Восстановление пространственной структуры магнитного поля солнечных активных областей в нелинейном бессиловом приближении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.03, кандидат физико-математических наук Мышьяков, Иван Иванович

• Мышьяков, Иван Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мышьяков, Иван Иванович

Содержание

Введение 3 Глава

1.1 Краткое описание альтернативных методов расчета

нелинейного бессилового поля

1.2 Математическая формулировка оптимизационного метода

1.3 Модельное нелинейное бессиловое поле 22 Глава

2.1 Формулировка исследуемых реализаций оптимизационного

метода и постановка численного эксперимента

2.2 Числовые характеристики контроля точности

2.3 Результаты тестирования на модели нелинейного бессилового

поля

2.4 Исследование влияния шума на качество восстановления поля

2.5 Учет фактора сферичности

2.6 Устранение проблемы тт-неопределенности

2.7 Восстановление магнитного поля реальных активных областей 47 Заключение 60 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление пространственной структуры магнитного поля солнечных активных областей в нелинейном бессиловом приближении»

Введение

Магнитное поле Солнца оказывает существенное влияние на солнечную атмосферу и является основополагающим фактором возникновения и последующего развития активных областей. Вследствие высокой ионизации плазмы магнитное поле оказывается вмороженным, и в областях с преобладанием магнитного давления (плазменный параметр /? « 1) движение плазмы определяется структурой поля [1]. Всплывающий из-под уровня фотосферы магнитный поток, достаточно мощный, чтобы быть четко различимым на общем фоне спокойного Солнца и способным существенно повлиять на конвективное движение вещества, приводит к образованию солнечных пятен и новой активной области. Связанные с этими областями динамические процессы, такие как вспышки и корональные выбросы массы, могут иметь геоэффективные последствия. Источником энергии для них является магнитное поле, меняющее свою структуру и переходящее в новое равновесное состояние с меньшей энергией [2, 3]. Таким образом, информация о пространственном распределении магнитного поля необходима для понимания физической природы явлений солнечной активности и прогнозирования их развития.

Измерение солнечного магнитного поля на основе эффекта Зеемана доступно на уровне фотосферы. Оценки коронального магнитного поля, производимые по радионаблюдениям, трудно локализовать по высоте, кроме того, необходимо дополнительно учитывать распределение плотности и температуры плазмы [4]. В этой связи, особой актуальностью обладает краевая задача расчета пространственной конфигурации солнечного магнитного поля по данным фотосферных измерений.

Наиболее простым является метод потенциальной экстраполяции с использованием функции Грина [5, 6] или разложения по сферическим гармоникам [7, 8], что позволяет достаточно точно представить крупномасштабную структуру поля по всему солнечному диску. Потенциальное поле может быть рассчитано по распределению нормальной или наклонной компоненты на некоторой поверхности, т.е., при работе с реальными данными, достаточно использовать магнитограммы фотосферного поля, измеренного вдоль луча зрения. Однако, над активными

областями, в частности, на предвспышечной стадии развития, могут существовать электрические токи, оказывающие значительное влияние на структуру магнитного поля [9]. В потенциальном поле, бестоковом по определению, эта особенность не может быть учтена и разница между экстраполированным и реальным полем будет тем больше, чем сильнее будут надфотосферные токи. Также следует отметить, что при заданном граничном распределении нормальной компоненты потенциальное поле обладает наименьшей энергией, т.е. не содержит энергетических резервов, которые могут быть израсходованы в той или иной форме в процессе трансформации магнитного поля без изменения граничного распределения нормальной компоненты. Таким образом, экстраполяция магнитного поля активных областей в потенциальном приближении в ряде случаев обладает ограниченной точностью.

В качестве следующего приближения для расчета магнитного поля используется класс бессиловых полей, допускающих существование электрических токов. Их определение следует из общего уравнения магнитной гидродинамики:

Р + = -Чр + рё + ¥1 + ¥а, (В. 1)

здесь р - плотность вещества, V - его скорость, р - давление, g - ускорение свободного падения, ^ - сила Лоренца, ¥л - диссипативная сила. Исходя из положения, что магнитное поле является доминирующей величиной (/? « 1) следует, что состояние равновесия определяется выражением:

Ъ = Ц х В] = 0, ] а [V X В], (В.2)

здесь ) - плотность электрического тока, В - магнитное поле. Это означает, что электрический ток по направлению должен быть коллинеарный, а по абсолютному значению пропорциональный магнитному полю. Таким образом, уравнение, описывающее состояние бессилового поля:

[V х В] = аВ. (В.З)

В зависимости от коэффициента пропорциональности а, называемого бессиловым параметром, класс бессиловых полей подразделяется на линейные

(а — const) и нелинейные (а - функция от положения в пространстве) поля. Частным случаем линейного бессилового поля является потенциальное (а = 0). В общем случае а = const задача расчета поля имеет аналитическое решение, следующее из уравнения Гельмгольца [10, 11].

Нелинейные бессиловые поля дают более полное отражение реальности. С математической точки зрения, основная трудность состоит в том, что для краевой задачи на расчет полей такого типа нельзя построить общего аналитического решения, поэтому используются различные методы приближенного вычисления. Кроме того, применительно к реальности, для расчета нелинейных бессиловых полей в качестве входных данных требуются векторные магнитограммы. В этой связи следует отметить два типа проблем, возникающих при решении краевых задач.

Первый тип проблем можно условно определить, как инструментальный, связанный с техническими особенностями измерений, к ним относятся наличие шума в исходных данных и 7г-неопределенность направления поперечной компоненты поля векторных магнитограмм. Устранение ^-неопределенности имеет большое значение, т.к. от него очевидным образом зависит результат применения того или иного метода расчета, использующего информацию о полном векторе магнитного поля. Способы решения этой проблемы варьируются от элементарного установления направления поперечной компоненты измеряемого поля в соответствии с поперечной компонентой рассчитываемого потенциального поля, до более сложных методов, таких, как [12, 13], основанных на минимизации вертикального электрического тока и дивергенции магнитного поля. Влияние шума может быть уменьшено сглаживанием, при одновременном снижении пространственного разрешения.

Второй тип проблем, теоретический, касается формулировки граничных условий и вопросов существования и единственности решения. Современный уровень развития солнечных наблюдений позволяет проводить одновременные измерения магнитного поля только для части поверхности Солнца. Данные векторных магнитографов таких обсерваторий наземного базирования, как Mitaka (Япония), Huairou (КНР) или Big Bear Solar Observatory (США), представляют

собой векторные магнитограммы отдельных активных областей и имеют длительные ряды наблюдений. В процессе отладки находится векторный магнитограф полного диска SOLIS (США). Очевидными недостатками наземных измерений является невозможность проведения непрерывных наблюдений, а также то, что они подвержены влиянию атмосферы. Более высокое качество измерений характерно для магнитографов на борту космических аппаратов. Данные магнитографа SOHOÍMDI содержат информацию о распределении компоненты магнитного поля вдоль луча зрения по всему солнечному диску, а самые качественные регулярные измерения векторных магнитограмм, производимые инструментом Hinode!SOT (пространственное разрешение 0,3 , время построения скана около 1,5 часов), проводятся только для отдельных активных областей. Инструмент Helioseismic and Magnetic Imager на борту KA Solar Dynamics Observatory позволяет получать векторные магнитограммы полного диска Солнца с пространственным разрешением l' и с временным интервалом 90 секунд.

Таким образом, из измерений оказывается доступной лишь часть граничных условий. Если ставить задачу расчета глобальной структуры солнечного магнитного поля, то для измерений в каждый момент времени доступно поле на видимой части солнечного диска. В случае отдельной активной области известным является поле на уровне фотосферы, а на остальной части границы, замыкающей изолированный объем пространства, поле недоступно для измерения. При расчете бессиловых полей на основе реальных данных, учитывая недостаточность информации о граничных условиях, можно говорить лишь о большей или меньшей степени соответствия рассчитанного поля используемой системе критериев и основных уравнений и данным наблюдений.

Из теоремы вириала (см. [14]) следует:

[ г • [[V х В] х B]dV = f \B2dV+¡ ((В ■ г)В -\в2г) ■ dS (В.4)

Jy Jy 2 hv V 2 /

здесь dV - поверхность, ограничивающая объем V, dS - внешняя нормаль. Т.е. если бессиловое поле существует во всем бесконечном объеме, то левая часть уравнения обращается в нуль, следовательно, либо энергия поля равна нулю (тривиальный

случай), либо поверхностный интеграл в правой части не равен нулю, т.е. поле не убывает на бесконечности. Другими словами, поле, являющееся всюду бессиловым, не имеет физического смысла. Чтобы удовлетворить условию убывания поля на бесконечности, необходимо допустить, что в некоторой части пространства условие (В.З) нарушается. Таким образом, задачу расчета строго бессилового поля имеет смысл ставить только для изолированных областей пространства. При этом, как следует из (В.4), энергия будет выражаться через поверхностный интеграл граничного распределения поля, следовательно, необходимым условием существования решения при заданных граничных условиях должна быть отрицательность поверхностного интеграла.

Не все методы расчета бессиловых полей используют полный вектор магнитного поля в качестве граничных условий. Например, в методах типа Града-Рубина используются две величины: нормальная компонента поля и параметр а. В работе [15] на примере модели осесимметричного бессилового поля показано, что при достаточно больших значениях а одному набору граничных условий, представленных сочетанием нормальной компоненты и параметра а, соответствуют поля с различными энергиями и азимутальными потоками. Т.е. при таком способе задания граничных условий решение может быть не единственно. С учетом этих выводов, методы, использующие в качестве граничных условий информацию о полном векторе магнитного поля, представляются более предпочтительными.

К основным методам расчета нелинейных бессиловых полей относятся:

- Метод типа Града-Рубина [16, 17, 18].

- Магнитофрикционный метод [19,20, 21].

- Метод граничного интегрирования [22, 23].

- Оптимизационный метод [24, 25, 26, 27].

В работе [28] представлен обзор различных методов расчета нелинейного бессилового поля, а также проводится сравнительный анализ результатов тестирования этих методов на аналитически задаваемой модели нелинейного бессилового поля [29]. На этапе тестирования, самая высокая степень совпадения с

модельным полем была продемонстрирована оптимизационным методом в реализации [26]. Чуть менее точным оказался магнитофрикционный метод, еще ниже по качеству были результаты, полученные методами типа Града-Рубина. Метод граничного интегрирования, как отмечено в работе [28], оказался очень требовательным к вычислительным ресурсам, что не позволило в разумные сроки получить результаты для объективного сравнения с другими методами.

В работе [30] тестирование проводилось на модели, предложенной в работе [31], более точно учитывающей специфику пространственного распределения магнитного поля реальной активной области: вблизи фотосферы оно имеет силовую природу (находится в состоянии равновесия с учетом влияния сторонних сил), а с увеличением высоты становиться в большей степени бессиловым. По степени соответствия модельному полю результаты расчетов расположились следующим образом: лучшее соответствие модельному полю продемонстрировано оптимизационным методом [26], далее следует метод типа Града-Рубина [18], замыкает ряд магнито фрикционный метод [21].

В работе [32] вычисления проводилась на основе реальных векторных магнитограмм активной области 10930, в этом случае оценка степени соответствия рассчитанных бессиловых полей реальному магнитному полю могла быть проведена только косвенно, а именно, по степени соответствия конфигурации силовых линий рассчитанного поля и наблюдаемой петельной структуры. По мнению авторов [32], лучший результат был продемонстрирован методом типа Града-Рубина в реализации [18]. Стоит также отметить, что это единственный метод, который дал величину падения свободной энергии магнитного поля активной области в результате Х-вспышки, согласующуюся с теоретическими оценками.

Таким образом, в настоящее время происходит активное развитие численных методов расчета нелинейных бессиловых полей. В диссертации проблема расчета солнечного магнитного поля активных областей решается с помощью метода оптимизации. Выбор в пользу именно этого метода обусловлен тем, что он признается одним из самых эффективных, при этом, существующие реализации этого метода не полностью используют все его возможности.

Цели работы

- Создание на основе оптимизационного метода алгоритма для расчета пространственного распределения магнитного поля активных областей в нелинейном бессиловом приближении по данным фотосферных векторных магнитограмм.

- Тестирование разработанного алгоритма на модели осесимметричного нелинейного бессилового поля. Сопоставление результатов расчетов, выполненных посредством различных реализаций оптимизационного метода (исходя из различных предположений о характере поведения поля на границе расчетной области) с модельным полем. Определение конкретной реализации оптимизационного метода, позволяющей проводить расчеты, наиболее точно согласующиеся с модельным полем.

- Применение разработанного алгоритма для расчета пространственного распределения магнитного поля реальных активных областей по данным векторных магнитографических измерений фотосферного поля. Сравнение картин расчетных силовых линий, полученных, в том числе, с помощью потенциальной экстраполяции, с наблюдаемыми петельными структурами. Проведение оценок энергии магнитного поля на пред- и поствспышечных стадиях развития активной области.

- Использование информации о магнитном поле, рассчитанном с помощью разработанного алгоритма, для моделирования гиросинхротронного радиоизлучения. Сопоставление результатов моделирования с данными радионаблюдений.

Научная и практическая ценность работы

Разработанный алгоритм позволяет корректным образом отображать пространственное распределение магнитного поля активных областей. Обладание

такого рода информацией о магнитном поле будет способствовать лучшему пониманию физических процессов, лежащих в основе различных явлений солнечной активности. Отслеживание временной эволюции пространственного распределения магнитного поля и связанных с ним интегральных характеристик, таких как энергия и спиральность поля, будет содействовать выявлению закономерностей, предваряющих вспышечно-эруптивные явления. Данные расчетов, выполненных с помощью разработанного алгоритма, могут быть использованы в качестве составного элемента других теоретических построений в области физики Солнца, требующих знания пространственного распределения магнитного поля.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения, содержит 12 рисунков и 7 таблиц, список литературы включает 48 ссылок, общий объем составляет 68 страниц.

В первой главе содержится краткое описание альтернативных методов расчета нелинейных бессиловых полей, приведена подробная математическая формулировка оптимизационного метода и модели осесимметричного нелинейного бессилового поля. Во второй главе представлены результаты тестирования метода на модельном поле, сравнительный анализ различных реализаций метода, исследуется влияние шума и способы минимизации этого влияния. Приводится краткое описание применяемой схемы учета сферического характера распределения реальных магнитографических данных и способа решения проблемы ^-неопределенности, а также результаты расчетов магнитного поля реальных активных областей. Исследуется степень соответствия расчетных силовых линий с наблюдаемой петельной структурой. Приводятся оценки временных вариаций магнитной энергии активной области. Проводится сопоставление данных радионаблюдений и гиросинхротронного излучения, смоделированного на основе информации о рассчитанном магнитном поле. В заключении перечислены основные выводы.

Основные результаты, изложенные в диссертации, отражены в работах [33-36].

Положения, выносимые на защиту

- На основе оптимизационного метода разработан алгоритм, позволяющий по данным векторных магнитографических измерений фотосферного поля восстанавливать пространственную структуру магнитного поля активных областей в нелинейном бессиловом приближении.

- Тестирование алгоритма на модели бессилового поля показало, что реализация оптимизационного метода, допускающая возможность вариации части граничных условий позволяет восстанавливать поле с более высоким качеством, по сравнению с альтернативными реализациями.

- Применение алгоритма к данным векторных магнитографических измерений показало, что восстановленное поле корректным образом отображает существенно непотенциальную структуру силовых линий реального магнитного поля; величина падения свободной энергии восстановленного поля в результате вспышки Х-класса согласуется с теоретическими оценками. Одновременное сочетание этих двух взаимодополняющих факторов является отличительной особенностью разработанного алгоритма, по сравнению с современными альтернативами.

Заключение диссертации по теме «Физика Солнца», Мышьяков, Иван Иванович

Заключение

Основные выводы:

- Тестирование различных вариантов реализации оптимизационного метода на модели нелинейного бессилового поля со всей очевидностью показало, что наиболее высокой степени соответствия восстановленного и модельного поля удается достичь, если использовать в расчетах полную систему эволюционных уравнений и допустить возможность вариации части граничных условий. Такой подход является вполне обоснованным при учете того обстоятельства, что в реальности из измерений невозможно получить полный набор граничных условий.

- Исследование влияния шумовой составляющей в исходных данных на качество восстановленного поля показало, что процедура сглаживания с последующей интерполяцией данных на менее плотную сетку является эффективным способом подавления шума. Несмотря на частичную потерю информации, такая предварительная обработка позволяет проводить восстановление поля с более высоким качеством, по сравнению с расчетами, сделанными на основе данных с шумовой составляющей, распределенных по более плотной сетке. К положительным моментам также следует отнести существенное уменьшение времени расчета.

- В рамках квазисферической геометрии, используемой для учета сферического распределения реальных магнитографических данных, несмотря на снижение точности вычисления пространственных производных, качество восстановленного поля остается достаточно высоким. Без переформулирования уравнений оптимизационного метода в рамках чисто сферической геометрии, такой подход представляется хорошей альтернативой проецированию данных измерений на гелиографическую плоскость.

- Результат работы процедуры устранения л:-неопределенности в исходных данных очевидным образом обуславливает возможность последующего достоверного восстановления пространственного распределения магнитного поля. Продемонстрированная высокая степень совпадения восстановленного поля активных областей с данными наблюдений свидетельствует о том, что использование искусственных «параметров Стокса» в сочетании с методом минимизации «энергии», адаптированном для работы в сферической геометрии, позволяет успешно решать эту важную промежуточную задачу.

- Сопоставление расчетных силовых линий с данными наблюдений показало, что силовые линии поля, восстановленного в нелинейном бессиловом приближении, с высокой степенью точности трассируют реальные петельные структуры, существующие на предвспышечной стадии. В случае потенциальной экстраполяции подобного совпадения достигнуто не было. Результаты расчетов пространственного распределения поля на основе данных прилимбовых магнитографических измерений продемонстрировали похожую закономерность, в том числе для петель, лежащих за краем лимба. Это свидетельствует в пользу того, что корректное восстановление магнитного поля может быть проведено при любом положении активной области на диске Солнца. Сопоставление проекций петель и расчетных силовых линий на картинной плоскости позволяет, при достижении высокой степени совпадения, отождествить их и получить представление о трехмерной конфигурации реальных петель. Оценки падения свободной энергии восстановленного магнитного поля активной области в результате вспышки согласуются с теоретическими представлениями и являются дополнительным доказательством того, что восстановленное поле соответствует реальности.

- Результаты восстановления пространственного распределения магнитного поля с помощью разработанного алгоритма характеризуются одновременным сочетанием высокой степени совпадения расчетных силовых линий с реальными петельными структурами и теоретически

обоснованных оценок энергии активной области. Этот факт является отличительной особенностью разработанного алгоритма, по сравнению с современными альтернативами.

- Результаты моделирования гиросинхротронного радиоизлучения с использованием информации о восстановленном магнитном поле продемонстрировали хорошую степень совпадения с радионаблюдениями. В процессе фитирования был получен расчетный интегральный спектр радиоизлучения, согласующийся с реальным спектром, что позволило определить плотность ускоренных электронов во вспышечной петле. Сопоставление распределений радиояркости выявило хорошее совпадение положений расчетных и наблюдаемых радиоисточников. Это свидетельствует о том, что восстановленное поле корректно отображает как пространственную конфигурацию силовых линий, так и напряженность реального магнитного поля.

Планируется:

- Переформулирование уравнений оптимизационного метода в рамках сферической геометрии. Это позволит корректным образом проводить расчеты для участков фотосферы произвольного размера, включая постановку задачи на восстановление глобального магнитного поля по векторным магнитограммам полного диска или векторным синоптическим картам магнитного поля.

- Проведение расчетов с помощью оптимизационного метода для ряда последовательно измеренных векторных магнитограмм определенной активной области с целью поиска закономерностей в пространственной структуре магнитного поля и характере поведения интегральных характеристик, таких как энергия и спиральность поля, на предвспышечных стадиях.

- Использование данных расчетов, выполненных с помощью оптимизационного метода как составного элемента других теоретических построений в области физики Солнца, требующих знания пространственной структуры магнитного поля.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мышьяков, Иван Иванович, 2012 год

Список литературы

1. Gary G.A. Plasma Beta above the Solar Active Region: Rethinking the Paradigm // Solar Physics. 2001. V. 203. P. 71-86.

2. Wolfson R., Low B.C. Energy build up in sheared force-free magnetic fields // The Astrophysical Journal. 1992. V. 391. P. 353-358.

3. Forbes T.G., Priest E.R. Photospheric Magnetic Field Evolution and Eruptive Flares // The Astrophysical Journal. 1995. V. 446. P. 377-389.

4. Brosius J.W., Davila J.M., Thomas R.J., White S.M. Coronal Magnetography of a Solar Active Region Using Coordinated SERTS and VLA Observations // The Astrophysical Journal. 1997. V. 488. P. 488-498.

5. Schmidt H.U. // Physics of Solar Flares, NASA Special Publication 50 (ed. Hess W.N.). 1964. P. 107. (Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Maryland).

6. Sakurai T. Green's Function Methods for Potential Magnetic Fields // Solar Physics. 1982. V. 76. P. 301-321.

7. Altschuler M.D., Newkirk G.J. Magnetic Fields and the Structure of the Solar Corona. I: Methods of Calculating Coronal Fields // Solar Physics. 1969. V. 9. P. 131-149.

8. Rudenko G.V. Extrapolation of the solar magnetic field within the potential-field approximation from full-disk magnetograms // Solar Physics. 2001. V. 198. P. 5-30.

9. Hofmann A., Kalman B. Electric currents and free energy in a flaring twisted field configuration (NOAA 4263) // Astronomy and Astrophysics. 1991. V. 241. P. 203-208.

10.Nakagawa Y., Raadu M.A. On Practical Representation of Magnetic Field // Solar Physics. 1972. V. 25. P. 127-135.

11. Chiu Y.T., Hilton H.H. Exact Green's function method of solar force-free magnetic-field computations with constant alpha. I - Theory and basic test cases // The Astrophysical Journal. 1977. V. 212. P. 873-885.

12.Metcalf T.R. Resolving the 180-degree ambiguity in vector magnetic field measurements: The 'minimum' energy solution // Solar Physics. 1994. V. 155. P. 235-242.

13.Georgoulis M.K. A New Technique for a Routine Azimuth Disambiguation of Solar Vector Magnetograms // The Astrophysical Journal. 2005. V. 629. P. L69-L72.

14.Chandrasekhar S. Hydrodinamic and Hydromagnetic Stability // Oxford: Oxford University Press, 1961. - 652 p.

15. Flyer N., FornbergB., Thomas S., Low B.C. Magnetic Field Confinement in the Solar Corona. I. Force-free Magnetic Fields // The Astrophysical Journal. 2004. V. 606. P. 1210-1222.

16. Grad H., Rubin H. // Proceedings of the 2nd International Conference on Peaceful Uses of Atomic Energy. 1958. V. 31. P. 190. (United Nations, Geneva).

17.Amari T., Boulmezaoud T.Z., Mikic Z. An iterative method for the reconstructionbreak of the solar coronal magnetic field. I. Method for regular solutions // Astronomy and Astrophysics. 1999. V. 350. P. 1051-1059.

18. Wheatland M.S. A Fast Current-Field Iteration Method for Calculating Nonlinear Force-Free Fields // Solar Physics. 2006. V. 238 P. 29-39.

19.YangW.H., Sturrock P.A., Antiochos S.K. Force-free magnetic fields - The magneto-frictional method // The Astrophysical Journal. 1986. V. 309. P. 383-391.

20. Roumeliotis G. The "Stress-and-Relax'" Method for Reconstructing the Coronal Magnetic Field from Vector Magnetograph Data // The Astrophysical Journal. 1996. V. 473. P. 1095-1103.

21.Valori G., Kliem B., Keppens R. Extrapolation of a nonlinear force-free field containing a highly twisted magnetic loop // Astronomy and Astrophysics. 2005. V. 433. P. 335-347.

22.Yan Y., Sakurai T. New Boundary Integral Equation Representation for Finite Energy Force-Free Magnetic Fields in Open Space above the Sun // Solar Physics. 2000. V. 195. P. 89-109.

23. Li Z., Yan Y., Song G. Properties of the boundary integral equation for solar non-constant a force-free magnetic fields // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2004. V. 347. P. 1255-1265.

24. Wheatland M.S., Sturrock P.A., Roumeliotis G. An Optimization Approach to Reconstructing Force-free Fields // The Astrophysical Journal. 2000. V. 540. P. 1150-1155.

25. Wiegelmann T., Neukirch T. Computing nonlinear force free coronal magnetic fields // Nonlinear Processes in Geophysics. 2003. V. 10 P. 313-322.

26. Wiegelmann T. Optimization code with weighting function for the reconstruction of coronal magnetic fields // Solar Physics. 2004. V. 219. P. 87-108.

27. Wiegelmann T. Computing Nonlinear Force-Free Coronal Magnetic Fields in Spherical Geometry // Solar Physics. 2007. V. 240. P. 227-239.

28. Schrijver C.J., De Rosa M.L., Metcalf T.R., et al. Nonlinear Force-Free Modeling of Coronal Magnetic Fields Part I: A Quantitative Comparison of Methods // Solar Physics. 2006. V. 235. P. 161-190.

29. Low B.C., Lou Y.Q. Modeling solar force-free magnetic fields // The Astrophysical Journal. 1990 V. 352. P. 343-352.

30. Metcalf T.R., De Rosa M.L., Schrijver C.J., et al. Nonlinear Force-Free Modeling of Coronal Magnetic Fields. II. Modeling a Filament Arcade and Simulated Chromospheric and Photospheric Vector Fields // Solar Physics. 2008. V. 247. P. 269-299.

31. van Ballegooijen A. A. Observations and Modeling of a Filament on the Sun // The Astrophysical Journal. 2004. V. 612. P. 519-529.

32.Schrijver C.J., De Rosa M.L., Metcalf Т., et al. Nonlinear Force-free Field Modeling of a Solar Active Region around the Time of a Major Flare and Coronal Mass Ejection// The Astrophysical Journal. 2008. V. 675. P. 1637-1644.

33.Rudenko G.V., Myshyakov I.I. Analysis of Reconstruction Methods for Nonlinear Force-Free Fields // Solar Physics. 2009. V. 257. P. 287-304.

34. Myshyakov I.I., Rudenko G.Y. Comparison between two approaches to the implementation of the optimization method for reconstructing a nonlinear forcefree field // Geomagnetism and Aeronomy. 2009. V. 49. P. 940-946.

35.Rudenko G.V., Myshyakov I.I., Anfinogentov S.A. Azimuth ambiguity removal and non-linear force-free extrapolation of near-limb magnetic regions // 2010. arXiv: 1007.0298.

36.Мышьяков И.И., Руденко Г.В., Кашапова JI.K., Мешалкина Н.С. Моделирование гиросинхротронного излучения солнечной вспышки 2 мая 2007 с использованием экстраполяции магнитного поля в бессиловом приближении // Труды всероссийской ежегодной конференции по физике Солнца. 2010. С. 269-272. (Пулково, Санкт-Петербург).

37. Руденко Г.В. Анализ причин расхождения результатов гармонического представления солнечного магнитного поля по фотосферным наблюдениям обсерваторий Китт-Пик и Стэнфорд. Исследования по Геомагнетизму, Аэрономии и Физике Солнца. 1998. В. 108. С. 102-122.

38. Gary G.A., Hagyard M.J. Transformation of vector magnetograms and the problems associated with the effects of perspective and the azimuthal ambiguity // Solar Physics. 1990. V. 126. P 21-36.

39. Metropolis N., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N., Teller A.H., Teller E. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines // The Journal of Chemical Physics. 1953. V. 21. P. 1087-1092.

40. Su Y., Golub L., van Ballegooijen A.A., et al. Evolution of the Sheared Magnetic Fields of Two X-Class Flares Observed by Hinode/XRT // Publications of the Astronomical Society of Japan. 2007. V. 59. No. SP3. P. S785-S791.

41. Hudson H.S. Solar flares, microflares, nanoflares, and coronal heating // Solar Physics. 1991. V. 133. P. 357-369.

42.Bleybel A., Amari T., van Driel-Gesztelyi L., Leka K.D. Global budget for an eruptive active region. I. Equilibrium reconstruction approach // Astronomy and Astrophysics. 2002. V. 395. P. 685-695.

43.Hundhausen A.J. // Cosmic Winds and the Heliosphere (ed. Jokipii J.R., Sonett C.P., Giampapa M.S.). 1997. P. 259. (Tucson: University of Arizona).

44. Rudenko G. V., Myshyakov I.I. Gauge Invariant Helicity for Force-Free Magnetic Fields in a Rectangular Box // Solar Physics. 2011. V. 270. P. 165-173.

45. Priest E.R., Forbes T.G. The magnetic nature of solar flares // The Astronomy and Astrophysics Review. 2002. V. 10. P. 313-377.

46. Su Y., van Ballegooijen A., Lites B.W., et al. Observations and Nonlinear ForceFree Field Modeling of Active Region 10953 // The Astrophysical Journal. 2009. V. 691. P. 105-114.

47. Fleishman G.D., Nita G.M., Gary D.E. Dynamic Magnetography of Solar Flaring Loops // The Astrophysical Journal Letters. 2009. V. 698. P. L183-L187.

48. Fleishman G.D., Kuznetsov A.A. Fast Gyrosynchrotron Codes // The Astrophysical Journal. 2010. V. 721. P. 1127-1141.