Влияние размера и формы наночастиц металлов на их температуру плавления в различных матрицах конденсированного состояния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Бандин, Антон Евгеньевич

• Бандин, Антон Евгеньевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бандин, Антон Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................4

ГЛАВА 1 Теоретические основы изучения температуры плавления наноматериалов..............................................................................................................11

1.1 Исторические аспекты изучения температуры плавления наноматериалов. 11

1.2 Современные модели описания температуры плавления наноматериалов. ..13

1.2.1 Термодинамическая модель..........................................................................13

1.2.2 Динамическая модель....................................................................................18

1.2.2.1 Описание динамики кристаллического тела........................................18

1.2.2.2 Энергия взаимодействия атомов в наносистемах................................48

1.2.2.3 Влияние формы ианочастицы на ее температуру плавления.............54

1.2.2.4 Описание динамической модели плавления наносистем....................56

ГЛАВА 2 Компьютерное моделирование плавления наночастиц в рамках динамической модели и нелокального функционала плотности.............................58

2.1 Выбор модели расчета температуры плавления наносистем..........................58

2.2 Алгоритм построения компьютерной модели расчета отношения среднеквадратичных смещений атомов на поверхности и в объеме наночастицы...................................................................................................................61

2.3 Расчёт энергии наносистем методом нелокального функционала плотности в орбитально-оболочечном приближении для наночастиц металлов.........................62

2.4 Расчет отношения среднеквадратичных смещений атомов в наночастицах.65

2.5 Алгоритм построения наночастиц заданной формы в компьютерной модели расчета отношения среднеквадратичных смещений атомов на поверхности и в объеме наночастицы......................................................................................................67

2.6 Компьютерное моделирование начала процесса плавления наночастиц в

рамках модели ДМ-НФП..............................................................................................72

ГЛАВА 3 Расчет температуры плавления наночастиц золота и Зс1-переходных металлов методом ДМ-НФП........................................................................................78

3.1 Влияние формы наночастицы на температуру плавления золота и 36-переходных металлов....................................................................................................78

3.2 Влияние матрицы на температуру плавления наночастиц..............................94

Заключение...................................................................................................................103

Библиографический список........................................................................................106

В науке о строении вещества открывается новый этап развития, начиная с 80-х годов прошлого века. Точкой отсчета этого этапа можно считать открытие структурного уровня целостной организации наноматериалов в диапазоне нанометровых расстояний (Ю"10-10"7м), лежащего над структурным уровнем атомов (пикометровый диапазон (Ю"12-Ю"10 м)) [1, 2].

Согласно определению, которое дают авторы в книге [2] строение объекта - это целостная организация его структурных уровней. Каждый структурный уровень задается устойчивыми связями объекта, существенными для его целостности и тождественности с самим собой в специфических процессах взаимодействия с окружающим миром. Моноструктурный объект имеет целостную организацию на одном функциональном уровне. Строение мультиструктурного объекта задается двумя и более уровнями [2, 3].

Мультиструктурные частицы имеют специфические физические, химические и информационные свойства. Кроме обычной способности к обмену энергией и веществом мультиструктурные наноматериалы могут участвовать в информационных процессах. Они имеют функции памяти, самоорганизации и адаптации [2-5].

Пограничное положение мультиструктурных частиц позволяет предположить, что законы их строения должны быть более сложными, переходными между квантово-химическими законами атомного строения и физико-химическими законами фазового строения вещества.

Вместе с тем, экспериментально обнаруженные уникальные свойства структур вещества в наномире указывают на то, что специфика их строения отличается от квантового строения молекул или классического строения фаз [2,6,7].

Анализ литературных данных, описывающих свойства кластеров и наночастиц различных элементов периодической системы Д.И. Менделеева, позволяет сформулировать определение размерных эффектов. Размерные

эффекты - изменение физико-химических свойств и реакционной способности частиц в зависимости от количества атомов входящих в состав этой частицы, наблюдающееся в интервале менее 100 атомно-молекулярных диаметров [8,9].

Принято различать два типа размерных эффектов: собственный, или внутренний, и внешний. Внутренний эффект связан со специфическими изменениями в объемных и поверхностных свойствах, как индивидуальных частиц, так и получаемых в результате их самоорганизации ансамблей. Внешний эффект является размерно-зависимым ответом на внешнее поле или действие сил, независимых от внутреннего эффекта [9].

Температуру плавления нужно рассматривать как функцию размера частицы и ее геометрии. Рассмотрение плавления наночастиц приводится в работах [10-22].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние размера и формы наночастиц металлов на их температуру плавления в различных матрицах конденсированного состояния»

Актуальность работы

Учитывая современные тенденции развития электронной промышленности, нужно признать актуальность детальных изучений физико-химических свойств металлов, размеры частиц которых составляют менее 50 нм. В этих сверхминиатюрных устройствах возникают высокотемпературные условия эксплуатации наночастиц. Поэтому особый интерес представляет определение зависимости температурного диапазона, в котором отсутствуют процессы разрушения дальнего порядка расположения атомов в наночастицах, от их размера и формы, окружающей их матрицы. Плавление имеет определённую температуру как фазовый переход первого рода. В случае наночастиц конденсированного состояния измерение их температуры плавления затруднено отсутствием прецизионных датчиков, способных не нарушать условия плавления. Расчёт температуры плавления - одна из сложнейших задач физики конденсированного состояния. Сегодня имеется несколько различных подходов к описанию процесса плавления наночастиц. Их можно разделить на термодинамические и динамические. В первых, наночастицы являются

термодинамическими системами с развитой энергонасыщенной граничной поверхностью, во-вторых, наночастицы - это ограниченные «дефекты» в динамической матрице материала, в которых амплитуды колебаний атомов в граничном слое иные, чем в наночастице. Оба подхода в основном являются феноменологическими, так как сталкиваются с трудностями в первопринципном расчёте энергии поверхностного натяжения или амплитуды смещений атомов в граничном слое наночастицы. Поэтому заявленная в диссертационной работе тема исследования приемлемости обоих подходов к расчёту температуры плавления наночастиц металлов с использованием методов функционала плотности, весьма актуальна.

В работе для изучения температуры плавления наночастиц были выбраны наночастицы золота, для которых имеются данные эксперимента, и ряда Зё-переходных металлов, имеющих большое значение в электронике и катализе. Актуальность выбора данных металлов обусловлена, также малой степенью изученности температур плавления наночастиц этих металлов и отсутствием в литературных источниках сведений о степени влияния формы наночастиц и свойств матрицы на их температуру плавления.

Цель работы и задачи исследования

Целыо диссертационной работы является исследование методами компьютерного моделирования плавления наночастиц металлов в рамках динамического подхода и изучение влияния размера и формы наночастиц металлов на их температуру плавления в различных матрицах конденсированного состояния на примере Аи и Зс1-переходных металлов (Эс, И, V, Сг, Бе).

Достижение заявленной цели осуществляется путем решения следующих

задач:

• Обосновать выбор и выбрать из существующих физических моделей плавления наночастиц ту, которая дает наилучшее согласие результатов с имеющимися экспериментальными данными по температуре плавления.

В рамках физической динамической модели построить компьютерную модель расчёта отношения частот и среднеквадратичных смещений атомов на граничной поверхности и в объеме наночастиц металлов в рамках метода функционала плотности.

• В рамках построенной компьютерной модели произвести расчеты частот колебания и среднеквадратичных смещений атомов относительно положения равновесия на граничной поверхности и в объеме наночастиц на примере Аи и 3¿-переходных металлов (8с, Т1, V, Сг, Бе).

• Исследовать в рамках построенной модели влияние формы и размера наночастиц Аи, Эс, Т1, V, Сг, Бе, а также контакта с окружающей матрицей на их температуру плавления.

Научная новизна

Впервые предложена компьютерная модель расчёта отношения среднеквадратичных смещений атомов на поверхности и в объеме наночастицы в рамках физической динамической модели плавления и метода нелокального функционала плотности.

Рассчитана температура плавления находящихся в матрице аргона малых наночастиц металлов: золота, скандия, титана, ванадия, хрома, железа, найдены зависимости температуры плавления от их формы и размера.

Показано разнонаправленное влияние матриц ванадия, железа и никеля на температуру плавления наночастиц титана.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов основана: на использовании в работе физически обоснованных термодинамических и динамических подходов к описанию плавления малых частиц в конденсированных средах; на применении компьютерного моделирования в рамках теории функционала плотности; на

удовлетворительном количественном согласии полученных результатов с известными экспериментальными данными.

Личный вклад автора

Личный вклад автора состоит в создании модели, применяемой для расчета отношения среднеквадратичных смещений атомов на поверхности и в объеме наночастицы. Проведение компьютерного эксперимента с использованием созданной модели, позволяющей получить численные значения отношения среднеквадратичных смещений атомов на поверхности и в объеме наночастицы для 3<1- переходных металлов (8с, Т1, V, Сг, Ре).

Научная и практическая значимость

Результаты, достигнутые в работе, могут быть использованы для прогнозирования плавления наночастиц Зё-переходных металлов в различных температурных диапазонах и матрицах. На основе полученных зависимостей появляется возможность проектирования оптимизированных систем охлаждения микропроцессоров, проводить сварку тугоплавких материалов при более низких температурах, использовать в определенных температурных границах наночастицы как катализаторы или в качестве носителей катализатора.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы (103 наименования). Работа изложена на 114 страницах, включая 43 таблицы и 24 рисунка.

Во введении изложена актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, показана научная новизна и практическая значимость работы, представлен краткий обзор структуры диссертации, изложены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведено рассмотрение исторических аспектов изучения температуры плавления наночастиц металлов, приведено подробное описание современных моделей описывающих температуру плавления наночастиц металлов с точки зрения различных подходов о строении вещества, показано влияние формы наночастиц на температуру плавления вещества. На основании этого сделана постановка задач в диссертационной работе.

Во второй главе излагается обоснование выбора динамического подхода для расчёта температуры плавления наночастиц металлов. Дано описание общей динамической модели и вычислительного алгоритма, дающего возможность получить численное значение а - отношения среднеквадратичных смещений атомов относительно положения равновесия на поверхности и в объеме наночастицы - методом нелокального функционала плотности (НФП). В главе приводится подробное описание метода НФП в орбитально-оболочечном приближении, позволяющего рассчитать силовые константы и частоты колебания атомов на поверхности и в объеме наночастицы. Приведены рассчитанные методом НФП численные значения отношения среднеквадратичного смещения атомов относительно положения равновесия на поверхности и в объеме наночастицы а, для золота и некоторых Зс1- переходных металлов. Используя компьютерную реализацию сочетания динамической модели и нелокального функционала плотности (ДМ-НФП) для наночастиц золота, было рассчитано значение отношения среднеквадратичного смещения атомов относительно положения равновесия на поверхности и в объеме наночастицы.

В третьей главе приведены рассчитанные в модели ДМ-НФП численные значения температур плавления наночастиц скандия, титана, ванадия, хрома, железа; показано влияние размера, формы и матрицы на температуру плавления наночастиц этих металлов.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на Общероссийской с международным участием научной конференции «Полифункциональные химические материалы и технологии» в Томске, 2007 г. Интеллектуальный потенциал ученых России Барнаул, 2008. Третья всероссийская конференция по наноматериалам НАНО 2009, Екатеринбург. IV Общероссийская конференция «Актуальные вопросы современной науки и образования», Красноярск 2010. Первая международная конференция «Развитие нанотехнологий: Задачи международных и региональных научно-образовательных и научно-производственных центров» Барнаул 2012. «Химия в федеральных университетах» Екатеринбург, 2013.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 9 работ: из них 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, 6 в трудах Международных и Всероссийских конференций.

На основании проведённых исследований на защиту выносятся:

1. Критерии и обоснование выбора физической модели описания плавления наночастиц конденсированного состояния в рамках динамического подхода и метода нелокального функционала плотности.

2. Использование вычислений методом нелокального функционала плотности отношений среднеквадратичных смещений атомов в объеме наночастиц и на границе её контакта с матрицей материала для расчёта температуры плавления наночастиц конденсированного состояния.

3. Численные значения и зависимости температуры плавления наночастиц золота и Зс1- переходных металлов (скандия, титана, ванадия, хрома, железа) от их размера, формы и окружающей матрицы.

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ПЛАВЛЕНИЯ НАНОМАТЕРИАЛОВ

При описании свойств любого вещества используют ряд фундаментальных физических величин, таких как агрегатное состояние вещества при нормальных условиях, твердость, модуль упругости, плотность, теплоемкость и т.п. Одним из таких параметров является и температура плавления.

Прежде чем дать определение температуры плавления, необходимо в первую очередь сказать, что же такое температура.

Температура[23] - (от лат. temperatura- надлежащее смешение, нормальное состояние), термодинамический параметр, характеризующий состояние термического равновесия макроскопической системы. Наряду с давлением, химическим потенциалом и другими параметрами состояния, температура относится к интенсивным величинам, т.к. не зависит от массы системы. Таким образом, температура плавления - температура, при которой происходит переход вещества из твердого кристаллического состояния в жидкое состояние.

Описание температуры плавления массивных образцов не составляет особых сложностей, что нельзя сказать о температуре плавления наночастиц.

1.1 Исторические аспекты изучения температуры плавления киноматериалов

Влияние размера частицы на температуру плавления вещества, вероятно, один из первых эффектов, который привлек внимание ученых. Одним из первых высказавших свое предположение в начале XX века был Дж. Томсон (лорд Кельвин), после вывода уравнения описывающее давление насыщенного пара над жидкой каплей, имеющей радиус - уравнение Томсона-Гиббса [24], а затем в более общем виде выведено Гиббсом [25]. Вид уравнения Томсона-Гиббса имеет вид:

12 г9 2а

или р{г) = р^ехр

где /?(оо)-давление насыщенного пара над плоской границей раздела; р(г)~ давление насыщенного пара частицы радиусом г; д- объем; а-поверхностное натяжение.

Уравнение Томсона-Гиббса подтверждается экспериментальными данными, авторы в работе [24,26-28] показали применимость уравнения при электронно-микроскопическом изучении испарения малых частиц свинца и серебра размером 50 нм.

К недостаткам уравнения Томсона-Гиббса, в случае применения ее к наноматериалам, можно отнести возникновение противоречий при получении уравнения о равновесии твердой частицы с окружающей средой (окружающей средой может выступать расплав или пар). Согласно уравнению (1) при нагревании системы малая частица должна расплавиться до того как появится расплав массивного образца. Если рассмотреть обратную ситуацию, а именно, поместить в равновесных условиях малую жидкую каплю внутрь массивного образца, то температура кристаллизации малой капли будет выше температуры плавления массивного образца. [29] Иногда возникают утверждения о том, что твердая фаза малой частицы находится в равновесии с переохлажденным расплавом, но это не совсем так. Исходя из определения [30] переохлажденной жидкости, которая является неравновесным состоянием вещества.

Дальнейшее развитие этой теории в 1910 г. было отражено в работе П. Павлова, который исходил из условия термодинамического равновесия жидких и кристаллических сферических частиц радиусом Я и равной массы с собственным паром [28].

В 1954 г. японским исследователем М. Такаги (]УПеко Така§1) были исследованы структурные изменения тонких пленок свинца, олова и висмута размером от 10-1000А при различных температурах методом дифракции

электронов, в результате исследования наблюдаемые температуры плавления пленок металлов оказались ниже, чем температура плавления массивного образца металла [31].

В 1963 г. американский исследователь Т. Хилл (Т. Hill) развивая идеи П. Павлова получил формулу [32]:

где То и Тк - температуры плавления массивного тела и малого образца радиуса Я, А.пл и -дтв - теплота плавления и объем одного моля вещества, ртв и рж -плотности кристаллической и жидкой фаз, атв и аж - поверхностные натяжения твердого тела и расплава.

Данная формула позволяет определить температуру тройной точки. При описании температуры плавления с уменьшением размером частицы, отклонение расчетной величины от экспериментального значения будет возрастать с уменьшением размера частицы, это связано с тем, что понятие поверхностного натяжения неприменима к чатицам малого размера.

Более поздние работы по изучению температуры плавления наночастиц разделились на два теоретических подхода. Первый использует представление термодинамики, а второй динамику атомов в кристаллической решетке.

1.2 Современные модели описания температуры плавления наноматериалов

1.2.1 Термодинамическая модель

С позиции термодинамики температура плавления определяется как температура равновесия [33], а условие термодинамического равновесия между твердой и жидкой фазами - равенство их имических потенциалов.

Существует несколько моделей описания температуры плавления наночастиц на основе термодинамики, предлагаемые разными авторами.

(2)

За основу рассмотрения авторы в работе [34] принимают изолированную наночастицу.

Для описания искривленной поверхности конденсированной фазы с точки зрения термодинамики авторами [34] был использован метод Гиббса, позволивший получить уравнение вида:

д\па 28 Я / 14 5 Я \_з 3 я\

. 23 Г 3 1 я2

1 + — 1 + — +--г

Я Ч К 3 я2

\'

(3)

где ст - поверхностное натяжение, Я - радиус частицы, 8 - постоянная Толмена [35].

Так как в общем случае уравнение (3) не разрешимо, то авторами [34] было приняты условия К»5 и 5 не зависит от Я, тем самым получив выражение вида:

' АЗ л

(оо)

<у - о ' ехр

8 + 2Я

(4)

Так как поверхностное натяжение твердого тела зависит от межатомных связей и пропорционально температуре плавления, то в связи с этим авторы [34] получили выражение для описания температуры плавления сферических наночастиц вида:

ш т Я 3 + 2яу "> Ср1 '

где т„[т) - температура плавления массивного образца, V- молярный объём, Ь-толщина первой координационной сферы, С р — молярная теплоёмкость при постоянном давлении.

Существует другая термодинамическая модель плавления нанокластеров предложенная автором [36].

Состояние кластеров, определяется свободной энергией С = /(«:, Я ). Разность свободных энергий кластера в жидком и твердом состояниях составляет:

АС = 47гД2Да + ^пКърАц, (6)

где Аа = — а5) - разность поверхностных энергий, А// = (//г — - разность химических потенциалов для жидкого и твердого состояний кластера. Очевидно, что при плавлении Дсс < 0, а А// > 0. Зависимость Ав = f{R) представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Изменение свободной энергии Гиббса для ансамбля отдельных атомов в твердом теле (1), для изолированного кластера (2) и системы взаимодействующих кластеров (3, 4), находящихся в твердом и жидком состояниях, в зависимости от размера кластера; 3 — взаимодействующие кластеры; 4 — кластеры после действия сурфактантов (ПАВ).

Критический размер кластера, отвечающий переходу из твердого состояния в жидкое (АС = 0) определяется по формуле:

_ ЗДа

Псг ~ Ш (?)

При И < Ясг кластер находится в жидком состоянии. Из уравнения (7) следует, что переходное состояние твердое тело — жидкость не может реализоваться для отдельных атомов в матрице (при Аа = 0), когда кластер еще не образовался. В то же время величина Аа должна быть максимальной для свободного кластера. Любые межкластерные взаимодействия будут приводить к

уменьшению этой величины, а следовательно, и величины Ясг, определяющей область возможных флуктуации твердого и жидкого состояний.

Стабильность кластера можно характеризовать соответствующим данной разности химического потенциала Д\х = /(р, Т) изменением давления 8р = р0 — р или температуры 8Т — Т0 — Т, которое приводит фазы в равновесие при заданном размере кластера (р0 и Т0 — давление в среде и температура плавления массивного тела).

Если заменить функцию Ар = /(р, Г) ее разложением в ряд по 8р в точке р0, то с учетом того, что ^ = — ^ 11 ^ " молекулярные объемы кластера

в жидком и твердом состояниях) автором [36] получено:

Ар. « -(1^ - У3)8р. (8)

Воспользовавшись формулой Клапейрона—Клаузиуса:

др Я

гг№"(9)

где q — скрытая теплота фазового перехода, получено:

Ар « -Ч8Т/Т0, (10)

Подстановка уравнения (10) в (7) дает гиперболическую зависимость изменения температуры фазового перехода в кластере от его радиуса:

8Т ЗДсх

— «--(11)

Т0 рцЯ

Зависимость (11) свидетельствует о понижении температуры плавления при уменьшении размера кластера. Представленная на рисунке 1 зависимость позволяет заключить, что при заданных температуре и давлении среды исходно стабильная структура кластера (Дц> 0) становится метастабильной по отношению к жидкой фазе при К<КсГ.

Авторы в работах [37-41] показали снижение температуры плавления наночастиц золота, олова, Сс18, вплоть до комнатной температуры с уменьшением размера частиц.

Для описания температуры плавления наноматериалов на основе термодинамических представлений авторами [28] показан подход, учитывающий влияния поверхностных гетерофазных флуктуаций на термодинамическое равновесие в системе твердых и жидких частиц равной массы. Более подробное описание процессов можно посмотреть в тексте книги [33]. Начало процесса плавления сводится к случайному возникновению зародышей жидкой фазы на поверхности наночастицы. Для температуры плавления малых частиц радиусом г получено соотношение:

Тт = Т0[1- 2т]д5/Ah(R - S)], (12)

где Т0- температура плавления массивного образца; Тт- температура плавления наночастицы; Ti-свободная поверхностная энергия кристалл-жидкость; R- радиус частицы, содержащая в своем объеме ядро радиуса г, окруженное жидким поверхностным слоем толщиной 6; удельный объем кристаллической фазы; Ah - удельная теплота плавления.

Авторы работ [41-43] осуществляли проверку корректности данного подхода, используя методику сканирующей электронографии, и показали, что зависимости Т(г) неудовлетворительно описываются выражением (12). В результате формула (12) была модифицирована авторами [28] и имеет вид:

г (27X13)

рхХ21г [ (г + Ь8) аа12 \р2 )\)

где Г(оо)и Г (г) - температуры плавления массивного тела и малого образца; г-

радиус наночастицы; рх- плотность твердой фазы; р2- плотность жидкой фазы;

а,Ь - поправочные коэффициенты; в — угол смачивания; a2i — теплота плавления

твердого тела, приходящаяся па одну частицу; сг12 - поверхностная энергия

твердого тела на границе с расплавом; S - толщина жидкого слоя.

Необходимые входные данные по плотности и теплоте плавления были взяты из справочников, а данные о межфазной энергии сг12 на границе твердое тело - собственный расплав вычислены по формуле из работы [44]. Для Sn, Pb и Al значения параметров в уравнении (13) следующие: для Sn - а = 1,3, b = 3 и а12

( 2сктл<)

Т(г) = Т(со)ехр

= 60 мДж/м2; для РЬ - а = 1,3, Ь = 2,0, и а12 = 40 мДж/м2; для А1 - а = 1,3, Ь= 3 и °12 = 60 мДж/м .

1.2.2 Динамическая модель

Динамическая модель основана на изучении смещения атома под действием внешних сил.

Кристалл представляет собой совокупность атомов, связанных упругими силами. Атомы, расположенные в узлах кристаллической решетки, совершают непрерывные колебания относительно положения равновесия [45]. При малых амплитудах смещения атомов из их положения равновесия для описания динамики кристаллической решетки справедливо гармоническое приближение описания колебаний.

Толчком к развитию методов на основе динамики кристаллической решетки послужило развитие вычислительной техники в середине XX в., позволяющей производить работу с большими массивами данных.

1.2.2.1 Описание динамики кристаллического тела

1.2.2.1.1 Уравнения движения колеблющейся решетки

Описание динамики кристаллической решетки авторы работ [46,47] начинают с предположения о бесконечном кристалле, так как полная периодичность идеальной решетки, являющаяся следствием отсутствия границ, сильно упрощает описание модели. При таком допущении, величины, относящиеся ко всему кристаллу, оказываются бесконечно большими, в свою очередь, все такие величины можно нормировать на конечный объем надлежащим выбором граничных условий.

При рассмотрении кристалла, составленного из большого числа элементарных ячеек, каждая из которых представляет собой параллелепипед, построенный на трех некомпланарных векторах а!5 а2, а3. Каждая элементарная

ячейка содержит п атомов, равновесное положение 1-й элементарной ячейки характеризуется радиус-вектором х(/), а начало координат расположено в одном из узлов решетки:

х(0=/1а1+/2а2+/заз, (14)

где 1\,1г,1ъ~ целые числа, положительные, отрицательные или нули, совокупность которых обозначается через /. Векторы аь а2, аз - векторы элементарных трансляций решетки. Положения атомов внутри элементарной ячейки определяются векторами х(х), отсчитываемыми от начала координат, связанного с ячейкой, где % нумерует различные атомы в элементарной ячейке и принимает значения 0, 1, ..., п-1. Для удобства начало координат в ячейке выбирается так, чтобы х(х=0)=0. Таким образом, положение ^-ого атома 1-й элементарной ячейки определяется вектором:

'Л

х

=х(/)+х (х), (15)

\Х)

Под действием температуры каждый атом смещается из положения равновесия на величину и

\Ху

решетки будет равна:

. Таким образом, полная кинетическая энергия

Т = \ЪМх'и\[1\ (16)

где Мх- масса атома сорта х, а и системе координат, а=х, у, г.

1\

М

2

\Ху

(Г

а-составляющая вектора и\

и.

в декартовой

Авторы [44] делают допущение такое, что полная потенциальная энергия кристалла - некоторая функция мгновенных положений всех атомов. Путем

(Г

разложения величины Ф в ряд Тейлора по степеням смещений атомов и\

\Х у

получено:

ф=Ф0+ Еф«

(О ГП 1 ^ _ (I Л (1Л (гл

и.

и,

+~ X ф«р

г.х'.р

X X.

\Х;

\х\

(17)

причем, оставаясь в рамках гармонического приближения, пренебрегая в этом выражении всеми степенями выше второй. Здесь Фо является статической энергией решетки — потенциальная энергия кристалла в положении равновесия.

Коэффициент Фс

'Л

\Х;

- сила, действующая на атом находящегося в точке х

\Х)

направлении противоположном оси а.

Силы, действующие на любую частицу, находящуюся в положении равновесия должны быть равны нулю, таким образом, авторами [44] было получено:

Фа[1]=О- (18)

\Х)

Поскольку описание на данный момент ограничивается рамками гармонического приближения, то следует предположить, что атомы кристалла совершают колебательные движения относительно своих положений равновесия, соответствующих таким положениям атомов, при которых потенциальная энергия минимальна. Это можно объяснить тем, что, пренебрегая ангармоническими членами в выражении для потенциальной энергии, не рассматривается механизм, способствующий выходу атомов кристалла из этих положений [44,46]. Если конфигурация, соответствующая минимуму потенциальной энергии и результирующая сила, действующая на каждый атом, обращается в нуль, так что выражение (18) будет всегда справедливо в гармоническом приближении.

Значит, функция Гамильтона кристалла в гармоническом приближении может быть записана в виде:

Г 1 \

¿¡,Х,аг \Х) ±

I

1

/ /

I \

\Х X

откуда получаются уравнения движения решетки:

\Х у

\Х ;

Мх иа

пл

а

дФ

Коэффициент Ф(

ди

г I

=-2>,

ар

1\Х\Р

(1 пл

1 ир 1

\Х X) \Х

(20)

а/3

находящийся в точке х

\Х X \Х)

- сила, действующая на атом в направлении оси а

Г/4

и '

, в том случае, когда атом, находившийся в точке х смещен вдоль оси (3 на отрезок единичной длины. Коэффициент ФаР

\Ху (I /(>| \Х X у

удовлетворяет условию симметрии:

Ф.

ар

( 1 ГЛ (Г Г

1 = Фра 1

кХ X) и

(21)

Периодичность решетки показывает, что при смещении решетки как целого на вектор решетки х(/), то смещенная решетка совпадет с исходной. Таким образом, прибавление тройки целых чисел (/ь/2,/3) к индексу / у коэффициента

Фг

Т

\Х)

и к обоим индексам / и /' у коэффициента Ф,

ар

этих коэффициентов. Поэтому коэффициенты Ф0

I Г и Х\

Г1\

не меняет величины

/

\Х;

не зависят от /, а

коэффициенты Ф(

ар

\Х X у

отдельности. Это можно записать в виде:

Ф.

Приравняем все векторы смещения и

зависят только от разности 1-1', но не от / и /' в

го (1 | '1 ~ г

= ф а > фар = ФаР 1

\Х) \Х ) \Х X) а х)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бандин, Антон Евгеньевич, 2013 год

Библиографический список

1. Drexler К.Е. Nanosystems: Molecular Machinary, Manufacturing, and Computation / K.E, Drexler.- New York: John Wiley @ Sons.Inc, 1992.- 556p.

2. Безносюк С.А. Многоуровневое строение, физико-химические и информационные свойства вещества / С.А. Безносюк, А.И. Потекаев, М.С. Жуковский, Т.М. Жуковская, JI.B. Фомина.- Томск: Изд-во Научно-технической литературы, 2005. -264 с.

3. Лен Ж.-М. Супрамолекулярная химия. Концепции и перспективы / Ж.-М. Лен. — Новосибирск: Наука. Сибирское предприятие РАН, 1998. — 333 с.

4. Зоркий П. М. Супрамолекулярная химия: возникновение, развитие, перспективы / П. М. Зоркий, И. Е. Лубнина // Вести. Моск. Ун-та. — Сер.2. — Химия, 1999. — Том.40. — № 5. — С. 300—307.

5. Аксенов И. Б. Фрактальные свойства акустических локационных откликов / И. Б. Аксенов // Журнал технической физики. - 2005 . - Т. 75, N 7 . - С. 131-133 .

6. Рит, М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир напорасчета : пер. с англ. /М. Рит. - Ижевск : РХД, 2005 . - 160 с. - ISBN 5939724-61-2 .

7. Haberland A. Clusters of atoms and molecules / A. Haberland V.2. Berlin: Springer, 1994. -387 p.

8. Пул 4., Оуэне Ф. Нанотехнология / Ч. Пул. - Москва: Техносфера,

2006. - 336 с. ISBN 5-94836-081-4.

9. Уайтсайдс, Д., Эйглер Д., Андерс Р. Нанотехнология в ближайшем десятилетии: Прогноз направления исслед. / Дж.Уайтсайдс, Д.Эйглер, Р.Андерс и др.; пер.с англ. А.В.Хачояна . -М. : Мир, 2002 . -29I.e.- ISBN 5-03-003432-3.

10. Сергеев Г. Б. Нанохимия / Г.Б. Сергеев. — М.: Изд-во МГУ 2-е изд. -

2007.-336 с.

11. Суздалев, И. П. Нанокластеры и нанокластерные системы. Организация, взаимодействие, свойства / И. П. Суздалев, П. И. Суздалев // Успехи химии. —2001. — Т. 70, №3. — С. 203—240.

12. Shi F.G. Size dependent thermal vibrations and melting in nanocrystals / F.G. Shi //J. Mater. Res. —1994. — V.9. — №5. —P. 13 07-1313.

13. Jiang Q. Thermal stability of crystalline thin films / Q. Jiang // Thin Solid Films. —1998. —V. —312. —P.357-361.

14. Bertsch G. Melting in clusters / G. Bertsch // Science . —1997. - 277. - P.

1619.

15. Schmidt M. Experimental determination of the meltig point and heat capacity for a free cluster of 139 sodiumatoms / M. Schmidt, R. Kusche, W, Kronmuller // Phys. Rev. Lett. —1997. — 79. — P. 99.

16. Schmidt M. Irregular variations in the melting point of size-selected clusters / M. Schmidt, R. Kusche, B. Issendorf, H. Haberland // Nature 1998. - 393. - P. 238.

17. Макаров Г.Н. Экспериментальные методы определения температуры* и теплоты плавления кластеров и наночастиц / Г.Н. Макаров // УФН. — 2010. — Т. 180 —В.2 С. 185-207.

18. Lai S.L. Size-dependent melting properties of small thin- particles: Nanocalorimetric measurement / S.L. Lai, J.Y. Guo, V. Petrova, G. Ramanath L.H.Allen // Phys. Rev. Lett. 1996. - 77. - P. 99.

19. Гафпер Ю.Я. Нанокластеры и нанодефекты некоторых ГЦК-металлов: возникновение, структура, свойства: автореф. дис. ... докт. ф.-м. наук : 01.04.07 / Гафнер Юрий Яковлевич .- Барнаул., 2006.

20. Гафнер C.JT. Моделирование методом молекулярной динамики процессов структурообразования нанокластеров никеля и меди в рамках потенциала силыюй : автореф. дис. ... докт. ф.-м. наук : 01.04.07 / Гафнер Светлана Леонидовна .- Барнаул., 2011.

21. Тытик Д. JI. Новые методы моделирования пространственно-временных корреляций и модульный дизайн неорганических кластеров автореф. дис. ... докт. ф.-м. наук : 02.00.04 / Тытик Дмитрий Леонидович М. 2012.

22. Головенько Ж.В. Исследование структурных состояний нанокластеров золота методом молекулярной динамики / Ж.В. Головенько, C.JI. Гафнер, Ю.Я. Гафнер // Известия вузов. Физика. - 2008, т. 51, № 11/3, с. 186-190.

23. Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики / И.Р. Кричевский. — М.: Изд-во Химия. - 1970. - 440 е..

24. Гусев А.И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнолоогии / А.И. Гусев.- М.: Физматлит. 2005.- 416с.- ISBN 5-9221-0582-5.

25. Gibbs J.W. On the equilibrium of heterogeneous substances / J.W. Gibbs // Trans. Connecticut Acad. -V.3. - 1878 P.343-524.

26. Sambles J. R. An Electron Microscope Study of Evaporating Small Particles: The Kelvin Equation for Liquid Lead and the Mean Surface Energy of Solid Silver /J. R. Sambles, L. M. Skinnerand, N. D. Lisgarten // Proc. Roy. Soc. London A. 1970. -V. 318. -№1535.- P.507-522.

27. Buffat Ph. Size effect on the melting temperature of gold particles / Ph. Buffat, J-P. Borel //Phys. Rev.A. Gen Phys. -1976. -Ser.3. -Vol. 13. -P.2287-2298.

28. Таова T.M. Температура плавления малоразмерных металлических частиц / T.M. Таова, М.Х. Хоконов, Р.И. Тегаев, Х.Б. Хоконов // Фазовые переходы, упорядоченные состояния и новые материалы. 2009. №12.

29. Петров Ю.И. Кластеры и малые частицы / Ю.И. Петров. - М.: Наука.-1986. -368 с.

30. Савельев И.В. Курс общей физики. Том 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика/ И.В. Савельев.-М.;Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит.,1970.-517 с

31. Takagi М. Electron-Diffraction Study of Liquid-Solid Transition of Thin Metal Films/ M. Takagi // J. Phys. Soc. Japan. 1954. V.9. P.359-363.

32. Hill L. Termodynamics of small systems / L. Hill.- N-Y.-Amsterdam: Bengamin Inc. Pub. 1963.- 169P.

33. Скрипов В.П., Коверда В.П. Спонтанная кристаллизация переохлажденных жидкостей/ В.П. Скрипов, В.П. Коверда.- М.:Наука. 1984.- 230 с.

34. Рехвиашвили C.LLL, Киштикова E.B. О температуре плавления наночастиц и наноструктурных веществ / С.Ш. Рехвиашвили, Е.В. Киштикова // Письма в ЖТФ.- 2006. -Т.32. -Вып. 10. С.50-55.

35. Рехвиашвили С.Ш., Киштикова Е.В. К расчету постоянной Толмена / С.Ш. Рехвиашвили, Е.В. Киштикова //Письма в ЖТФ. -2007. -Т.ЗЗ. -Вып.2. -С.1-7.

36. Суздалев И. П. Нанотехнология: физико-химия нанокластеров, наноструктур и наноматериалов (2-е изд., испр.) / И.П. Суздалев. -Либроком. -2009.-592 с.

37. Buffat Ph. Discreteness of nanostructures and critical dimension of nanoclusters / Ph. Buffat , J-P. Borel // Phys. Rev.A. Gen Phys. 1976. Ser.3. Vol. 13. P.22

38. I-Ianszen K.J. Theoretische Untersuchungen über den Schmelzpunkt kleiner Kü-gelchen: Ein Beitrag zur Thermodynamik der Grenzflächen. II Ztschr. Phys / K.J. Hanszen. -1960.-157.-№5.-S.523

39. Osima Y. Solid-liquid phase transition of tin particles observed by UHV high resolution transmission electron microscopy: pseudo-crystalline phase / Y. Osima, K. Takayanagi // Z. Phys. D. 1993, Vol. 27, №3, P.287.

40. Goldstein A.N., Echer C.M., Alivisatos A.P. Melting in Semiconductor Nanocrystals// Science. 1992. Vol. 256. P. 1425.

41. Коверда В.П. О микроскопической теории плавления малых металлических частиц / В.П. Коверда// ФММ.-1981. -Т.51. -Вып. 3. -С. 569-573

42. Богомолов В.Н., Задорожный А.И., Капанадзе A.A. Влияние размера на температуру плавления 9 А металлических наночастиц / В.Н. Богомолов, А.И. Задорожный, A.A. Капанадзе // ФТТ. - 1976. -Т. 18. -№ 10. - С. 3050.

43. Samble J. R. An Electron Microscope Study of Evaporating Gold Particles: The Kelvin Equation for Liquid Gold and the Lowering of the Melting Point of Solid Gold Particles / J. R. Samble // Proc. Roy. Soc. London A. -1971. -V. -324. -№1558. -P. 339-351.

44. Таова Т.М., Xokoiiob М.Х. Уравнение равновесия фаз малых размеров и некоторые его приложения / Т.М. Таова, М.Х. Хоконов // Известия РАН. Серия физическая 2008. -12. -С. 1551

45. Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия / Н.Ф.Степанов.-М.: Мир, 2001.-519 с.

46. Марадудин А. Динамическая теория кристаллической решётки в гармоническом приближении: пер. с англ. / А.Марадудин; под ред. М. И. Петрашень. - М.: Мир, 1965. 383 с.

47. Peirls R., Quantum Theory of Solids / R. Peirls London, New York. 1955.-

208P.

48. Leibfried G. Handbuch der Physik / G. Leibfried. -Berlin.- 1955.-315 P.

49. Leibfried G. Theory of Anharmonic Effects in Crystals/ G. Leibfried, W. Ludwig //Solid State Physics. - 1961. -V. 12. -P.275.

50. Fröhlich H. Theory of Dielectrics / H.Fröhlich. London.- New York— 1958.-231P.

51. Rosenstock H.B. Nature of Vibrational Modes in Ionic Crystals/ H.B. Rosenstock//Phys. Rev - 1961.-V. 121. -P. 416.

52. Maradudin A.A. The vibration spectra of disordered lattices / A.A. Maradudin, G.H. Weiss //Phys. Rev.-1968.- V.123.-P 419-421.

53. Born M., Dynamical Theory of Crystal / M. Born London-New York-1958.-317 P.

54. Gazis D.C. Surface Elastic Waves in Cubic Crystals / D.C. Gazis, R. Herman, R.F. Wallis // Phys. Rev.-1960.- Vol. 119.- Iss. 2. -P.533-544

55. Коганов М.И. Электроны, фононы, магноны / М.И. Коганов-М.: Наука. 1979.-194 с.

56. Косевич A.M. Теория кристаллической решётки: учеб. для физ. и физ.-техн. Спец. Вузов. X./ A.M. Косевич: Вища шк..- 1988 - 304 с.

57. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика в 10-ти т. T.V. Статистическая физика: Учеб. пособие.-4-е изд., испр. и доп / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.-М.;Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит.-1987.-613 с.

58. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки/ A.M. Косевич-М.: Наука.-1972.-280 с.

59. Каплан И.Г. Введение в теорию молекулярных взаимодействий / И.Г. Каплан.-М.:Наука, 1982.-312 с.

60. Вакс В.Г. Межатомные взаимодейтвия и связь в твердых телах / В.Г. Вакс.-М.: ИздАТ, 2002.-256 с.

61. Белащенко Д.К. Компьютерное моделирование жидких и аморфных веществ: Научное издание/ Д.К. Белащенко.-М.: МИСИС.- 2005.^08с.

62. Hirschfehlder J.О. Molecular Theory of Gases and Liquids. Chapter I / J.O. Hirschfehlder, C.F. Curtiss, R.B. Bird Pergamon Press, Oxford. 1967.-116p.

63. Баранов M.A. Конструирование полуэмпирических межатомных потенциалов в ГЦК-кристаллах/ М.А. Баранов // Изв. Вузов. Физика. -Томск. -1985 г.-15 с.

64. Старастенков М.Д. Применение потенциала Морза в теории атомного упорядочения и расчет атомных конфигураций точечных, линейных и плоских дефектов/ М.Д. Старастенков// Тезисы IV Всесоюзного совещания по упорядочению атомов и его влиянию на свойства сплавов. -Томск: Томский ун-т. 1972.-С.71-73.

65. Слэтер Д. Электронная структура молекул / Д. Слэтер. -М.: Мир.-1965.-586 с.

66. Johnson R.A. Empirical potenciáis and their use in the calculation of energies of paint defects in metals/ R.A. Johnson // J.Phys.F: Metal. Phys. -1973. -V.3. No.2.-P.295-321.

67. Сатанин A.M. Введение в теорию функционала плотности. Учебно-методическое пособие / A.M. Сатанин,- Нижний Новгород - 2009 - 64 с.

68. Сарры A.M., Сарры М.Ф. К теории функционала плотности / A.M. Сарры, М.Ф. Сарры // ФТТ. -2012.- Т.54.- Вып.6.-С.1237-1243.

69. Дынин Е.А. Функционал плотности, учитывающий тепловое движение ядер сжатого вещества / Е.А.Дынин // ТМФ. -1992 - Т.92 - Вып.1-С.154-157.

70. Хартри Д. Расчёты атомных структур / Д. Хартри . — М.: ИИЛ, 1960. -256 с.

71. Фок В.А. Начала квантовой механики / В.А. Фок. — М.: Наука - 1976. -376 с.

72. P. Hohnberg, W. Kohn. Phys. Rev. A, 136, B864(1964).

73. W. Kohn, L. J. Sham. Phys. Rev. A, 140:1133(1965).

74. Попов A.M. Вычислительные нанотехнологии: Учебное пособие / A.M. Попов.- М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс.- 2009.-280с.

75. U. von Barth Basic Density-Functional Theory—an Overview/ U. von Barth //Physica Scripta. -Vol. 109, 9-39, 2004.-P.9-39.

76. Коротков П. К. Поверхностная энергия и температура плавления малоразмерных фаз металлических систем: автореф. дис. ... канд. ф.-м. наук : 01.04.07 / Коротков Павел Константинович .- Нальчик., 2010.

77. Miotto R. Role of generalized-gradient approximation in structural and electronic properties of bulk and surface ofp-GaN and GaAs / R. Miotto, G. P. Srivastava, A. C. Ferraz // Phys. Rev.- В 59.- p.3008.

78. Perdew J. Ernzerhof Generalized Gradient Approximation Made Simple / J. Perdew, K. Burke, M. // Phys. Rev. Lett. -77.- p.3865.

79. Sharmila V. Pai, Comparative Study of Nonlocal Density Functional Theory and ab Initio Methods: The Potential Energy Surface of sym-Triazine Reactions / Sharmila V. Pai, Chabalowski F.Cary, M. Betsy // J. Phys. Chem. -1996-100.-p. 15368-15382.

80. Liangyou Fan, Tom Ziegler Nonlocal Density Functional Theory as a Practical Tool in Calculations on Transition States and Activation Energies. Applications to Elementary Reaction Steps in Organic Chemistry/ Liangyou Fan, Tom Ziegler//J. Am. Chem. SOC.- 1992.- 114.-p.l0890-10897.

81. Hybertsen M. Nonlocal Density Functional Theory for the electronic and structal properties of semiconductors / M. Hybertsen, S. Louie// Solid State Communications.-l 984 - Vo 1.51 -No.7.- p.451-454.

82. Puente A. Non-local energy density functional for atoms and metal clusters / A. Puente, M. Casas //Computational Materials Science 2.-1994.- p.441-449

83. Магомедов М.Ы. О зависимости температуры фазового перехода кристалл-жидкость от размера и формы нанокристалла / М.Н.Магомедов // Письма в ЖТФ. -2007.- Т.ЗЗ. -Вып.5.- С.62-70.

84. Магомедов М.Н. О зависимости температуры фазового перехода кристалл-жидкость от размера и формы простого нанокристалла / М.Н.Магомедов // Теплофизика высоких температур.- 2009 - Т.47. -Вып.1.-С.49-60.

85. Петров Ю.И. Физика малых частиц / Ю.И. Петров.-М.: Наука - 1982360 с.

86. Нагаев Э.Л. Малые металлические частицы / Э.Л. Нагаев // УФН. 1992. -Т. 162.-№ 9.-С. 49-54.

87. Wautelet М. Size effect on the melting (or disordering) temperature of small particles / M. Wautelet //Solid State Communications, 1990,- V.74 - № 11.- P. 1237-1239.

88. Магомедов М.Н. О поверхностном давлении для ограненного нанокристалла / М.Н. Магомедов // ПЖТФ. -2005- Т. 31В. 1 .-С. 24-33.

89. Магомедов М.Н. Об изменении "поверхностного" давления в панокристалле с температурой / М.Н. Магомедов // Теплофизика высоких температур. -2005. -Т. 43.-№ 6.-С. 870-879.

90. Захаров Ю.А. Химия твёрдого тела / Ю.А. Захаров.-ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». Кемерово: Кузбассиздат, 2006. 124 с.

91. Coombes C.J. The melting of small particles "of lead and indium / C.J. Coombes // J. Phys. F: Metal. Phys. -1972.- 2. - №3. - P. 441.

92. Kofman R. A. Surface melting enhanced by curvature effects / R. Kofman, P. Cheyssac, A.Aouaj // Surf. Sci. —1994.-v. 303,-p. 231-246.

93. Гладких H.T. Температура плавления наночастиц и энергия образования вакансий в них / Н.Т. Гладких, А.П. Крышталь, С.И. Богатыренко // ТЖФ.-2010.- том 80.- вып. 11 -С. 111-114.

94. Лифшиц В.Г. Процессы на поверхности твердых тел / В.Г. Лифшиц. Владивосток: Дальнаука- 2003. -704 с.

95. Zhao М. Melting and surface melting of low-dimensional In crystals / M. Zhao // Solid State Communications. 2004. V. 130. N 1. P. 37-39.

96. Головенько Ж.В. Анализ особенностей формирования структуры нанокластеров золота при процессах кристаллизации: автореф. дис. ... канд. ф.-м. наук : 01.04.07 / Головенько Жанна Викторовна-Барнаул, 2012.

97. Борисюк П.В. Локализация электронов и плавление нанокластеров золота с шероховатой поверхностью: автореф. дис. ... канд. ф.-м. наук : 01.04.07 / Борисюк Петр Викторович - М. 2010.

98. Безносюк, С.А., М.С. Жуковский, С.В. Важенин. Компьютерный наноинжиниринг.//Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010612461 от 07.04.2010 г.

99. Beznosjuk, S. A. Approximating Quasiparticle Density Functional Calculations of Small Active Clusters: Strong Electron Correlation Effects / S. A. Beznosyuk, B. F. Minaev, R. D. Dajanov, Z. M. Muldachmetov // Int. J. Quant. Chem. — 1990. — Vol. 38, No. 6. — P. 779—797.

100. Beznosjuk,S. A. Density Functional Calculation of Transition Metal Cluster Energy Surfaces Clusters: Strong Electron Correlation Effects /S.A. Beznosjuk, R. D, Dajanov, A. T. I<uldjanov//Int. J. Quant. Chem.-1990.-№5.-C.691-698

101. Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. - М.: ООО «Издательство Астрель», 2001.-656 е.: ил.

102. Бандин А.Е. Зависимость температуры плавления наночастиц от ее формы в матрицах ванадия и железа, на примере наночастиц титана / А.Е.Бандин, С.А.Безносюк// Фундаментальные проблемы современного материаловедения. -2012.-Т. 9.-№ 1.-С. 114-118.

103. Бандин А.Е. Зависимость температуры плавления наночастиц от ее формы на примере наночастиц титана/ А.Е.Бандин, С.А.Безносюк // Известия АлтГУ. -2011 .-№ 3-2(71).-С. 127-130.