,1 Спинорное пространство

§2.1 Классификация с шторных представлений внешней алгебры

§ 3.1 Спинорное расслоение

§4.1 Сводка результатов

Гл. II ГАМИЛЬТОНОМ ФОРМУЛИРОВКА. СПИН0Ш0Г0 ПОЛЯ В ОТО

§ 1.2 Пространственно-временное расслоение

§2.2 Канонический формализм

§ 3.2 Расслоение алгебры наблюдаемых

§4.2 Гамильтонов оператор

§ 5.2 Сводка результатов

Гл. III Ф0К0ВСК0Е ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СПЙНОРНОГО ПОЛЯ В

§1.3 Спектр гамильтонова оператора

§2.3 Кинематика парциальных волн

§ 3.3 Преобразования Боголюбова

§4,3 Сводка результатов

Гл, ГУ АТОМ ВОДОРОДА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

§ 1,4 Кулоновское поле

§ 2,4 Уравнение Дирака в поле точечного заряда

§ 3,4 Спектр гамильтонова оператора

§4,4 Кинематика парциальных волн

§5,4 Множественное рождение пар

§6,4 Возбуждение атома

§7,4 Ионизация атома водорода

§ 8,4 Излучение атома

§9,4 Возбуждение в поле черной дыры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Возбуждение атома водорода внешним полем тяготения»

Интерес к приливным явлениям в атоме водорода в значительной степени обусловлен проблемой построения теории квантовых детекторов гравитационного поля и, в частности, гравитационного излучения I 1-4 I, Атом водорода представляет собой наиболее простую квантовую систему, в которой квантовомеханическое поведение присуще только одной частице - электрону. Поэтому естественно исследование приливных явлений в квантовых системах начать именно с исследования атома водорода.

Постановке задачи о влиянии внешнего поля тяготения на внутренние свойства атома водорода длительное время препятствовали значительные трудности общетеоретического характера. Первая из них связана с наличием у электрона спина. Поскольку релятивистское поле тяготения является тензорным, пренебречь спином электрона недопустимо, так что для описания поведения электрона во внешнем поле тяготения (релятивистском) необходимо использовать формализм спинорного поля на искривленном пространстве-времени. Уравнение, описывающее поведение частиц со спином 1/2 в искривленном пространстве-времени, было введено Фоком I 5,6 I еще в начальную эпоху становления релятивистской квантовой теории, однако при исследовании трансформационных свойств этого уравнения Картаном 12 1 было показано отсутствие представления полной линейной группы матрицами в спинорном пространстве. Впоследствии неоднократно появлялись различные попытки определения спиноров на искривленном пространстве-времени, пока Лихнерович I 8,9 I не построил внутренне непротиворечивое определение, основанное на использовании расслоения ортореперов, В подходе Лих-неровича отсутствует характерная для спиноров на трехмерном пространстве геометрическая наглядность, но в нем нашло свое обоснование введенное Фоком выражение для ковариантной производной спинорного поля.

Вторая трудность вызвана необходимостью рассмотрения одно электронного состояния квантового электронно-позитронного поля на искривленном пространстве-времени. Внешнее поле тяготения, как правило, не сохраняет энергию квантовых полей, так что операторы, которые могут быть использованы в качестве гамильтониана квантового поля, не сохраняются, причем их зависимость от времени, как правило, настолько существенна, что построенные с их помощью мгновенные фоковские представления унитарно неэквивалентны. Эта ситуация хорошо известна под названием множественного рождения частиц и является характерной для широкого класса полей тяготения, как показано в I 10 I, Как следствие, число частиц в заданном состоянии квантового электронно-позитронного поля во внешнем поле тяготения не может быть определено однозначно, В частности, невозможно однозначно определить одноэлектронное состояние, необходимое для описания атома водорода,

В большинстве работ по исследованию атома водорода во внешнем поле тяготения эта вторая трудность завуалирована вследствие специального выбора системы координат. В локально-лоренцевой системе отсчета, сопутствующей свободно падающему атому, метрика пространства-времени обычно описывается в приближении координат Ферми, в которых I II I она имеет вид | R-obca. XbXeJxVt-(£k + j- /W^VVxV** (Be J)

Зависимость от времени учитывается в виде зависимости от времени компонент тензора вдивизны R-&bed на мировой линии атома, Вследствие тождеств Бианки производные по времени от компонент тензора кривизны того же порядка малости, что и отброшенные в (I) члены. Это обстоятельство послужило основанием для предположения о сохранении энергии электрона в атоме водорода, свободно падающего во внешнем поле тяготения,

В работах Горбацевича I 12-14 I была построена формулировка уравнений квантовой механики в неинерциальных системах отсчета и во внешних полях тяготения. Использование координат Ферми не позволило заметить нестационарности гамильтониана и обусловленной этим нестационарности состояний электрона, препятствующей реализации идеи Горбацевича о спрямлении пространства состояний.

Чтобы получить некоторые представления о поведении электрона в атоме водорода, находящемся во внешнем поле тяготения, рассмотрим простейшие нерелятивистские модели этой задачи. Простейшей является полуклассическая боровекая модель, в которой атом рассматривается, как диполь, свободно падающий во внешнем поле тяготения. В сопутствующей атому системе отсчета дипольный момент атома удовлетворяет уравнению

PW4 (в. 2) где г - радиус-вектор электрона в сопутствующей атому системе отсчета, £ - радиус-вектор центра масс атома относительно тяготеющего центра, s - потенциал поля тяготеющего центра массой /Л . Поскольку вторая производная ди-польного момента отлична от нуля, диполь должен излучать с интенсивностью J , равной

В. 3) f й ?><7U 3hc Ф(я) г*

6 с

В отсутствие внешнего поля тяготения атом, в соответствии с постулатами Бора, находится в стационарном состоянии и не излучает. Поэтому первый член в выражении для интенсивности излучения должен быть отброшен. Если квадрупольный потен» циал

-f (в>4) не зависит от времени, можно переопределить стационарные состояния так, чтобы возможным стало постулировать отсутствие излучения и во внешнем поле тяготения. Однако зависимость квадрупольного потенциала от времени характерна для любых траекторий атома во внешнем поле тяготения. Даже при движении атома по дуговой орбите, когда величина ньютоновского потенциала вдоль траектории остается постоянной; На такой траектории в квадрупольном потенциале можно выделить стационарную часть - TW (в. 5) и осциллирующую f (xZ-yx)<osQt + Zxy ), (В, 6) f Л» *

Здесь z - координата, ортогональная плоскости орбаты атома, a Q'Jgm? Я* - угловая скорость орбитального вращения. Эти две части квадрупольного потенциала имеют одинаковую величину

Vttl**~lV.„\* (В. 7) где /м ej- - борове кий радиус электрона. Поэтому стационарные состояния во внешнем поле тяготения отсутствуют. Поскольку внешнее поле тяготения меняется достаточно медленно по сравнению с атомными временами, можно ожидать, что состояния электрона адиабатически следует за изменениями квадрупольного потенциала, Боровская модель слишком примитивна для исследования квазистационарных состояний, поэтому необходимо применить более точное приближение, в котором электрон описывается уравнением Шредингера с гамильтонианом

H*H. + vHi * £ - £

Z т f- - (В. 8) содержащим квадрупольный потенциал в качестве оператора возмущения.

Поскольку квадрупольный потенциал изменяется медленно, состояния электрона в ньютоновском приближении поля тяготения действительно являются квазистационарными. Однако ширина уровней энергии этих квазистационарных состояний, равная £ , и значительно превышает возможную величину расщепления уровней, как показывает элементарная оценка in'мй ~ = « i я ИГ^ (в-9)

Таким образом, в ньютоновском приближении сдвиг уровней энергии атома водорода под влиянием внешнего поля тяготения даже на круговой - стационарной - орбите пренебрежимо мал по сравнению с основным эффектом - нестационарностью состояний электрона в атоме водорода. Нестационарность состояний проявляется обычно в переходах атомного электрона на возбужденные уровни с поел едущим излучением энергии. Это излучение и описывается выражением (3) для интенсивности излучения атома, возбуждаемого внешним полем тяготения. Это излучение по своей природе является тормозным.

На основании принципа соответствия можно ожидать, что в релятивистском поле тяготения атом также будет возбуждаться и что это возбуждение будет значительно существеннее возможного сдвига уровней энергии электрона в атоме водорода.

Исследование процессов высвобождения энергии атома водорода, возбужденного внешним полем тяготения, и представляет собой основную задачу диссертации.

Задача о поведении атома водорода во внешнем поле тяготения имеет еще один аспект, представляющий интерес для квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Атом водорода представляет собой простейшую модель детектора электромагнитного излучения, достаточно реалистическую, чтобы полностью отразить влияние внешнего поля тяготения на свойства детектора,

В квантовой теории поля на искривленном пространстве-времени обычно при обсуждении проблемы множественного рождения частиц используется идеализированная моделыщетектора Унру I 22 I. В этой модели предполагается, что внешнее поле тяготения влияет только на движение центра масс детектора, но не изменяет его внутреннего состояния,

В отличие от детектора Унру, атом водорода испытывает воздействие внешнего поля тяготения не только на траекторию, но и на состояния электрона в атоме. Если атом водорода во внешнем поле тяготения возбуждается, такое возбуждение по своему результату принципиально невозможно отличить от возбуждения атома детектируемым электромагнитным полем. Как следствие, внешнее поле тяготения определяет своеобразный порог чувствительности атома, определяющий нижний предел регистрируемой атомом интенсивности излучения. Приливные силы, вызывающие возбуждение атома внешним полем тяготения, являются универсальными и должны проявлять себя и в реальных детекторах излучения, что дает основание цредполагать, что и в реальных детекторах внешнее поле тяготения будет приводить к появлению порога чувствительности.

Описываемые квадрупольным потенциалом приливные силы, возбуждающие атом водорода - это те же силы, которые вызывают замедление орбитального движения и собственного вращения спутников и планет. Их действие приводит к накоплению возбуждения подобно тому, как накапливается сдвиг перигелия планет в отличие от не поддающейся наблюдению деформации орбит этих планет. Как следствие, в ньютоновском приближении ширина уровней пропорциональна корню квадратному из гравитационной постоянной, в отличие от сдвига уровней, пропорционального первой степени этой величины I 1-4,15-21 I.

Приведенные соображения позволяют сформулировать следующие основные задачи, решение которых необходимо для выяснения физики процессов, происходящих в атоме водорода под действием внешнего гравитационного поля.

I. Определение оператора энергии электрона в искривленном цространстве-времени. Решение этой задачи необходимо для нос троения фоковских представлений и определения оператора числа частиц. Кроме того, оператор энергии необходим для классификации состояний электрона в атоме водорода во внешнем поле тяготения и в частности, для определения основного состояния.

II. Исследование зависимости оператора энергии от времени. Такое исследование необходимо для исследования связи между представлениями алгебры наблвдаемых в разные моменты времени и выяснения причин появления неэквивалентных представлений, Кроме того, в результате решения этой задачи и появляется возможность описания возбуждения атома водорода релятивистским внешним полем тяготения.

III. Исследование и сопоставление различных способов высвобождения энергии атомом водорода, возбужденным внешним полем тяготения. Решение этой задачи и составляет основную цель работы,

IV. Исследование формулировки понятия спинорного поля на искривленном пространстве-времени. Эта задача имеет вспомогательное значение. Её решение полезно для корректного описания электронно-позитронного поля в искривленном цространстве-времени,

В пе£войглаве диссертации излагается оригинальная трактовка спинорного поля, как пространства представления внешней алгебры касательного слоя искривленного пространства-времени. Такая трактовка позволяет построить спинорное расслоение без апеллирования к расслоению ортогональных реперов и вернуть спинорам ту прозрачную геометрическую трактовку, какой они обладают в плоском пространстве. Кроме того, на основе этой трактовки оказалось возможным построить, методом индуцированных представлений, спинорное представление полной линейной группы преобразований касательного слоя. Результаты этой главы могут цредставлять и самостоятельный интерес, например, в суперсимметричных теориях поля,

Вовторой главе рассмотрены геометрические аспекты построения фоковских представлений алгебры наблюдаемых. Показано, что гамильтонова формулировка квантовой теории поля отвечает своеобразному расслоению алгебры наблюдаемых, индуцированному расслоением пространства-времени на семейство гиперповерхностей постоянного времени. Показано, что неэквивалентность представлений подалгебр одновременных наблюдаемых влечет за собой нарушение теоремы спрямления для такого расслоения и возникает в том случае, если разность гамильто-новых операторов, вычисленных в различные моменты времени, не является оператором Гельфанда-Шмидта.

В третьей главе исследуются свойства мгновенных гамильтонианов спинорного поля в искривленном пространстве-времени. Построена своеобразная теория возмущений для вычисления коэффициентов боголюбовских преобразований, связывающих фо-ковские операторы рождения и уничтожения в различные моменты времени,

В четвертой главе результаты предыдущих глав применяются для исследования основной задачи диссертации. Получены численные оценки соотношения вероятностей основных процессов выделения энергии атомом водорода под действием внешнего поля тяготения. Показано, что доминирующим является процесс возбуждения атома с переходом электрона на вышележащие уровни и последувдим излучением либо ионизацией. Рождение пар атомом под действием внешнего поля тяготения является эффектом высшего порядка малости по постоянной тонкой структуры и должно рассматриваться наряду с эффектами высшего порядка квантовой электродинамики,

Назалщт2 выносятся следующие основные положения диссертации:

1) оценка вероятностей процессов возбуждения атома водорода внешним полем тяготения;

2) расчет спектра излучения атома водорода во внешнем поле тяготения в области высоких энергий;

3) построение теории возмущений, позволяющей учесть нестационарность мгновенного гамильтониана электрон-позитронного поля в искривленном пространстве-времени;

4) определение зависимости от времени мгновенного гамильтониана электронно-позитронного поля, обусловленной внешним полем тяготения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Усенко, Константин Владимирович

Основные результаты работы докладывались на 3,5,6-й Советских гравитационных конференциях (Москва, 1974,1981,1984), на Всесоюзной конференции "Гравитация и объединение фундаментальных полей" (Киев,1981), на Всесоюзном рабочем совещании "Гравитация и электромагнетизм" (Минск, 1981), на Всесоюзных конференциях "Физика высоких энергий и квантовая теория поля" (Орджоникидзе,1982,1983), а также на семинаре Секции гравитации Научно-технического совета Минвуза СССР (Москва,1981) и опубликованы в работах I 48 - 50,53 - 54,57 I,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При постановке задачи о возбуждении атома водорода внешним полем тяготения - основной задачи диссертации, возникла необходимость цроведения ряда дополнительных исследований. Эти предварительные исследования хотя и проводились выше только с целью исследования поведения атома водорода во внешнем поле тяготения, имеют и самостоятельное значение, поскольку их результаты могут быть полезны и при решении других задач квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Поэтому обсуждение результатов исследования атома водорода во внешнем поле тяготения полезно цредварить обсуждением результатов этих предварительных исследований.

В первойглаве обсуждалось определение спинорных полей на искривленном цространстве-времени. Предложен новый подход, основанный на том хорошо известном факте, что алгебра матриц Дирака изоморфна алгебре внешних форм касательного пространства. Определение спиноров, как элементов пространства матричного представления алгебры внешних форм касательного слоя пространства-времени удобно уже тем, что позволяет наделить спиноры простым геометрическим содержанием не только в плоском, но и в искривленном пространстве-времени. Эта идея, находящаяся в русле идей современной алгебраической диффгеометрии, позволяет достаточно отчетливо отобразить и связь спинорного расслоения на искривленном цространстве-времени с основными объектами современной математической физики - функционалами на пространстве-времени.

На основе нового определения построено спинорное представление полной линейной группы в своеобразном пространстве, которое является расслоением с "обычным" спинорным пространством в качестве слоя и четырехмерным пространством нетривиальной топологии в качестве базы. Пространство представления может представлять интерес при построении суперсимметричных теорий, поскольку, с одной стороны обладает достаточно богатой структурой, с другой - естественным образом ассоциировано искривленному пространству-времени.

При исследовании свойств спинорного поля на искривленном пространстве времени черезвычайно важную роль играет подходящий выбор системы отсчета, которая при исследовании полевых величин характеризуется не семейством мировых линий тел отсчета, а семейством гиперповерхностей постоянного времени. Конкретные выражения для ковариантных производных спинорного поля существенно зависят от выбора системы отсчета и подходящим выбором могут быть достаточно существенно упрощены. По этой причине приводятся явные выражения для ковариантных производных в двух типах систем отсчета - локально-лоренцевой и синхронной. Сравнение этих выражении показывает, что применение синхронной системы отсчета существенно упрощает анализ, с одной стороны, и позволяет исследовать свойства поля не только в окрестности опорной геодезической, но и во всем пространстве, с другой.

Результаты этой главы опубликованы в I 48 - 50 I, Вовторои главе рассматривались геометрические аспекты построения представлений алгебры наблюдаемых квантового поля на искривленном пространстве-времени. Основная оригинальная идея состоит в расслоении алгебры наблюдаемых на семейство одновременных подалгебр, индуцированном расслоением цространства-времени на семейство гиперповерхностей постоянного времени выбранной системы отсчета, В неявной форме эта идея присутствует еще в восходящей к Швингеру I 51 I и Дираку I 51 I стандартной формулировке квантовой теории поля на искривленных гиперповерхностях постоянного времени. Применение идеологии расслоенных пространств позволило выявить общие причины возникновения неэквивалентности представлений подалгебр одновременных наблюдаемых.

Для расслоенных цространств с одномерной базой хорошо известна теорема спрямления, утверждающая, что существует достаточно гладкое отображение расслоения на прямое произведение слоя и базы, В основе этой теоремы лежит утверждение об унитарной (или изометрической) эквивалентности пространств одинаковой размерности. Для расслоений с конечномерным слоем это утверждение составляет содержание теоремы о спрямлении решений систем дифференциальных уравнений, с сепарабельным -теоремы Стоуна-фон Неймана, а для расслоений с бесконечномерным слоем такая теорема неверна. Как следствие, алгебра наблюдаемых квантового поля далеко не всегда может быть отображена на прямое произведение подалгебры одновременных наблюдаемых и подалгебры (подгруппы) сдвигов по времени,

В искривленном пространстве-времени, как правило, не существует сохраняющейся величины, которая могла бы выполнять функции энергии квантового поля. По этой причине для построения фоковскких представлений обычно используется несохраняющийся мгновенный гамильтонов оператор I 10,34 - 36 I,

Чтобы существовало унитарное преобразование представлений, отвечающих различным мгновенным гамильтонианам, необходимо, чтобы разность этих операторов была "хорошо" определенным оператором в каждом из этих представлений (оператором Гель-фанда-Шмидта), Проведенный анализ показал, что разность га-мильтоновнх операторов в два последовательных момента времени определяется внешней кривизной гиперповерхностей постоянного времени (второй квадратичной формой). Поэтому исследование разности мгновенных гамильтонианов может быть сведено к исследованию специального оператора, который может быть назван мощностью работы внешнего поля тяготения, совершаемой над рассматриваемым квантовым полем.

Результаты этой главы опубликованы в I 53 I, В третьей главе рассматриваются основные следствия неэквивалентности представлений подалгебр одновременных наблюдаемых и методы описания неэквивалентности представлений для свободного фермионного поля на искривленном пространстве-времени, Проведенный в предыдущей главе анализ причин неэквивалентности представлений был основан на алгебраическом подходе к квантовой теории, однако алгебраический подход приспособлен только для общих исследований, но не для проведения конкретных расчетов, поэтому конкретное вычисление разности мгновенных гамильтонианов требует применения метода боголю-бовских коэффициентов и выделено в отдельную главу, хотя и представляет собой непосредственное продолжение исследований предыдущей главы.

Основным результатом этой главы является построение аналога теории возмущений для описания неэквивалентности представлений подалгебр одновременных наблюдаемых фермионного поля на искривленном пространстве-времени. Полученные выражения для зависимости от времени средних значений плотности числа частиц обнаруживают существенное отличие от результатов Хоки-нга I 55 I и других I 10,35 I, В области больших энергий плотность не убывает экспоненциально, а стремится к конечному пределу.

Результаты этой главы опубликованы в I 57 I, В четвертой главе рассматривается основная задача диссертации - возбуждение атома водорода внешним полем тяготения, При постановке этой задачи было учтено, что атом водорода может откликаться на воздействие поля тяготения только в том случае, если действие на него негравитационных сил пренебрежимо мало. Для этого атом должен двигаться по геодезической, а электрон в атоме - находиться в основном состоянии,

В общем случае описание свойств внешнего поля тяготения возможно только в конечном интервале собственного времени атома. Поэтому рассматривалась задача Коши для электрона в атоме водорода, свободно падающем во внешнем поле тяготения, Расчитаны вероятности основных процессов возбуждения атома внешним полем тяготения. Показано, что основным является црот цесс ионизации атома, а за ним следует процесс возбуждения с переходом на какой-либо из d - уровней и последующим испусканием двух фотонов. Процесс же непосредственного однофотон-ного излучения имеет малую вероятность вследствие того, что возбуждение атома внешним полем тяготения носит квадрупольный характер, Кроме того, показано, что эффекты, обусловленные неэквивалентностью представлений, пренебрежимо малы по сравнению с обычными квантовомеханическими эффектами возбуждения атома и представляют собой слабый фон, на котором и наблюдаются основные эффекты ионизации и возбуждения. Как следствие, неэквивалентностью представлений можно пренебречь и ее роль сводится к тому, что вследствие неэквивалентности представлений одновременных подалгебр несправедливо предположение о существовании стационарных состояний электрона в атоме водорода, находящемся во внешнем поле тяготения - влияние внешнего поля тяготения проявляется в возбуждении атома, а не в сдвиге уровней энергии электрона. Полученные результаты находятся в соответствии с результатами рассмотрения нерелятивистских моделей этой задачи, в отличие от результатов большей части работ I I - 4,12 - 21,58 I,

Результаты этой главы опубликованы в I 53,57 I,

Полученные в диссертации результаты свидетельствуют о том, что атом водорода во внешнем поле тяготения возбуждается с вероятностью, цропорциональной квадрату отношения боровского радиуса к радиусу кривизны пространства-времени. Эффекты же множественного рождения пар внешним полем тяготения определяются отношением комптоновской длины волны электрона к радиусу кривизны и поэтому по крайней мере на четыре порядка меньше. Это позволяет сделать вывод о ненаблюдаемости эффектов множественного рождения частиц внешним полем тяготения,

В захлюче!шеавторвыражает благодарности научному руководителю профессору Пирагасу Казимиру Антоновичу, научному консультанту Махлину Александру Натановичу, профессору Фомину Петру Ивановичу и особенно профессору Белоусу Михаилу Вячеславовичу за полезные советы и поддержку в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Усенко, Константин Владимирович, 1984 год

1. Audretsch J., SchSfer 6. Quantum mech nics of electromag-netically bounded spin £ particles in exspanding universe.

2. Influence of the expansion. Gen. Relat. and Gravitation, 1978,v.9,N.3,p.243-255.

3. Audretsch J,, SchSfer G. Quantum mechanics of electromag-neticalli bounded spin £ particles in expanding universe. II. Gen. Relat. and Gravitation, 1978,v.9,No6,p.489-500.

4. Parker L. The one-electron atom in curved spacetime. Phys. Rev. Lett., 1980,v.44,No.23,p.1559-1562.

5. Parker L. The one-elektron atom as a probe of gravitational fields. Phys. Rev. D, 1980,v.23,p.1925-1933.

6. Pock V., Ivanenko D. Zur Quantenqeometrie. Phys. Zeit., 1929,Bd.54,No.19,p.798-815.

7. Фок В.А. Геометризация дираковской теории электрона. -в кн: А.Эйнштейн и теория гравитации. М.Мир,1979,с.415-432,

8. Картан Э, Теория спиноров, Пер, с фр, - М,:ИЛ,1947,

9. Lichnerowicz A. Spineurs harmonicues. Compt. Rend., Paris,1963;v.257,p.7-28.

10. Lichnerowicz A. Les spineures. Prepr. A 82. In-t A.Po-incare,1971,

11. Гриб А,А,,Мамаев С,Г,, Моетепаненко В,М, Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.:Атомиздат,1980.

12. Градштейн И.О., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М,:Наука,1962,

13. Мясоедов В.В., Усенко К,В. О динамике нейтрино в собственном гравитационном поле с просто-транзитивной группой движений. Препринт ИТФ-74-63Р, Киев, 1974".

14. Лев Б.И., Усенко К.В. Спинорное представление полной линейной группы. Препринт $ 12, Ин-т физики Ж УССР, Киев, 1984.

15. Усенко К.В, 0 стационарных системах отсчета. -Препринт ИТФ-73-26Р, Киев, 1973.

16. Швингер Ю, Теория квантованных полей. Пер, с англ. -М.: Ш, 1956;

17. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. Пер, с англ, М.: Наука, 1979.

18. Усенко К.В, Тормозное излучение атома водорода во внешнем поле тяготения, В кн.: Проблемы квантовой и статистической физики. М,:УДН,1984 (в печати),

19. Hawking S.W. Quantum particle creation Ъу black hole. -Commun. Math. Phys., 1975,v.43,p.199-238.

20. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., Трунов Н.Н, Коре-ляционные функции пар квазичастиц в моделях де Ситтера и

21. Милна. В кн^: Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации". - М.:1ШШ,1984,с.170-171,

22. Усенко К,В, Динамика вакуума в нестационарных системах отсчета. В кн.: Тезисы докладов 5-й Советской гравитационной конференции. - М,:МГУ,1981,с.202#

23. Rttpke U. Anregung eines Wasserstoffatoms durch. eine Gra-vitationswelle. Wise. Zeitschr. Pr. - Schiller-Univer-sitat Jena, 1972,Bd.21,S.69-74.1. Рисунок Iт