Восстановление параметров плавнонерегулярного участка тонкопленочного диэлектрического волновода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Пискарев, Юрий Владимирович

• Пискарев, Юрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пискарев, Юрий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Тонкопленочные волноводные линзы: теоретическое описание и методы измерения.

§1.1. Трехмерная геометрическая оптика.

§ 1.2. Трехмерная линза Люнеберга.

§1.3. Лучевое описание планарных диэлектрических волноводов.

§ 1.4. Планарные тонкопленочные волноводные линзы.

§ 1.5. Традиционные способы измерения профиля толщины тонкопленочной волноводной линзы.

ГЛАВА 2. Математическая модель распространения адиабатических мод на плавнонерегулярном участке тонкопленочного диэлектрического волновода.

§2.1. Волновое описание регулярных тонкопленочных диэлектрических волноводу ,.

§2.2. Уравнения адиабатйч<^$рих мод плавнонерегулярного участка тонкопленочно$о д^'лектрического волновода.

§2.3. Граничные условия и адиабатические инварианты плавнонерегулярного участка тонкопленочного диэлектрического волновода.

§2.4. Асимптотический метод решения уравнений адиабатических мод.

§2.5. Адиабатические моды плавнонерегулярного участка тонкопленочного диэлектрического волновода.

§2.6. Лучевое представление адиабатических мод плавнонерегулярного участка тонкопленочного диэлектрического волновода.

§2.7. Дискретное представление адиабатических мод на фазово-лучевой сетке плавнонерегулярного участка тонкопленочного диэлектрического волновода.

ГЛАВА 3. Вычислительный эксперимент математического синтеза и математической диагностики плавнонерегулярного перехода в тонкопленочном диэлектрическом волноводе

§3.1. Принципиальные проблемы реализации вычислительного эксперимента.

§3.2. Математический синтез обобщенной линзы Люнеберга с полной и неполной апертурой.

§3.3. Математический синтез профиля толщины тонкопленочной волноводной линзы.

§3.4. Математическая постановка задачи восстановления характеристик тонкопленочных волноводных линз по результатам лучевого зондирования.

§3.5. Численное решение задачи диагностики тонкопленочных волноводных линз по результатам лучевого зондирования.

§3.6. Анализ состоятельности вычислительного эксперимента и принятие решения о его завершении.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление параметров плавнонерегулярного участка тонкопленочного диэлектрического волновода»

С середины 60-х началось активное освоение оптического диапазона длин волн. Это было вызвано резко возросшим объемом информации, передававшейся по коммуникационным сетям, с которыми перестали справляться, существовавшие в то время системы связи и обработки информации. Возникло целое научно-техническое направление, названное «оптоэлектроника», которая попыталась примерить технические подходы, существовавшие в интегральной микроэлектронике и СВЧ электронике к аналогичным устройствам в оптическом диапазоне длин волн.

В это время начинается разработка принципов построения планарных интегрально-оптических устройств, в которых на основе тонкопленочных диэлектрических или полупроводниковых структур создаются планарные (2-х мерные) аналоги устройств оптической обработки информации. Создается целый спектр активных и пассивных элементов, которые объединяются на единой подложке, что позволило применять при их изготовлении технологические приемы, используемые в интегральной микроэлектронике.

В настоящее время подобные интегрально-оптические схемы активно используются в оконечных устройствах волоконно-оптических линий связи, а также в устройствах оптической обработки информации различного назначения.

При разработке элементной базы, а также схемотехнических решений интегрально-оптических устройств появился целый класс теоретических и технологических задач, связанных с распространением электромагнитных волн оптического диапазона в тонкопленочных волноводных структурах. Подобные структуры возникают при стыковке между собой различных планарных элементов. Типичным примером может служить планарная линза Люнеберга.

При этом встает задача расчета и оптимизации параметров элементов интегрально-оптических схем, представляющих собой неоднородные планарные волноводные структуры. Для неоднородных тонкопленочных волноводных структур (тонкопленочных волноводных линз) фокусирующие свойства сильно зависят от степени соответствия изготовленного покрытия заданным характеристикам. Контроль этих характеристик должен обеспечиваться с высокой точностью. Таким образом, кроме задачи расчета параметров самих элементов, существует не менее актуальная задача метрологического обеспечения контроля параметров этих элементов, как на стадии отработки технологии их изготовления, так и на стадии их промышленного производства. Здесь важным элементом исследования становится математическое моделирование количественного контроля производимых неоднородных тонкопленочных волноводных структур.

Для интегральной оптики представляют интерес, как правило, планарные структуры. Простейший диэлектрический волновод - это планарный волновод, у которого между подложкой с показателем преломления п5 и покровным материалом с показателем преломления пс находится планарная пленка с показателем преломления пг > п$ > пс. Если воздух является покровным материалом, то пс = 1. Обычно толщина пленки с! составляет доли микрона. В диэлектрических волноводах различают два типа электромагнитных мод - волновые моды и излучательные моды. Чтобы различить эти два типа волн, можно использовать лучевое представление. Если луч света падает под углом к положению нормали большим чем вТ = агсзш \ п то он превышает критические углы на границах пленка-подложка, пленка-покрытие, в результате чего имеет место полное внутреннее отражение на обеих границах.

Свет, канализируемый в пленке, соответствует волноводной моде структуры. В то время, как в пленке поле волноводной моды может быть рассмотрено как зигзагообразная плоская волна, в подложке и покрытии имеются бесконечно слабые поля, которые затухают по закону ехр{-ух}

Согласно этой зигзагообразной модели (Рис.3(в)) волноводная мода представляется плоской волной, распространяющейся по зигзагообразному пути в пленке. Амплитуда поля вдоль координаты г описывается выражением ехр{//?г} с константой распространения связанной с углом зигзага 9{ формулой: а 1 ■ п 1 2л- со

3 = кп,ът6,, где к — — = —,

Я с

Я - длина волны излучения в вакууме, со- циклическая частота, с - скорость света.

Зигзагообразную модель можно использовать для определения коэффициента фазового замедления /3 волноводной моды, если учитывать сдвиги фаз - 1ср5 и 2срс на границах пленка-подложка и пленка-покрытие соответственно, которые имеют место при полном отражении плоских волн [5,6]: \ 1/2 / \ 1/2

Р" =

Р2~кгп] к2п1/-]32 tg <р': =

3 -к п к2п1 - /З2 для ТЕ-мод, и равны п, Пс для ТМ-мод.

Чтобы получить самосогласованное решение, соответствующее волноводной моде, необходимо, чтобы набег фазы на одном полном зигзаге был кратен 2п, - в таком случае в поперечном направлении складывается стоячая волна, а в продольном - распространяется плоская волноводная мода. Условие «стоячести» волны

-2(р:(ЕМ) -2д>:(ЕМ) = 2тк . Это выражение представляет собой дисперсионное уравнение

ДГМ

Для четырехслойного волновода в работах [7-9] получены дисперсионные уравнения (со) в интервалах (А) кп2 > /3 > кп3 и (В) кпх> (5 > кпг.

Для случая (А) получаем дисперсионное уравнение [6]: кХх = Мг + агс^(?714/4 / ) + агс1§{ ?]и (х2 / ж,) агс^С?/^ / ) - ¿х2 ]},

1 для ТЕ - мод где г]л = / ^ ддя тм мод

Для случая (В) дисперсионное уравнение имеет вид [6]: Л/, =N71 + //,) + агс^{т]п(у2 ахсЩт]23у3 где у24=/12-к2п1 у2 = рг -к2п2, у\ = /З2 -к2п\,

Х1=к2п2-/32, х1=кгп1-р\ Тонкопленочная (планарная) волноводная линза (ТВЛ) представляет собой диэлектрический четырехслойник, из которого два нижних слоя: подложки с показателем преломления п, и основного волноводного слоя с показателем преломления -регулярны; подложка бесконечной толщины, а слой конечной толщины ■ й. Два верхних слоя: дополнительный волноводный с показателем п1 и покровный с показателем пс - плавнонерегулярны. Причем, толщина волноводного слоя к(г) отлична от нуля лишь в ограниченной области (круге радиуса К) плоскости раздела двух волноводных слоев, а вне этой области Мг) = 0. Толщина покровного слоя бесконечна, ее нижняя граница повторяет верхнюю границу дополнительного волноводного слоя - поверхность, описываемую уравнением х = к(г).

Четырехслойник такого вида называется ТВЛ Райнхарта-Люнеберга, если параллельный пучок лучей, падающих с одной стороны на линзу, фокусируются в точку на другой стороне. Луч, остающийся неискривленным, идет вдоль главной оси линзы. Как у бесконечно тонкой плоской линзы лучи, выходящие из двойного фокуса с одной стороны линзы, все сходятся в двойном фокусе с другой стороны линзы. Аналогично, все лучи выходящие из двойного фокуса тонкопленочной волноводной линзы сходятся в двойном фокусе с другой стороны. Обе эти точки лежат на концах диаметра окружности двойного фокуса, если линза обладает круговой симметрией.

Тонкопленочные линзы, имеют своим прототипом трехмерные оптические устройства (среды) с неоднородным (сферически симметричным) распределением диэлектрической проницаемости е(г) (и коэффициента преломления п(г)), искривляющим лучи и волновые фронты.

После возникновения оптоэлектроники стало возможным изготавливать неоднородности волноведущего слоя (изменением его толщины), заставляющие тонкие лазерные пучки распространяться в них по траекториям (двумерным в планарном случае), характерным для обобщенных линз Люнеберга.

В работах [26-31] решена электродинамическая задача о рассеянии направляемой волноводной моды в планарном оптическом волноводе, содержащем малые по величине случайные нерегулярности. Представлены результаты компьютерного решения прямой и обратной задач рассеяния для статистической стационарной нанометровой шероховатости поверхности. Показана возможность извлечения информации о статистических свойствах нерегулярностей планарного волновода из данных измерения рассеянного излучения в дальней зоне (или эквивалентной Фурье плоскости). Данный разработанный метод нахождения приближенного корректного решения обратной задачи позволяет с приемлемой для экспериментов точностью восстанавливать автокорреляционную функцию статистической стационарной нанометровой шероховатости поверхности подложки волнововода по данным рассеяния, полученным в дальней зоне (в фурье-плоскости) в присутствии высокого аддитивного случайного "белого" шума. Решение обратной задачи сводится к построению достаточно эффективного квазиоптимального регуляризирующего оператора, использующего принцип наименьших квадратов. Важным преимуществом развитого в данных работах метода восстановления характеристик и определения параметров статистических нерегулярностей является его абсолютность - он не требует априорного знания (задания) статистики нерегулярностей или предварительного определения какого-либо из параметров нерегулярностей другим методом. Другим важным преимуществом рассматриваемого метода измерений является реализация режима волноводного рассеяния, который позволяет повысить чувствительность измерений в ~ 100-1000 по сравнению с методами однократного рассеяния света, благодаря многократному синфазному рассеянию света на исследуемой статистической шероховатости поверхности подложки волновода. При отношении сигнала к шуму 81411 = 1 разработанный алгоритм позволяет в модельных расчетах определить субволновые интервалы корреляции шероховатостей в диапазоне ~ Юл - л/30 (л - длина волны) с ошибкой не более 10-30 %, а среднеквадратичную высоту ~ 50 - 500 А (ангстрем) с ошибкой менее 35 %. При точных входных данных, когда отношение сигнала к шуму более 100, эти параметры могут быть определены с ошибкой менее 1-5%.

Ранее закрытые и открытые плавнонерегулярные волноводы рассматривались методом поперечных сечений. В рассмотренных случаях удавалось построить такую криволинейную (локально ортогональную) систему координат, что поток энергии в волноводе и семейство лучей (волновых фронтов) распространяющегося электромагнитного излучения эволюционировали вдоль одной из координат Ог'. Мы рассматриваем случай (с фокусировкой лучей и волновых фронтов), когда такой прием невозможен и приходится модифицировать существующие приемы, методы, подходы.

Известно несколько традиционных способов диагностики неоднородности волноведущего слоя: профилометрирование, профилоинтерферометрия, интерферометрия.

В профилометрическом способе измеряется физическая толщина волноводного слоя вдоль центрального сечения (по диаметру) области неоднородности [32,33].

В профилоинтерферометрическом способе, называемом еще фотометрическим способом, узкий лазерный пучок направляется на волновод перпендикулярно его подложке [34]. После отражения возникает интерференция, вызванная наличием разности хода лучей, отраженных от границ: воздух - напыленный слой и напыленный слой - подложка. Интенсивность интерференционной картинки отраженного света измеряется с помощью фотометра в зависимости от положения вдоль центрального сечения неоднородности. В точках кривой зависимости интенсивности от положения вдоль сечения, промежуточных между экстремумами, значения интенсивности также могут быть пересчитаны в значения толщины волноводного слоя, но значительно менее точно [35].

В результате обработки профилометрических и профилоинтерферометрический измерений получаются приближенные значения функции профиля восстанавливаемой толщины на одномерной сетке с малым числом точек.

В интерферометрическом способе используется тот же эффект, что и в профилоинтерферометрическом. В нем лазерный пучок, опускаемый перпендикулярно на поверхность волновода с помощью коллиматора расширяется настолько, чтобы он накрыл всю область неоднородности с некоторым запасом. Отраженный широкий пучок создает типичную картину интерференционных полос-колец на плоскости. Картина фиксируется на фотопластинку или ПЗС-матрицу.

Преимуществом по сравнению с профилоинтерферометрией является то, что снимается двумерная картина. Недостатком -существенно худшая точность измерения интенсивности в точках плоскости. Сюда же добавляются нелинейные искажения интенсивности пучка при коллимации.

Традиционные методы диагностики неоднородности волноведущего слоя обладают рядом недостатков, основным из которых является дополнительная модельная ошибка из-за пересчета оптических характеристик по измеренным оптической и физической толщинам волноводного слоя.

Поэтому важной задачей является разработка новых способов диагностики, обладающих неразрушающим для образца характером, а также разработка соответствующих математических моделей и программно-математического обеспечения.

Проведенная работа позволила предложить и сформулировать метод контроля параметров указанных элементов с использованием волноводных эффектов в них. Метод представляет собой сканирование узким волноводным пучком по всей площади неоднородности, с последующей оцифровкой траекторий сканирующего пучка и восстановлением профиля неоднородности, базирующемся на математической модели адиабатического распространения сигнала через плавнонерегулярный участок тонкопленочных волноводных структур, путем решения обратной задачи.

Преимуществами предлагаемого метода является:

1. Универсальность применения;

2. Неразрушающий характер контроля;

3. Использование прямого волноводного распространения в контролируемых элементах, что позволяет: а) Максимальное взаимодействие контролирующего луча с волноводной структурой; б) Высокая чувствительность к параметрам; в) Достаточная точность для обеспечения требуемого контроля.

К недостаткам метода можно отнести то, что метод обеспечивает разрешение по апертуре зондируемого элемента с точность до апертуры зондирующего пучка.

Общая цель работы заключается в следующем:

1. Формулировка и исследование математической модели адиабатического распространения электромагнитного сигнала в плавнонерегулярной многослойной диэлектрической среде.

2. Разработка методики, учитывающий плавный характер изменения характеристик нерегулярного участка

3. Решение обратной задачи восстановления параметров плавнонерегулярного участка в рамках разработанной модели.

4. Построение алгоритма расчета фазового замедления волноводных мод в рамках адиабатической модели.

5. Проведение вычислительного эксперимента, включающего в себя в качестве этапов: а) разработку вычислительной модели адиабатического распространения света в плавнонерегулярных планарных оптических волноводах для синтеза и диагностики волноводных диэлектрических пленок; б) решение прямых и обратных задач (проектирования объектов и численного предсказания их функционирования) анализа и синтеза

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 147 страниц. Список литературы включает 117 наименований.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Пискарев, Юрий Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) В работе проведен анализ распространения монохроматического светового потока через плавнонерегулярный участок многослойного диэлектрическогопланарного волновода. Построенмодель адиабатических мод, распространяющихся без потери энергии через нерегулярный участок. При построении математической модели обоснован метод волноводов сравнения (метод поперечных сечений), использовавшийся ранее при описании распространения собственных мод плавнонерегулярного диэлектрического многослойника. Дисперсионныуравнения метода волноводов сравнения являются нулевым приближением асмптотического разложения полученных нами дисперсионных уравнений.

2). Дисперсионные уравнения, полученные намипри математическом моделированииадиабатических мод, задают взаимосвязь между профилем толщинынерегулярного волноводного слоя и деформацией волнового фронта под действием этой нерегулярности. Эта взаимосвязь в виде нелинейного дифференциального уравнения позволяет сформулировать: а). Задачу описания электро-магнитного поля, распространяющегося через участок планарного волновода с заданным профилем нерегулярности; в). Задачу нахождения профиля нерегулярности волноводного слоя планарного волновода по деформации волновых фронтов и семейства лучей распространяющегося электро-магнитного поля.

3). Разработанная математическая модель естественным образом формирует фазово-лучевую сетку плавнонерегулярного участка на которой задается дискретное представление адиабатической моды, используемое при численном исследовании нерегулярностей планарных диэлектрических волноводов.

4). Сеточные адиабатические моды являются базовым инструментом для численного решения задач: а). Моделирования электро-магнитного поля в плавнонерегулярном диэлектрическомпланарном волноводе; в). Восстановления профия нерегулярности по оцифрованным следам лучей и интерференционным картинам адиабатических мод.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пискарев, Юрий Владимирович, 2001 год

1. Пискарев Ю.В., Севастьянов Л.А. Математическая модель адиабатического распространения связанных мод на плавнонерегулярном участке тонкопленочного оптического волновода. //Деп. В ВИНИТИ 28.09.98 №2865-В98. -72с.

2. Интегральная оптика/ Под ред. Т.Тамира. М.: Мир, 1978, 344 с.

3. Введение в интегральную оптику/ Под ред. М.Барноски. М.: Мир, 1977, 368 с.

4. Yamamoto Y., Kamiya Т., Yanai Н. //IEEE J. Quant. Electron., 1975, v.QE-11, p.729-736.

5. Sohler M. //J.Appl.Phys., 1973, v.44, p.2343-2345.

6. Sun M.J., Muller M.W. //Appl. Opt., 1977, v.16, p.814-815.

7. Piskarev Y.V., Polovinkin A.N., Sevastianov L.A. Waveguide condition of electromagnetic waves propagation in thin-film structures with smoothly irregular sections. // Proc. SPIE. 2001 p.9.

8. Ковалева В.И., Хомякова Ф.Т., Чириков A.B. Расчет толщины слоя конденсата при напылении покрытий в вакууме. //ОМП, 1980, №10, с.45.

9. Пискарев Ю.В., Севастьянов JI.A. Распространение адиабатических мод в тонкопленочной линзе Люнеберга. Численная реализация. // В сб. тезисов XXXIII научн. конф. фак-та ФМ и ЕН. Математические секции. М.: Изд. РУДН, 1997, с. 80.

10. Пискарев Ю.В., Севастьянов Л.А. Адиабатические моды и адиабатические инварианты тонкопленочной линзы Люнеберга. // В сб. тезисов XXXIV научн. конф. фак-та ФМ и ЕН. Физические секции. М.: Изд. РУДН, 1998, с.40.

11. Bukatov I.A., Piskarev Yu.V., Susalev A.V. Particles stream intensity diagnostic using adiabatic modes of thin-film waveguide. // VI International Workshop: Beam Dynamics & Optimization. September 6-10, 1999, SSU, Saratov, Russia. P.32.

12. Кулябов Д.С., Пискарев Ю.В., Севастьянов Л.А., Умнов A.M. Проведение вычислительного эксперимента в рамках распределенных вычислений. //В сб. тезисов XXXVI научн. конф. фак-та ФМ и ЕН. Физические секции. М.: Изд. РУДН, 2000, с.34-35.

13. Груба В.Д., Пискарев Ю.В., Севастьянов Л.А. Вклад сеточных адиабатических мод тонкопленочных волноводов в интерференционную картину. //В сб. тезисов XXXVI научн. конф. фак-та ФМ и ЕН. Физические секции. М.: Изд. РУДН, 2000, с.43.

14. Egorov А.А. Theory of waveguide optical microscopy // Laser Physics, 1998, Vol. 8, No. 2, pp. 536-540.

15. Егоров А.А. Определение параметров статистического ансамбля микрообъектов в волноводном оптическом микроскопе // Изв. РАН, Серия Физическая, 1999, Т.63 (6).-С. 1125-1131.

16. Егоров А.А. Восстановление характеристик и определение параметров статистической нанометровой шероховатости поверхности по данным рассеяния в планарном оптическом волноводе // Известия вузов. Радиофизика, 2000, Т.43 (12). С. 1090-1099.

17. Yegorov А.А. Inverse light scattering problem in a planar waveguide with statistical subwavelength irregularities: theory and computer simulation // Journal of Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, (in press).

18. Garratt J.D. A new stylus instrument with a wide dynamic range for use in surface metrology.//Precision Engineering, 1982, v.4, No 3, p. 145-151.

19. Willianes T.L. A scanning gange for measuring the form of spherical and aspherical surfaces.// Optica acta, 1978, v.25, №12, p.1156-1166.

20. Пуряев Д.Т. Методы контроля оптических асферических поверхностей. М.: Машиностроение, 1976, 262 с.

21. Микулич А.В. Математическое моделирование неразрушающей диагностики тонкопленочных волноводных линз.// Канд. дисс. М.: Изд. УДН, 1988, 136 с.

22. Борн М., Вольф "Основы оптики".

23. J.C. Maxwell // Scientific Papers, v.l, Cambridge Univ. Press, 1890.

24. J.C. Maxwell // Cambr.a. Dublin Math. Journ., 1854, v.8, p. 188.

25. W. Lenz // Probleme der Modernen Physik. ed. By Debye, 1925, p.198.

26. R. Stettler // Optic, 1955, v. 12, p.529.

27. R.F. Rinehart // J. Appl. Phys. 1948, v.19, p.860.

28. A. Fletcher, T. Murphy, A. Young// Proc. Roy. Soc. A., 1954, v. A223, p.216.

29. Karbowiak A. E. Optical waveguides. In Advances in Microwaves. N.-Y.:Acad. Press 1966, pp. 75-113.

30. Shubert R, Harris J.H. Optical surface waves on thin films and their application to integrated data processors. // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1968, v.MTT-16, No. 12, pp. 1048-1054.

31. Collin R.E. Field theory of guided waves. N. - Y: McGraw-Hill, 1960, § 11.5.

32. Волновая оптоэлектроника /Под ред. Т.Тамира. М.: Мир, 1991.

33. Luneburg R.K. The Mathematical Theory of Optics. Providence R.I.:Brown Univ. Press, 1944.

34. Miller S.E. Integrated Optics: An Introduction. //Bell System Technical Journal, 1969, v.48,p.2059.

35. Southwell W.H. Index profiles for generalized Luneburg lenses and their use in planar optical waveguides. //JOSA, 1977, v.67, No.8, p. 1010-1014.

36. Л.Н.Дерюгин, А.Н.Марчук, В.Е.Сотин. Свойства плоских несимметричных диэлектрических волноводов на подложке из диэлектрика. Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1967, т. 10, №2, с. 134-142.

37. Tien Р.К. Light waves in thin films and integrated optics. //Appl. Opt., 1971, v. 10, p.2395.

38. Дерюгин Л.Н. Уравнения для коэффициентов отражения волн от периодически неровной поверхности. //ДАН СССР. 1952, т.87, с.913-913

39. Дерюгин Л.Н. Исследование электродинамических свойств ребристых поверхностей. Дисс. канд.техн.наук. -М.: МАИ, 1959.

40. Шевченко В.В. Наглядная классификация волн, направляемых регулярными открытыми волноводами. //Радиотехн. и электроника. 1969, т. 14, №10, с.1768-1775.

41. Шевченко В.В. О разложении полей открытых волноводов по собственным и несобственным волнам. //Изв. вузов. Радиофизика.

42. Southwell W.H. Ray-tracing in gradient-index media. //J.O.S.A., 1982, v.72, No.7, p.908-911.57.3олотов B.M., Киселев B.A., Сычугов B.A. Оптические явления в тонкопленочных волноводах. //Интегральная оптика. Под ред. Т.Тамира. М., Мир, 1978, с.344.

43. Kogelnik Н. //Bell System Technol. J., 1969, v.48, p.2909.

44. Kogelnik H., Ramaswamy V. //Appl. Opt., 1974, v. 13, p. 1857.

45. Kogelnik H., Weber H.P. //JOSA, 1974, v.64, p. 174.

46. Tian X., Lai G., Yatagai T. Characterization of asymmetric optical waveguide by ray tracing. //J Opt. Soc. Am., 1989, v.6, No.10, p.1538-1542.

47. Maurer S.J, Felsen L.B. // Proc. IEEE, 1967, v.55, p.1718.

48. LotschH.K.V. //JOSA, 1968, v.58, p.551.

49. В.И. Аникин, C.B. Шокол. Фокусирующие элементы интегральной оптики. //

50. Shubert R, Harris J.H. Optical guided wave focusing and diffraction. //J.O.S.A,1971, v.61,p,154-161.

51. Ulrich R, Martin R.J. Geometrical optics in thin film light guides. //Appl. Opt., 1971, v.10, p.2077 2085.

52. D.B.Anderson, J.T. Boyd, M.C. Hamilton, R.R. August. An integrated- optical approach to the Fourier transform. // IEEE J. of Quant. Electron, 1977, v. QE-13, № 4, p.268-275.

53. Р.К. Tien, R.J. Martin, G. Smolincky. //Appl.Opt., 1973, v. 12, p.1909-1916.

54. J.Brown. Lens antennas / In: Antenna Theory. Part 2 / Ed. By R.E. Collin, F.J. Zucker. -N.Y.: McGraw-Hill, 1969, p. 104-150.

55. Kunz K.S. Propagation of microwaves between a parallel pair of doubly curved conducting surfaces. //J. Appl. Phys., 1976, v.28, p.514.

56. G.Toraldo di Francia. //Atti Fondaz. Ronchi, 1957, v. 12, p. 151-172.

57. Toraldo di Francia G. A family of perfect configuration lenses of resolution. //Optica Acta, 1955, v.l, p. 157.

58. Righini G.C., Russo v., Sattini S., Toraldo .di Francia G. Thin film geodesic lens. //Appl. Opt, 1972, v.l 1, p. 1442.

59. Southwell W.H. Geodesic optical waveguide lens analysis. //J.O.S.A., 1977, v.67, No.10, p. 1293-1299.

60. Sottini S., Russo V., Righini G.C. General solution of perfect geodesic lenses for integrated optics. //J. Opt. Soc. Am., 1979, v.69, No.9, p. 1248-1254.

61. Morgan S.P. General solution of the Luneburg problem. //J. Appl. Phys., 1958, v.29, No.9, p.l358-1368.

62. S.Doric, E.Munro.General solution of the nonfull-aperture Luneburg lens problem. //JOSA, 1983, v. 73, №8, p. 1083-1086.

63. Bennet J.M. Measurement and interpretation of fine form errors in optical surfaces // SPIE. 1983. - V.381. - P.190-208.

64. Cheng Y.Y. and Wyant J.C. Two-wavelength phase shifting interferometry // Appl. Optics. 1984. - V.23, №4. -P. 4539 - 4543.

65. Кулагин C.B. и др. Оптико-механические приборы. М.: Машиностроение, 1984.-352 с.

66. Коломийцев Ю.В. Интерферометры. Основы инженерной теории, применение. Ленинград: 1976. - 296 с.

67. Апенко М.И. и др. Оптические приборы в машиностроении. Справочник. — М.: Машиностроение, 1974. 238 с.

68. Bennett J.M. .and Dancy J.H. Stylus profiling instrument for measuring statistical properties of smooth optical surfaces // Appl. Optics. 1981. - V. 20, № 10. -P.1785-1802.

69. Walter D.J. and Houghton J. Attenuation in thin film optical waveguides due to roughness induced mode coupling // Thin Solid Films. - 1987. - V.52. - P.461-476.

70. H. Фреман, П.У. Фреман. ВКБ приближение. - М.: Мир, 1967.

71. Р.Б. Ваганов, Б.З. Каценаленбаум . Геометрическая теория дифракции. М.:

72. Д.И. Блохинцев. Основы квантовой механики. М.:

73. Southwell W.H. Inhomogeneous optical waveguide lens analysis. //JOSA, 1977, v.67, No.8, p. 1004-1009.

74. Б.З.Каценеленбаум. Нерегулярные линии передачи.(Ш Всесоюзн. Школа-семинар по дифракции и распространению волн). JL: Изд. АН СССР, 1972

75. В.А.Боровиков, А.В.Попов . Распространение волн в плавнонерегулярных многомодовых волноводах. // В сб. "Прямые и обратные задачи теории дифракции". М.: Изд. ИРЭ АН СССР, 1979, с. 167 - 266.

76. В.В.Шевченко. О спектральном разложении по собственным и присоединенным функциям одной несамосопряженной задачи типа Штурма-Лиувилля на всей оси. // Диф. ур-ия, 1979, т. 15, №11, с. 2004 2020.

77. А.Д.Шатров. О возможных разложениях полей в открытых волноводах и резонаторах. // Радиотехника и электроника, 1972, т. 17, №6, с. 1153 -1160.

78. Б.З.Каценеленбаум. Нерегулярные волноводы с медленно изменяющимися параметрами. //ДАН СССР, 1955, т. 102, №4, с.711-714.

79. Б.Ф.Емелин. Волноводные уравнения для нерегулярных волноводов. //Р. и Э., 1958, т.З, №5, с.615-627.

80. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно изменяющимися параметрами. М.: Изд. АН СССР, 1961.

81. В.Л.Покровский, Ф.Р.Улинич, С.К.Саввиных. К теории волноводов переменного сечения. // Радиотехника и электроника, 1959, т.4, №2, с. 161 -171.

82. Н.Е.Мальцев. //Акустич. Журнал, 1970,т. 16, №1, с. 102 109.

83. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах (Введение в теорию). -М.: Наука, 1969.

84. Luneberg R.K. Berkely: Univ. Of California Press, 1964.

85. Микаэлян А.Л. Общий метод определения параметров неоднородных сред по заданным траекториям лучей. //ДАН, 1952, т.83, №2, с.219-220.

86. Montagnino L. Ray-tracing in inhomogeneous media. //J.O.S.A., 1968, v.58, p. 1667.

87. Sochacki J., Rogus D., Gomez-Reino C. Paraxial designing of planar waveguide. Variable-index focusing elements: Part 1 Lenses of circular symmetry. //Fiber and Integrated Optics, 1989, v.8, p. 121-127.

88. Беляков Г.В., Микулич A.B. Об аппроксимации функции профиля идеальной обобщенной линзы Люнеберга. //Тез. докл. XXVII научн. конф. фак. физ.-мат. и ест. наук Ун-та дружбы народов, М.: Изд-во УДН, 1991, с.32.

89. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

90. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.4, ч.2. М: Наука, 198 , 552 с.

91. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. //Вестник АН СССР, 1979, №5, с.38-41.

92. W.J.Anderson, W.N.Hausen. Optical characterization of thin films. // JOS A, 1977, v.67, №8, p.1051-1058.

93. Westwood W.D. Calculation of deposition rates in diode sputtering system. // J. Vac. Sci. Technol., 1978,v.15, №1, p.1-9.

94. Микулич A.B. Математическое моделирование неразрушающей диагностики тонкопленочных волноводных линз: Дис. . канд. физ.-мат. наук.-М., 1989, 135 с.

95. Жидков Е.П., Курышкин В.В., Микулич A.B. Восстановление параметров планарной линзы по следам лучей. //"Вычислительная физика и математическое моделирование", Тез.докл. Волгоград, 12-18 сент. 1988 г. М: Изд-во УДН 1989, с. 32-33.

96. Беляков Г.В., Микулич A.B., Севастьянов JT.A. Трассировка лучей в обобщенной линзе Люнеберга с неполной апертурой. //Проблемы теоретической физики. М.: Изд-во УДН, 1990, С.63-70.

97. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

98. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. //ДАН СССР, 1963, Т.153, №1.

99. Zernike F. Lüneburg lens for optical wave guide use. //Opt. Commun., 1974, v.12, №4, p.379-381.

100. Микаэлян А.Л. Об одном способе решения обратной задач геометрической оптики. //ДАН, 1952, т.86, №5, с.933-936.