Влияние турбулентного перемешивания на критическое поведение в присутствии сжимаемости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Капустин, Александр Сергеевич

• Капустин, Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Капустин, Александр Сергеевич

Оглавление

Введение

1 Описание моделей. Теоретико-полевая формулировка моделей

2 Модели А и Грибова с турбулентным перемешиванием, описываемым уравнением Навье-Стокса

2.1 Введение поля скорости

2.2 Перенормировка

2.3 Неподвижные точки и скейлинговые режимы

3 Модели А, Грибова и Поттса с турбулентным перемешиванием Обухова-Крейчнана

3.1 Введение поля скорости

3.2 Канонические размерности, УФ-расходимости и перенормировка

3.3 Уравнение ренормгруппы

3.4 Неподвижные точки

3.5 Скейлинговые режимы в модели Грибова

3.6 Скейлинговые режимы в А модели

3.7 Скейлинговые режимы в модели Поттса

3.7.1 Неподвижные точки при и* = 0

3.7.2 Неподвижные точки при и* ф 0

3.7.3 Общая картина устойчивости неподвижных точек

3.7.4 Неподвижные точки при > 0

3.8 Критический скейлинг и критические размерности

4 Процесс Грибова и турбулентное перемешивание с конечным временем корреляции

5 Основные результаты и выводы 85 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние турбулентного перемешивания на критическое поведение в присутствии сжимаемости»

Введение

Актуальность темы исследования. Многочисленные системы весьма разнообразной физической природы демонстрируют интересное сингулярное поведение в окрестности своих критических точек. Их термодинамические и корреляционные функции приобретают автомодельную (скейлинговую) форму с универсальными критическими размерностями: последние зависят лишь от немногих глобальных характеристик системы (таких как симметрия или размерность пространства). Количественное описание критического поведения дается теоретико-полевой реиормализа-ционной группой (РГ). В РГ-подходе возможные типы критического поведения (классы универсальности) связываются с инфракрасно (ИК-) притягивающими неподвижными точками ренормируемых моделей теории поля. Наиболее типичные равновесные фазовые переходы принадлежат классу универсальности 0(п)-симметричной модели Ф4 для п-компонентного скалярного параметра порядка. Универсальные характеристики критического поведения зависят лишь от п, размерности пространства (1 и могут вычисляться в рамках различных систематических схем теории возмущений, в частности, в виде разложений по е — 4 — ¿¿, см. монографии [1,2] и цитированную в них литературу.

Динамическое критическое поведение (зависимость корреляционных функций от времени или характерного времени корреляции от температуры) даже равновесных моделей гораздо более многообразно и менее изуче-

но. Одной статической модели Ф4 в динамике отвечает целый ряд моделей, обозначаемых как модели А, В,... <7 в классическом обзоре [16], и это еще не окончательный список.

В течение последних десятилетий постоянное внимание привлекали процессы распространения и соответствующие неравновесные фазовые переходы; см., например, обзорные статьи [17,18] и цитированную в них литературу. Процессы распространения встречаются в физических, химических, биологических и экологических системах: автокаталитические реакции, протекание в пористых средах, эпидемические заболевания и т.д.

Переходы между флуктуационпыми (активными) и абсорбционными (неактивными) фазами, в которых все флуктуации полностью прекращаются, особенно интересны как примеры неравновесного критического поведения.

Давно было осознано, что критическое поведение реальных систем в высшей степени чувствительно ко внешним возмущениям, гравитации, влиянию примесей и турбулентному перемешиванию; см. общее обсуждение и ссылки в монографии [19]. Более того, некоторые возмущения (случайно распределенные примеси или турбулентное перемешивание) могут производить совершенно новые типы критического поведения с богатыми и довольно экзотическими свойствами.

Эти вопросы становятся еще более важными для неравновесных фазовых переходов, поскольку идеальные условия «чистого» стационарного критического состояния едва ли могут быть достигнуты в реальных химических или биологических системах, а влияние различных возмущений никогда не может быть исключено полностью. В частности, внутренние

эффекты турбулентности не могут быть исключены для химических каталитических реакций или лесных пожаров. Также можно предположить, что атмосферная турбулентность может играть важную роль в распространении инфекционных заболеваний летающими насекомыми или птицами.

Таким образом, изучение динамического критического поведения равновесных и неравновесных систем и влияния на них турбулентного поведения является сложной и актуальной задачей, а наиболее подходящим методом исследования представляется теоретико-полевая ренормгруппа и эпсилон-разложение.

Степень разработанности темы исследования. Основные успехи при изучении критического поведения систем с турбулентным переносом были достигнуты с помощью применения методов репормализацион-ной группы (РГ), см. монографии [28,30,33,34]. В этих работах методы РГ были применены к изучению влияния турбулентного перемешивания на критическое поведение равновесных и неравновесных систем. В качестве моделей для описания поля скорости выбирались хорошо известное уравнение Навье-Стокса, модель Обухова-Крейчнапа и её обобщения на случай присутствия сжимаемости и конечное время корреляции. Были обнаружены новые скейлинговые режимы, определены области устойчивости неподвижных точек, получены выражения для критических размерностей в одно-петлевом приближении.

Цели и задачи диссертационной работы: Целью работы является изучение влияния турбулентного движения среды на критическое поведение ряда равновесных и неравновесных физических систем. В качестве моделей критического поведения выбраны наиболее характерные предста-

вители: релаксационная модель равновесной критической динамики несо-храняющегося скалярного параметра порядка (модель А), ее обобщение на случай я-позиционной модели Поттса и стохастическая модель неравновесного фазового перехода между флуктуациоиным и абсорбционным состояниями в реакционно-диффузионной системе (процесс или модель Грибова). Для описания турбулентного поля скорости привлекались статистический ансамбль Казанцева-Крейчнана (поле скорости Гауссово и имеет нулевое время корреляции), его обобщение на случаи наличия сжимаемости и конечного времени корреляции, а также стохастическое уравнение Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных журналах.

Теоретическая и практическая значимость. Практическая ценность диссертации определяется возможными приложениями полученных результатов к описанию различных равновесных и неравновесных околокритических систем: автокаталитических химических реакций, бинарных смесей и др. Результаты работы должны стимулировать экспериментальные исследования по выявлению новых типов критического поведения и измерению соответствующих критических размерностей. Развитые методы могут быть применены к другим подобным задачам, таким как рост границы раздела фаз, случайные блуждания и длинные полимеры в движущихся средах и др.

Методология и методы исследования. В работе активно используются методы теоретико-полевой ренормализационпой группы, в частно-

сти для нахождения координат возможных ИК-притягивающих неподвижных точек, определения областей их устойчивости и вычисления критических размерностей величин в возможных скейлинговых режимах. Положения, выносимые на защиту:

1. Установлено существование, наряду с уже известными классами универсальности, нового типа критического поведения для модели неравновесной реакционно-диффузионной системы с турбулентным переносом, где поле скорости моделируется статистическим ансамблем Казанцева-Крейчнана. Определена область его устойчивости (область притяжения соответствующей неподвижной точки уравнений ренормгруппы) в пространстве параметров модели. В главном порядке обобщенного (двойного) эпсилон-разложения вычислены критические размерности всех полей и времени. Получена зависимость области устойчивости и размерностей от параметра, характеризующего степень сжимаемости жидкости. Получено обобщение этих результатов на случай конечного времени корреляции поля скорости.

2. Для модели равновесного динамического критического поведения скалярного параметра порядка с турбулентным перемешиванием, моделируемым ансамблем Казанцева-Крейчнана, установлено существование нового, существенно неравновесного класса универсальности. В ведущем порядке эпсилон-разложения найдена область его устойчивости и вычислены основные критические размерности. Получены их зависимости от степени сжимаемости жидкости.

3. Для модели критического поведения неравновесной реакционно-

диффузионной системы в случае, когда поле скорости описывается стохастическим уравнением Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости установлено существование нового класса универсальности и в ведущем порядке эпсилон-разложения найдены область его устойчивости, а также основные критические размерности.

4. Для возникающего нового неравновесного класса универсальности в главном порядке эпсилон-разложения в модели равновесной критической динамики скалярного параметра порядка с турбулентным переносом, моделируемым стохастическим уравнением Навье-Стокса, найдена область устойчивости, вычислены критические размерности полей и времени.

5. Обнаружен новый неравновесный класс универсальности и вычислены соответствующие критические размерности для равновесной релаксационной критической динамики векторного параметра порядка системы, относящейся к классу универсальности q-пoзициoннoй модели Ашкина-Теллера-Поттса, с турбулентным переносом. Получена сложная картина областей притяжения неподвижных точек и их эволюция с изменением параметров модели, таких как размерность пространства, степень сжимаемости жидкости и число компонент параметра порядка. Показано существование явления кроссовера (потеря и обретение устойчивости критическими режимами) при изменении этих параметров. В частности показано, что при некоторых значениях параметров притягивающими могут быть сразу две неподвижные точки, то есть при тех же условиях могут реализоваться различные

типы критического поведения. В этом смысле, критическое поведение не является универсальным.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на международных научных конференциях:

1. hep.phys.spbu.ru/conf Models in Quantum Field Theory II и III (СПб, 2008, 2010)

2. theor.jinr.ru/~rg2008/ Renormalization Group and Related Topics in Quantum Field Theory (Дубна, 2008)

3. www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

Science and Progress (СПб, 2010)

4. http://www.saske.sk/Uef/Conferences/stml3/ Small Triangle Meeting on Theoretical Physics (Stara Lesna, 2013)

Публикации. По теме диссертации были опубликованы работы в пяти статьях в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК и базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus [1-4] и тезисах докладов двух международных конференций [5,6].

1. Antonov N V, Iglovikov V I and Kapustin A S 2009 J. Phys. A: Math. Theor. 42 135001

2. Antonov N V and Kapustin A S 2010 J. Phys. A: Math. Theor. 43 405001

3. Antonov N V, Kapustin A S and Malyshev A V 2011 Theor. Math. Phys. 169 1470

4. Antonov N V and Kapustin A S 2012 J. Phys. A: Math. Theor. 45 505001

5. www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

Science and Progress (2010)

6. http://www.saske.sk/Uef/Conferences/stml3/ Small Triangle

Meeting (2013)

Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы из 40 наименований. Работа изложена на 98 страницах и содержит 11 рисуноков и 8 таблиц. Работа построена следующим образом:

В разделе 1 описываются стохастические дифференциальные уравнения параметра порядка для моделей А, Грибова, Поттса. Данные задачи переформулируются в виде теоретико-полевых моделей с заданными функционалами действия. Обсуждаются симметрии моделей, приводятся правила Фейнмана.

В разделе 2 исследуется влияние турбулентного перемешивания, которое задается уравнением Навье-Стокса, на модели А и Грибова. Обсуждается процесс добавления поля скорости в исходные модели, приводятся функционалы действия для полных задач. После процедуры ренормировки приводятся одно-петлевые ответы для констант ренормировки и РГ функций. Представляются ответы для координат неподвижных точек и обсуждаются области их устойчивости. Приводятся выражения критических размерностей для всех режимов.

В разделе 3 исследуется влияние турбулентного перемешивания, кон-

торе задается моделью Обухова-Крейчнана, на модели А, Грибова и Потт-са. Особое внимание уделяется сжимаемости. Формулируется модель, приводятся функционалы действия для полных задач. Доказывается мультипликативная ренормируемость, приводятся одно-петлевые ответы для констант ренормировки и РГ функций. Представляются ответы для координат неподвижных точек и обсуждаются области их устойчивости. Приводятся выражения критических размерностей для всех режимов.

В разделе 4 обсуждается еще одна возможность описывать турбулентное перемешивание моделью со сжимаемостью и ненулевым временем корреляции на примере процесса Грибова. Новая модель, предложенная в [25] имеет два предела: в одном случае она соответствует уже известной модели Обухова-Крейчнана, а в другом - так называемому "замороженному" полю скорости. Приводятся координаты неподвижных точек в этих предельных случаях.

В заключении суммируются основные результаты работы.

1. Описание моделей. Теоретико-полевая формулировка моделей

Наиболее типичные фазовые переходы в равновесных системах принадлежат к классу универсальности 0(ЛГ)-симметричной модели ф4Ы- компонентного скалярного параметра порядка. Её критические показатели зависят только от N и размерности пространства Они могут быть рассчитаны в виде разложения по е — 4 — с/ или в рамках других схем теории возмущения, см. монографии [1,2] и цитированную там литературу. Большой интерес в последние годы привлекают фазовые переходы в системах, далеких от состояния термодинамического равновесия. Их критическое поведение гораздо более многообразно и пока недостаточно хорошо изучено. Показательным примером являются разнообразные и часто встречающиеся в природе процессы распространения, такие как: эпидемии, каталитические реакции, лесные пожары, диффузия в пористых или флуктуирующих средах. Для определенности мы будем использовать терминологию первого случая (эпидемий). В зависимости от конкретных условий процесс распространения (в случае эпидемий - распространения инфекции) может либо продолжаться и охватить всю популяцию, либо полностью прекратиться через некоторое время. Как теперь известно, переход (при изменении параметров типа вероятностей инфицирования) от флуктуирующего (активного) к абсорбционному (неактивному) состоянию является фазовым пере-

ходом второго рода и описывается несколькими классами универсальности. Мы будем использовать простую модель, описывающую распространение агента (например, инфекционные заболевания) - модель Грибова. Эта модель эквивалентна Реджеонной теории поля и была изучена в рамках РГ подхода и £— разложения.

Вторая наша модель - релаксационная динамика несохраняющегося скалярного параметра порядка для модели с взаимодействием типа 04 (в работе будет представлена как модель А).

Третья модель - модель Ашкина-Теллера-Поттса (или просто Потт-са) - целый класс моделей, см. [4-10]. Такая модель описывает некоторую систему, которая локально имеет п состояний, при этом энергия любой заданной конфигурации зависит от того, находятся ли элементы в соседних узлах в том же состоянии или нет. В непрерывной формулировке модель Поттса удобно представить эффективным Гамильтонианом для п-компонептпого параметра порядка с три-линейным членом взаимодействия и инвариантным относительно группы симметрии п-мерного гипертетраэдра см. [6-10].

Модели типа Поттса имеют многочисленные физические приложения: твердые и магнитные материалы с нетривиальной симметрией, спиновые стекла, переходы от нематического к изотропному состоянию в жидких кристаллах, проблемы нерколяции, рандомные резисторные цепи и многие другие, см. работы [6-10] и ссылки в них.

Данный класс моделей (особенно случай п — (I — 2 - знаменитая двумерная модель Изинга) давно стал источником вдохновения для новых физических и математических идей, таких как интегрируемость, конформ-

ная инвариантность, дискретная голоморфность и т.д. см. [11,12] и ссылки в них.

Вопрос о природе фазового перехода в модели Поттса имеет долгую и запутанную историю, см. обсуждение в [9]. Согласно теории критического поведения Ландау в модели типа Поттса не может быть фазового перехода второго рода из-за трехлинейной вершины взаимодействия в Гамильтониане. С другой стороны, точные двумерные результаты, численное моделирование и ренормгрупповой анализ показывают что, для достаточно малого п, фазовый переход второго рода в модели Поттса существует. Мы не будем пытаться пролить новый свет на этот интересный и сложный вопрос. В первую очередь он должен быть решен для исходной статической проблемы. В данной работе мы принимаем точку зрения, что существование ИК-притягивающей неподвижной точки уравнения РГ подразумевает существование некоторого ИК асимптотического режима и, следовательно, существование какого-то критического состояния.

В Ланжевеновой формулировке наши модели определены стохастическими дифференциальными уравнениями для параметра порядка ф — ф{х) с х = I, х:

В случае модели Поттса мы имеем дело с п- компонентным параметром порядка фа = ^(¿,х)а, и Ланжевеново описание очевидным образом обобщается:

дгф(х)а = -А0

5Н{ф)

х—>х

+см«,

(1.2)

с =

Где = д/дЬ, Ао > 0 - кинематический коэффициент. Гауссов шум с нулевым средним задается парной корреляционной функцией:

(С^хХ^х')} = 2А06(1 - - х'), (1.3)

для модели А,

<С(£, х')> = д0А0 Ф(Ь, х) 6(г - - х'), (1.4)

для процесса Грибова, где д0 - константа при нелинейном члене в Гамильтониане,

(Са(*,х)Сь(*,,х,)> - 2Ао 5аЬ6(1 - ¿У"}(х - X'), (1.5)

для модели Поттса.

11 - размерность пространства х. Множитель ф в передней части коррелятора (1.4) обеспечивает полное исчезновение флуктуаций в неактивной (абсорбционной) фазе. ( Такая специфическая форма амплитуды может быть получена в результате перерастяжения шума и поля). А член 2Ао в (1.3, 1.5) связан с флуктуационно-диссипационной теоремой: он обеспечивает соответствие с статической моделью фА. Здесь и далее затравочные (неренормированные) параметры обозначаются индексом "О". Их реформированные аналоги (без индекса) появятся позже.

Гамильтониан в уравнении (1.1) задается следующими соотношениями:

Н{ф) = у <Ьс |-^(х)<92^(х) + ^(хЖх) + V«,)} (1.6)

Нелинейный член У(ф) для модели А имеет вид У(ф) = щф4/4:\: для процесса Грибова У{ф) = доф^/3\\ до и щ > 0 - константы связи. Вблизи критической точки статический Гамильтониан Н(ф) для модели Поттса представим в виде [6-8]:

Н(ф) = J с/х{-^а(х)^а(х) +

+|адв(хШхШх)}, (1.7)

где di = dfdxi - частная производная, д2 — дгс^ - оператор Лапласа, то ос (Т — Тс) - отклонение температуры или ее аналога от критического значения, до > д- константа связи. Во всех наших формулах мы подразумеваем суммирование по повторяющимся индексам (а, Ь, с = 1 ,...,п и г = 1, ...,d). После взятия функциональной производной Щ^щ в формулах (1.1, 1.2) поле ф(х) необходимо заменить на ф(х) = -0(х, t)

Следуя [10], мы будем рассматривать общий случай с определенной группой симметрии G, для которой неприводимый инвариант - тензор третьего ранга Rabe, который без ограничения общности можно считать симметричным. В однопетлевом приближении нам достаточно знать лишь коэффициенты определяемые из соотношений:

RabcRabe = Rl^ce, RaecRchbRbfa = R2Rehf- (1-8)

В оригинальной модели Поттса G = Zn - группа симметрии гипертетраэдра в п - мерном пространстве. В данном случае тензор Rabc легко

представим в терминах набора (п + 1) вектора еа, определенных в [6,7]:

ДаЬс = (1-9)

а

где е" удовлетворяют соотношениям:

п+1 п+1 п

а=1 а=1 а=1

Соотношения (1.10) позволяют представить коэффициенты (1.8) в следующем виде:

= (п + 1)2(п - 1), #2 = (п + 1)2(п - 2) (1.11)

Стохастические проблемы (1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5) могут быть переформулированы в виде теоретико-полевых моделей с удвоенным набором полей Ф = ф,ф1 В

такой формулировке они будут описываться функционалами

действия:

¿(ф, ф]) = ^ (-$ + \0д2 - Л0г0) ф + А0(^)2 - щфЦ3/3\ (1.12)

для модели А,

= ф\-д, + Х0д2 - Х0т0)ф + ^{(ф])2ф - ФЧ2} (1.13)

для процесса Грибова,

Б{ф., ф^) = ф\ + А0<92 - Л0т0) фа + Ло^М - (1.14)

для модели Поттса. Где ф* = х) - вспомогательное поле "поле отклика". В приведенных формулах подразумевается интегрирование по аргументам полей и суммирование по индексам, например:

или

ф^дьф = J dt J

ть

Ф%Фа = \ЛЬ / ¿хфЦ^хЩфа^х).

а=1

Теоретико-полевая формулировка означает, что статистические средние случайных величин в исходных стохастических задачах могут быть представлены как функциональные интегралы с полным набором полей с весом ехр5(Ф). А это есть не что иное, как функции Грина теоретико-полевых моделей с действиями (1.12, 1.13, 1.14). Для примера, линейная функция отклика задач (1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5) задается функцией Грина:

{ф(г,х)ф](г':х!)) = J Vф J Т>ф^ ф(1,х.)ф\г',х) ехр£(^,^)(1.15)

для каждой конкретной модели. Модель (1.13) подразумевает стандартную Фейнмановскую диаграммную технику с одним пропагатором (фф^)о и двумя тройными вершинами (ф^)2ф, ф^ф2. В импульсно-временном и частотно-импульсном представлении пропагатор имеет вид:

(|/>^)о(г, к) = ец)ехр{-\0(к2 + 71о)4},

(4>Ф^к)= _ш + х][кг + тау (Мб)

#(...)- функция Хевисайда, из-за чего пропагатор является запаздывающим. Вследствие этого при анализе диаграмм становится ясно, что все функции Грина, которые зависят только от полей ф или ф\ обязательно имеют замкнутые циклы, поэтому все такие функции Грина равны нулю.

Для функций этот факт является общим следствием при-

чинности, которая справедлива для любой стохастической модели; см. например, обсуждение в [2].

Обнуление функций (ф...ф) в модели (1.13) может рассматриваться как следствие симметрии

00 ->-00- (1-17)

Обращение константы до на самом деле несущественно, поскольку, как легко видеть, в модели (1-13) фактический параметр разложения в теории возмущении а не да. В дальнейшем мы будем обозначать его как Щ = 9q-

В дополнение к (1.16) диаграммная техника модели А включает в себя пропагатор (фф)о, который имеет вид

(фф)0(i, к) = ту^—ехр{-\0(к2 + т0)|*|},

К + То

2А

= и2 + х1(к2 + тд)2 (1-18) и одну тройную вершину ~ фф3.

Модель Поттса аналогичным образом содержит два пропагатора (фф^)о, (фф)о, но в отличие от скалярной модели А в числителях появляется свертка по индексам полей - символ Кронекера 8аъ

{Фаф1)о(ы-, к) =

6,

аЬ

-icj + А 0(к2 + т0)'

(1.19)

Шь)о(и,к) = ы2 + ^:+То)2- (1-20)

В дополнение к (1.19), (1.20) диаграммная техника модели (1.14) содержит тройную вершину ~ ф^ф2.

2. Модели А и Грибова с турбулентным перемешиванием, описываемым уравнением

Навье- Стокса

2.1. Введение поля скорости

Известно, что поведение реальной системы вблизи критической точки является чрезвычайно чувствительным к внешним воздействиям: к гравитации, движению самой среды, наличию примесей и т.д. Более того, некоторые нарушения (примеси или турбулентное перемешивание) могут привести к совершенно новым типам критического поведения с богатыми и весьма экзотическими свойствами, например, разложение по y/s, а не по е [20,21]. Эти вопросы становятся особенно актуальными для неравновесных фазовых переходов, так как идеальные условия для "чистого" стационарного критического состояния вряд ли могут быть достигнуты в реальных химических или биологических системах, а также влияние различных нарушений (гравитации, перемешивание и т.д.) никогда не может быть полностью исключено. В частности, нельзя пренебрегать эффектом турбулентности в химических каталитических реакциях или лесных пожарах. Так же можно предположить, что атмосферная турбулентность может сыграть важную роль в распространении инфекционных заболеваний на летающих насекомых или птицах. Исследование влияния различных видов перемешиваний (ламинарных сдвиговых течений, турбулентной кои-

векции и так далее) на поведение критической жидкости (например, бинарная жидкая смесь) показало, что это перемешивание может нарушить обычное критическое поведение системы, характерное для ф4 или Реджеон-ной модели. В данной работе мы изучаем влияние эффектов турбулентного перемешивания на критическое поведение трех систем вблизи критических точек, обращая особое внимание на сжимаемость жидкости. Реальную турбулентность описывает уравнение Навье-Стокса, но для случая сжимаемости оно очень сложно обобщается, поэтому в следующей главе мы будем использовать модель Обухова-Крейчнана, которая хорошо передает основные черты развитой турбулентности и легко записывается для случая со сжимаемостью. В дайной же главе мы будем рассматривать наши модели с несжимаемым полем Навье-Стокса.

Галилеево инвариантное взаимодействие с полем скорости v = х) для несжимаемой жидкости (8^1 — 0) вводится путем замены

Для описания поля скорости ?;(£, х) мы будем использовать известное уравнение Навье-Стокса со случайной силой

где Уг - Лагранжева производная (2.1), V и А - давление и поперечная произвольная сила на единицу массы. / имеет Гауссово распределение с нулевым средним и задается парной корреляционной функцией

дьф д1ф + &дг)ф.

(2.1)

\7tVk = щд2ук - дкТ> + Д,

(2.2)

(ЛМЛ-М) - Щгтр- / Ф Рф) vf(p) схр {1р (х - х')} , (2.3)

где Р^(р) = —"РФо/р2 ~ поперечный проектор, Р/(р) - некоторая функция, зависящая от р — |р| и параметров модели. Обрезание т = 1/С - величина, обратная масштабу турбулентности необходима для обеспечения ИК-регуляризации. Её точная форма не имеет значения. Такое обрезание является простейшим выбором для практических расчетов.

Стандартный РГ формализм применим к (2.2), (2.3) в случае, когда парный коррелятор случайной силы имеет степенную форму:

ЩР) = Оор^-У, (2.4)

где Д) >0-положительный множитель в амплитуде, показатель 0 < у < 4 играет роль РГ параметра разложения аналогично е — 4 —(1 в моделях критического поведения. Физическое значение у = 4: при таком выборе для у —V 4 (2.4) переходит в ¿»-функцию, Т>/(р) ос <5(р), что соответствует поступление энергии за счет взаимодействия с крупнейшими турбулентными вихрями. Более детальное рассмотрение см. в [2,3].

Стохастическая задача (2.2)-(2.4) может быть переписана в виде теории поля с действием:

«йиу(1/, V) = у'Оуу'/2 + у' {-V* + щд2} v, (2.5)

где корреляционная функция (2.3). Добавочное поле V7 = {г>-(£,х)} является тоже поперечным, = 0, что позволяет исключить давление из функционала (2.5).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Капустин, Александр Сергеевич, 2014 год

Литература

1. Zinn-Justin J 1989 Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford: Clarendon)

2. Vasil'ev A N 2004 The Field Theoretic Renormalization Group in Critical Behavior Theory and Stochastic Dynamics (Boca Raton: Chapman Sz Hall/CRC)

3. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasiliev A.N. The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence. London: Gordon & Breach, 1999.

4. Ashkin J and Teller E 1943 Phys. Rev. 64 178; Potts R В 1952 Proc. Camb. Phil. Soc. 48 106

5. Baxter R J 1973 J. Phys. C: Solid St. Phys 6 L445

6. Golner G R 1973 Phys. Rev. A 8 3419

7. Zia R К P and Wallace D J 1975 J. Phys. A: Math. Gen. 8 1495

8. Priest R G and Lubensky 1976 Phys. Rev. В 13 4159; Erratum: В 14

5125(E)

9. Amit D J 1976 J. Phys. A: Math. Gen 9 1441

10. de Alcantara Bonfim О F, Kirkham J E and McKane A J 1980 J. Phys. A: Math. Gen 13 L247;

de Alcantara Bonfim 0 F, Kirkham J E and McKane A J 1981 J. Phys. A: Math. Gen 14 2391

11. Cardy J 2009 J. Stat. Phys. 137 814;

Ikhelf Y and Cardy J 2009 J. Phys. A: Math. Theor. 42 102001

12. International Meeting Conformai Invariance, Discrete Holomorphicity and Integrabil- ity (Helsinki, 10-16 June 2012). https://wiki.helsinki.fi/display/mathphys/cidhi2012

13. Ivanov D Yu 2008 Critical Behaviour of Non-Ideal Systems (Weinheim, Germany: Wiley-VCH)

14. Lacasta A M, Sancho J M and Sagués F 1995 Phys. Rev. Lett. 75 1791; Berthier L 2001 Phys. Rev. E 63 051503;

Berthier L, Barrat J-L and Kurchan J 2001 Phys. Rev. Lett. 86 2014; Berti S, Boffetta G, Cencini M and Vulpiani A 2005 Phys. Rev. Lett. 95 224501

15. Chan C K, Perrot F and Beysens D 1988 Phys. Rev. Lett. 61 412; Chan C K, Perrot F and Beysens D 1989 Europhys. Lett. 9 65;

\ Chan C K 1990 Chinese J. Phys. 28 75; \ Chan C K, Pcrrot F and Beysens D 1991 Phys. Rev. A. 43 1826

A Halperin B I and Hohenberg P C 1977 Rev. Mod. Phys. 49 435; blk R and Moser G 2006 J. Phys. A: Math. Gen. 39 R207

17. Hntichsen II 2000 Adv. Phys. 49 815; ÖdoV 2004 Rev. Mod. Phys. 76 663

18. Janssen H-K and Täuber U C 2004 Ann. Phys. (NY) 315 147

19. Ivanov D Yu 2003 Critical Behaviour of Non-Idealized Systems (Moscow: Fizmatlit) [in Russian]

20. Khmel'nitski D E 1975 Sov. Phys. JETP 41 981; Shalaev B N 1977 Sov. Phys. JETP 26 1204;

Janssen H-K, Oerding K and Sengespeick E 1995 J. Phys. A: Math. Gen. 28 6073

21. Satten G and Ronis D 1985 Phys. Rev. Lett. 55 91; 1986 Phys. Rev. A 33 3415

22. Onuki A and Kawasaki K 1980 Progr. Theor. Phys. 63 122; Onuki A, Yamazaki K and Kawasaki K 1981 Ann. Phys. 131 217; Imaeda T, Onuki A and Kawasaki K 1984 Progr. Theor. Phys. 71 16

23. Beysens D, Gbadamassi M and Boyer L 1979 Phys. Rev. Lett 43 1253; Beysens D and Gbadamassi M 1979 J. Phys. Lett. 40 L565

24. Ruiz R and Nelson D R 1981 Phys. Rev. A 23 3224; 24 2727; Aronowitz A and Nelson D R 1984 Phys. Rev. A 29 2012

25. N. V. Antonov, Phys. Rev. E 60, 6691 (1999); Physica D144, (2000) 370.

26. Antonov N V, Hnatich M and Honkonen J 2006 J. Phys. A: Math. Gen. 39 7867

27. Antonov N V and Ignatieva A A 2006 J. Phys. A: Math. Gen. 39 13593

28. Antonov N V, Iglovikov V I and Kapustin A S 2009 J. Phys. A: Math. Theor. 42 135001

29. Antonov N V, Ignatieva A A and Malyshev A V 2010 E-print LANL. arXiv: 1003.2855 [cond-mat]; to appear in PEPAN (Phys. Elementary Particles and Atomic Nuclei, published by JINR) 41

30. Antonov N V, Kapustin A S and Malyshev A V 2011 Theor. Math. Phys. 169 1470

31. Antonov N V and Malyshev A V 2011 Theor. Math. Phys. 167 444

32. Antonov N V and Malyshev A V 2012 J. Phys. A: Math. Theor. 45 255004

33. Antonov N V and Kapustin A S 2010 J. Phys. A: Math. Theor. 43 405001

34. Antonov N V and Kapustin A S 2012 J. Phys. A: Math. Theor. 45 505001

35. Falkovich G, Gawçdzki K and Vergassola M 2001 Rev. Mod. Phys. 73 913

36. Antonov N V 2006 J. Phys. A: Math. Gen. 39 7825

37. Antonov N V, Hnatich M and Nalimov M Yu 1999 Phys. Rev. E 60 4043

38. van Kampen N G 2007 Stochastic Processes in Physics and Chemistry, 3rd ed. (Amsterdam: North Holland)

39. Sak J 1973 Phys. Rev. B 8 281;

Honkonen J and Nalimov M Yu 1989 J. Phys. A: Math. Gen. 22 751; Janssen H-K 1998 Phys. Rev. E 58 R2673; Antonov N V 1999 Phys. Rev. E 60 6691; 2000 Physica D 144 370

40. Janssen H-K, Oerding K, van Wijland F and Hilhorst H J 1999 Eur. Phys. J. B 7 137; Janssen H-K and Stenull O 2008 Phys. Rev. E 78 061117