Вложенные подмодели газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Макаревич, Елена Владимировна

• Макаревич, Елена Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Макаревич, Елена Владимировна

Оглавление

Введение

Глава 1. ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР, ДОПУСКАЕМАЯ УРАВНЕНИЯМИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ С РАЗДЕЛЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

1.1. Основные формулы и определения необходимые для построения оптимальной системы

1.2. Оптимальная система шестимерной подалгебры

1.3. Оптимальная система двенадцатимерной алегбры Ь\2

1.4. Компактная запись оптимальной системы алгебры Ь\2

Глава 2. ГРАФ ВЛОЖЕННЫХ ПОДАЛГЕБР

2.1. Оптимальная система - основа для графа вложенных подалгебр

2.2. Основной фрагмент графа для оптимальной системы двенадцатимерной алгебры

2.3. Конечные фрагменты к основному фрагменту графа

2.4. Промежуточные фрагменты к основному фрагменту графа

2.5. Конечные фрагменты к промежуточным фрагментам графа

Глава 3. СИСТЕМА ВЛОЖЕННЫХ ПОДМОДЕЛЕЙ ДЛЯ КОНЕЧНОГО ФРАГМЕНТА ГРАФА ОДНОЙ ПЯТИМЕРНОЙ ПОДАЛГЕБРЫ

3.1. Согласованные дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования

3.2. Инвариантные подмодели

3.3. Частично инвариантные подмодели и решения

3.4. Дифференциально инвариантная подмодель

3.5. Вложенные инвариантные подмодели

Глава 4. КОЛЛАПС ИЛИ МГНОВЕННЫЙ ИСТОЧНИК ГАЗА НА

ПРЯМОЙ И ВОЗМОЖНОЕ ОБОБЩЕНИЕ

4.1. Частично инвариантное решение четырехмерной подалгебры и

движение частиц и объемов

4.1.1. Частично инвариантное решение

4.1.2. Движение частиц и объемов

4.2. Движение звуковых характеристик, коноида и звуковой поверхности

4.2.1. Движение звуковой поверхности

4.2.2. Движение звуковых характеристик

4.2.3. Движение характеристического коноида

4.3. Инвариантные подмодели трехмерной подалгебры четырехмерной надалгебры

4.3.1. Инвариантные решения

4.4. Частично инвариантные подмодели трехмерной подалгебры четырехмерной надалгебры

4.4.1. Регулярные частично инвариантные решения ранга 1, дефекта

1, зависящие от всех пространственных переменных

4.4.2. Регулярные частично инвариантные решения, зависящие от одной пространственной переменной

Заключение

Литература

Приложение А. Оптимальная система подалгебр двенадцатимерной алгебры Ли

Приложение В. Графы вложенных подалгебр

В.1. Конечные фрагменты к основному фрагменту графа

В.2. Промежуточные фрагменты к основному фрагменту графа

В.З. Конечные фрагменты к промежуточным фрагментам графа

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вложенные подмодели газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью»

Введение

Газовая динамика - естественная наука и основывается на наблюдении и анализе происходящих в природе, в технических устройствах и в специальных экспериментах движений газов и сопутствующих этим движениям явлений. Как и в других разделах механики, в газовой динамике можно выделить теоретическое направление, цель которого предсказать поведение газов и их взаимодействие с другими телами в реальных условиях путем построения адекватных математических моделей и изучения их поведения в соответствующих условиях [19, 20, 22, 45, 66].

Задача классической газовой динамики состоит в первую очередь в том, чтобы объяснить и описать качественно главные свойства и особенности течений газа в различных условиях. С точки зрения математики классическая газовая динамика является объектом приложения абстрактных теорем из алгебры, анализа, геометрии, нелинейных дифференциальных уравнений и других математических дисциплин [13, 46]. Кроме того, физические наблюдения за поведением газа приводят к новым математическим понятиям и новым задачам, решение которых развивает известные математические теории и способствует появлению новых аналитических и численных методов исследования нелинейных дифференциальных уравнений. Богатство теоретической газовой динамики заключено в большом количестве различных математических моделей и подмоделей, в разнообразии применяемых методов, в многочисленных точно решенных задачах, в разнообразии примененных численных методов, во множестве открытых проблем, в ценности ее выводов для практических приложений.

С недавних пор используется универсальный способ изложения методов газовой динамики, основанный на симметрийном (групповом) анализе дифференциальных уравнений [6, 43, 46, 47, 62]. Симметрийный анализ базируется на теории групп Ли и алгебр Ли, хорошо зарекомендовал себя при отыскании классов точных решений дифференциальных уравнений [44, 63]. Основополагающее начало было сделано норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899) [23, 24]. Теория групп Ли долгое время оставалась в стороне от возможных приложений к дифференциальным уравнениям уравнениям математической физики. Начиная с середины прошлого столетия исследования, выполненные академиком Л. В. Овсянниковым, его учениками и последователями, показали, что методы теории групп Ли яв-

V « ( ' ] V М . ' / ) , ' I , 4 I I » \ 1 ' I ) < , 1 ' ' 1 V '

ляются эффективным способом изучения структуры множества решений дифференциальных уравнений [2, 3, 14, 16, 17, 29, 30, 31, 33, 67].

Выдвинутая академиком Л. В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [31] реализует важнейшие алгоритмы группового анализа дифференциальных уравнений на примере уравнений газовой динамики. Ставятся несколько основных задач.

Главная задача - вычисление основной группы преобразований, допускаемых моделью (групповое свойство) [25, 26, 33, 68, 73].

Задача групповой классификации заключается в необходимости перечислить спецификации произвольного элемента, для которых происходит расширение допускаемой алгебры. В [33] приводятся 13 случаев расширения допускаемой алгебры, образующих «большие модели» газовой динамики, указываются спецификации произвольного элемента и выписываются расширяющие операторы. Работы [8, 27, 28, 69, 81] также посвящены групповой классификации.

Классификация подмоделей связана с алгебраической задачей перечисления подгрупп допускаемой группы. Для уравнений газовой динамики в рамках реализации программы ПОДМОДЕЛИ эта задача выглядит как перечисление подалгебр допускаемой алгебры, то есть построение оптимальных систем подалгебр для различных расширений алгебры Галилея, допускаемых уравнениями газовой динамики при различных уравнениях состояния. Такие оптимальные системы были получены в работах [10, 21, 33, 54, 64, 83].

Кроме основных задач есть множество проблем, связанных с приложениями симметрий к решению краевых задач: преобразование подобия для простейшего представления краевой задачи, законы сохранения и интегралы [15, 71], фундаментальные решения [1]; высшие симметрии, преобразования Беклунда и формулы нелинейной суперпозиции [17], приближенные симметрии и асимптотики решений краевых задач [4, 5], физическая интерпретация групповых решений [9, 50, 59], сходство и различие подмоделей [39, 51], групповой анализ подмоделей [25, 70], дифференциально-инвариантные подмодели и расслоение на подгруппах [49, 72, 77], исследование особенностей инвариантных решений и их сопряжения через слабые и сильные разрывы [11, 50, 56, 60], иерархия подмоделей [40, 78, 80].

По программе ПОДМОДЕЛИ накоплено достаточно большое количество примеров точных решений уравнений газовой динамики. Точные ре-

^'ьГ':^га 1 У' • ^

шения играют важную роль при исследовании различных задач газовой динамики. Они применяются для выявления новых эффектов, описываемых моделью, исследования качественных свойств системы, тестирования численных методов. Классическими примерами могут служить простые волны Римана в одномерных движениях газа или двумерные течения Прандтля-Майера [43, 66]. На основе автомодельного решения получено решение задачи о точечном взрыве в газе [18, 47].

Следует заметить, что основная цель, выдвигаемая программой ПОДМОДЕЛИ, получения полного перечня подмоделей газовой динамики -трудновыполнима, поскольку массив точных решений и подмоделей насчитывает тысячи представителей [41]. Тем не менее ведется постоянное исследование в этой области целой научной школой. Качественное исследование подмоделей двумерных, винтовых, вращательных, изобарических, барохронных и других движений газа приведено в работах [7, 9, 28, 34, 42, 48, 52, 53, 55, 59, 74, 75, 76, 81]. Примеры нетривиальных частично инвариантных решений имеются в [35, 37, 38, 57, 61]. Эволюционные подмодели уравнений газовой динамики исследуются в работах [12, 25]. Кроме того, рассматриваются дифференциально-инвариантные подмодели [49, 58].

В рамках программы ПОДМОДЕЛИ, помимо исследования конкретных газодинамических моделей, решены многие вопросы, имеющие общетеоретическое значение. В частности, создан алгоритм построения оптимальных систем подгрупп конечномерных групп Ли [32]. В работе [36] введен новый классификационный признак для частично инвариантных подмоделей. Установлено, что все инвариантные подмодели газовой динамики могут быть приведены к канонической форме [39, 51]. Получена теорема об иерархии инвариантных подмоделей [40] и обобщение этой теоремы на частично инвариантные подмодели [80], необходимые для упорядочивания и структурирования множества подмоделей, которое может быть достаточно большим и трудно обозримым.

Настоящая диссертация основана на материале, полученным автором при исследовании уравнений газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью, когда плотность представляется в виде произведения функции давления и функции энтропии в рамках программы ПОДМОДЕЛИ. Этим объясняется тематическая направленность изложенного ниже материала.

Актуальность работы. Для изучения уравнений газовой динамики методами группового анализа Л. В. Овсянниковым была предложена программа ПОДМОДЕЛИ. Основной целью программы является получение полного перечня подмоделей газовой динамики. Активные исследования проводятся в этом направлении учеными - участниками программы подмодели: Чупахиным А. П., Хабировым С. В., Мелешко, С. В., Черевко А. А., Головиным С. В., Мамонтовым Е. В., Чиркуновым Ю. А. Программа ПОДМОДЕЛИ предполагает построение оптимальной системы подалгебр допускаемой алгебры, так как каждая подалгебра служит потенциальным источником некоторой подмодели. Другой важной задачей этой концепции является отыскание и классификация точных решений уравнений газовой динамики, позволяющая более точно описывать явления механики сплошной среды. Построение и исследование новых подмоделей с целью получения точных решений и их интерпретации с точки зрения физики развивает не только методы решения квазилинейных систем дифференциальных уравнений, но и позволяет конструировать аппараты с неожиданными важными свойствами газоднамических течений.

В настоящей работе используется усовершенствованный способ построения оптимальной системы подалгебр 12-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью. Способ заключается в использовании разложения 12-мерной алгебры в полупрямую сумму шестимерного абелева идеала и шестимерной подалгебры. Предлагается способ упорядочивания множества подмоделей при помощи графа вложенных подалгебр. Граф представлен следующими фрагментами: основной фрагмент, конечные фрагменты к основному фрагменту, промежуточные фрагменты к основному фрагменту, конечные фрагменты к промежуточным фрагментам. Дается физическая интерпретация решения, полученного на четырехмерной подалгебре. Разыскиваются точные решения на трехмерной подалгебре, вложенной в четырехмерную. Таким образом, осуществляется дальнейшая реализация программы ПОДМОДЕЛИ.

Целями диссертационной работы являются:

• построение оптимальной системы неподобных подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью;

• представление графа всех вложенных подалгебр из оптимальной си-

стемы с помощью фрагментов;

• по одному из фрагментов графа вложенных подалгебр 12-мерной алгебры Ли построить вложенные друг в друга подмодели газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью,

• нахождение точных решений уравнений некоторых подмоделей и описание движений: газа, звуковой поверхности, звуковых характеристик, а так же выявление оригинальных свойств такого движения.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- в явном виде представлена оптимальная система неподобных подалгебр 12-мерной алгебры Ли, предложена компактная таблица оптимальной системы;

- предложен способ упорядочивания множества подмоделей при помощи графа вложенных подалгебр;

- построены новые подмодели уравнений газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью для одного из фрагментов графа;

- найдены новые частично инвариантные решения уравнений газовой динамики и дана физическая интерпретация одного из них.

Теоретическая ценность.

Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование движения сжимаемой жидкости, групповой анализ дифференциальных уравнений. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего исследования. Например, нахождение новых точных решений, их физическое толкование. Полученные точные решения могут быть использованы в тестовых задачах для численных методов, могут быть сопряжены через характеристики с другими групповыми решениями для конструирования аппаратов с необходимыми свойствами движения газа. Развивается также математический аппарат группового анализа дифференциальных уравнений.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена применением методов группового анализа дифференциальных уравнений и методов общей теории дифференциальных уравнений.

На защиту выносятся следующие результаты:

- Построена оптимальная система неподобных подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики с уравнением состояния с разделенной

плотностью. Показано, что построенная система позволяет регулярным образом редуцировать основную модель газовой динамики к более простым подмоделям.

- Установлено, что представленный с помощью 93 фрагментов граф всех вложенных подалгебр из оптимальной системы дает возможность конструировать иерархию вложенных друг в друга подмоделей газовой динамики.

- Дана физическая интерпретация частично инвариантного решения ранга 0 дефекта 2. Решение описывает прямолинейное схлопывание газа на прямую со звуковой поверхностью в виде эллиптического цилиндра в области движения. Обнаружено, что в рассматриваемом случае слабые разрывы накапливаются на звуковой поверхности.

- Классифицированы все инвариантные и частично инвариантные подмодели и решения, построенные на подгруппе двух галилеевых переносов и растяжения.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:

- 41-я всероссийская молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2010 г.;

- Международная конференция «МОСИАК XV», Кемер (Турция), 2012

г.;

- Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», БГУ, Уфа (Россия), 2012 г.;

- Международная конференция «Проблемы нелинейной математической физики: 20 лет ЖМР», Нордфьордэйд (Норвегия), 2013 г.

- Семинар Института механики УНЦ РАН, 2013 г.;

- Международная конференция «MOGRAN XVI», УГАТУ, Уфа (Россия), 2013 г.;

- Семинар Института математики и механики УрО РАН, 2013 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ [82]-[87]. Из

них - 4 в виде статей (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК), 2 - в виде тезисов.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложе-

ний. Объем диссертации составляет 136 страниц машинописного текста, в том числе 105 рисунков, 5 таблиц, приложения А и В. Список литературы состоит из 87 наименований.

Краткое содержание диссертации.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме исследования, отмечается актуальность темы исследований, теоретическая ценность. Сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту. Описана структура диссертации.

Первая глава посвящена построению оптимальной системы подалгебр 12-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью.

В п.1.1 приведены основные формулы: уравнения газовой динамики, уравнение состояния с разделенной плотностью, базис 12-мерной алгебры Ли в декартовой системе координат, таблица коммутаторов и внутренние автоморфизмы, необходимые для построения оптимальной системы. Рассмотрена модель газовой динамики

pDiï+Vp = 0, Dp + pV-Û= 0, Dp + AV-iï = 0, (1)

где D = dt+Û- V - полная производная, й- вектор скорости, р - давление, р - плотность, V - градиент, А = рс2, с2 - квадрат скорости звука. Уравнения (1) в случае общего уравнения состояния р = /(р, S) допускают 11-мерную алгебру Ли Ьц операторов дифференцирования первого порядка. В случае уравнения состояния с разделенной плотностью

р = h(p)k(S), (2)

где h, к - произвольные функции, алгебра расширяется до 12-мерной алгебры Ли L12, со следующим базисом, записанным в декартовой системе координат:

Xi — = ду, Хз = dz, Х4 = tdx + ди,

Х5 = tdy -I- dv, Х6 = tdz + dw, Х7 = ydz - zdy + vdw - wdv,

X& = zdx - xdz + wdu - udw, X9 = хду - ydx + udv - vdu, (3)

Xio = du Xn = tdt + хдх + уду + zdz,

X\2 = tdt ~ иди ~ vdv - wdw + 2pdp.

Оператор X\2 допускается для системы (1) с функцией А, нелинейно зависящей только от р. Структура алгебры Ь\2 определяется ее подалгеб-

рами. При построении оптимальной системы использовалось разложение 12-мерной алгебры Ли в полупрямую сумму шестимерного абелева идеала и шестимерной подалгебры.

В п.1.2 построена оптимальная система проекций на шестимерную подалгебру. Алгебра Ь12 разлагается в полупрямую сумму идеала Ьц и подалгебры {Х12}. Для Ь\ 1 уже построена оптимальная система подалгебр [33], поэтому рассмотрены только те подалгебры Ьи, у которых проекция на {Х12} не равна нулю. Имеется разложение алгебры Ь\2 = ЛфЬб, где 7б = {Хи ..., Х§\ - абелев идеал, Ье = {X7,..., Х\2] - подалгебра. Оптимальная система проекций на Ьв построена на основе разложения в прямую сумму Ь6 = {Х7, Х8,Х9} ф ({Хю}Ф{Хц, Х12}). Использовались автоморфизмы действующие в Введены следующие обозначения: = {Х7:Х8:Х9}, 73 = {Х10}®{Хп,Х12}^2 = {Хп,Х12}, где ;3и13-идеалы в {Хю} - идеал в 7з, {Хц,Х12} - абелева подалгебра в </3.

В п. 1.3 каждая подалгебра оптимальной системы проекций на шестимерную подалгебру дополнялась элементами из абелева идеала. С помощью автоморфизмов, действующих в абелевом идеале Л, и с помощью замен базиса проекция на приводилась к наиболее простому виду в классе подобных. Приведен пример вычисления нормализатора. В результате построена оптимальная система подалгебр алгебры Ь\2 - таблица из 317 строк. Каждая строка таблицы задает с помощью базиса подалгебру, которая имеет номер г.г, где г - размерность подалгебры, г - порядковый номер подалгебры данной размерности.

В п. 1.4 предложена компактная запись оптимальной системы 12-мерной алгебры Ли с помощью оптимальной системы шестимерной подалгебры. Компактная запись есть таблица из 138 строк, не включающая нормализаторы.

Во второй главе представлен граф всех вложенные подалгебр двенадцатимерной алгебры Ли Ь12. Граф всех вложенных подалгебр, содержащих оператор Х\2 построен по оптимальной системе подалгебр Ь\2. Граф построен с учетом подобия в классе подобных подалгебр. Приведен алгоритм построения графа, которые заключается в следующем.

Сначала строится основной фрагмент графа - подграф Г7(12.1), в котором обозримо (ребро графа со стрелкой) прослеживаются все вложения подалгебр размерности больше или равной 7 в Ь\2 (или 12.1). Затем для всех семимерных подалгебр строятся либо конечные фрагменты

= 1, 2,3, 4,10, 26, 27 к основному графу, в которых приведены все вложенные друг в друга подалгебры размерности большей или равной 1 в подалгебры либо промежуточные фрагменты Гб(7.к), к ^ j, в которых приведены все вложения подалгебр размерности 5 и 6 в подалгебры 7.к. Далее строятся конечные фрагменты к промежуточным фрагментам

ГхСбЛО.ГМбЛ;).

Существуют шестимерные подалгебры, которые не вкладываются ни в одну семимерную подалгебру. Для них так же построены конечные и промежуточные фрагменты к основному фрагменту графа.

Все фрагменты графа вложенных подалгебр построены методом перебора подалгебр из оптимальной системы в несколько этапов. Сначала для подалгебры конечной вершины графа размерности п с номером пл из оптимальной системы выписываются все подалгебры размерности к < п с номерами к.], вложенные в подалгебру пл. Они являются вершинами строящегося графа. Вершины с номерами пл и п — 1.] соединяются ребрами. Для каждой вершины с номером п — 2.^' проводятся ребра, связывающие ее с вершинами п — 1л. Если вершин п — 1л не найдется для подалгебры п — 2._7, то она соединяется ребром с вершиной пл. Вершина п — 3л соединяется с вершинами п — если она является их подалгеброй. Вершина п —3.г соединяется с вершинами п — 1^ если она не соединяется с ней через подалгебру п — 2.к и так далее.

Граф всех вложенных подалгебр представлен следующими фрагментами: основным фрагментом, 7-ю конечными фрагментами к основному фрагменту, 19-ю промежуточными фрагментами к основному фрагменту и 66-ю конечными фрагментами к промежуточным фрагментам.

В третьей главе рассмотрена система вложенных подмоделей (иерархия подмоделей) для конечного фрагмента графа одной пятимерной подалгебры 5.33. Для всех подалгебр графа вычислены согласованные дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования, результаты сведены в таблицу. Построено 18 инвариантных подмоделей, для которых все решения одних являются частными решениями других подмоделей. Приведены примеры других групповых решений. Получено точное решение регулярной частично инвариантной подмодели ранга 1 дефекта 1, построенной на четырехмерной подалгебре 4.51 при значениях параметров подалгебры а — 0, Ь = — 1. Рассмотрена нерегулярная частично инвариантная подмодель ранга 1, дефекта 1 на четырехмерной

подалгебре 4.58, которая дает три подмодели. Дифференциально инвариантная подмодель ранга 1+0 на пятимерной подалгебре 5.33 при а = О сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнения шестого порядка. Для всех вложенных инвариантных подмоделей подалгебр графа Г\(5.33) было доказано, что решение инвариантной подмодели надалгебры является частым решением инвариантной подмодели подалгебры.

В четвертой главе рассмотрено частично инвариантное решение ранга 0, дефекта 2 на четырехмерной подалгебре 4.51(а ф 0, b Ф — 1), 58(а ф 0) из графа ri(5.33). Описано движение частиц, выделенного объема газа (контактные характеристики). Исследовано движение звуковой поверхности, где скорость частиц совпадает со скоростью звука политропного газа. Описано движение звуковых характеристик и звукового коноида, которые задают распространение слабых разрывов на этом решении. Решение задает движение газа из всего пространства по направлению к прямой для отрицательных значений времени (коллапс) и от прямой во все пространство для положительных значений времени (мгновенный источник). При бесконечно больших по абсолютной величине значениях времени все пространство занято дозвуковым движением. Звуковая поверхность движется из бесконечно удаленных точек к прямой. Звуковые характеристики и точки звукового коноида с течением времени приближаются к звуковой поверхности.

Далее рассмотрена трехмерная подалгебра 3.23(а — 0), вложенная в четырехмерную подалгебру, с целью найти множество решений для сопряжения с решениями на подалгебрах большей размерности. В результате получено две подмодели: инвариантная ранга 1 и частично инвариантная ранга 1 дефекта 1, семь решений, зависящих от одной произвольной функции и 17 точных решений, зависящих от нескольких постоянных. Минимальное число постоянных равно 4, максимальное число постоянных равно 8. Все решения записаны с точностью до преобразований, допускаемых УГД.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю C.B. Хабирову за постановку задачи и ценные замечания, высказанные во время неоднократных обсуждений представленных результатов.

Работа выполнена при поддержке гранта №ll.G34.31.0042 правительства РФ по постановлению №220.

' I, ■„v-'il'',: * Г.» " Щ V" 'улДг• >fi'\и г у1 vrf 'л/v> < и 1

f> 1 jf * ; . v> »> , ■ i 1 • .

Глава 1

ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР, ДОПУСКАЕМАЯ УРАВНЕНИЯМИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ С РАЗДЕЛЕННОЙ

ПЛОТНОСТЬЮ

Приводится оптимальная система подалгебр 12-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью. При построении оптимальной системы используется разложение 12-мерной алгебры Ли в полупрямую сумму шестимерного абелева идеала и шестимерной подалгебры. На первом этапе строится оптимальная система проекций на шестимерную подалгебру. Далее проекции дополняются элементами из абелева идеала. Предлагается компактная запись оптимальной системы 12-мерной алгебры Ли с помощью оптимальной системы шестимерной подалгебры.

1.1. Основные формулы и определения необходимые для построения оптимальной системы

Рассматривается модель газовой динамики

рИй+^р = 0, + Ор + АЧ-й = 0, (1.1)

где Б = дь + й• V - полная производная, й - вектор скорости, р - давление, р - плотность, V - градиент, А = рс2, с2 - квадрат скорости звука. Для уравнения состояния р = /(р, 5) квадрат скорости звука равен с2 — /р, где 5 - энтропия [33]. Уравнения газовой динамики (1.1) в случае общего уравнения состояния допускают 11-мерную алгебру Ли Ьц линейных операторов дифференцирования первого порядка, соответствующих одно-параметрическим группам. Для специальных уравнений состояния алгебра расширяется.

Далее рассматривается уравнение состояния с разделенной плотностью

р^ЦрЩБ), (1.2)

где к, к - произвольные функции. В этом случае функция состояния А зависит от давления А = к(р)к(3)(к(3)к'(р))~1 = Н{р){Н'(р))"1 = А(р).

Система уравнений (1.1) в случае уравнения состояния (1.2) допускает 12-мерную алгебру Ли операторов Ь\2, со следующим базисом в декартовой системе координат:

= дх, Х2 = ду, Х3 — д2, Х4 = Ьдх + ди, х5 — гду + ду, Х& = 1дг + ди,, Х7 = удг - гду 4- уди, - гиду, Х8 ~ гдх - хд2 + ыди - идш, Х9 = хду - удх + иду - уди, (1.3) Хю = ди Хп = Ьдг + хдх + уду + гдг, Х\2 ~ Ьдг - иди - иду - и)дш -1- 2рдр.

Оператор Х12 допускается для системы (1.1) с функцией А, нелинейно зависящей от р. Уместно заметить, что функция А — 77? отвечает политроп-ному газу. Оптимальная система в этом случае приведена в работах [10], [64]. Структура алгебры Ьи определяется ее подалгебрами. Подалгебр различной размерности бесконечно много, поэтому их перечисляют с точностью до подобия относительно внутренних автоморфизмов - оптимальная система подалгебр (ОС). По каждой подалгебре можно построить групповое решение (1.1), которое должно быть действительным. Поэтому важно строить оптимальную систему подалгебр над полем действительных чисел. Подобие подалгебр определяется линейными преобразованиями векторного пространства Ь\2, которые сохраняют таблицу коммутаторов. Конструктивно такие линейные преобразования вычисляются только для внутренних автоморфизмов. Внутренние автоморфизмы вычисляются путем решения дифференциальных уравнений дйкХ' — \Х', Хк], Х'\ак=о = X, X € Ь\2, где Хк, к = 1,..., 12 - базисные операторы. С помощью таблицы 1 коммутаторов [54] каждое из этих уравнений можно представить в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений для координат оператора X'.

Таблица 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 -3 2 1

2 3 -1 2

3 -2 1 3

4 -6 5 -1 -4

5 6 -4 -2 -5

6 -5 4 -3 -6

7 -3 2 -6 5 -9 8

8 3 -1 6 -4 9 -7

9 -2 1 -5 4 -8 7

10 1 2 3 10 10

11 -1 -2 -3 -10

12 4 5 6 -10

В этой таблице пустые клетки означают, что соответствующий коммутатор равен нулю, а вместо операторов Х{ пишутся их номера г. Произвольный оператор из Ь\2 записывается в виде X = х1Х\ + ... + х12Хп• Внутренние автоморфизмы вычислены в работе [54] и действуют на координаты ж = = (ее1,..., х12) по правилу:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Макаревич, Елена Владимировна, 2013 год

Литература

1. Аксенов А. В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады РАН. - 1995. -Т.342, №2, - С.151-153.

2. Андреев В. К. и др. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск. Наука, 1994.

3. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Тринадцать основных типов инвариантных уравнений газовой динамики // Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1989. - С.37-56.

4. Банков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. X. Приближенные симметрии // Матем. сб. - 1988. - Т. 136(178), Вып.4(8) - С.435-450.

5. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. X. Приближенные симметрии и законы сохранения // Тр. МИАН. - 1991. - Т.200 - С.35-45.

6. Бирхгоф Г. Гидродинамика. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

7. Гарифуллин А. Р. Подмодели сжимаемой жидкости на двумерных подалгебрах // Сиб. журн. индустр. матем. - 2003. - Т.6, №1, - С. 1626.

8. Гарифуллин А. Р. Групповая классификация гидродинамической системы ранга два стационарного типа // Сиб. журн. индустр. матем. - 2004. - Т.7, №3, - С.66-75.

9. Гарифуллин А. Р. Пример сферически симметричного движения сжимаемой жидкости // Сиб. журн. индустр. матем. - 2007. - Т.10, №2, - С.45-52.

10. Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае по-литропного газа // Новосибирск. (Препр./ СО РАН, Ин-т гидродинамики; №5-96). - 1996.

11. Головин С. В. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики // ПМТФ. - 1997. - Т.38, №1, - С.3-10.

12. Головин С. В. Точные решения для эволюционных подмоделей газовой динамики // ПМТФ. - 2002. - Т.43, №4, - С.3-14.

13. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. - М.: ИЛ, 1960.

14

15

16

17

18

19

20

21.

22,

23.

24,

25,

26,

27.

28.

<

Ибрагимов Н. X. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа // ПМТФ. - 1966. - Т.9, № 4. - С.19-22.

Ибрагимов Н. X. Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения (замечания к теореме Нетер) // Теоретическая и математическая физика. - 1969. - Т.1, №3, - С.350-359. Ибрагимов И. X. К теории групп преобразований Ли-Беклунда // Матем. сб. - 1979. - Т.109(151), №2, - С.229-253. Ибрагимов И. X. Группы преобразований в математической физике. - М.: Наука, 1983.

Коробейников В. П. Задачи теории точечного взрыва в газах. - Наука: 1985.

Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе И. В. Теоретическая гидродинамика,

4.1.-М., 1963.

Кочин И. Е., Кибель И. А., Розе И. В. Теоретическая гидродинамика,

4.2. - М., 1963.

Кузьмина А. А. Оптимальная система конечномерных подалгебр алгебры Ли, допускаемой уравнением теплопроводности // Сиб. журн. индустр. матем. - 2004. - Т.7, №2, - С.88-98.

Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковые течения и ударные волны. -М.:ИЛ, 1950.

Ли С. Теория групп преобразований: В 3-х частях: 4.1 - М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. Ли С. Теория групп преобразований: В 3-х частях: 4.2 - М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2012. Мамонтов Е. В. Групповые свойства 2-подмоделей класса Е уравнений газовой динамики // ПМТФ. - 2001. - Т.42, №1, - С.33-39. Мамонтов Е. В. Групповые свойства 2-подмоделей класса Б уравнений газовой динамики // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. - 2007. - Т.7, №1, - С.72-84.

Мелешко С. В. Групповая классификация уравнений двумерных движений газа // ПММ. - 1994. - Т.58, Вып.4, - С.56-62. Мелешко С. В. Групповая классификация уравнений движений газа в постоянном поле сил // ПМТФ. - 1996. - Т.37, №1, - С.42-47.

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39,

40

41.

42,

43,

Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. - Новосибирск, 1966.

Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.

- М.: Наука, 1978.

Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №1-92). - 1992. Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. - 1993. - Т.ЗЗЗ, №6. - С.702-704.

Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. - 1994. - Т.58, Вып.4, - С.30-55.

Овсянников Л. В. Изобарические движения газа // Дифференциальные уравнения. - 1994. - Т.ЗО, №10, - С. 1792-1798. Овсянников Л. В. Особый вихрь // ПМТФ - 1995. - Т.36, №3, -С.45-52.

Овсянников Л. В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения // Докл. РАН. - 1995. - Т.343, №2. - С.156-159. Овсянников Л. В. Регулярные типа (2,1) подмодели уравнений газовой динамики // ПМТФ. - 1996. - Т.37, №2, - С.3-13. Овсянников Л. В., Чупахин А. П. Регулярные частично инвариантные подмодели уравнений газовой динамики // ПММ. - 1996. - Т.60, Вып.6, - С.990-999.

Овсянников Л. В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №3-97). - 1997.

Овсянников Л. В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Доклады РАН. - 1998. - Т.361, №6, - С.740-742.

Овсянников Л. В. Некоторые итоги выполнения программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики // ПММ. - 1999. - Т.63, Вып.З. - С.355-372.

Овсянников Л. В. О периодических движениях газа // ПММ. - 2001.

- Т.65, Вып.4, - С.567-577.

Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. - М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

44

45

46

47

48

49

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям.

- М.-Мир, 1989.

Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я., Зверев И. Н., Бунимович А. И. Газовая динамика. - М.: Высшая школа, 1965.

Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.: Наука, 1978. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1977.

Тарасова Ю. В. Классификация подмоделей с линейным полем скоростей в газовой динамике // Сиб. журн. индустр. матем. - 2009. -Т. 12, №4, - С.128-136.

Уразбахтина Л. 3. Дифференциально-инвариантные подмодели 3-мерных подалгебр для сжимаемой жидкости // Сиб. журн. индустр. матем. - 2007. - Т. 10, №2, - С. 128-137.

Хабиров С. В. Нестационарное инвариантное решение уравнений газовой динамики, описывающее растекание газа до вакуума // ПММ.

- 1988. - Т.52, Вып.6, - С.967-975.

Хабиров С. В. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики // Докл. РАН. - 1995. - Т.341, №6, - С. 764766.

Хабиров С. В. Подмодель винтовых движений в газовой динамике // ПММ. - 1996. - Т.60, Вып.1, - С.53-65.

Хабиров С. В. Подмодель вращательных движений газа в однородном поле сил // ПММ. - 1998. - Т.62, Вып.2, - С.263-271. Хабиров С. В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики // Препринт ин. мех. УНЦ РАН, Уфа, 1998.

Хабиров С. В. Течения газа со спиральными поверхностями уровня // ПМТФ. - 1999. - Т.40, №2, - С.34-39.

Хабиров С. В. Инвариантные решения уравнений газовой динамики // Вестн. УГАТУ. - 2001. - Т.1, №3, - С.47-52.

Хабиров С. В. Нерегулярные частично инвариантные решения ранга 2 дефекта 1 уравнений газовой динамики // СМЖ. - 2002. - Т.43, №.5, - С.1168-1177.

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70,

71,

I

Хабиров С. В. Классификация дифференциально инвариантных подмоделей // СМЖ. - 2004. - Т.45, Вып.З, - С.682-701. Хабиров С. В. Непрерывное радиальное ограниченное движение газа под действием поршня // ПМТФ. - 2004. - Т.45, №2, - С. 124-136. Хабиров С. В. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальных прямолинейных движений газа // Математические заметки. - 2006. - Т.79, №4, - С.601-606.

Хабиров С. В. Частично инвариантные решения для подмодели радиальных движений газа // ПМТФ. - 2007. - Т.48, №5, - С.26-34. Хабиров С. В. Лекции по основам газовой динамики. БГУ, Уфа, 2013. Чеботарев, Н.Г. Теория групп Ли - М.Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1940.

Черевко А. А. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р — /(5')р5/3 // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; № 4-96) - 1996.

Черевко А. А. Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике: Дис. канд. физ.-мат. наук. Новосибирск. 2005 - 164 С.

Черный Г. Г. Газовая динамика. - М.: Наука, 1988. Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошных сред. НГТУ, 2012.

Чиркунов Ю. А. Групповое свойство уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. - 1973. - Вып. 14. - С. 138-140.

Чиркунов Ю. А. Групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных // Докл. АН СССР. - 1990. - Т.314, №1. - С.155-159.

Чиркунов Ю. А. Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосибирский государственный университет экономики и управления, 2007. Чиркунов Ю. А. Законы сохранения и групповые свойства уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука // ПММ. - 2009. - Т.73. Вып.4. - С.587-593.

72. Чиркунов Ю. А. Групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости // Известия АН. Механика твердого тела. - 2009. - №3. - С.47-54.

73. Чупахин А. П. Групповые свойства некоторых подмоделей газовой динамики // Межд. школа-семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа. САМ-ГОП 94». Тез. докл. Арзамас, 1994. С. 119.

74. Чупахин А. П. О барохронных движениях газа // Докл. РАН. - 1997. - Т.352, №5. - С.624-626.

75. Чупахин А. П. Барохронные движения газа: общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1) // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; № 4-98) - 1998.

76. Golovin S. V. Irrotational Barochronous Gas Motions. Nonlinear Dynamics 36, 2004, pp. 19-28.

77. Golovin S. V. Applications of the differential invariants of infinite dimensional groups in hydrodynamics, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 9(1), 2004, pp.35-51.

78. Golovin S. V. On the hierarchy of partially invariant submodels of differential equations, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2008, T.41, 265501 (16pp).

79. Khabirov S. V. Optimal systems of symmetry subalgebras for big models of gasdynamics, Journal of the south African Mathematical Society, 24(2) (2001), pp 133-146.

80. Khabirov S. V. Hierarchy of submodels of differential equations, Archives of ALGA, 2012, V.9, pp 79-94.

81. Meleshko S. V. Group classification of two-dimensional steady viscous gas dynamics equations with arbitrary state equations, J. Phys. A: Math. Gen. 35, 2002, pp.3515-3533.

82. Макаревич E. В. Оптимальная система 3-х мерных подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики с коэффициентом, зависящим от давления // Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург 2010. С.275-281.

83. Макаревич Е. В. Оптимальная система подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью // Сибирские электронные математические известия. - 2011. - Т.8, - С.19-38.

84. Макаревич Е. В. Иерархия подмоделей уравнений газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью // Сибирские электронные математические известия. - 2012. - Т.9, - С.306-328.

85. Макаревич Е. В. Коллапс или мгновенный источник газа на прямой // УМЖ. - 2012. - Т.4, Вып.4, - С.119-129.

86. Макаревич Е. В. Коллапс или мгновенный источник газа на прямой // Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа 2012. С.262.

87. Макаревич Е. В. Инвариантные и частично инвариантные решения относительно двух галилеевых переносов и растяжения // УМЖ. -2013. - Т.5, Вып.З, - С.121-129.