Влияние вибрационно-акустических воздействий на конвективные течения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Скуридин, Роберт Владиславович

• Скуридин, Роберт Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скуридин, Роберт Владиславович

1. Введение. Обзор литературы.

1.1 Адвективные течения.

1.2 Течения и массообмен в жидкой зоне.

1.3 Устойчивость термоканиилярного течения в жидкой зоне.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние вибрационно-акустических воздействий на конвективные течения»

результатов.21

1.5 Содержание диссертации.22

2. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале.26

2.1. Основное состояние.26

2.2. Устойчивость адвективного течения.30

2.3. Численные результаты.33

2.3.1. Случай Рг=0.33

2.3.2. Малые числа Прандтля. Гидродинамическая мода.35

2.3.3.Спиральная колебательная мода.41

2.3.4. Монотонная спиральная мода.43

2.4. Обсуждение результатов.44

3. Влияние акустической волны на адвективное течение в горизонтальном канале и его устойчивость.46

3.1. Введение.46

3.2. Влияние акустической волны на стационарное адвективное течение.47

3.3. Влияние акустической волны па устойчивость адвективного течения.49

3.3.1 Канал квадратного сечения. Малые числа 11рандтля.49

3.3.2 Канал относительной ширины 5.56

3.4. Заключение.65

4. Пульсационные и осредненные течения в осссимметричном изотермическом жидком мостике при наличии высокочастотных вибраций.67

4.1. Уравнения движения.67

4.2. Генерация сетки.70

4.3. Вид уравнений движения в криволинейных координатах.72

4.4. Численный метод.72

4.5. Численные результаты.74

5. Численное моделирование течений и тепломассоперспоса при выращивании кристаллов по методу плавающей зоны.78

5.1. Введение.78

5.2. Постановка задачи. Определяющие уравнения и граничные условия.80

5.2.1. Уравнения движения.80

5.2.2. Граничные условия для осредненных полей.82

5.2.3 Граничные условия для пульсационных полей.87 1 5.2.4. Постановка задачи в цилиндрических координатах.88

5.3. Метод решения.89

5.4. Численные результаты.91

5.4.1. Случай высоких частот.94

5.4.2. Моделирование распределения примеси.105

6. Влияние вибраций на течения и теплоперепос в жидкой зоне с недеформируемой свободной поверхностью в условиях невесомости.106

6.1. Постановка задачи.106

6.1.1. Уравнения движения.106

6.1.2. Граничные условия для осредненных полей.108

6.1.3. Граничные условия для пульсационных полей.109

6.2. 11олучение основного состояния.109

6.3. Влияние вибраций на основное течение.113

6.4. Анализ линейной устойчивости.115

6.5. Тестовые расчеты.117

6.6. Влияние вибраций на устойчивость основного течения.118

6.7. Влияние числа ГТрандтля.122

6.8. Выводы.125

Заключение.126

Список литературы.129

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Скуридин, Роберт Владиславович

6.8 Выводы

Таким образом, изучено влияние высокочастотных вибраций одного из торцов на структуру и устойчивость термокапиллярного течения в жидкой полузоне для широкого спектра значений безразмерных амплитуд и чисел Вебера и значений числа Прандтля, характерных для расплавов металлов и кристаллов полупроводников. Показано, что вибрации могут использоваться для уменьшения интенсивности термокапилярного течения и его стабилизации. Рассмотрен переход к преимущественно вибрационному течению при росте амплитуды и потеря им устойчивости.

Заключение

В работе численно исследовано стационарное адвективное течение в горизонтальном канале квадратного сечения, на стенках которого поддерживается однородный градиент температуры, параллельный оси канала. Показано, что при пулевом числе Прандтля задача имеет решение, соответствующее плоскопараллельному течению, направленному вдоль оси канала. При этом в нижней части канала жидкость движется в направлении, совпадающем с направлением приложенного градиента температуры, а в верхней части - в противоположном направлении. Для ненулевых значений числа Прандтля плоскопараллельных решений не существует, в поперечном сечении канала образуются четыре вихря. Траекториями частиц жидкости являются спирали с осью, параллельной образующей канала. По ним жидкость движется от центра к периферии по вертикали, а затем возвращается к центру по горизонтали.

Исследована линейная устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения. Обнаружено, что в области значений чисел Прандтля около 6-Ю"4, наблюдается резкая стабилизация основного течения с увеличением Рг. При этом основное течение перестраивается, зависимость Grc(/V) претерпевает разрыв.

Предложено объяснение этого эффекта, заключающееся в том, что увеличение вклада поперечных составляющих скорости основного течения с ростом числа Прандтля приводит к выносу энергии возмущений гидродинамического типа, связанных с взаимодействием встречных потоков, из приосевой области. Дальнейшее повышение числа Прандтля ведет к дестабилизации течения, обусловленной развитием вихрей на границе встречных потоков у боковых стенок канала. Обнаруженные эффекты не имеют места в хорошо изученном случае адвективного течения в плоском горизонтальном слое.

Изучено влияние на устойчивость адвективного течения в горизонтальном канапе прямоугольного сечения акустической волны, распространяющейся вдоль оси канала. Показано, что характер этого влияния определяется значениями чисел Прандтля и Рейнольдса и шириной канала. Как и в случае плоского горизонтального слоя, во веем рассмотренном диапазоне значений числа Прандтля акустическое воздействие приводит к заметной стабилизации гидродинамической моды неустойчивости и к сильной дестабилизации спиральной моды. Монотонная в отсутствие акустического воздействия гидродинамическая мода становится при Re Ф 0 колебательной, ее частота растет с ростом числа Рейнольдса. Границы неустойчивости по отношению к возмущениям всех типов, как и в отсутствие акустического воздействия, лежат значительно выше, чем в случае плоского слоя, что связано со стабилизирующим действием боковых стенок.

Численно исследованы течения в изотермической жидкой зоне с деформируемой в среднем свободной поверхностью при высокочастотных аксиальных вибрациях одного из торцов. Найдены пульеационные и средние деформации свободной поверхности, структура и интенсивность пульсационных и средних течений при различных параметрах вибраций. Показано, что во всем рассмотренном диапазоне параметров вибраций доминирующий вихрь, занимающий большую часть зоны, вызывается поверхностными волнами, распространяющимися от вибрирующего торца. Направление этого вихря таково, что жидкость движется вдоль свободной поверхности от вибрирующего торца к неподвижному. Интенсивность вибрационного течения монотонно меняется при изменении амплитуды вибраций. Зависимость интенсивности течения от частоты вибраций немонотонна, наблюдается резкое возрастание при частотах, близких к резонансным значениям.

В рамках подготовки космического эксперимента по выращиванию кристаллов методом плавающей зоны при высокочастотных аксиальных вибрациях кристалла выполнено прямое численное моделирование течений и теплообмена в жидкой зоне с деформируемой свободной поверхностью с учетом процессов плавления, кристаллизации и протягивания заготовки. Показано, что вибрации ведут к подавлению термокапиллярного течения у фронта кристаллизации и уплощению фронта. При нормальной силе тяжести эффект подавления выражен слабее, чем в случае невесомости, а уплощение фронта напротив более значительно. В силу сложной структуры возникающего в рассматриваемой конфигурации конвективного течения, полное его подавление невозможно, однако оказывается возможным, прилагая вибрации, уменьшить интенсивность течения вблизи фронта кристаллизации и сделать этот фронт более плоским. Вибрационное подавление течения у фронта кристаллизации ведет к уменьшению радиального градиента концентрации примеси.

Изучено влияние высокочастотных аксиальных вибраций одного из торцов на структуру и устойчивость осесимметричного термокапиллярного течения в жидкой полузоне с недеформируемой в среднем свободной поверхностью в широком интервале значений параметров вибраций и значений числа Прандтля, характерных для расплавов металлов и кристаллов полупроводников. Определены зависимости критического числа Рсйнольдса от параметров вибраций и числа Прандтля. Обнаружено, что вибрации малой и умеренной интенсивности оказывают значительное стабилизирующее действие на устойчивость термокапиллярного течения. В то же время, при больших амплитудах вибраций появляется новый вибрационный механизм неустойчивости, связанный с трехмерными возмущениями. Таким образом, в случае больших чисел Марангони интервал устойчивости осесимметричного течения оказывается ограниченным по амплитуде вибраций как сверху, так и снизу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Скуридин, Роберт Владиславович, 2004 год

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М., Наука, 1972. 392 с.

2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М., Наука, 1989.318 с.

3. Лвдуевский B.C., Бармин И.В., Гришин С.Д., Лесков Л.В., Петров А.П., Полежаев В.И., Савшев В.В. Проблемы космического производства. М.: Машиностроение, 1980.-222 с.

4. Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов. Механика жидкости и газа. Т. 18. М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1984 С. 198-26 9.

5. Линь Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. -194 с.

6. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.: ИЛ, 1962.-203 с.

7. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.-350 с.

8. Гольдштик М.А, Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск.: Наука, 1977.- 366 с.

9. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкостей. М.: Мир, 1981.-638 с.

10. Вирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости. ПМТФ. 1966.-№3. - С. 69-72.

11. A. Began and С. L. Tien. Fully developed natural counterflow in a long horizontal pipe with different end temeraturcs. Int. J. Heat Mass Transfer. Vol. 21 (1978), pp. 701-708.

12. P. Bontoux, C. Smutek, B. Roux, J. M. Lacroix. Three-dimensional buoyancy-driven flows in cylindrical cavities with differentially heated endwalls. J. Fluid Mech., vol. 169(1986), pp. 211-227.

13. Gershuni G.Z., Laure P., Myznikov V.M., Roux В., Zhukhovitsky E.M. On the stability of plane-parallel advectiv flow in long horizontal layers. Microgravity Q. -1992. -Vol. 2, No. 3.-P. 141-151.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Мызников B.M. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое. ПМТ. 1974.-№ 1.-С. 95-100.

15. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Устойчивость плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое относительно пространственных возмущений. ПМТФ. -1974. -№ 5.-С. 145-147.

16. Мызников В.М. О спектре декрементов возмущений стационарного адвективного течения вязкой жидкости, вызываемого продольным градиентом температуры. Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1979 . С. 29-35.

17. Мызников В.М. О форме возмущений плоскопараллельного конвективного движения в горизонтальном слое. Учен. Зап. Перм. Ун-т. Серия Гидродинамика. 1974. Вып. 7. С. 33-42.

18. Gershuni G.Z., Laure P., Myznikov V.M., Roux В., Zhukhovitsky E.M. On the stability of plane-parallel advectiv flow in long horizontal layers. Microgravity Q., 1992. Vol.2, No.3.P. 141-151.

19. Hart J.E. Stability of thin non-rotating Hadly circulations. J. Atmos. Sci. 1972. V. 29. N5. P. 687-697.

20. Kuo H.P., Korpela S.A., Chait A., Marcus P.S. Stability of natural convcction in a Shallow cavity. 8fh Int. Heat Transfer. Conf., San Francisco. Calif. 1986. V.3 P. 15391544.

21. C.A. Никитин, Д.С. Павловский, В.И. Полежаев. Устойчивость и пространственная структура конвекции в вытянутых горизонтальных слоях при боковом подводе тепла. Механика жидкости и газа. №4,1996. С. 28-37.

22. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции. Изв. АН СССР. МЖГ. 1966, №5, с. 51-55.

23. Зеньковская С.М. Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил. Изв. АН СССР. МЖГ. 1968, №1, с. 55-58.

24. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high-frequency vibrations. Eur. J. Mech., B/Fluids. 1995, v. 14, n.4, p. 439-458.

25. Катанова Т.Н. Исследование влияния высокочастотных вибраций на устойчивость адвективного течения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Пермь, 1999. На правах рукописи.

26. Ben Hadid, Н„ Henry, D. 1997 Numerical study of convection in the horizontal Bridgman configuration under the action of a constant magnetic field. Part 2. Three-dimensional flow. J. Fluid Mech. 333,57-83.

27. Любимов Д.В., Шкляев С. В. Об устойчивости адвективного термоакустического течения. Механика жидкости и газа. №3,2000, с. 10-21

28. G.Z. Gershuni and D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convcction (John Wiley & sons, New York, 1998), 358 p.

29. Chun Ch H, Wuest W. 1978. Acta Astronautica, 5:681.

30. Schwabe D., Scharmann A., Preisser F., Oeder R. 1978. J. Crystal Growth, 43:305.

31. Thcrmocapillary convection in liquid bridges: Solution structure and eddy motions. A.M.J Davis. Phys. Fluids A 1(3), March 1989,475-479.

32. Duane T. Johnson. Viscous effects in liquid encapsulated liquid bridges. International Journal of Heat and Fluid Flow 23(2002) 844-854.

33. C.W. Lan, Sindo Kou. Heat transfer, fluid flow and interface shapes in floating zone crystal growth. Journal of Crystal Growth, 108 (1991), 351-366.

34. C.W. Lan. Newton's method for solving heat transfer, fluid flow and interface shapes in a floating molten zone. International Journal for numerical methods in fluids, vol. 19,41-65(1994)

35. T.A. Campbell, M. Schweizer, P. Dold, A. Croll, K.W. Benz. Float zone growth and characterization of Gei.x-Six (x<at%)single crystals. Journal of Crystal Growth 226 (2001)231-239.

36. С.W. Lan. Three-dimensional simulation of floating-zone crystal growth of oxide crystals. Journal of Crystal Growth 247 (2003) 597-612.

37. A.S. Senchenkov, I.G. Smirnova. On Shape of single crystals grown by FZM in mi-crogravity. Proceedings VIHth European Symposium on materials and Fluid Sciences in Microgravity, Brussels, Belgium, 12-16 April 1992.

38. D. Rivas, R. Haya. A conduction-radiation model for the floating-zone technique in monoelliosoidal mirror furnaces. Journal of Crystal Growth, 206 (1999). 230-240.

39. J.S. Walker, P. Dold, A. Croll, M.P. Volz, F.R. Szofran. Solutocapillary convection in the float-zone process with a strong magnetic field. International Journal of Heat and Mass Transfer 45 (2002) 4695-4702.

40. P. Dold, K. Benz. Rotating magnetic fields: fluid flow and crystal growth applications. Prog. Crys. Growth and Charact. of Mat., vol. 38 (1999), no. 1-4, pp. 7-38.

41. Th. Kaiser, K.W. Benz, Floating-zone growth of silicon in magnetic fields III. Numerical simulation. Journal of Crystal Growth 183 (1998) 564-572.

42. L.M. Witkowski, J.S. Walker, 'Flow driven by Marangoni convection and Rotating Magnetic Field in a Floating-Zone configuration', Magnetohydrodynamics, vol. 37 (2001), 1-2.

43. Tetsuo Munakata, Satoshi Someya, Ichiro Tanasawa. Suppression of Marangoni convection in the FZ melt by high-frequency magnetic field. Journal of Crystal Growth 235(2002)167-172.

44. K. Li, W.R. Hu. Numerical simulation of magnetic field design for damping thermocapillary convection in a floating half-zone. Journal of Cry stal Growth 222 (2001) 677-684.

45. Jie Li, ,Mingwei Li, Wenrui Hu, Danling Zeng. Suppression of Marangoni convection of silicon melt by a non-contaminating method. International Journal of Heat and Mass Transfer 46 (2003) 4969-4973.

46. Повицкий A.C., Любин Л.Я. Основы динамики и тепломассообмена жидкостей и газов при невесомости. М., Машиностроение, 1972.

47. Гидромеханика невесомости. Под ред. А.Д. Мышкиса. М., Наука, 1976.

48. Ганиев Р.Ф., Лапчинский В.Ф. Проблемы механики в космической технологии. М., Машиностроение, 1978, 119 с.

49. Ганиев Р.Ф., Охотин А.С. Об управляемом вибрационном перемещении жидкости и газа в условиях, близких к невесомости. ДАН СССР, 1978, т. 233, №2, с. 338-342.

50. W.S. Liu, V.F. Wolf, D. Elwell, R.S. Feigelson. Low frequency vibrational stirring: a new method for radial mixing solutions and melts during growth. J. Crystal Growth 151 (1995)235-242.

51. E.V. Zharikov, L.V. Prihod'ko and N.R. Storozhev. Fluid flow formation resulting from forced vibration. Journal of crystal Growth 99 (1990) 910-914.

52. V. Uspenskii, J.J. Favier. High frequency vibration and natural convection in Bridg-man-scheme crystal growth. Int. J. Heat and Mass Transfer 37 (1994) 691-698.

53. D.V. Lyubimov, Т.Р. Lyubimova, S. Meradji, В. Roux. Vibrational control of crystal growth from liquid phase. J. Crystal Growth, 180 (1997), 648-659.

54. Zhang Y., Alexander J.I. Sensitivity of liquid bridges subject to axial residual acceleration. Phys. Fluids 1990, A2(l 1), pp. 1966-1974.

55. Schlichting H., Grenzchicht-Theorie. Braun, Karlsruhe, 1951.

56. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves. Philosophical Transactions A., 1953,245,535-581.

57. Lyubimov D.V., Savvina M.V., Cherepanov A.A. On quasi-equilibrium shape of a free surface in modulated gravity field. In The problems of hydromechanics and heat/mass transfer with free boundaries. Novosibirsk, 1987, pp. 97-105.

58. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A. On the development of steady relief on fluid interface in a vibrational field. Fluid Dynamics, 1987, pp. 849-854.

59. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. One method for numerical modelling in the problems with deformable fluids interfaces. Modelling in Mechanics, 1990, 4/21 (1), 136140.

60. Lyubimov, D.V., Thermovibrational flows in non-uniform systems. Microgravity Quarterly, 1994,4(2), 221-225.

61. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high frequency vibrations. European Journal of Mechanics, B/Fluids, 1995, 14(4), 439-458.

62. G.Z.Gershuni, D.V.Lyubimov, T.P.Lyubimova, B.Roux. Vibrational convection in a heated liquid bridge with a free surface. C. R. Acad. Sci. Paris, 1995, t.320, Serie lib, pp. 225-230.

63. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux B. Mechanisms of vibrational control of heat transfer in a liquid bridge. Int. J. Heat Mass Transfer. Vol. 40, No. 17, pp. 4031-4042, 1997.

64. Anilkumar A.V., Grugel R.N., Shen X.F., Lee C.P. and Wang T.G. Control of ther-mocapillary convection in a liquid bridge by vibration. J. Appl. Phys., 73(9), 41654170, 1993.

65. Mollot D.J., Tsamopoulos J., Chen T.Y., Ashgriz N. Nonlinear dynamics of capillary bridge experiments. J. Fluid Mech., 1993, 255,411.

66. Grugel R.N., Shen X.F., Annilkumar A.V., Wang T.G. J. The influence of vibration on microstructural uniformity during floating-zone crystal growth. Crystal Growth, 1994, 142,209-214.

67. Lee C.P., Anilkumar A.V., Wang T.G. Streaming generated in a liquid bridge due to nonlinear oscillations driven by the vibrations of an endwall. Phys. Fluids, 1996, 8(12), pp. 3234-3246.

68. D. Schwabe, Crystals, vol. 11, Springer, Berlin, 1988, p. 75.

69. J.-C. Chen, G.-H. Chin. Linear stability analysis of thermocapillary convection in the floating zone. Journal of Crystal Growth 154 (1995) 98-107.

70. С.-И. Chun, W. Wuest, Experiments on the transition from the steady to the oscillatory Marangony-convection of a floating zone under reduccd gravity effect, Acta Astronaut. 6,1073 (1979).

71. S. Ostrach, Y. Kamotani, C.L. Lai. Oscillatory thermocapillary flows, Physicochem. Hydrodyn. 6,585(1985).

72. F. Preisser, D. Schwabe, A. Scharmann, 'Steady and oscillatory thermocapillary convection in liquid columns with free cylindrical surface', J. Fluid Mech. 126, 545 (1983).

73. H.C. Kuhlmann, H.J. Rath, 'On the interpretation of phase measurements of oscillatory thermocapillary convection in liquid bridges', Phys. Fluids A 5,2117 (1993).

74. R. Velten, D. Schwabe, A. Sharmann, 'The periodic instability of thcrmocapillary convection in cylindrical liquid bridges', Phys. Fluids A 3,267 (1991).

75. Y.K. Yang, S. Kou. Temperature oscillation in a tin liquid bridge and critical Maran-goni number dependency on Prandtl number. Journal of Crystal Growth 222 (2001) 135-143.

76. Y. Shen, G.P. Neitzel, D.F. Jankowski, H.D. Mittelmann, J. Fluid Mcch. 217 (19990) 639.

77. G.P. Neitzel, C.C. Law, D.F. Jankowski, H.D. Mittelmann, Phys. Fluids A 3 (1991) 2841.

78. J.J. Xu, S.H. Davis, Phys. Fluids 27 (1984) 1102.

79. G.P. Neitzel, K.T. Chang, D.F. Jankowski, H.D. Mittelmann, Phys. Fluids Л 5 (1993) 108.

80. H.C. Kuhlmann, H.J. Rath, J. Fluid Mech. 247 (1993) 247.

81. Convective instability mechanisms in thermocapillary liquid bridges. M. Wanschura, V.M. Shevtsova, H.C. Kuhlmann and H.J. Rath. Phys. Fluids 7 (5), May 1995, 912925.

82. R. Rupp, G. Muller, G. Neumann, J. Crystal Growth 97 (1989) 34.

83. M. Levenstam, G. Amberg, J. Fluid Mech. 297 (1995) 357.

84. J. Lcypoldt, H.C. Kuhlmann, H.J. Rath. 'Three-dimencional numerical simulation of thcrmocapillary flows in cylindrical liquid bridges'. J. Fluid Mcch. 414 (2000), 285.

85. J. Leypoldt, H.C. Kuhlmann, and H.J. Rath. Stability of hydrothermal-wavc states. Adv. Spacc Res. Vol. 29, No. 4, pp. 645-650.2002.

86. Z. Zeng, II. Mizuseki, K. Shimamura, K. Higashino, T. Fukuda, Y. Kawazoe. Maran-goni convection in model of floating zone under Microgravity. Journal of Crystal Growth 229 (2001)601-604.

87. R. Savino, R. Monti, 'Oscillatory Marangoni convection in cylindrical liquid bridges', Pys. Fluids 8 (1996), 2906-2922.

88. R. Monti, R. Fortezza, D. Castagnolo, D. Desiders. 1994 The Telemaxus experiment on oscillatory Marangoni flow. ESA SP 1132, vol. 4, pp 44-59.

89. R. Monti, C. Albanese, L. Carotenuto, D. Castagnolo, E. Ceglia. 1995 First results from the Onset experiment during Spacelab mission D-2. Scientific Results of the German Spacelab Mission D-2, pp.247-258.

90. H.C. Kuhlmann, С. Nienhiiser, H.J. Rath, and S. Yoda. Influence of the volume of * liquid on the onset of three-dimensional flow in thermocapillary liquid bridges. Adv.

91. Space Res. Vol. 29, No. 4, pp. 639-644.2002.

92. H.C. Kuhlmann, Ch. Nienhiiser. Dynamic free-surface deformations in thermocapillary liquid bridges. Fluid Dynamics Research 31 (2002) 103-127.

93. M. Levenstam, G. Amberg. 1995 Hydrodynamical instability of thermocapillary flow in a half-zone. J. Fluid Mech. 297, 357-372.

94. V.L. Griaznov. CFD Simulation of the Oscillatory Floating -Zone convection for high Prandtl numbers. Proceedings of the Microgravity Science and Applications Session. Moscow, IPM RAS, NASA, 1995 , 113-118.

95. S. Yasuhiro, N. Imaishi, H. C. Kuhlmann, and S. Yoda. Numerical simulation of three-dimensional oscillatory thermocapillary flow in a half zone of Pr=l fluid. Adv. Space Res. Vol. 24, No. 10, pp. 1385-1390, 1999.

96. N. Imaishi, S. Yasuhiro, Y. Akiyama, S. Yoda. Numerical simulation of oscillatory Marangoni flow in half-zone liquid bridge of low Prandtl number fluid. Journal of Crystal Growth 230 (2001) 164-171.

97. C.W. Lan, J.H. Chian. Three-dimensional simulation of Marangoni flow and interfaces in floating-zone silicon crystal growth. Journal of Crystal Growth 230 (2001) 172-180.

98. Shevtsova V.M., Ermakov M.K., Ryabitskii E., Legros J.C. Oscillations of a liquid bridge free surface due to the thermal convection. Acta Astronautica. Vol. 41, Nos 410, pp. 471-479, 1997.

99. V. M. Shevtsova, M. Mojahed and J.C. Legros. The loss of stability in ground based experiments in liquid bridges. Acta Astronautica Vol. 44, Nos. 7-12. pp. 625-634, 1999.

100. Z.M. Tang, W.R. Hu, N. Imaishi. Two bifurcation transitions of the floating half zone convection in a fat liquid bridge of larger Pr. International Journal of Heat and Mass Transfer, 44 (2001) 1299-1307.

101. Q.S. Chen, W.R. Ни, V. Prasad. Effect of liquid bridge volume on the instability in small-Prandtl-number half zones. Journal of Crystal Growth 203 (1999) 261-268.

102. S. Yasuhiro, N. Imaishi, Y. Akiyama, S. Fujino, S. Yoda. Oscillatory Marangoni flow in half-zone liquid bridge of molten tin supported between two iron rods. Journal of Crystal Growth, article in press.

103. V.M. Shevtsova, D.E. Melnikov, M. Mojahed, J.C. Legros. Effect of ambient conditions near the interface on flow instability. Available online at wwAv.sciencedirect.com. Manuscript accepted 21 March 2003.

104. M. Wanschura, H.C. Kuhlmann, V.M. Shevtsova and H.J. Rath. Thermo- and solu-tocapillary convection in a cylindrical liquid bridge: stability of steady axisymmetric now. Adv. Space Rev. Vol. 16, No. I. pp. (7)75-(7)78,1995.

105. J.-J. Xu and S.H. Davis, 'Convective thermocapillary instabilities in liquid bridges', Phys. Fluids 27, 1102(1984).

106. The periodic instability of thermocapillary convection in cylindrical liquid bridges. R. Velten, D. Schwabe and A. Scharmann. Phys. Fluids A 3 (2), February 1991, 267279.

107. II. C. Kuhlmann, M. Wanschura, V. Shevtsova and H. J. Rath. Energy analysis of some flow instabilities in liquid bridges. Adv. Space Res. Vol. 16, No. 7, pp. (7)15-(7)22, 1995.

108. G. Chen, A. Lizee, B. Roux. Bifurcation analysis of the thermocapillary convection in cylindrical liquid bridges. Journal of Crystal Growth 180 (1997) 638-647.

109. V.I. Polezhaev, О.Л. Bessonov, S.A. Nikitin. Dopant inhomogencitics due to Convection in Microgravity: Spatial Effects. Adv. Space Res., 1998,22 (8), 1217.

110. О.Л. Бессонов, В.А. Брайловская, В.И. Полежаев. Пространственные эффекты конвекции в расплавах: концентрационные однородности, возникновение не-симмстрии и колебания. Изв. РАН, МЖГ N 3, 1997, 74-82.

111. De N. Leon, J. Guldberg, J. Sailing. 1981. J. Crystal Growth, 55:406.

112. M. Prangc, M. Wanschura, H.C. Kuhlmann and H.J. Rath. Linear stability of thermocapillary convection in cylindrical liquid bridges under axial magnetic fields. J. Fluid Mech. (1999), vol. 394,281-302.

113. P. Dold, A. Croll, M. Lichtensteiger, Th. Kaiser, K.W. Benz, J. Crystal Growth 231 (2001)95.

114. Numerical Study of GEZON Experiment. G. Chen, B. Roux, D. Camel, P. Tison, J.P. Garandet, J.J. Favier, A.S. Senchcnkov and R. Moreau. Microgravity sci. technol. VI1/2 (1994), 120-123.

115. J.S. Walker, L.M. Witkowski, B.C. Houchens, 'Effects of a rotating magnetic field on the thermocapillary instability in the floating zone process', Journal of crystal Growth 252 (2003)413-423.

116. С.W. Lan, B.C. Yeh. Three-dimensional simulation of heat flow, segregation, and zone shape in floating-zone silicon growth under axial and transversal magnetic fields. Journal of Crystal Growth, article in press.

117. B. Fischer, J. Friedrich, H. Weimann, G. Muller. The use of time-dependent magnetic fields for control of convective flows in melt growth configurations. Journal of Crystal Growth 198/199 (1999) 170-175.

118. Chun Ch.-H, Marangoni convection in a floating zone under reduced gravity, J. Crystal Growth 48 (1980) 600-610.

119. Kamotani N., Kim J., Effect of zone rotation on oscillatory thermocapillary low in simulated floating zones, J. Crystal Growth 66 (1984) 63-72.

120. Y.-S. Lee, H.C. Kuhlmann, Ch.-H. Chun, Hydrodynamic stability in cylindrical thermocapillary liquid bridges with cold-wall rotation. 4th international Workshop on Modeling in Crystal Growth, November 2003, Abstracts.

121. Effects of high frequency vibration on critical Marangoni number. II. Tang and W.R. Hu. Adv. Space Res. Vol. 16, No 7, pp. (7)77-(7)74, 1995.

122. Jose A. Nicolas, Jose M. Vega. Weakly nonlinear oscillations of nearly inviscid axi-symmetric liquid bridges. J. Fluid Mech. (1996), vol. 328, pp. 95-128

123. Д. ВЛюбимов, Т.П. Любимова, Н.И. Лобов, Р.В. Скуридин. Об адвективном течении в горизонтальном канале прямоугольного сечения. 11-я Международная зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов, Книга 2, Пермь, 1997, С. 199.

124. Н.И. Лобов, Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Р.В. Скуридин. Об адвективном течении в горизонтальном канале прямоугольного сечения. Гидродинамика, вып. 11, Пермь, ПГУ, 1998, С. 167-175.

125. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Н.И. Лобов, Р.В. Скуридин. Об устойчивости адвективного течения в горизонтальном канале. Зимняя Школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов. Пермь, 1999, С.218.

126. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, В.А. Демин, Р.В. Скуридин. Равновесная форма, устойчивость и вибрационная динамика жидкой зоны. 1-я Российская конференция ио космическому материаловедению. 10-12 ноября 1999, Калуга, Программа. Тезисы докладов, С.50.

127. D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova, R.V. Scuridyn, K. Benz, A. Croel, P. Dold, B. Roux. First International Symposium on Microgravity Research & Applications in Physical Sciences and Biotechnology, 10-15 September 2000, Sorrento, Italy. Abstracts, p. 108.

128. D. Lyubimov, T. Lyubimova, R. Scuridyn, B. Roux. Deformations and flows in isothermal liquid bridge subjected to high frequency vibrations. 33rd Scientific Assembly of COSPAR, 16-23 July 2000, Warsaw, Poland, Abstracts.

129. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, P.B. Скуридии. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Вып. 7, Под ред. проф. В.Я.Рудяка, Новосибирск, 2000, с.56-58.

130. P. Dold, KW. Benz, А. СгбИ, В. Roux, D. Lyubimov, Т. Lyubimova, R. Scuridyn: Vibration controlled convection preparation and perspectives of the Maxus 4 experiment, Acta Astronautica, 2001,48, 5-12, pp.639-646.

131. T.P. Lyubimova, R.V. Scuridin, A. Croell, P. Dold. Influence of high frequency vibrations on fluid flow and heat transfer in a floating zone. Crystal Research and Technology, 2003, vol.38, N 7-8, pp.635-653.

132. T.P. Lyubimova, R.V. Scuridin. High-frequency vibration influence on a stability of thermocapillary flow in a liquid zone. Int. Conference «Advanced Problems in Thermal Convection» Perm, 24-27 November, 2003. Abstracts, C. 169-170.

133. P. В. Скуридин. Численное исследование тепло- и массообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при воздействии высокочастотных вибраций. Конференция НОЦ 'Неравновесные процессы в сплошных средах'. Тезисы докладов. Пермь, 2003, с. 84.

134. Numerical Implementation of a Package for Studying Linear Instability of Non-unidimensional Flows. Dmitry V. Lyubimov, Tatyana P. Lyubimova , Vitali A. Morozov.

135. J.F. Thompson, F.C. Thames, and C. W. Mastin, J. Comput. Phis. 15, 299 (1974).

136. Rivas Damian, Haya Rodrigo. Journal of Crystal Growth, 1999

137. Dold P. Ph.D. Thesis, Albert-Ludwigs-Universitat, Freiburg, 1994