Восстановление цифровых сигналов по отсчетам при помощи разложений по целочисленным сдвигам функции Гаусса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Тимашов Александр Сергеевич

• Тимашов Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Тимашов Александр Сергеевич

Введение

Глава 1. Математическая модель восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов при помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса

1.1 Краткий обзор предшествующих результатов и методов исследований

1.2 Математическое описание модели восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов при помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса

1.3 Обоснование корректности математической модели восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов при помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса

Глава 2. Численные методы для расчётов и анализа математической модели восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов при помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса

2.1 Применения численных методов с использованием программного комплекса для расчёта узловых функций в задаче восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов при помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса

2.2 Восстановление стандартных электрических сигналов с использованием программного комплекса методом разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса

2.3 Применение разработанной методики и программного комплекса к восстановлению по системе отсчетов вероятностных распределений, распределений «с тяжёлыми хвостами», задачам «фиттинга» для смесей распределений

Глава 3. Программный комплекс для компьютерной реализации расчётов и анализа математической модели восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов при

помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса

3.1 Краткий обзор программы «GAUSSIAN»

3.2 Описание программного комплекса для компьютерной реализации расчётов и анализа математической модели восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов при помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление цифровых сигналов по отсчетам при помощи разложений по целочисленным сдвигам функции Гаусса»

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ДИССЕРТАЦИИ.

Развитие науки и техники приводит к появлению новых задач, для решения которых требуются современные методы и подходы как к вопросам теории, так и к практическим приложениям. Задачи исследования электрических и оптических сигналов [20],[35],[45],[51],[56], теории фильтрации [3],[6]-[7],[14]-[15],[44], голографии, моделирование процессов в томографии и медицине привели к поиску методов разложения функций по неполным, переполненным или неортогональным системам. До этого в течение долгого временного периода приближения осуществлялись в основном разложением по полным ортогональным системам. Примерами переполненных систем являются фреймы [49]-[50], а неортогональных -всплески [10],[28], системы Габора (когерентные состояния) [32], функции Рвачёвых [36], sine - функции [63]и другие. Уже само многообразие этих методов подтверждает тот очевидный факт, что среди них нет универсальных, эффективно работающих для всех или хотя бы для большинства задач. Поэтому для специальных классов задач разрабатываются различные методы, которые наиболее эффективны и не имеют ограничений именно для рассматриваемых задач.

Одним из современных подходов к решению задачи о восстановлении цифровых сигналов по их значениям на данной системе отсчетов является использование квадратичных экспонент, то есть разложений сигналов по целочисленным сдвигам функций Гаусса. Этот подход, основанный на использовании функций Гаусса, исторически возникал в нескольких известных задачах математики, физики и техники. На его основе в 19 веке Френелем было предложено решение задачи о корректном описании результатов опытов Фраунгофера по дифракции и объяснение дискретной

природы спектра солнечных лучей. Гаусс использовал квадратичные экспоненты для вычисления знаменитых сумм, названных его именем, при помощи которых им были решены известные задачи теории чисел, суммы Гаусса до сих пор используются, например, в современной оптике и теории кодирования. В 20 веке на основе использования функций Гаусса была создана математическая модель голографии, за техническую реализацию которой Д. Габор получил Нобелевскую премию в 1971 г. В 21 веке другая Нобелевская премия была присуждена за разработку и применение компьютерного пакета Gaussian для моделирования процессов в квантовой физике, молекулярной химии, биологии, генной инженерии и в других приложениях, основу математического обеспечения этого пакета составили комбинации разложений именно по квадратичным экспонентам - функциям Гаусса.

Данное направление исследований, основанное на использовании сдвигов функций Гаусса, развивали многие отечественные и зарубежные учёные, перечислим только некоторых из них: Журавлёв М.В., Киселёв Е.А., Минин Л.А., Новиков И.Я., Переломов А.М., Ситник С.М., Ушаков С.Н., Calcaterra C., Darlington S., Feichtinger G.H., Lanzara F., Lifshits M., Madrenas J., Maz'ya V., Schmidt G., Riemenschneiter S.D., Seshadri V., Shclumprecht T., Sivakumar N., а также работы из списка литературы [12-13], [17], [23-26], [32], [48], [5361], [64].

В настоящее время изучены несколько различных подходов к решению задачи о приближении достаточно произвольной функции, представленной в виде ряда с помощью системы целочисленных сдвигов функции Гаусса (квадратичной экспоненты с параметрами). Первый предполагает поиск решения с использованием специальных функций - тета-функции Якоби, второй предполагает применение дискретного преобразования Фурье.

Первый подход, несмотря на теоретическую значимость, будет практически бесполезен при вычислениях, так как приводит к делению на очень малые величины.

Второй подход применялся для поиска решения поставленной задачи, он основан на использовании дискретных преобразований. При этом возникает другой существенный недостаток, так как значительно усложняется алгоритм решения. К тому же подобные вычисления эффективны при небольшом количестве разрядов результата и в достаточно узких диапазонах параметров.

В диссертации рассматривается задача о приближении достаточно произвольной функции, представленной в виде ряда с помощью системы целочисленных сдвигов функции Гаусса (квадратичной экспоненты с параметрами). Известно, что данная система является неполной в стандартных пространствах, но при этом данную систему часто применяют в различных теоретических исследованиях и прикладных задачах.

Учитывая вышеизложенные сложности применения существующих методов, возникла необходимость нового метода решения представленной задачи интерполяции, который позволил бы обойти описанные выше сложности путем сведения поставленной задачи к решению конечных систем линейных уравнений. В данной диссертационной работе описан этот метод.

Таким образом, направление исследований, представленное в диссертации, относится к тематике, которая активно разрабатывается, имеет многочисленные приложения в теоретической и прикладной математике, при исследовании математических моделей различной природы. Поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Цели и задачи исследования.

Целью диссертационной работы является разработка математической модели, вычислительных алгоритмов и комплекса программ для её реализации, анализа и расчётов, позволяющих осуществлять восстановление произвольных цифровых сигналов, заданных своими значениями на

равномерной системе отсчетов, путём разложения их по системам целочисленных сдвигов функций Гаусса - квадратичных экспонент.

Основные задачи исследования.

1. Построение математической модели восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов на основе применения разложений по системам целочисленных сдвигов функций Гаусса.

2. Сведение задачи к конечномерной модели и анализ корректности полученных при этом конечных систем линейных уравнений.

3. Разработка и применение численных методов для описания математической модели, анализ границ её применимости, получаемых ошибок и точности вычислений.

4. Разработка программного комплекса для расчёта характеристик рассматриваемой математической модели, её анализа и визуализации.

Объектом исследования являются цифровые сигналы, заданные своими значениями на системе равномерных отсчетов, возникающие в различных предметных областях.

Предметом исследования выступают математическая модель и численные алгоритмы восстановления и анализа цифровых сигналов, заданных своими значениями на системе равномерных отсчётов, на основе методов квадратичной экспоненциальной интерполяции при помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса.

Основной рабочей гипотезой исследования является то, что существуют адекватные математические модели для описания процессов восстановления и обработки цифровых сигналов на основе методов квадратичной экспоненциальной интерполяции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ, КОТОРЫЕ ВЫНОСЯТСЯ НА ЗАЩИТУ.

1. Построение математической модели восстановления и анализа цифровых сигналов по системе отсчетов на основе применения разложений по системам целочисленных сдвигов функций Гаусса.

2. Сведение задачи к конечномерной модели и обоснование корректности полученных при этом конечных систем линейных уравнений.

3. Разработка численных методов для построения и анализа базисных функций, используемых в разложениях по системам целочисленных сдвигов функций Гаусса.

4. Разработка численных методов для восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов на основе применения разложений по системам целочисленных сдвигов функций Гаусса, получение визуализации сигналов, анализа погрешностей вычислений и границ применимости рассматриваемой модели.

5. Разработка численных методов для восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов для вероятностных распределений и их смесей, в том числе распределений типа Коши с "тяжёлыми хвостами".

6. Разработка программного комплекса для расчёта характеристик рассматриваемых математических моделей, их анализа и визуализации.

Методы исследования.

Для исследования и разработки применялись различные методы

теории функций, математического анализа, теории приближений, численные

методы, методы математического моделирования.

Для выполнения расчетов использовались прикладные пакеты компьютерных программ для символьных вычислений, а также методы программирования на специальных языках.

Новизна и степень достоверности результатов.

Степень достоверности результатов исследования обеспечивается корректностью математических преобразований и выводов, обоснованием и проверкой полноты, точности, адекватности, экономичности и работоспособности математической модели, анализом точности вычислительных алгоритмов и границ их применимости, открытостью и подробным исследованием соответствующего комплекса пакета программ, их официальной государственной регистрацией в соответствующих организациях. Результаты, полученные в данной работе, являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость.

Диссертационная работа носит теоретический характер, полученные в ней результаты могут найти применение в задачах теории функций, теории приближений, теории сигналов, численных методах для приближения сигналов, компьютерном моделировании, теории фильтрации сигналов и др. Результаты диссертации могут быть также использованы в учебном процессе на спецкурсах по теории сигналов, математическом моделировании и смежным дисциплинам.

Апробация результатов диссертации.

Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования Белгородского государственного национального исследовательского университета (руководители семинара -проф. В.Б. Васильев, проф. С.М. Ситник, проф. А.П. Солдатов, 2019 г.), на научных конференциях: международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве» (ИТНОП-2020, ИТНОП -2018, Белгород, 2018, 2020), «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2019 г.), V Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Современные проблемы физико-математических наук» (Орел, 2019 г.), международной научно - практической конференции «Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика» (Воронеж, 2017, 2015 гг.), всероссийской научной конференции и молодёжной школе (Владикавказ, 2015 г.), всероссийской научно-практической конференции «Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищённых телекоммуникационных систем» (Воронежский институт МВД России, 2015 г.) и ряде других.

Публикации автора по теме диссертации.

Результаты исследования опубликованы в 41 научной работе, из них 9 статей в научных журналах, рекомендованных ВАК и приравненных к ним [65]-[73] (см. список публикаций в настоящей диссертации), а также 2 статьи в международных журналах, входящих в базы цитирования Web of Science, Scopus [65]-[66]. Кроме того, в списке литературы приведены тезисы и материалы автора в публикациях российских и международных научных конференций [74]-[96]. Две компьютерные программы зарегистрированы в базах данных компьютерных программ, на них получены официальные свидетельства о государственной регистрации [97]-[98] (см. Приложения в настоящей диссертации). Кроме того получены акты о внедрении результатов диссертационного исследования в учебный процесс (в институте МВД, Воронеж) и в научно - конструкторскую деятельность (концерн «Созвездие», Воронеж).

Структура и объём работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Объём работы составляет 133 страницы. В данной работе представлены 39 рисунков, в списке литературы 98 наименований.

Глава 1. Математическая модель восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов при помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса

1.1 Краткий обзор предшествующих результатов и методов исследований.

В настоящее время появилось значительное количество задач, для решения которых требуется применение разложения функций как по полным, так и по переполненным или неортогональным системам. Данные задачи возникают и решаются как в теоретических разделах математики, так и в прикладных областях. Одной из причин постепенного отказа от теоретически идеальных ортогональных систем функций является свойственная таким системам неустойчивость при вычислениях, проявляющаяся при расчётах с большим числом данных, решении систем высокого порядка и тд. Задачи разложения по неполным, неортогональным системам могут возникать, при обработке и изучении оптических, электрических сигналов [20],[35],[45],[51],[56], теории фильтрации [3],[6]-[7],[14]-[15],[44], голографии. Необходимость решения данных задач возникает при моделировании процессов в томографии и медицине и во множестве иных задач прикладных областей.

Одним из примеров переполненной системы является фрейм [49]-[50]. Например, фреймом в трёхмерном пространстве может быть удвоенный или утроенный набор из трёх базисных векторов, в результате получаются фреймы из 6 или 9 векторов. Такие системы с избыточными элементами называются переполненными. Оказывается, что избыточное число элементов таких систем при их большом количестве с успехом компенсируется большей устойчивостью при вычислениях, а также более медленным накоплением ошибок по сравнению с традиционными методами.

Примерами неортогональных систем являются, например, всплески [10],[28], системы Габора (когерентные состояния) [34], функции Рвачёвых [36], sine - функции [63 ] и другие. Системы всплесков эффективно отражают локальные свойства приближаемых функций, они описываются хорошо разработанными математическими теориями, такими как преобразование Фурье, стандартные функциональные пространства, теория целых функций, теорема Пэли-Винера, функциональными уравнениями и другими. Системы Габора или когерентные состояния стали основным языком описания систем в оптике и квантовой физике, подробно изучены условия разложения по ним, условия полноты, связь с основными уравнениями математической физики. Одним из вариантов теории, близким к всплескам, являются функции Рвачёвых, которые определяются уже не обычными функциональными, а дифференциально-функциональными (или функционально -

дифференциальными, ФДУ) уравнениями, разложения по таким системам имеет ряд преимуществ перед стандартными всплесками. Системы sine -функций эффективны при описании и анализе сигналов с конечным спектром, такой вид имеют знаменитые разложения Котельникова-Шеннона, которые нашли фундаментальные приложения в радиотехнике и теории информации.

Уже само многообразие этих методов подтверждает тот очевидный факт, что среди них нет универсальных, эффективно работающих для всех или хотя бы для большинства задач. Поэтому для отдельных классов задач разрабатываются различные специализированные методы, которые наиболее эффективны и не имеют ограничений именно для рассматриваемых задач.

Одним из современных подходов к решению задачи о восстановлении цифровых сигналов по их значениям на данной системе отсчетов является использование квадратичных экспонент, то есть разложений сигналов по целочисленным сдвигам функций Гаусса. Этот подход, основанный на использовании функций Гаусса, исторически возникал в нескольких известных задачах: описании дифракции световых лучей по Френелю, теории

когерентных состояний в оптике и квантовой теории, создание математического аппарата и техническая реализация голографии Д. Габором, подобный подход также лежит в основе известного компьютерного комплекса GAUSSIAN для расчёта молекулярных процессов.

Данное направление исследований, основанное на использовании сдвигов функций Гаусса, развивали многие отечественные и зарубежные учёные, перечислим только некоторых из них: Журавлёв М.В., Киселёв Е.А., Минин Л.А., Новиков И.Я., Переломов А.М., Ситник С.М., Ушаков С.Н., Calcaterra C., Darlington S., Feichtinger G.H., Lanzara F., Lifshits M., Madrenas J., Maz'ya V., Schmidt G., Riemenschneiter S.D., Seshadri V., Shclumprecht T., Sivakumar N., а также работы из списка литературы [12-13], [17], [23-26], [32], [48], [53]-[64], [64].

В данной диссертации рассматривается следующая задача: необходимо найти приближение достаточно произвольной функции или цифрового сигнала в виде ряда по системе целочисленных сдвигов функции Гаусса (квадратичной экспоненты с параметрами). Данная система является неполной в стандартных пространствах, но зачастую применяется в теоретических исследованиях и практических задачах. Интересно отметить, что неполнота исправляется добавлением к системе всего одной функции, после чего система сдвигов квадратичных экспонент становится полной. Разумеется, ни о какой ортогональности подобных систем речи не идёт, это условие заведомо не выполняется.

Как уже было описано выше, в настоящее время существуют два основополагающих метода, которые позволяют решить задачу интерполяции. Подход, основанный на использовании специальных функций, был предложен В. Мазьёй и его соавторами [57]. Ниже приведем примеры, демонстрирующие некоторые сложности применения данного подхода к вычислениям.

С помощью быстро сходящихся тригонометрических рядов по представленным формулам определяются тета-функции, см. [1], [5], [24], [43], [47]:

1 2

ж , (к+-)2 2, я) = 2 £ (-1)кЯ 2 вт((2к +1)2),

к = 0

1 2

ж (к+-)2 Ы2( 2, я) = 2 £ Я 2 соБ((2к +1) 2),

к=0

ж ,2

Ы3(2, я) = 1 + 2 £як еоБ(2к2),

к=1 ж 2

Ы4(2,я) = 1 + 2£(-1)кяк еоБ(2к2) .

к=1

где | я |<1,я е С,2 е Я.

Нами в основном будет использована третья тета-функция Якоби. Приложения тета-функций многочисленны и разнообразны: формулы для решения алгебраических уравнений высоких степеней, вычисление быстрого преобразования Фурье, теория базисных гипергеометрических функций, д -анализ, квантовые группы, фундаментальные решения для уравнений теплопроводности и диффузии, и многие другие.

Итак, в работе используется функция Якоби

ж к2 ж к2 &3(2,я) = 1 + 2£я еоБ(2к2) = £ я ехр(2к^),

к=1 к=—ж

где | я |<1, я е С, 2 е Я. Принято полагать я = ехр(я ¡т), где мнимая часть параметра т положительна, тогда | я |<1, что обеспечивает сходимость рядов.

Основные свойства функции Якоби собраны нами в следующее

Утверждение. Рассмотрим тета-функцию Якоби для действительных аргументов на периоде 0 < 2 < я при условии 0 < я <1. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Тета-функция Якоби &3(2,я) является строго положительной.

2) На первой половине периода тета-функция монотонно убывает от

ж

величины $3(0,ч) до величины Ч), а на второй половине периода

соответственно возрастает от величины ^(у, Ч) до величины Зз(ж Ч) = Ш Ч).

3) График этой функции на периоде симметричен относительно его середины г =Ж, в которой достигается положительный минимум

ж

т = Ч). Положительные равные по величине максимумы достигаются

на концах отрезка периода при г = 0 и г = ж.

4) Все сомножители в обоих произведениях (34) неотрицательны и

ж 3ж „

строго меньше единицы при условии — < г < —. В том числе это верно в

ж

точке минимума при г = —.

5) Все сомножители во втором бесконечном произведении (с

ж 3ж

косинусом) из (34) больше единицы при условии х е[0,—) и (— ,ж]. В том числе это верно в точке максимума при г = 0 .

Ниже представлено изображение графика, который был построен с использованием программного продукта МЛТИЕМЛТ1СЛ. Представлен график тета-функции.

При этом есть ряд условий: график задан на отрезке, д=0,5 в данном случае. В таком случае, можно заметить, функция будет иметь определенные свойства. Первое - в точке минимума тета-функция будет пологой. Второе -значение функции в точке минимума при этом будет очень маленьким.

При этом стоит отметить, если значение величины Ч будет приближаться к единице, то и описанные выше свойства графика резко усилятся. Данное изображение получено применением команды

РЫрШрйеТЪ^ар, х, .5], х, 0, Р1, Р^Ро^Б > 10000].

Для наглядности рассмотрим график тета-функции, если я положить равным 0,9. Заметно, что значение функции в точке минимума т будет еще более малым, а график вблизи этой точки будет еще более пологим. Данный график так же построен в среде МЛТИЕМЛТ1СЛ с использованием команды

РЬдаИрйсТЪеШр, х, .9], х, 0, Р1, РМо^Б > 10000].

Рассмотрев графики тета-функции Якоби при различных параметрах необходимо отметить важное свойство данной функции. Значение минимума, который находится в середине периода, будет принимать довольно малые по модулю значения при изменении параметра. Например, как показано в [24]-[26],[64], при приближении параметра q к единице, величины минимумов т

принимают следующие значения (ввиду чрезвычайной малости величин вместо них в таблице приведены их десятичные логарифмы)

Ч ^ т

0,9 -9.1323247287

0,99 -105.0726667875

0,999 -1068.9933074930

0,9999 -10712.7014325571

0,99999 -107154.2828876821

0,999999 -1071574.5970648924

0,9999999 -10715782.2464419910

0,99999999 -107157863.2310445862

Представленные выше вычисления позволяют сделать однозначный вывод. Применение данного метода практически бесполезно, так как деление на такие маленькие знаменатели провоцирует появление ошибок и довольно быстрый рост погрешностей.

Следующий способ решения задачи интерполяции предполагает применение дискретного преобразования Фурье [13], [23], [26], [64]. Как уже было сказано, второй подход применяется намного чаще для поиска решения поставленной задачи, имея при этом существенный недостаток, при вычислениях таким способом значительно усложняется алгоритм решения. К тому же вычисления с использованием данного способа могут быть эффективны при небольшом количестве разрядов результата и в достаточно узких диапазонах параметров

Поэтому перейдем к рассмотрению разработанного метода. Преимущество его заключается в том, что его применение позволит найти решение заданной задачи интерполяции, не усложняя алгоритма, а также без деления на малые знаменатели.

Основополагающая конструкция заключается в сведении задачи интерполяции к решению конечных систем линейных уравнений. Безусловно, идея разработки такого метода не является новой и первичной,

но до этого времени данный метод не имел развития. Объяснением тому служит тот факт, что ранее отсутствовали доказательства однозначной разрешимости соответствующих систем линейных уравнений.

Результаты, которые были получены в данной диссертационной работе, являются достоверным фактом, который позволит утверждать, что требование однозначной разрешимости выполняется.

На основе выше изложенного можно отметить, что полученные результаты являются теоретической основой для построения новых методов, численных алгоритмов, которые будут иметь практическое применение и вычислительную значимость. При этом без применения специальных функций или ДФП. Результаты вычислений, полученные с помощью данного метода, опубликованы в работах [65]-[73].

1.2 Математическое описание модели восстановления цифровых сигналов по системе отсчетов при помощи разложений по целочисленным сдвигам функций Гаусса.

Большинство источников дают следующее определение понятия «Математическая модель». Под математической моделью принято понимать приближенное описание свойств и качеств исследуемого объекта или явления, которое выражено с помощью математических.

Ляпунов определял математическое моделирование как опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при этом изучается не исследуемый объект, а искусственно созданная система или модель, соответствующая свойствам реального объекта, которая способна заменить его в определённых условиях, и дать при исследовании информацию об этом объекте.

О различных определениях, теоретических основах и подходах к общим вопросам математического моделирования и применениям к конкретным классам задач, см. [37], а также [2], [19], [21]-[22], [27], [40].

В данной работе рассматривается один из методов восстановления цифровых сигналов по их заданным значениям на дискретном множестве отсчётов. Приведём основные понятия из теории цифровых сигналов, см., например, [6], [11], [14], [16], [18]. [20], [29]-[30], [31], [35], [38], [41]-[42].

Цифровой сигнал - сигнал, который можно представить в виде последовательности дискретных цифровых значений.

Используются различные преобразования и представления цифровых сигналов. Сигналы преобразуют для передачи по аналоговым каналам, то могут быть электрические или радиоканалы. Для упрощения процедуры передачи и кодирования используют двоичные цифровые сигналы. Эти сигналы заданы потоком битов. Такое кодирование применяется в технике.

Цифровые сигналы имеют важное преимущество перед другими видами сигналов. Данное преимущество обуславливает оцифровку современных средств связи, передачи и обработки сигналов. Это преимущество заключается в возможности данного вида сигнала к полному восстановлению.

Сигнал с имеющимися помехами, поступая в приемное устройство, преобразовывается в цифровую форму. Далее происходит ретрансляция -формирование «чистого» сигнала (без искажений). Аналоговые же сигналы не могут похвастаться таким свойством. Аналоговые сигналы можно усилить лишь с имеющимися в нем шумами.

Но недостатком цифровых сигналов является то, что заметные помехи сильно искажают их. К примеру, значительные помехи на цифровой линии приводят к удалению фрагментов речи, тогда как на аналоговой линии можно слышать непрерывную речь, но с имеющимися помехами.

Надёжность передачи цифровой информации может быть существенно увеличена при помощи различных методов для контроля и восстановления информации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тимашов Александр Сергеевич, 2020 год

Список литературы

[1] Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. - Москва : Наука, ГРФМЛ, 1970. - 304 с.

[2] Арнольд В. И. «Жёсткие» и «мягкие» математические модели / М.: МЦНМО, 2004. - 32 с.

[3] Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. / А. Антонью. - М: Радио и связь, 1983.- 318 с.

[4] Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. -636 с.

[5] Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - Москва : Наука, 1967. - 299 с.

[6] Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / Р. Блейхут. - М., Мир, 1989ю - 448 с.

[7] Богнер Р. Введение в цифровую фильтрацию / Под редакцией Р. Богнера и А. Константинидиса.- 1976 , М,Мирю - 216 с.

[8] Бутырская Е. Компьютерная химия: основы теории и работа с программами Gaussian и GaussView / Е. Бутырская. - М., Солон-пресс, 2011.- 224 с.

[9] Гликлих Ю. Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / Ю. Е. Гликлих. - М.: КомКнига, 2005. - 416 с.

[10] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. - Ижевск : НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 464 с.

[11] Дьяконов В. П. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник / В. П. Дьяконов, И. В. Абраменкова. -Санкт-Петербург : Питер, 2002. - 608 с.

[12] Журавлёв М. В. Тета-функции Якоби и системы целочисленных сдвигов функций Гаусса / М. В. Журавлёв, Е. А. Киселёв, Л. А.

Минин, С. М. Ситник // Современная математика и её приложения. -2010. - Т. 67. - С. 107-116.

[13] Журавлев М. В. О константах Рисса для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса / М. В. Журавлев // Научные ведомости Белгородского государственного университета. № 5(100). - 2011. -вып. 22. - С. 39-46.

[14] Зверев В. А. Выделение сигналов из помех численными методами /

B.А. Зверев, А. А. Стромков. - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2001. -188 с.

[15] Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации / Г. Каллианпур, А.В. Скороход. - М., Наука, 1987. - 320 с.

[16] Карташев В. Г. Основы теории дискретных сигналов / М.: Высшая школа, 1982. - 113 с.

[17] Киселев Е. А. О константах Рисса для некоторых систем целочисленных сдвигов / Е. А. Киселев, Л. А. Минин, И. Я. Новиков,

C. М. Ситник // Математические заметки. - 2014. - Т.96:2. - С 239250.

[18] Кравченко В. Ф. (Под ред.) Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / В. Ф. Кравченко. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 544 с.

[19] Краснощёков П. С. Принципы построения моделей. Изд. второе, пересмотренное и дополненное / П. С. Краснощёков, А. А. Петров. -М.: ФАЗИС; ВЦ РАН, 2000. — хи + 412 с.

[20] Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. / С. Л. Марпл -мл. - М.: МИР, 1990. - 584 с.

[21] Меньших В. В. Структурная адаптация систем управления / В. В. Меньших, В. В. Сысоев. - Москва, 2002.

[22] Меньших В. В. Оптимизация временных характеристик информационных систем / В. В. Меньших, Е. Ю. Никулина. -Воронеж: Воронежский институт МВД России, 2011.

[23] Минин Л. А. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций / Л. А. Минин, С. М. Ситник, М. В. Журавлев // Научные ведомости Белгородского государственного университета. - 2009. - № 13 (68), Выпуск 17/2. - С. 89-99.

[24] Минин Л. А. О неравенствах для тета-функций Якоби / Л. А. Минин, С. М. Ситник // Чернозёмный альманах научных исследований. Серия "Фундаментальная математика". - 2009.- № 1 (8). - С. 234-311.

[25] Минин Л. А. Неравенства для третьей тета - функции Якоби / Л. А. Минин, С. М. Ситник // Тезисы докладов международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (АМАДЕ)". - Минск, Беларусь. - 2009. - С. 111.

[26] Минин Л. А. Поведение коэффициентов узловых функций, построенных из равномерных сдвигов функций Лоренца и функций Гаусса / Л. А. Минин, С. М. Ситник, С. Н. Ушаков // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2014. - 12 (183);35. - С. 214-217.

[27] Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. 3-е изд., испр. / М.: КомКнига, 2007. — 192 с.

[28] Новиков И. Я. Теория всплесков / И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина. - Москва : Физматлит, 2005. - 616 с.

[29] Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток / Г. Нуссбаумер. - Москва : Радио и связь, 1985. -248 с.

[30] Оппенгейм А. Применение цифровой обработки сигналов / Оппенгейм А. -М.: Мир, 1980. - 552 с.

[31] Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер -Москва: Техносфера, 2006. - 856 с.

[32] Переломов А. М. Обобщённые когерентные состояния и их применения / А. М. Переломов. - Москва : Наука, 1987. - 272 c.

[33] Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем / А. И. Перов. - М.: Радиотехника, 2003. - 400 с.

[34] Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В. Проскуряков. - М.: Наука, 1966. - 384 с.

[35] Рабинер Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов. / Л. Рабинер, Б. Гоулд. - М.: Мир, 1978.- 848 с.

[36] Рвачев В. А. Неклассические методы приближений в краевых задачах / В. Л. Рвачев, В. А. Рвачев. - Киев : Наукова Думка, 1979. - 196 с.

[37] Самарский А. А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. - М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

[38] Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов (Учебник для вузов) / А. Б. Сергиенко. - Питер, СПБ, 2002. - 608 с.

[39] Ситник С. М. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя / С. М. Ситник, Э. Л. Шишкина. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2019. - 224 с.

[40] Советов Б. Я., Моделирование систем: Учеб. для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. - М.: Высш. шк., 2001. -343 с.

[41] Трахтман A. M. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах / А.М. Трахтман, В.А. Трахтман. - М.: Сов. радио, 1975. -208 с.

[42] Трахтман A. M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов / А.М. Трахтман. - М. : Советское радио, 1972. - 352 с.

[43] Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции / Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. - Москва : Физматлит, 1963. - 516с.

[44] Хемминг Р. В. Цифровые фильтры / Р. В. Хэммингю - М.: Советское радио, 1980. - 224 с.

[45] Хургин Я. И. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике / Я. И. Хургин, В. П. Яковлев. - М.: ГИФМЛ, 1962. -222 с.

[46] Чуи Ч. К. Введение в вэйвлеты / Ч. К. Чуи. - М.: Мир, 2001.

[47] Andrews G. E. Special functions. Cambridge University Press / G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy. - Cambridge : 1999. - 681p.

[48] Calcaterra C. Approximating with Gaussians / C. Calcaterra, A. Boldt. -arXiv: 0805.3795v1 [math.CA], 2008, - 17 P.

[49] Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases / Christensen O. - Birkhauser Boston, 2003.

[50] Christensen O. Frames and Bases / Christensen O. - Birkhauser Boston, 2008.

[51] Darlington S. Synthesis and Reactance of 4-poles / S. Darlington // J. Math. and Phys. - 1939. - 18 - P. 257-353.

[52] Feichtinger G. H. Pseudo-Differential Operators. Quantization and Signals / G.H. Feichtinger. - Springer, 2008. - 234 p.

[53] Gliklikh Yu. E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / London: Springer-Verlag, 2011. - 460 p.

[54] Lanzara F. Approximate Approximations from Scattered Data / F. Lanzara, V. Maz'ya, G. Schmidt // J. Approx. Th. - 2007. - № 145. - P. 141-170.

[55] Lifshits M. Lectures on Gaussian Processes / Springer, 2012. - 129 p.

[56] Madrenas J. A CMOS Analog Circuit for Gaussian Functions / J. Madrenas, M. Verleysen, P. Thissen, J. Voz // IEEE Transactions on Circuits and Systems-II: Analog and Digital Signal Processing. - 1996. -Vol. 43, No. 1. P. 70-74.

[57] Maz'ya V. Approximate approximations / V. Maz'ya, G. Schmidt -University of Linkoping, 2007. - 361 p.

[58] Riemenschneider S. D. Gaussian radial-basis functions: a survey / S. D. Riemenschneider, N. Sivakumar // J. Analysis. - 2000. - vol.8. - P. 157178.

[59] Seshadri V. The Inverse Gaussian Distribution. Statistical Theory and Applications / V. Seshadri. - Springer, 1999. - 362 p.

[60] Shclumprecht Th. On the sapling and recovery of bandlimited functions via scattered translates of the Gaussian / Th. Shclumprecht, N. Sivakumar // arXiv:0803.4344v1 [math.CA]. - 2008. - 29 p.

[61] Simon M. K. Probability distributions involving Gaussian random variables. A Handbook for Engineers and Scientists / Springer, 2006. - 218 p.

[62] Shishkina E. L. Sergei Sitnik. Transmutations, Singular and Fractional Differential Equations with Applications to Mathematical Physics. Series: Mathematics in Science and Engineering / E.L. Shishkina, S.M. Sitnik. -Elsevier. Academic Press, 2020, - 592 p.

[63] Stenger F. Numerical Methods Based on Sinc and Analytic Functions / F. Stenger. - Springer, 1993. - 579 p.

[64] Zhuravlev M. V. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions / M. V. Zhuravlev, E. A. Kiselev, L. A. Minin, S. M. Sitnik // Journal of Mathematical Sciences, Springer - 2011. - Vol. 173, № 2. - p. 231-241.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, включенных в базы данных Scopus, Web of Science

[65] Timashov A. S. On the Correctness of Finite-rank Approximations by Series of Shifted Gaussians // S. M. Sitnik, A. S. Timashov, S. N. Ushakov / Lobachevskii Journal of Mathematics. - Kazan, 2020. - V. 41. - №3. - P. 423-429.

[66] Timashov A. S. Signal approximations by shifted Gaussians: a direct approach by finite linear systems // S. M. Sitnik, A. S. Timashov, S. N. Ushakov / Journal of Physics: Conference Series.- 2020 - V. 1479, 012046.

Публикации в журналах, включенных в перечень рецензируемых

научных изданий ВАК РФ

[67] Тимашов А. С. Расчёт конечномерной математической модели в задаче квадратичной экспоненциальной интерполяции / А.С. Тимашов // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. - Белгород, 2019. - № 4 (19), вып. 51. - С. 514521.

[68] Тимашов А. С. Компьютерный анализ математической модели разложения цифровых сигналов по целочисленным сдвигам функции Гаусса / А. С. Тимашов // Вестник Тамбовского университета. -Тамбов, 2016. - № 6. - С. 2054-2061.

[69] Тимашов А. С. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции / С. М. Ситник, А. С. Тимашов, С. Н. Ушаков // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. - Белогород, 2015. - № 17 (214), вып. 40. - С. 130-142.

[70] Тимашов А. С. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции сигналов / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Вестник Воронежского института МВД России. - Воронеж, 2014. - № 2. - С. 163-171.

[71] Тимашов А. С. Об конечномерной математической модели в задаче квадратичной экспоненциальной интерполяции / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. - Белгород, 2013. - № 19 (162), вып. 32. - С. 184-186.

[72] Тимашов А. С. Математическое моделирование и численный анализ в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции / А. С. Тимашов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - Воронеж, 2013. - Т. 9, № 4. - С. 112-115.

[73] Тимашов А. С. Приложения экспоненциальной аппроксимации по целочисленным сдвигам функций Гаусса / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. - Воронеж, 2013. - № 2 (56). - С. 90-94.

Публикации в сборниках научных трудов и материалах конференций

[74] Тимашов А. С. Метод конечномерных приближений сигналов в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Сборник научных трудов по материалам международной научно - практической конференции "Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика". -Воронеж, 2017. - том 5, вып. 7, часть 1. - С. 43-46.

[75] Тимашов А. С. Разложение сигналов по сдвигам функций Гаусса / А. С. Тимашов // Современные проблемы физико-математических наук. Материалы II международной научно-практической конференции 24 -27 ноября 2016 г.- Орел, 2016. - С. 198-200.

[76] Тимашов А. С. Конечномерные приближения в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика: сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции. - Воронеж, 2015. - ч. 2 (16-2). - С. 44-47.

[77] Тимашов А. С. Метод конечномерных приближений сигналов в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Актуальные направления научных исследований xxi века: теория и практика / Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г.Ф. Морозова. -Воронеж, 2015. - № 9-3 (20-3), Том 3. - С. 368-372.

[78] Тимашов А. С. Конечномерные приближения квадратичных экспоненциальных интерполяций для моделирования задач фильтрации сигналов / А. С. Тимашов // Тезисы докладов Российской научной конференции алгебра, анализ и смежные вопросы математического моделирования тезисы докладов Российской научной конференции / Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук и Правительства Республики Северная Осетия-Алания; СевероОсетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова. -Владикавказ, 2015. - С. 99-100.

[79] Тимашов А. С. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции сигналов / А. С. Тимашов // Сборник материалов всероссийской научно-практической конференции "Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищённых телекоммуникационных систем" / Воронежский институт МВД России. - Воронеж, 2014. - С. 212-214.

[80] Тимашов А. С. О свойствах конечномерных приближений квадратичных экспоненциальных аппроксимаций для моделирования

задач фильтрации сигналов / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Материалы всероссийской научной конференции молодых учёных "Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики", посвящённой памяти академика А. А. Самарского в связи с 95 - летием со дня его рождения / НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. - Нальчик, 2014. - С. 108-110.

[81] Тимашов А. С. Приближения конечномерными системами линейных уравнений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции. / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Актуальные направления научных исследований xxi века: теория и практика. Сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции / Воронежская Государственная Лесотехническая Академия. - Воронеж, 2014 -№ 4 часть 2 (9-2). - С. 140-143.

[82] Тимашов А. С. Вычислительные аспекты метода квадратичной экспоненциальной интерполяции в задачах теории сигналов / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // "Новые информационные технологии в автоматизированных системах". Материалы семнадцатого научно-практического семинара / Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана РАН. - Москва, 2014 - С. 292-300.

[83] Тимашов А. С. Расчет базисной узловой функции методом квадратичной экспоненциальной интерполяции Описание компьютерной программы, зарегистрированной 20.05.2013 г. под номером 50201350762, РТО / А. С. Тимашов // "Алгоритмы и программы", Информационный бюллетень. Теория моделирования. / ЦИТИС (Федеральное государственное автономное научное учреждение "Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти")"Воронежский государственный технический университет". - Воронеж, 2014. - № 2, № 2014.02.0082 - С. 5.

[84] Тимашов А. С. Компьютерное моделирование в задачах квадратичной интерполяции. / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Всероссийская научно-практическая конференция "Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищённых телекоммуникационных систем". Сборник материалов. / Воронежский институт МВД России. - Воронеж, 2013 - С. 169-171.

[85] Тимашов А. С. О конечномерных приближениях в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции / А. С. Тимашов // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.). / ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - Владикавказ, 2013. - С. 90-91.

[86] Тимашов А. С. Численное исследование задачи квадратичной интерполяции / А. С. Тимашов // Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" / Белгородский государственный национально-исследовательский университет. - Белгород, 2013. - С. 184-185.

[87] Тимашов А. С. О разложении сигналов по целочисленным сдвигам функций Гаусса / А. С. Тимашов // Математический анализ и математическое моделирование.Труды VIII региональной школы-конференции молодых ученых / "Владикавказская молодежная математическая школа",(Россия, Владикавказ, 16-21 июля 2012 г.). -Владикавказ, 2012. - С. 175-176.

[88] Тимашов А. С. Задача квадратичной экспоненциальной интерполяции / А. С. Тимашов // Материалы международной научно-практической конференции «Фундаментальное образование ххi века: наука, практика, методика» / Харьковский национальный университет строительства и архитектуры. - Украина, Харьков, 2013. - С. 171-174.

[89] Тимашов А. С. Применение одного вида интерполяции в теории сигналов / А. С. Тимашов // Материалы международной научно-

практической конференции "Охрана, безопасность, связь -- 2012". Часть 2 / Воронежский институт МВД России. - Воронеж, 2012. - С. 187-191.

[90] Тимашов А. С. Применение одного вида интерполяции в теории сигналов / А. С. Тимашов // Материалы второй международной конференции молодых учёных "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". / Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской Академии наук. - Нальчик, 2012. - С. 220-223.

[91] Тимашов А. С. Экспоненциальная интерполяция сигналов / А. С. Тимашов // Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищённых телекоммуникационных систем" / Воронежский институт МВД России - Воронеж, 2012. - С. 188-189.

[92] Тимашов А. С. Применение экспоненциальной интерполяции в задачах сжатия и хранения информации / С. М. Ситник, А. С. Тимашов // Информационная безопасность в государственных и негосударственных структурах «Информтех-2012». Сборник материалов 2 всероссийской научно-технической конференции с международным участием. / Юго-западный государственный университет. - Курск, 2012. - С. 50-59.

[93] Тимашов А. С. Численное исследование метода экспоненциальной интерполяции / А. С. Тимашов // Международная конференция: "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения". Посвящена памяти Николая Карапетовича Карапетянца (1942--2005). Тезисы докладов. / Южный федеральный университет. - Ростов-на-Дону, 2012. - С. 91 -92.

[94] Тимашов А. С. О решении систем уравнений, определяющих коэффициенты разложения по целочисленным сдвигам функций Гаусса / А. С. Тимашов // Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», посвящённой 75-летию Ю. П. Самарина (ММиКЗ-2011: Самара, 15.09.11-17.09.11). - Самара,2011. - С. 234-236.

[95] Тимашов А. С. Численное исследование одной задачи экспоненциальной интерполяции / А. С. Тимашов // Материалы международной научно-практической конференции "Охрана, безопасность, связь - 2011", Часть 2 / Воронежский институт МВД России. - Воронеж, 2011. - С.163-166.

[96] Тимашов А. С. О вычислении характеристик сигналов при их разложении по функциям Гаусса. / А. С. Тимашов // Сборник материалов Всероссийской научно--практической конференции "Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищённых телекоммуникационных систем". /, Воронежский институт МВД России. - Воронеж 2011. - С. 260-261.

Список свидетельств о государственной регистрации программ

для ЭВМ

[97] Тимашов А. С. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018612067 :

Многофункциональная программа для построения, визуализации и оценки точности приближений при разложении цифровых сигналов по целочисленным сдвигам функции Гаусса.

Дата государственной регистрации в реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности -12.02.2018 г.

[98] Тимашов А. С. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018612068:

Вычислительная реализация построения и анализа узловой функции в методе аппроксимации цифровых сигналов целочисленными сдвигами квадратичных экспонент.

Дата государственной регистрации в реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности -12.02.2018 г.

Приложения

Приложения ниже содержат листинги зарегистрированных программ, с использованием которых был разработан программный комплекс, представленный в диссертационной работе. Программный комплекс написан на языке Wolfram Language, подробное описание этого программного комплекса и составляющих его программ приведено в главе 3 диссертационной работы. Также в качестве приложений приведены копии свидетельств о государственной регистрации разработанных программ и акты о внедрении результатов диссертационной работы.

Приложение 1. Листинг программы :

Многофункциональная программа для построения, визуализации и оценки точности приближений при разложении цифровых сигналов по целочисленным сдвигам функции Гаусса.

С!еагБу$1етСаеИе[]

Needs["GUIK¡tм']; Needs["GlobaГ"]; (* Импорт модулей глобального и графического интерфейса *)

ans={"Данные заданы корректно","Ошибка в исходных данных","Задана недостаточная точность","Ошибка: Xmax меньше или равно Хтт","Ошибка: Xmax равно Хтт"};

(* Создание базы вариантов ответов *)

qs[e_,s_]:=SetPrec¡s¡on[Round[Eл(-1/sл2)Д0л-e],e]

mySF[x_]:=Sc¡ent¡f¡cForm[N[x,10],ExponentFunct¡on->(If[x/10л#<10,#,#+1]&),NumberFormat->(Row[{#1,If[ToExpress¡on[#3]!=0,"*10л "," "],If[ToExpress¡on[#3]!=0,#3," "]}]&)]

{#,mySF[#]}&/@RandomRea![{-100000,100000},10];

(* Функция вычисления промежуточного параметра *)

mySF1[x_]:=x[[1]];

vychpk[qs_,n_]:=Block[{res,otvet,k,kk,m,j},

res=Qu¡et@L¡nearSo!ve[Tab!e[qsл(k*m),{k,-n,n},{m,-n,n}],Tab!e[If[kk==0,1,0],{kk,-n,n}]]; res[[0]]=res[[n+1]]; otvet=Tab!e[res[[j]],{j,-n,n}]]

(* Функция вычисления базы коэфициентов P[k] *) vychdzp[pk_,s_,nn_]:=Block[{dzp,m},dzp=Table[0,{m,0,2*nn}]; Do[dzp[[k+nn]]=(EЛ(kЛ2/(2*sЛ2)))pk[[k]],{k,-nn,nn}]; dzp] (* Функция вычисления базы коэфициентов G[k] *)

vychy[dzp_,s_,nn_]=Quiet@Sum[dzp[[u]]N[Eл(-(x-(u-nn))л2/(2*sЛ2))],{u,1,2*nn}]; (* Функция вычисления значений базисной узловой функции *) ^т; funr;b;datag={};dataff={};funit={};

vychyapr[s_]=Quiet@Sum[datagisf[[u-b/2,2]]*N[Eл(-(-x-(u-b))л2/(2*sЛ2))],{u,b/2+1,1.5b+1}]; (* Функция вычисления аппроксимирующей функции *)

^=(* Запуск графической оболочки *)GUIRun[W¡dget["Frame",{"t¡tle"->"Посфоение, визуализация и оценка точности приближений при разложении цифровых сигналов по целочисленным сдвигам функции Гаусса",

(*ВВОД ДАННЫХ!!!*) WidgetGroup[{{

{ (* Ввод четырех функций образующих исходный сигнал *)

Widget["Label",{"text"->"Аргумент 1й функции норм.

распределения"}],Widget["TextField",{"columns"->"10","horizontalAlignment"-

>PropertyValue["RIGHT"]},Name->"F1Field"],

Widget["Label",{"text"->"Аргумент 2й функции норм.

распределения"}],Widget["TextField",{"columns"->"10","horizontalAlignment"-

>PropertyValue["RIGHT"]},Name->"F2Field"],

Widget["Label",{"text"->"Аргумент 1й функции Коши"}],Widget["TextField",{"columns"->"10","horizontalAlignment"->PropertyValue["RIGHT"]},Name->"F3Field"],

Widget["Label",{"text"->"Аргумент 2й функции Коши"}],Widget["TextField",{"columns"-

>"10","horizontalAlignment"->PropertyValue["RIGHT"]},Name->"F4Field"] },

(*{ (* Ввод диапазонов аргументов для данных функций *)

Widget["Label",{"text"\[Rule]"x1min:"}],Widget["TextField",{"columns"\[Rule]"10","horizontalAlignmen t"\[Rule]PropertyValue["RIGHT"]},Name\[Rule]"x1F"],

Widget["Label",{"text"\[Rule]"x2min:"}],Widget["TextField",{"columns"\[Rule]"10","horizontalAlignmen t"\[Rule]PropertyValue["RIGHT"]},Name\[Rule]"x2F"],

Widget["Label",{"text"\[Rule]"x3min:"}],Widget["TextField",{"columns"\[Rule]"10","horizontalAlignmen t"\[Rule]PropertyValue["RIGHT"]},Name\[Rule]"x3F"],

W¡dget["Labe!",{"text"\[Ru!e]"x4max:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"\[Ru!e]"10","hor¡zonta!A!¡gnmen t"\[Ru!e]PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name\[Ru!e]"x4F"]

}, *)

{ (* Ввод параметров вычисления базисной узловой функции *)

W¡dget["Label",{"text"->"Значение параметра S:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"-

>"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"SF¡e!d"],

W¡dget["Labe!",{"text"->"Порядок линейной системы N:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"->"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"NF¡e!d"],W¡dget["Labe!",{"text"->"Точность вычисления параметра E:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"-

>"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"eF¡e!d"]

W¡dget["Button",{"Text"->"Внести исходные данные и рассчитать базисную узловую функцию", B¡ndEvent["Act¡on",

Scr¡pt[ ca!cu!ateRes[]] ]

}]}},

W¡dgetLayout->{"Border"->"Параметры вычисления базисной узловой функции (Поля аргументов оставить пустыми если функция не используется)"}

],

{(* ТАБЛИЦА!!!!*) {{W¡dgetGroup[{

W¡dget["Label",{"text"->" Диапазоны аргументов для построения графика"}],

W¡dget["Label",{"text"->" исходного сигнала и базисной узловой функции"}],

{W¡dget["Labe!",{"text"->"Xm¡n"}],{W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"->"20","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"Xm¡n"]},

W¡dget["Labe!",{"text"->"Xmax"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"->"20","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"Xmax"]},

W¡dget["Button",{"Text"->"Построить график и таблицу",

B¡ndEvent["Act¡on",

Scr¡pt[ P!ott¡ng[]]]}]},

W¡dgetLayout->{"Border"->" Вывод результатов"}]}, W¡dgetGroup[{ { W¡dget["Pane!",{

W¡dget["Labe!",{"text"->"Значения функций в целых точках"}],

Шк1§е1:["5сго!!Рапе",{

"р^ег^Б1Ее"->ШИ§е1["01тепзюп", {'^^"->300, 'Ъе^"->500}], "v¡ewportV¡ew"->

W¡dget["Tab!e",{ PropertyVa!ue["mode!",Name-> "myXMode!"] } ] }]

} ]},

{

(*Вывод вкладок коэфициентов узловой аппроксимирующей функции и результирующих её значений в целых точках *)

W¡dget["Panel",{

W¡dget["Labe!",{"text"->"Значения коэфициентов узловой функции"}], W¡dget["ScrollPane",{

"preferredS¡ze"->W¡dget["D¡mens¡on", {"w¡dth"->300, "he¡ght"->500}], "v¡ewportV¡ew"->

W¡dget["Tab!e",{ PropertyVa!ue["mode!",Name-> "myTab!eMode!"] }] }]

} ]} },

W¡dgetLayout->{"Group¡ng"->{Tabs, Bottom,{" Контроль значений функции","Вывод коэфициентов"} }}]

}, (* Вывод дополнительной информации *)

{W¡dget["Label",{"text"->"Время вычисления:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"-

>"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"],"ed¡tab!e"->"fa!se"},Name->"T¡meF¡e!d"],

W¡dget["Label",{"text"->"Значение q:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"->"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"],"ed¡tab!e"->"fa!se"},Name->"QF¡e!d"],

W¡dget["Labe!",{"text"->"Корректность и точность исходных

данных"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"->"10","hor¡zonta!A!¡gnment"-

>PropertyVa!ue["RIGHT"],"ed¡tab!e"->"fa!se"},Name->"QR"],

W¡dgetGroup[{{ (*ГРАФИК!!!*)

tab!=W¡dget["ImageLabe!",{"data"->Scr¡pt[ExportStr¡ng[ P!ot[{},{x,-5,5}(*,P!otRange\[Ru!e]{-1*10л-4,1.5*10л-4}*),P!otSty!e->{Red}], "GIF",ImageS¡ze->{700,450}]]

},Name-> "Mygraf"]}},W¡dgetLayout->{"Border"->"Построение графика (зелёный - О^г)"}]}},

BindEvent["endModal",Script[fields={"F1Field","F2Field","F3Field",MF4Field","x1FM,Mx2F","x3FM,Mx4F"};(# 1->ToExpression[PropertyValue[{#1,"text"}]]&)/@fields]],

Script[calculateRes[]:=Module[{f1f,f2f,f3f,f4f,(*x1f,x2f,x3f,x4f,*)s,n,e,q},{f1f,f2f,f3f,f4f,(*x1f,x2f,x3f,x4f,* )s,n,e,q}=ToExpression/@PropertyValue[{{"F1Field","F2Field","F3Field","F4Field",(*"x1F","x2F","x3F","x 4F",*)"SField","NField","eField","QField"},"text"}];

(*s=1;n=50;e=1500;*)

(*Процедура проверки корректности исходных данных для построение базисной узловой функции и вычисления необходимых данных *)

If[ s>0 && n>0&& e>0 ,{norm=ans[[1]];

qokr=qs[10,s];

timev=N[First[Timing[pk = vychpk[qs[e,s], n]]]]; pk[[0]] = pk[[n + 1]];If[N[pk[[1]],50]-N[pk[[2*n+1]],50]!=0,norm=ans[[3]]];

gk=vychdzp[pk,s,n];

datag=Table[{gk[[w]]},{w,1,2*n+1,1}];

datapg=Table[{w-n,mySF[pk[[w-n]]],mySF[gk[[w]]]},{w,0,2*n,1}];

SetPropertyValue[{"TimeField","text"},ToString[timev,InputForm,NumberMarks->False]]; SetPropertyValue[{"QField","text"},ToString[qokr,InputForm,NumberMarks->False]]; SetPropertyValue[{"myTableModel", "columnIdentifiers"}, {"k","p(k)","g(k)"}];

SetPropertyValue[{"myTableModel", "items"},

Table[ToString[datapg[[i+n,j]],NumberMarks->False],{i,1,n+1},{j,1,3}]];

} ,norm=ans[[2]],norm=ans[[2]]];

a1=1;b1=1;c1=1;d1=1;

If[f1f==Null,a1=0];

If[f2f==Null,b1=0];

If[f3f==Null,c1=0];

If[f4f==Null,d1=0];

If[(a1+b1+c1+d1)==0,SetPropertyValue[{"QR","text"},norm=ans[[2]]],SetPropertyValue[{"QR","text"},nor m=ans[[1]]]];

(* Исходная функция *)

b=n; ss=s;

funi=a1*EA(-(x-f1f)A2/2)+b1*EA(-(x-f2f)A2/2)+c1/((x-f3f)A2+1)+d1/((x-f4f)A2+1); ]],

Script[Plotting[]:=Module[{xmn,xmx},{xmn,xmx}=ToExpression/@PropertyValue[{{"Xmin","Xmax"},"text

(* Построение на одном графике исходной и аппроксимирующей функций *) fun it=Table[funi,{x,-b,b,1}]; fun iti=Table[{x,funi},{x,-b,b,1}];

datagisf=Table[{z,Quiet@Sum[datag[[u]]*funit[[u-z]],{u,b/2+1,1.5b+1,1}]},{z,-(b/2),b/2,1}]; funr=vychyapr[ss];

If[xmn>=xmx,SetPropertyValue[{"QR","text"},ans[[4]]],{SetPropertyValue[{"Mygraf","data"},ExportString [ Plot[{funi,funr},{x,xmn,xmx},PlotStyle->{Red,Green}], "GIF",ImageSize->{700,450}]];

SetPropertyValue[{"myXModel", "columnIdentifiers"},

{"X","f(x)","f_apr(x)"}];

SetPropertyValue[{"myXModel", "items"},

Table[{ToString[x,NumberMarks->False],ToString[mySF[funi],NumberMarks->False], ToString[mySF[mySF1[funr]],NumberMarks->False] },{x,xmn,xmx}] ]};

SetPropertyValue[{"QR","text"},ans[[1]]],SetPropertyValue[{"QR","text"},ans[[2]]]]; ]]

}],

IncludedScriptContexts->{"Global'"} ];

Приложение 2. Листинг программы :

Вычислительная реализация построения и анализа узловой функции в методе аппроксимации цифровых сигналов целочисленными сдвигами квадратичных экспонент

Needs["GUIK¡tм']; Needs["G!oba!^"];

ans={"Данные заданы корректно","Ошибка в исходных данных","Задана недостаточная точность","Ошибка: Xmax меньше или равно Xmin","Ошибка: Xmax равно Xmin"}

{Данные заданы корректно,Ошибка в исходных данных,Задана недостаточная точность,Ошибка: Xmax меньше или равно Xmin,Ошибка: Xmax равно Xmin}

qs[e_,s_]:=SetPrec¡s¡on[Round[Eл(1/sЛ2),10Л-e],e]

mySF[x_]:=Sc¡ent¡f¡cForm[N[x,10],ExponentFunct¡on->(If[x/10л#<10,#,#+1]&),NumberFormat->(Row[{#1,If[ToExpress¡on[#3]!=0,"*10л "," "],If[ToExpress¡on[#3]!=0,#3," "]}]&)]

{#,mySF[#]}&/@RandomRea![{-100000,100000},10]; vychpk[qs_,n_]:=B!ock[{res,otvet,k,kk,m,j},

res=Qu¡et@L¡nearSo!ve[Tab!e[qsл(k*m),{k,-n,n},{m,-n,n}],Tab!e[If[kk==0,1,0],{kk,-n,n}]]; res[[0]]=res[[n+1]]; otvet=Table[res[[j]],{j,-n,n}]]

vychdzp[pk_,s_,nn_]:=B!ock[{dzp,m},dzp=Tab!e[0,{m,0,2*nn}]; Do[dzp[[k+nn]]=(Eл(kл2/(2*sЛ2)))pk[[k]],{k,-nn,nn}]; dzp]

vychy[dzp_,s_,nn_]=Qu¡et@Sum[dzp[[u]]N[Eл(-(x-(u-nn))л2/(2*sЛ2))],{u,1,2*nn}];

ref=GUIRun[W¡dget["Frame",{"t¡t!e"->"Построение и анализ узловой функции в методе аппроксимации цифровых сигналов целочисленными сдвигами квадратичных экспонент",W¡dgetGroup[{

{W¡dget["Labe!",{"text"->"Значение параметра S:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"-

>"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"SF¡e!d"]},

{W¡dget["Labe!",{"text"->"Порядок линейной системы N:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"->"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"NF¡e!d"]},{W¡dget["Labe!",{"text"->"Точность вычисления параметра E:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"-

>"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"eF¡e!d"]},

W¡dget["Button",{"Text"->" Вычислить",

B¡ndEvent["Act¡on",

Бепр^ са!еи!а1еКе$[]]]}]}, W¡dgetLayout->{мBorderм->мВвод данных"}],

{W¡dget["Pane!",{ W¡dget["Scro!!Pane",{

"preferredS¡ze"->W¡dget["D¡mens¡on", {"w¡dth"->400, '^^"->500}], "v¡ewportV¡ew"->

W¡dget["Tab!e",{ PropertyVa!ue["mode!",Name-> "myTab!eMode!"] },In¡t¡alArguments->{10,3}, Name->"myTab!e"]}]

} ]},

{W¡dget["Pane!",{

W¡dget["Labe!",{"text"->"Значения базисной узловой функции в целых

точках"}],{{W¡dget["Labe!",{"text"->"Xm¡n"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"-

>"20","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"Xtm¡n"]},{W¡dget["Labe!",{"text"-

>"Xmax"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"->"20","hor¡zonta!A!¡gnment"-

>PropertyVa!ue["RIGHT"]},Name->"Xtmax"]},

W¡dget["Button",{"Text"->"Вывести таблицу значений",

B¡ndEvent["Act¡on",

Scr¡pt[ schetY[]]]}]},

W¡dget["Scro!!Pane",{

"preferredS¡ze"->W¡dget["D¡mens¡on", {"w¡dth"->400, "he¡ght"->450}], "v¡ewportV¡ew"->

W¡dget["Tab!e",{ PropertyVa!ue["mode!",Name-> "myXMode!"] },In¡t¡alArguments->{11,2}, Name->"myX"]}]

} ]}},

W¡dgetLayout->{"Group¡ng"->{Tabs, Bottom,{" Вывод коэфициентов","Контроль значений функции"} }}],

{W¡dget["Labe!",{"text"->"Время вычисления:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"-

>"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"],"ed¡tab!e"->"fa!se"},Name->"T¡meF¡e!d"],

W¡dget["Labe!",{"text"->"Значение q:"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"->"10","hor¡zonta!A!¡gnment"->PropertyVa!ue["RIGHT"],"ed¡tab!e"->"fa!se"},Name->"QF¡e!d"],

W¡dget["Labe!",{"text"->"Корректность и точность исходных

данных"}],W¡dget["TextF¡e!d",{"co!umns"->"10","hor¡zonta!A!¡gnment"-

>PropertyVa!ue["RIGHT"],"ed¡tab!e"->"fa!se"},Name->"QR"],

W¡dgetGroup[{{W¡dget["Labe!",{"text"->"Диапазоны аргументов для построения графика базисной

узловой функции"}],

{

Widget["Label",{"text"->"Xmin"}],Widget["TextField",{"columns"->"20","horizontalAlignment"->PropertyValue["RIGHT"]},Name->"Xmin"],Widget["Label",{"text"->"Xmax"}],Widget["TextField",{"columns"->"20","horizontalAlignment"->PropertyValue["RIGHT"]},Name->"Xmax"],

Widget["Button",{"Text"->"nocrpoHTb график",

BindEvent["Action",

Script[ Plotting[]]]}]},

tabl=Widget["ImageLabel",{"data"->Script[ExportString[ Plot[{},{x,-5,5}(*,PlotRange\[Rule]{-1*10A-4,1.5*10A-4}*),PlotStyle->{Red}], "GIF",ImageSize->{500,320}]]

},Name-> "Mygraf"]}},WidgetLayout->{"Border"->"Построение графика"}]}},

BindEvent["endModal",Script[fields={"SField","NField","eField","TimeField","QField"};(#1->ToExpression[PropertyValue[{#1,"text"}]]&)/@fields]],

Script[calculateRes[]:=Module[{s,n,e,q},{s,n,e,q}=ToExpression/@PropertyValue[{{"SField","NField","eFi eld","QField"},"text"}];

If[ s>0 && n>0&& e>0 ,{norm=ans[[1]];

qokr=qs[10,s];

timev=N[First[Timing[pk = vychpk[qs[e,s], n]]]]; pk[[0]] = pk[[n + 1]];If[N[pk[[1]],50]-N[pk[[2*n+1]],50]!=0,norm=ans[[3]]];

gk=vychdzp[pk,s,n];

datapg=Table[{w-n,mySF[pk[[w-n]]],mySF[gk[[w]]]},{w,0,2*n,1}]; y1=vychy[gk,s,n];

SetPropertyValue[{"TimeField","text"},ToString[timev,InputForm,NumberMarks->False]]; SetPropertyValue[{"QField","text"},ToString[qokr,InputForm,NumberMarks->False]]; SetPropertyValue[{"myTableModel", "columnIdentifiers"}, {"k","p(k)","g(k)"}];

SetPropertyValue[{"myTableModel", "items"},

Table[ToString[datapg[[i+n,j]],NumberMarks->False],{i,1,n+1},{j,1,3}]]; } ,norm=ans[[2]],norm=ans[[2]]]; SetPropertyValue[{"QR","text"},norm]; SetPropertyValue[{"myXModel", "columnIdentifiers"},

{"x","y"}]; ]],

Script[Plotting[]:=Module[{xmn,xmx},{xmn,xmx}=ToExpression/@PropertyValue[{{"Xmin'',''Xmax''},''text

If[xmn==xmx,SetPropertyValue[{"QR","text"},ans[[5]]],SetPropertyValue[{"Mygraf","data"},ExportString[ Plot[{y1},{x,xmn,xmx},PlotStyle->{Red}], "GIF",ImageSize-

>{500,320}]];SetPropertyValue[{"QR","text"},ans[[1]]],SetPropertyValue[{"QR","text"},ans[[2]]]]

]],

Script[schetY[]:=Module[{xtmn,xtmx},{xtmn,xtmx}=ToExpression/@PropertyValue[{{"Xtmin","Xtmax"},"t ext"}];

If[xtmn>=xtmx,

SetPropertyValue[{"QR","text"},ans[[4]]],SetPropertyValue[{"myXModel", "items"}, Table[{ToString[x,NumberMarks->False],ToString[mySF[y1],NumberMarks-

>False]},{x,xtmn,xtmx}]];SetPropertyValue[{"QR","text"},ans[[1]]],SetPropertyValue[{"QR","text"},ans[[2] ]]];

]] }],

IncludedScriptContexts->{"Globar"} ];

Приложение 3 . Свидетельства о государственной регистрации программ.

Аннотация программы:

Многофункциональная программа для построения, визуализации и оценки точности приближений при разложении цифровых сигналов по целочисленным сдвигам функции Гаусса.

В программе реализован один из современных методов аппроксимации функций, основанный на приближении целочисленными сдвигами функций Гаусса - квадратичными экспонентами. Использован основной вариант метода, основанный на применении узловых функций. Расчёт по существующим в теории аналитическим формулам очень сложен и численно практически не реализуем. Используется численный алгоритм, основанный на решении системы линейных уравнений специального вида для нахождения коэффициентов разложения и формирования приближающей суммы по квадратичным экспонентам.

Программа предназначена для разложения, последующих аппроксимаций, оценке точности и визуализации цифровых сигналов произвольного вида методом квадратичной экспоненциальной

интерполяции. Программа обеспечивает выполнение следующих функций: разложение отдельных или смеси сигналов по функциям Гаусса, анализ точности вычислений, визуализацию полученных разложений в виде графиков с заданными параметрами Программа функционирует под ОС Windows версий 7 и выше вплоть до версии Windows 10.

Аннотация программы:

Вычислительная реализация построения и анализа узловой функции в методе аппроксимации цифровых сигналов целочисленными сдвигами квадратичных экспонент.

В данной программе реализован один из современных методов аппроксимации функций, основанный на приближении целочисленными сдвигами функций Гаусса - квадратичных экспонент. Использован основной вариант метода, основанный на применении узловых функций. Расчёт по существующим в теории аналитическим формулам очень сложен и численно практически не реализуем. Поэтому используется численный алгоритм, основанный на решении системы линейных уравнений специального вида для нахождения коэффициентов узловой функции с большой точностью.

Программа предназначена для вычисления узловой функции в методе квадратичной экспоненциальной интерполяции в теории сигналов. При этом программа может применяться к цифровым сигналам достаточно произвольной природы. Программа обеспечивает выполнение следующих функций: вычисление коэффициентов узловых функций при заданном параметре метода, при заданной произвольной точности вычислений, а также визуализацию вычисленных результатов на графике. Программа функционирует под ОС Windows версий 7 и выше вплоть до версии Windows 10.

Приложение 4. Акты о внедрении результатов диссертационной работы.

утверждаю

;ку уво гу

по Воронежской области 'полиций.

.......щ

= ГП

В. Проскурин '5 г.

АКТ

внедрения результатов диссертации капитана полиции Тимашова A.C.

«Моделирование цифровых сигналов методами квадратичной экспоненциальной интерполяции».

Мы, нижеподписавшиеся, начальник ООВиЭИТСОиБ подполковник полиции Спиридонов Е.В., главный специалист ООВиЭИТСОиБ майор полиции Лисянский P.O. составили настоящий акт о том, что в ходе проведения пусконаладочных работ и дальнейшей эксплуатации современного ретрансляционного оборудования систем передачи извещений для организации цифрового канала связи ретранслятор — пункт централизованной охраны, а также при осуществлении конфигурирования устройств оконечных объектовых с целью обеспечения максимальной помехоустойчивости и достоверности передаваемой информации были использованы результаты диссертационной работы Тимашова A.C., в том числе:

1. Практические рекомендации по моделированию цифровых сигналов методами квадратичной экспоненциальной интерполяции.

2. Теоретические и практические рекомендации по использованию моделей фильтрации цифровых сигналов на основе использования разложений по Гауссианам.

3. Практические рекомендации по сжатию цифровых сигналов методами квадратичной экспоненциальной интерполяции и возможности экономии средств на основе предложенных методов, разработанных в диссертации.

Начальник ООВиЭИТСОиБ ФГКУ УВО ГУ МВД России по Воронежской облает и ГI од I юл ко в н и к п ол и ци и

Главный специалист ООВиЭИТСОиБ ФГКУ УВО ГУ МВД России по Воронежской области майор полиции

Е.В. Спиридонов

P.O. Лисянский

УТВЕРЖДАЮ

Научный руководитель ДбМК^нцерн «Созвездие»

В. И. Борисов

2015 г.

АКТ

об использовании результатов кандидатской диссертации старшего инженера ООВиЭИТСОиБ УВО ГУ МВД России по Воронежской области Тимашова Александра Сергеевича «Моделирование цифровых сигналов методами квадратичной экспоненциальной интерполяции»

Комиссия в составе: председателя - зам. начальника научно-технического управления, доктора физико-математических наук А. Б. Му-равника, членов комиссии — начальника отдела А. В. Калашникова и начальника отдела JI. Н. Касаткиной, установила, что результаты диссертации A.C. Тимашова в части

- методики и практических рекомендаций по применению методов квадратичной экспоненциальной интерполяции при математическом моделировании;

- методических и практических рекомендаций по использованию разложений по Гауссианам в математических моделях;

- практических рекомендаций по применению методов квадратичной экспоненциальной интерполяции и возможности экономии средств на основе предложенных методов, разработанных в диссертации,

использованы в АО «Концерн «Созвездие» в задачах интегрированной логистической поддержки и оптимизации затрат, возникающих при выполнении плановых НИОКР.

Председатель комиссии:

Члены комиссии:

А. В. Калашников

Л. Н. Касаткина

А. Б. Муравник