Влияние нелинейностей магнитного поля на динамическую апертуру циклических ускорителей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.20, доктор физико-математических наук Левичев, Евгений Борисович

• Левичев, Евгений Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Левичев, Евгений Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

1.1 Гамильтониан релятивистской частицы во внешних полях.

1.2 Классическая теория возмущений

1.3 Теория канонических преобразований Ли

1.4 Функции возмущения.

1.5 Гармоники потенциала возмущения.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ.

2.1 Общие требования к моделирующей программе.

2.2 Моделирование движения частицы в 6-мерном фазовом пространстве.

2.3 Моделирование движения частицы в гармоническом потенциале.

2.4 Моделирование змеек и ондуляторов.

3. СЕКСТУПОЛЬНОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ.

3.1 Нерезонансная теория возмущения.

3.2 Свойства секступольных резонансов.

3.2.1 Универсальные свойства резонансов первого порядка малости.

3.2.2 Резонансы vx = п и 3vx =п.

3.2.3 Разностный резонанс vx - 2vy = п

3.2.4 Суммовый резонанс vx + 2v = п.

3.2.5 Резонансы второго порядка.

3.2.6 Резонансы высших порядков.

4. ДРУГИЕ ТИПЫ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ.

4.1 Кубическая нелинейность.

4.1.1 Гамильтониан.

4.1.2 Кинематические эффекты.

4.1.3 Октупольное возмущение.

4.1.4 Краевое поле квадрупольной линзы.

4.1.5 Сравнение кубической нелинейности различного рода.*.

4.2 Нарушение симметрии магнитной структуры.

4.3 Нелинейности змеек и ондуляторов.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

5.1 Цели и задачи.

5.2 Описание ВЭПП-4М.

5.3 Методика измерений.

5.4 Результаты измерений.

5.4.1 Фазовые траектории.

5.4.2 Зависимость частоты колебаний от амплитуды.

5.4.3 Динамическая апертура.

5.4.4 Влияние змеек на нелинейное движение.

5.5 Управление параметрами нелинейной системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние нелинейностей магнитного поля на динамическую апертуру циклических ускорителей»

По мере развития циклических ускорителей высоких энергий растет роль нелинейных явлений в динамике пучка. Это вполне естественно, так как повышение эффективности работы ускорителя, как правило, сопряжено с появлением или усилением факторов, возмущающих движение частиц. Тогда это движение уже недостаточно рассматривать в линейном приближении, и для его корректного описания следует учитывать поправки следующих порядков.

Источником нелинейных сил могут служить погрешности поля основных магнитных элементов ускорителя, специальные нелинейные линзы (секступольные и октуполь-ные), змейки (особенно сильнополевые) и ондуляторы, пространственный заряд, вихревые токи в вакуумной камере и т.д. Нелинейность движения частиц вызывает ряд явлений, которые могут ограничивать эффективность работы установки: зависимость частоты колебаний от амплитуды, появление большого числа нелинейных резонансов, ограничение области устойчивого движения пучка (динамическая апертура), искажение фазовых траекторий, ведущее к эффективному увеличению фазового объема, занимаемого пучкам, формирование стохастических областей движения и т.п. Иногда свойства нелинейного движения используют для достижения определенных целей, например, для резонансного выпуска пучка из вакуумной камеры ускорителя, или для подавления коллективных неустойчиво-стей введением искусственного разброса частот колебаний частиц (затухание Ландау). Однако по большей части последствия нелинейного возмущения негативны: уменьшение времени жизни пучка, ограничение светимости или яркости синхротронного излучения и т.п.

Таким образом, с одной стороны, нелинейное поведение пучка в циклическом ускорителе должно изучаться с практической точки зрения и учитываться на стадии проектирования с целью улучшения параметров и характеристик установки. С другой стороны, частица, движущаяся в нелинейных полях, является частным случаем более общей категории - многомерной динамической системы, чье изучение представляет несомненный интерес для многих областей науки от небесной механики до химии и биологии. При этом параметры пучка в ускорителе (бетатронная частота, тип и величина возмущения, связь различных мод колебаний, затухание и т.п.) могут меняться в широких пределах, а наличие развитых средств диагностики позволяет с высокой точностью измерять характеристики движения. Иными словами, циклический ускоритель, как нелинейная система, является и предметом, и удобным инструментом исследования. Этот факт привел к тому, что практически с момента появления ускорителей высоких энергий (особенно с сильной фокусировкой) проблема изучения нелинейного движения привлекала внимание многих исследователей и на сегодняшний день превратилась в большой самостоятельный раздел физики ускорителей.

В настоящее время принято (с некоторой долей упрощения) различать особенности нелинейной динамики легких и тяжелых частиц [1]. Для лептонных машин наличие мощного синхротронного излучения приводит к следующим эффектам: (а) радиационное затухание эффективно подавляет слабую неустойчивость нелинейных резонансов высоких порядков, (б) квантовый «шум» излучения приводит к тому, что частица «забывает» начальные условия за характерное время радиационного затухания соответствующей моды колебаний. Следствием этого для электронных ускорителей является, во-первых, возможность рассматривать нелинейное движение на достаточно коротком отрезке времени (порядка времени затухания) и, во-вторых, ввести иерархию сил или источников возмущения. Основным из них считается квадратичная нелинейность, вносимая секступольными магнитами, компенсирующими натуральный хроматизм. Остальные эффекты (коррекция кубической нелинейности, краевое поле магнитов и линз и т.д.), как правило, можно рассматривать в виде поправки к влиянию сильных секступолей.

Для протонных ускорителей, где затухание практически отсутствует, существенную роль играют эффекты стохастической диффузии, вызываемой и/или усиливаемой суммарным действием многих незначительных возмущающих факторов (резонансы высоких порядков, нестабильность источников питания и т.п.). Эти явления ввиду их слабости могут приводить к выбыванию частиц из пучка за времена, недостижимые для прямого моделирования на современных ЭВМ. Поэтому для таких ускорителей одной из основных задач исследования нелинейного поведения пучка является разработка и обоснование методов, позволяющих предсказывать глобальную неустойчивость системы исходя из результатов, полученных для ограниченного отрезка времени.

Далее речь пойдет о теоретическом и экспериментальном изучении динамики частицы во внешних нелинейных полях применительно к электронным ускорителям. Хотя, как уже упоминалось выше, различие между электронными и протонными машинами является слегка искусственным: для легких частиц резонансы высоких порядков и стохастические траектории, порождаемые их взаимодействием, также играют значительную роль, например, в ограничении области устойчивого движения пучка или увеличении его эмит-танса.

Дадим краткий обзор истории предмета, современного его состояния и основных результатов нелинейной динамики циклических ускорителей, полученных как теоретически (с помощью аналитических методов и численного моделирования), так и экспериментально. При этом общие положения теории нелинейных колебаний, дифференциальных уравнений, методов теории возмущений, регулярной и стохастической динамики будут, в виду обширности материала, излагаться кратко и применительно к конкретным примерам ускорительной физики. Для глубокого ознакомления с этими вопросами в целом можно порекомендовать монографии [2-5].

Принципиальным понятием теоретических работ, значительное число которых появилось в 50-х годах прошлого столетия в связи с открытием метода сильной фокусировки, является понятие нелинейного резонанса [6-10], реализующегося при следующем условии, накладываемом на бетатронные частоты: mxvx+myvy=n.

В этих работах выводится гамильтониан релятивистской частицы в сопровождающей криволинейной системе координат, который затем раскладывается в степенной ряд по каноническим переменным до появления требуемых нелинейных членов. Применение метода Боголюбова-Митропольского (первый порядок теории возмущений или метод усреднения, см. Главу 1) позволяет исключить быстроосциллирующие члены и получить «укороченные уравнения», где основную роль в возмущении линейного бетатронного движения частицы играют медленно меняющиеся слагаемые (постоянная и резонансная гармоники потенциала возмущения). Полученные инварианты движения [11] т

J + —J = const, тх где Jх у — переменные действия) позволяют делать важные выводы об устойчивости нелинейных резонансов связи в общем, не прибегая к детальному решению уравнений движения.

Особенностью нелинейных резонансов является то, что при наличии неизохронности системы (зависимости частоты колебаний от амплитуды), могут существовать устойчивые траектории колебаний даже при точном выполнении резонансных условий (в отличие от линейных резонансов). Эти траектории приводят к формированию сложной картины фазового пространства системы, влияют на стабильность движения частиц, определяют апертуру ускорителя и распределение частиц внутри апертуры.

В ранних работах предполагалась неизохронность системы первого порядка, хотя для самого сильного возмущения — секступольного это не так, зависимость частоты от амплитуды появляется во втором порядке, и требует более изощренной техники вычислений. Поэтому последующие теоретические работы, посвященные нелинейным колебаниям частиц в циклических ускорителях, развивали тему в трех направлениях: (а) более углубленное и методичное изучение нелинейных резонансов, [12-15], (б) применение более эффективных методов теории возмущений [16-20], (в) приложение результатов теории для конкретных ускорителей и сравнение их с численным расчетом и экспериментом. Из теоретических методик, применяемых для исследования устойчивости движения частицы в ускорителе можно отметить технику секулярных рядов Пуанкаре-Линдштедта [16], последовательную линеаризацию уравнений движения [17], классическую теорию возмущений Пуанкаре-Цайпеля [18], теорию канонических преобразований Ли [19].

Кроме анализа, основанного на применении функции Гамильтона, существует альтернативный подход к изучению нелинейных систем, ориентированный на построении и исследовании нелинейных отображений [44]. Конструирование пооборотных нелинейных отображений и их изучение может проводиться, например, методом «нормальных форм» [20,21] или с помощью операторной техники Ли [22]. Однако, как представляется, этот подход удобен для предсказания долговременной стабильности нелинейной системы и, требуя достаточно сложных математических выкладок, не имеет особых преимуществ при изучении эволюции нелинейной системы на коротких промежутках времени.

В 1984 г. Т.Коллинсом [23] было введено понятие нелинейных «функций возмущения», которые описывают поведение возмущенной динамической системы в нерезонансном случае. Формализм функций возмущения подробно разработан в работах [24-25] и позволяет вычислять различные характеристики нелинейных колебаний частицы (искажение фазовых траекторий, сдвиг частоты от амплитуды и пр.) учитывая весь спектр гармоник возмущенного потенциала. В резонансном случае v —>п/т формализм функций возмущения переходит в приближение изолированного резонанса (см. Главу 3).

Несколько слов необходимо сказать об определении и оценках области устойчивого движения частицы (динамической апертуры). В теории линейных бетатронных колебаний существование инварианта Куранта-Снайдера позволяет легко и однозначно определять апертуру или акцептанс ускорителя. Нелинейность приводит к искажению формы инвариантных кривых и возникновению на границе области устойчивости причудливой структуры резонансов высоких порядков, чьи стохастические слои при этом могут перекрываться. Тогда фазовый объем системы (аналог линейного акцептанса) невозможно описать аналитически, а определять его численно, особенно для двух- или трехмерного движения требует большого времени счета. Поэтому ниже мы пользуемся, может быть не бесспорным, но общепринятым и простым для оценок и сравнений определением динамической апертуры как набора таких начальных условий Ау0(Ах0), х(0) = Ах0, у(0) = Ау0, х'(0) = у'(0) = 0, при которых колебания частицы остаются устойчивыми некоторое заданное число оборотов (для электронных ускорителей это число обычно равно от ~500 оборотов до нескольких периодов синхротронных колебаний).

Теоретическая оценка динамической апертуры зависит от используемого метода. Признаком границы устойчивой области при аналитическом подходе может быть формальная расходимость рядов решения, сингулярности фазовой траектории Jа (фа ) —> оо, сильное искажение траектории AJ/J—>1, близость частоты к сильному резонансу v{A)»nlm и т.д.

Помимо теории возмущений мощным методом изучения нелинейных систем является моделирование [26], [27]. Именно численное решение позволило обнаружить одно из фундаментальных свойств нелинейных многомерных систем - наличие стохастических траекторий [28], которое в настоящее время имеет большое значение при объяснении многих явлений.

Наиболее простые и распространенные программы, моделирующие движение частицы, основываются на описании нелинейных элементов в виде набора «тонких» линз: bnm(s)x"ym -+Бптх"у"S{s-si). Такие программы автоматически удовлетворяют условию симплектичности (см. Главу 2.1), поскольку факторизация тонкими линзами строится на основе гамильтонова формализма. Линейные участки магнитной структуры, как правило, учитываются с помощью матриц, которые, для ускорения счета, могут быть приготовлены заранее до начала моделирования. Помимо нелинейностей, счетные программы более или менее реалистично (в зависимости от требований и способностей автора) учитывают другие эффекты, влияющие на динамику пучка: синхротронные колебания, излучение, ошибки и погрешности различного рода, апертурные ограничения и т.п. Чем более полной является модель ускорителя и чем больше эффектов она учитывает, тем больше времени счета требуется для получения результата. Поэтому для численного изучения адронных ускорителей, где принципиальным является моделирование движения частицы в течение 106-108 оборотов, активно разрабатывается другой класс компьютерных программ, основанный на технике нелинейных отображений:

Z(n) = T(Z(n-1)), где вектор координат 2 преобразуется пооборотно с помощью заранее сконструированного отображения Т. Размерность вектора может быть от двух до шести, в зависимости от изучаемой задачи (несвязанное или связанное бетатронное движение, или синхробетатронное движение). Основной проблемой для такого рода алгоритмов является обеспечение симплектичности счета, поскольку построить отображение, содержащее все порядки возмущения невозможно, а усечение ряда неизбежно ведет к нарушению условия симплектичности и накапливанию нежелательной ошибки. Решение этой проблемы ведется, в основном, двумя способами, один из которых, основанный на формализме операторов Ли, был предложен А.Драгтом, другой - дифференциальная алгебра - разработан М.Берцем. В настоящее время имеется обширная литература, посвященная построению такого рода отображений для ускорителей [29-32].

Результатом работы моделирующих программ является массив координат, рассчитанный в течение требуемого числа оборотов. Обработка этого массива позволяет определить зависимость частоты колебаний от амплитуды, наличие стохастической компоненты движения, построить фазовые траектории и т.д.

В качестве примера распространенных программ для численного изучения динамики частиц в циклических ускорителях можно упомянуть SAD [33], MARYLIE [34], TRANSPORT [35], RACETRACK [36], PATRICIA [37], MAD [38].

Какими бы совершенными и развитыми ни были аналитические или численные методы исследования нелинейных систем, окончательная проверка их правдоподобности всегда будет проводиться с помощью эксперимента. По-видимому, первый цикл экспериментального изучения основных характеристик таких систем применительно к циклическим ускорителям был проведен в ИЯФ СО РАН на накопителе электронов ВЭП-1 [39-42]. В указанных работах проводились исследования характерных особенностей нелинейного резонанса, взаимодействия нескольких резонансов и формирования области стохастического движения, прохождение частиц через и их захват в сепаратрису резонанса (область бетатронной автофазировки по терминологии того времени). Изучались как резонансы, внутренне присущие магнитной структуре накопителя ВЭП-1, так и искусственно возбуждаемые внешней резонансной раскачкой. Наблюдение нелинейных явлений проводилось оптическим путем с помощью диссектора [43]. В качестве результатов этих работ можно привести экспериментальное подтверждение теоретических представлений связанных с нелинейным резонансом, измерение его характеристик и сравнение их с аналитическими оценками, наблюдение возникновения стохастического слоя при взаимодействии нескольких резонансов, проверка критерия перекрытия резонансов (критерий Чирикова), стохастическое увеличение фазового объема, занимаемого пучком и пр.

Далее изучение нелинейной динамики проводились на многих ускорителях и накопителях, включая ALADDIN [45], TEVATRON [46], CERN SPS [47], TRISTAN [48] и других. Типичная схема эксперимента включает быстрое возбуждение когерентных колебаний пучка специальными магнитами или электродами и регистрация положения центра тяжести пучка в течение некоторого числа (несколько тысяч) оборотов с помощью датчиков положения. Данная методика весьма похожа на численное моделирование и позволяет изучать динамическую апертуру, зависимость частоты от амплитуды, фазовое движение, нелинейные резонансы и т.д. Необходимо, однако, учитывать распределение частиц по амплитудам, а, следовательно, по частотам, что приводит к эффекту раскогеренчивания пучка. С другой стороны, измерение времени раскогеренчивания само по себе может служить источником информации о нелинейных характеристиках системы [49,50].

Кроме метода возбуждения когерентных колебаний пучка существуют другие подходы к исследованию свойств пучка частиц в ускорителе, например, измерение поперечного эмиттанса пучка под воздействием нелинейного возмущения сканирующей проволочкой [51] или изучение скорости потерь частиц из «хвостов» функции распределения с помощью регулируемого ограничителя поперечной апертуры (скрепера) [52].

Отдельно хотелось бы упомянуть о методике изучения области устойчивого движения по измерению времени жизни пучка. В работе, проведенной на источнике синхротронного излучения BESSY-1 [53], время жизни частиц определялось как функция положения скрепера, вдвигаемого внутрь вакуумной камеры. Исследования, проведенные на установке со встречными пучками ВЭПП-2М, основывались на измерении тушековского времени жизни пучка в зависимости от амплитуды напряжения ВЧ резонатора [54]. В обоих случаях динамическая апертура обосновывалась и определялась как величина такого ограничения, при которой происходит качественное изменение поведения зависимости времени жизни.

Нелинейность движения частиц играет значительную роль в различных областях физики циклических ускорителей, многие явления и эффекты существенно меняются, и приобретают новые черты при учете поправок высших порядков. Можно кратко упомянуть влияние квадратичной нелинейности на сдвиг частоты спиновой прецессии частицы [55], наблюдение совместного действия эффектов встречи и внешней кубической нелинейности [56] с целью оптимизации светимости установки со встречными пучками, эксперименты по изучению кинематики когерентных бетатронных колебаний [57] и т.д.

Институт ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН является одним из ведущих центров России по созданию и использованию ускорителей высоких энергий, источников СИ и установок на встречных пучках. Поэтому вопросы исследования нелинейной динамики частиц в ускорителях, а также практического применения результатов этих исследований при проектировании новых установок и оптимизации параметров уже работающих, всегда занимали заметное место в деятельности Института. Автор принимал непосредственное участие во многих таких исследованиях, включая работы по определению и оптимизации динамической апертуры источника СИ Сибирь-2 [58,59 и др.], изучение нелинейной динамики коллайдера ВЭПП-4М ([60] и ссылки далее в тексте диссертации), работы, выполненные в сотрудничестве с российскими и зарубежными ускорительными центрами [61-64]. Актуальность этой тематики обусловлена как неослабевающим интересом научной общественности, так и практической значимостью применения результатов для развития уже существующих ускорительных комплексов, и создания новых установок с предельными параметрами.

Диссертация основывается на работах, выполненных автором в ИЯФ им. Г.И.Будкера СО РАН за период 1980-2002 гг., и посвящена аналитическому, численному и экспериментальному исследованию одночастичной нелинейной динамики в циклических ускорителях электронов. Диссертация состоит из введения, пяти основных глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника», Левичев, Евгений Борисович

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [58-64], [73], [87], [101], [118], [125-129] и неоднократно докладывались на российских и международных конференциях и совещаниях, включая: XI Всесоюзное совещание по ускорителям заряженных частиц (Дубна, 1988), 1993 Particle Accelerator Conference (Washington, USA, 1993), XIV Совещание по ускорителям заряженных частиц (Протвино, 1994), European Particle Accelerator Conference EPAC'94 (London, 1994), ICFA Workshop on Nonlinear Beam Dynamics (Arcidosso, Italy, 1994), 4th International Conference on Synchrotron radiation Sources (S.Korea, 1995), European Particle Accelerator Conference EPAC'96 (Barcelona, 1996), 2nd Asian Forum on Synchrotron Radiation ICSRS-AFSR'95 (S.Korea, 1995), Asian Particle Accelerator Conference APAC'01 (China, 2001), 2001 Particle Accelerator Conference PAC2001 (Chicago, 2001), XVIII Совещание по ускорителям заряженных частиц (Обнинск, 2002), Workshop on eV Colliders in the 1-2 GeV Range (Alghero, Italy, 2003).

В заключение, пользуясь представившейся возможностью, автор благодарит А.Н.Скринского и Г.Н.Кулипанова за многолетнюю поддержку в работе, плодотворное сотрудничество и многочисленные обсуждения. Хочу, также, выразить свою глубокую благодарность Б.В.Чирикову, чьи фундаментальные труды в области нелинейных динамических систем были моими первыми учебниками и постоянно поддерживали интерес к рассматриваемой области.

Специальную признательность автор выражает Н.А.Мезенцеву, когда-то давно поставившему задачу по моделированию динамической апертуры циклического ускорителя, выросшую в представляемую работу, и В.Н.Корчуганову, под чьим руководством автор сформировался в физика-ускорителыцика.

Автор от всей души благодарит В.В.Вечеславова, Н.А.Винокурова, М.Зобова, И.А.Коопа, С.И.Мишнева, Е.А.Переведенцева, Д.В.Пестрикова, Г.М.Тумайкина, Д.Н.Шатилова и Ю.М.Шатунова за многочисленные плодотворные обсуждения тем, затронутых в диссертации.

Кроме того, выражаю признательность непосредственным участникам и соавторам совместных работ В.А.Квардакову, В.А.Киселеву, А.И.Науменкову, П.А.Пиминову, В.В.Сажаеву, В.В.Смалюку, а также коллективу комплекса ВЭПП-4М за помощь в проведении экспериментов.

ГАМИЛЬТОНИАН РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ В СТАТИЧЕСКОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

В отсутствие электрического поля функция Гамильтона заряженной частицы имеет вид [140]

Н = с mlc2 +1 Р — — Я е с

1/2

П-1.1) где т0- масса покоя, Л - не зависящий от времени векторный потенциал магнитного поля, а Р - вектор обобщенного импульса. Пусть вначале гамильтониан (П-1.1) задан в декартовых координатах {^,у,сг}, в которой определена реперная кривая (равновесная орбита). Переход в натуральную (сопровождающую) систему координат {х,у, j}, привязанную к этой орбите, производиться каноническим образом с помощью производящей функции

F3 = -Р • ?(x,y,s) = —Р' [г0 (s) + х • X + у • J>], (П-1.2) где f0(s)~ векторное уравнение орбиты, а шляпкой обозначаются орты сопровождающего трехгранника, введенные в Главе 1.1.

Для выбранных координат {je, канонически сопряженные импульсы определяются согласно уравнениям дх ds ду где было использовано d?0/ds = S и dx/ds = h(s)S. Новый гамильтониан запишется как

Нх (x,s,y,px,p1,py\t) = c m

У+(рх-еЛх)2 +

U + Ах . (ру-еАуУ

1/2

П-1.3) где Ах, А и As — компоненты (проекции) векторного потенциала в-криволинейной системе координат. Поскольку гамильтониан (П-1.3) не зависит от времени явно, он является интегралом движения (энергией)

Н = Е = tJ(j?C)2 + (т0с2 )2 , где р - полный импульс частицы.

С помощью одного из канонических уравнений ds дН dt dp, перейдем к независимой переменной s (длина дуги равновесной траектории):

H2{x,y,px,p/,s)=-pt =-(l + hx)[eA, + ^jp2 -{рх-еАх)2-(р^~еАу)2 J, а затем разделим все выражение на полный импульс частицы р

П-1.4)

H2{x,y,px,py\s) = -^ + hx\^-A, + Jl е Рх —А р

-\Ру--Л.

П-1.5) где для удобства записи остались прежние обозначения для нормированных канонических импульсов рх=рх/р и т.д. Полный импульс частицы можно записать как р = p0(l + S),

8 = {р -р0)/р0, где р0- импульс равновесной частицы, а величину под знаком корня в (П-1.5) разложить до требуемого порядка согласно

Гл- 1 1 1 2 1 3

Ы\-сс=\—а — а--а + .

2 8 16

Теперь если записать компоненты векторного потенциала в виде ряда вблизи равновесной орбиты

Vя ,,т "> Vя' ,,т 00 v" ,,<я

Ах=У\апт— — > — > Л,= Успт——> (П-1.6)

X i—t пт „I „I ' У i—i пт „I „I ' i—t "m „I „I 4 ' т,л=0 п\ ml т,п=0 П\ т\ „,„,0 п\ т\ и воспользоваться калибровкой апт= 0. Ьп о=0, ^=0, то в результате можно получить гамильтониан (1.1.1)-(1.1.4).

Ненулевые коэффициенты (П-1.6) могут быть найдены из мультипольных коэффициентов разложения магнитного поля в окрестности равновесной орбиты согласно й Д ду 1 + hx ds

Ву \ + hx

ЗА ds ~hA. дА, дх ЗА дАх В = дх ду t

АЗИМУТАЛЬНЫЕ ГАРМОНИКИ

Переход к переменным «действие-угод» {j, <р) для гамильтониана (1.1.1)-(1.1.4) в общем случае приводит к сумме слагаемых следующего вида:

F(s) = R-fc(s)cos(m<p + m4J(s)) + R'fs(s)sm(m<p + my¥(sj), (П-2.1) где R - средний радиус ускорителя, Т(^) = i//(s) - vO, y/(s) и v—бетатронная фаза и частота, азимутальный угол 9 = s/R, а периодическая функция /(s) зависит от вида возмущения. Например, слагаемое, отвечающее за связанное движение в случае секступольного возмущения, запишется как

П») = -f k2 (s)^2JxPx(s)2JyPy (5) cos(<?± + *Ft (5)), р± =<рх ±2<ру, = ±2vy)9.

Разложение в ряд Фурье по координате s функции (П-2.1) на периоде П = 2nR приводит к следующим выражениям кя

F(s) = Iеп cos{тср-пв) + S„ sin(тср-пв)], (П-2.2)

Д*-вО

Ся = ^ ]\fc cos{m4>(s') + пв)+ fs (s') sinks') + и0)]&', (П-2.3) S„ = — cf[- /c(s')sin(w4V) + «#)+/s(s')cos(wT(s') + n0)}is'. (П-2.4) ТГ "

ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТЫ ОТ АМПЛИТУДЫ ДЛЯ СЕКСТУПОЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ

Для гармонической формы записи гамильтониана (1.1.22) с учетом косинусных и синусных гармоник (П-2.2) - (П-2.4) использование выражений (1.5.7) - (1.5.9) позволяет получить следующую зависимость сдвига частоты

Jx+av-Jy, (П-3.1)

Д^ = aJcy-Jx+ayy-2Jy, ® ( лг , л*

-18£ 3 cin + Лгзл + v-n

3v, -п 2

2 AcinBcin + As\nBs\n Bc+n +Bs+n ^Bcn+Bs„ vx-n v -и v -n ц BC\n + BSln | BC+n + BS+« BC-n + BS-n ^ v.-n v^—n

V -n

П-3.2)

П-3.3)

П-3.4)

- где

48я-m sin sin 48я-m sin t« 48я-m sin

Bc 5

1 „1/2 . о • xm И ym п 4бяm cos

- sin

П-3.5) остальные обозначения даны в тексте.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты данной работы: 1. С использованием методов канонической теории возмущений Ли разработан подход и получены выражения, позволяющие исследовать движение частицы под воздействием различного рода нелинейностей в циклических ускорителях. При этом рассматриваются все основные аспекты нелинейной динамики: искажение инвариантных фазовых траекторий, появление большого числа нелинейных резонансов и их перекрытие с образованием стохастических слоев, появление зависимости частоты колебаний системы от амплитуды и уменьшение области устойчивости пучка. Описаны два альтернативных подхода анализа нелинейного движения частицы в ускорителе: на основе функций возмущения и с помощью отдельных азимутальных гармоник потенциала. Показано, что в ряде случаев величина основных гармоник, секступольного возмущения, может быть представлена с помощью таких фундаментальных параметров ускорителя, как, натуральный хроматизм £ и функция #(s) (энергетический «инвариант»), ответственная за величину горизонтального фазового объема пучка, возбуждаемого квантовыми флуктуациями излучения:

2. Разработаны и реализованы программы и алгоритмы, позволяющие численно моделировать нелинейное движение частиц в циклическом ускорителе для различного рода источников возмущения и при достаточно общих «внешних» условиях. Возможно изучение связанного синхробетатронного движения частицы в нелинейных полях, определение динамической апертуры, фазового портрета и т.п. Реализован метод «гармонического» трекинга, позволяющий легко и эффективно выявлять основные азимутальные гармоники возмущения и давать рекомендации по их коррекции. Разработан метод численного каноч нического интегрирования уравнений движения частицы в сложном измеренном или рассчитанном магнитном поле с произвольной продольной и поперечной вариацией.

3. Подробно разобран основной для электрон-позитронных циклических ускорителей источник нелинейного возмущения движения пучка - секступольные линзы, компенсирующие естественный хроматизм магнитной структуры. Рассмотрение показывает, что на динамическую апертуру непосредственно влияют не только резонансы первого порядка возмущения vx=n, 3 vx=n, vx±2vy=n, но и резонансы второго порядка

2 vx=ny 4ух = п, ± 2vy = п, ±4 vy=n, 2vx±2vy=n, которые должны учитываться при решении таких практических вопросов как выбор рабочей точки или необходимой динамической апертуры.

Детально изучены все основные секступольные резонансы, включая двумерные резонансы связи первого порядка. Дли них получены выражения, оценивающие двумерную динамическую апертуру вблизи соответствующего резонанса. Показано, что разностный резонанс, принципиально не приводящий к неустойчивости движения частиц, тем не менее, может существенно уменьшать область устойчивого движения за счет биения амплитуды колебаний.

4. Кроме секступольного возмущения, подробно рассмотрены другие существенные нелинейности в циклическом ускорителе включая октупольные линзы, краевое поле квадру-польных линз, кинематическую нелинейность, нарушение симметрии линейной оптики ускорителя, поля змеек и ондуляторов. Для всех описанных источников получены практически важные выражения для оценки зависимости частоты колебаний частицы от ее амплитуды, позволяющие оценить степень значимости и влияния соответствующего возмущения. При этом для краевого поля квадрупольной линзы удалось найти простые формулы, связывающие нелинейные коэффициенты первого порядка

Д vx=aJx+axyJy,

Vy =axyjx +<XyyJy с параметрами только линеинои оптики:

16 л = -рх1р'у1 -ру2р'х2+рх2р'у2), yy^TT-boiPyJ'yi- РугР'у2\ 1ол где бетатронные функции и их производные берутся на краях квадрупольной линзы, а kl0 = G / Bp — центральный градиент линзы, нормированный на энергию пучка.

5. На ВЭПП-4М проведено экспериментальное исследование нелинейной динамики пучка с помощью быстрого возбуждения его когерентных колебаний и их наблюдения пообо-ротно датчиком положения пучка. При этом измерялись такие важные характеристики нелинейной возмущенной системы как искажение фазовых траекторий, нелинейные резонансы, динамическая апертура и т.п.

6. Впервые была измерена экспериментально зависимость частоты от амплитуды для случая квадратичной нелинейности, которая имеет характерное резонансное поведение вблизи определенных значений невозмущенных бетатронных частот

С -iif в

Нхр я=-х>

ЗА

1л г \

Зл ху

Р VO п

2АХйВи

В2

В2 ур „^ vx-n vx+2vy-n vx-2Vy-ny

Измерения проводились как вблизи одномерного резонанса Зух = п, так и для двумерных резонансов связи ух ±2vy=n. Как показано, подобные измерения позволяют разделять различные виды возмущения и оценивать их силу. Результаты измерения сравниваются с численным моделированием и аналитической оценкой.

7. Фазовые траектории наблюдались для различных случаев: вблизи резонанса третьего порядка 3vx = п, вблизи суммового и разностного секступольных резонансов vx ± 2vy = п, для резонанса четвертого порядка 4vx = 35. Возможность проведения оценок величины искажения фазовых траекторий с помощью разработанного аппарата теории возмущений позволяет получать численные значения гармоник возмущения и проводить сравнение их значимости. Так, показано, что в конкретном случае ВЭПП-4М основным резонансом в окрестности рабочей точки является ух + 2vy = 24.

8. Изучение динамической апертуры в широкой окрестности рабочей точки бетатронных частот ВЭПП-4М позволяет получить информацию, практически важную для работы кол-лайдера. Впервые экспериментально наблюдалось ограничение (горизонтальной) динамической апертуры вблизи разностного секступольного резонанса vx - 2vy = -7.

9. Проведено исследование влияния на пучок электронов дипольных змеек, которые планируется использовать на ВЭПП-4М для увеличения светимости на* низкой энергии. Результаты экспериментов показывают значительное уменьшение динамической апертуры полями змеек из-за дополнительной нелинейности (зависимости частоты колебаний от амплитуды). Найдена возможность компенсации нелинейности змеек с помощью окту-польных линз, что приводит к восстановлению размеров динамической апертуры.

10. Рассмотрены вопросы возможного увеличения области устойчивого движения частиц, ограниченной нелинейным возмущением, включая коррекцию основных гармоник возмущения, выбор рабочей точки бетатронных частот, применение октупольных линз для управления коэффициентами зависимости частоты колебаний от амплитуды.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Левичев, Евгений Борисович, 2004 год

1. F.Willeke. Dynamic aperture, a review of theory and experiment, Proc. of the 2nd EPAC-90, Nice, June 12-16, 1990, pp.219-223.

2. Б.В.Чириков. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Препринт ИЯФ СО РАН 278, Новосибирск, 1969.

3. А.Лихтенберг и М.Либерман, Регулярная и стохастическая динамика. «Мир», М., 1984.

4. Н.Н.Боголюбов и Ю.А.Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1958.

5. Г.Е.О.Джакалья, Методы теории возмущений для нелинейных систем. «Наука», М., 1979.

6. Ю.Ф.Орлов, ЖЭТФ 32, 316 (1957); Нелинейная ткория бетатронных колебаний в синхротроне с жесткой фокусировкой, Диссертация, Ереван (1958).

7. E.Courant and H.Snyder, Ann. of. Phys. 3, 1 (1958).

8. A.Shoch, Theory of linear and nonlinear perturbations of betatron oscillation in alternating-gradient synchrotron, CERN, 57-21 (1958).

9. А.А.Коломенский, А.Н.Лебедев, Теория циклических ускорителей.- Физматгиз, М., 1962.

10. П.Стэррок, Статическая и динамическая электронная оптика.- «ИЛ», М., 1958.

11. И. R.Hagedorn, Stability and amplitude ranges of two-dimensional non-linear oscillations with periodical Hamiltonian, CERN 57-1 (1957).

12. A.Chao and M.Month, Particle trapping during passage through a high-order resonance, NIM 121 (1974), 129-138.

13. G.Guignard, The general theory of all sum and difference resonances in a three-dimensional magnetic field of a synchrotron, CERN 76-06 (1976).

14. G.Guignard, A general treatment of resonances in accelerators, CERN 78-11 (1978).

15. S.Ohnuma and R.L.Gluckstern, Width of nonlinear difference resonances, IEEE Trans, on Nuclear Science, Vol. NS-32, No.5, Oct.1985.

16. J.Hagel and H.Moshammer, Analytic approach of dynamic aperture by secular perturbation theory, CERN 88-04,42-51.

17. G.Guignard and H.Hagel, Sextupole correction: numerical and analytical tools, PA, Vol.16 (1985), 129.

18. R.Ruth, Single particle dynamics and nonlinear resonances in circular accelerators, SLAC-PUB-3836, November 1985.

19. L.Michelotti, Moser-like transformation using the Lie transforms, PA, Vol.16 (1985) 233.

20. A.Bazzani et al., Description of nonlinear beam dynamics in the CERN LHC by using normal form algorithms, Proc. of EPAC, 2, 887, Rome (June, 1988).

21. E.Forest, SSC-78 (1986), SSC-95 (1986)

22. E.Forest, M.Brrz, J.Irwin, Normal form methods for complicated periodic systems, PA, 24, 91 (1989).

23. T.L.Collins, Distortion functions, Fermilab Internal Report 84/114 (1984).

24. K.Y.Ng, Proc. of the 1984 summer study on the design and utilization of the SSC, Snow-mass, Colorado, 1984.

25. L.Meringma and K.Y.Ng, Fermilab Report FN-493 (1988).

26. F.Willeke, Modern tools for particle tracking, CERN 95-06, Vol.1,213-232 (1995).

27. H.Mais, G.Ripken and A.Wrulich, Particle tracking, CERN 87-03, Vol. 2, 690-705 (1987).

28. M.Hennon, C.Heiles, Astron. J., 1964, v.69, p.73.

29. A.Dragt, E.Forest, Computation of nonlinear behavior of Hamilton systems using Lie Algebra methods, J.Math.Phys. 24(12), 1983, p 2734.

30. A.Dragt et al., Lie Algebraic treatment of linear and nonlinear beam dynamics, Ann. Rev. Nucl. Particle Sci. (1988) 38, p 455-495.

31. M.Berz, Differential Algebra description of beam dynamics to very high orders, SSC-152 (1988).

32. M.Berz, A survey of Differential Algebra and its use for the extraction of maps to arbitrary orders, SSC-152 (1988).

33. K.Hirata, An introduction to SAD, CERN 88-04 (1988), p.62.

34. A.Dragt et al., IEEE Trans. Nucl. Sci. NS-32, 2311 (1985).

35. K.L.Brown et al., CERN 80-04, 1980.

36. A.Wrulich, DESY 84-026, 1984.

37. H.Wiedemann, PEP Note 220, SLAC, 1976.

38. F.C.Iselin et al., The MAD program, CERN/LEP-TH/87-60.

39. Г.Н.Кулипанов, С.И.Мишнев, С.Г.Попов, Г.М.Тумайкин. Влияние нелинейности на бетатронные колебания в накопителе. Препринт ИЯФ 251, 1968 г. «Труды Всесоюзного совещания по ускорителям, Москва, 1968 г.

40. Н.С.Диканский, Г.Н.Кулипанов, С.И.Мишнев и др. Изучение прохождения частиц через область автофазировки бетатронных колебаний за счет радиационного затухания. Труды Международной конференции по ускорителям, Ереван, 1969.

41. Г.Н.Кулипанов, С.И.Мишнев, А.Н.Скринский. Поведение пучка в накопителе при совместном действии двух резонансов бетатронных колебаний. Труды Международной конференции по ускорителям, Ереван, 1969.

42. Г.Н.Кулипанов. Экспериментальное исследование нелинейных резонансов. Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1969 г.

43. Э.И.Зинин. Методы измерения параметров пучков в накопителях с использованием синхротронного излучения, Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1984.

44. F.M.Izraelev, Nearly linear mapping and their application, Physics ID (1980), 243-266.

45. J.Bridges et al., Dynamic aperture measurement at ALADDIN, PA, 1990, Vol. 28, pp. 1-9.

46. L.Meringma et al., IEEE Trans.Nucl.Sci., NS-32, No 5 (1989).

47. J.Gareyte, A.Hilaire, F.Schmidt, CERN SPS/89-2 (AMS).

48. S.Kamada et al., Nonlinear dynamics provided by sextupole magnets for the chromaticity correction of the TRISTAN main ring, PA, 1990, Vol.27, pp.221-226.

49. S.Kamada, N.Akasaka and K.Ohmi, Emittance measurement from decay rate of coherent oscillation through nonlinear filamentation, KEK Preprint 97-17 (May 1997).

50. S.Kamada, N.Akasaka and K.Ohmi, Decay rate of coherent oscillation through the nonlinear filamentation, KEK Preprint 97-261 (March 1998).

51. W.Fisher et al., The dynamic aperture experiment at the CERN SPS, CERN SL/95-96 (AP), 1995.

52. Y.Kobayashi et al., Experimental measurement of dynamic aperture at the Photon Factory storage ring, KEK Preprint 93-38 (June 1993).

53. B.Simon and P.Kuske, The dynamic aperture of BESSY, CERN 88-04, (July 1988), p.120.

54. A.A.Valishev, LN.Nesterenko, Yu.M.Shatunov, Dynamic aperture measurement at VEPP-2M, Frascati Physics Series Vol. X (1998), pp.233-238.

55. Ю.М.Шатунов, Прецизионные эксперименты с поляризованными пучками, Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1897.

56. А.Б.Темных. Влияние кубической нелинейности ведущего поля накопителя на эффекты встречи на накопителе ВЭПП-4, Труды XIII Международной конференции по ускорителям частиц высоких энергий, Новосибирск, 1986, т.1, с.78.

57. Н.А.Винокуров, В.Н.Корчуганов, Г.Н.Кулипанов, Е.А.Переведенцев, Влияние хрома-тичности и кубической нелинейности на кинематику бетатронных колебаний, Препринт ИЯФ 76-87, Новосибирск, 1976.

58. E.Levichev, V.Sajaev, Nonlinear Dynamics Study of the SIBERIA-2 Electron Storage Ring. Arcidosso, Italy 1994, Workshop on nonlinear dynamics. AIP Conf. Proceedings 344, 1995.

59. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk, Dynamic aperture measurement at the VEPP-4M storage ring, Particle Accelerators, v.57, 1997, p.65-76.

60. E.Levichev, N.Mezentsev, A.Iwata, Conceptual design of a medica] application radiation source. NIM A405 (1998) 200-207.

61. V.Korchuganov, E.Levichev et al., The Nanohana 2 GeV synchrotron light source. Proc. of SR'98, NIM A448 (2000), 27.

62. P.Beloshitsky, E.Levichev, I.Meshkov, LTitkova, Effect of the superconducting wiggler on the DELSY beam dynamics, JINR Preprint E9-2003-129,23 p.

63. E.Levichev, P.Piminov, Dynamic aperture calculation for the DAFNE-2 project. Proc. of the Workshop on e+e- in the 1-2 GeV range: physics and accelerator prospects. 10-13 September 2003, Alghero, Italy, (in press)

64. J.Bengtsson, CERN 88-05, Geneva, 1988.

65. C.J.Gardner, "The vector potential in accelerator magnets", Particle Accelerators, 1991, Vol.35, pp.215-226.

66. А.А.Валишев, Исследование когерентных эффектов взаимодействия встречных пучков и динамической апертуры на накопителе ВЭПП-2М. Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 2000.

67. В.Н.Литвиненко, Е.А.Переведенцев, Расчет параметров пучка в накопителях со связью колебаний, Труды VI Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц, 1978 г., Дубна, т.2, стр.285.

68. AJ.Dragt, J.M.Finn, J.Math.Phys., 1976, v.17, p.2215.

69. J.R.Cary, Phys.Reports, 1981, v.79, No.2, 129-159.

70. R.L.Dewar, J.Phys A9 (1976), 2043.

71. The REDUCE computer algebra system, www.uni-koeln.de/REDUCE.

72. E.Levichev and V.Sajaev, Nonlinear phase space study in a low-emittance light source using harmonic approximation, PA, 1997, Vol.56, pp. 161-180.

73. J.Murphy, Synchrotron light source Data Book, BNL 42333, May 1996.

74. В.А.Квардаков, Магистерская диссертация, Новосибирск, 2003 г.

75. C.Iselin, CERN LEP (TH) 88-38 (1988).

76. F.Schmidt, CERN SL (AP) 94-56 (1994).

77. Y.Yan, Success in one-turn maps for dynamic aperture studies. Proceedings of the Workshop on stability of particle motion in storage rings, Upton, N.Y. (1992), p. 177.

78. Y.T.Yan, P J.Channel, M.Li, M.J.Syphers, Long term tracking with symplectic implicit one turn maps, SSCL-PREPRINT-452 (1993).

79. П.А.Пиминов, Расчет влияния гибридного вигглера с полем 5 Т на движение пучка в накопителе ВЭПП-3, Маг. диссертация, Новосибирск, 2001.

80. R.H.Helm, М J.Lee, P.L.Morton and M.Sands. Evaluation of synchrotron radiation integrals,

81. EE Trans.Nucl.Sci.20,900-901,1973.

82. Д.Шатилов, частное сообщение.

83. D.Shatilov, Part. Acc. 52, 65 (1996).

84. G.Ripken DESY Report 85-084, August 1985.

85. И.А.Кооп, Пучки продольно поляризованных электронов в накопителях для ядерно-физических экспериментов, Докт.диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 2000 г.

86. R.Nagaoka, Nonlinear dynamics with sextupoles in low emittance light source storage rings, NIMA302 (1991)9-26.

87. В.В.Вечеславов, Метод канонического интегрирования любого порядка. Препринт ИЯФ 89-35, Новосибирск, 1985.

88. Е.Б.Левичев, П.А.Пиминов, Симплектический интегратор для моделирования движения частицы в сложных магнитных полях. Прикладная физика 3-2002, сс. 136-142.

89. L.Verlet. Phys. Rev. 159,98 (1967).

90. E.Forest, K.Ohmi. KEK Report 92-14, September 1992.

91. V.Borovikov et.al. Proposal of superconducting 7 Telsa wiggler for LSU-CAMD. NIM A 405(1998)208-213. y

92. E.Forest at al. Sources of amplitude-dependent tune shift in the РЕР-П design and their compensation with octupoles. Proc. of EPAC'94, v.2, p. 1033.

93. Oide and H.Koiso. Phys.Rev.E, 47,2010 (1993).

94. E.Forest and J.Milutinovic. Nucl. Instr. and Meth., 269,474 (1988). .

95. D.C.Carey. The optics of charged particle beams. Harwood academic publishers, 1987.

96. K.G.Steffen. High energy beam optics. Interscience Publishers, New York, 1965, pp.47-62.

97. M.Bassetti. Analytical formulae for multipolar potential. DAFNE Technical Note G-26, 1994.

98. C.Biscari. Low beta quadrupole fringing field on off-axis trajectory. ALP Conf. Proceedings 344, pp.88-93, 1995.

99. G.E.Lee-Whiting. Measurement of quadrupole lens parameters. NIM 82 (1970), 157-161.

100. P.Krejik. Nonlinear quadrupole end-field effects in the CERN antiproton accumulator. IEEE CH2387-9/87/0000/-1278.

101. G.E.Lee-Whiting. Third-order aberrations of a magnetic quadrupole lens. NIM 83 (1970) 232-234.

102. В.Н.Корчуганов, Е.БЛевичев, В.В.Сажаев. Компенсация хроматизма и динамическая апертура накопителя электронов «Сибирь-2» (численное моделирование). Новосибирск 1993, 37 е., Препринт ИЯФ СО РАН 93-27.

103. J.Hagel, Invariants of betatron motion and dynamic aperture; an analytical approach. CERN/LEP-TH/86-22, 1986.

104. G.Guigdard, Overview of methods to define conditions for bounded motion. CERN 88-04, 29 July 1998, p. 17.

105. В.В.Сажаев, Динамическая апертура ускорителей с высоким хроматизмом: теория и эксперимент, Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1997.

106. D.A.Dunnet, E.W.Laing, J.B.Tailor, J.Math.Phys., 1968, v.9, p. 1819.

107. E.J.N.Wilson, Nonlinear resonances, CERN 87-03, p.41, 1987.

108. R.D.Ruth. Single particle dynamics and nonlinear resonances in circular accelerators, SLAC-PUB-3 836,1985.

109. Б.В.Чириков, Атомная энергия, 1959, т.6, с.630.

110. B.V.Chirikov, An universal instability of many-dimensional oscillator systems, Phys. Rev. 52(1979).

111. SSRP Report No. 77/05, SLAC, Stanford, May 1977.

112. Н.А.Мезенцев. Генераторы синхротронного излучения в жестком рентгеновском диапазоне. Диссертация, ИЯФ, Новосибирск, 2001 г.

113. A.Ropert, High brilliance lattices and the effects of insertion devices, CERN 90-03,1990.

114. L.Smith, Effects of wigglers and undulators on beam dynamics, LBL-ESG Tech. Note-24 (1986).

115. M.Katoh and Y.Kamiya, Effects of insertion devices on beam parameters, IEEE Particle Accelerator Conference, 437 (1987).

116. K.Halbach, Transverse wiggler magnet design consideration. SSRP Report No.77/05, May 1977.

117. L.Smith, Effects of wigglers and undulators on beam dynamics. LBL-21391, ESG-24, Aug. 1986.

118. В.Смалюк. Диагностика поперечного движения в накопителе: разработка и развитие методов, их практическая реализация на комплексе ВЭПП-4М, канд.диссертация, 1999 г., ИЯФ СО РАН, Новосибирск.

119. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk. Dynamic aperture study at the VEPP-4M storage ring. Preprint BINP 96-71, Novosibirsk, 1996.

120. В.В.Анашин и др. Состояние работ на накопителе ВЭПП-4М. Труды Х1П Совещания по ускорителям заряженных частиц, т.1 с.369, Дубна 1993.

121. А.С.Калинин, Е.А.Симонов, В.В.Смалюк, Д.И.Шатилов. Компьютерная управление и обработка в системе диагностики пучков на комплексе ВЭПП-4. Труды XIV Совещания по ускорителям заряженных частиц, Протвино, 1994.

122. P.L.Morton et al. A diagnostic for dynamic aperture. SLAC-PUB-3627, April 1985.

123. A.Ando. Distortion of beam emittance with nonlinear magnetic field. PA 15 (1984) p.177.

124. Г.Брук. Циклические ускорители заряженных частиц. «Атомиздат», М., 1970.

125. Г.Корн и Т.Корн. Справочник по математике. «Наука», М., 1968.

126. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk. Experimental study of nonlinear beam dynamics at VEPP-4M. NIM A 406 (1998) 356-370.

127. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk. Nonlinear beam dynamics study at VEPP-4M. BINP Preprint 96-67, 1996.

128. В.А.Квардаков, Е.Б.Левичев, А.И.Науменков, П.А.Пиминов. Экспериментальное изучение резонансов связи на ВЭПП-4М. Труды XVIII совещания по ускорителям заряженных частиц. 1-4 октября 2002 г., Обниск.

129. Коллайдер ВЭПП-4М. Отчет ИЯФ им.Г.И.Будкера СО РАН, 1998 г. с.100-105.

130. E.Levichev. VEPP-4M operation in the low energy range. HEACC'01.

131. W.Decking. Investigation of the nonlinear effects of wiggler and undulator fields on the beam dynamics of particle storage rings in the case of DORIS III, DESY 95-232, Nov 1995, Hamburg.

132. C.Milardi et al., Effects of nonlinear terms in the wiggler magnets at DAFNE, Proc. of the 2001 IEEE Particle Accelerator Conference (РАС 2001), pp.1720-1722.

133. A.B.Temnykh et al., Beam based characterization of a new 7-pole superconducting wiggler at CESR. ICFA Beam Dynamics Newsletter, No.31, Aug 2003, pp.53-57.

134. H.А.Винокуров, частное сообщение.

135. R.Chasman and K.Green. Preliminary design of a dedicated synchrotron radiation facility, IEEE Trans. Nucl. Sci., NS-22,1765 (1975).

136. E.A.Crosbie. Improvement of the dynamic aperture in Chasman-Green lattice design light source storage ring. IEEE CH2387-9/87, p.443 (1987).

137. A.W.Chao, Physics of collective beam instabilities in high energy accelerators, Willey (1993).

138. А.Б.Темных. О влиянии нулевой гармоники кубической нелинейности ведущего магнитного поля накопителя на эффекты встречи. Препринт ИЯФ 84-143, 1984 г.

139. M.Cornacchia, Y.Chen. A study of the dynamic aperture limit in TRISTAN. PA, 1985, Vol.17, pp.191-213.

140. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теория поля, М.; «Наука», 1973.