Влияние выбора кусочно-линейных и гладких условий пластичности на напряженно-деформированное состояние круговых дисков и сферических тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сёмка Элеонора Викторовна

• Сёмка Элеонора Викторовна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Сёмка Элеонора Викторовна

Введение

Глава 1. Основные соотношения

1.1. Основные понятия и уравнения при решении задач определения напряжений и деформаций

1.2. Выводы

Глава 2. Упругопластическое состояние быстровращающегося диска постоянной толщины при комбинированной нагрузке

2.1. Определение напряжений и перемещений для условия пластичности Треска

2.2. Определение напряжений и перемещений для кусочно-линейных условий пластичности общего вида

2.3. Напряженно-деформированное состояние для условия пластичности Ишлинского-Ивлева

2.4. Определение напряжений и перемещений для нелинейного условия пластичности Херши-Хосфорда

2.5. Результаты вычислений

2.6. Выводы

Глава 3. Напряжения и деформации во вращающемся тонком диске с учетом изотропного упрочнения материала

3.1. Определение эквивалентной пластической деформации

3.2. Определение напряжений и перемещений для кусочно-линейной функции пластичности с учетом изотропного упрочнения материала

3.3. Определение напряжений и перемещений для кусочно-линейной функции пластичности с учетом изотропного упрочнения, содержащей двенадцать ребер пластичности

3.4. Условие пластичности Треска с учетом изотропного упрочнения материала

3.5. Условие пластичности Ишлинского-Ивлева с учетом изотропного упрочнения материала

3.6. Условия пластичности Херши-Хосфорда с учетом изотропного упрочнения материала

3.7. Выводы

Глава 4. Упругопластическая толстостенная сферическая оболочка в условиях теплового и силового воздействий

4.1. Толстостенная сферическая оболочка под действием внешнего и внутреннего давлений

4.2. Толстостенная сферическая оболочка при тепловом воздействии

4.3. Толстостенная сферическая оболочка под действием силового и теплового воздействия

4.4. Результаты вычислений

4.5. Выводы

Заключение

Литература

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние выбора кусочно-линейных и гладких условий пластичности на напряженно-деформированное состояние круговых дисков и сферических тел»

Актуальность темы

Математическая теория пластичности является основой многих инженерных направлений. Одно из направлений связано с исследованием напряжений и деформаций в элементах многих машин под действием, например, центробежных сил, возникающих при вращении и определение допустимых значений внешних нагрузок. Другое направление теории пластичности связано с развитием механики твердого деформируемого тела в области термо-упругопластического деформирования. Обработка металлов давлением сопровождается температурными напряжениями, поэтому область допустимых значений параметров нагрузки важна для правильного построения технологических процессов. Основные исследования связаны с оценкой нагрузки на инструмент, выбора оборудования, нахождения оптимальных технологических режимов обработки (степени и скорости деформирования, температуры обработки, предельных возможностей деформирования, геометрии инструмента). Все это приводит к выбору нужных механических свойств заготовок, чтобы выявить в очаге деформации области повышенной опасности разрушения и обеспечить требуемые условия эксплуатации деталей.

При комбинированной нагрузке необходимо определение значений допустимых нагрузок при решении конкретных задач в рамках выбранных математических моделей сложных континуальных систем. Задача определения допустимых значений параметров нагрузки в рамках выбранных математических моделей объектов в настоящее время исследована не в полной мере, о чём свидетельствуют многочисленные научные исследования последних лет. Теоретическое изучение состояния объекта в зависимости от значений параметров нагрузки позволяет прогнозировать его поведение. Следовательно, оценить допустимые значения параметров нагрузки при определении состояния объекта на основе выбранной математической модели является одной из важнейших технологических задач.

Первые работы по теории пластичности были выполнены в семидесятых годах прошлого века Сен-Венаном и Леви, которым принадлежит создание одного из вариантов теории пластичности, а также получение основных уравнений задачи плоской деформации [78, с.7]. Общие уравнения теории идеальной пластичности были даны М. Леви [78; 205].

Работы по исследованию быстровращающихся дисков были выполнены многими авторами [3; 4; 8; 17; 18; 19; 80; 103; 104; 105; 106; 113;115; 128; 129; 131; 132; 142; 149; 151; 158-160; 162; 164; 168-170; 181; 194; 196; 210; 213; 221 - 224; 228; 229].

Большая часть работ связана с использованием условий пластичности Треска [1; 4; 8; 15; 17; 41; 70; 71; 88; 89; 90; 94; 128; 129;132; 162; 166-177; 210; 214-216; 224; 227; 229]. Критерий Треска используется для получения пластической предельной нагрузки для конструкций, поскольку имеет кусочно-линейные математические выражения, что делает возможным интегрирование соотношений ассоциированного закона пластического течения.

А.А. Буренин, Г.А. Ткачева, Г.А. Щербатюк, Е.П. Дац, Е.В. Мурашкин, Н.Н. Малинин [2; 44; 45; 46; 56; 60; 93; 114; 118; 119; 120; 121; 128; 135; 143; 166] рассматривали условие пластичности Ишлинского-Ивлева. В работе [29] для кусочно-линейного пластического потенциала, задающего в пространстве главных напряжений условие пластичности максимальных приведенных касательных напряжений, получено решение одномерной квазистатической задачи теории температурных напряжений о локальном нагреве круглой пластины, изготовленной из идеального упругопластического материала. В работе [32] выбраны кусочно-линейные пластические потенциалы для расчетов неустановившихся температурных напряжений.

В статье [6] описывается состояние тонкого диска из пластически сжимаемого материала для критерия пластичности Мизеса в сочетании с ассоциированным законом пластического течения.

В работе [168] U. Gamer рассмотрел задачу о вращающемся диске при

выборе условия Треска, соответствующего равенству нулю радиальной ком-

5

поненты тензора напряжений на боковой поверхности диска. Было показано, что в рамках теории пластического течения выбор данного условия пластичности приводит к разрыву перемещений или напряжений на упругопластиче-ской границе. Основным результатом работы [168] является утверждение о неприемлемости условия пластичности Треска для определения напряженного и деформированного состояния вращающегося диска. В работе [1 05], было показано, что такой вывод был сделан, поскольку в постановке [168] решалась переопределенная задача. В статье [169; 170] для устранения проблем, указанных в [168], И.Оашег предложил использовать условие пластичности Треска с учетом изотропного упрочнения, что позволяет обеспечить непрерывность перемещений в центре диска. Следуя подходу и.Оашег, было опубликовано много статей.

Надо отметить, что для кусочно-гладких пластических потенциалов и модели идеального упругопластического тела, когда в пластической области выполняется не один режим пластичности, выполнение сингулярных режимов приводит к разрыву пластических деформаций на границе смены режимов [104].

Задача о сферической оболочке рассматривалась Л.М. Качановым, А.Д. Коваленко, Г. Паркусом, I СИакгаЬаг1у, I ЬиЬНпег, С.П. Тимошенко [57; 60; 61; 81; 149; 207; 228;], а также рассматривалась рядом авторов в разных постановках [35; 38; 40; 44; 62; 63; 64; 65; 68; 69; 71; 72; 73; 74; 106; 108; 109; 111; 112; 122; 126; 150; 203; 216; 220; 225; 226].

В работах [35; 38; 141] учитывалось, помимо механических нагрузок, еще и тепловая нагрузка, и упрочнение материала. Упругопластическая сферическая оболочка, подверженная внутреннему давлению, была исследована И.Оашег [173]. О.R.Cowpeг исследовал идеально пластичную сферическую оболочку, на которую действует температурное поле [150]. В работе [18] М.Е. Бабешко рассматривает термоупругопластическое деформирование составной оболочки в процессах осесимметричного нагружения с учетом третьего инварианта девиатора напряжений. И.Оашег в работе [175] обобщает

6

результаты G.R. Cowper [150] на изотропное упрочнение неопределенного характера, дав общую трактовку упругопластических задач малых деформаций со сферической симметрией. Распределение напряжений нагрузки и остаточных напряжений в идеально пластичных оболочках, подверженных градиентам давления и температуры обсуждалось W. Johnson и P.B. Mellor [195]. Упругое состояние полого шара, испытывающего внутреннее давление и температурное воздействие, рассмотрено С.П. Тимошенко в [228]. В [196] Л.М. Качанов дал решение задачи об идеально упругопластическом шаре. В [47; 48;61; 81; 149; 207] приведено решение упругопластической задачи о полом шаре для разных вариантов теплового воздействия. В работе [216] дано решение задачи о толстостенной сферической оболочке для изотропно упрочняющегося материала. В [40] Е.П. Дац предложил метод расчета накопленных необратимых деформаций в процессе нестационарного теплового воздействия. В силу незначительного влияния тепловых эффектов, возникающих при нециклическом нагружении, в подавляющем большинстве работ решается несвязная задача [62-65]. Во всех указанных работах определение напряжений и деформаций в полом шаре проводилось, когда внешнее давление на шар равно нулю.

Из анализа работ следует, что определение напряженно-деформированного состояния круговых дисков и сферических тел, испытывающих комбинированное внешнее воздействие, остается не до конца изученным. Поэтому дальнейшее исследование пределов применимости выбранных математических моделей остается актуальным.

Цель и задачи диссертационной работы: постановка и решение задач определения упругопластического состояния круговых дисков и сферических тел, испытывающих комбинированное силовое и тепловое внешнее воздействие; изучение особенностей поведения моделей упругопластических тел при выборе кусочно-линейных и гладких условий пластичности; определение допустимых границ внешних параметров для упругого и упругопластическо-

го состояния рассматриваемых объектов; изучение влияния значения материальных параметров на напряженно-деформированное состояние объектов.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

• разработаны алгоритмы определения напряженно деформируемого состояния быстровращающегося диска для кусочно-линейных и гладких функций пластичности;

• определены возможности использования условия пластичности Треска при определении напряженного и деформируемого состояния быстро-вращающегося тонкого диска;

• определено напряженно-деформированное состояние толстостенной сферической оболочки при силовом и тепловом воздействии, когда функция пластичности зависит от всех инвариантов тензора напряжений и учитывается упрочнение материала;

• определена область допустимых значений комбинированной нагрузки для разных упругопластических состояний толстостенной сферической оболочки.

Научная новизна. Научная новизна настоящего исследования состоит в следующем:

• показано, что при решении задачи о быстровращающемся диске для кусочно-линейных условий пластичности, кроме условия пластичности максимально приведенного напряжения, в центре диска наблюдается неограниченный рост пластических деформаций, выбор условия пластичности Треска приводит к разрыву перемещений в центре диска;

• показано, что при выборе гладких функций пластичности, в том числе позволяющих с высокой степенью точности аппроксимировать кусочно-линейные поверхности пластичности, в центре диска не наблюдается неограниченный рост пластических деформаций;

• определена область допустимых значений комбинированной нагрузки для разных упругопластических состояний толстостенной сферической оболочки;

• показано, что учет первого инварианта тензора напряжений в условии пластичности приводит к ограничениям на допустимые значения внешних давлений, действующих на толстостенную сферическую оболочку;

• дана оценка зависимости напряженно-деформированного состояния рассматриваемых объектов от значения материальных констант.

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные результаты могут быть использованы при расчёте напряжений и перемещений элементов конструкций при термоупругопластиче-ском состоянии объектов, изготовленных из различных материалов, с учетом границ нагрузок (силовых и температурных). Результаты диссертации позволяют определить области изменения нагрузок, при которых толстостенная сферическая оболочка находится в определенном состоянии, что позволит прогнозировать ряд технологических операций.

Разработан «Программный комплекс для расчета состояния дисков», который был зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ под номером №: 2020660330 «02» сентября 2020 г.

Положения, выносимые на защиту:

• аналитические и численные решения задачи о быстровращающемся тонком диске и толстостенной сферической оболочке при выборе кусочно-линейных и гладких функций пластичности;

• границы внешних воздействий, в пределах которых тела находятся в упругом, упругопластическом и предельном состоянии;

• рекомендации при использовании кусочно-линейных условий пластичности для расчета плоского напряженного состояния в упругопластических телах.

Степень достоверности и апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались на научных конференциях: Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Международная научная конференция, Воронеж, 17-19 декабря 2018 г.; Информатика: проблемы, методология, технологии: Материалы XIX Международной научно-методической конференции Воронеж, 14-15 февраля 2019 г.; XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, 19- 24 августа 2019 г.; Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Международная научно-техническая конференция, Воронеж, 11-13 ноября 2019 г.; Моделирование энергоинформационных процессов: Материалы VIII национальной научно-практической конференции с международным участием, Воронеж 2020; Информатика: проблемы, методы, технологии: Международная конференция, Воронеж, 13-14 февраля 2020 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 16 научных работ [99-109; 111-113; 223; 224], в том числе 4 статьи опубликованы в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ [102; 111; 112; 113], 1 работа в изданиях, входящих в список источников, индексируемых в Web of Science и Scopus [224], 11 публикаций в сборниках материалов Всероссийских и Международных научных и научно-практических конференций и семинаров, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [110].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, главы основного текста, заключение, список литературы из 232 наименований, 5-ти приложений. Работа изложена на 190 страницах, содержит рисунков 50.

Глава 1 Основные соотношения

1.1 Основные понятия и уравнения при решении задач определения напряжений и деформаций

Твердое деформированное тело является макроскопической системой, которая рассматривается как сплошная среда (материальный континуум), состояние которой определяется совокупностью параметров (внешних и внутренних). Внешние параметры характеризуют внешние силовое, тепловое, кинематическое и другие воздействия на тело, а также определяют положение тела. Представление о континуальности тела позволяет использовать аппарат интегрального и дифференциального исчисления при построении математической модели, которая дает возможность прогнозировать состояние тела при изменении значения внешних параметров.

Математическая модель деформируемого твердого тела включает ряд соотношений, которые можно разбить на две группы. Первая включает уравнения баланса. Вторая определяющие уравнения, устанавливающие зависимости между внутренними параметрами тела. Построение математической модели включает ряд предположений.

Деформируемые тела меняют конфигурацию под действием внешних воздействий (нагрузок). Обычно принимается гипотеза естественного состояния, согласно которой в начальный момент до приложения нагрузок деформации в теле отсутствуют. Однако если к телу были приложены нагрузки, которые потом удалялись, то в теле могут остаться остаточные деформации, которые необходимо учитывать при определении состояния тела в процессе дальнейшего изменения нагрузок. В данной работе предполагается, что тело в процессе изменения нагрузок может проявлять упругие и пластические свойства. Также предполагается, что под действием нагрузок деформации в теле остаются малыми, что позволяет при решении задач использовать приближение малых деформаций.

Для малых деформаций принимаются соотношения Коши, определяющие связь тензора малых деформаций и перемещений

1

8 = -(V® и + ит) (1.1)

где и - вектор перемещений, ® - символ операции тензорного умножения.

Предположение о малости деформаций существенно упрощает математическую модель. Все соотношения будут относиться к отсчетной конфигурации.

Уравнение движения

ра о + р¥. (1.2)

Здесь а - вектор ускорения материальной точки, р - плотность, о - тензор напряжений Коши, Р - плотность массовых сил, V - набла (оператор Гамильтона).

В тех случаях, когда рассматривают квазиравновесное изменение состояния тела, используют уравнение равновесия

V-о + р¥ = 0. (1.3)

Есть ряд практически важных задач, когда тело находится в равновесии относительно собственной (неинерциальной) системы отсчета. Тогда согласно принципу Даламбера выполняется условие относительного равновесия

V- о + рР + Ф = 0, Ф = -ра, (1.4)

где Ф - плотность сил инерции. В таких случаях уравнение движения (1.4) в форме Даламбера также называют уравнением равновесия [82; 115]

Из уравнения баланса массы в силу малых деформаций с точностью до малых первого порядка следует, что в уравнениях изменением плотности пренебрегают [96; 97] р = р0, где р0 - плотность в начальном состоянии.

Из уравнения баланса момента импульса при отсутствии внутренних моментов, массовых и поверхностных распределенных пар следует симмет-

~ т

рия тензора напряжений о = о .

Для тензора малых деформаций принимается аддитивное разложение полных деформаций на деформации разных видов. Так для упругопластиче-ских тел, когда не рассматривается тепловое воздействие,

г = + ep, (1.5)

где se - тензор упругих деформаций, sp - тензор пластических деформации.

Упругое тело определяется исходя из предположений взаимно однозначной зависимости тензоров напряжений и деформаций и равенства нулю работы напряжений на приращениях деформаций по любому замкнутому пути в пространстве деформаций или напряжений, то для упругого тела [51]

(i«)

Для изотропного тела потенциал U - функция трех независимых инвариантов, например, trse, tr(Devse )2, tr(Devse )3. Выбор таких инвариантов обусловлен тем, что тензор второй валентности можно представить в виде суммы шарового тензора и девиатора

о = 1 tro • I + Devo, 3

1 (1.7)

se = - trse • I + Devse. 3

где I - единичный тензор второй валентности. У шарового тензора один инвариант, у девиатора два независимых инварианта. Шаровой тензор напряжений характеризует гидростатическое давление, девиатор напряжений -сдвиговые напряжения. Шаровой тензор деформаций характеризует сжатие тела, девиатор деформаций - деформации сдвига не приводящие к изменению объема. В предположении линейной связи тензоров напряжений и деформаций для изотропного тела закон Гука устанавливает пропорциональность шаровых тензоров напряжений и упругих деформаций, а также пропорциональность девиатора напряжений и упругих деформаций [51; 57]

tro = 3Ktrse,

(1.8)

Devo = 2GDevse,

определяет линейное упругое тело. Коэффициент К называется объемным модулем, О - модулем сдвига.

Соотношения закона Гука следуют из (1.6), когда потенциал и является квадратичной формой

и = К )2 + О1т фел>ее )2. (1.9)

Обычно линейный закон Гука приводят в форме зависимости тензора деформаций от напряжений или наоборот

Бее = (1 + \)а - у№сI,

с . р \

Б е \4тее т а =- ее +-1

1 - 2\

V у

1 + \

(1.10)

где Б - модуль Юнга, \ - коэффициент Пуассона, I - единичный тензор. Между величинами Б, \ и величинами К, О имеется связь [51]

К = Б , О = . (111)

3(1 - 2\) 2(1 + \) ( )

Закон Гука применяется в случае малых деформаций.

Если кроме силового и кинематического внешнего воздействия на деформируемое твердое тело учитывается и тепловое воздействие, то в теле кроме полей напряжений, деформаций и перемещений возникают тепловые поля.

При тепловом воздействии на тело деформации теплового расширения определяются соотношением [60; 93; 97]

£в =аг (Т - Т0 )1, (1.12)

где ат - коэффициент линейного расширения материала, Т - актуальная температура, Т - начальная температура (температура при которой деформации считаются нулевыми). Тогда в случае малых деформаций полные деформации

£ = £е + £в+ £Р, (1.13)

Соотношения закона Гука с учетом деформаций теплового расширения являются соотношениями Дюамеля-Неймана [60; 81], которые можно записать в виде

Е(ее + гв) = (1 + у)ь-уггь! + Еат (Т - Т0 )1. (1.14)

В рамках термодинамики необратимых процессов постулируется закон теплопроводности. Для равновесных и квазиравновесных процессов принимается закон Фурье, определяющий пропорциональность теплового потока д градиенту температуры

д = -ЯУТ. (1.15)

Из уравнения баланса энергии в линейном приближении, когда принимается закон Фурье, при решении несвязной задачи уравнение теплопроводности [60]

дТ

--аАТ = w(r, г) (1.16)

д?

где а - коэффициент температуропроводности среды, А - оператор Лапласа, w(r, г) - функция тепловых источников, Т - температура в точке с координатами г в момент времени г.

Уравнение теплопроводности при решении стационарной задачи и теплоизолированной системы п(г, г) = 0

АТ = 0 (1.17)

Температурное поле определяется из решения уравнения (1.16) с начальными и граничными условиями, или (1.17) с граничными условиями, которые определяются рамками постановки задачи.

Для оценки величины напряженного состояния в области упругого состояния определяется эквивалентное напряжение ст - скалярной изотропной

функции тензора напряжений. Эквивалентное напряжение для упругого тела можно определять, например, через квадратичный потенциал деформаций Ж (ь), который приводит к закону Гука. Однако для упругого тела в качестве эквивалентного напряжения выбирают функцию пропорциональную интен-

сивности напряжений. Интенсивность касательных напряжений (как и интенсивность напряжений, касательное напряжение на октаэдрической площадке) являются величинами пропорциональными квадратному корню из квадратичного инварианта девиатора напряжений

Т = д/(-1 -^2 )2 +(^2 -^3 )2 + (*3 -^1 )2 =^НВеО)2 , (1.18)

который равен нулю, если напряженное состояние есть состояние гидростатического давления. Понимание роли линейного инварианта тензора напряжений и кубического инварианта девиатора напряжений при оценке величины напряженного состояния наиболее полно было раскрыто в математической теории пластичности [50; 56; 57; 115]. Для упругопластического тела эквивалентное напряжение удобно связывать с выбранной функцией пластичности [93]. При таком выборе значение эквивалентного напряжения на упругопластической границе будет совпадать со значением функции пластичности. Введение эквивалентного напряжения позволяет говорить о нагружении, нейтральном нагружении и разгрузке в области упругого состояния тела. Для идеального упругопластического тела процесс нагружения в точке тела является нейтральным, функция пластичности и эквивалентное напряжение принимают фиксированное значение. В области пластического состояния оценить величину пластических деформаций можно с помощью определения эквивалентной пластической деформации [52]. Например, эквивалентную пластическую деформацию определяют из рассмотрения элементарной работы напряжений на приращениях пластических деформаций. В этом случае принимают, что [169]

<ЛА = о • -й£р = ащ • -йерщ (1.19)

При достижении «некоторой комбинации» [55] предельных значений напряжений (условие пластичности Б (а ) = 0, которой в трехмерном пространстве главных напряжений соответствует некоторая поверхность - по-

верхность пластичности) в исследуемом твердом теле возникают необратимые деформации (пластические деформации).

Среди наиболее известных условий пластичности [55] можно выделить

- условие пластичности максимального касательного напряжения (условие пластичности Треска)

F = maxjo -<2|,<2 -<3|,<3 -<1}- 2rs,; (1-20)

ts - предел пластичности при чистом сдвиге;

- условие максимального приведенного напряжения (Ишлинского-Ивлева)

2

F = maxjo < -<< , (1-21)

os - предел пластичности при одноосном растяжении;

- кусочно-линейные условия пластичности общего вида

F = шах(аг< + Д<o2 + у<} - k, k = const, (1.22)

n - число несингулярных режимов пластичности, аг, Д, у - числовые коэффициенты;

- условие пластичности (Мизеса) (условие постоянства интенсивности касательных напряжений)

F = (<1 - <2 )2 + (<2 - <3 )2 + (<3 - <1 )2 - 2<s2 ; (1-23)

- условие пластичности Херши- Хосфорда

F = (<1 -<2 )2 " +(<2 -<3 )2И +(<3 -<1 )2И - 2<s2И > (1-24)

где m - целочисленный параметр;

В математической теории пластичности рассматриваются разные подходы [50; 56; 57; 78] к построению уравнений, определяющих связь скоростей пластических деформаций или пластических деформаций с напряжениями. Наиболее известными являются теории пластического течения, в которой устанавливается связь скоростей пластических деформаций и напряжений, и деформационная теория пластичности, в которой постулируется связь

пластических деформаций и напряжений. Так из принципа максимума Мизе-са следует соотношение

77»

£р = /—, /I > 0 (1.25)

Зо

где / - коэффициент пластической податливости, £р - тензор скоростей пластических деформаций.

Аналогично ассоциированному закону пластического течения можно постулировать ассоциированный закон пластического деформирования [150; 151],

77»

Л£р = /—, /> 0 (1.25*)

Зо

где Л£р = £р - £р(0) - компоненты тензора пластических деформаций, ер - актуальная пластическая деформация, £р (0) - начальная необратимая деформация. Гипотеза о естественном состоянии устанавливает отсутствие начальной необратимой деформации до момента процесса нагружения.

Задача определения напряжений и деформаций для изотропной среды будет состоять из системы уравнений (1.1) - (1.25), которая дополняется условиями на поверхности, ограничивающей тело, наложенные на напряжения и/или перемещения.

Если на поверхности тела £, ограничивающей тело, задан вектор напряжений рп, то

о • п = р„, (1.26)

если на поверхности, ограничивающей тело, заданы перемещения, то

Ч = и, (1.27)

На границе раздела упругих и пластических областей принимается непрерывность вектора напряжений и вектора перемещений

[о • п] = 0,

[41 = 0, (128)

где [ ] - обозначает скачок величин при переходе через указанную границу, п - вектор нормали к границе.

На упругопластической границе также должно выполняться условие непрерывности функции пластичности. В случае осесимметричного плосконапряженного состояния на упругопластической границе будут непрерывны радиальная и окружная компоненты тензора напряжений.

1.2 Выводы

В данной главе приведены основные соотношения теории упругопла-стического тела, которые используются в рамках теории малых деформаций.

Глава 2

Упругопластическое состояние быстровращающегося диска постоянной толщины при комбинированной нагрузке

В рамках механики сплошной среды в приближении плоского напряженного состояния рассматривается задача о вращающемся тонком диске постоянной толщины рис. 2.1.

Рис. 2.1. Вращающийся диск

Выбирается цилиндрическая система координат pвz, ось z которой проходит через центр диска р = 0, а плоскость z = 0 является средней плоскостью. На внешний контур диска р = Ь действует давление рь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сёмка Элеонора Викторовна, 2022 год

- и

. | ---

1 . |

\ ч

ч в * Ч >

0.2 0 -1 0 6 0 ■ • «ч. 1

Р

с) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.91, у = 0.3 й) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.92, у = 0.4

Рис.1 Полные деформации, перемещения при постоянном параметре т и изменении коэффициента Пуассона.

Е£Р

ЕЕР

10

-5

-10

( 1 1 1 1 \ \ \ ч - К

_ -К — е' Л

0,2----От! 4 0.'б~ 0^8 1 г' / 1

/ 1 1

1 1

Р

а) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.89, у = 0.1

-15

1 1 1 1 1 \ \ \ ч - -<

— 2

% / /' 2----а. 4 0.6 0.8 1

1 1 1

1 1 1

Ь) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.90, у = 0.2

с) т = 2.99, рь = 0, с = 0.91, у = 0.3

й) т = 2.99, рь = 0, с = 0.92, у = 0.4

Рис. 2. Пластические деформации при постоянном параметре т и изменении

коэффициента Пуассона.

с

0.8

0.6

0.4

0.2

0

\

Л

N

Ч

Ч

Ч

\

\

\

— ОТ --(У..

\

\

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 а) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.89, у = 0.1

0.8

0.6

0.4

0.2

О

ъ N \ ч \

ч ч ч \

\ \ \ \

N \ \ \

\ \ \

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ь) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.90, у = 0.2

0.8

0.6

0.4

0.2

ч ч ч \

ч ч ч \

\ \ \ \

\ \ \ \

(У.

- - \ \ \

О 0.2 0.4 0.6 0.8 с) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.91, у = 0.3

Г

С7

0.8

0.6

0.4

0.2

О

ч

ч

\

ч

ч

ч

ч

\

\

\

\

\

р

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (!) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.92, у = 0.4

Рис. 3. Окружные, радиальные и эквивалентные напряжения при постоянном параметре т и изменении коэффициента Пуассона.

1 ,

0.5 •

У • •

■ ■ ^ .... 1 -с 1.5 О /\ с. 0.5 ..;.:•] 1

-и.э

.....*-'Х-'

<х

\

.X' 0.5 >

1 -С 1.5 0 0.5 ..Д

-0.5' /

*• • .....-/х-'

а) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.89, у = 0.1 Ь) т = 2.99, рь = 0, с = 0.90, у = 0.2

.1' • •

/

и.э с

1 -0 .5 0 -0.5 0.5

•

\ .....'.'Х-'

Г

0.5

.-:1

-0.5 О -0.5

.......*-Ь

0.5 уД

с) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.91, у = 0.3 й) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.92, у = 0.4

Рис.4. Годограф напряжений при постоянном параметре т и изменении коэффициента Пуассона.

а) т = 2.33, ръ = 0, с = 0.185, у = 0.49 Ь) т = 2.44, ръ = 0, с = 0.369, у = 0.49

0.2 0.-4 0.6 0.8 с) т = 2.77, р6 = 0, с = 0.688, у = 0.49 () т = 2.99, р6 = 0, с = 0.923, у = 0.49

Рис.5. Полные деформации, перемещения при у = 0.49 и изменении параметра т.

Еер

0.15 0.10 0.05 0

0.05 -0.10 -0.15

• 1 — - <

г 1 1 -< - Е*

1 \ \ 2

\ \ \

./0.2 0.4 0.6 0.8 ] / 1

/ /

1 1 •

I 1

Еер 10.5

О

-0.5

-1

5

---£.

\

\

0.2"' 0.4 0.6 0.8

а) т = 2.33, рь = 0, с = 0.185, у = 0.49 Ь) т = 2.44, рь = 0, с = 0.369, у = 0.49

Еер 8

6

4

-¿У

---£.

Еер 20

10

\

I ■ ■ ■ ■

0.2--------~ 0.6 0.8

0 ь

10

20

1 1 1 1 1 \ \ \ Ч — - 4

—.. -К 2

----,-,-___I 0>2----ОС 4 0.6 0.8 1 /' /

с) т = 2.77, рь = 0, с = 0.688, у = 0.49 й) т = 2.99, рь = 0, с = 0.923, у = 0.49 Рис.6. Пластические деформации при у = 0.49 и изменении параметра т.

а

чч. \\ ч X ч ч

ч \ ч \ \ X

\ \ \ \ \

- ---% \ \ \ \ \

\ \ \ V

0.2 0.4 0.6 0.8

а 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

>ч Ч \ ч N

ч \ \ \ \

\ ' \ \ \

--- - °в - N N \ \ \

\ \ \ N

0.2 0.4 0.6 0.8

а) т = 2.33, ръ = 0, с = 0.185, у = 0.49 Ь) т = 2.44, ръ = 0, с = 0.369, у = 0.49

сг

0.8

0.6

0.4

0.2

— \ Ч ч

ч ч \ \

ч \ \ \ ч \ \ \

— ___ со

\ \ \ *

0.8 0.6 0.4

0.2 \Р 0

\

\

\

\

ч

\

\

\

\

<Х

— ст..

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 о 0.2 0.4 0.6 0.8 1 с) т = 2.77, ръ = 0, с = 0.688, у = 0.49 й) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.923, у = 0.49

Рис.7. Окружные, радиальные и эквивалентные напряжения при у = 0.49и

изменении параметра т.

• *

1' 0.5 \

й.. .(

1 -0 .5 0 0.5 .. Я

-и.ь

•

у' А- 0.5

•• /

1 -0 •5 0 -0.5 0.5 ..•?]

.....'"Х-'

а) т = 2.33, ръ = 0, с = 0.185, у = 0.49 Ь) т = 2.44, рь = 0, с = 0.369, у = 0.49

.1' 0.5

у' / / \

1 -0 .5 0 -0.5 0.5 у/1

\

....."'I-'

с) т = 2.77, рь = 0, с = 0.688, у = 0.49 Рис. 8. Годограф напряжений при

1' 0.5

/ \

/

■ . , ^ 1 -С 1.5 0 -0.5 1 ■ ■ • , 0.5 .-VI 1

.....*;х-'

й) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.923, у = 0.49 у = 0.49 и изменении параметра т.

Ее, Ей

2.5

1.5

0.5

— _ - и

— —

0 2 0 4 0 6 0 8 1

Ее. Ей

2.5

1.5

0.5

£е 5 о

— — * - и

* > .

___ Ч > * V "х

0 2 0 4 0 6 0 8 1

Р

а) т = 2.55, ръ = 0, с = 0.244, к = 0.2 Ь) т = 2.6, р6 = 0, с = 0.347, у = 0.2

Ее, Ей

2.5

1.5

0.5

_ . _ £С

. 1 — — - и

1 .»

х, ■ч . ------

Ч 4 *Ч1 ' ч, *Ч> X

0 2 0.4 0 6 0 8

Ее,

2.5

1.5

0.5

- и

. 1

1 1

у- Ч > * Ч 1 ' ч, Ч4

0 2 О 4 0 6 0 8

с) т = 2.99, р6 = 0, с = 0.904, у = 0.2 ^) т = 3.0, р6 = 0, с = 0.933, у = 0.2

Рис.9. Полные деформации, перемещения при у = 0.2 и изменении параметра т.

Еер _ Еер

I--- е! о.8

0.2

0.1

-0.1

•0.2

1

I -0.6

I \ \

\

0.-1

\

ч

о ^------»-Р о

1

-0.2

0.2 0.4 0.6 0.8

/

/

11 1 1 1 \ — _ £р сР

£р -е*

\ \

\ ч

О / г " 0^4 о!б 0^8 1

Т 1

" г 1 1 1 ■ 1

-0.4-0.6-0.8

а) т = 2.55, рь = 0, сх = 0.244, у = 0.2 Ь) т = 2.6, ръ = 0, сх = 0.347, у = 0.2

Еер Еер

15

10

-5

10

1 1 1 1 \ \ - 4 -к

- - - £*

\ \ ч

а / / 2----6.4 бив" 0.8 1

/ / 1

1 1 X»-

15 10 5 0 -5 10 15

1 1 — - 4 -< рр

1 1 1

\ \ \ - • с. л

\

а / / / 1 2—6:4 аё" о.8 1

» 1 1

1

-15-1

с) т = 2.99, ръ = 0, с = 0.904, у = 0.2 й) т = 3.0, ръ = 0, с = 0.933, у = 0.2 Рис.10. Пластические деформации при у = 0.2 и изменении параметра т.

с а

а) т = 2.55, ръ = 0, с = 0.244, у = 0.2 Ь) т = 2.6, рь = 0, с = 0.347, у = 0.2

с) т = 2.99, р6 = 0, с = 0.904, у = 0.2 й) т = 3.0, р6 = 0, с = 0.933, у = 0.2

Рис.11. Окружные, радиальные и эквивалентные напряжения при у = 0.2 и

изменении параметра т .

а) т = 2.55, ръ = 0, с = 0.244, у = 0.2 Ь) т = 2.6, ръ = 0, с = 0.347, к = 0.2

х- 0.5 \

У

/

' ' 1.1 ... 1 -с >.5 0 -0.5 ......... . . 0.5 .VI

с) т = 2.99, р6 = 0, с = 0.904, у = 0.2 Рис. 12. Годограф напряжений при

•*' 0.5

у /

■ • ■ < ■ ■ л:1 -С (.5 0 -0.5 ..... ........ ^ о.5 ..•;•] 1

*4 /

d) т = 3.0, ръ = 0, с = 0.933, у = 0.2 у = 0.2 и изменении параметра т.

Приложение Б

Графики изменений вращающегося диска полных деформаций, перемещений, пластических деформаций, окружных, радиальных и эквивалентного напряжений, годограф вектора напряжений для одного режима условия пластичности Шмидта-Ишлинского

а) т = 2.55, = 0, с = 0.162, у = 0.2

Ь) т = 2.6, = 0, с = 0.229, у = 0.2

Ее, Ей 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

"ч ч - - ^ ---и

N ч ч

\ \ ч __— л

у ✓ V У У \ N

У / / \ <

/ / / ч ч ч

0. 2 0 4 0 6 0 8 V

Ее. Ей

1.6

1.4