Влияние волновых процессов на динамику космической тросовой системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Дьяков Павел Александрович

• Дьяков Павел Александрович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Дьяков Павел Александрович

1.4. Заключение к Главе

Глава 2. Задача о перемещении груза по натянутому тросу космической тросовой системы

2.1. Математическая постановка

2.2. Поиск условий устойчивости процесса перемещения груза

2.3. Безразмерный анализ и анализ малых величин

2.4. Расчет динамики системы в общей постановке

2.5. Моделирование динамики системы

2.6. Заключение к Главе

Глава 3. Влияние волновых процессов на динамику системы

3.1. Введение

3.2. Волновые процессы на стадии торможения

3.3. Случай движения груза со скоростью больше скорости попереч-

ной волны

3.4. Заключение к Главе

Заключение

Приложение

Приложение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние волновых процессов на динамику космической тросовой системы»

Актуальность работы

В настоящее время, применение тросовых систем в космосе является одним из самых динамично развивающихся направлений по освоению околоземного космического пространства.Космическая тросовая система представляет собой объединение космических объектов (спутников, кораблей, грузов, или иных твердых тел), соединенных элементами гибких связей (тросами), расположенных на орбите. Длины гибких связей могут достигать сотен километров. Тросовые системы могут иметь сложную структуру в виде замкнутых колец, древовидных образований, объемных многогранников.Подобные объекты на орбите используются для выполнения самых разнообразных задач, которые невозможно, нецелесообразно или неэкономично решать с помощью прочих средств космической техники.

Тросовые системы имеют ряд особенностей по сравнению с традиционными космическими аппаратами. Во-первых, это возможность стабильной вертикальной конфигурации системы без дополнительных затрат на ее поддержание в условиях орбиты. Этого можно достичь за счет выбора величин и масс частей системы на этапе проектирования. Во-вторых , изменение конфигурации системы можно осуществлять без затрат топлива путем выпуска/втягивания тросов . В третьих, саму гибкую связь можно использовать для передачи энергии между частями системы за счет взаимодействия частиц троса с внешней средой (магнитное поле, ионосфера Земли и тд.). Однако, подобный эффект может привести и к нежелательным негативным последствиям: большие токи в тросе, короткие замыкания, наводки, мешающие работе аппаратуры и тд.

Уже более полувека исследования динамики космических тросовых систем основаны на классических методах теоретической механики. При этом трос представляется как совокупность соединенных между собой масс, оказывающих внешнее воздействие на части системы. Подобная концепция не учитывает распространяющиеся в тросе продольно-поперечные колебания и их влияние на общую динамику системы. Однако,как показали исследования, волновые процессы при определенных условиях могут существенно влиять на устойчивость функционирования системы на орбите, расположение ее частей относительно друг друга. Поэтому, подход теоретической механики необходимо дополнить, добавив в исследование динамики системы моделирование троса как гибкой упругой связи методами механики деформируемого твердого тела.

При математическом моделировании нить или трос является одномерным объектом в поле внешних си л. Поэтому, в случае общих постановок задач требуется решать нелинейные неоднородные гиперболические уравнения

в частных производных с динамическими условиями на границе. Это означает, что в общих постановках моделирование гибкой связи сводится к неклассическим задачам математической физики.

При сложном взаимном движении частей системы на орбите в поле внешних сил неизбежно возникновение в тросе продольно-поперечных колебаний. При этом, скорость продольных волн определяется свойствами материала, а скорость поперечных волн - величиной локального натяжения. Х.А. Рахматуллиным в [1] было показана связь распространяющихся продольных и поперечных волн между собой (идущая поперечная волна порождает продольную). Более того, изменение свободного участка гибкой связи (задачи смотки / размотки), движение нагрузки вдоль связи приводит к изменению набора собственных частот. Следовательно, возмущение даже малой амплитуды может привести к резонансу, который потенциально повлечет за собой потерю устойчивости.

За основу данной диссертационной работы взята космическая тросовая система, предложенная В.А. Чоботовым в [2]. В качестве основного применения подобной системы рассматривается очистка орбиты от элементов космического мусора, находящегося на ней. Система состоит из спутника, осуществляющего ловлю пролетающего орбитального мусора мимо него, (механизм ловли в данной работе не рассматривается), двух выпущенных из него тросов с противовесами на концах. Конфигурация системы представлена на рис 1.

"Ъ]ЕГ1 аНеШе

Рис. 1: Тросовая система на орбите По тросам могут перемещаться контейнеры с пойманным мусором. При

достижении ими конечной точки (оконечной массы), осуществляется сброс контейнера на новой орбите. Это может быть как орбита «захоронения» (где пойманный мусор уже не будет представлять опасности для действующих космических миссий), так и орбита, начиная с которой контейнер будет спускаться в атмосферу Земли, где и сгорит. Также, в зависимости от поставленных задач, может осуществляться накопление перемещенной нагрузки на новых орбитах. В дальнейшем, будем считать, что груз является шариком, сквозь который продет трос. Движение груза по тросу происходит без проскальзывания и закручиваний.

Цель работы

Целью данной диссертационной работы является изучение волновых процессов происходящих в гибких связях (тросах) космической тросовой системы.На различных этапах функционирования системы на орбите рассматривается влияние волновых процессов на реализацию поставленных задач и их вклад в общую динамику системы.

Научная новизна

В подавляющем большинстве работ по данной тематике волновые процессы в тросе не учитываются в общей динамике системы. Однако, при сложном совместном движении связанных тросом частей системы, перемещении нагрузок со скоростями, приближенных к скорости движения поперечной волны в тросе, неизбежно происходит рост напряжений и деформаций в гибких связях, которые оказывают существенное влияние на общую динамику системы. В представляемой диссертационной работе динамика гибкой связи (троса) включена в общую динамику системы. Трос моделируется как гибкая упругая растяжимая нить в поле внешних сил классическими методами механики деформируемого твердого теда. На базе этого подхода были проанализированы вопросы устойчивости функционирования, автономности, стабилизации конфигурации системы на различных этапах ее функционирования на орбите. В подобной постановке задачи, касающиеся функционирования тросовых систем на орбите рассмотрены впервые.

Теоретическая и практическая значимость

Предложенная в работе математическая модель космической тросовой системы имеет как теоретическую,так и практическую значимость.

Применение метода функции Ляпунова для анализа устойчивости тросовой системы с присоединенными и движущимися по тросу массами позволяет аналитически получить условия на конфигурацию системы, обеспечивающие устойчивость функционирования на различных этапах. На основании найденных условий была предложена принципиальная схема устрой-

ства управления, которое позволяет осуществить устойчивую размотку вдоль предварительно заданной траектории и нивелировать поперечные колебания троса после окончания размотки (глава 1).

При помощи безразмерного и асимптотического анализа были получены уравнения динамики троса в приближениях, на основании которых предложен алгоритм расчета динамики всей системы для этапа перемещения нагрузки по натянутому тросу (глава 2). Проведено сравнение результатов расчетов динамики системы предложенным алгоритмом с результатами, полученными на основе расчета динамики троса классическим методом характеристик.

При помощи метода Ляпунова получены необходимые условия устойчивости процесса перемещения нагрузки по натянутому тросу от головного спутника к оконечной массе, напрямую связанные с распространяющимися в тросе продольно-поперечными колебаниями (глава 2).

Оценено влияние волновых процессов в тросе на динамику системы в определенные моменты ее функционирования (торможение на стадии размотки или вблизи оконечной массы). При помощи моделирования данных этапов показаны смещения частей системы (оконечной массы), вызванные продольными колебаниями троса и эффективность механизмов управления для нивелирования влияния этих колебаний (глава 3).

Все полученные в работе условия на конфигурацию системы и предложенная принципиальная схема устройства управления могут быть использованы при разработке реальных орбитальных миссий.

Методология и методы исследования

Математическая модель троса как гибкой растяжимой нити, находящейся в поле внешних сил построена на основе методов, изложенных в работах Х.А. Рахматулина и его учеников[1].

Анализ устойчивости системы и поиск условий стабилизации на различных этапах функционирования основан на втором методе Ляпунова(1892).

Моделирование гибкой связи переменной длины на стадии размотки (глава 1) проводилось при помощи линеаризации исходных уравнений в подвижной системе координат.

Анализ, преобразования и уравнений динамики троса проводятся с помощью обезразмеривания на характерные величины системы. Получение уравнений динамики троса в приближениях основано на асимптотическом разложении искомых величин относительно малого параметра (квадрат отношения начальной скорости груза на тросе к скорости поперечной волны в тросе).

Моделирование динамики троса проводилось классическим для механики деформируемого твердого тела методом характеристик.

Новые научные результаты

1. Анализ динамики системы проводится на основе совместного решения уравнений динамики троса(уравнения в частных производных) и подвижных частей системы(ОДУ). Трос моделируется как гибкая упругая растяжимая нить в поле внешних сил. Данный подход позволяет описать динамику системы с учетом волновых процессов в тросе. Для задач по описанию динамики тросовых систем в условиях космоса подобный подход применяется впервые.

2. Необходимые условия устойчивого функционирования системы на различных этапах, полученные аналитически, с учетом волновых процессов в тросе. На основании найденных условий предложены механизмы управления системой. Моделирование динамики системы на различных этапах показало эффективность указанных механизмов для нивелирования влияния распространяющихся в тросе продольно-поперечных колебаний.

3. Характер движения частей системы под влиянием распространяющихся в тросе продольно-поперечных колебаний. Анализ волновых процессов в тросе на определенных этапах функционирования системы (стадии окончания размотки/перемещения нагрузки, достижения перемещаемой нагрузкой скорости поперечной волны в тросе), при которых их влияние на общую динамику существенно, для космических тросовых систем проведен впервые.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Расчет динамики троса методами механики деформируемого твердого тела позволяет учитывать волновые процессы и эффекты, связанные с ними, при моделировании динамики космических тросовых систем.

2. Механизм гашения продольно - поперечных колебаний троса и управления размоткой на стадиях окончания размотки/перемещения нагрузки по тросу позволяет нивелировать влияние волновых эффектов, возникающих в тросе, и негативно влияющих на общую динамику и конфигурацию системы.

3. Учет волновых эффектов в тросе позволяет получить необходимые условия устойчивости процесса размотки троса с оконечной массой и перемещения нагрузки по натянутому тросу в условиях орбиты.

4. Методика расчета конфигурации космической тросовой системы, основанная на асимптотических разложениях исходных нелинейных уравнений

динамики составных частей системы, показала эффективность при моделировании динамики космических тросовых систем в случаях выполнения необходимых условий устойчивости процесса функционирования на орбите, полученных аналитически.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

Идея управления размоткой и стабилизации тросовой системы была предложена автором в дипломной работе и поддержана научным руководителем.

Идея исследования зависимости динамики космической тросовой системы от параметров ее конфигурации была предложена автором в курсовых работах, успешно выполненных на кафедре газовой и волновой динамики механико-математического факультета им. М.В. Ломоносова.

Идея анализа устойчивости системы при перемещении нагрузки по тросу была предложена автором во время обучения в аспирантуре механико-математического факультета и поддержана научным руководителем.

Достоверность теоретических результатов и аналитических выкладок основана на методе Ляпунова, модели гибкой растяжимой нити Рахматулина, асимптотических методах и др.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Конкурс У.М.Н.И.К.- 2014, второе полугодие;

2. Конкурс У.М.Н.И.К.- 2015, первое полугодие;

3. International Conference on Advances in Vibrations, PORTO, Порто, Португалия, 2015;

4. Ломоносовские чтения - 2017;

5. 7th European Conference on Space Debris, Дармштадт, Германия, 2017

6. 2-я всероссийская научно-техническая конференция "Механика и математическое моделирование в технике Москва,2017;

7. 25-й Международный форум «Ломоносов», 2018»;

8. Ломоносовские чтения - 2018;

9. International Symposium «Space Flight Safety» , Санкт-Петербург, 2018.

10. Ломоносовские чтения - 2019;

11. XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, 2019

12. International Symposium «Space Flight Safety» , Санкт-Петербург, 2019.

13. Ломоносовские чтения - 2020;

14. Ломоносовские чтения - 2021;

15. International Symposium «Space Flight Safety», Санкт-Петербург, 2021;

16. Циолковские чтения, Калуга,2021.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 14 печатных работах, 4 из которых ([3], [4], [5], [6]) опубликованы в рецензируемых научных журналах, индексируемых в базах данных RSCI, Web of Science, Scopus.

Личный вклад

Во всех опубликованных работах вклад автора является определяющим. Автор принимал активное участие в постановке научных задач, проведении численных исследований, разработке теоретических моделей, анализе полученных результатов и предоставлении их в печати.Автором была проведена значительная работа над текстом статей, а также представление их в редакции журналов и переписка с редакторами и рецензентами.

Аналитические условия устойчивости процесса размотки вдоль предварительно заданной траектории в [3] найдены автором самостоятельно. Численное моделирование процесса стабилизации космической тросовой системы после окончания размотки проведено автором самостоятельно.

Асимтотический анализ уравнений динамики системы в [4],[5],[6] проведен автором диссертационной работы самостоятельно. Численное моделирование динамики системы при различных параметрах функционирования и расчет конфигурации в [4] проведены автором самостоятельно.

Аналитический поиск необходимых условий устойчивости процесса перемещения нагрузки по натянутому тросу системы в [6] проведен автором самостоятельно.

Краткое содержание диссертации

Во Введении представлено общее содержание работы и дан краткий обзор основных результатов диссертации.

В Обзоре литературы рассмотрены основные работы, посвященные применению систем с гибкими связями. Особое внимания уделено работам по исследованию,разработке, расчету динамики космических тросовых систем.

В первой главе используются основные результаты статьи [3]. Рассматривается задача о стабилизации размотки троса системы с массой на конце вдоль предварительно заданной траектории с известной скоростью. Постановка задачи приводится в самом общем случае: трос моделируется системой нелинейных уравнений в частных производных второго порядка с переменной величиной расчетной области. Поиск условий асимптотической устойчивости процесса размотки проводится методом Ляпунова, функция Ляпунова строится на основании выражения полной механической энергии системы с учетом энергии троса. С помощью этой функции найдены условия стабилизации процесса размотки, применимые как для переменной длины троса (непосредственно стадии размотки), так и для троса конечной длины (стабилизация системы в развернутом положении). Предложена принципиальная схема устройства, позволяющая реализовать процесс размотки с применением полученных условий на космическом аппарате. Проведено моделирование процесса размотки с учетом найденных условий и дальнейшей стабилизацией развернутой системы. За основу моделирования был взят процесс размотки, проведенный на орбите в рамках проекта УЕ8-2. Полученные путем моделирования результаты позволяют судить о целесообразности применения элементов управления в подобных орбитальных миссиях.

В основу второй главы легли результаты, опубликованные в статьях [4],[5] и [6]. В этой разделе рассматривается задача о перемещении нагрузки по натянутому тросу системы, развернутой и стабилизированной ранее. Аналогично главе 1, динамика троса описывается системами нелинейных уравнений в частных производных второго порядка с переменной величиной расчетной области и динамическими условиями на границах. Таким образом, в общих постановках имеют место быть неклассические задачи математической физики. Аналитически получено условие устойчивости процесса перемещения нагрузки по тросу (скорость движения нагрузки должна быть меньше скорости поперечной волны в тросе),на основании которого получены соотношения и оценки на общую конфигурацию системы. Анализ уравнений динамики троса в асимптотических приближениях, показал, что в первом приближении при соблюдении найденных ранее условий на скорость груза и величину оконечной массы, процесс перемещения близок к квазистатическому. Динамические же процессы в тросе описываются вторым приближением. С учетом найденных условий и соотношений был предложен достаточно простой механизм расчета динамики процесса перемещения с учетом всех частей системы. Было проведено математическое моделирование процесса перемещения в предположении о квазистатичности процесса и с применением метода харак-

теристик для расчета динамики троса в нелинейной постановке. Установлено совпадение результатов, полученных обоими способами. Были рассмотрены различные сценарии, в зависимости от выбора параметров системы (начальная скорость груза, соотношения масс груза и оконечной массы). Показаны случаи, при которых процесс перемещения заканчивается потерей оконечной массы вследствие сильного рывка вверх и последующего падения натяжения в тросе. Полученные результаты могут быть применены при расчете реальных миссий, в которых предполагается перемещение нагрузки по гибкой связи между двумя объектами в условиях орбиты.

В третьей главе используются материалы, опубликованные в [3] и [5]. В этой главе отдельно рассматриваются этапы функционирования системы на орбите, на которых продольно-поперечные колебания троса оказывают существенное влияние на общую динамику системы.

Для этапа окончания размотки или перемещения нагрузки к оконечной массе было показано, что при отсутствии управления, под влиянием продольных колебаний в тросе, оконечная масса достаточно быстро начинает возвратное движение по направлению к головному спутнику. За этим неизбежно следует падение натяжения в тросе и "потеря"оконечной массы (то есть, она начинает движение на орбите как твердое тело без учета воздействия со стороны троса). В рамках данного исследования это означает провал всей миссии. При наличии управления натяжением троса, этот эффект нивелируется и система сохраняет свою конфигурацию.

Для случая превышения скоростью движения груза по тросу скорости поперечной волны в нем, были получены волновые картины и рассмотрены последующие конфигурации всей системы.

Представленные в данной главе результаты позволяют судить о влиянии волновых процессов на общую динамику и конфигурацию системы на орбите.

Обзор литературы

В настоящее время применение тросовых систем в космосе является одним из самых динамично развивающихся направлений по освоению околоземного космического пространства. Повышенный интерес к этому направлению связан с растущей опасностью для орбитальных миссий со стороны космического мусора [17, 18, 19] .Орбитальные тросовые системы являются эффективным и недорогим средством для очистки околоземного космического пространства от частиц мусора. Разрабатываются самые разнообразные системы и приспособления для перемещения контейнеров с пойманным мусором между орбитами [22, 23],ловли частиц мусора различными способами [26, 27, 28],переводу устаревших спутников или отработанных ступеней ракетоносителей на более безопасные орбиты[25, 22]. С точки зрения построения самой концепции применения тросовых систем для орбитальных миссий можно выделить следующие работы [29, 30, 31, 33].

Условно, функционирование системы на орбите можно разделить на два основных этапа: стадия размотки троса и перемещение нагрузки по натянутому между двумя космическим аппаратами. Поэтому, обзор литературы в рамках данной диссертационной работы также разделен на две части. Первая - это обзор работ о размотках нитей, тросов, изучение режимов движения границ связи (нити/троса) при размотке и их влияния на общую динамику системы, влияние режима размотки на устойчивость процесса. Вторая часть состоит из обзора работ о перемещении связи, или сосредоточенной нагрузки по тросу/нити конечной длины. При этом, подвижная граница задает динамическое условие, связующее две части расчетной области.

Задача о размотке нитей/тросов

Впервые задача о движении струны, один конец которой жестко закреплен, а другой конец движется с некоторой постоянной скоростью вдоль струны, была поставлена и решена Е.Л. Николаи в 1921 году [34]. Результаты, полученные Николаи, стали основой сразу для нескольких направлений исследований в различных областях, которые проводились группами ученых независимо друг от друга. Например, ряд задач был связан с повышением динамической устойчивости упругих конструкций с гибкими связями в мостах при эксплуатации железных дорог [35, 36]. В 40-х годах 20 века в УССР активно велось изучение динамики шахтного подъема с использованием проволочных канатов переменной длины. Труды Г.Н. Савина и его учеников составили надежный фундамент расчета прочности и подбора параметров систем, использующие в качестве подъемных механизмов стальные канаты [37, 38, 39, 40].Обобщенный подход к изучению динамики систем с гибкими

связями переменной длины был предложен в работах А.И.Весницкого и его учеников [43, 44, 45]. Результаты, полученные этой группой, позволяют наиболее полно и строго исследовать зависимость волновых процессов, происходящих в гибкой связи от динамики на ее границе. Отличительной особенностью эих исследований является то, что объектом изучения являлись не элементы самой гибкой связи, а волны деформации, возникающие в ней. За счет этих волн и осуществляется перенос импульса и энергии вдоль связи. Также, на основании вариационных принципов была подробно изучена устойчивость систем и условия возникновения резонансных явлений.Следует отметить, что источником продольно-поперечных колебаний в системе могут быть не только продольное движение границы связи вместе с нагрузкой, но и движения в поперечном направлении (например, процесс намотки нити на катушку).Эта задача имеет следующий порядок сложности и не изучена до конца и по сей день.

В работе [46] применяются асимптотические и численные методы для моделирования как продольных, так и продольно-поперечных колебаниях упругого троса переменной длины. В качестве малого параметра, по которому происходит разложение искомых величин, используется отношение скорости изменения длины троса к скорости распространения волны. Расчеты велись модифицированными методами конечных разностей и Рунге-Кутта. Был проведен сравнительный анализ результатов асимптотического и численного интегрирования при различных наборов параметров задачи и начальных условий. Получено хорошее совпадение результатов при асимптотических и численных расчетах при относительно небольшой скорости изменения длины троса на промежутках времени 3-4 периодов колебаний системы. Однако, при увеличении скорости размотки, происходит расхождение результатов численного и асимптотического анализа. Из этого можно сделать вывод, что эффективно решать задачи данного класса с применением асимптотических и численных методов можно лишь при соблюдении условий на скорость изменения связи.

Особого внимания заслуживает анализ зависимости волновых процессов в связи переменной длины в зависимости от движения границы. В [47, 48, 49, 52] авторами рассматриваются подобные задачи с использованием обобщения двух численных методов - Канторовича и Галеркина. При исследовании результатов расчетов, полученных численно, авторы сравнили их с решением аналогичной задачи для случая неподвижных границ, которое было получено методом разделения переменных. В [49] был предложен аналитический метод решения волновых уравнений с условиями на подвижной границе. При его использовании исходная краевая задача с помощью замены переменных в системе функциональных уравнений сводится к системе разностных уравнений с одним постоянным смещением, которая затем решается с помощью интегрального преобразования Лапласа. Данный метод позволяет рассматривать

более широкий класс задач с динамическими граничными условиями.

Еще одним важным классом задач являются задачи стабилизации систем с гибкими связями переменной длины и гашения нежелательных колебаний, возникающих в связях. Исследование подобных задач сводится к совместному изучению причин возникновения вынужденных колебаний систем и резонансных особенностей самих связей. В результате вырабатываются практические рекомендации, критерии на параметры, позволяющие уменьшить влияние волновых процессов в связях на общую динамику системы, тем самым повышая эксплуатационную надежность и автономность систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дьяков Павел Александрович, 2022 год

Список литературы

[1] Рахматулин Х.А. Прочность при кратковременных нагрузках/ Х.А.Рахматулин, Е.И.Шемякин, Ю.А.Демьянов, А.В.Звягин: учебное пособие. - М: Университетская книга; Логос, 2008. - 624 с.

[2] V.A. Chobotov, Disposal of geosynchronous satellites by Earth- oriented tethers// 55th International Astronautical Congress 2004, Vancouver, Canada;

[3] A. A. Malashin, N. N. Smirnov, O.Y. Bryukvina, P.A.Dyakov. Dynamic control of the space tethered system// Journal of Sound and Vibration(Impact Factor 4.08). - 2017. - Volume. 389. - P 41-51;

[4] Diakov P.A., Malashin A.A., Smirnov N.N. Problem of load transportation along a space tethered system // Acta Astronautica(Impact Factor 2.43). — 2018. - Volume 150. - P. 44-48;

[5] Diakov P. A., Malashin A. A., Smirnov N. N. Dynamic processes in the tether of a space tethered system // Acta Astronautica(Impact Factor 2.43). — 2019. ^Volume 163. - P 100-106;

[6] Diakov P. A., Malashin A. A., Smirnov N. N. Estimation of parameters of the space tethered system for stable load transportation along the tether // Acta Astronautica(Impact Factor 2.43). - 2021,- Volume 181.-P. 602-605;

[7] Diakov P. A., Malashin A. A., Smirnov N. N. Application of space tethered systems for space debris removal // Proc. 7th European Conference on Space Debris, Darmstadt, Germany, 18-21 April 2017, published by the ESA Space Debris Office, Edited by T. Flohrer and F. Schmitz.^ P. 51-53;

[8] А.А.Малашин, Ю. А. Демьянов, П. А. Дьяков, О. Ю. Брюкви-на.Математическое моделирование динамики тросовой системы.//Сборник трудов II Всероссийской научно-технической конференции "Механика и математическое моделирование в технике" (Москва, МГТУ им Н.Э. Баумана, 22-23 ноября 2017 г.). — Издательство МГТУ им Н.Э. Баумана, Москва, 2017. - С. 139-144;

[9] Дьяков П.А.. Применение тросовой системы для очистки околоземного космического пространства от космического мусора.// Материалы XXV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», 2018 г. (электронный сборник).

[10] Малашин А. А., Дьяков П. А. Влияние волн и колебаний на динамику космической тросовой системы // Труды XII Всероссийского съезда по

фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. — Т. 1 из Механика жидкости и газа. — РИЦ БашГУ Уфа, 2019. — С. 700-701;

[11] Дьяков П. А., Смирнов Н. Н., Малашин А. А. Применение тросовых систем для очистки космического пространства от элементов космического мусора // Тезисы конференции Ломоносовские чтения-2017 (МГУ, Россия, 17-26 апреля 2017). Секция Механики. — НИИ механики МГУ, .Москва. С. 20-21;

[12] Дьяков П. А., Малашин А. А., Смирнов Н. Н. Применение тросовой системы для очистки космического пространства от элементов космического мусора // Тезисы конференции Ломоносовские чтения-2018(МГУ, Россия,16-25 апреля 2018 г.).Секция механики. НИИ механики МГУ, Москва. С. 79-79;

[13] Дьяков П.А., Смирнов Н.Н., Малашин А.А. Динамические процессы в тросовой системе, размещенной на орбите//Тезисы конференции Ломоносовские чтения-2019(15-22 апреля 2019).Секция механики.-НИИ механики МГУ, Москва. С. 63-64;

[14] Дьяков П.А., Малашин А.А. Моделирование динамики космических тросовых систем Тезисы конференции Ломоносовские чтения-2020 (19-31 октября 2020 г).Секция механики.-НИИ механики МГУ, Москва. С. 84-85;

[15] Дьяков П.А., Малашин А.А. Особенности моделей космических тросовых систем//Ломоносовские чтения-2021 (20-26 апреля 2021).Секция механики.-НИИ механики МГУ, Москва. — С. 84-84;

[16] Дьяков П.А., Малашин А.А.Оценка параметров функционирования космической тросовой системы// Материалы 56-х Научных чтений, посвященных разработке научного наследия и развития идей К.Э. Циолковского,Калуга.-том 2,- С.216-218;

[17] Smirnov, N.N. Безопасность космических полетов - перспективы. Space flight safety - discussing perspectives// Acta Astronáutica - 2016.- Volume 126 - P. 497-499;

[18] N.N. Smirnov, A.I. Nazarenko, A.B. Kiselev. Моделирование эволюции космического мусора методами механики сплошной среды. Modeling of the space debris evolution based on continua mechanics, Space Debris, 473 (2001) 391-396. Англ;

[19] Mark C.P., Kamath S. Review of active space debris removal methods//Space Policy.-2019.-Volume 47.-P. 194-206.

[20] Edwards, В. С.The Space Elevator. NIAC Phase II Final Report//Eureka Scientific, Oakland, CA.-2003.-P. 42-43;

[21] Alpatov,A. P.,Dranovskii, V. I., Zakrzhevskii, A.E. and Pirozhenko,A.V.Space Tether Systems. The Problem Review// Cosmic Science and Technology.-1997.-Volume 3,- №5-6,- P. 21-29;

[22] Johnson L., Estes R.D., Lorenzini E., Mart-Egrave M., Nez-S-Uuml, Nchez J. Sanmart-Egrave N. Propulsive small expendable deployer system experiment // Journal of Spacecraft and Rockets.- 2000.- Volume 37.- № 2,- Pp. 173-176;

[23] Ледкова T.A., Асланов B.C. Управление космической тросовой системой при уводе с круговой орбиты капсулы с грузом. Машиностроение и компьютерные технологии. 2017.- № 11.-С. 1-16;

[24] V.A. Chobotov, N. Melamed, W.H. Ailor, W.S. Campbell, Ground assisted rendezvous with geosynchronous satellites for the disposal of space debris by means of Earth-oriented tethers// Acta Astronautica.-2009.-Volume 64,- P. 946-951;

[25] Jingrui Zhang, Keying Yang, Rui Qi. Dynamics and offset control of tethered space-tug system// Acta Astronáutica.- 2018.- Volume 142.-P. 232-252;

[26] M. Shan, J. Guo, and E. Gill. Deployment dynamics of tethered-net for space debris removal// Acta Astronáutica.- 2017.- Volume 132.-P. 293-302;

[27] R. Dudziak, S. Tuttle, and S. Barraclough.Harpoon technology development for the active removal of space debris// Advances in Space Research.-2015.-Volume 56,- №3,- P. 509-527;

[28] J.L. Forshaw, G.S. Aglietti, N. Navarathinam, H. Kadhem, T. Salmon, A. Pisseloup, E. Joffre, T. Chabot, I. Retat, R. Axthelm,S. Barraclough, A. Ratcliffe, C. Bernal, F. Chaumette, A. Pollini, andW. H. Steyn.RemoveDEBRIS: An in-orbit active debris removal demonstration mission//Acta Astronautica.-2016,-Volume 127,- P. 448-463;

[29] Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. -М.: Наука, 1990. - 329 с;

[30] Aslanov V.S., Ledkov A.S. Dynamics of Tethered Satellite Systems//Cambridge: Woodhead Publishing Limited, 2012. - 331p;

[31] Joseph A.Carroll.Tether applications in space transportation//Acta Astronautica.-1986.- Volume 13.-Issue 4.-P. 165-174;

[32] Mankala Kalyan К., Agrawal Sunil K. Dynamic modeling of satellite tether systems using Newton's laws and Hamilton's principle//Journal of vibration and acoustic.-2008.-Volume 130,-№ 1.- P. 014501/1-014501/9;

[33] Kristiansen K. Uldall, Palmer P. L., Roberts R. M. Numerical modelling of elastic space tethers// Celestical Mechanics and Dynamical Astronomy.-2012.-Volume 113.-№ 2,- P. 235-254;

[34] Николаи Е.Л. О поперечных колебаниях участка струны, длина которого равномерно изменяется. В кн.: Николаи Е.Л. Труды по механике. М: ГИТТЛ.-1955.-583 с.

[35] Болотин В.В.Задача о колебаниях мостов под действием подвижной нагрузки // Известия АН ОООР.-1961 4. С.109-115;

[36] Якушев Н.З. Динамика деформируемых систем под действием движущихся нагрузок. Ч. I. Балки, стержни и арки под действием подвижных нагрузок. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Издательство Казанского университета.-1972.-Выпуск 8.-С. 3-42;

[37] Савин Г.Н. Механика деформируемых тел - Киев: Наукова думка.- 1979.141 с ;

[38] Горошко O.A., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины,- Киев: Наукова дума кн.-1971 .-224 с;

[39] Ишлинский А.Ю. Об уравнении продольных движений каната (упругой нити) переменной длины // Доклады АН СССР.-1954.-Т. 95.-.\'°5.-С. 370-374;

[40] Неронов Н.П. Об упругих деформациях в подъемном канате // Прикладная математичка и механика.-1937.-Т.1.-№1.-С.91-96.

[41] Неронов Н.П. Определение напряжений в подъемном канате //Доклады АН СССР,-1947.-T.57.-..Y0 8.-С.765-768.

[42] Раздолъский А.Г., Заболотный Ю.В. К исследованию переходных процессов одномерных механических систем переменной длины. В книге: Динамика машин. - М.: Науки.-1974.-191 с.

[43] Весницкий А. И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. - М.: ФИЗМАТЛИТ,- 2001.-320 с.

[44] Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е. Частотно-энергетические соотношения для упругих волн в одномерных системах с движущимися объектами // Акустический журнал,-1995,- Т.41 .-..\'°2.-0. 209-215.

[45] Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е., Уткин Г.А. Частотно-энергетические соотношения для упругих волн в одномерных системах с движущимися объектами //Нижний Новгород: Изд-во ННГУ,- 1997;

[46] Пинчук Н. А., Столяр А. М. Решение начально-краевых задач с подвижной границей. Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского.-2011,- No 4 (5).-С. 2423-2424.

[47] В.Н. Анисимов, В.Л. Литвинов. Исследование резонансных свойств механических объектов с движущимися границами при помощи метода Канторовича-Галёркина// Вестник Самарского государственного техн. университета, серия Физ.-мат. науки.-2009.-№ 1 (18).-С. 149-158.

[48] В.Н. Анисимов, В. Л. Литвинов. Резонансные свойства каната переменной длины//, Математическое моделирование и краевые задачи.-2006.-Ч.1.- С. 17-19.

[49] В. Л. Литвинов. Об одном решении интегро-дифференциального уравнения колебаний механических систем с движущимися границами//Вестник научно-технического развития.-2015.-№8 (96)-.С. 24-30;

[50] Данилин А.Н, Волков-Богородский Д.Б. О неявных методах интегрирования параметризованных уравнений нелинейных динамических систем // Вестник МАИ.-2001,- Т.8.- № 2.-С.40-52.

[51] Дананилин Л.Н., Зуев К.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. Принципы построения и результаты тестирования конечноэлементного комплекса ERGO для решения задач нелинейного деформирования Материалы VII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред.-2001.-С.114-119.

[52] В.Н. Анисимов, В.Л. Литвинов. Анализ влияния движения границ при исследовании резонансных свойств систем с демпфированием// Вестник Самарского государственного технического университета.-2009.- №2(19).-С.147-152.

[53] Steindl А., Troger Н. Optimal control of deployment of a tethered subsatellite//Nonlinear Dynamic.- 2003,- Volume 31.-..V" 3,- P. 257-274.

[54] Barkow В., Steindl A., Troger H. Controlling the deployment of a tethered satellite system// 8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 23-29 авг. 2001: Аннотации докладов. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН; Пермь: Издательство Института механики сплошной среды УрО РАН,- 2001,- С.5;

[55] Wang Cong, Zou Zhen-zhu, Ishkov S. A.Dynamic analysis of tethered space system deployment process//Journal Harbin Institute of technology -2001.-Volume 8.-№ l.-P. 94-96.

[56] Levin E. M.Nearly-uniform deployment strategy for space tether systems// Acta astronautica.-1994.-Volume 32,- № 5,- P. 399-403.

[57] M. Kruijff, E.J. van der Heide, Qualification and in-flight demonstration of European tether deployment system on YES2// Acta Astronautica.-2009.-Volume 64,- P. 882-905.

[58] N.N. Smirnov, Yu.A. Demyanov, A.V. Zvyaguin, A.A. Malashin, A.A. Luzhin. Dynamical simulation of tether in orbit deployment//Acta Astronautica.- 2010.-Volume 67,- P.324 332.

[59] Смирнов H.H., Звягин А.В., Малашин А.А. Динамические процессы при разворачивании тросовой системы во время полета КА «Фотон М-3». Упругость и неупругость Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина, Москва, 20-21 января 2011 года. - М.: Издательство Московского унпверснтета.-2011.-С.454-457;

[60] Vladimir S.Aslanov.Swing principle for deployment of a tether-assisted return mission of a reentry capsule//Acta Astronautica.-2016.- Volume 120.-P. 154-158.

[61] Koki Tao, Yosiki Yamagiwa, Kiyotoshi Otsuka , Yoji Ishikawa . Study about the simultaneous deployment performance of the cables from GEO station at the space elevator construction//Acta Astronautica.-2017.- Volume 138.- P. 590-595.

[62] V I Trushlyakov, V V Yudintsev,R S Pikalov. Dynamic control of tug-debris tethered system after the capturing of the debris//Journal of Physics: Conference Series.-2018.-Volume 1050.- conference 1.

[63] Ледков А.С. Использование генетического алгоритма для поиска закона управления развертыванием троса в задаче доставки груза с орбиты // Интернет-журнал Науковедение.- 2014,- № 5 (24). С. 12;

[64] B.S. Yu, Н. Wen, D. P. Jin. Review of deployment technology for tethered satellite systems. August 2018.- Volume 34,- Issue 4,- p 754-768.

[65] Kalyan K. Mankala Sunil K. Agrawal.Dynamic Modeling and Simulation of Satellite Tethered Systems// Journal of vibration and acoustic.- 2004,- Volume 127(2).-P. 144-156.

[66] А.З. Камалов. Краткий курс лекций по теории колебаний. Учебное пособие//Казанский государственный архитектурно-строительный университет, Казань,- 2006 - 128 с.

[67] C.B. Ракша, Ю.К. Горячев, A.C. Куропятнпк. Анализ влияния упругих деформаций несущего каната на усилия в тяговом канате подвесной дороги. Наука та прогрес транспорту//Вкник Дшпропетровського нацюнального ушверситету чилгшичного транспорту.-2013.- No 6 (48).- С. 110-119.

[68] Гриднев С.Ю. Пространственные колебания моста, пролетное строение которого моделируется тонкостенным стержнем, под действием подвижной нагрузки // Компьютерные учебные программы и инновации. - 2006.- № 5.-С.27;

[69] Гриднев С.Ю. Задача о колебаниях балки, один конец которой закреплен упруго, а другой шарнирно, при подвижной нагрузке в постановке A.M. Крылова // Компьютерные учебные программы. - 2008. - №1. - № 8752 ОФАП от 12.07.2007 No50200701570 от 23.08.2007;

[70] Юницкий А.Э. Струнные транспортные системы: на Земле и в Космосе// А.Э. Юницкий,- Силакрогс: «ПНБ принт».-2019.- 576 с.

[71] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. Учебное пособие. - М.: Изд-во M ГУ,-1999. 798 с.

[72] Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Учебное пособие.-1970.-Т.2,-492 с.

[73] Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. - М.: Гостехиздат,-1953.-264 с.

[74] Николаи Е.Л. О поперечных колебаниях участка струны, длина которого равномерно изменяется. В кн.: Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: ГИТТЛ, 1955.-583 с.

[75] On a dynamical illustration of the pressure of radiation // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science.-1925.-Volume 49,- №289,- P. 171-175.

[76] Рахматулин X.A. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при наличии трения// Прикладная математика и механика.-1945.-Том IX.-С. 449-462.

[77] Рахматулин Х.А. Поперечный удар по гибкой нити телом заданной формы. // Прикладная математика и механика.-1952.-Том XVI,- С. 23-34.

[78] Рахматулин X. А. Об ударе по гибкой нити//Прикладная математика и механика.-1947.-Том XI.- С. 379-382.

[79] Зверев И.Н. Некоторые задачи о распространении волн при ударе Дисс.... канд.ф.-м. наук. М.: МГУ.-1949.

[80] Павленко А.Л. Некоторые вопросы динамики гибкой растяжимой нити // Газовая и волновая динамика,- 1979,-Выпуск З.-С. 190-199.

[81] Демьянов Ю.А., Малашин. A.A. Вынужденные продольные колебания музыкальных струн, обусловленные их поперечными колебаниями/ /Газовая и волновая динамика.-2005.-С.178 - 187.

[82] Кристеску Н. О волнах нагрузки и разгрузки в упругой или пластической гибкой нити// Прикладная математика и механика.-1954.-Том XVIII.-Выпуск 3.

[83] Ленский Э.В. Вынужденные движения поперечной волны в гибкой растяжимой нити. //Механика твердого гели,-1968.-Л'° 6.

[84] Демьянов Ю.А. Асимптотический метод решения задач распространения волн в нити. //Прикладная математика и механика.-1993.-№ 4.-С. 146 - 149.

[85] Весницкий А.И., Лисенкова Е. Е. Об эффекте преобразования продольной вибрации объекта в поперечную в процессе его движения вдоль упругой направляющей Вибрационные машины и технологии.-1997.-С. 122-123.

[86] Gavrilov S. Passage through the critical velocity by a moving load in an elastic waveguide. The nonlinear statement for the problem // Z. Angew. Math. Mech.-2000.-Volume 80,- P. 743-744.

[87] Gavrilov S.N. Configurational forces in elastic systems with moving loads // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Специальный выпуск "Нелинейные проблемы механики сплошной среды",- 2003.-С. 7-14;

[88] Гаврилов С.Н. О переходе подвижной нагрузки на струне на упругом основании через критическую скорость//Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества.-С. 48-51.

[89] Гаврилов С.Н. Об эффективной массе материальной точки, движущейся по струне на винклеровском основании // Прикладная математика и механика.-2006.-Том 70.-Л* 4.-С. 641-649.

[90] Ерофеев В.И., Колесов Д.А., Лисенкова Е.Е. Расчет дисперсионных характеристик струны, лежащей на упруго-инерционном основании//Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.- 2013.-ЛН (1).-С. 199203.

[91] Мастиновский Ю. В., Засовенко А. В. Нестационарное деформирование однопролетной балки под действием подвижной нагрузки//Нов. матер, i технол. в металургп та машиiюбулупи111ii.-2008.-..Y0 2.-C. 40-43.

[92] Аверин A. H. Колебания жесткой нити под действием подвижной нагрузки//Аэродинамика, механика и технологии авиастроения: Сборник научных трудов. Воронеж: Изд-во ВГТУ.-2002.-С. 106-109.

[93] Веричев С.Н. Математические методы исследования устойчивости объекта, движущегося по упругой направляющей//Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.-2008.-№4.-С. 117-121.

[94] Arun k. Banerjee.Dynamics of tethered payloads with deplment rate control//Journal of Guidance, Control and Dynamics.-1990.-Volume 13.- № 4.-P. 759-764.

[95] B. S. Yu, H. Wen, D. P. Jin. Review of deployment technology for tethered satellite systems//Acta Mechanica Sinica.-2018.-Volume 34.-Issue 4,- P.754 768.

[96] S.N. Gavrilov. Nonlinear investigation of the possibility to exceed the critical speed by a load on a string//Acta Mechanica.-2002.-Volume 154.-P.47-60.

[97] S.N. Gavrilov. Transition through the critical velocity for a moving load in an elastic waveguide//Technical Physics.-2000.-Volume 45.- № 4,- P.515-518.

[98] Kalyan K. Mankala Sunil K. Agrawal. Dynamic Modeling and Simulation of Satellite Tethered Systems//Journal of vibration and acoustic.-2004.- Volume 127(2).- P. 144-156.

[99] Lorenzo Olivier, Andrea Antonello, Laura Bettio. Microgravity tests in preparation of a Tethered Electromagnetic Docking space demonstration// Conference: 68th International Astronautical Congress (IAC), Adelaide, Australia.-2017.- 12 p.

[100] Aslanov V. The oscillations of a body with an orbital tethered system//Journal of Applied Mathematics and Mechanics.-2007.- Volume 71(6).-P. 926-932.

[101] V.Aslanov, A.Misrab, V.Yudintsev.Chaotic Motions of Tethered Satellites with Low Thrust//Conference: 67th International Astronautical Congress (IAC), Guadalajara, Mexico.-2016.- 8 p.

[102] Matthew Cartmell,01ga Ganilova,Eoin Lennon,Gavin Shuttleworth.Motorised momentum exchange space tethers: the dynamics of asymmetrical tethers, and some recent new applications//MATEC Web of Conferences 148, 0100.-2018.-8 p. 2017.

[103] V.S Aslanov,T.A Ledkova. The effect of climber initial velocity on orbital space elevator dynamics//Journal of Physics: Conference Series.-2019.- Volume 1368,-Issue 4.-8 p.

[104] Craggs J. W. Wave motion in plastic-elastic strings// Journal of the Mechanics and Physics of Solids.-1954.-Volume 2,- P. 286-295.