Влияние возмущающей силы, изменяющейся по заданному закону, на движение малого небесного тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат наук Санникова Татьяна Николаевна

• Санникова Татьяна Николаевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Санникова Татьяна Николаевна

1.1 Постановка задачи

1.2 Инвариантная форма для инвариантных элементов

1.3 Полуинвариантная форма для полуинвариантных элементов

1.4 Три системы отсчета

1.4.1 Основная система отсчета

1.4.2 Сопровождающая система отсчета (первый орт — по радиусу-вектору)

1.4.3 Сопровождающая система отсчета (первый орт — по вектору скорости)

1.5 О возможности сведения уравнений типа Эйлера к уравнениям типа Лагранжа

1.5.1 Основная (инерциальная) система отсчета

1.5.2 Первая сопровождающая система

1.5.3 Вторая сопровождающая система

2 Метод осреднения

2.1 Описание метода осреднения

2.2 Основная система координат О

2.3 Сопутствующая система координат О1

2.4 Сопутствующая система координат О2

2.5 Осреднение уравнений движения типа Лагранжа в инерци-альной системе отсчета

3 Разность положений на оскулирующей и средней орбите для системы О1

3.1 Квадрат дифференциала радиуса-вектора

3.2 Разности оскулирующих и средних элементов

3.3 Норма разности оскулирующих и средних элементов

3.4 О равномерной норме

4 Решение осредненных уравнений для системы О1

4.1 Эволюция круговых орбит

4.2 Эволюция некруговых орбит при Б = 0, Т = W =

4.3 Эволюция некруговых орбит при Т = 0, Б = W =

4.4 Эволюция некруговых орбит при W = 0, Б = Т =

4.5 Эволюция некруговых орбит при БТ = 0, W =

4.6 Эволюция некруговых орбит при TW = 0, Б =

4.7 Эволюция некруговых орбит при БW = 0, Т =

4.8 Эволюция некруговых орбит при БTW =

4.9 Решение осредненных уравнений на умеренной шкале времени 140 5 Применение к задаче изменения орбиты астероида или

ИСЗ

5.1 Применение результатов, полученных в главе

5.2 Применение результатов, полученных в главе

Заключение

Литература

Список иллюстративного материала

Приложения

Л Средние значения и первообразные от некоторых функций эллиптического движения

В Средние значения и первообразные от функций эллиптического движения, содержащих радикалы

С Преобразование одного тригонометрического уравнения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние возмущающей силы, изменяющейся по заданному закону, на движение малого небесного тела»

Введение

Диссертация посвящена исследованию движения небесного тела в центральном гравитационном поле при наличии добавочного возмущающего ускорения относительно простого вида. Небесным телом может быть астероид, комета, естественный или искусственный спутник планеты.

Актуальность темы исследования. В последнее десятилетие заметен всплеск интересов научной общественности к эволюции движений малых тел Солнечной системы с учетом негравитационных эффектов, в особенности к эволюции траекторий астероидов и комет, сближающихся с Землей и с другими большими планетами [32]; к использованию в космонавтике двигателей малой тяги [9]. Можно назвать коллективы исследователей из таких ведущих учреждений, как ГАО РАН, ИНАСАН, ИПА РАН, ИПМ им. Келдыша РАН, ИКИ РАН, Московский ГУ, С.Петербургский ГУ, Томский ГУ, УрФУ (Россия), Парижская обсерватория (Франция), Морская обсерватория и Лаборатория реактивного движения (США), Национальная астрономическая обсерватория (Япония) и многие другие, в частности, входящие в НАСА и ЕКА. Указанные задачи, на первый взгляд разнородные, объединяет похожий набор действующих на небесное тело сил: основная - притяжение к центральному телу - и возмущающая. Направление

последней во многих случаях, хотя и не всегда, постоянно или меняется в небольших пределах в подходящей системе отсчета, а модуль постоянен или изменяется по простому закону.

Представляется целесообразным рассмотреть детально соответствующую модельную задачу, поскольку многочисленные работы, упомянутые нами ниже, решают различными методами частные случаи задачи одного притягивающего центра с дополнительным ускорением для достижения поставленных целей. Полученные различными авторами результаты разрозненны, требуют обобщения и систематизации. Поэтому мы считаем актуальным всестороннее исследование этой задачи в случае вектора возмущающей силы, постоянного по модулю и направлению в различных вращающихся системах координат.

В результате выполнения данной работы появилась еще одна полуинтегрируемая модельная задача небесной механики и решены некоторые вопросы, связанные с движением малых тел Солнечной системы. В качестве приложения показано, что орбиту опасного астероида можно изменить двигателем малой тяги для избежания столкновения за приемлемое время (от нескольких месяцев до нескольких лет в зависимости от величины тяги и массы тела).

Степень разработанности темы исследования. В современной небесной механике известно несколько модельных задач, интегрируемых в квадратурах. В частности, задача двух неподвижных центров и ее предельный вариант - задача одного притягивающего центра с дополнительным ускорением, постоянным как вектор в инерциальном пространстве. Зада-

ча двух неподвижных центров и ее обобщения аналитически и качественно исследовались в многочисленных работах, с обзором которых от Эйлера до наших дней можно познакомиться в [4]. Уже в работах Лагранжа (1760) [29] упоминается, что предельный случай задачи двух неподвижных центров интегрируется в квадратурах. В XIX веке движение в гравитационном поле под действием добавочного возмущения рассматривалось французскими математиками Селерье, Сен-Жерменом, а также И.В. Мещерским. Они показали интегрируемость этой задачи в квадратурах, но не довели решение до конца, так как полученные ими квадратуры имели неудобную для обращения форму. В начале XX века этот вариант задачи стали использовать физики для исследования эффектов Зеемана и Штарка в рамках общей модели атома. Борн отмечал в своей монографии (1923-1924), что в случае эффекта Штарка один из силовых центров удаляется в бесконечность, при этом эллиптические координаты переходят в параболические. В результате физиками впервые были выписаны квадратуры в этой задаче и частично проведен качественный анализ возможных типов траекторий при условии отрицательной энергии, как в плоском, так и в пространственном случаях. Качественный анализ движений в предельном случае задачи не рассматривался. Позднее в работах Таллквиста (1927) [91] осуществлено интегрирование предельного варианта и получены квадратуры, которые позволили ему провести качественный анализ областей возможности движений в случаях простых и кратных корней (без геометрического представления областей). Тем не менее в то время эта задача не получила должного внимания, поскольку тогда для нее не было практического применения.

Развитие космонавтики, разработка двигателей малой тяги возроди-

ли полузабытую задачу к новой жизни. В 60-х-70-х годах прошлого века предельный вариант задачи двух неподвижных центров интенсивно исследовался в работах В.В.Белецкого [12, 13, 54], В.Г.Дёмина [22, 23, 24] (последняя книга была переиздана [25]), А.Л.Куницына [28, 72] и применялся ими в небесной механике и космодинамике.

Важное приложение этой задачи - влияния светового давления на траекторию спутника - исследовалось А.Л.Куницыным [28, 72]. От декартовых координат он перешел к параболическим, что позволило ему проинтегрировать уравнения движения в квадратурах, а затем получить конечные формулы, получающиеся в результате обращения эллиптических квадратур. Винти [93] исследовал вековой эффект светового давления на орбиту ИСЗ с помощью метода Цейпеля в переменных Делоне.

В астрономии широко используются три координатные системы с общим началом, но разными направлениями осей: основная - инерциальная декартова О с неподвижными ортами (1,к), и две сопутствующие, вращающиеся относительно основной. Орты первой сопутствующей системы О1 направлены по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Орты второй сопутствующей системы О2 направлены по вектору скорости, главной нормали к оскулирующей орбите и бинормали. Обозначим проекции возмущающего ускорения на оси инерциальной системы отсчета Р1, Р2, Р3, на оси О1 - Б, Т, W, на оси О2 - Т, Ж, W.

Уравнения движения значительно упрощаются, если обнулить какие-либо компоненты возмущающего ускорения, наклон (плоская задача) или

эксцентриситет (круговая орбита). Частные случаи задачи одного притягивающего центра с дополнительным ускорением решаются в квадратурах аналитическими и полу-аналитическими методами. Глава 17 книги Г.Л.Гродзовского [21] посвящена исследованию интегрируемости этой задачи в случаях, когда 5 = 0,Т = W = 0; Т = 0,5 = W = 0; Т =0, N = W = 0; N = 0, Т = W = 0; W = 0, N = 0, Т = 0. В.В.Белецкий [12, 13, 54] рассмотрел движение в ньютоновском поле при наличии постоянного добавочного ускорения, направленного вдоль оси х инерциальной системы координат (Р\ = 0, Р2 = Р3 = 0) и нашел решение в квадратурах с помощью перехода к параболическим координатам. Для случая плоского движения он описал возможные траектории движения малого тела. В более современной работе Лантоне [79] повторено решение плоской задачи и найдены новые типы траекторий, упущенные Белецким. Далее автор переходит к обобщению двумерного случая на пространственный с добавочным ускорением, направленным вдоль оси г инерциальной системы координат (Р1 = Р2 = 0, Р3 = 0), аналогично записывая уравнения движения в параболических координатах, находит аналитическое решение и описывает возможные типы траекторий. В [73] рассматривается переход космического аппарата между круговыми орбитами под действием малой тяги при условии постоянного нулевого эксцентриситета. В [92] исследуется плоская задача вывода космического аппарата со спутниковой круговой орбиты под действием тяги, направленной либо вдоль радиуса-вектора (5 = 0), либо по трансверсали (Т = 0). Уравнения движения записаны в полярной системе координат, получено их решение в виде рядов. Более современные результаты по этой проблеме получены в работах Беттина [53] и Болтца

[55, 56]. В случае радиальной тяги, как отмечает Болтц, существует критическое значение постоянного по величине ускорения, выше которого в итоге будет достигнута скорость убегания, и ниже которого космический аппарат будет удаляться от центрального тела по спиральной орбите, а затем вернется к начальной высоте, несмотря на продолжающееся воздействие тяги. Влияние постоянной тяги, направленной по радиусу-вектору, на круговую орбиту рассматривается также в [89]. Авторы опираются на идею, что радиальная компонента ускорения может быть просто учтена в лагранжиане как дополнительный член потенциальной энергии. Получены формулы для значения радиуса, при котором достигается энергия убегания и для амплитуды радиальных колебаний, если значение тяги ниже критического.

Многочисленные исследования показали, что, если целью является увеличение большой полуоси орбиты, например, в случае межпланетного перелета, оптимальным является тангенциальное ускорение Т. Так, в [90] изучается переход между компланарными круговыми орбитами под действием ускорения, направленного вдоль вектора скорости. В [34] исследуется плоский спиральный разгон космического аппарата под действием постоянного касательного ускорения Т малой тяги. В [57], предполагая величину тангенциального ускорения малой постоянной величиной, а остальные составляющие возмущений нулевыми, записаны дифференциальные уравнения для трех орбитальных параметров, описывающих геометрию орбиты, и получены их аналитическое решение в виде разложения в ряд первого порядка по малой величине ускорения, выраженные через эллиптические интегралы первого и второго рода.

Также для получения аналитического решения дифференциальных уравнений могут применяться различные приближенные методы. В [66] вариационные уравнения для большой полуоси, эксцентриситета, аргумента перицентра и эксцентрической аномалии в качестве быстрой переменной записаны в 01 при 5 = 0,Т = 0,W = 0. В предположении малости величин Б, Т в уравнении для эксцентрической аномалии отбрасываются члены, содержащие компоненты возмущающего ускорения, и остается только первое слагаемое. С учетом полученного выражения в первых трех уравнениях производится замена дифференцирования по времени дифференцированием по эксцентрической аномалии. Далее проводится интегрирование по эксцентрической аномалии. Авторы применяют свою методику для изучения эволюции орбит, в том числе высокоэксцентричных, при воздействии длительной тангенциальной тяги, учитывается эффект тени и сплюснутости Земли, а также истечение массы и изменение тяги со временем. В [65] использована такая же методика для уравнений движения, записанных в 02 при Т = 0, N = W = 0.В [63] рассматривается возможность отклонение малого тела, сближающегося с Землей, от опасной орбиты с помощью воздействия малой тяги, направленной вдоль вектора скорости. Система вариационных уравнений Гаусса для шести элементов орбиты записаны в системе отсчета 02 при не равной нулю только тангенциальной составляющей возмущающего ускорения. Дифференцирование по времени заменено на дифференцирование по истинной долготе, далее проводится интегрирование по истинной долготе от 0 до 2п, в результате чего вариации элементов выражены через эллиптические интегралы. Полученные уравнения решаются численным интегрированием. В [95] ва-

риационные уравнения для несингулярных равноденственных элементов (non-singular equinoctial elements), не приводящих к появлению особенностей в случае нулевого эксцентриситета или нулевого наклона орбиты, записаны в системе отсчета OВариация быстрой переменной (истинной долготы) аппроксимируется отбрасыванием слагаемых, содержащих компоненты ускорения, и в уравнениях для медленных переменных осуществляется переход от дифференцирования по времени к дифференцированию по быстрой переменной. Решения этих уравнений, представленные в виде рядов по малому параметру с точностью до первого порядка малости, содержат семь различных интегралов по истинной долготе в пределах от начального значения до конечного, которые были взяты аналитически с помощью средств компьютерной алгебры. Шестое уравнение - производная времени по истинной долготе - содержит 12 различных интегралов, из них только четыре авторам удалось взять аналитически. В более поздней работе [94] авторы находят аналитическое решение шестого уравнения для нескольких частных случаев.

Как видим, задача одного притягивающего центра с дополнительным ускорением широко применяется в астродинамике и небесной механике, кроме этого она часто используются и в учебных целях [45].

Понятия «оскулирующая орбита» и «оскулирующие элементы» являются важнейшими в небесной механике. Поскольку среди элементов встречаются медленно и быстро изменяющиеся, то переход к ним от координат и скоростей позволил, в частности, разработать метод осреднения по быстрым переменным [14, 16, 19] и описывать движение небесных тел на космогонических временах. Введение оскулирующих элементов потребо-

вало вывода соответствующих уравнений движения, что было выполнено еще Эйлером (в общем случае) и Лагранжем (для потенциальных сил). В данной работе мы рассматриваем общий случай, считая силовое поле произвольным, не предполагая его потенциальности, и тем более консервативности.

Осреднение уравнений движения по быстрой переменной в случае задачи одного притягивающего центра с дополнительным ускорением позволяет исследовать вековое изменение траектории под влиянием добавочного возмущения, но до сих пор применяется он редко и только в частных случаях. Например, в [74] используется метод осреднения для вычисления аналитического решения для восходящей орбиты при постоянном тангенциальном ускорении в присутствии земной тени (периоды нулевой тяги для двигателей на солнечных батареях). Полученные уравнения, которые содержат ряды по степеням эксцентриситета, являются точными для малых и умеренных значений эксцентриситета (0 < е < 0.2). Также здесь учтен эффект сплюснутости Земли. В [87] в результате аппроксимирующих преобразований осредненных вариационных уравнений движения получены осредненные по времени скорости изменения орбитальной энергии и эксцентриситета под действием только Т, а затем найдено выражение производной энергии по эксцентриситету. Решение, выраженное через эллиптические интегралы и их разложения в ряд, действительно для всех начальных эксцентриситетов, кроме равных нулю и единице. Также здесь представлен обзор приближенных решений, полученных ранее другими авторами. В [69] компоненты возмущающего ускорения Б, Т, W представлены в виде рядов Фурье по эксцентрической аномалии, затем уравнения Гаусса

осреднены. Этот подход хорош тем, что не требует постоянства величины или направления тяги. Точное решение осредненных уравнений для системы 02 в случае е = 0, Т = 0, N = W = 0 получено в [42].

Как правило, исследование движения малого тела А под действием силы притяжения к точке 5 и возмущающей силы Р в инерциальной системе отсчета с началом в 5 начинается с записи дифференциального уравнения вида [43, 67]:

•• к2 ^ г Н—-г = Р,

Г 3

где г = 5Л — радиус-вектор, к1 = Сто — гравитационный параметр, С — постоянная тяготения, точки означают производные по времени. Далее осуществляется переход к оскулирующим элементам и компонентам возмущающей силы на оси какой-либо системы координат, при этом выбор набора элементов и системы отсчета обусловлен поставленной задачей. После выбора системы координат и шести независимых оскулирующих элементов выводится система соответствующих уравнений возмущенного движения типа Эйлера, которые устанавливают зависимость между оскулирующими элементами, их производными по времени, то есть скоростями изменения оскулирующих элементов, и компонентами возмущающего ускорения. Эти уравнения приводятся в руководствах и учебных пособиях по небесной механике, но лишь в специфических системах отсчета и для ограниченного набора элементов.

Так, например, в [43] выведены уравнения для параметра, долготы узла и наклона в системах О и 01, для большой полуоси, эксцентриситета, аргумента перигелия, среднего движения, средней аномалии эпохи, долготы перигелия и средней долготы эпохи в 01, а также приведены без

вывода уравнения для большой полуоси, эксцентриситета, долготы перигелия и средней долготы эпохи в О2.

В [26] путем дифференцирования первых интегралов невозмущенного движения и соотношений, связывающих прямоугольные координаты с элементами орбиты, выведены уравнения типа Эйлера для долготы восходящего узла, наклона, параметра орбиты, эксцентриситета, аргумента перицентра, эпохи перицентра и истинной аномалии в системе координат О1, также для этой же системы отсчета получены уравнения для большой полуоси, среднего движения, средней аномалии эпохи и средней долготы эпохи, которые более удобны в случае чисто эллиптического движения. Далее анализируются частные случаи полученных уравнений, в которых принимается неравной нулю только одна из компонент возмущающего ускорения.

В [33] рассмотрено возмущенное движение искусственного спутника Земли в системе координат О1 и методами векторной алгебры выведены уравнения типа Эйлера для долготы восходящего узла, наклона, параметра орбиты, эксцентриситета, аргумента перицентра, аргумента широты, истинной аномалии и эпохи перицентра. Здесь же получены уравнения для большой полуоси, параметра, эксцентриситета, аргумента перицентра, эпохи перицентра и постоянной энергии в О2 и проведен качественный анализ влияния отдельных компонент возмущающего ускорения на эволюцию элементов орбиты.

В [44] методами векторной и матричной алгебры получена система шести дифференциальных уравнений, в которых осуществлен переход от времени к истинной аномалии в качестве новой независимой переменной и проведено интегрирование по истинной аномалии от 0 до 2п, после че-

го оцениваются вариации элементов за один оборот под действием таких возмущений, как сжатие планеты, сопротивление атмосферы и др.

Итак, классические уравнения Эйлера жестко привязаны к определенной системе отсчета, вращающейся в трехмерном пространстве с переменным, зависящим от положения и скорости, вектором угловой скорости, благодаря чему уравнения имеют относительно простой вид. Однако в век информатики простота уравнений отходит на второй план. Полезно иметь универсальные уравнения движения, инвариантные относительно выбора системы координат, для наиболее часто используемых элементов. Это возможно лишь частично, поскольку некоторые элементы сами зависят от ориентации системы координат. Поэтому целесообразно разбить оскулиру-ющие элементы на два класса: инвариантные, такие как вектор площадей и его модуль, фокальный параметр, постоянная энергии, большая полуось, среднее движение, эксцентриситет, средняя аномалия, истинная аномалия, эксцентрическая аномалия, эпоха перицентра, средняя аномалия эпохи, и зависящие от выбора основной плоскости, например, наклон, долгота восходящего узла, аргумент перицентра, аргумент широты.

Попытка унифицирования уравнений типа Эйлера встретилась нам только в книге [67]. Здесь получены инвариантные уравнения для параметра орбиты, эксцентриситета, большой полуоси и эпохи перицентра, в которых справа встречаются скалярные произведения вектора площадей и его производной по времени, вектора Лапласа и его производной по времени, а также их линейные комбинации. Уравнения для полуинвариантных элементов (наклона, долготы восходящего узла, аргумента перицентра) выражены здесь через скалярное произведение производной по времени от век-

тора площадей и орта к, смешанное произведение вектора площадей, его производной по времени и орта к, скалярное произведение единичного вектора, направленного по линии узлов от начала координат 5 в восходящий узел, и производной по времени от вектора Лапласа. Производная по времени от вектора площадей равна векторному произведению радиуса-вектора и вектора возмущающего ускорения, а дифференцирование интеграла Лапласа в векторной форме дает производную по времени от вектора Лапласа. Используя эти соотношения, в [67] выводятся уравнения движения типа Эйлера в стандартной форме для орбитальной системы координат О1. В заключение без вывода приводятся уравнения для тех же элементов в О2 и указывается, что их можно легко получить из универсальных уравнений.

В настоящей работе получены универсальные уравнения движения типа Эйлера для 15 перечисленных выше часто используемых элементов орбиты — 11 инвариантных (кроме средней аномалии эпохи) и 4 полуинвариантных, но в качестве опорных выбраны вектор площадей, радиус-вектор и вектор возмущающего ускорения, что, на наш взгляд, является более удачным выбором, чем вектор площадей и вектор Лапласа, принятые в [67], так как у нас результирующие уравнения имеют законченный и удобный для дальнейшего использования вид. Так, скорости изменения всех инвариантных элементов, кроме вектора площадей, записаны в виде линейной комбинации двух величин - скалярного произведения вектора скорости малого тела и вектора возмущающего ускорения, и смешанного произведения вектора площадей, радиуса-вектора и вектора возмущающего ускорения. Производная по времени от вектора площадей представляет собой, как было указано выше, векторное произведение радиуса-вектора

и вектора возмущающего ускорения. В выражения для скоростей изменения полуинвариантных элементов добавится третья величина - смешанное произведение радиуса-вектора, вектора возмущающего ускорения и орта k оси Z инерциальной декартовой системы координат. Зависимость от этих трех величин по-прежнему линейна. В случае необходимости из этих 15 выражений можно легко вывести уравнения для новых элементов. Например, при исследовании почти круговых спутниковых орбит целесообразно вместо эксцентриситета e и аргумента перицентра а использовать их комбинации e1 = e sin а, e2 = e cos а [15]. Новые элементы являются функциями старых, поэтому e1 = sin ае + e cos а а, e2 = cos ае — e sin а а. Подставив сюда уже известные уравнения для e, а, получим универсальные уравнения для новых элементов.

При выборе вращающейся системы отсчета из универсальных выражений можно легко получить уравнения возмущенного движения, выразив скалярные и смешанные произведения через оскулирующие элементы и проекции вектора возмущающего ускорения на оси выбранной системы отсчета. В диссертации подобная операция проведена для 15 элементов орбиты в трех системах координат.

Итак, нами получены уравнения типа Эйлера для широкого набора оскулирующих элементов. Для практического использования из них выберем шесть независимых и к полученной системе уравнений применим осредняющее преобразование [47], считая отношение возмущающего ускорения к основному малой величиной. Мы ограничимся возмущениями первого порядка, поскольку этого достаточно для подавляющего числа астрономических приложений. В этом случае осредняющее преобразование

может быть выполнено в замкнутом виде, без разложений по степеням эксцентриситета или наклона.

Решение поставленной модельной задачи может быть использовано в задаче о динамической эволюции астероидов и комет с учетом негравитационных эффектов, включая эффект Ярковского-Радзиевского [50], и в задачах космонавтики: движение космического аппарата с малой тягой для перевода искусственного спутника на более высокую орбиту [9]; движение астероида или ядра кометы, на котором установлен реактивный двигатель (или рядом с которым завис «гравитационный тягач» [64]), обеспечивающий малую тягу с целью, например, предотвращения столкновения с Землей. Обратим внимание также на возможность применения в преподавательских целях: это одна из немногих задач небесной механики, решение которой можно продвинуть далеко и рассматривать как модель для более сложных задач.

Цели и задачи. Основной целью диссертации является получение уравнений движения малого тела в центральном поле тяготения под действием добавочного постоянного по модулю возмущающего ускорения, применение к ним осредняющего преобразования, решение уравнений в новых переменных для ряда важных частных случаев, применение полученных результатов к движению астероида со встроенным двигателем малой тяги и движению искусственного спутника под действием малой возмущающей силы.

Необходимо решить следующие задачи: • Вывести универсальные уравнения типа Эйлера для часто исполь-

зуемых оскулирующих элементов орбиты, пригодные для любой системы координат, и уравнения типа Эйлера для трех наиболее употребительных систем координат — основной (инерциальной) и двух сопутствующих. Данная задача решается в первой главе.

• Далее рассмотреть шесть конкретных уравнений, отвечающих трем вышеуказанным системам отсчета при постоянном модуле возмущающего ускорения, и выполнить методом осреднения Крылова-Боголюбова осредняющее преобразование уравнений движения типа Эйлера в первом порядке по малому параметру, соответствующему отношению возмущающего ускорения к основному. Осреднение описывается во второй главе.

• Получить норму разности оскулирующих и средних элементов, чтобы иметь возможность оценить влияние периодических возмущений, а также величину погрешности положения малого тела, возникающую за счет простой замены оскулирующих элементов орбиты средними. Норма разности для первой сопровождающей системы координат найдена в третьей главе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Санникова Татьяна Николаевна, 2016 год

Литература

1. Справочник по специальным функциям. / Под ред. Абрамовица М. и Стиган И. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1979.— 832 с.

2. Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 368 с.

3. Аксенов Е. П. Специальные функции в небесной механике. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 320 с.

4. Аниковский В. В., Журавлёв С. Г. Задача Эйлера и ее приложения в небесной механике и космодинамике // Прикладная математика и механика. — 2011. — Т. 75. — С. 940-950.

5. АО «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ» имени академика М. Ф. Решетнёва». Телекоммуникация.— https://www.iss-reshetnev.ru / projects / telecommunication /.

6. АО «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ» имени академика М. Ф. Решетнёва». Экспресс-АМ5. — http://www.iss-reshetnev.ru / spacecraft / spacecraft-communications / express-am5.

7. АО «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ»

имени академика М.Ф. Решетнёва». Ямал-401.— http://www.iss-reshetnev.ru / spacecraft / spacecraft-communications / yamal-401.

8. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1970. — 304 с.

9. Баранов Анд. Анат., Баранов Анат. Анд., Разумный В. Ю. Формирование и поддержание орбит МКА с помощью двигателей малой тяги.: Препринт № 52: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2010.—

http: //library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2010-52.

10. Батмунх Н., Санникова Т. Н., Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. Норма смещения положения небесного тела при вариации его орбиты // Астрон. журн. — 2016. — Т. 93, № 3.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1967. — Т. 3. — 300 с.

12. Белецкий В. В. О траекториях космических полетов с постоянным вектором реактивного ускорения // Космич. исследования. — 1964. — Т. 2. — С. 408-413.

13. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел.— М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1977. — 432 с.

14. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: ФМ, 1963. — 412 с.

15. Бордовицына Т. В., Авдюшев В. А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы: Учеб. пособие.— Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007.— 178 с.

16. Герасимов И. А., Мушаилов Б. Р. Небесная механика (Общий курс). — Москва., 2007.— 596 с. — http://images.astronet.ru/pubd/2008/04/03/0001227114/.

17. Горшков О. АМуравлёв В. АШагайда А. А. Холловские и ионные плазменные двигатели для космических аппаратов. / Под ред. академика РАН А. С. Коротеева. — М.: Машиностроение, 2008.— 280 с.

18. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963.— 1108 с.

19. Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М.: Наука, 1986. — 256 с.

20. Гришин С. Д., Лесков Л. В. Электрические ракетные двигатели космических аппаратов. — М.: Машиностроение, 1989.— 216 с.

21. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. — М: Наука, 1975.— 704 с.

22. Демин В. Г. Приближенное решение задачи о движении искусственного спутника Земли // Сообщ. Гос. астрон. ин-та им. Штернберга. — 1962. — № 125. — С. 3-11.

23. Демин В. Г. Об одном способе исследования движения космического аппарата в сфере действия планеты // Тр. Ун-та дружбы нар. им. П. Лумумбы. Сер. Теор. мех. — 1966.— Т. 17, № 4. — С. 13-17.

24. Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. — М.: Наука, 1968.— 352 с.

25. Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. — НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2010.— 420 с.

26. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1975.— 800 с.

27. Журавский А. М. Справочник по эллиптическим функциям.— МЛ.: Изд. АН СССР, 1941. — 235 с.

28. Куницын А. Л. Качественное исследование движений в одном предельном варианте задачи двух неподвижных центров // Тр. Ун-та дружбы нар. им. П. Лумумбы. Сер. Теор. мех. — 1966. — Т. 17, № 4. — С. 32-52.

29. Лагранж Ж. Аналитическая механика / Ж. Лагранж. T. 2.— М.- Л.: Гостехиздат, 1950. — 440 с.

30. Лёб Х. В., Попов Г. А., Обухов В. А., Фейли Д., Коллингвуд Ш., Могулкин А. И. Крупногабаритные высокочастотные ионные двигатели // Электронный журнал «Труды МАИ».— 2012.— № 60.—

http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=35371.

31. Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1980.— 512 с.

32. Медведев Ю. Д. Астероидно-кометная опасность. / Свешников М. Л., Сокольский А. Г., Тимошкова Е. И., Чернетенко Ю. А., Черных Н. С., Шор В. А. / Под ред. Сокольского А. Г.— СПб.: Изд-во МИПАО и ИТА РАН, 1996. — 224 с.

33. Мирер С. А. Механика космического полета. Орбитальное движение. — М.: Резолит, 2007. — 270 с.

34. Охоцимский Д. Е. Исследование движения в центральном поле под действием постоянного касательного ускорения // Космич. исслед. — 1964. — Т. 2, № 6. — С. 817-842.

35. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 448 с.

36. Парс Л. А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971.— 636 с.

37. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. — М.: Наука, 1965. — 572 с.

38. Санникова Т. Н. Осредненные уравнения движения в центральном поле при постоянном по модулю возмущающем ускорении // Вестн. С.Петерб. ун-та.— 2014. — сер. 1, Т. 1(59), вып. 1. — С. 171-179.

39. Санникова Т. Н., Холшевников К. В. Уравнения движения в оскулиру-ющих элементах в различных системах отсчета // Вестн. С.Петерб. ун-та. — 2013. — сер. 1, вып. 4. — С. 134-145.

40. Санникова Т. Н., Холшевников К. В. Осредненные уравнения движения при постоянном в различных системах отсчета возмущающем ускорении // Астрон. журн. — 2014. — Т. 91, № 12. — С. 1060-1068.

41. Санникова Т. НХолшевников К. В. Движение в центральном поле при возмущающем ускорении, постоянном в сопровождающей системе отсчета, связанной с радиусом-вектором // Астрон. журн. — 2015.— Т. 92, № 8. — С. 681-692.

42. Санникова Т. Н., Холшевников К. В., Чечеткин В. М. Применение метода осреднения Гаусса к анализу возможности увода небесного тела с помощью малой тяги // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2013. — Т. 2, № 4. — С. 144-147.

43. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1968.— 800 с.

44. Суханов А. А. Астродинамика.— М.: ИКИ РАН, Серия "Механика, управление, информатика", 2010. — 202 с.

45. Тертычный-Даури В. Ю. Гиперреактивная механика. — М.: Физмат-лит, 2004. — 560 с.

46. Херрик С. Астродинамика, т. 3. — М.: Мир, 1978. — 360 с.

47. Холшевников К. В. Асимптотические методы небесной механики. — Л.: Изд. ЛГУ, 1985. — 208 с.

48. Холшевников К. В., Титов В. Б. Задача двух тел: Учеб. пособие.— СПб., 2007.— 180 с.

49. Холшевников К. В., Санникова Т. Н., Джазмати М. С. К выводу уравнений движения в оскулирующих элементах // Вестн. С.Петерб. ун-та.— 2014. — сер. 1, Т. 1(59), вып. 2. — С. 160-164.

50. Шор В. А., Чернетенко Ю. А., Кочетова О. М, Железнов Н. Б. О влиянии эффекта Ярковского на орбиту Апофиса // Астрон. вестник. — 2012. — Т. 46. — С. 131-142.

51. Armellin R., Di Lizia P., Berz M., Makino K. Computing the critical points of the distance function between two Keplerian orbits via rigorous global optimization // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2010. — Vol. 107. — Pp. 377-395.

52. Baluyev R. V., Kholshevnikov K. V. Distance between two arbitrary unperturbed orbits // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2005. — Vol. 91. — Pp. 287-300.

53. Battin R. H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astro-dynamics. Revised Edition. — AIAA educ. ser. Reston, Virginia, 1999.— 800 p.

54. Beletsky V. V. Essays on the motion of celestial bodies. — Basel, Switzerland: Birkhauser Verlag, 2001. — 372 p.

55. Boltz F. W. Orbital motion under continuous radial thrust // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 1991.— Vol. 14, No. 3.— Pp. 667670.

56. Boltz F. W. Orbital motion under continuous tangential thrust // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 1992. — Vol. 15, No. 6. — Pp. 15031507.

57. Bombardelli C., Bau G., Pelaez J. Asymptotic solution for the two-body problem with constant tangential thrust acceleration // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2011. — Vol. 110, No. 3. — Pp. 239-256.

58. Bottke W. F, Vokrouhlicky D., Rubincam D. P., Nesvorny D. The

Yarkovsky and YORP effects: Implications for asteroid dynamics // Annu. Rev. Earth Planet. Sci. — 2006. - Vol. 34. - Pp. 157-191.

59. Chernetenko Yu. A. The Yarkovsky Effect in the Motion of NEAs // "Protecting the Earth against Collisions with Asteroids and Comet Nuclei". Proc. Int. Conf. "Asteroid-Comet Hazard-2009" / St. Petersburg: Nauka. — 2010.-Pp. 289-293.

60. Chesley S. R., Ostro S. J., Vokrouhlicky D., Capek D., Giorgini J. D., Nolan M. C., Margot J-L., Hine A. A., Benner L. AM., Chamberlin A. B. Direct detection of the Yarkovsky effect by radar ranging to asteroid 6489 Golevka // Science. — 2003. — Vol. 302, No. 5651. — Pp. 1739-1742.

61. Chesley Steven R. Potential impact detection for near-earth asteroids: the case of 99942 Apophis (2004 MN4) // Asteroids, Comets, Meteors: Proceedings of the 229th Symposium of the International Astronomical Union. — 2005. — Pp. 215-228.

62. Choueiri E. Y. New dawn for electric rockets // Scientific American. — 2009. — Vol. 300, No. 2. — Pp. 58-65.

63. Colombo C., Vasile M., Radice G. Semi-analytical solution for the optimal low-thrust deflection of near-earth objects // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 2009. — Vol. 32, No. 3. — Pp. 796-809.

64. Edward T. Lu and Stanley G. Love. Gravitational tractor for towing asteroids // Nature. — November 2005. — No. 438. — Pp. 177-178.

65. Gao Y. Low-thrust interplanetary transfers, including escape and capture

trajectories // Journal of Guidance, Control, and Dynamics.— 2007.— Vol. 30, No. 6. — Pp. 1814-1818.

66. Gao Y, Kluever C. A. Analytic orbital averaging technique for computing tangential-thrust trajectories // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 2005. — Vol. 28, No. 6. — Pp. 1320-1323.

67. Gerhard Beutler. Methods of Celestial Mechanics. Volume I: Physical, Mathematical, and Numerical Principles. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005. — 464 p.

68. Gronchi G. F. An algebraic method to compute the critical points of the distance function between two Keplerian orbits // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2005. — Vol. 93. — Pp. 295-329.

69. Hudson J. S., Scheeres D. J. Reduction of low-thrust continuous controls for trajectory dynamics // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 2009. — Vol. 32, No. 3. — Pp. 780-787.

70. International Launch Services Inc. ILS Proton successfully launches Quetzsat-1 for SES.— http://www.ilslaunch.com/newsroom/news-releases/ils-proton-successfully-launches-quetzsat-1-ses.

71. International Launch Services Inc. Quetzsat-1.—

http://www.ilslaunch.com / mission-control / mission-quetzsat-1.

72. Isayev Y. N., Kunitsyn A. L. To the problem of satellite's perturbed motion under the influence of solar radiation pressure // Celestial mechanics. — 1972. — Vol. 6, No. 1. — Pp. 44-51.

73. Kechichian J. A. Low-thrust eccentricity-constrained orbit raising // Journal of Spacecraft and Rockets. — 1998. — Vol. 35, No. 3. — Pp. 327-335.

74. Kechichian J. A. Orbit raising with low-thrust tangential acceleration in presence of Earth shadow // Journal of Spacecraft and Rockets. — 1998. — Vol. 35, No. 4. — Pp. 516-525.

75. Kelso T. S. International Designator 2011-054.—

http://www.celestrak.com / satcat/2011/2011-054.asp.

76. Kholshevnikov K. V. Metric spaces of Keplerian orbits // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2008. — Vol. 100. — Pp. 169-179.

77. Kholshevnikov K. V., Vassiliev N. N. On the distance function between two Keplerian elliptic orbits // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 1999. — Vol. 75. — Pp. 75-83.

78. Kholshevnikov K. V., Vassiliev N. N. Natural metrics in the spaces of elliptic orbits // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2004. — Vol. 89. — Pp. 119-125.

79. Lantoine G., Russell R. P. Complete closed-form solutions of the Stark problem // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy.— 2011. — Vol. 109, No. 4. — Pp. 333-366.

80. Miiller T. Herschel intercepts asteroid Apophis. —

http://www.esa.int/Our_Activities/Space_Science/Herschel_intercepts_asteroid_Apophis.

81. NASA. Near Earth Object Program. 101955 Bennu (1999 RQ36).—

http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=101955.

82. NASA. Near Earth Object Program. 101955 Bennu (1999 RQ36) Earth Impact Risk Summary. — http://neo.jpl.nasa.gov/risk/a101955.html.

83. NASA. Near Earth Object Program. 410777 (2009 FD).—

http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=410777.

84. NASA. Near Earth Object Program. 410777 (2009 FD) Earth Impact Risk

Summary. — http://neo.jpl.nasa.gov/risk/a410777.html.

85. NASA. Near Earth Object Program. 99942 Apophis (2004 MN4). —

http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=99942.

86. NASA. Near Earth Object Program. 99942 Apophis (2004 MN4) Earth Impact Risk Summary. — http://neo.jpl.nasa.gov/risk/a99942.html.

87. Petropoulos A. E. Some analytic integrals of the averaged variational equations for a thrusting spacecraft // Interplanetary Network Progress Report. — 2002. — Vol. 150. — Pp. 1-29.

88. Popova O. P. et al. Chelyabinsk airburst, damage assessment, meteorite recovery, and characterization // Science. — 2013. — Vol. 342, No. 6162.— Pp. 1069-1073.

89. Prussing J. E., Coverstone-Carroll V. Constant radial thrust acceleration redux // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 1998.— Vol. 21, No. 3. —Pp. 516-518.

90. Rodriguez E. Method for determining steering programs for low thrust interplanetary vehicles // ARS Journal. — 1959. — Vol. 29, No. 10. — Pp. 783-788.

91. Tallqvist Hj. Die Bewegung eines Massepunktes unter dem Einfluss den Schwere und einer Newtonschen Zentralkraft // Acta Soc. Sci. Fennicae. Nova Ser. A. - 1927. - Vol. 1, No. 2. - P. 77.

92. Tsien H. S. Take-off from satellite orbit // Journal of the American Rocket Society. - 1953. - Vol. 23, No. 4. - Pp. 233-236.

93. Vinti J. P. Effects of a constant force on a Keplerian orbit // The Theory of Orbits in the Solar System and in Stellar Systems. Proceedings from Symposium No. 25 held in Thessaloniki, August 17-22, 1964. Edited by Georgios Ioannou Kontopoulos. International Astronomical Union / London: Academic Press. - Vol. 25.- 1964.- Pp. 355-362.

94. Zuiani F., Vasile M. Extended analytical formulas for the perturbed Keplerian motion under a constant control acceleration // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 2015. - Vol. 121, No. 3. - Pp. 275-300.

95. Zuiani F., Vasile M., Palmas A., Avanzini G. Direct transcription of low-thrust trajectories with finite trajectory elements // Acta Astronautica. -2012.-Vol. 72.-Pp. 108-120.

Список иллюстративного материала

Список иллюстраций

1.1 Угол поворота f вектора скорости v до совмещения с транс-версалью. Орты ki, k2 направлены на нас, ортогонально к орбитальной плоскости...................... 47

1.2 Углы поворота между осями с ортами i, i1; i, i2; i1, i2. Здесь мы направили орт i по линии узлов, чтобы все три оси лежали

в орбитальной плоскости..................... 49

3.1 Величины A1,A2,A3 в разных масштабах............ 110

3.2 Величина A4 в разных масштабах................ 110

4.1 Зависимость e, и (рад/с), а(м), M = M — M0 — и^(рад) от времени t(c) для указанных на с. 123 начальных данных. . . 124

4.2 Фазовый портрет системы (4.16); V=±0.001, ±0.05, ±0.15, ±0.3, ±0.6, ±0.9, ±0.99, ±0.999................. 127

4.3 Зависимость i,a, Q — Q от времени ¿(с) для указанных на с. 123 начальных данных, а также V = —0.0458937, W =

10—9м с-2.............................. 130

4.4 Фазовый портрет системы (4.38). V=0, ±0.4, ±0.8, ±1, ±1.2, ±1.4; A2 = A3 = 1......................... 136

4.5 Зависимость i,a, Q — Q0 от времени ¿(с) для указанных на с. 123 начальных данных, а также S = 10—9м с—2, W =

10—9м с—2, V = 1.03583...................... 138

Список таблиц

3.1 Значения e0(n), min an и an(1) для n ^ 10 и выборочно для

n ^ 100 .............................. 113

3.2 Значения ßn(e) для n ^ 10 и выборочно для n ^ 100 .... 114

5.1 Значения орбитальных и физических параметров астероидов 146

5.2 Значения физических параметров спутников..................147

5.3 Изменения элементов Апофиса через время t = 3 • 105с действия тяги ..........................................................149

5.4 Изменения элементов малого тела массой 1.3 • 107 кг через время £ = 4300 с действия тяги................. 153

5.5 Изменения элементов спутника через время £ действия тяги (приближенное решение) .................... 157

5.6 Изменения элементов спутника через время £ действия тяги (точное решение)......................... 158

Приложение Л. Средние значения и первообразные от некоторых функций эллиптического движения

Все нужные нам величины считаются функциями средней аномалии и могут быть выражены явно как аналитические 2п-периодические функции эксцентрической аномалии, зависящие от параметра e, 0 ^ e < 1.

Любая переменная может быть представлена суммой четной и нечетной функции, причем свойства четности/нечетности по переменным M и E совпадают. Среднее значение нечетной функции равно нулю. Поэтому ограничимся четными функциями, для которых среднее значение равно

1 Г 1 Г

£w = -\ wdM = — ш(1-ecos E)dE. (A.l)

п J о п J о

Полезными могут оказаться свойства:

"П

x) dx = 0, если ro(cos x) = — w(— cos x), (A.2)

'0

рп рп/2

/ ro(cos x) dx = 2 / ro(cos x) dx, если ro(cos x) = w(— cos x). Jo Jo

(A.3)

Приведем средние значения нужных нам функций, многие из которых можно найти в [53, 48].

^ , e _ , _ \ , ^ acos k E ^ , л

£cosE =— , £cos(k + 1)E = £-= 0, k = 1,2,...,

2 r

а г е2 г 3 3

£- = 1, £- = 1 + — , £-созв=--е, =

г а 2 а 2 2

Здесь — декартовы координаты, величины Ьк\ даются формулами (1.24).

Теперь легко вычислить первообразные, выбирая константу интегрирования С так, чтобы первообразная обладала нулевым средним:

j (eos Е — В eos Е) dM = j (eos Е + |)(1 - ecosЕ) dE = eos Е - j eos E + |(1 - 2 eos2 E) \ dE = í 1 - M sin E -1 sin 2E

sin EdM = - j (1 - e eos E) d{eos E) = - eos E + | eos2 E =

e e e

= - eos E + - (1 + eos 2E) + С =---eos E + - eos 2E,

4 v y 2 4

--£-) dM= í (-^---Л (1 — ecos E1) dE =

r r / / VI — e cos E J

= e cos E dE = e sin E,

/ dM = ~ J (ecos^ + (l-ecosE)dE =

^ e3 e2 \ e

(e - —) cos E + — (1 - 2 eos2 E) j dE = --[2(2-e2) sin E-e sin 2E];

a cos kE f cos kE f 7 ^ sin kE

-dM = / -— (1 — ecosE) dE = / eos kE dE = —-—

r 1 — e cos E k

a sin E sin E

dM =

r I 1 — e cos E

(1 - ecos E) dE = J sinEdE =

= — cos E + С = —- — cos E,

2

f asin(k + 1)E 71tr f sin(k + 1)E_

/ -^->—dM= / —^-1 - e cos E)dE =

J r J 1 — e cos E

f ■ n ^n ^ cos(k + 1)E = sm(k + l)EdE =--\ + i

при натуральном k.

Напомним, выписанные первообразные обладают нулевым средним.

Приложение В.

Средние значения и первообразные от функций эллиптического движения, содержащих радикалы

Все нужные нам величины считаются функциями средней аномалии и могут быть выражены явно как непрерывные (и даже аналитические) 2п-периодические функции истинной или эксцентрической аномалии, зависящие от параметра е, 0 < е < 1. Нулевое значение эксцентриситета рассматривается как предельное. Используются следующие обозначения для эллиптических интегралов Лежандра в тригонометрической форме [11]:

Интеграл, приводимый к полным эллиптическим интегралам I и II рода

Полные эллиптические интегралы I и II рода

Неполные эллиптические интегралы I и II рода

(В.1)

Интеграл, приводимый к неполным эллиптическим интегралам I и II рода

[Е вт2 жйх Тх(Е,е)-Т2(Е,е)

ЫЕ^е)=к -^-' ( }

где к(х, е) = \Д — е2зт2 х.

Интегралы от четных функций

1. Рассмотрим неопределенный интеграл

ёп(Е, е) = 1 , V = \/1 - е2 С082 Е . (В.З)

При п = 0, 2 с помощью подстановки х = п/2 + Е получаем стандартные эллиптические интегралы (В.1, В.2):

<Е I <1х _ , _ / п

/ dE / dx (п

/ /л 2 2 В = / / 0 = = Fi{x,e) = F1[- + E,e J VI - e2 cos2 E j Vl - e2 sin2 x 42

I cos2 E dE f sin2 xdx / п

l - e2 cos2 E l - e2 sin2 x 2

При n = l подстановка

e /п

z = , cos —YE л/l^e2 V2

сводит к элементарному интегралу:

cos E dE I dz l

/ COS £/ GLC/ / az 1 n / /01 = / = = - / -. =--In V 1 + + 2 ] =

J Vl - e2 cos2 Я J eVTT^2 e Vv

= -±ln

e

eVl + ¿2 e (-/ГТ^2 + ^(^/TTz2 - z) Vl + z2 - z

1, ( л-о \ 1 , $ + e sin E

In fx/1 + z2 — z] = - In ,_

e V J e

Таким образом несложно вычислить gn(E, e) при n = 0,1, 2. Для больших n можно использовать рекуррентную формулу

(n + 1)e2gn+2 = n(1 + e2)gn - (n - 1) ¿?n-2 - tfsinEcosn-1 E. (B.4)

Для ее получения интеграл (B.3) для gn+2 умножим на e2 и учтем, что

e2 cosn+2 E = e2 cos2 E cosn E = (1 - (1 - e2 cos2 E)) cosn E = (1-tf2) cosn E

(B.5)

2_ ^ , f e2 cosn+2 EdE f (1 - tf2) cosn EdE

6 ~Qn+2^e) = J 0(e,e) = J -Щ1)-=

= gn(E, e) - J tf cosn E dE = gn(E, e) - J tf cosn-1 E d sin E . После интегрирования по частям и упрощающих выкладок получим:

e2 gn+2 = gn - tf sin E cosn-1 E - (n - 1)gn-2 + (ne2 + n - 1)gn - ne2 gn+2,

что, очевидно, приводит нас к выражению (B.4). В итоге получаем нужные нам первообразные

go = Fi(n/2 + E, e), tf + e sin E

egi = In

Vl^e

2

g2 = Fa(n/2 + E, e),

~ 3 ^ tf + e sin E n . ^ 2e дз = (1 + e2) In —-¡=--eé sin E ,

1 - e2

3e2g4 = 2(1 + e2)F3(n/2 + E, e) -Fi(n/2 + E,e) - tf sin E cos E.

2. Вычислим среднее значение подынтегральной функции (B.3) * / \ def „( cosn E \ Г cosn E (1 - e cos E) dE

We) = тг£ J = I -д-=

= ( gn(E, e) - egn+i(E,e)) IfzJ

Очевидно,

01 (0, e) = e) = ¿?э(0, e) = 0з(п, e) = 0,

e) - ,0(0, e) = Ц2 ^ = ^ - 2K(e),

02(n,e) - 02(0, e) = 2D(e), 2

^4(7r, e) - ^4(0, e) = 3^2 IX1 + e2)D(e) " K(e)] • (B-6)

Окончательно,

п = 2K(e), п = —2eD(e), п = 2D(e), 2

7r^ = --[2(l + e2)D(e)-K(e)]. (B.7)

3. Рассмотрим интеграл

вп(Е,е) = I <*M =

= 0n(E,e) - egn+í(E,e) - g*n(e) (e - esinE + .

Здесь мы добавили постоянную п/2, чтобы обеспечить нечетность получаемых функций, как будет показано ниже.

Подставляя полученные в пунктах 1, 2 значения, получим Г _ /п ^ \ 2TW ч / . ^ пп § + esinE

Qo= { 1 \2+ ,e)~ ж ^ \ + 2)

e2

f ^ /п 2_ , / . ^ п1 § + esinE

= -e j Тг (g ""D(e) (^-esinE + -J l + - ln

02 = + E, e) - ^D(e) (я - esinE + | +

§ . ^ 1 + e2. § + e sin E + — sin E - ln Л-- . (B.8)

2e 2e2

Как известно [3, §УП.3], + п, е) = ^1(ж,е) + 2К(е), (ж + п, е) = ^з(ж,е) + 2Ю(е). Поэтому стоящие в фигурных скобках функции 2п-

периодичны. Далее,

- ГП/

п

I '' Е ) I ^ dx ^ f ^ dx 1 .2 ) J0 h(x,e) Л/2 h(x,e)

dt

o

n/2 ¡-n/2+E

= K(e)+ í _

o l - e2 cos2 t

J:2\ — + E,e\= / h(x,e)dx+ / h(x,e)dx =

'JO J n/2

pE

= E(e) + / \/l-e2 cos2¿d¿, o

где t = x — так что функции

Л (I + Я, е) - |к(в) (В + = Г . dt¿ .. -¡Ще)Е,

^2 / п V 2/ Jo Vl - e2 cos21 п

О /* £/ О

JS + E, e) - —E(e) fE + I) = / \/l-e2cos2¿ dt - -E(e)E (B.9) V 2 У п V 2 / Jo п

нечетны. Действительно,

ГE dt 2

f(E) = dt2 -±К (е)Е,

Jo V1 - e2 cos21 n

Г-E dt 2

f(-E) = К(б)(-Д).

Jo V1 - e2 cos21 n Замена t ^ —t показывает, что

-E

Vl - e2 cos2 i ' 7Г Аналогично для второго выражения (B.9). Следовательно, функция

E dt 2 f(—E) = - / + -K(e)S = —}{Е).

Jo Vl — e2 cos21 п

1

72

* (I + Я, e) - ÍK(e) (E + I) - * (I + Я, e) + >) (e + 1

также нечетна. Таким образом, нечетны все функции в фигурных скобках Логарифмическое слагаемое нечетно, поскольку

. § + e sin E п (l — e2 cos2 E) — e2 sin2 E , § — e sin E m —, = m --,—--= — m —, .

Окончательно, функции 0о, 01, 02 имеют период 2п, нечетны и тем самым обладают нулевым средним. Расчет величин в фигурных скобках достаточно производить на промежутке —п/2 ^ Е ^ п/2.

Замечание. Функции (В.8) не имеют особенностей при нулевом эксцентриситете. При малых е во избежание потери точности лучше пользоваться рядами по степеням эксцентриситета. Нужные разложения для эллиптических интегралов содержатся в [27, 8, 1]:

n=1

«»-!{-Ш'ЧН)"?

п í ^ /Г(2П + 1)\2 k2п 1

= 2 I1 - g Irt^wJ } ' (B10)

Выпишем окончательные выражения для функций (B.8) с точностью до

пятой степени эксцентриситета включительно:

e2 Эр4

до = — sin 2Е - — (3 sin E + sin SE) + ^ (8 sin 2E + sin Щ -

O 24 256

640

(60 sin E + 25 sin ЭЕ + Э sin 5E),

2 3

e e2 e3

gi = únE - -ún2E - —ÍSúnE - únSE) - — (8sin2E + sin4£) +

4 24 64

e4 e5

+ -— (30 sin E + 25 sin SE + 3sin5E')--(45 sin 2E + 9 sin 4£ + sin 6E),

640 512

1 e e2

g2 = -ún2E~— (3 sin £ + sin 3£) + — (8sin2£ + sin4£)-4 12 64

e3 e4

--(60 sin £ + 25 sin SE + 3 sin 5Я) +-(45 sin 2E + 9 sin 4£ + sin 6Я) -

480 ; 512 ;

3P5

--(525 sin E + 245 sin SE + 49 sin ЬЕ + Ь sin 7E)e5. (В. 11)

17920v ; v J

Ряды (B.11) дают значения выражений (B.8) с погрешностью менее ±10-7 для e < 0.1. Для больших значений эксцентриситета необходимо использо-

вать разложения с учетом членов более высокой степени е.

Приведем также интегралы от £0, в (B.11) по переменной M, обладающие нулевым средним:

е2 е3

colgó =--cos 2Е + —- (27 cos Е + 5 cos SE) +

16 144v 7

e4

+ ——(288 - 272 eos2E - 25 eosЩ +

oU 7 2

e5

+ —— (5400 cos E + 1175 eos SE + 81 eos ЪЕ), 38400v

23 е е2 е3

lúiqí = — eos e--(4 — 3 eos 2e)--cos3£ + ;—(32cos2£ + 7cos4£)-

8 18 768

е4 е5

- --(525eosE + 175cos3£ + 12cos5£)---—(1680-

4800v ; 30720v

- 2010 cos 2E - 3U3 cos 4E - 22cos6E). (B.12)

Представление (B.3) показывает, что функции gn,Q*n,Qn при вещественных E голоморфны по е в круге |е| < 1 и имеют особенность на его границе. Следовательно, радиус сходимости рядов (B.11, B.12) равен единице.

Замечание. Нетрудно преобразовать ряды (B.11, B.12) к переменным M, е. Их форма рядов Пуассона сохранится. Однако радиус сходимости уменьшится до предела Лапласа |е| < 0.6627, поэтому предпочтительнее сохранить эксцентрическую аномалию в качестве быстрой переменной.

Интегралы от нечетных функций

1. Рассмотрим неопределенный интеграл

, /sinEcosnE dE ^ .

f'+E'e) = J *{E,e) ■ (B13)

При n = 0 , 1 он близок к табличному после подстановки z = е cos E: f sin E dE f е d cos E 1 f dz

To =

- I - ---

y/1 - e2 cos2 E J ел/l - e2 cos2 E e J Vi - z2

= — -агс8т;?= — - агсвт^есовЕ),

ее

ят Е осе Е ¿Е

Т1 =

л/1 — е2 сое2 Е

1

72

е2 осе Е ( осе Е е2л/1 — е2 сое2 Е

1

72

— \/1 — = л/1 — е2 сое2 Е.

Далее можно получить рекуррентную формулу, для чего умножим (В.13) на е2 и воспользуемся формулой (В.5):

е2тп+2(Е, е) =

е2 вт Е ос8п+2 Е ¿Е [ (1 — $2) вт Е освп Е ¿Е

= тп(Е,е)+ / $осяпЕ(ос8Е.

$

После интегрирования по частям и упрощающих выкладок получим:

е2тп+2 = (п + 1)тп + $ осяп+1 Е — (п + 1)е2тп+2 .

п+1

2

В результате придем к выражению:

(п + 2)е2гп+2 = (п + 1)тп + $ осяп+1 Е.

Таким образом,

то Т1

Т2

—— агсвт^совЕ), $

[$е ося Е — аговт(е ося Е)]

2е3

(В.14) (В.15) (В.16)

2. Нам нужны средние значения этих четных функций. Вычислим сначала

среднее значение арксинуса:

Е аговт(е ося Е) =

1 Г

к Уо 1 ^

аговт(е ося Е)(1 — е ося Е) ¿Е =

= — / агс8т(е сое Е) <1Е--/ агс8т(е сое Е) б^тЕ

п У о п У о

1

2

е

2

е

1

п

Согласно свойству (A.2)

РП