Волновые движения неоднородной жидкости над твердым и пористым основанием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Разуваева, Анна Владимировна

• Разуваева, Анна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Разуваева, Анна Владимировна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ НАД ТВЕРДЫМ

НЕПРОНИЦАЕМЫМ ДНОМ

§ 1. Слой однородной жидкости над ровным дном.

Методы Стокса и Некрасова

§ 2. Слой неоднородной жидкости над ровным дном

§ 3. Однородная и неоднородная жидкость над

неровным дном

Глава 2. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ

ЖИДКОСТИ НАД ПОРИСТЫМ ДНОМ

§ 1. Слой однородной жидкости

§ 2. Слой неоднородной жидкости

Глава 3. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТИ НАД ТВЕРДЫМ ДНОМ

§ 1. Слой однородной жидкости

§ 2. Слой неоднородной жидкости с непрерывной

стратификацией

§ 3. Двуслойная жидкость

Глава 4. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ВЕРТИКАЛЬНЫХ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ

§1. Слой однородной жидкости

§ 2. Слой непрерывно стратифицированной жидкости

§ 3. Два слоя однородной жидкости

§ 4. Слой однородной жидкости на пористом основании

Основные выводы по работе

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Волновые движения неоднородной жидкости над твердым и пористым основанием»

ВВЕДЕНИЕ

Большую часть нашей планеты занимают моря и океаны. Их площадь составляет 361 млн кв. км, т.е. 71 % от поверхности всего Земного шара. С давних времен тайна "водной стихии" привлекала человечество. Первые сведения об океане, сохранившиеся до наших дней, добыты финикийцами в III в. до н. э. Египтяне, греки, римляне, китайцы, занимаясь торговлей, прокладывали все новые и новые морские пути, а вместе с тем привносили знания в науку об океане. У^же в V в. до н. э. в Греции существовала географическая карта. Количество и продолжительность плаваний возрастали, а всед за этим вставало множество вопросов, ответы на многие из которых человек ищет и по сей день. Тем более, что запросы его как в хозяйственной, так и в культурной стороне жизни возрастают.

Экономика большинства стран, даже и тех, которые не имеют прямого выхода в океаны и моря, так или иначе связана с их использованием. Это — и дешевые пути сообщения, а, следовательно, выгодная торговля, туризм, и источник морепродуктов и полезных ископаемых. Все это обуславливает необходимость развития судоходства, что в свою очередь влечет освоение прибрежной зоны на предмет строительства портов, причалов и т.д. Как следствие этого остро встает вопрос более детального изучения гидродинамических процессов, происходящих в океане, как на глубине, так и на его поверхности. Прежде всего это волны и их воздействие на различного рода преграды, в том числе на корпус корабля. Ведь сильное волнение не только усложняет плавание, приносит повреждения, но и может быть причиной гибели судна. В этой связи необходимо точно знать фактические и ожидаемые условия волнения. В настоящее время широко внедрено плавание так называемыми рекомендованными курсами, передаваемыми из центральных учреждений Гидрометеослужбы судам, находящимся в океане.

В прибрежной зоне суда находятся в большой зависимости от приливов, достигающих в отдельных пунктах предельных величин. Такие крупнейшие порты мира, как Бордо, Гамбург и Ливерпуль, могут принимать большие суда только во время прилива. Немалую роль в морской навигации играют течения. Даже современные огромные суда не могут их игнорировать. При расчете курса судна и его скорости они должны быть приняты в расчет.

При решении гидродинамических задач ставится также вопрос об учете распределения плотности в слое жидкости. Результаты

этих исследований находят применение в судоходстве, на их основе рассчитывается нагрузка судна.

Впереди перспектива освоения многих гигантских энергетических ресурсов океана. Строительство нефтяных морских сооружений, морских электростанций и других важных объектов требует детально изученных гидродинамических характеристик — изменения уровня свободной поверхности слоя жидкости, силового воздействия волн и течений на опорные элементы гидротехнических сооружений.

Деятельность человека в деле освоения земных ресурсов расширяется. Окрыленный успехом, он порой не думает о будущем. Между тем назревает новая проблема — возможность экологической катастрофы на Земном шаре. Немалое внимание в этой связи надо обратить и на проблемы освоения Мирового океана. Проекты использования тепла океанических течений, растапливания полярных льдов требуют основательного, детального, научно-обоснованного подхода.

Обобщая все вышесказанное можно утверждать, что решение различных задач гидродинамики в высшей мере актуально. Океанология, изучающая Мировой океан в целом, опирается прежде всего на физические науки, исследующие общие законы динамики жидкостей, а также широко использует математический аппарат. Ведь несмотря на то, что проводится достаточно большое число натурных исследований, для которых создана целая сеть стационарных автоматических станций, передающих информацию с моря, судов, самолетов и искусственных спутников Земли на берег, важную роль продолжает играть и экспериментальное моделирование. В этом случае модель изучаемого явления или объекта строится самим человеком. Причем она может быть как механической (модели плотин, кораблей, самолетов и т.д.), отображающей динамику изучаемых процессов, так и математической, не обладающей с изучаемым объектом одной физической природой, но подчиняющейся тем же законам, что и последний.

Изучив особенности поведения модели в различных ситуациях, можно делать некоторые прогнозы относительно реального явления. Т. о. для построения модели в первую очередь в изучаемом явлении или объекте выделяются те условия и отношения, которые являются для него наиболее важными, и отбрасываются все несущественные, второстепенные. Так получаем абстракции типа "идеальная жидкость", "несжимаемая жидкость". Описать математиче-

ски такую модель значительно проще. Сформулировав допущения и рамки применимости модели, ее воспроизводят в математических терминах. Так математическая модель процесса распространения волн и их взаимодействия с преградами на основе законов механики жидкости представляет собой краевую задачу для соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных.

В дальнейшем разрабатывается метод или алгоритм ее решения, проводятся численные расчеты. Затем модель тестируется на контрольных экспериментах, по которым имеются достаточно надежные измерения. Зачастую бывает необходимо уточнение модели. Она усложняется, в нее вносятся те моменты, от которых первоначально отвлекались. После получения хороших результатов, согласуемых с тестовыми, модель считается построенной, и становится возможным ее применение для прогнозирования поведения исследуемого объекта в условиях, где эксперименты пока не проводились или где они невозможны.

Рассмотрим одну из моделей, о которых говорилось выше, а именно, модель движения слоя жидкости над твердым дном. При ее построении будем исходить из предположения, что жидкость является несжимаемой и неоднородной. Кроме того, в ней отсутствуют процессы, обусловленные вязкостью и теплопроводностью, массовая сила есть только сила тяжести. Систему прямоугольных координат (x,y,z) свяжем с жидкостью следующим образом: плоскость Оху будет совпадать с невозмущенным уровнем свободной поверхности, ось Oz направлена вертикально вверх. В такой системе процесс движения слоя жидкости описывается системой уравнений [32, 53, 55]:

divU = 0; pt + (V ■ V)/? = 0;

1

vt + (v • V)u + -Vp = g.

P

Задача состоит в определении неизвестных функций: скорости v = (vx, vу, v2) = v(x,y, z,t); плотности р = p(x,y,z,t)', давления р = p(x,y1zJt). Вектор ускорения силы тяжести известен и направлен в отрицательную сторону оси z\ д — (0,0,—д), где д = const. Для решения поставленной задачи кроме основных уравнений системы (1) необходимо учитывать еще начальные и граничные условия. В нашем предположении слой жидкости простирается беско-

нечно во всех горизонтальных направлениях. Сверху он ограничен свободной поверхностью, уравнение которой z = ((x,y,t), снизу — твердым непроницаемым дном, поверхность которого мы предполагаем известной и заданной уравнением z — —H(x,y,t). Граничные условия в этом случае следующие:

— кинематическое и динамическое на свободной поверхности:

д( д( д( Л

тг" + vs тг1 + % тг1 - % = 0, z =(

dt dx dy ' s (2)

P=Po(x,y,t), z =(;

— условие непротекания на дне:

дН дН дН

+ ^ + ^ + Z = ~H■ (3)

Начальные условия состоят в том, что в фиксированный момент времени во всем слое жидкости задается распределение плотности и вектора скорости.

Если рассматриваемая жидкость является однородной, то модель движения значительно упрощается. Для такого типа жидкости возможно потенциальное движение. При этом v = V99, где (р — потенциал скорости. Из первого уравнения системы (1) следует тот факт, что потенциал скорости является гармонической функцией:

= 0, (4)

кроме того, учитывая что rot v = 0, р = const, имеем следующее соотношение

% + \\v<p\' + Z + g* = №, (5)

называемое интегралом Лагранжа-Коши, здесь f(t) — произвольная функция времени. В терминах функции ip соответственно перепишутся и граничные условия: на свободной поверхности:

д( dip д( д(р д( dip __ ^ ^ _ , . dt dx dx dy dy dz ' ' '

на дне

dH dip dH dp> dH dip _ ^ ^ _ .

dt dx dx dy dy dz '

В случае неоднородной жидкости потенциала скорости не существует. На практике встречаются случаи, когда плотность жидкости меняется с глубиной не непрерывно, как это предполагалось выше, а скачкообразно, т.о. жидкость представляется состоящей из слоев постоянной плотности, или же плотности, задаваемой непрерывной функцией. В каждом из этих слоев движение жидкости описывается системой (1) или, если плотность в слое постоянна, уравнениями (4), (5). Но кроме вышеуказанных граничных условий необходимо учитывать условия на поверхности разрыва плотности:

дС , дСх , ЗС _п л •_19 т +дх + ду " ' (8)

Рх - Р2 = 0, 2 = С ,

где индексами 1, 2 обозначены предельные значения величин с разных сторон поверхности разрыва г = (х, у, £). Эти условия гарантируют непрерывность нормальной компоненты вектора скорости и непрерывность давления при переходе через поверхность раздела. Начальные условия в этом случае аналогичные вышеуказанным.

Плоская задача

Для упрощения задачи в дальнейшем будем рассматривать класс движений, в котором искомые величины: скорость, давление и плотность, не зависят от одной из декартовых координат, например, у. Такие движения можно изучать только в плоскости Охг.

Изменяя обозначения координат и предполагая, что плоскостью движения является плоскость Оху, ось у направлена вертикально вверх, внесем исправления в основные уравнения и граничные условия.

Система (1) будет выглядеть следующим образом [32, 45, 53]:

ди ди

дх ду

+ = ° (9)

_ ду ди 1 _ Ъг + — + Уу — + -\7р = д ох оу р

Граничные условия:

— на свободной поверхности у = г](х^):

дг) дг) . . —V —--V,. = 0, у = тхЛ) " , ^

т дх у 1У ; (ю)

р=р0(х^), у = ф^)

— на дне у = —Н(ху

дН дН

~дГ ~дх = У = "Н(Х^)- (и)

Для плоского движения можно ввести понятие функции тока. Сравнивая дифференциальное уравнение линий тока [32]:

&х Ау ' глП\

— = — или — уу ах + ух ау — 0 (12)

и уравнение неразрывности

дьх дуч

—- Н--- = О,

дх ду '

можно заметить, что левая часть (12) является полным дифференциалом некоторой функции ф, причем такой, что

дф дф = V = (13)

Эту функцию ф и называют функцией тока. Вдоль линии тока она является постоянной.

Введение функции тока позволяет значительно упростить постановку задачи о плоском движении неоднородной жидкости.

Систему (9) можно записать в форме уравнений Громеки-Ламба [7, 32]:

др др др п дуТ дvч ~£ + V. / + V, / = 0, —^ + = О, ох оу ох оу

дих д V2 1 др

дуу д V2 1 др

ду 2 1х ^ р ду^

ди ди _

где П = —----^—- проекция вихря скорости rot V = (О, О, Г2) на

ох оу

нормаль к плоскости движения. Используя определение функции тока (13), имеем

П = _ + = _дф

\ дх2 ду2 )

Два последних уравнения (14) приводят к уравнению Гельмголь-ца для неоднородной несжимаемой жидкости:

¿Ш ^<91 и р дгх д1пр дьу 51п р сИ дt ду дх

д (V2 \ дЫр д (V2

д!пр

дх

(15)

В итоге в терминах функции ф система уравнений (14) сводится к двум уравнениям для двух неизвестных функций р и ф:

дх

др дф др дф др дt ду дх дх ду д А , дф д А , дф д л , - —Дф + угТГ^ - ТГТГ^ =

ох ах оу оу ох

д 1п р д ^ д2 ф 51п р ^ д2ф р

дг

д (1

2 т^+ду ду

ду

д\п р

дхд1 дх

д1п р

дх

(16)

Давление определяется из системы

1 др р дх 1 др рду

д ф д -И _|--

дуд1 дх

+9У

- —А ф,

ох

д2ф

--— Н--

дхд1 ду

д (\

-\Уф\2 + ду

дф ду

Аф,

(1

которая дает уравнение

-Ар =

+

др дх др ду

+ Р

д2ф д / дуд1 дх \

д2 ф д

--— Н--

дхд1 ду

+

\Уф\2 +ду^-^Аф

+

д( "(А^)2 -Уф-УАф

(18)

для определения давления во всем слое жидкости и уравнение

1 д2ф д2ф (\

которое выполняется только вдоль линии тока ф — const.

Граничные условия также записываются в терминах функции ф. На свободной поверхности кинематическое условие имеет вид

dri дф дг] дф Л , . /Г,ЛЧ

динамическое условие

p(x,7](x,t),t) =p0(x,t), y = rj(x,t), (21)

продифференцируем по х:

др^дрд^^др^^

дх ду дх дх ' ' '

dp др

выражение — и —— имеем из (17). ду дх

Условие на дне у = —Н(х, t)

дН + дфдН_дф=0 y = _H[xt)

dt ду дх дх ' '

Таким образом, задача о движении слоя неоднородной жидкости в плоскости свелась к определению функции тока, плотности и ординаты свободной поверхности. Давление будет определяться из уравнений (18) и (19).

Итак, выше была представлена модель движения слоя идеальной неоднородной жидкости, находящейся над твердым непроницаемым дном. Однако, в ряде случаев необходимо учитывать такое свойство жидкости как вязкость. Основание, над которым находится слой жидкости может быть также различным: твердым непроницаемым или пористым, имеющим ровный или переменный рельеф. Представляется удобным рассмотреть отдельно следующие модели движения:

I. Слоя однородной жидкости: а) над твердым дном; б) над пористым дном;

И. Слоя неоднородной жидкости: а) над твердым дном; б) над пористым дном;

III. Слоя вязкой жидкости, однородной и неоднородной, над твердым дном.

Интересны также математические модели взаимодействия волн

_ о

и преград, погруженных в слои жидкости различной природы.

Задачи поверхностных волн интересовали многих математиков. Лагранж, затем Коши и Пуассон внесли большой вклад в развитие этой проблемы. Ученые британской школы в первой половине 19 века уделяют этим вопросам также немалое внимание. Стоке в 1847 году ставит задачу о распространении волн конечной амплитуды над горизонтальным дном как соответствующую нелинейную задачу теории потенциала, моделирующую движение жидкости со свободной поверхностью, и решает ее методом последовательных приближений [7, 53, 54]. Им был получен следующий результат: профиль волны ассиметричен относительно уровня спокойной воды, высота гребня больше глубины впадины. Предельная форма волны такая, что угол при вершине равен 120°. Траектория частицы представляет собой разомкнутую петлю в отличии от волн малой амплитуды, где она замкнута.

С развитием методов ТФКП и внедрением их в гидродинамику эта же задача была сформулирована Леви-Чивита, как соответствующая краевая задача теории аналитических функций [3, 7]. При этом было использовано конформное отображение профиля волны на внутренность круга. А.И.Некрасов [39] свел эту же задачу к интегральному уравнению относительно угла наклона касательной к свободной поверхности слоя жидкости. С помощью метода мажорант он доказал существование свободных волн большой высоты.

Вопросам распространения волн на поверхности однородной жидкости посвящено много работ Л.Н.Сретенского [51, 52, 53, 54].

Интерес ученых привлекают и процессы, происходящие в неоднородной жидкости. Французской ученой Дюбрей-Жакотен был получен ряд интегралов исходной системы уравнений плоского установившегося движения неоднородной, несжимаемой жидкости, а также уравнение для функции тока [7, 53]. Этим же вопросам посвящены работа Ии Чиа-шун [26, 76].

С развитием гидротехники все большую роль играют задачи о распространении волн на поверхности жидкости переменной глубины и о силовом воздействии их на опоры причальных сооружений. Исследование распространения и дифракции волн на поверхности стратифицированной жидкости конечной глубины проводится в работах С.А.Габова, А.Г.Свешникова [18, 19]. Задача об установившемся течении идеальной несжимаемой стратифицированной жид-

кости над горизонтальным дном, имеющим местную неровность, сводится К.А.Бежановым, А.М.Тер-Крикоровым к краевой задаче с известной границей, а затем к интегродифференциальному уравнению [12].

Дно океана может иметь не только различный рельеф, но и быть качественно различным: твердым непроницаемым или пористым. Соответственно условием на дне уже не может быть условие "непротекания". Постановка такой достаточно сложной задачи была предложена Н.Е.Жуковским [24], дальнейшее освещение некоторых вопросов распространения волн на поверхности жидкости, находящейся над пористым дном, можно найти в монографии П.Я.Полубариш вой-Кочиной [43].

Как было сказано выше, "идеальная" жидкость является моделью, некой абстракцией той реальной жидкости, с которой мы име-еем дело в природе. Физические свойства последней таковы, что иногда возникают такие процессы, связанные с явлением вязкости, влиянием которых нельзя пренебрегать. Естественно стремление ученых узнать о них более подробно. Задача о движении жидкости с учетом вязкости значительно усложняется. Л.Н.Сретенский в работе [52] рассматривает ее линейный вариант, выделяя потенциальную и вихревую части решения и решая задачу о нахождении каждой из них в отдельности.

Современное освещение вопросов физики и динамики океана нашло свое отражение в сборнике "Физика океана" [62, 63].

В диссертационной работе описаны основные модели движения жидкости и способы их построения. Решаются вопросы построения более сложных моделей, таких, например, как движение слоя жидкости над пористым дном, а также взаимодействия жидкости с цилиндрическими преградами.

Первая глава посвящена вопросу распространения свободных волн на поверхности однородной и неоднородной жидкости постоянной и переменной глубины, находящейся над твердым непроницаемым дном. Придерживаясь идеи метода Стокса, принимаем в качестве независимых вместо переменных (х,у) переменные (х,ф), где ф — функция тока, тем самым фиксируя область определения решения плоской задачи об установившихся волнах в неоднородной жидкости над ровным дном. В дальнейшем, следуя методу Некрасова, прямоугольник, соответствующий одной волне в плоскости (х,ф), отображается на кольцо с разрезом в плоскости полярных координат (г,9). Рассматривается линейный вариант краевой за-

дачи для функции, определенной в указанном кольце без разреза. Найдено аналитическое решение в случае экспоненциальной стратификации жидкости.

В случае переменного характера твердого дна решение задачи для однородной жидкости ищется в виде ряда по степеням малого параметра, для неоднородной жидкости представляется возможным свести ее к краевой задаче для вертикальной компоненты скорости.

Во второй главе решается задача о волновом движении идеальной однородной и неоднородной жидкости, находящейся над пористым основанием. Модель строится на основании метода Жуковского. Исходная задача о движении однородной жидкости между неподвижными частичками пористого дна заменяется задачей о движении сплошной среды под действием поверхностных сил и массовых сил гравитации и трения. Если жидкость, находящаяся над пористым дном, однородная, то решается линейный вариант краевой задачи для потенциалов водного и пористого слоев. В случае неоднородной жидкости и ровной поверхности пористого дна строится решение типа бегущей волны. Для экспоненциальной стратификации жидкости найден его аналитический вид.

Третья глава посвящена исследованию волнового движения вязкой однородной и неоднородной жидкости над твердым непроницаемым ровным дном. В линейном варианте задача сводится к краевой задаче для функции уу — вертикальной компоненты скорости. Однако, в сравнении с аналогичной задачей для идеальной жидкости порядок дифференциального уравнения для уу возрос и стал равен 4. Получено дисперсионное соотношение, являющееся также алгебраическим уравнением четвертой степени относительно частоты со.

В четвертой главе освещены вопросы дифракции волн на вертикальных цилиндрических преградах, полностью погруженных в жидкость вплоть до твердого дна. Решаются трехмерные задачи для однородной и неоднородной жидкости, находящейся над твердым или пористым дном. В каждом из этих случаев переменные разделяются. Причем функция от горизонтальных координат всегда является решением внешней краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца. Для функции от вертикальной координаты имеем разные краевые задачи. Демонстрируется решение задачи в случае, если преграда представлена вертикальным цилиндром кругового сечения, для боковой поверхности которого выписывает-

ся распределение нагрузки по вертикали.

Основные результаты работы докладывались на Международном симпозиуме по гидродинамике судна (МСГС), посвященном 85-летию со дня рождения A.M.Васина, Санкт-Петербург, 1995 г.; International session "Boundary effects in stratified and/or rotating fluids", St. Petersburg, 1995; на Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-95", Минск, 1995 г.; а также на семинарах кафедры высшей математики и на научных конференциях факультета ПМ-ПУ СПбГУ, на кафедре гидроаэромеханики математико-механического факультета СПбГУ.

Основные результаты опубликованы в работах [8, 9, 10, 11, 64].

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Разуваева, Анна Владимировна

Основные выводы по работе

1. Получено аналитическое решение задачи о волновом движении неоднородной экспоненциально стратифицированной жидкости конечной глубины, находящейся над твердым непроницаемым дном.

2. Получено точное решение задачи для произвольно стратифицированной бесконечно глубокой жидкости.

3. Построен алгоритм решения задачи о волновом движении однородной жидкости над пористым дном, имеющим местную неровность.

4. Решена задача о волнах в неоднородной жидкости над ровным пористым дном.

5. Выведены дисперсионные соотношения, позволяющие судить о структуре волнового поля вязкой стратифицированной жидкости, находящейся над твердым дном.

6. Построены модели воздействия волн на вертикальные цилиндрические преграды, погруженные в однородную и неоднородную жидкость над твердым и пористым основанием. Получено распределение нагрузки на боковую поверхность преграды по вертикали.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Разуваева, Анна Владимировна, 1998 год

Литература

1. Алешков Ю.З. Проникновение волн на акваторию порта при произвольно расположенных оградительных сооружениях.// Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1988. Вып. 1 (N 1). С.28-32.

2. Алешков Ю.З. Моделирование волновых движений неоднородной жидкости.// Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1989. Вып. 3 (N 15). С.39-42.

3. Алешков Ю.З. Теория взаимодействия волн с преградами. Л. 1990. 372 с.

4. Алешков Ю.З. Распространение внутренних волн в океане.// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1992. Вып. 3(N 15). С.3-9.

5. Алешков Ю.З. Представление волновых движений несжимаемой жидкости.// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1994. Вып. 1(N 1). С.58-66.

6. Алешков Ю.З. Методы теории потенциала в нелинейных задачах о распространении волн на воде.// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1994. Вып. 3(N 15). С.3-7.

7. Алешков Ю.З. Течение и волны в океане. С.-Пб. 1996. 226 с.

8. Алешков Ю.З., Разуваева A.B. Волны установившегося вида в стратифицированной жидкости.// Международный симпозиум по гидродинамике судна. С.-Пб. 1995 г. С. 425-430.

9. Алешков Ю.З., Разуваева A.B. Течение и внутренние волны в океане.// Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике "Механика-95". Минск. 1995 г. С. 12-13, с. 261-262.

10. Алешков Ю.З., Разуваева A.B. Волны в неоднородной жидкости над твердым и пористым дном.// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1996. Вып. 1 (N 1). С.70-76.

11. Алешков Ю.З., Разуваева A.B. Волновые движения вязкой жидкости.// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1996. Вып. 2 (N8). С.50-56.

12. Бежанов К.А., Тер-Крикоров A.M. Многослойные установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости над неровным дном.// Прикл. мат. и мех. 1984. Т.48. Вып.5. С. 750-760.

13. Бежанов К.А., Тер-Крикоров A.M. Обтекание тела многослойным потоком идеальной несжимаемой тяжелой жидкости.// Прикл. мат. и мех. 1985. Т.49. Вып. 3. С.392-400.

14. Белозеров Б.С., Никитин А.К., Потетюнко Э.Н. Задача Коши-Пуассона о волнах на поверхности вязкой жидкости конечной глубины.// ВММФ. 1967. N 6. С.1320-1333.

15. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. 1981. 448 с.

16. Букатов А.Е., Черкесов Л.В. Волны в неоднородном море. Киев. 1983. 224 с.

17. Воробьев Ю.Л. Гидродинамика судна в стесненном фарватере. СПб. 1992. 224 с.

18. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М. 1986. 288 с.

19. Габов С.А., Свешников АР. Линейные задачи нестационарных внутренних волн.М. 1990. 344 с.

20. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М. 1953. 415 с.

21. Данаев Н.Т., Смагулов Ш., Темирбеков Н.М. Численное решение уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в каналах с пористой вставкой.// Прикл. мат. и тех. физ. 1995. Т. 36. N 5. С.21-30.

22. Дрейк Ч., Имбри Дж.., Кнаус Дж., Турекиан К. Океан сам по себе и для нас. М. 1982. 470 с.

23. Ерманюк Е.В. Экспериментальное изучение силового воздействия внутренних волн на неподвижную сферу.// Прикл. мат. и тех. физ. 1993. Т. 34, N 4. С.103-108.

24. Жуковский Н.Е. Собрание сочинений. М. 1948.

25. Зубов В.И. Колебания и волны. Л. 1989. 416 с.

о _

26. Ии Чиа-шун. Волновые движения в слоистых жидкостях.// Нелинейные волны. М. 1977. С.271-296.

27. Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л. 1973. 240 с.

28. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л. 1962. 708 с.

29. Келдыш М.В. Избранные труды. Механика. М. 1985. 567 с.

30. Кистович A.B., Чашечкин Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно стратифицированной среде. Прикл. мат. и мех. 1993. Т.57. Вып. 4. С. 50-57.

31. Кочин Н.Е. Собр. соч. в 2-х т. М.-Л. 1949. Т.Н. 588 с.

32. Кочин Н.Е., Кибелъ Е.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. В 2-х ч. М. 1963. 4.1. 584 с. 4.2. 728 с.

33. Краусс В. Внутренние волны. Л. 1968. 272 с.

34. Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М. 1950.

35. Лаврентьев М.А. Избранные труды. М. 1990. 600 с.

36. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теориии функций комплексного переменного. М. 1958. 678 с.

37. Ламб Г. Гидродинамика. М. 1947. 928 с.

38. Мирополъский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л. 1981. 302 с.

39. Некрасов А.И. Собр. соч. в 2-х т. T.I. М. 1961. 443 с.

40. Никитин А.К., Потетюнко Э.Н. К пространственной задаче Коши-Пуассона о волнах на поверхности вязкой жидкости конечной глубины.// Доклады АН СССР. М.1967. Т.174. N 1. С.50-52.

41. Овсянников Л.В. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн.// Новосибирск. 1985. 318 с.

42. Панасенко Г.П. Осреднение системы уравнений движения вязкой жидкости в пористой среде.//Прикл. мат. и мех. 1995. Т.59. Вып. 2. С. 340-344.

43. Полубаринова-КочинаП.Л. Теория движения грунтовых вод. М. 1977. 664 с.

44. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2-х т. T.I. М. 1983. 528 с. Т.Н. М. 1984. 560 с.

45. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.-Л. 1960. 444 с.

46. Секерэю-Зенъкович СЛ. Теорема единственности и явное представление решения задачи Коши для уравнения внутренних волн.// Докл. АН СССР. - 1981. Т.256. N 2. - С.318-320.

47. Секерэю-Зенъкович С.Л. Задача Коши для уравнения внутренних волн.// Прикл. мат. и мех. 1982, Т.46. Вып.6. С.946 953.

48. Секерэю-Зенъкович С.Я. О неустановившихся движениях неоднородной жидкости.// Н.Е.Кочин и развитие механики. М., 1984. С.149 168.

49. Секерэю-Зенъкович Я.И. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины.// Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1951. Т.15. N 1. С.57-73.

50. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 5-и т. M. Т.4. 1974. 4.1. 366 с. 4.2. 1981. 652 с.

51. Сретенский Л.Н. Динамическая теория приливов. М. 1987.

472 с.

52. Сретенский JI.H. О волнах на поверхности вязкой жидкости. Труды ЦАГИ. 1941. Вып. 541. с. 1-34.

53. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.;

1977. 816 с.

54. Сретенский Л.Я. Теория ньютоновского потенциала. M.-JI. 1946. 216 с.

55. Стокер Дж.. Волны на воде. М. 1959. 618 с.

56. Стурова И.В. Плоская задача о гидродинамической качке погруженного тела при наличии хода в двуслойной жидкости./ / Прикл. мат. и техн. физ. 1994. N 5. С.32-44.

57. Тер-Крикоров A.M. О внутренних волнах в неоднородной жидкости. Прикл. мат. и мех. 1962. Т.XXVI. Вып.6. С. 10671076.

58. Тер-Крикоров A.M. К теории волн установившегося типа в неоднородной жидкости. Прикл. мат. и мех. 1965. Т.29. Вып.З. С.440-452.

59. Тер-Крикоров A.M. О силах, действующих на препятствие в стратифицированном потоке. Прикл. мат. и мех. 1993. Т.57. Вып.1. С.58-65.

60. Тер-Крикоров A.M. Исследование задачи обтекания тела плоским стратифицированном потоком. Прикл. мат. и мех. 1993. Т.57. Вып.З. С.41-50.

61. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. 1977. 622 с.

62. Физика океана. В II т. Т. I. Гидрофизика океана. М. 1978. 456 с.

63. Физика океана. В II т. Т. II. Гидродинамика океана. М.

1978. 456 с.

64. Aleshkov Yu.Z., Razuvajeva A.V. The flow and waves in stratified liquid.// International session "Boundary effects in stratified and/or rotating fluids". St.Petersburg. 1995. P. 14.

65. Benjamin T.B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth. J.Fluid Mech. 29:559-592 (1967).

66. Benney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude//. J. of Math, and Physics. 43, N 4, 1961, P.309-313.

67. Forbes L.K. and L. W.Schwartz. Free-surface flow over a semicircular obstruction. J. Fluid Mech. 144:299-314 (1982).

68. Grimshaw R. and N.Smyth. Resonant flow of a stratified fluid over topography, J. Fluid Mech. 169:429-464 (1986).

69. Grimshaw R. and Z. Yi. Resonant generation of finite-amplitude waves by the flow of a uniformly stratified fluid over topograhy, J. Fluid Mech. 229:603-628 (1991).

70. Hunter J.K., Keller J.B. Weakly nonlinear high frequency waves. Comm. pure and appl. math. 1983. Vol.36. N 5. P. 547-571.

71. Infeld E., Rowlands G. Nonlinear waves, solitons and chaos. Cambridge. 1990. 423 p.

72. Isaacson M. Shallow wave diffraction around large cylinder//. J. of the water-way port coastal and ocean division. 103, N 1, 1977. P.69-82.

73. Keller J.B., Mow C. Internal wave propagation in an inhomoge-neous fluid of non-uniform depth. J. Fluid Mech. 1969. vol.38, part 2, p.365-374.

74. Melville W.K. and K.R.Helf rich. Transcritical two-layer flow over topography, J. Fluid Mech. 178:31-52 (1987).

75. Shen S.P. Forced solitary waves and hydraulic falls in two-layer flows. J. Fluid Mech. 234:583-612 (1992).

76. Yih C.S. Exact solutions for steady two-dimensional flows of a stratified fluid. J. Fluid Mech. 9:161-174 (1960).