Восстановление скорости продольной волны в вертикально-неоднородной градиентной среде по данным быстрых поверхностных волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат наук Пономаренко, Андрей Валерьевич

• Пономаренко, Андрей Валерьевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Пономаренко, Андрей Валерьевич

Содержание

Введение

1 Поверхностные волны в сейсморазведке

1.1 Основные типы и свойства поверхностных волн

1.2 История применения поверхностных волн

1.3 Метод обращения поверхностных волн

1.4 Интерференционные рефрагированные волны

2 Расчётные модели вертикально-неоднородных градиентных сред

2.1 О выборе модели

2.2 Вывод дисперсионных уравнений методом Фурье

2.2.1 Модель слоя с линейным уменьшением квадрата медленности

на однородном полупространстве (однослойная модель)

2.2.2 Двухслойная модель с линейным уменьшением квадрата медленности

в каждом слое на однородном полупространстве (двухслойная модель)

3 Примеры решения обратной задачи сейсмики по данным численного моделирования

3.1 Задание функционала невязки

3.2 Обращение дисперсионных кривых интерференционных рефрагированных волн

в однослойной модели

3.3 Оценка скоростного строения вертикально-неоднородной среды

3.4 Построение начальной модели для восстановления скоростного строения среды методом полного обращения волнового поля

4 Оценка скоростного строения среды по полевым данным

4.1 Обращение дисперсионных кривых в рамках однослойной модели

4.2 Обращение дисперсионных кривых в рамках двухслойной модели

Заключение

Благодарности

Список сокращений и условных обозначений

Список рисунков

Список таблиц

Литература

Приложение А Некоторые расчёты, не вошедшие в основной текст

А.1 Вывод уравнения Эйри

А.2 Вывод дисперсионного уравнения интерференционных рефрагированных волн

в однослойной модели

А.3 Вывод дисперсионного уравнения интерференционных рефрагированных волн

в двухслойной модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление скорости продольной волны в вертикально-неоднородной градиентной среде по данным быстрых поверхностных волн»

Введение

Актуальность и научная значимость исследований. Восстановление строения геологической среды и построение её изображений по наблюдениям волнового поля составляют основную задачу сейсмических исследований. Для решения этой задачи, которую часто называют «обращением» волнового поля или просто обратной задачей сейсмики, применяют разнообразные методы съёмки и обработки сейсмических данных. Однако сложное строение верхней части разреза (ВЧР) может существенно влиять как на качество зарегистрированных данных волнового поля, так и на качество их обращения. Например, использование методов лучевой и дифракционной томографии [27; 29; 59] в значительной степени зависит от наличия опорной скоростной модели. В случае несоответствия опорной модели действительному строению среды велика вероятность получения ошибочных результатов в определении положения и параметров искомых объектов, таких как залежи полезных ископаемых.

В последнее время для восстановления строения исследуемой среды широкое распространение получил метод полного обращения волнового поля [30; 59; 82], в котором в качестве исходных данных используется всё зарегистрированное волновое поле. Этот метод требует задания начальной модели среды, с которой начинается итерационная процедура поиска минимума невязки между наблюдаемым и моделируемым волновыми полями. Как и опорная модель для томографических методов, начальная модель среды для применения метода полного обращения волнового поля должна быть как можно ближе к истинной, особенно для ВЧР, что затруднено в случае его сложного геологического строения. Такая модель может быть получена из имеющихся априорных данных, например, по исследованию строения кернов опорных скважин. Другой возможный способ основан на обработке поля поверхностных волн.

При наземных сейсмических наблюдениях поверхностные волны составляют значительную часть регистрируемого волнового поля, но часто считаются лишь вредным шумом, который «маскирует» полезные отражённые сигналы. Однако именно поверхностные (интерференционные) волны, распространяясь в толще ВЧР, содержат информацию о его строении.

Метод обращения интерференционных поверхностных волн (в дальнейшем изложении «метод обращения поверхностных волн») основан на свойстве дисперсии интерференционных волн — зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты. Условно метод обращения поверхностных волн можно разделить на три этапа: получение экспериментальных данных, построение дисперсионных кривых поверхностных волн и последующее их обращение для восстановления параметров среды. В качестве модели среды обычно используют модель из горизонтально-однородных линейно-упругих слоёв (в дальнейшем изложении — многослойная модель). Для такой модели среды можно получить аналитическое описание волновых полей и дисперсионное уравнение интерференционных поверхностных волн при помощи матричного метода, предложенного в 1950-х гг. В. Томсоном (W. Thomson) и Н. Хаскеллом (N. Haskell) [21; 48; 80]. Данный метод позволяет рассчитывать теоретические дисперсионные кривые поверхностных волн путём поиска корней дисперсионного уравнения и приводит к простой процедуре обращения дисперсионных кривых, выделенных из экспериментальных данных.

Обычно искомым параметром является профиль скорости поперечной волны, так как основные регистрируемые интерференционные поверхностные волны — волны Рэлея и волны Лява — чувствительны в основном к значениям скорости поперечной волны, а для расчёта их теоретических дисперсионных кривых чаще всего достаточно рассмотрения только вещественных корней дисперсионных уравнений. Профиль скорости продольной волны может быть восстановлен по данным быстрых поверхностных волн (в англоязычной литературе встречается обозначение P-guided waves), но основная сложность заключается в необходимости определения комплексных корней дисперсионного уравнения. Таким образом, разработка альтернативного метода для восстановления профиля скорости продольной волны по данным быстрых поверхностных волн является интересной и актуальной задачей.

В настоящее время метод обращения поверхностных волн широко применяется в разведочной и инженерной сейсморазведке для восстановления скоростного строения среды [34; 35; 37; 73]. Для получения горизонтально-неоднородной модели, используют данные перекрывающих съёмок и различные методы интерполяции локальных горизонтально-однородных моделей по профилю наблюдений [31; 36; 55].

Несмотря на распространённость применения горизонтально-однородной многослойной модели, она характеризуется большим количеством параметров, что может приводить к неоднозначности при решении обратной задачи и существенно влиять на время её решения. Для уменьшения количества модельных параметров представляется актуальным использование градиентных моделей вертикально-неоднородной среды, в которых значение скорости

непрерывно увеличивается с глубиной. В таких средах распространяются рефрагированные волны [14; 56], особенностью которых является возвращение лучей к поверхности. При наличии в градиентной среде отражающих границ рефрагированные волны могут интерферировать и образовывать интерференционные волны, аналогичные интерференционным поверхностным волнам. В таком случае для изучения строения среды на основе поверхностных наблюдений можно использовать методы обработки интерференционных поверхностных волн. Применение градиентной модели среды может быть предпочтительнее многослойной и в качестве начальной скоростной модели для метода полного обращения волнового поля [64; 82]. Это предположение подтверждалось при тестировании работы программного кода, реализующего метод полного обращения волнового поля на данных численного моделирования. Оказалось, что использование гладкой начальной модели позволяет с большей вероятностью найти глобальный минимум функционала невязки. Таким образом, изучение возможности получения непрерывной скоростной модели среды по данным поверхностных наблюдений представляет большой практический интерес.

Целью диссертационной работы является разработка метода восстановления профиля скорости продольной волны в рамках непрерывных вертикально-неоднородных градиентных моделей по данным быстрых поверхностных волн.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать применение метода обращения поверхностных волн в вертикально-неоднородных моделях среды, в том числе, в градиентных моделях.

2. Исследовать аналитическое описание волновых полей в градиентных моделях среды.

3. Разработать комплекс программ и алгоритмов, реализующих обращение быстрых поверхностных волн для восстановления профиля скорости продольной волны в рамках градиентных моделей и протестировать его на данных численного моделирования.

4. Применить разработанный алгоритм при обработке данных полевого сейсмического эксперимента с целью получения оценки профиля скорости продольной волны реальной среды.

Объём и структура работы: Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и одного приложения. Полный объем диссертации составляет 103 страницы с 35 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 88 наименований.

В первой главе содержится обзор применения поверхностных волн для решения задачи восстановления параметров исследуемой среды.

В параграфе 1.1 рассмотрены основные типы и свойства поверхностных волн, используемых в приповерхностной сейсморазведке: волны Рэлея и Стоунли на границах однородных сред, интерференционные волны Рэлея на поверхности вертикально-неоднородной среды, а также их представление как совокупности нормальных и просачивающихся мод, быстрые поверхностные волны, волны Шолте и волны Лява.

В параграфе 1.2 приведён краткий обзор применения поверхностных волн в задачах сейсмологии, сейсморазведки, инженерной геофизики для изучения свойств и строения среды. Показано, что в настоящее время продолжается развитие методов обработки и обращения поверхностных волн.

В параграфе 1.3 представлено описание метода обращения поверхностных волн для восстановления параметров скоростной модели исследуемой среды. Метод заключается в минимизации невязки между экспериментальными дисперсионными кривыми, полученными из сейсмических данных, и расчётными дисперсионными кривыми, построенными методом численного поиска корней дисперсионного уравнения поверхностных волн. Используя дисперсионные кривые разных типов поверхностных волн, можно восстановить профиль скорости продольной и поперечной волн. Существует проблема сопоставления экспериментальных дисперсионных кривых с теми или иными волновыми модами и соответствия их расчётным дисперсионным кривым. В данном параграфе обсуждаются способы решения этой проблемы, в том числе, путём задания специального функционала невязки.

В параграфе 1.4 описаны основные свойства рефрагированных волн в градиентных средах и представлен краткий обзор исследований по их применению. Отмечено, что при наличии в градиентной среде свободной поверхности, а также отражающих границ, волновое поле может рассматриваться как поле интерференционных рефрагированных волн. Для решения обратной задачи оценки скоростного строения среды по наблюдениям таких волн на её поверхности может быть использован метод обращения поверхностных волн, описание которого приведено в параграфе 1.3.

Во второй главе рассмотрены модели вертикально-неоднородных градиентных сред для оценки скоростного строения среды и выведены дисперсионные уравнения интерференционных рефрагированных волн.

В параграфе 2.1 обоснован выбор моделей вертикально-неоднородной среды при линейном уменьшении квадрата медленности с глубиной (при наличии градиента квадрата медленности).

В параграфе 2.2 приведено решение волнового уравнения для вертикально-неоднородной акустической среды при линейном уменьшении квадрата медленности с глубиной и

постоянной плотностью. Рассмотрены: модель слоя с линейным уменьшением квадрата медленности при увеличении глубины, ограниченного свободной поверхностью и однородным полупространством (однослойная модель), и модель, состоящая из двух слоёв, ограниченных свободной поверхностью и однородным полупространством; в каждом слое квадрат медленности уменьшается по линейному закону при увеличении глубины (двухслойная модель). Для этих моделей методом Фурье выведены дисперсионные уравнения интерференционных рефрагированных волн. Проведён анализ поведения вещественных корней дисперсионного уравнения в однослойной модели; каждый корень на определённой частоте соответствует значению фазовой скорости нормальной моды, бегущей вдоль поверхности среды.

В третьей главе рассмотрены примеры численного моделирования, которые показывают возможность использования метода обращения быстрых поверхностных волн для оценки профиля скорости продольной волны в акустических и упругих средах с малым отношением значения скорости поперечной волны к значению скорости продольной волны (р3/ур) предложенной в параграфе 2.2 однослойной моделью с линейным уменьшением квадрата медленности с глубиной.

В параграфе 3.1 задан функционал невязки для последующих примеров решения обратной задачи. Функционал составлен из значений левой части дисперсионного уравнения, вычисленных в точках экспериментальных дисперсионных кривых. Это позволяет проводить совместное обращение дисперсионных кривых напрямую, без сопоставления с номерами волновых мод.

В параграфе 3.2 рассмотрены модели акустической и упругой среды с малым отношением в которых скоростные профили определяются однослойной моделью с линейным законом уменьшения с глубиной квадрата медленности. Показано, что дисперсионное уравнение интерференционных рефрагированных волн в акустической модели можно применить также и для описания дисперсионных кривых быстрых поверхностных волн в упругой среде с малым отношением ь3/ур. Проведено обращение расчётных дисперсионных кривых интерференционных рефрагированных волн (акустических нормальных мод) для восстановления профиля скорости продольной волны в рассмотренных моделях.

В параграфе 3.3 показан пример оценки профиля скорости продольной волны вертикально-неоднородной акустической среды. Пикированы две дисперсионные кривые поверхностных волн и проведено их обращение (как каждой из них, так и совместное). Использование взвешенного функционала невязки при совместном обращении дисперсионных кривых позволило получить наилучшее совпадение между пикированными и расчётными

дисперсионными кривыми, а также оценку скоростного профиля, которая хорошо согласуется с модельным скоростным профилем.

В параграфе 3.4 на нескольких примерах рассмотрено восстановление скоростного строения акустической вертикально-неоднородной среды методом полного обращения волнового поля. Начальные модели распределения скорости с глубиной для использования этого метода были определены в результате обращения дисперсионных кривых интерференционных поверхностных волн в рамках предложенной однослойной модели с градиентом квадрата медленности. Полученные результаты подтверждают возможность использования предложенной однослойной модели в качестве начальной модели распределения скорости с глубиной для восстановления скоростного строения среды методом полного обращения волнового поля.

В четвёртой главе проведена оценка профиля скорости продольной волны обращением быстрых поверхностных волн из экспериментальных полевых данных наземной сейсмики в рамках предложенных в параграфе 2.2 однослойной и двухслойной моделей с линейным уменьшением квадрата медленности при увеличении глубины в каждом слое. Экспериментальные данные были сняты на местности, скоростной разрез которой характеризуется малым отношением у3/ур. В такой среде быстрые поверхностные волны легко разделяются на сейсмограмме по времени с волнами Рэлея, а в &-области эти два типа волн проявляются в виде двух групп спектральных максимумов. По наблюдаемым максимумам ^-спектра пикировано восемь дисперсионных кривых (мод) быстрых поверхностных волн и проведено их обращение в рамках предложенных скоростных моделей.

В параграфе 4.1 проведено обращение пикированных дисперсионных кривых быстрых поверхностных волн и получена оценка профиля скорости продольной волны в рамках однослойной модели с линейным уменьшением квадрата медленности при увеличении глубины. Перед решением обратной задачи исследованы закономерности поведения дисперсионных кривых интерференционных рефрагированных волн в предложенной однослойной модели. В результате выявлено, что имеющийся набор пикированных дисперсионных кривых не может быть описан расчётными дисперсионными кривыми нормальных мод однослойной модели. В связи с этим проведено разделение пикированных кривых на две группы. К первой группе отнесены первые три пикированные дисперсионные кривые, считая от больших к меньшим значениям волнового числа. Они названы верхними модами. Ко второй группе отнесены все остальные пикированные кривые. Они названы нижними модами. Вторая группа кривых содержит информацию о более глубокой части скоростного разреза. Интервалы изменения модельных параметров для минимизации функционалов невязки мод из каждой группы кривых определены на основании проведённого предварительного анализа, который

также позволил получить приблизительную аппроксимацию строения среды. Для проверки полученных результатов использован сравнительный скоростной профиль, полученный в рамках многослойной модели среды. Оказалось, что восстановленные скоростные профили, полученные в результате обращения верхних и нижних мод, не описывают в должной мере сравнительный профиль и дают правильную оценку только тенденции изменения скорости с глубиной в верхней части разреза. При этом расчётные дисперсионные кривые объясняют лишь часть пикированных кривых. Таким образом, сделан вывод, что используемая однослойная модель недостаточна для описания скоростного строения среды в рассмотренном случае. Необходимо использовать более сложную модель, например, двухслойную модель с линейным уменьшением квадрата медленности при увеличении глубины в каждом слое.

В параграфе 4.2 проведено обращение пикированных дисперсионных кривых быстрых поверхностных волн и получена оценка профиля скорости продольной волны в рамках двухслойной модели с линейным уменьшением квадрата медленности при увеличении глубины в каждом слое. Рассмотрено совместное обращение верхних (за исключением первой) и нижних мод, а также обращение только нижних мод для разных интервалов изменения модельных параметров. В первом случае расчётные дисперсионные кривые соответствуют лишь двум верхним модам. Это приводит к существенному различию между полученным и сравнительным скоростными профилями. Во втором случае удалось подобрать такие интервалы изменения параметров, в которых функционал невязки имел глобальный минимум, соответствующий подходящему решению. В этом случае пикированные дисперсионные кривые описываются расчётными кривыми, но часть из расчётных кривых при этом являются артефактами. Однако полученный скоростной профиль, представляющий сглаженную кусочно-непрерывную оценку скоростного строения среды, значительно лучше согласуется с сравнительным профилем как для верхней, так и для нижней частей скоростного разреза. В результате оказалось возможным получить довольно точную оценку профиля скорости продольной волны в исследуемой среде в рамках предложенной двухслойной модели. Научная новизна:

1. Предложен метод получения гладкой оценки скоростного профиля продольной волны для акустических и упругих сред с малым отношением у3/ур с использованием обращения дисперсионных кривых быстрых поверхностных волн в рамках моделей с линейным уменьшением квадрата медленности при увеличении глубины.

2. Предложенный метод опробован на данных численного моделирования и затем применён для оценки профиля скорости продольной волны по полевым экспериментальным данным.

3. Модель с линейным уменьшением квадрата медленности при увеличении глубины, ограниченная свободной поверхностью и однородным полупространством, применена в качестве начальной модели распределения скорости с глубиной для метода полного обращения волнового поля по данным численного моделирования.

Научная и практическая значимость. В диссертационной работе рассмотрены модели непрерывной вертикально-неоднородной акустической среды, состоящие из одного и двух слоёв, значение скорости в которых изменяется в соответствии с законом линейного уменьшения квадрата медленности при увеличении глубины; слои ограничены свободной границей и однородным полупространством. Эти модели можно обобщить на соответствующую многослойную модель, и представить её как интерпретационную модель приповерхностного волновода.

Простейший вариант модели такого волновода — рассмотренная однослойная модель, она может быть использована как альтернатива широко используемой модели вертикально-неоднородной среды, в которой значение скорости изменяется с глубиной по линейному закону. При этом её преимуществом является наличие более простых аналитических представлений для волновых полей, позволяющих получить дисперсионные уравнения интерференционных рефрагированных волн, выраженные через функции Эйри вещественного аргумента.

На основании данных численного моделирования показано, что обращение быстрых поверхностных волн позволяет получить оценку профиля скорости продольной волны в акустических, а также упругих средах с плавным увеличением значения скорости с глубиной при малом отношении ь8/ьр (такими параметрами характеризуются, например, водонасыщенные приповерхностные структуры) в рамках предложенной модели приповерхностного волновода. Для практической иллюстрации проведена обработка данных полевого эксперимента, в результате чего получены оценки скоростного профиля продольной волны реальной среды в рамках рассмотренных однослойной и двухслойной моделей. Одна из оценок, полученная в рамках двухслойной модели, согласуется со скоростным профилем, построенным в рамках многослойной модели из горизонтально-однородных слоёв, но представляет собой более гладкую кривую и описывается меньшим количеством параметров.

Особый практический интерес представляет использование предложенной модели приповерхностного волновода в качестве начальной модели распределения скорости с глубиной для метода полного обращения волнового поля, так как для этого метода начальная гладкая непрерывная скоростная модель предпочтительнее сглаженной кусочно-непрерывной модели,

получаемой методом обращения поверхностных волн в рамках многослойной модели из горизонтально-однородных слоёв.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложена интерпретационная модель приповерхностного акустического волновода на основании рассмотренных однослойной и двухслойной акустических сред при линейном уменьшении квадрата медленности с глубиной в каждом слое.

2. Для упругих сред с малым отношением vs/vp обращение быстрых поверхностных волн позволяет получить гладкую оценку профиля скорости продольной волны в рамках предложенной модели приповерхностного акустического волновода.

3. Предложенная модель приповерхностного акустического волновода может служить в качестве начальной модели распределения скорости с глубиной в методе полного обращения волнового поля.

Аппробация работы и степень достоверности результатов. Вопросы подготовки и проведения исследований, а также полученные результаты обсуждались на научных семинарах кафедры физики Земли физического факультета СПбГУ и факультета геофизики Свободного университета Берлина (FU Berlin). Основные результаты проведённых исследований были представлены на международных конференциях:

• 75th EAGE Conference & Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013, London, UK, 10-13 June 2013 [77];

• Near Surface Geoscience 2013 -- 19th European Meeting of Environmental and Engineering Geophysics, Bochum, Germany, 9-11 September 2013 [44];

• Near Surface Geoscience 2014 — 20th European Meeting of Environmental and Engineering Geophysics, Athens, Greece, 14-18 September 2014 [74];

• Сейсмические Технологии-2015, Москва, институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, 13-15 апреля 2015 г;

• Near Surface Geoscience 2015 - 21th European Meeting of Environmental and Engineering Geophysics, Turin, Italy, 6-10 September 2015 [43].

Личный вклад.

Автор принимал активное участие в тестировании программного обеспечения, необходимого для численного моделирования распространения волновых полей и решения обратной

задачи сейсмики по восстановлению скоростного строения среды методом полного обращения волнового поля.

Автором самостоятельно получены дисперсионные уравнения интерференционных рефрагированных волн в предложенных моделях среды и решена задача оценки профиля скорости продольной волны в акустических и упругих средах с малым отношением vs/vp методом обращения быстрых поверхностных волн в рамках предложенных моделей. Для этого автор написал программы на языке программирования FORTRAN и в среде MATLAB для нахождения вещественных корней полученных дисперсионных уравнений, составляющих расчётные дисперсионные кривые, а также программу в среде MATLAB для обращения экспериментальных дисперсионных кривых быстрых поверхностных волн и получения оценки скорости продольной волны в рамках предложенных моделей.

Все представленные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изданиях [11; 43; 44; 59; 74; 77; 78], 2 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [11; 59], 1 — в журнале Geophysical Prospecting [78], индексируемом в наукометрической базе Web of Science, 4 — в сборниках тезисов докладов, индексируемых в наукометрической базе Scopus [43; 44; 74; 77].

Глава 1

Поверхностные волны в сейсморазведке

1.1 Основные типы и свойства поверхностных волн

Первые исследования волн, распространяющихся у поверхности Земли, были начаты в конце XIX - начале XX века. В 1885 году лорд Рэлей (Lord Rayleigh) [68] открыл существование волны в однородной упругой среде на границе с вакуумом. При её распространении частицы среды совершают как продольные, так и вертикальные поперечные (SV) колебания, описывая эллиптические траектории в вертикальной плоскости, перпендикулярной поверхности среды. С увеличением глубины амплитуды колебаний уменьшаются по экспоненциальному закону, аналогично уменьшаются и радиусы эллиптических траекторий. Такая волна позже была названа волной Рэлея. Её скорость не зависит от частоты сигнала и определяется лишь параметрами среды.

На границе между двумя однородными упругими средами может существовать волна с похожими свойствами: её скорость не зависит от частоты сигнала, а амплитуда убывает экспоненциально при удалении от границы раздела [12]. Эту волну описал в 1924 году британский сейсмолог Роберт Стоунли (Robert Stoneley) [75], и позже в честь него она получила название волны Стоунли. В отличие от волны Рэлея, эта волна существует лишь при условии, что скорости поперечных волн в обоих средах приблизительно равны [1]. В частном случае на границе однородных жидкости и упругой среды теорию распространения волны Стоунли исследовал голландский сейсмолог Дж.Г. Шолте (J.G. Scholte) в 1940-х годах [71; 72]. В настоящее время волна Стоунли на границе жидкости и упругой среды называется волной Шолте.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пономаренко, Андрей Валерьевич, 2017 год

Литература

1. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология: Теория и методы. Т. 1 / пер. с англ. А. В. Левшина. — М. : Мир, 1983. — 520 с.

2. Алексеев A. С. Задачи типа Лэмба для волнового уравнения в линейно-неоднородном полупространстве // Учёные записки ЛГУ. — 1958. — № 246. — С. 167—227.

3. Алексеев А. С., Гельчинский Б. Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн / под ред. Г. И. Петрашеня. — 1959. — Вып. 3. — С. 107—160.

4. Бабич В. М., Чихачев Б. А., Яновская Т. Б. Поверхностные волны в вертикально-неоднородном упругом полупространстве со слабой горизонтальной неоднородностью // Физика Земли. — 1976. — № 4. — С. 24—31.

5. Бондарев В. И. Основы сейсморазведки. — Екатеринбург : Изд-во УГГГА, 2003. — 332 с.

6. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. — М. : Наука, 1973. — 343 с.

7. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. — М. : Наука, 1989. — 416 с.

8. Вавилова Т. И. Решение обратной кинематической задачи для случая наклонного градиента скорости распространения упругих волн // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн / под ред. Г. И. Петрашеня. — 1962. — Вып. 4. — С. 110—120.

9. Валюс В. П., Кейлис-Борок В. И., Левшин А. Л. Определение скоростного разреза верхней мантии Европы // ДАН СССР. — 1969. — Т. 185, № 3. — С. 564—567.

10. Волин А. П. Об одном качественном способе интерпретации рефрагированных волн при рудной сейсморазведке // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн / под ред. Г. И. Петрашеня. — 1964. — Вып. 7. — С. 234—248.

11. Восстановление профиля скорости продольной волны методом обращения поверхностных волн / А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан, В. Н. Троян, В. А. Мулдер // Вестник СПбГУ. Серия 4. — 2014. — Т. 1 (59). — С. 21—32.

12. Геологический словарь. В трёх томах. — 3-е изд. — СПб. : ВСЕГЕИ, 2010-2012. — URL: http://www.vsegei.ru/ru/info/geodictionary/.

13. Голицин Б. Б. Лекции по сейсмометрии. — СПб. : Тип. Имп. АН, 1912. — 654 с.

14. Гурвич И. И., Боганик Г. Н. Сейсмическая разведка. — М. : Недра, 1980. — 551 с.

15. Добрин М. Дисперсия поверхностных сейсмических волн // Вопросы сейсмической разведки. — 1953.

16. Итс Е. Н., Яновская Т. Б. Определение коэффициентов отражения и преломления поверхностных волн на вертикальном контакте с помощью функций Грина // Физика Земли. — 1976. — № 6. — С. 11—21.

17. Кейлис-Борок В. И. Интерференционные поверхностные волны. — М. : Изд-во АН СССР, 1960.

18. Комбинирование отражённых и рефрагированных волн при томографической инверсии одномерной модели анизатропной сейсмической среды / К. В. Быков, Г. Чаурис, В. Н. Троян, Ю. В. Киселёв // Вопросы Геофизики. — 2005. — Т. 38. — С. 3—11.

19. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. — М. : Наука, 1980. — 304 с.

20. Левшин А. Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны. — М. : Наука, 1973. — 176 с.

21. Молотков Л. А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. — Л. : Наука, 1984. — 201 с.

22. Озеров Д. К. Графо-аналитический метод решения обратных задач в случае некоторых неоднородных сред // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн / под ред. Г. И. Петрашеня. — 1962. — Вып. 6. — С. 11—22.

23. Озеров Д. К. Теоретико-экспериментальное исследование волн Лява. Ч. I: Теория // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн / под ред. Г. И. Петрашеня. — 1959. — Вып. 2. — С. 52—78.

24. Озеров Д. К., Волин А. П. Теоретико-экспериментальное исследование волн Лява. Ч. II: Эксперимент // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн / под ред. Г. И. Петрашеня. — 1959. — Вып. 2. — С. 79—94.

25. Петрашень Г. И., Енальский В. А. О некоторых интерференционных явлениях в средах, содержащих тонкие плоско-параллельные слои // Изв. АН СССР. Серия: геофизика. — 1956. — № 9, 10, 11.

26. Петрашень Г. И., Молотков Л. А., Крауклис П. В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. — Л. : Наука, 1985. — 302 с.

27. Петрашень Г. И., Нахамкин С. А. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки. — Л. : Наука, 1973. — 170 с.

28. Сейсморазведка. Справочник геофизика / под ред. И. И. Гурвича, В. Б. Номоконова. — М. : Недра, 1981. —464 с.

29. Троян В. Н. Принципы решения обратных геофизических задач. — СПб. : Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. — 197 с.

30. Чеверда В. А. Восстановление скоростного строения неоднородных сред методом полного обращения волновых сейсмических полей: дис... д-ра физ.-мат. наук. — Новосибирск, 2009. — 262 с.

31. 1.5-D Inversion of lateral variation of Scholte wave dispersion / T. Bohlen, G. Kugler, G. Klein, F. Theilen // Geophysics. - 2004. - Vol. 69, no. 1. - Pp. 330-334.

32. A new approach for multimodal inversion of Rayleigh and Scholte waves / M. Maraschini, F. Ernst, D. Boiero, S. Foti, L. V. Socco // 70th EAGE Conference and Exhibition, Extended Abstracts, D036. - 2008.

33. Albertin U. Turning ray migration via Airy functions // 62nd SEG Annual Conference and Exhibition, Expanded Abstracts. — 1992.

34. Bedrock mapping in shallow environments using surface-wave analysis / D. Boiero, L. V. Socco, S. Stocco, R. Wisen // The Leading Edge. - 2013. - Vol. 32, no. 6. - Pp. 664-673.

35. Boiero D., Socco L. V. P- and S-wave velocity model retrieved by multi-modal surface wave analysis // 71th EAGE Conference and Exhibition, Extended Abstracts, T010. - 2009.

36. Boiero D., Socco L. V. Retrieving lateral variations from surface wave dispersion curves // Geophysical Prospecting. - 2010. - Vol. 58. - Pp. 977-996.

37. Boiero D., Wiarda E., Vermeer P. Surface and guided-wave inversion for near-surface modeling in land and shallow marine seismic data // The Leading Edge. - 2013. - Vol. 32, no. 6. -Pp. 638-647.

38. Cercato M. Global surface wave inversion with model constraints // Geophysical Prospecting. — 2011. - Vol. 59. — Pp. 210-226.

39. Cerveny V. Seismic ray theory. — Cambridge University Press, 2001. — 713 pp.

40. Ernst F. Long-wavelength statics estimation from guided waves // 69th EAGE Conference and Exhibition, Extended Abstracts, E033. — 2007.

41. Ernst F. Modal elastic inversion // 75th EAGE Conference and Exhibition, Extended Abstracts, Th 01 01. — 2013.

42. Ernst F. Multi-mode inversion for P-wave velocity and thick near-surface layers // Near surface 2008 - 14th European meeting of environmental and engineering geophysics, Extended Abstracts, A13. — 2008.

43. Estimating a continuous P-wave velocity profile with constant squared-slowness gradient models from seismic field data / A. V. Ponomarenko, B. M. Kashtan, V. N. Troyan, W. A. Mulder // Near Surface Geoscience 2015 - 21th European Meeting of Environmental and Engineering Geophysics, Extended Abstracts, We 21 C06. — 2015.

44. Estimation of a P-wave velocity profile from elastic real data based on surface wave inversion / A. V. Ponomarenko, B. M. Kashtan, V. N. Troyan, W. A. Mulder // Near Surface Geoscience 2013 - 19th European Meeting of Environmental and Engineering Geophysics, Extended Abstracts, We P26. — 2013.

45. Forbridger T. Inversion of shallow-seismic wavefield: II. Inferring subsurface properties from wavefield transforms // Geophysical Journal International. — 2003. — Vol. 153. — Pp. 735-752.

46. Gabriels P., Snieder R., Nolet G. In situ measurements of shear wave velocity in sediments with higher-mode Rayleigh waves // Geophysical Prospecting. — 1987. — Vol. 35. — Pp. 187-196.

47. Grandjean G., Bitri A. 2M-SASW: Multifold multichannel seismic inversion of local dispersion of Rayleigh waves in laterally heterogeneous subsurfaces: application to the Super-Sauze earthflow, France // Near Surface Geophysics. — 2006. — Vol. 4. — Pp. 367-375.

48. Haskell N. The dispersion of surface waves on multilayered media // Bulletin of the Seismological Society of America. — 1953. — Vol. 43. — Pp. 17-34.

49. Hayashi K., Suzuki H. Surface-wave propagation in two-dimensional velocity models and its dispersion curves // 63rd EAGE Conference and Exhibition, Extended Abstracts, P165. — 2001.

50. Inversion of high frequency surface waves with fundamental and higher modes / J. Xia, R. Miller, C. Park, G. Tian // Journal of Applied Geophysics. - 2003. - Vol. 52. -Pp. 45-57.

51. Keilis-Borok V. I. Seismology and logics // In Solid Earth and Interface Phenomena. — Washington, 1964. — Vol. 2. — Pp. 61-79. — (Research in Geophysics).

52. Keilis-Borok V. I. The inverse problem of seismology // Mantle and Core in Planetary Physics. — New York, 1971. — Vol. 185, no. 3. — Pp. 242-274.

53. Kiblewhite A. C., Denham R. N. Experiment on propagation in surface sound channels // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1965. — Vol. 38, no. 1. — Pp. 63-71.

54. Kuvshinov B. N., Mulder W. A. The exact solution of the time-harmonic wave equation for a linear velocity profile // Geophysical Journal International. — 2006. — Vol. 167, no. 2. — Pp. 659-662.

55. Laterally constrained inversion of ground roll from seismic reflection records / L. V. Socco, D. Boiero, S. Foti, R. Wisen // Geophysics. — 2009. — Vol. 74, no. 6. — G34-G45.

56. Levin F. Anatomy of diving waves // Geophysics. — 1996. — Vol. 61, no. 5. — Pp. 1417-1424.

57. Love A. E. Some Problems of Geodynamics. — Cambridge : Cambridge University Press, 1911.

58. McMechan G. A., Yedlin M. J. Analysis of dispersive waves by wave field transformation // Geophysics. — 1981. — Vol. 46, no. 6. — Pp. 869-874.

59. Methods of Seismic Waveform Inversion / D. V. Anikiev, V. V. Kazei, B. M. Kashtan, A. V. Ponomarenko, V. N. Troyan, R. A. Shigapov // Seismic Technology. — 2014. — Vol. 12, no. 1. — Pp. 38-58.

60. Muyzert E. Near surface models derived from ground roll, guided waves and Scholte waves // 69th EAGE Conference and Exhibition, Extended Abstracts. — 2007.

61. Nazarian S., Stokoe K. H. In situ shear wave velocities from spectral analysis of surface waves // 8th Conference on Earthquake Engineering. Vol. 3. — 1984. — Pp. 31-38.

62. Nazarian S., Stokoe K. H., Hudson W. R. Use of spectral analysis of surface waves method for determination of moduli and thickness of pavement system // Transportation Research Record. Vol. 930. — 1983. — Pp. 38-45.

63. Numerical Solution of the Acoustic and Elastic Wave Equations by a New Rapid Expansion Method / D. Kosloff, A. Filho, E. Tessmer, A. Behle // Geophysical Prospecting. — 1989. — Vol. 37. — Pp. 383-394.

64. On the role of reflections, refractions and diving waves in full-waveform inversion / V. V. Kazei, V. N. Troyan, B. M. Kashtan, W. A. Mulder // Geophysical Prospecting. — 2013. — Vol. 61, no. 6. — Pp. 1252-1263.

65. Park C. B., Miller R. D., Xia J. Multichannel analysis of surface waves // Geophysics. — 1999. — Vol. 64, no. 3. — Pp. 800-808.

66. Pekeris C. L. Theory of propagation of sound in a half-space of variable sound velocity under conditions of the formation of a shadow zone // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1946. — Vol. 18. — Pp. 295-315.

67. Petrashen G., Kashtan B., Kiselev Y. Quantitative study of nonstationary interference wave fields in layered homogeneous elastic media with plane-parallel interfaces. I. Statements of the problems and efficient methods for their solution // Journal of Mathematical Sciences. — 1997. — Vol. 84, issue 2. — Pp. 961-1068.

68. Rayleigh L. On Waves Propagated along the Plane Surface of an Elastic Solid // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1885. — Vol. s1-17, no. 1. — Pp. 4-11.

69. Roth M., Holliger K., Green A. Guided waves in near-surface seismic surveys // Geophysical Research Letters. — 1998. — Vol. 25, no. 7. — Pp. 1071-1074.

70. Ryden N., Park C. B. Fast simulated annealing of surface waves on pavement using phasevelocity spectra // Geophysics. — 2006. — Vol. 71, no. 4. — R49-R58.

71. ScholteJ. G. On the Stoneley wave equation // Proc. K. Ned. Akad. Wet. — 1942. — Vol. 45. — Pp. 20-25, 159-164.

72. Scholte J. G. The range and existence of Rayleigh and Stoneley waves // Geophysical Supplements to the Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1947. — Vol. 5. — Pp. 120-126.

73. Socco L. V., Foti S., Boiero D. Surface-wave analysis for building near-surface velocity models - Established approaches and new perspectives // Geophysics. — 2010. — Vol. 75, no. 5. — 75A83-75A102.

74. Squared-slowness gradient profile from surface-wave inversion as a starting model for full-waveform inversion / A. V. Ponomarenko, V. V. Kazei, B. M. Kashtan, V. N. Troyan, W. A. Mulder // Near Surface Geoscience 2014 - 20th European Meeting of Environmental and Engineering Geophysics, Extended Abstracts, We PA1 16. — 2014.

75. Stoneley R. Elastic Waves at the Surface of Separation of Two Solids // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1924. — Vol. 106, no. 738. — Pp. 416-428.

76. Stovas A., Alkhalifah T. Analytical approximations of diving-wave imaging in constant-gradient medium // Geophysics. — 2014. — Vol. 79, no. 4. — S131-S140.

77. Surface wave inversion for a P-wave velocity profile via estimation of the squared slowness gradient / A. V. Ponomarenko, B. M. Kashtan, V. N. Troyan, W. A. Mulder // 75th EAGE Conference and Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013, Extended Abstracts, WE P02 10. — 2013.

78. Surface-wave inversion for a P-velocity profile with a constant depth gradient of the squared slowness / A. V. Ponomarenko, B. M. Kashtan, V. N. Troyan, W. A. Mulder // Geophysical Prospecting, early online. — 2016. — Pp. 1-15. — DOI: 10.1111/1365-2478.12450.

79. Tessmer E. Using the rapid expansion method for accurate time-stepping in modelling and reverse-time migration // Geophysics. — 2011. — Vol. 76, no. 4. — S177-S185.

80. Thomson W. T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium // Journal of Applied Physics. — 1950. — Vol. 21. — Pp. 89-94.

81. Useful resorting in surface-wave method with the autojuggie / G. Tian, D. W. Steeples, J. Xia, K. T. Spikes // Geophysics. — 2003. — Vol. 68, no. 6. — Pp. 1906-1908.

82. Virieux J., Operto S. An overview of full-waveform inversion in exploration geophysics // Geophysics. — 2009. — Vol. 74, no. 6. — WCC1-WCC26.

83. Xia J., Miller R. D., Park C. B. Estimation of near-surface shear-wave velocity by inversion of Rayleigh wave // Geophysics. — 1999. — Vol. 64, no. 3. — Pp. 691-700.

84. Xia J., Shen C., Xu Y Near-surface shear wave velocities and quality factors derived from high-frequency surface waves // The Leading Edge. — 2013. — Vol. 32, no. 6. — Pp. 612-619.

85. Yanovskaya T. B., Ditmar P. G. Smoothness criteria in surface wave tomography // Geophysical Journal International. — 1990. — Vol. 102. — Pp. 63-72.

86. Znak P, Kashtan B. Outpost Method of Computing Leaking and Normal Modes for Elastic Multilayered Half-space // Near Surface Geoscience 2015 - 21st European Meeting of Environmental and Engineering Geophysics, Extended Abstracts, Tu 21P1 13. — 2015.

87. Znak P., Kashtan B., Bakulin A. Guided Waves and Rayleigh Leaking Modes With Outpost Algorithm // 77th EAGE Conference and Exhibition 2015, Extended Abstracts, Tu C 01. — 2015.

88. Znak P., Kashtan B., Troyan V. Guided Waves Leaking From High-Velocity Elastic Layer // 7th EAGE Saint Petersburg International Conference and Exhibition, Extended Abstracts, Th N114 15. —2016.