Влияние малой присоединенной массы на собственные частоты и формы колебаний тонкостенных цилиндрических разомкнутых оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Добрышкин Артем Юрьевич

• Добрышкин Артем Юрьевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Добрышкин Артем Юрьевич

Перечень основных обозначений:

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА ИССЛЕДОВАНИЙ ДИНАМИКИ ОБОЛОЧЕК, НЕСУЩИХ ПРИСОЕДИНЕННУЮ МАССУ

1.1. Состояние исследований собственных колебаний тонкостенных оболочек

1.2. Исследования динамики пластин и разомкнутых оболочек

1.3. Проблемы динамики разомкнутых оболочек и пластин, несущих присоединенную массу

Выводы по главе

ГЛАВА 2. ПРОГРАММА, ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ БАЗА И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССЫ НА ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧКИ

2.1. Программа исследования влияния присоединенной массы на собственные частоты колебаний разомкнутых цилиндрических оболочек

2.2. Экспериментальная база для исследования

2.3. Методика проведения эксперимента

2.4. Описание образцов

2.5. Полученные результаты

Выводы по главе

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОСТЕННЫХ РАЗОМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, С МАЛОЙ ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАСОЙ

3.1. Уравнения Доннела - Муштари - Власов с присоединенной массой

3.2. Перемещения и деформации оболочек с присоединенной массой

3.3. Напряженно-деформированное состояние. Связь между усилиями и деформациями

3.4. Граничные и начальные условия

3.5. Динамическая конечномерная модель решения разомкнутых тонкостенных цилиндрических оболочек, с малой присоединенной массой

3.6. Границы применимости теорий колебаний кривизной от р =0 и р = 0,5 для описания колебаний разомкнутой оболочки

3.7. Новое решение колебаний разомкнутой тонкостенной оболочки, несущей малую присоединенную массу, различной кривизны

Выводы по главе

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ РАЗОМКНУТОЙ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, НЕСУЩЕЙ СИСТЕМУ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС,

УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ КРИВИЗНЕ ОБОЛОЧКИ ОТ рг =0 ДО рг = 0,5 И ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

4.1. Экспериментальные исследования колебаний разомкнутой тонкостенной цилиндрической оболочки, при кривизне от рк =0 до рк = 0,5, несущей систему присоединенных масс

4.2. Теоретические исследования колебаний разомкнутой тонкостенной цилиндрической оболочки, несущей систему присоединенных масс, удовлетворяющие кривизне от рк =0 до рк = 0,5

4.3. Устройство для мониторинга конструкций из тонкостенных цилиндрических разомкнутых оболочек

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Свидетельство о регистрации программы на ЭВМ

Приложение Б. Патенты на изобретения

Приложение В. Акт об использовании результатов диссертации

Перечень основных обозначений:

- безразмерные амплитуды колебаний; а10, а20, - безразмерные амплитуды начальных неправильностей;

0 = ЕУ? /12(1 - /2) - цилиндрическая жесткость оболочки; Е, О - модуль Юнга и модуль сдвига;

Ф( х, у, г) - функции динамических напряжений в срединной поверхности оболочки;

/1(г) = ка1(г), /2(?) = ка2(г), /3(г) = ка3(г) - обобщенные координаты; /10 = У^о, /о = У^го - амплитуды начальных неправильностей; к - толщина стенки оболочки;

1 - длина оболочки;

ш, и - число полуволн в продольном и волн в окружном направлениях; М -присоединенная к оболочке масса; Мо - масса оболочки;

Мх, М2, Н - погонные изгибающие и крутящий моменты; N, N2, Т - погонные тангенциальные усилия; Я - радиус оболочки; г - время;

и, V, w - перемещения точки срединной поверхности оболочки в продольном, окружном и радиальном направлениях;

Щ (У) - начальные отклонения от идеальной круговой формы; х, у, ъ - координаты срединной поверхности оболочки; а = шл/1, р = п/Я - параметры волнообразования;

8 = п

\к / Я)2 - параметр волнообразования, характеризующий относительную толщину оболочки;

8, 8, У - компоненты деформации в срединной поверхности; в = шлЯ/ (п1) - параметр волнообразования, характеризующий относительную длину оболочки;

Л - собственная частота колебаний оболочки;

п '

ц - коэффициент Пуассона; р -плотность;

и

р - относительная кривизна;

<ух, ст2 , т - нормальные и касательные напряжения; х - относительное время;

- начальная фаза; О = с / сап = Л / Л - безразмерная (относительная) частота; сп - безразмерная собственная частота оболочки; Спр = $сопр /$об х 100% - относительная площадь контакта

присоединенной массы;

Бсопр - площадь сплошного соприкосновения присоединенной массы;

£об - площадь оболочки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние малой присоединенной массы на собственные частоты и формы колебаний тонкостенных цилиндрических разомкнутых оболочек»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Разомкнутые цилиндрические оболочки широко используются в современных конструкциях: в строительстве, авиации, энергетике, нефтяной и других отраслях промышленного производства. В процессе эксплуатации, оболочечные конструкции испытывают кратковременные воздействия циклического характера, вызывающие вынужденные колебания конструкции, которые являются причиной запуска внутренних динамических механизмов, изменяя собственные колебания конструкции, что существенно влияет на прочностные характеристики оболочки. Часто на таких конструкциях размещаются присоединённые массы: двигатели летательных аппаратов, антенные установки, подвесные топливные баки, кондиционеры, фонари, смотровые площадки. Присоединенные массы изменяют напряженно-деформируемое состояние и параметры собственных колебаний оболочек. Это приводит к изменению частоты и амплитуды колебаний конструкций и вызывает явление резонанса, что может разрушить конструкцию.

Например: в 2004 г. трагедия в "Трансвааль-парке" (Рисунок 1.1, 1.2) г. Москва унесла жизни 28 человек, более 100 получили ранения; в 2010 году на стадионе в Миннесоте (США) обрушилась одна из секций крыши, завалив трибуну; в 2015 году авария строящегося резервуара на нефтезаводе в г. Комсомольске-на-Амуре, возникшая из-за колебаний от ветровых нагрузок (Рисунок 1.3); в 2015г. (с. Верх-Ирмень Новосибирской области) кровля крытого катка не выдержала совместных ветровых и снеговых нагрузок; в 2017 году произошел обвал крыши школы в п. Мурино, в 2018 году деформации крыши строящегося катка г. Истра носили катастрофический характер.

Рисунок 1.2 - Трансвааль парк после обрушения.

Рисунок 1.3 - Деформации резервуара для хранения нефтепродуктов

г.Комсомольске-на-Амуре.

В Рыбинске 22.04.2018г. обрушилась крыша супермаркета, по мнению журналистов причины аварии неизвестны (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 - Обрушение крыши супермаркета.

В 2018 году в городе Балашиха возникла авария, в результате которой обрушилась крыша металлической стоянки арочной формы (Рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 - Обрушение арочной крыши.

Обрушение торгового центра «Maxima» в Золитуде, в одном из спальных районов Риги (Латвия), по адресу ул. Приедайнес 20, произошло вечером 21 ноября 2013 года (рисунок 1.6). В результате катастрофы погибли 54 человека, в том числе три спасателя, ранения получили 40 человек.

Рисунок 1.6 - Обрушение торгового центра «Maxima».

В городе Вишневое Киевской области 01.12.2018г. в 11 часов дня, в спортзале Favorite Fit, обрушилась крыша. Здание находится на территории школы №4, по адресу улица Машиностроителей, 3а. В ГСЧС сообщили, что в комплексе находились 30 детей и тренер. Тренер услышала странные звуки и вывела детей на улицу. Через 1,5 минуты крыша здания обрушилась (Рисунок 1.7). Пострадавших в результате инцидента нет. По словам тренера Карины Шваецкой, крыша обрушилась "не от количества снега, как передают в новостях, снега было совсем немного".

Жители Вишневого сообщили, что в момент обрушения также проходили тренировки по боевым искусствам. Тренер, отправив на выход своих подопечных с помощником, бросился помогать преподавательнице группы художественной гимнастики.

Рисунок 1.7 - Обрушение спортзала в г.Вишневое, Киевской области.

На других оболочечных конструкциях ранее происходили трагедии, унёсшие жизни десятков человек, так, например, в 1902 году в Шотландии -обрушившаяся трибуна похоронила под собой 25 человек. В Египте в 1974 году в аналогичных обстоятельствах погибло 48 человек. В 2008-м в Либерии

на матч отборочного цикла чемпионата мира по поддельным билетам прошло в полтора раз больше болельщиков, чем положено. Верхний ярус трибун не выдержал и обрушился - пострадали сотни людей.

Этими процессами обусловлен интерес к механизму колебаний разомкнутых оболочек, несущих малую присоединенную массу. Присоединенные массы, имеют различную конфигурацию и геометрические параметры.

Нужно отметить, что при проектировании таких зданий, несущие конструкции рассчитываются с учетом значительных запасов прочности, а расчеты на колебания и возникновение явления резонанса не выполняются, что и приводит к трагедиям. Поэтому возникает необходимость выполнять расчеты конструкций на допустимые изменения амплитуд и частот их колебаний, и на этой основе создавать системы предупреждения критических состояний конструкций.

Поэтому существует необходимость проведения дальнейших исследований деформирования, устойчивости, прочностных характеристик. Данное направление исследовано не в полном объёме, имеет фундаментальное значение.

Большинство случаев решения вопросов прочности и устойчивости связано с вопросами динамики оболочек и оболочечных конструкций. Иногда решение проблемы связано именно и изучением взаимодействия изгибных форм колебаний оболочек. Исследователями найдены различные виды колебаний: изгибные и радиальные, крутильные и продольные, изгибные и продольные колебания, изгибные и сдвиговые формы, и т.д. Так же известно, что низшие частоты сдвиговых, радиальных, крутильных, колебаний существенно меньше низших частот изгибных колебаний оболочки, поэтому существует вероятность в процессе эксплуатации оболочек различного рода совместной работы сопряженных и несопряженных изгибных форм колебаний оболочки.

Изменение частотных характеристик колебательных процессов оболочки может приводить к наложению собственных и вынужденных колебаний оболочек. При определенных показаниях собственных частот вынужденные и собственные колебания начинают складываться, что приводит к возникновению резонанса.

Учеными установлено [37, 38, 91, 14, 17, 22, 23, 41, 42], что малая присоединенная масса, является одним из механизмов, запускающим механизм взаимодействия сопряженных изгибных форм разомкнутой оболочки. Данное обстоятельство приводит к удвоению (расщеплению) изгибного частотного спектра собственных колебаний оболочки. Установлено так же наложение сразу нескольких частотных спектров [55, 88, 89, 102, 124, 125, 126]. Учитывая данные обстоятельства, можно утверждать, что при динамическом воздействии на оболочку, несущую малую присоединенную массу, повышается шанс возникновения резонанса. Что и подтверждается в публикациях о колебаниях круговых разомкнутых цилиндрических оболочек и изогнутых пластин, несущих присоединенную массу [34, 44-47, 49, 50, 103, 118, 122]. Известные исследования показывают уменьшение собственных частот колебаний оболочек при прикреплении присоединенной массы. Параметры волнообразования включают геометрические характеристики присоединенной массы, площадь крепления. Взаимодействие сопряженных изгибных форм изучено недостаточно, а иногда вообще не учитывается, но данные обстоятельства требуют детального изучения. Например, исследования [34] показывают зависимость места крепления присоединенной массы и частотной характеристики колебаний. Однако, в последующих исследованиях, когда во внимание было принято взаимодействие сопряженных изгибных форм, выяснено, что изгибный частотный спектр удваивается, при этом частоты не зависят от координаты места крепления присоединенной массы к оболочке, что вписывается в представления о динамическом поведении оболочки, несущей малую присоединенную массу [38].

Исследования изгибных колебаний оболочек экспериментального характера, показывают о некоторых особенностях их поведения, не совпадающих с известными исследовательскими работами:

• В соответствии с традиционным решением, при низшем тоне колебаний оболочки, несущей присоединенную массу, та частота, которая оказалась наименьшей из расщепленных собственных частот, напрямую связана с величиной присоединенной массы. Однако рассмотрение проведенных ранее теоретических исследований говорит о том, что результат снижения частоты напрямую связан так же и с параметрами оболочки, геометрическими и волновыми, что явно показали экспериментальные исследования [98, 99];

• Данные, полученные с помощью экспериментов, показывают снижение основной частоты колебаний оболочки, несущей присоединенную массу, сильнее, чем в соответствии с традиционными представлениями модели колебаний. Так же значительно существенней оказалось и расслоение частотного спектра;

• Раннее проведенные исследования зависимости малой присоединенной массы и собственных колебаний тонкой цилиндрической оболочки, различного радиуса кривизны отсутствуют [93-95];

• Отсутствуют исследования о границах применимости математических моделей замкнутой и пологой разомкнутой оболочек для описания собственных колебаний разомкнутой оболочки, малой кривизны (разомкнутой цилиндрической оболочки) различного радиуса кривизны несущей малую присоединенную массу и систему присоединенных масс [13];

• Мало исследований влияния системы присоединенных масс на собственные колебания разомкнутых оболочек, несущей систему присоединенных масс [4,5].

Поэтому необходимо установить обстоятельства, приводящие к

противоречиям в математической модели колебаний тонких разомкнутых оболочек, несущих малую присоединённую массу, для уточнения математической модели современной механики колебаний оболочки. Уточнить зоны применимости различных теорий колебаний. Найти новое решение колебаний разомкнутой цилиндрической оболочки, несущей малую присоединенную массу, при различных параметрах кривизны. Осуществить экспериментальные исследования, а после численные, для установления всех параметров влияния присоединённой массы и системы присоединенных масс на колебания тонкой разомкнутой цилиндрической оболочки, несущей малую присоединенную массу. Необходимо определить зависимости колебаний от характеристик малой присоединенной массы оболочки.

Степень разработанности темы исследования. В данной работе рассматривается влияние малой присоединенной массы на собственные частоты и формы колебаний тонкостенных цилиндрических разомкнутых оболочек. Тема разработана в полном объеме, так как проведены экспериментальные, численные и теоретические исследования влияние малой присоединенной массы на колебания разомкнутой оболочки, уточнены математические модели, представлены многочисленные закономерности факторов рассматриваемого процесса, результаты экспериментальных исследований и т.д.

Целью работы является разработка и экспериментальное обоснование нового подхода к прогнозированию возникновения резонансных колебаний тонкостенных цилиндрических разомкнутых оболочек с малой присоединенной массой или системой присоединённых масс.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели исследования необходимо решить следующие задачи:

- провести экспериментальную проверку математической модели колебаний разомкнутой цилиндрической тонкостенной оболочки, несущих малую присоединенную массу;

- создать испытательный стенд, методику проведения экспериментальных исследований;

- провести модельный эксперимент, и установить степень влияния присоединенной массы на собственные частоты колебаний тонкостенных разомкнутых цилиндрических оболочек;

- установить границы использования математических моделей цилиндрических и пологих оболочек, несущих малую присоединенную

о о

массу, при величине кривизны от р =0 до р = 0,5;

- уточнить математическую модель (форму решения) динамики прямоугольной в плане изогнутой тонкостенной разомкнутой оболочки с системой присоединенных масс;

- получить амплитудно-частотные характеристики колебаний разомкнутых оболочек, несущих присоединенную массу;

- разработать устройство для мониторинга конструкций из тонкостенных цилиндрических разомкнутых оболочек, учитывающие влияние кривизны разомкнутой оболочки и системы присоединенных масс на частотные характеристики колебаний конструкций.

На защиту выносится:

- оригинальный испытательный стенд, позволяющий устанавливать устойчивые зависимости между амплитудой колебаний разомкнутых оболочек, несущих присоединённую массу и величиной присоединенной массы, параметрами волнообразования и другими характеристиками тонкостенной разомкнутой цилиндрической оболочки;

- уточненная математическая модель, включающая в себя иную динамическую конечномерную модель и динамические (модальные) уравнения;

- устройство для мониторинга конструкций, отслеживающее деформируемое состояние, и оповещающее о приближении значений деформаций конструкции к предельно допустимым значениям;

- экспериментальные результаты влияния присоединенной массы и

системы присоединенных масс на динамическое поведение тонкостенных оболочек;

- значение кривизны тонкостенной разомкнутой цилиндрической оболочки, согласно которой использование математических моделей колебаний цилиндрических и пологих оболочек позволяет получить точные численные характеристики колебаний;

- результаты сопоставительного анализа опытных и расчетных данных по оценке влияния присоединенной массы и системы присоединенных масс на динамическое поведение тонких оболочек.

Методы исследования. Теоретические исследования выполнены в рамках теории колебаний пологих оболочек, описанных уравнениями Донелла - Муштари - Власова (ДМВ) [15, 55], а так же теории Рейснера. Для перехода от трехмерных соотношений теории упругости к двумерным уравнениям теории тонких оболочек используется упрощающая гипотеза Кирхгофа - Лява. Так же рассмотрены асимптотические методы расчета колебаний. Численные исследования реализованы в программах «ОСКРОСМ2017», «Расчет частоты ВЧКК-2015». Экспериментальное исследование выполнено с использованием сертифицированных и апробированных устройств: спектрометра «МЕХ CG Rigaku», акселерометра ВС 110, вихретокового пробника 7ЕТ 701, анализатора спектра и лицензионной программы «ZetLAB».

Научная новизна работы состоит в следующем:

С помощью серии проведенных экспериментов подтвержден иной подход к построению динамической конечномерной модели, согласно которому присутствует инерционное взаимодействие изгибных колебаний с радиальными. Фактором, запускающим инерционное взаимодействие изгибных колебаний с радиальными, можно назвать дополнительную инерционную составляющую колебательного процесса, являющуюся на практике малой присоединённой массой либо системой присоединённых масс.

Уточнена математическая модель колебаний разомкнутой тонкостенной цилиндрической оболочки, несущей присоединенную массу и систему присоединённых масс.

Согласно нового подхода:

- усовершенствована математическая модель колебаний, а точнее предложена новая форма аппроксимирующего выражения прогиба оболочки (конечномерная модель разомкнутой цилиндрической оболочки, несущей малую присоединенную массу);

- обнаружены новые условия одновременной работы высокочастотных радиальных колебаний разомкнутой оболочки, малой кривизны, несущей малую присоединенную массу, с низкочастотными изгибными колебаниями;

- с помощью теоретических исследований, а также численных и экспериментальных была очень точно обнаружена скоррелированность первой формы колебаний разомкнутой оболочки, малой кривизны, несущей малую присоединенную массу, с волнообразующими и координатными параметрами оболочки, а также с величиной присоединенной массы;

- найдены границы применимости математических моделей колебаний разомкнутых и замкнутых цилиндрических оболочек, для рассмотрения колебаний разомкнутой оболочки, малой кривизны (разомкнутой оболочки), несущей малую присоединенную массу;

- получена новая математическая модель колебаний разомкнутой оболочки, несущей систему присоединенных масс;

- рассмотрены основные недочеты и недоработки, проведенных теоретических и экспериментальных исследований колебаний оболочки, несущей систему присоединенных масс.

Теоретическая значимость работы.

- получена зависимость частоты колебаний оболочки от величины присоединенной массы;

- определена зависимость влияния присоединенной массы М/М0 на меньшую из расщепленных собственных частот Пп1;

- получена теоретическая зависимость расстройки изгибного частотного спектра разомкнутой тонкостенной оболочки от величины присоединенной массы;

- выявлена зависимость влияния амплитуды начальных несовершенств на собственные частоты колебаний разомкнутой тонкостенной оболочки, несущей присоединенную массу;

- получена зависимость частоты преимущественно изгибных колебаний Пп1 и Пп2 от параметра волнообразования оболочки п;

- определена граница, где математическая модель колебаний теории цилиндрических и пологих оболочек достоверно описывают собственные колебания тонкой разомкнутой цилиндрической оболочки (разомкнутой оболочки малой кривизны);

- показано наличие сдвиговых напряжений, которые учтены в новых математических моделях.

Практическая значимость работы

- спроектирована и создана оригинальная экспериментальная установка, позволяющая исследовать колебания разомкнутой цилиндрической оболочки, несущей присоединенную массу и систему присоединенных масс;

- получены математические модели, которые можно применять при расчетах конструкций зданий и сооружений, оболочечного типа различной кривизны, несущих систему присоединенных масс;

- разработаны программы для ЭВМ, для мониторинга строительных конструкций и решении задач обеспечения безопасности работы конструкций разомкнутых оболочек малой кривизны;

- разработано устройство мониторинга состояния конструкций, позволяющее проводить мониторинг строительных конструкций, прогнозировать возникновение резонанса, и предотвращать катастрофы.

Результаты данного исследования получили одобрение и используются при рассмотрении задач, связанных с колебаниями пологих оболочек, в

строительном управлении г. Комсомольска-на-Амуре ЗАО «УМР-4». Результаты исследования были внедрены в учебный процесс Комсомольского-на-Амуре государственного университета при проведении лекционных занятий по дисциплине «Теория расчета пластин и оболочек» при подготовке специалистов по специальности «Строительство уникальных зданий и сооружений».

Личный вклад. Все основные результаты и выводы диссертации получены соискателем самостоятельно.

Обоснованность и достоверность.

Надежность и истинность описанного в данной работе механизма колебаний оболочки, несущей малую присоединенную массу, подтверждена экспериментальными данными, с использованием сертифицированных и лицензированных устройств. Методика проведения эксперимента обсуждалась с другими специалистами, относящимися к области исследования, которые выразили ей высокую оценку. Полученные данные хорошо соотносятся с результатами исследований других авторов, а также апробированы на различных конференциях.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на 6-ти международных и всероссийских конференциях: International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety (ICCATS 2017) 21-22 September 2017, Chelyabinsk, Russian Federation. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 262 (2017) 012055 doi:10.1088/1757-899X/262/1/012055; Архитектура, строительство, землеустройство и кадастры на Дальнем Востоке в XXI веке : материалы Междунар. науч.-практ.конф., Комсомольск-на-Амуре, 18-19 апреля 2017 года.; Архитектура, строительство, землеустройство и кадастры на Дальнем Востоке в XXI веке: Комсомольск-на-Амуре, 20-21 апреля 2016 г.; Региональные аспекты развития науки и образования в области архитектуры, строительства, землеустройства и кадастров в начале Ш тысячелетия. Научные чтении

памяти профессора В. Б. Федосенко : материалы Междунар. науч.-практ. конф., Комсомольск- на-Амуре, 26-27 ноября 2015 г.; Региональные аспекты развития науки и образования в области архитектуры, строительства, землеустройства и кадастров в начале Ш тысячелетия. Научные чтении памяти профессора В. Б. Федосенко : материалы Междунар. науч.-практ. конф., Комсомольск- на-Амуре, 26-27 ноября 2015 г.; Региональные аспекты развития науки и образования в области архитектуры, строительства, землеустройства и кадастров начале III тысячелетия : материалы V Междунар. науч.-практ. конф., Комсомольск-на-Амуре, 29-30 нояб. 2017 г. : в 2 ч.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы: в 15 работах, в том числе: в 5 статях в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук; в одном журнале уровня цитирования web of science; в одном свидетельстве на патент на изобретение; в одном свидетельстве на патент на полезную модель; в 2-х свидетельствах о регистрации компьютерных программ.

Структура и объем работы.

Диссертационное исследование состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка использованных источников. Изложено в 139 страницах текста формата А4. Присутствует графический материал - 50 рисунков. Описаны 8 таблиц и 3 приложения. Список использованных источников включает 136 публикаций по теме диссертации и сопряженным темам. В приложении указан акт применения в учебный процесс и акт применения в строительное производство, а также свидетельства о регистрации 2-х программ, копия свидетельства о регистрации патента на изобретение, копия свидетельства о регистрации патента на полезную модель.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА ИССЛЕДОВАНИЙ ДИНАМИКИ ОБОЛОЧЕК, НЕСУЩИХ ПРИСОЕДИНЕННУЮ МАССУ.

1.1. Состояние исследований собственных колебаний тонкостенных оболочек.

Тонкостенные конструкции типа «оболочка», представляет обширный класс объектов, используемых в машиностроительной, строительной, ракетно-космической, нефтяной и других отраслях. Такие объекты имеют различные конфигурации, и не всегда представляют собой форму цилиндрических оболочек. Зачастую трудно определить согласно какой математической модели проводить расчет: разомкнутых цилиндрических или замкнутых оболочек. Эксплуатация данных типов конструкций подразумевает значительные динамические нагрузки, усиливающиеся наличием различных изгибных форм колебаний, которые, часто сложно определить. Так же при расчете существует вероятность ошибки применимости различных математических моделей, для определения частотных характеристик и амплитуд колебаний конструкций. Как следствие ошибки, появляются значительные внутренние динамические напряжения, отсутствующие при описании возможного поведения конструкции, а так же присутствуют другие сложные процессы, приводящие к потере устойчивости, прочности и надежности аппаратов, машин и др. различных конструкций. Разрушение конструкций, механизмов и аппаратов заставляет многих ученых, инженеров, конструкторов, проектировщиков заниматься проблемами динамики оболочечных систем различных типов и конфигураций. Подобного рода задачи носят как линейный, так и нелинейный характер, а их решение позволяет очень точно описать колебательные процессы, и эффективнее использовать несущую способность конструкций, сводя эффект наличия различных форм колебаний к минимуму.

Быстрое развитие всех отраслей народного хозяйства заставляет совершенствовать методы и способы расчета конструкций и изделий

различного рода. Идеи, связанные с применением оболочечных конструкций, воплощаются в реальность, но для безопасного использования такого рода элементов необходимо точное понимание всех механизмов работы механики деформирования твердого тела. Часто оболочки, имеют различного рода дополнительные конструкции, влияющие на параметры волнообразования. Безопасная эксплуатация оболочек, в различных областях требует точных аналитических моделей механизмов деформирования, для недопущения разрушения оболочек.

Колебаниями разомкнутых и замкнутых оболочек занимались многие исследователи: Кубенко, В. Д. [37,38], Тимошенко, С. П. [91], Варадан, Т. К. [14], Галченко, А. Л. [17], Доннелл, Л. Г. [22], Дышко, А. П.[23], Лейзерович, Г. С. [41, 42], Лиходед, А. И. [44-47], Малинин, А. А. [49, 50], Муштари, Х. М. [55], Тарануха, Н. А. [88, 89], Amabili, M. [102, 103], Kattimani S.C., [118], Lee, Т. H. [122], Lew, R. S. [124], Mallon, N. J. [125, 126]

В первые уравнения Жермен - Лагранжа описывающее малые поперечные колебания упругой изотропной пластинки, в работах было опубликовано [111,112,110], в 1802 году. При |х| < а, |у| > Ь, оболочки постоянной толщины h, уравнение имеет вид:

гч дд , д2ш _ . д2 , д2 ,„ .

0ДДШ+р— = °, д = — + — i1)

Здесь ш (x, y, t) - поперечный прогиб срединной плоскости пластин; А -

3 2

двумерный оператор Лапласа; D=Eh /(12(1 - v )) - изгибная жесткость пластинки; v - коэффициент Пуассона; E - модуль Юнга; р - удельная плотность на единицу площади пластинки; t - время.

Задача об определении собственных частот и форм колебаний пластин со свободными краями сводится к определению прогиба W (x, y) (гармонический множитель e-imt здесь и далее опущен) и частоты к4 =ph®2 / D из однородной краевой задачи:

ДДШ - k4W = 0, (2)

с граничными условиями при x= ± a:

d2w d2w

+ (3)

d2W , N d3W _ //14

= a (4)

И при x= ± b:

d2W d2W c

+ = (5)

32W f л d3W

^+(2-v)w* = 0. (6)

В дальнейшем Рэлей смог обосновать несколько теорем, носящих фундаментальный характер. Теоремы относятся к линейной теории колебаний, и позволяют высказать квалитативные выводы, относительно свободных форм колебаний элементов и систем. Так же ученый сформулировал квантитативный способ создания колебания, и все ради определения свободных показателей частотных характеристик систем. Способ ненамного расходится с обычной колебательной системой, у которой свободные формы и частоты колебаний уже определены. Рэлей [78] детально изучил решение однородной граничной задачи и показал, что искомые функции следует выбрать такими: для четного m:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Добрышкин Артем Юрьевич, 2019 год

- - РЬ

д2ш

д2у1

"дг2

+ рК~дх2 - Чз = 0

Ql =

1

д д л дН1 дН2

УдТ1(М11Н2)+1^(М12Н1)+1^М21-1^М22

(1^2,2^ 1);

стоит считать допустимыми, но при условии добавления единицы усилия по:

' 1 д

N11 =

1 дх\ 1 дН2 дх

( Н7дх7)

Н2 дх2\Н2 дх2/ Н{Н2 дх1 дх1

N12 =

1

д2х

+

1 дН1 дх 1 дН2 дх

Н1Н2\дх2дх1у Н1 дх2 дх1 Н2 дх1 дх2 Недостающее уравнение, связывающее ю и х получают используя уравнения совместности деформаций срединной поверхности. В результате получают систему уравнений:

д2ы

БААш + Акх + рЬ 1

д12

= Ч

ЫААх-Ак" = 0

где оператор А и Дк определяются:

Л =

Л* =

1

Н1Н2 1

3х1 чН дх^ дх2\Н2 дх2)_ д /к2Н2 д \ д (к1Н1 д у 3х1 V Н1 дх^ дх2 \ Н2 дх2/.

Н1Н2 1.5X1 V Н1 дх^ ' дХ2\ Н2

Если метрика срединной поверхности меняется достаточно медленно

по сравнению с ю и %, то Н1 и Н2 можно считать постоянными и пренебречь

производными от этих величин по координатам:

1 д2 1 д2 Л=—— +

Н2 дх2 Н2 дх2 '

к2 д2 к1 д

1 д2Х

N22 =

Н2дх2 Н2дх2' 1 д2Х

N12 =

^11 = и2 Я 2 '

Щ дх2 д2Х

1

Н2дх2' "12 Н1Н2дх1дх2

Если оболочка достаточно пологая, что криволинейные координаты

мало отличаются от координат на плоскости, то можно скачать, что: Н1 и

Н2 = 1. Уравнения движения тогда принимают вид:

д2х д2х\ д2ш БЛЛш + ( к2—^ + ) + рк—^ =

дх1

1 ( д2ш д2ш

-ААХ-(к2 — + к1

Ек

дх(

дх2

= 0

д12

д2 д2 Л = — +

2

дх{

дх1

2

3.2. Перемещения и деформации оболочек с присоединенной массой.

Классическая теория оболочек изложена во многих фундаментальных изданиях, и ниже кратко приведены основные соотношения и уравнения движения для круговых цилиндрических оболочек.

Рассмотрим деформированное состояние оболочек. Координатные линии х,у,г декартовой системы координат будем совмещать с линиями кривизны срединной поверхности. Перемещение точек вдоль осей х,у,г обозначим за и, V, w соответственно, рисунок 3.1.

Рисунок 3.1. Геометрия оболочки и система координат.

В работе рассматриваются тонкостенные оболочки (к/Я « 1), вследствие чего углы поворота дюг/дх,дюг/ду, связанные с прогибом, значительно превышают значения производных ди2/дх, диг/ду, относящимся к деформациям в массиве материала. Также будем полагать, что квадраты производных (дю2/дх)2 одного порядка с составляющими диг/дх, дух/ду. В результате получим следующие зависимости:

_ ди _ др ж

_ ди ^ду ^ ду дх'

(2.1)

На основании соотношений (2.1) получим уравнение совместности или неразрывности деформаций в срединной поверхности оболочки:

д2£г д2£2

д2у

ду

дх2 дхду

1 д2^ Я дх2'

(2.2)

3.3. Напряженно-деформированное состояние. Связь между усилиями и деформациями.

В пределах сделанных нами допущений будем рассматривать напряженное состояние оболочек, как результат взаимодействия трех состояний. Первое - это цепные или мембранные напряжения. Часто их называют напряжения в срединной поверхности. Второе отвечает нормальным и касательным напряжениям изгиба, изменяющиеся вдоль толщины по линейному закону; «нейтральный» слой, в котором напряжения изгиба равны нулю и совпадают со срединными. Третье состояние соответствует поперечным касательным напряжениям. В теории пологих оболочек учитываются только результирующие этих напряжений.

При выводе соотношений, связывающих усилия и моменты с деформациями считается, что деформации при колебаниях оболочки лежат в пределах упругости, т.е. выполняется закон Гука. Тогда погонные нормальные Щ, N и касательное Т усилия связаны с компонентами деформации в срединной поверхности зависимостями:

где Е - модуль Юнга; О - модуль сдвига; ¡и - коэффициент Пуассона.

С учетом представленных зависимостей деформаций перемещений и напряжений запишем связь между усилиями, действующими в срединном слое оболочки и перемещениями:

Д7 ей гди д

дг ей гдр w , ди-. ^

"2=ТЕ;гЛдГу-1 + Мди] (24)

т — ей г£и + дИ]

Погонные изгибающие М1, М2и крутящий Н моменты равны:

„, _ (д2w д2,ш\ . . _ (д2w д2w\

где D = Eh3/12(1 — у2) — цилиндрическая жесткость оболочки.

3.1.3. Уравнения движения оболочек.

Представленные в предыдущих параграфах геометрические и физические соотношения теории оболочек лежат в основе формирования дифференциальных уравнений перемещения точек оболочки.

В оболочках большинство внутренних процессов, изменяющихся во

времени, разрешено изучать игнорируя процессы движения упругих волн

[16, 37 и др.]. Поэтому при отсутствии учета касательных инерционных сил и

игнорировании перерезывающих усилий на основе описания моментов

получаем математическую модель по направлению перпендикуляра к

срединной поверхности оболочки:

д2Мг 2 д2Н д2М2 до д2w дх2 дхду ду2 1 дх2

о (2.6)

21Я ду2* дхду дЬ2

где р - массовая плотность; £ - время.

В условиях сделанных предположений уравнения положения всех усилий в направлении осевых линий х и у выражаются аналогично. Касательные линейные напряжения приобщают к уравнению усилий в равноудаленной от плоскостей сторон оболочки Ф( х, у, £) данными соотношениями:

д2Ф д2Ф д2Ф

N = а:к = —фк; N =а2к =—фк; Т = тк =--к. (2.7)

11 ду1 сх1 дхду V 7

Сделав подмену (2.3) и (2.7) в (2.2), и еще (2.5) и (2.7) в (2.6) получаем объединение двух различных уравнений, способных описать небольшие изгибные колебания оболочки:

Э „л 1 д2Ф д2w

— =---о-;

И Я дх2 Н дь2 '

Е Я дх2

Уравнения вида (2.8) являются одними из фундаментальных при расчете колебаний оболочек, например определения частот колебаний разомкнутых оболочек средней кривизны, а так же при расчете частотных характеристик разомкнутых и замкнутых цилиндрических оболочек, в равной степени при исследовании взаимодействия форм колебаний. Эти уравнения, полученные Маргерром, являются обобщением на случай криволинейной поверхности уравнений Кармана (1910 г.) для упругих пластин; V2 = д2/дх2 + д2/ду2- оператор Лапласа.

3.4. Граничные и начальные условия.

Для решения задачи в уравнения (2.8) необходимо добавить граничные и начальные условия.

В данном исследовании, как и во многих работах других авторов, уделено внимание разомкнутой оболочке, на торцы которой закреплены с помощью шарниров. Граничные условия, сформулированные для динамического прогиба м(х, у, 1) записываются в виде:

ш = 0; д2ш/дх2 = 0; при х = 0, х = I. (2.9)

Другие граничные условия необходимы для нахождения функции напряжений в срединной поверхности Ф(х, у, ^), которые запишутся в следующем виде:

^ = 0; Т = 0; при х = 0, х = I. (2.10)

Считается, что на оба торца оболочки накладываются одинаковые

связи.

Другие виды граничных условий приведены в работах [16, 55 и др.] В традиционной математической модели [16, 37, 55] и в настоящей работе тангенциальные граничные условия (2.10) удовлетворяются «в

среднем».

Для замкнутой оболочки помимо граничных условий должно выполняться условие периодичности решения (или условие «возврата»): для замкнутой оболочки все величины, определяющие ее напряженно-деформированное состояние должны возвращаться к своим первоначальным значениям после обхода контура поперечного сечения, в частности, для тангенциального перемещения -у(х,у, €) по окружной координате оно имеет вид:

•2пЯ г2пЯ

— И —

ду У I 1Е кдх2 ду2У ' И

Г2ИК Г2ИК „ „

I ^ I Г1 гд2Ф д2Фч , W-1J _

I °уау=1 (211)

3.5. Динамическая конечномерная модель решения разомкнутых тонкостенных цилиндрических оболочек, с малой присоединенной массой.

Рассмотрение группы общих уравнений колебаний разомкнутой оболочки (2.8) является очень непростой задачей, требующей детального рассмотрения всей системы уравнений. Для нахождения результатов таких уравнений разработано много методов и способов, а так же созданы программные комплексы различного вида, основанные на расчетах различных способов решения уравнений. Известны методы Ритца, многих масштабов. Но стоит выделить один простой и понятный инструмент нахождения - Бубнова-Галеркина. Этот способ переводит исходную систему уравнений к нахождению группы бесхитростных дифференциальных уравнений [53]. Таким образом происходит переход к значимому периоду расчета механизма колебаний - определению искомого прообраза, который затем перестраиваем в более простой вид, нескольким разрешающим уравнениям, означающих динамическую модель колебаний разомкнутой оболочки.

Доподлинно определено, что время на решение задачи растет вместе с числом степеней свободы формы решения исследуемого вопроса. Так же задачи с большой размерностью рассматриваемой модели сложнее просчитывать, труднее избежать логических ошибок. А различные способы и методы решения таких задач становятся неприменимыми, поэтому следует стараться прийти к начальной задаче с минимальной размерностью, не забывая про точность решения. Несовершенный метод для очень сложной задачи может дать большую суммарную погрешность решений и итогового результата.

Один из самых значимых реперов решения рассматриваемой задачи -это нахождение переменной изменяемого прогиба при колебаниях разомкнутой оболочки w(х, у, ?). Это очень важный момент, так как переменная прогиба представляет собой реперную точку, на которой будет базироваться итоговое решение, и даже небольшая неточность определения функции прогиба может повлиять на вышедшую за рамки статистической погрешности ошибку.

Для перехода от уравнений в частных производных (2.8), описывающих движение континуальной оболочки, к динамическим уравнениям, которые описывают колебания системы с конечным числом степеней свободы, в настоящей работе используется метод Бубнова -Галеркина [53].

В настоящей работе рассматривается подход к построению динамической конечномерной модели, предложенный [39-43]. Согласно этого подхода считается, что присоединенная масса уже в линейной постановке приводит не только к связанности сопряженных изгибных форм, но и к взаимодействию низкочастотных изгибных колебаний оболочки с высокочастотными радиальными колебаниями. Согласно данному подходу прогиб оболочки, несущей малую присоединенную массу, аппроксимируется выражением:

w( x, y, t) = [fx(t) sin Py + f2 (t) cosp + f3(t)]sincx; (213)

E<x2 E<x2

ГДе иск0мые функции <Pl(t) = R{a2+|32)2fl(t), Ф2(t) = д^+^МО ,

E

Ф3(£) = —2 f3(0, a = ™л/1, (3 = n/R - параметры волнообразования; m, n -

л <

число полуволн в продольном и волн в окружном направлениях. Параметр суммированных координат f3(t) представляет радиальные колебания.

Подстановка граничных условий в динамическую конечномерную модель с помощью метода Бубного - Галёркина ведет к группе взаимосвязанных динамических уравнений, отражающих взаимодействие изгибных и радиальных колебаний:

4М о о

а1 + а1 +--[a.1sin2py0 + a2cos(3y0sm(3y0 + a3sm(3y0\sm2 ах0 = 0;

Мо

0-2 + а2+47 [aisinpyocospyo + a2cos2(3yo + ^3cospyo\sin2axo = 0; М0

аз + (р/шп)2аз + 2М [áisinpyo + ^cosflyo + a-3]sin2axo = 0;

М0

£04

где р2 = 1 +--_ - квадрат безразмерной частоты радиальных

112(1 ^ )

колебаний оболочки без присоединенной массы; £ = n2(h/R)2и в = nR/(nL) - параметры волнообразования, зависимые от толщины h и геометрических параметров оболочки; ai, a2, a3— безразмерные амплитуды колебаний; шп- безразмерная собственная частота оболочки. М0 - масса оболочки.

То есть изменение инерционных сил оболочки за счет добавления малой присоединенной массы представляется тем явлением, которое создаёт взаимодействие изгибных колебаний с радиальными.

Стоит обратить внимание, что радиальные колебания разомкнутых были выявлены относительно недавно. Такие ученые как В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, Т. В. Карнаухова исследовали их в последнее десятилетие. Поэтому взаимодействие радиальных колебаний с изгибными колебаниями разомкнутой оболочки недостаточно изучены.

3.6. Границы применимости теорий колебаний кривизной от р =0 и р = 0,5 для описания колебаний разомкнутой оболочки.

Уточним обозначение кривизны. Вспомним уравнение Гаусса:

рМ/Я$,

где R -относительный радиус разомкнутой оболочки, малой кривизны, равный диаметру пластины, деленному на радиус.

Исходя из целей исследования необходимо описать математическую модель личных вибраций разомкнутой оболочки, малой кривизны, если рассматривать её под призмой общего описания вибраций разомкнутой оболочки, малой кривизны. Динамическая модель вибраций разомкнутой оболочки, малой кривизны, изотропной, можно показать следующей записью:

^ (их X + ^УУ).

Переменная и{х, у, £) отражает провис оболочки. Первичные

параметры запишем в следующем виде:

и(х,у ,00) = ф(рс,у), щ(х,у,0) = ^(х,у),

и краевые параметры:

иу(0,уД) = 0,иу(Ь1,уД) = 0,

их(х ,0 ,€) = 0 ,их(х ,Ь2 , 0 = 0 .

X" (х) + V Х(х) = 0 - задача второго уровня, как простая

прямопропорциональная разностная функция с неизменными множителями.

Переменная V очень важна. Для нахождения ответа задачи необходимо

определить промежутки, когда переменная V будет положительна, либо

отрицательна, либо стремиться нулю.

Исходя из этого краевые параметры, можно описать как:

X' (х) = х + х;

X' (0) = = 0 ^ Б2 = 0 ,т.к. V ^0; X' (Ь1) = —D14Vsvn4Vb1 = 0.

D1 ф 0, т.к. существенными представляются оригинальные ответы, v ^ 0, поэтому:

sin Vv b1 = 0 ;

Vv b1 = un, n E Z;

un _ v = (—-)2, nEZ. bi

Вышеописанное даёт понять, когда можно наблюдать оригинальный

параметр, когдазначенияуп = v = (q—)2. Поэтому:

Хп(х) = cos — х.

b-i

Таким же образом находит ответ уравнения:

пт

Ут(у) = cos-—y; п т

ут =

Личные данные Лпт = + (i^y2, пропорциональные личному

п т^

уравнению:

пп

пт

Уп.т = Ап.т COS — у COS — у,

где Ап т - возможный неизменяемый коэффициент. Запишем его с условием, что бы оп т была целократная единице:

bi г

bi г

"2 I

^п,т dx dy An;

т

b

2

пп f -—xdx I

bt J

0

пп i пт cos2 -—xdx I cos2 —— у dy = 1.

b

2

Интегралы вычислены отдельно:

0

ГЬ1 ГЪ1

пп ■ 1 + ^-—х I 1 1 I 1 2пп 1

COS2 -Х(1Х= I -— (IX = I + I COS -х(х = -х\

Ь1 2 I 2 I Ь1 2 0

'о 0

Ь1 Ь1

ып гЬл гьл Ь1

+ = - Ъл + sm 2пп —— sin0 = - Ъл ;

sin-—х \ 2 1 2пп 2пп 2 1

¿0 Ь1 о

I

2

9 пт , 1 ,

cos2 — у (у = -Ъ2\

®2 2

А\т 2Ъ1 2Ъ2 = 1; А\т = и и ^ Ап,т =

1 и2 -V и1и2

пп пт

-cos — у cos — у.

Ь1Ь2 Ь1 У Ь2 У

Количество целочисленных решений п и т уравнения:

пп „ пт

1п,т '

Ап,т = (^У + {-^У

зависит от числа собственных функций, принадлежащих Апт.

Значениям лпт принадлежат решению уравнения Т" + а2АТ = 0:

Тп,т(О Вп,т cos^ Ап,та ^ + Вп,т Ап,та

где Впт и впт - произвольные константы.

Исходя из дополнительных условий, начальное решение задачи = а2(ихх + иуу) будет найдено с помощью частный решений, которые, в свою очередь, имеют представляет:

п, т п, т

(х, у) (Вп

, т п,та ^ + Вп,т

Вычисляем общее решение: и(х,у ,£) =

г

т=1

*п= 1

1т=1

{Вп,т Ап,та ^ + Вп,т Ап,та , у),

где оп т (х, у) определяется решением, а коэффициенты Вп т и Вп т равны:

В-п,т

ь ГЬг Ь

I Ф(х,у) Уп>т(х , у)(1х (у = I I ф(х,у)^^х^^ту(1х(1у,

'О

• Ь

1 гЬ2 ОО

Данное уравнение хорошо описывает колебаний значительно разомкнутой оболочки, малой кривизны, но точность колебаний слаборазомкнутой оболочки, малой кривизны ставится под сомнение.

Так же проведем анализ колебаний разомкнутой оболочки, малой кривизны. Примем обозначения: толщину оболочки примем 2^ коэффициент Пуассона V, модуль упругости Е.

Изогнутая оболочки, с точки зрения прямоугольных координат находится в части: х £ [0; а], у £ [0; Ь], г £ [-к; К]. Для рассматриваемой оболочки описание инсуррекций передовых граней будут записаны: г = ±к + \\(х, у, Ь), краевые области на передовых гранях представим в виде:

п дwдw

В данном уравнении присутствуют те параметры, определяющие стандартным движением w и проистекающими от него членами. Центральные усилия в разомкнутой оболочке можно представить как:

Е ди дУ 1/д\к\2 у/д\к\2 (д2\м д2\

_ Е дУ ди 1/д\к\2 у/д\к\2 (д2\V д2ы

°22=Т-у2]гдУ + У~дХ+2\дУ) +2\дХ) - г\ду2+У~дх2

ди дУ дш дш д2ш г °12 = + + * + 22-—— + д у д х д х д у д х д у

2в ( з)\ду + дх

д у

Далее, вспомнив курс нахождения производных находим а11 о22, о12, при 2 = ±Ь + ш(х,у,€),. С помощью значений напряжений определяем, о13 °23, °33, когда 2 = ±Ь + ш(х, у, ¿).

Механизм колебаний разомкнутой оболочки с помощью детально проработанной методики С. А. Амбарцумяна запишем в виде:

°13 = ±

Е

1 — у2\ дх2

д2ш д2шл + ) ±

ЕЬ3

д у

2

3 С(1 — У2)\дх У ду)

дш д х

±

д2ш Ь3 (д(р дф\ 2Ь в-± — (--+ у —)

д х д у 3 д у д х

дш ду ;

°23 = ±

д2ш Ь3 (д(р дф\ 2Ь в -т-т— ± — (-—+ —)

д х д у 3 д у д х

±

ЕЬ

1 — у2\ду

д2ш

+ у■

2

дш

д х ±

ЕЬ3 /дф д(р\ 3с(1 — у2) \ду + У~дх)

дш ду ;

д х2

&зз = 0.

Вспомнив курс интегрального исчисления подставляет в начальное уравнение параметры вторичного, находим:

ди _

д х д х2

д2ш 5Ь2 д( р(1 — у2)д2ш2 к4(1 — у2)

ш—--

12в дх

2 Е

д 2

+

18 вЕ

(2

На основе краевых условий, находим:

1 дш 9 к4(1 — у2) 9

С = [—(—)2 + —-~(2]х=0.

1 2 дх 18вЕ г *х=0

Соответственно систему уравнений запишем в виде:

дх(™ ) 3 дх3 15С дх2 3в дх дх 6в ( = 3Е д12\дх)

др _ 3р д2^ '

дх К2 дЬ2

Далее получаем решение:

ш(х^) = f(t)sinАх, (р(х^) = g(t)cosАх,А С помощью метода Бубнова-Галеркина:

п а

/>2 _ <о -

d2f

-ф + <2F(f) + f2f-f + r2f •f2-0;

3

F(f)-f + a-f3;a---h-2; 10n3h2GE

2a2n2h2p(6E + 5G(1 - v2)) + 15a4pE(1 - v) '

40nhE

P2 —-■

2n2h2(6E + 5G(1 - v2)) + 15a2E(1 - v) '

2 __15a2p(1-v2)_

Г = 2n2h2(6E + 5G(1 - v2)) + 15a2E(1 - v) '

Далее решение можно найти двумя способами

а) Отлично подойдет теория гармонического равновесия. Ответ решения можно отобразить как

f(t) — Atcoswt + A2sinwt. На основании этого можно найти взаимосвязь < и <<0:

/ \2 — < —

2± ¡4-3ц2(А1+А1)(4+3а(А1+А1))ы2

3т12(А21+А22)

б) Так же решение можно найти с помощью теории усреднения. Тогда решение примет вид/( £) = A(t)cos(ш2t + у(£)) и затем мы получим систему уравнений:

f — A0cos ( <0t +

1-r2A2<MQ a2arcsinn/a + nVa2 - n2

±

2r2A0<0 4nr2A0<0

t + Уо),

2 1 + 2Аое + А20(^4 - 4Г]2Ы2) + 47]2А40^20(Г]2Ш20 -а-]2)

а=-

АоР + А2({;4 - 4]2ы2) + 8]2А40ы2(]2ы2 -а-]2) '

Данное уравнение показывает наличие зависимости колебаний пластины, выраженном в прогибе на единицу времени, от граничных условий. Граничные условия отражают характеристики условия задачи, которые включают присоединенную массу.

Рассмотрим вынужденные колебания пологой разомкнутой тонкой, прямоугольной в плане цилиндрической оболочки (разомкнутой оболочки,

малой кривизны), с точки зрения колебаний разомкнутой цилиндрической

оболочки. Для описания вынужденных колебаний воспользуемся

уравнениями Доннела - Муштари - Власова:

д2ш дш Б^^ш + т—т + р — д12 д1

1д2Ф д2Фд2ш д2Ф д2ш д2Фд2ш

=---1----2---1---

г дх2 ду2 дх2 дхдудхду дх2 ду2

+ РсоБ(Ш)8(х0,у0),

1 „ 1д2ш /д2ш\2 д2ш д2ш

-У4Ф =---+(-)--,

Е г дх2 \дху I дх2ду2

где Б =

ЕК3

- цилиндрическая жесткость; 5(х0,уо) -функция Дирака

12(1-V2)

(дельта); в - коэффициент линейного демпфирования; И - толщина оболочки; г - радиус кривизны оболочки в направлении оси у; V -коэффициент Пуассона; Е- модуль упругости, ш - нормальное смещение срединной поверхности оболочки; (х0,у0) - точка расположения приложенной нагрузки (малой присоединенной массы); т - масса единицы площади оболочки.

В соответствии с краевыми параметрами у = 0 и у = а1 закрепление с помощью шарниров на торцах, а для граней х = 0 и х = а2 не закреплены. Исходя из этого граничные параметры можно записать:

N

х = 0

=М,

х = а2

=N.

ху

у = 0

= ш

у = а1

= 0; Му

х = 0

у = 0

= N.

х у

х = а2

= 0;

= М

у

у = а1

=0;

М

х = 0

= М

х = а2

=0,

д М

+ дуУ)^х=° 1^х+ ду ) 'х и2

д М