Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Шешенина, Ольга Александровна

• Шешенина, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шешенина, Ольга Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРИИ УПРУГИХ СРЕД С МИКРОСТРУКТУРОЙ (ОБЗОР)

1.1. Основные работы по теориям упругости, учитывающим дополнительные независимые степени свободы частиц

1.2. Двойные силы, тензор двойных напряжений

1.3. Линейная теория упругости с микроструктурой Миндлина

ГЛАВА 2. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ГРАДИЕНТНО

УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

2.1. Математическая модель градиентно-упругой среды с поверхностной энергией. Уравнения движения и граничные условия.

2.2. Монохроматические волновые движения в безграничной среде.

2.3. Экспериментальные исследования продольных волн.

ГЛАВА 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ ГРАНИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

3.1. Поверхностная волна Релея.

3.2. Поверхностная SH-волна.

3.3. Антиплоская волна в слое.

3.4 Сравнение фазовых скоростей различных типов волн

ГЛАВА 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

4.1. Влияние геометрической нелинейности.

4.2. Продольные стационарные волны.

4.3. Сдвиговые стационарные волны.

4.4 Самомодуляция квазигармонической SH - поверхностной волны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией»

Актуальность. Классическая теория упругости дает удовлетворительные решения довольно широкого класса задач. Результаты этой теории обычно хорошо соответствуют экспериментам при напряжениях, меньших предела упругости материала. Значительное различие между теорией и экспериментом возникают в тех случаях, когда существенными являются градиенты напряжений, например при концентрации напряжений вокруг отверстий и выточек.

В рамках классической теории упругости невозможно объяснить, например, дисперсию упругих волн, существование антиплоских поверхностных волн, несмотря на их экспериментальное доказательство.

Идеализированная модель классической теории не учитывает реальную зернистость материалов. Расхождения между экспериментом и теорией наблюдается при получении реакции тела на воздействие, характерный размер которого имеет порядок размера зерна. Примером внешнего физического воздействия могут служить волны с большими частотами (или с малыми длинами волн), примером сред- кристаллы, поликристаллические металлы, высокие полимеры.

В настоящее время интенсивно развиваются модели упругих сред с микроструктурой, которые являются естественными обобщениями классической теории упругости [7,29,41,51,55,61,75]. Элементами микроструктуры служат частицы зернистого материала. Попытки учесть процессы, происходящие внутри частиц среды, взаимодействие с соседними частицами тела приводят к сближению механики сплошных сред с физикой.

В физике твердого тела, главным образом в материаловедении, получила признание концепция структурных уровней деформации [7,55]. Согласно этой концепции каждая точка твердого тела представляет собой сложную систему взаимодействующих структур более низкого структурного уровня.

Теории континуумов с микроструктурой по своим гипотезам занимают промежуточное положение между классической теорией упругости и физикой твердого тела, стоящей на позиции существования структурных уровней. Материальная точка в континууме с микроструктурой имеет "разумную" степень сложности, что позволяет описывать и структуру материала (это не доступно для теории упругости), и волны деформации (это не доступно для материаловедения).

Обратим внимание на основную идею теории упругости о постоянстве массовой плотности, которая очевидно нарушается, если принять во внимание прерывистую зернистую и молекулярную природу реальных материалов. Наблюдается зависимость локальных плотностей от выбранного объема усреднения, если он меньше или соизмерим с размером частиц среды. При этом законы движения и исходные аксиомы справедливы для сколь угодно малой части тела.

Сложное взаимодействие частиц в классической механике передается лишь через усилия. Подробный анализ передачи усилий между отдельными зернами в материале является серьезной проблемой. Теории сред с микроструктурой построены на модели тела в виде сплошной среды, имеющей ряд необычных на первый взгляд свойств. Во-первых, структурные элементы такой среды обладают дополнительными степенями свободы. Во-вторых, взаимодействие двух частей тела, соприкасающихся по малому элементу поверхности, характеризуется не только усилиями, как в классической теории упругости, но и двойными силами, антисимметричная часть которых равна моменту.

Наиболее общие и полные теории сред с микроструктурой были представлены в работах Р.Д. Миндлина [63] и А.К. Эрингена [49]. Последний из них получил нелинейные тензоры, характеризующие деформирование макроэлемента, однако дальнейшее рассмотрение, проведенное в его работах, допускает лишь собственные вращения микроэлементов. На данный момент наибольший интерес вызывает линейная теория упругости с микроструктурой Р.Д. Миндлина, в которой микроэлементы могут не только вращаться, но и линейно деформироваться. Существенным недостатком этой теории является то, что уравнения движения содержат большое количество упругих констант, подлежащих экспериментальному определению.

Теория градиентной упругости с поверхностной энергией, предложенная Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом [74], основывается на линейной теории упругости Р.Д. Миндлина. Выбранный ими вид функции потенциальной энергии содержит, кроме классических компонент, дополнительные слагаемые: градиент деформации и поверхностную энергию. Теория Я. Вардолакиса и X. Георгиадиса уже дает результаты, согласующиеся с реально наблюдаемыми явлениями, и представляет интерес для изучения.

Теория, предложенная Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом, как и другие теории, учитывающие микроструктуру и строящиеся на базе классической теории упругости, содержат ее в качестве предельного частного случая.

В механике сплошной среды большую роль играет использование волновых представлений для описания и исследования напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств твердых тел.

Данная работа направлена на изучение периодических во времени движений в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией.

В настоящей работе исследуются различные типы волн в градиенто-упругом пространстве, неограниченном и ограниченном поверхностями. В рамках градиентной теории упругости с поверхностной энергией показано существование SH- поверхностной волны, которую в классической теории упругости описать невозможно. Анализируется влияние микроструктуры на волновые процессы, а также исследуется влияние геометрической нелинейности на продольные, сдвиговые и SH- поверхностные волны.

Цель работы состоит в изучении дисперсионных зависимостей и нелинейных эффектов, появляющихся при распространении различных типов волн в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией.

Научная новизна. В диссертации получила развитие теория градиентной упругости с поверхностной энергией. Получено уравнение движения. Исследованы монохроматические продольные и сдвиговые волны, поверхностные волны Релея, SH- поверхностные волны и SH-волны в слое.

Изучены нелинейные эффекты, которые возникают при распространении продольных, сдвиговых и SH-поверхностных волн в исследуемой модели среды.

Показано, что градиентно-упругая модель среды с поверхностной энергией дает результаты, согласующиеся с экспериментальными данными, но не описывающиеся как классической теорией упругости, так и существующими теориями, учитывающими микроструктуру.

Практическая ценность. Построение математической модели для сред, обладающих зернистым строением, необходимо при исследовании реакции материалов на внешние воздействия, характерный размер которых соизмерим с размером зерна.

Полученные результаты могут найти применение в неразрушающем контроле при исследовании высокочастотными волнами строительных материалов и конструкций на наличие дефектов, а также их формы, объема и ориентации; акустоэлектронике, при изучении высокочастотных волн в твердых телах.

Достоверность. Достоверность результатов диссертации определяется тем, что в низкочастотном приближении наблюдается соответствие дисперсионных зависимостей волн, распространяющихся в исследуемой модели среды и в классической теории упругости. Также наблюдается хорошее соответствие с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся следующие основные положения работы:

- Математическая модель градиентно-упругой среды с поверхностной энергией (уравнения в перемещениях).

- Описание и исследование продольных и сдвиговых упругих волн и им соответствующих затухающих возмущений в неограниченном градиентно-упругом пространстве.

- Результаты исследования релеевских, SH- поверхностных волн и антиплоских волн в слое из градиентно-упругого материала. Определение области существования SH- поверхностных волн.

- Результаты исследования влияния геометрической нелинейности на монохроматические волны и SH- поверхностные волны, распространяющиеся в градиентно-упругой среде.

Основные результаты диссертации были получены при выполнении работы по:

- Комплексной программе Российской Академии наук, раздел II «Машиностроение» по теме: «Разработка методов диагностики напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов и элементов конструкций, основанных на применении эффектов нелинейной акустики» (2001-2003г.г., научн. рук., проф. Ерофеев В.И.);

- Плану основных заданий Нф ИМАШ РАН 2004-2005г.г. по теме: «Волны деформации в структурно-неоднородных материалах и элементах конструкций» (научн. рук., проф. Ерофеев В.И., проф. Потапов А.И.);

- Грантам РФФИ: «Нелинейные акустические волны в твердых телах с дислокациями» (2000-2002г.г., №00-02-17337, рук. проф. Ерофеев В.И.); «Нелинейные акустические волны в неоднородных, поврежденных и структурированных средах. Теория. Эксперимент. Приложения.» (2003-2005г.г., №03-02-16924, рук. проф. Ерофеев В.И.).

- Федеральной целевой программе «Интеграция»: «Экспериментальное исследование и математическое моделирование деформации и разрушения новых материалов и прогнозирование ресурса конструкций» (рук. проф. Баженов В.Г.).

Работа была поддержана стипендией Ученого Совета ННГУ в 2002-2003уч.г.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации докладывались на Международной научно-технической конференции «Испытания материалов и конструкций» (Н. Новгород, Нф ИМАШ РАН, 2000); на Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001); на XXX Международной научной школе «Актуальные проблемы механики» (С. Петербург, ИПМаш РАН, 2002); на XVI Международном симпозиуме по нелинейной акустике (Москва, МГУ, 2002); на Нижегородской акустической научной сессии (ННГУ, 2002); на Международном симпозиуме «Актуальные проблемы нелинейной волновой физике» (Москва-Н.Новгород, ИПФ РАН, 2003); на X Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, МАИ, 2004).

Публикации. Основные положения диссертации содержатся в работах [4,10-18,38,53,54].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 103 стр, диссертация содержит 29 рисунков. Список литературы состоит из 76 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Шешенина, Ольга Александровна

Основные результаты и выводы работы следующие:

1. Получены уравнения в перемещениях, описывающие динамику градиентно-упругой среды с поверхностной энергией.

2. Выявлено, что продольные и сдвиговые волны, распространяющиеся в изотропной градиентно-упругой среде, а также волны Релея, распространяющиеся вдоль границы изотропного градиентно-упругого полупространства, обладают дисперсией. Фазовые скорости этих волн уменьшаются с ростом частоты. Такой эффект имеет многочисленные экспериментальные подтверждения, но не описываются классической теорией упругости.

3. Показано, что SH- поверхностные волны (т.е. неплоские сдвиговые волновые движения, амплитуда которых экспоненциально уменьшается с ростом расстояния от свободной поверхности) могут существовать в однородном полупространстве, если задача анализируется в рамках теории градиентной упругости, обобщенной на случай учета поверхностной энергии. Существование таких волн, неоднократно наблюдавшихся экспериментально, не может быть предсказано классической теорией упругости. В линейном приближении проанализированы дисперсионные свойства поверхностных сдвиговых волн, определен частотный диапазон их существования. В нелинейном приближении исследована модуляционная неустойчивость таких волн, приводящая к их самомодуляции и образованию стационарных волн огибающих.

4. Выявлено, что антиплоские сдвиговые волны в градиентно-упругом слое существуют и обладают дисперсией. В отличии от классической теории упругости, они имеют точки ветвления, не разделяются на симметричные и антисимметричные моды и для каждого значения частоты существует конечное число нераспространяющихся мод.

5. Показано, что в нелинейной градиентно-упругой среде могут распространяться стационарные волны деформации - солитоны и их периодические аналоги. Проанализировано влияние размера зерна в материале и параметра, характеризующего поверхностную энергию, на величину амплитуды, скорости и ширины солитона деформации. л

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе проведено исследование волновых процессов в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шешенина, Ольга Александровна, 2004 год

1.Л., Кувшинский Е.В., Основные уравнения теории упругости с вращательным взаимодействием частиц // Физика тв. тела, 1960. Т. 2. №7. С. 1399-1409.

2. Бленд Д.Р. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир. 1972.- 183 с.

3. Быков В.Г. Сейсмические волны в пористых насыщенных породах. -Владивосток: Дальнаука, 1999. 108 с.

4. Горьденблатт И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. -М. .-Наука, 1969.-300 с.

5. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. Думка, 1981.-284 с.

6. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Московского ун-та, 1999.-328 с.

7. Ерофеев В.И., КажаевВ.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 208 с.

8. Ерофеев В.И., Родюшкин В.М. Наблюдение дисперсии упругих волн в зернистом композите и математическая модель для его описания. // Акуст. журнал. 1992. Т. 38. №6. С. 1116-1117.

9. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н., ШешенинаО.А. . Поверхностно-сдвиговые волны в структурированных материалах. // Тез. док.

10. Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе итехнике». Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001. с. 163.

11. ЕрофеевВ.И., ШешенинаО.А. Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией// Математическое моделирование систем и процессов. Пермь. ПГТУ. 2002. №10. С. 32-41.

12. ЕрофеевВ.И., ШешенинаО.А. Волны в градиентно-упругой среде споверхностной энергией // ПММ. 2004.(в печати)

13. Ерофеев В.И., ШешенинаО.А. Волны Релея на границе градиентно-упругого пространства с поверхностной энергией. // Испытания материалов и конструкций. Сборник научных трудов. Н. Новгород. Изд-во «Интелсервис». 2002. Вып. 3. С. 42-45.

14. Ерофеев В.И., ШешенинаО.А. Распространение поверхностных волн Релея в среде Коссера. // Моделирование динамических систем./ Сборник научных трудов. Н. Новгород. Изд-во «Интелсервис».2002. С. 22-25.

15. ЕрофеевВ.И., ШешенинаО.А. Сдвиговые горизонтальные волны в слое градиентно упругого материала с поверхностной энергией // ППП: Межвуз.сб./ Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2003. Вып. 65. С. 3137.

16. Ерофеев В.И., ШешенинаО.А., ГеоргиадисХ. Поверхностные сдвиговые волны в однородном градиентно-упругом полупространстве с поверхностной энергией. // Вестник ННГУ. Серия «Механика». 2002. Вып. 4. С. 58-71.

17. Ерофеев В.И., Шешенина О.А., Георгеадис X. Поверхностные сдвиговые волны в структурированных материалах. // Трудынижегородской акустической научной сессии. Н. Новгород: TAJIAM,2002. С. 152-154.

18. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.:Наука, 1966.-519 с.

19. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: Изд-во иностр.лит., 1955. - 192 с.

20. Кондратьев А.И. Прецизионные измерения скорости и затухания ультразвука в твердых телах. // Акуст. Журнал. 1990. Т. 36. №3. С. 470-476.

21. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. -V М.: Наука, 1984.-400 с.

22. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория ассиметрической упругости. Учет «внутреннего вращения». // Физика тв. тела, 1963. Т.5 №9. С. 2591-2598.

23. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.:Наука, 1975. 415 с.

24. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7, Теорияупругости. М.:Наука, 1987. - 247 с.

25. Левин В.М., Николаевский В.Н. Осреднение по объему и континуальная теория упругих сред с микроструктурой // Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982. С. 182-193.

26. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.:Наука, 1980.-512 с.

27. Ляв А. Математическая теория упругости, ОНТИ, М.-Л., 1935. -674 с.л 29 Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра,1996.-448 с.30