Влияние малой присоединенной массы на собственные частоты и формы колебаний тонких круговых цилиндрических оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Серёгин, Сергей Валерьевич

• Серёгин, Сергей Валерьевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Серёгин, Сергей Валерьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ И НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, НЕСУЩИХ

ПРИСОЕДИНЕННУЮ МАССУ

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

2.1. Уравнения теории пологих оболочек

2.1.1. Гипотеза Кирхгофа - Лява

2.1.2. Перемещения и деформации

2.1.3. Напряженное состояние. Связь между усилиями и

деформациями

2.1.4. Уравнения движения оболочек

2.2. Граничные и начальные условия

2.3. Динамическая конечномерная модель решения

ГЛАВА 3. ВЛИЯНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ АСИММЕТРИИ НА КОЛЕБАНИЯ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (КОЛЬЦА ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ)

3.1. КОЛЕБАНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО КОЛЬЦА, НЕСУЩЕГО

МАЛУЮ ПРИСОЕДИНЕННУЮ МАССУ

3.1.1. Математическая модель исследования

3.1.2. Традиционное решение

3.1.3. Новое решение. Колебания без растяжения

3.1.4. Новое решение. Колебания с растяжением

3.1.5. Численное исследование методом конечных элементов

3.1.6. Выводы

3.2. ВЛИЯНИЕ МАЛОЙ ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССЫ И НАЧАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ ИДЕАЛЬНОЙ КРУГОВОЙ

ФОРМЫ НА КОЛЕБАНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО КОЛЬЦА

3.2.1. Математическая модель исследования

3.2.2 Традиционное решение

3.2.3. Новое решение. Собственные частоты и формы

3.2.4. Численное исследование методом конечных элементов

3.2.5. Выводы

ГЛАВА 4. СВОБОДНЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ, НЕСУЩЕЙ МАЛУЮ СОСРЕДОТОЧЕННУЮ МАССУ

4.1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

4.1.1. Математическая модель исследования

4.1.2. Традиционное решение

4.1.3. Новое решение. Собственные частоты и формы

4.2. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ МАЛОЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССЫ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБОЛОЧКИ

4.2.1. Моделирование оболочки конечными элементами

4.2.2. Колебания оболочки без присоединенной массы. Оценка погрешности теории пологих оболочек

4.2.3. Колебания оболочки, несущей сосредоточенную массу

4.3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПЛОЩАДИ КОНТАКТА ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССЫ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБОЛОЧКИ

4.3.1. Собственные частоты

4.3.2. Формы колебаний

4.4. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТА ВЛИЯНИЯ ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССЫ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧКИ

5.1. Описание образцов. Методика проведения эксперимента.

Полученные результаты

5.2. Анализ известных опытных данных

5.3. Выводы

ГЛАВА 6. СВОБОДНЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ, НЕСУЩЕЙ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННУЮ ВДОЛЬ ОБРАЗУЮЩЕЙ МАЛУЮ ПРИСОЕДИНЕННУЮ МАССУ

6.1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

6.1.1. Математическая модель исследования

6.1.2. Традиционное решение

6.1.3. Новое решение. Собственные частоты и формы

6.2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

6.2.1. Собственные частоты и формы колебаний

6.3 ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПЛОЩАДИ

КОНТАКТА ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССЫ НА СОБСТВЕННЫЕ

ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОЙ ОБОЛОЧКИ

6.4. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 7. СВОБОДНЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ, НЕСУЩЕЙ РАСПРЕДЕЛЕННУЮ ПО ОКРУЖНОСТИ МАЛУЮ ПРИСОЕДИНЕННУЮ МАССУ

7.1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

7.1.1 Математическая модель исследования

7.1.2. Традиционное решение

7.1.3. Новое решение

7.2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

7.2.1. Собственные частоты

7.3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПЛОЩАДИ КОНТАКТА ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССЫ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОЙ ОБОЛОЧКИ

7.3.1. Собственные частоты

7.3 ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Свидетельство о регистрации программы на ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Свидетельство о регистрации программы на ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Свидетельство о регистрации программы на ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Акт об использовании результатов

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Акт о внедрении результатов

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ах, а2, аъ - безразмерные амплитуды колебаний; а10, а2о, - безразмерные амплитуды начальных неправильностей; £> = Ек3 /12(1 -//2) - цилиндрическая жесткость оболочки; Е,С- модуль Юнга и модуль сдвига;

Ф{х,у^) - функции динамических напряжений в срединной поверхности оболочки;

/1(0 = ^1(0» /2(0 = ^2(0? /з(0 = ^з(0 ~ обобщенные координаты; /10 = /г«ю, /20 ~ ~~ амплитуды начальных неправильностей; А - толщина стенки оболочки; I - длина оболочки;

т, п- число полуволн в продольном и волн в окружном направлениях; М - присоединенная к кольцу погонная масса или присоединенная к оболочке масса;

М0 - масса кольца при плоской деформации или масса оболочки; Л/,, М2, Н - погонные изгибающие и крутящий моменты;

Ы2, Т - погонные тангенциальные усилия; Я - радиус оболочки; t - время;

и, V, м> - перемещения точки срединной поверхности оболочки в продольном, окружном и радиальном направлениях;

\у0(у) - начальные отклонения от идеальной круговой формы; х, у, ъ - координаты срединной поверхности оболочки; а - тл/1, /3 = п/Я - параметры волнообразования;

8 = пА(к1Я)2 - параметр волнообразования, характеризующий относительную толщину кольца или оболочки;

£\> £2> У ~ компоненты деформации в срединной поверхности; 0 = тлг11/(п1) - параметр волнообразования, характеризующий относительную длину оболочки;

Лп - собственная частота колебаний кольца или оболочки;

Лп — собственная частота колебаний оболочки или кольца с динамической

асимметрией;

¡л - коэффициент Пуассона; р - массовая плотность;

сг,, <уг, г - нормальные и касательное напряжения;

т - безразмерное время; <р0 - начальная фаза;

= соп, / со„ = Лш / Лп — безразмерная (относительная) частота; соп - безразмерная собственная частота оболочки или кольца; соп- безразмерная собственная частота оболочки или кольца с динамической асимметрией;

-^сопр^иб х 100 % - относительная площадь контакта присоединенной

массы;

Бсопр - площадь сплошного соприкосновения присоединенной массы; ^ - площадь оболочки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние малой присоединенной массы на собственные частоты и формы колебаний тонких круговых цилиндрических оболочек»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Тонкостенные элементы конструкций в форме замкнутых круговых цилиндрических оболочек являются объектом многочисленных исследований. Интерес к проблемам деформирования, прочности, колебаний, статической и динамической устойчивости цилиндрических оболочек обусловлен их использованием в качестве основных несущих элементов конструкций, применяемых в авиационной, ракетной, космической технике, в подводных аппаратах, конструкциях тоннелей и резервуаров, а также в корпусах современных энергетических установок.

Такие оболочечные конструкции характеризуются включениями типа малых присоединенных масс, обусловленных конструктивной, эксплуатационной или иной необходимостью. Роль присоединенной массы в расчетной схеме системы «оболочка-масса» выполняют двигатели, системная аппаратура, транспортируемый груз, топливные баки, а также различное подвесное оборудование и архитектурные включения.

В условиях эксплуатации оболочки подвергаются интенсивным динамическим воздействиям, вследствие которых могут возникнуть нестационарные процессы и специфические явления, нежелательные с точки зрения динамической прочности и надежности конструкций.

Во многих случаях решение проблемы динамической прочности связано с изучением взаимодействия различных форм упругих колебаний оболочки. Взаимосвязанными могут быть крутильные и продольные, изгибные и радиальные, изгибные и продольные колебания и т. д. Вследствие того, что низшие частоты свободных изгибных колебаний оболочки, как правило, намного меньше низших частот продольных, крутильных и радиальных колебаний, на практике, чаще всего, наблюдается взаимодействие изгибных форм колебаний (сопряженных и несопряженных).

Известно, что присоединенная масса приводит к возбуждению и

взаимодействию сопряженных изгибных форм оболочки и является тем фактором динамической асимметрии, который приводит к удвоению изгибного частотного спектра. Это означает, что при внешнем периодическом воздействии на оболочку, несущую присоединенную массу, значительно увеличивается вероятность возникновения резонансных режимов колебаний.

В научной литературе имеются научные публикации по колебаниям круговых цилиндрических оболочек, несущих присоединенную массу. В ранних работах, в которых не принималось во внимание взаимодействие сопряженных изгибных форм было установлено, что присоединенная масса уменьшает собственные частоты, при этом, их значения зависят от выбора места крепления массы по круговой координате [23]. Однако, в последующих исследованиях, когда во внимание было принято взаимодействие сопряженных изгибных форм, выяснено, что изгибный частотный спектр удваивается, при этом частоты не зависят от окружной координаты места крепления присоединенной массы к оболочке, что не противоречит физическим представлениям о динамическом поведении системы «оболочка-масса» [26].

Экспериментальные исследования малых изгибных колебаний оболочек, несущих присоединенную массу, свидетельствуют о ряде особенностей их движения, не соответствующих результатам известных теоретических исследований.

• Так, согласно традиционному решению, считается, что меньшая из расщепленных безразмерных собственных частот низшего тона колебаний оболочки, несущей присоединенную массу, зависит только от величины присоединенной массы. Однако, сопоставительный анализ известных опытных данных показал, что эффект снижения частоты зависит не только от величины присоединенной массы, но и от геометрических и волновых параметров оболочки, что находится в соответствии со здравым смыслом.

• Экспериментальные данные свидетельствуют о более сильном снижении основной частоты системы «оболочка-масса», чем это предсказывает

традиционная теория. Существенней оказывается и расщепление изгибного частотного спектра.

Данные обстоятельства требуют установить причины, приводящие к упомянутым противоречиям в задачах механики тонких оболочек; необходимо уточнить подход к построению математической модели; получить новое решение задачи изгибных колебаний оболочки, несущей малую присоединенную массу; провести численный анализ, а также специальный эксперимент, позволяющий установить эффект влияния присоединенной массы на динамические характеристики тонкой оболочки как от величины присоединенной массы, так и от геометрических параметров оболочки.

Целью диссертации является аналитическое, численное и экспериментальное исследование рассматриваемой задачи механики оболочек, а именно, исследование недостаточно изученного эффекта влияния малой присоединенной массы на свободные колебания тонких круговых цилиндрических оболочек; развитие положений этого раздела механики деформируемого твердого тела; уточнение уже известных решений и получение новых научных результатов на основе предложенной автором математической модели, а также разработка практических рекомендаций по их использованию.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- уточнить математическую модель, в частности, разработать новый подход к построению динамической конечномерной модели (формы решения) задач колебаний оболочек, несущих малую присоединенную массу;

- на примере более простой (предельной) задачи исследовать влияние малой присоединенной массы на динамические характеристики бесконечно длинной оболочки (кольца, находящегося в условиях плоской деформации), а именно: а) уточнить математическую модель исследования; б) аналитически и численно определить неточности, имеющие место в традиционном решении; в)

аналитически и численно исследовать влияние малой присоединенной массы на динамические характеристики реального (имеющего неизбежные начальные отклонения от идеальной круговой формы) кольца; г) получить новые решения задач динамики изолированного идеального и реального колец, несущих малую присоединенную массу;

- аналитически и численно исследовать влияние малой сосредоточенной, равномерно распределенной вдоль образующей, а также равномерно распределенной по окружности малой присоединенной массы на динамические характеристики оболочки конечной длины;

- исследовать влияние площади контакта присоединенной массы на собственные частоты колебаний оболочек;

- провести специальный модельный эксперимент, позволяющий установить эффект влияния присоединенной массы на собственные частоты колебаний оболочек;

- разработать программы на ЭВМ, позволяющие реализовать предложенную математическую модель, в том числе определять собственные динамические характеристики оболочек с малой присоединенной массой. По результатам диссертационной работы дать практические рекомендации по их использованию.

Методы исследования. Теоретические исследования выполнены в рамках теории пологих оболочек в которой для перехода от трехмерных соотношений теории упругости к двумерным уравнениям теории тонких оболочек используется упрощающая гипотеза Кирхгофа - Лява. Численные исследования реализованы методом конечных элементов в лицензионном программном комплексе М8С ШБ^ап. Экспериментальное исследование выполнено с использованием сертифицированных и апробированных устройств: спектрометра «ИЕХ Св И^аки», акселерометра ВС 110, анализатора спектра и лицензионной программы «г-ЬАВ».

Научная новизна. В задачах механики оболочек, несущих малую

присоединенную массу, важным является разработка математической модели, одной из важнейших сторон которой является построение динамической конечномерной модели (формы решения), позволяющей свести задачу колебаний континуальной оболочки к системе модальных уравнений, описывающих движение ее дискретной модели. Традиционный подход к ее построению предполагает, что присоединенная масса приводит к взаимодействию малых сопряженных изгибных форм оболочки, что эквивалентно учету в выражении для ее прогиба двух сопряженных изгибных форм, узлы которых смещены относительно друг друга на угол к !2п.

В работе предложен иной подход к построению динамической конечномерной модели, согласно которому считается, что возбуждение изгибных колебаний оболочки по одной из собственных форм приводит не только к возникновению сопряженной изгибной формы, но и к возникновению радиальных колебаний. Механизмом, «запускающим» инерционное взаимодействие изгибных колебаний с радиальными, является динамическая асимметрия оболочки в виде малой присоединенной массы. Согласно нового подхода:

- уточнена математическая модель исследования, в частности, предложено новое аппроксимирующее выражение для динамического прогиба (конечномерная модель оболочки, несущей присоединенную массу), получены новые динамические (модальные) уравнения и новые решения задач влияния малой присоединенной массы на свободные колебания тонких оболочек;

- установлены новые особенности взаимодействия низкочастотных изгибных колебаний оболочки, несущей присоединенную массу, с высокочастотными радиальными колебаниями;

- теоретически, численно и экспериментально установлена зависимость основной частоты системы «оболочка-масса» как от величины присоединенной массы, так и от геометрических и волновых параметров оболочки;

- на примере кольца традиционный теоретический вывод о возможности

устранения расщепления изгибного частотного спектра путем соответствующего подбора величины и места крепления присоединенной массы к реальной (имеющей начальные отклонения от идеальной круговой формы) оболочке, поставлен под сомнение;

— обнаружена новая зона возможного расщепления изгибного частотного спектра бесконечно длинной реальной оболочки, а также определены условия при которых частотный спектр оболочки еще более сгущается по сравнению с результатами известных теоретических исследований.

На защиту выносится:

- новый подход к решению задач механики оболочек в области построения динамической конечномерной модели оболочки, несущей малую присоединенную массу;

— уточненная математическая модель, включающая в себя, в частности, новую динамическую конечномерную модель и новые динамические (модальные) уравнения;

- новые теоретические и численные результаты решения многочисленных задач влияния малой присоединенной массы на собственные динамические характеристики оболочки, а также качественные и количественные уточнения, внесенные в уже известные решения;

— экспериментальные результаты влияния присоединенной массы на динамическое поведение тонких оболочек.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертации новые теоретические, численные и экспериментальные данные свидетельствуют о более сильном снижении меньшей из расщепленных собственных частот, а также более значительном расщеплении изгибного частотного спектра оболочки, несущей малую присоединенную массу.

- Обнаружена дополнительная зона расщепления изгибного частотного спектра, обусловленная наличием неизбежных начальных отклонений от идеальной круговой формы бесконечно длинной оболочки, которая не

отражается в теоретических исследованиях, а также изучены условия его возникновения.

- Установлено, что при некоторых геометрических параметрах оболочки конечной длины, несущей присоединенную массу, частоты и амплитуды радиальных колебаний могут быть соизмеримыми с изгибными. Следовательно, при действии периодических нагрузок, неизбежно возникающих в условиях эксплуатации оболочечных конструкций, нерезонансные зоны, определенные согласно традиционному подходу, могут оказаться резонансными.

- Даны практические рекомендации по выбору места крепления присоединенной массы для возможности управления (уменьшения или увеличения) расщеплением изгибного частотного спектра реальной оболочки, нежелательной с точки зрения динамической прочности и надежности конструкций.

- Дана оценка погрешности пренебрежением в расчетных схемах влиянием площади контакта присоединенной массы при изучении динамического поведения тонких оболочек.

Результаты исследований, а также разработанные и зарегистрированные в Роспатенте программы на ЭВМ, представляют интерес и могут быть использованы в организациях, занимающихся проектированием, оптимизацией и расчетом оболочечных конструкций на прочность, применяемых в космической технике, ракетостроении, авиастроении, судостроении и в других отраслях промышленности.

Результаты исследования внедрены в ОАО «Амурский судостроительный завод» и используются в учебном процессе Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета при чтении лекций: аналитическая динамика и теория колебаний, расчет тонкостенных стержней для студентов самолетостроительного факультета, а также теоретическая механика, строительная механика для студентов строительного факультета.

Обоснованность и достоверность. Результаты выполненных исследований основываются на строго доказанных, корректно используемых и проверенных практикой уравнений и методов механики деформируемого твердого тела.

Проверка адекватности, предложенной динамической конечномерной модели оболочки, несущей малую присоединенную массу, осуществляется контролем предельных переходов, соответствием здравому смыслу и др.

Теоретические результаты работы сопоставляются с численными расчетами, полученными методом конечных элементов с помощью лицензионного программного комплекса MSC Nastran.

Достоверность теоретических выводов качественно подтверждается результатами специально проведенного автором эксперимента, в котором используется сертифицированные и апробированные устройства.

Известные опытные данные и результаты специально проведенного эксперимента сопоставляются с результатами численного анализа из MSC Nastran.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на 7 международных и всероссийских конференциях: ВЕМ & FEM: XXV Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт-Петербург, 23-26 сентября 2013); XII Международная научно-практическая конференция «Теория и практика современной науки» (г. Москва 29-30 декабря 2013 г.); X Всероссийская конференция молодых ученых посвященная 100-летию со дня рождения академика В.В. Струминского «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (г. Новосибирск, 23-25 апреля, 2014 г.); VIII Российская научно-техническая конференция «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 26-30 мая 2014 г.); Международная конференция, приуроченной 75-летию академика В.А.

Левина «Успехи механики сплошных сред» (г. Владивосток, 28 сентября - 4 октября, 2014 г.); VII Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 15-20 сентября 2014 г.); Международной конференции «Деформирование и разрушение композиционных материалов и конструкций» (DFCMS) ФГБУН Институте машиноведения им. A.A. Благонравова РАН (г. Москва, 10-13 ноября 2014 г.).

Работа докладывалась обсуждалась и получила одобрение в институте машиноведения и металлургии ДВО РАН (г. Комсомольск-на-Амуре).

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 23 научных работах, в том числе в 7 статьях в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций на соискание ученной степени кандидата и доктора наук, 3 свидетельствах о государственной регистрации программ на ЭВМ.

Личный вклад. Все теоретические положения, численные расчеты и экспериментальные исследования в диссертации получены соискателем самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, основных выводов, списка литературы. Изложена на 120 страницах, включая 45 рисунков и 8 таблиц и 3 приложения. Список литературы состоит из 75 наименований. К диссертации на 2 страницах прилагаются два акта внедрения.

Краткое содержание работы. В первой главе сделан обзор и анализ состояния динамики круговых цилиндрических оболочек, несущих присоединенную массу; намечены основные проблемы, сформулированы цель и задачи диссертации.

Вторая глава посвящена математической модели исследования динамики тонких оболочек. Приводятся основные уравнения, зависимости и пределы применимости теории пологих оболочек. Особое внимание уделено новому

подходу к построению динамической конечномерной модели оболочки, несущей малую присоединенную массу.

В третьей главе на примере более простой (предельной) задачи колебаний бесконечно длинной оболочки (кольца, находящегося в условиях плоской деформации) изучается влияние малой присоединенной массы на собственные частоты и формы колебаний. Исследован эффект совместного влияния малой присоединенной массы и начальных отклонений от идеальной круговой формы на динамические характеристики изолированного кольца. Продемонстрированы неточности, имеющие место в традиционных исследованиях по обсуждаемой проблеме. Результаты, полученные в этой главе обобщаются в последующих главах для случая колебаний оболочки конечной длины.

В четвертой главе аналитически и численно изучается влияние малой присоединенной массы на собственные частоты и формы колебаний оболочки. Исследованы случаи, когда присоединенную к оболочке массу можно считать сосредоточенной, а когда учет площади контакта присоединенной массы вносит существенные изменения в частотный спектр оболочки.

Пятая глава посвящена экспериментальному исследованию эффекта влияния присоединенной массы на собственные частоты колебаний оболочек.

В шестой главе представлено аналитическое и численное решение задачи влияния малой присоединенной массы, равномерно распределенной вдоль образующей на свободные изгибные колебания оболочки. Исследовано влияние площади контакта присоединенной к оболочке массы.

В седьмой главе теоретически и численно изучено влияние равномерно распределенной по окружности малой присоединенной массы на колебания оболочки. Исследовано влияние площади контакта присоединенной к оболочке массы.

В заключительной части, в результате анализа теоретических, численных и экспериментальных данных сформулированы теоретические

положения и практические выводы, вытекающие из полученных в настоящей работе научных результатов. А также рекомендации по их использованию.

По всем описанным алгоритмам разработаны и запатентованы в Роспатенте пакеты программ для ЭВМ.

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет».

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ И НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, НЕСУЩИХ ПРИСОЕДИНЕННУЮ МАССУ

Интенсивное развитие техники повлекло за собой широкое использование асимметричных в инерционном плане систем, какими являются тонкостенные оболочки, несущие присоединенную массу в различных областях и потребовало не только уточнения традиционных методов расчета, но и поставило ряд новых задач, выявило необходимость учета многих факторов, влияющих на динамическое поведение оболочек.

Существенный вклад в разработку теории тонких оболочек внесли: В. 3. Власов, А. С. Вольмир, А. Л. Гольденвейзер, Э. И. Григолюк, П. С. Ковальчук, В. Д. Кубенко, X. М. Муштари, В. В. Новожилов, С. П. Тимошенко, а также зарубежные ученные: М. Amabili, L. Н. Donnell, D. А. Evensen, К. Marguerre и многие другие.

По-видимому, первыми в цикле исследований по динамике оболочек с включениями типа присоединенных масс были работы Ю. Б Борисова [7], В. М. Даревского и И. Л. Шаринова [13]. Они рассмотрели задачу колебаний круговой цилиндрической оболочки, несущей сосредоточенную массу при шарнирном закреплении торцов, используя уравнения технической теории оболочек, в которых учтены радиальные силы инерции. Авторами выбрана одночленная аппроксимирующая функция прогиба. Компоненты напряженно -деформированного состояния (НДС) представлены в виде двойных тригонометрических рядов. Частотное уравнение решено графически. В случае присоединения относительно малой массы получена формула для оценки основной частоты системы «оболочка-масса». Определена зона концентрации напряжений в зоне присоединения массы.

Спустя некоторое время, авторам [12, 32 - 35, 37 - 38 и др.] удалось исследовать динамические характеристики оболочек с различной инерционной

неоднородностью. Используемый в работах А. А. Малинина и А. И. Лиходеда принцип Гамильтона - Остроградского позволил учесть влияние различных типов закреплений на низшие частоты, влияние внешних статических нагрузок, начальных несовершенств в виде наличия отверстий и переменной толщины с различными законами задания образующих, а используемая в работах функция Лагранжа позволила учесть сосредоточенные и распределенные включения типа присоединенных масс, упругих связей, осцилляторов и ребер подкрепления в оболочечных системах. Линейная система однородных алгебраических уравнений содержит радиальные и тангенциальные инерционные силы, при этом учтено значительное число членов ряда. Собственные значения и векторы полученной матрицы определены обобщенным методом вращения. Данный алгоритм позволяет учесть и ортотропию оболочек.

Параллельно, производились попытки решения этих же задач энергетическим методом, однако, реализация такого подхода при решении некоторых задач приводила к ряду неразрешимых проблем. Пределы применимости энергетического подхода для решения подобных задач изучены в работах [61, 63].

Интересна работа [42] в которой изучен спектр частот и форм колебаний цилиндрической оболочки, подкрепленной системой стрингеров и несущей сосредоточенно присоединенную массу с учетом внутреннего статического давления. Частоты и формы колебаний шарнирно опертой ортотропной оболочки найдены методом Ритца. Сначала, изучалось влияние стрингеров, затем, присоединенной массы на собственные частоты и формы колебаний. Теоретические результаты были сопоставлены с опытными данными в результате которых определено, что рассогласование расчетных и экспериментальных данных увеличивается с ростом величины присоединенной массы. Для форм колебаний требуется большее число аппроксимирующих функций. Также авторы работы [42] подчеркивают, что наблюдается

существенное расхождение значений основной частоты, найденной теоретическим и экспериментальным путем, в случае присоединения дополнительной сосредоточенной массы к оболочке, подкрепленной шпангоутами. В случае колебаний оболочек, подкрепленных стрингерами и несущих сосредоточенную массу согласование теоретических и экспериментальных данных выше.

Широкий спектр задач о колебаниях изотропных и ортотропных оболочек, несущих сосредоточенные массы при различных вариантах закрепления торцов рассмотрен в работах [57 - 61 и др.]. В работе [60] учтена инерция вращения присоединенной массы.

В работах В. О. Кононенко, И. Я. Амиро, В. Г. Паламарчука, А. М. Носаченко [1, 24, 42 - 44] предложен метод для определения собственных динамических характеристик подкрепленных оболочек, несущих сосредоточенные массы. Выражения кинетической и потенциальной энергии учитывают дискретность стрингеров. Нормальный прогиб оболочки представлен в виде двойного тригонометрического ряда. Сделано предположение, что гармоники не влияют друг на друга и, следовательно, инерционные и жесткостные характеристики ребер необходимо учитывать только в рамках теории ортотропных оболочек, а величины радиального прогиба совпадают в случаях крепления массы на обшивке и на подкрепляющих ребрах.

В статье [24] авторы, аппроксимировав прогиб функцией по окружной координате, получили характеристическое уравнение частоты которого зависят от места крепления массы. В случае присоединения к несущей поверхности только одной сосредоточенной массы точность определения основной частоты не превышает 10 %, по сравнению с экспериментальными данными, где сосредоточенная малая масса (1 - 20 % от массы ребристого кольца) крепится на стрингере в среднем сечении оболочки. Расхождения растут с увеличением присоединенной массы.

Учету особенностей присоединенного тела к оболочке и инерции его угловых движений посвящена работа [1]. Изучено влияние момента инерции присоединенного тела и площади его контакта с оболочечной поверхностью на основную частоту. Определены диапазоны размеров площади, при которой контакт можно считать сосредоточенным. Данный подход получил свое развитие в [34], где рассмотрено влияние расстояния между точками крепления масс одного твердого тела на основную частоту. Автор сделал вывод, что с увеличением расстояния между точками крепления тела к оболочке влияние массы на низшую частоту колебания оболочки уменьшается.

В статье В. А. Заруцкого [18] предложен алгоритм расчета свободных колебаний круговой цилиндрической оболочки, несущей локально присоединенную массу. Учтена дискретность расположения стрингеров. Для случая шарнирного закрепления торцов показано, что при учете тангенциальных сил инерции присоединенной массы предположение о точечном контакте приводит к расходимости решения. Сделан вывод о том, что взаимодействие оболочки с массой происходит по малой конечной площадке.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Серёгин, Сергей Валерьевич, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амиро, И. Я. Свободные колебания ребристой цилиндрической оболочки с жестко присоединенным абсолютно твердым телом / И. Я. Амиро, В. Г. Паламарчук, А. М. Носаченко // Проблемы прочности. - 1978. - №2. - С. 56-60.

2. Антуфьев, Б. А. Колебания пологой оболочки с присоединенной массой, распределенной по участку ее поверхности / Б. А. Антуфьев // Изв. Вузов. Авиационная техника. - 1982. - № 4. - С. 16 - 20.

3. Антуфьев, Б. А. Динамическое поведение тонкой пологой оболочки с системой присоединенных масс / Б. А Антуфьев // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. - 2001. - № 3. - С. 45 - 47.

4. Антуфьев, Б. А. Динамика цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными к ней пластинами / Б. А Антуфьев // Вестник Московского авиационного института. - 2009.- Т. - 16. - № 3. - С - 21.

5. Андреев, Л. В. Динамика тонкостенных конструкций с

присоединенными массами / Л. В. Андреев, А. И. Станкевич, А. Л. Дышко, И. Д. Павленко. - Москва: Издательство МАИ, 2012. - 214 с.

6. Бощов, Г. В. Динамика и устойчивость корпусных конструкций: Справочник по строительной механике корабля: В 3 т. / Г.В. Бойцов, О.М. Палий, В.А. Постнов, B.C. Чувиковский. - Л.: Судостроение, 1982. - Т. 3. - 320 с.

7. Борисов, Ю. Б. Влияние сосредоточенной массы на собственные частоты и формы колебаний круговой цилиндрической оболочки / Ю. Б. Борисов - Докл. 2-ой научно-техн. конференции по строит, мех. корабля памяти акад. Ю. А. Шиманского. Л., 1965.

8. Бреславскгш, В. Е. Динамические перемещения цилиндрической оболочки с присоединенной массой / В. Е. Бреславский, И. Н. Гинзбург, Ю. В. Скоробогатько // Динамика и прочность машин. Харьков. - 1985. - №41. - С. 14 -19.

9. Варадан, Т. К. Нелинейные свободные изгибные колебания тонкостенных круговых цилиндрических оболочек / Т. К. Варадан, Дж. Пратхап, X. В. Рамани // Аэрокосмическая техника. - 1990. - № 5. - С. 21 - 24.

10. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике / В.З. Власов. - Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

И. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек / А. С. Вольмир. -М.: Наука, 1972. -431с.

12. Галченко, А. Л. Влияние сосредоточенной массы на частоты и формы свободных колебаний пологой оболочки двоякой кривизны / А. Л. Галченко. -Тр. ЛИСИ. Л. ЛИСИ, 1971. -№ 68. - С. 176 - 179.

13. Даревский, В. М. Свободные колебания цилиндрической оболочки с сосредоточенной массой / В. М. Даревский, И. Л. Шаринов // М.: Наука. - 1966. -С. 350-354.

14. Доннелл, Л. Г. Балки, пластины, оболочки / Л. Г. Доннелл. - М.: Наука, 1982. - 568 с.

15. Дышко, А. П. Динамика оболочек вращения с присоединенными массами / А. П. Дышко, И. Д. Павленко // Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: Изд-во ДГУ. - 1979. - С. 108 - 112.

16. Жигалко, Ю. П. К вопросу о колебаниях упругих систем с дискретными включениями / Ю. П. Жигалко // В сб.: Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 12. Казань. - 1976. - С. 221 - 230.

17. Жигалко, Ю. П. К вопросу о колебаниях тонких пластин и оболочек, несущих сосредоточенные массы / Ю. П. Жигалко, А. К. Шалабанов // Исследования по теориям пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ. - 1970. -№6-7.-С. 511 -530.

18. Заруцкий, В. А. Вынужденные колебания продольно подкрепленной оболочки, несущей локально присоединенную массу / В. А. Заруцкий // Прикладная механика. - 1982. - 18, №1. - С. 50 - 56.

19. Заруцкий, В. А. Колебания тонкостенных оболочек с конструктивными особенностями. Обзор экспериментальных исследований / В. А. Заруцкий, А. И. Телалов // Прикл. механика. - 1991. - Т. 278, № 4. - С. 3 - 9.

20. Каиров, А. С. Определение собственных частот и форм свободных колебаний конических и цилиндрических оболочек вращения, несущих систему жестко присоединенных сосредоточенных масс / А. С. Каиров // Судостроение, Киев —Одесса: 1984, вып. 33.-Ч. 1.-С. 42-48.

21. Клюев, Ю. П. Собственные колебания оболочек вращения с сосредоточенными массами / Ю. П. Клюев, Е. В. Павлов // Тезисы докладов XI Всес.11 конф. по теории оболочек и пластин. - М.: Наука. - 1977. - С. 30.

22. Кармиишн, А. В. Статистика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А. В. Кармишин, В. А. Лясковец, В. И. Мяченков, А. Н. Фролов. -М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

23. Козлов, С. В. К вопросу об определении собственных частот и форм малых колебаний ортотропной цилиндрической оболочки с присоединенными массами / С. В. Козлов // Прикладная механика. - 1981. - 17, № 2. - С. 46 - 52.

24. Кононенко, В. О. Свободные колебания ребристой цилиндрической оболочки с присоединенной массой / В. О. Кононенко, В. Г. Паламарчук, А. М. Носаченко // Прикладная механика. - 1977. - 13, № 1. - С. 40 - 46.

25. Крысько, В. А. Колебания пологих прямоугольных в плане оболочек с присоединенными массами / В. А. Крысько, Б. И. Червоткин. - Рукопись представлена Саратовским политехи, ин-том. Деп. в ВИНИТИ 28.07.77, № 3128-77.- 1977.- 12 с.

26. Кубенко, В. Д. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек / В. Д. Кубенко, П. С. Ковальчук, Т. С. Краснопольская - Киев: Наук, думка, 1984. - 220 с.

27. Кубенко, В. Д. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек / В. Д. Кубенко, П. С. Ковальчук, Н. П. Подчасов - Киев: Выща шк. 1989. - 208 с.

28. Лейзерович, Г. С. Неочевидные особенности динамики круговых цилиндрических оболочек / Г. С. Лейзерович, Н. А. Тарануха // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2008. - № 2. - С. 96 -105.

29. Лейзерович, Г. С. О математической модели нелинейных колебаний круговых цилиндрических оболочек с начальными неправильностями / Г. С. Лейзерович, Н. А. Тарануха // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.-2009.-№6-1.-С. 137-141.

30. Лейзерович, Г. С. О влиянии малой присоединенной массы на колебания разнотолщинного кругового кольца / Г. С. Лейзерович, Н. Б. Приходько, С. В. Серегин // Строительство и реконструкция. - 2013. - № 4. - С. 38-41.

31. Лейзерович, Г. С. О влиянии малой присоединенной массы на расщепление частотного спектра кругового кольца с начальными неправильностями / Г. С. Лейзерович, Н. Б. Приходько, С. В. Серёгин // Строительная механика и расчет сооружений. - 2013.-№6.-С. 49-51.

32. Лиходед, А. И. Колебания подкрепленных оболочек вращения с сосредоточенными массами и осциляторами / А. И. Лиходед, А. А. Малинин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1971. - № 1. - С. 42 - 47.

33. Лиходед, А. И. О приближенных зависимостях для частот колебаний цилиндрических оболочек гладких и с сосредоточенными включениями / А. И. Лиходед, А. А. Малинин // Прикладная механика. - 1973. - 9, № 2. - С. 25 - 31.

34. Лиходед, А. И. Об использовании механических аналогов при расчете колебаний оболочек, состыкованных со стержнем / А. И. Лиходед // Прикладная механика. -1978. -14, № 6. - С. 16-25.

35. Лиходед, А. И. Собственные колебания бочкообразных оболочек однородных с сосредоточенными массами / А. И. Лиходед, А. А. Малинин // Изв. АН СССР. МТТ.- 1972.-№3.-С. 167- 170.

36. Майборода, В. П. Собственные колебания упругих оболочек вращения с точечными связями и сосредоточенными массами /В. П. Майборода, В. И. Яганов. - М. - 1982. - 10 с. - Рукопись депонирована в ВИНИТИ 4.07.82. - № 2805 - 82 ДЕП.

37. Малинин, А. А. Собственные колебания оболочек вращения переменной толщины с присоединенными массами / А. А. Малинин // Прикладная механика. - 1973. - 9, № 3. - С. 56 - 61.

38. Малинин, А. А. Исследование динамических характеристик тонкостенных конструкций с присоединенными грузами / А. А. Малинин // Прикладная механика. - 1983. - 19, № 2. - С. 64 - 67.

39. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин.-М.: 1957.-440 с.

40. Myiumapu, X. М. Нелинейная теория упругих оболочек / X. М. Муштари, К. 3. Галимов - Казань: Таткнигиздат, 1957. - 431 с.

41. Новожилов В. В. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. - 656 с.

42. Оялво. Собственные колебания подкрепленного цилиндра под давлением с присоединенной массой / Оялво, Ньюмен // Ракетн. техн. и космонавтика. - 1967. - № 6. - С. 104 - 113.

43. Паламарчук, В. Г. К вопросу о свободных колебаниях ребристой цилиндрической оболочки с абсолютно твердым телом / В. Г. Паламарчук // Прикладная механика. - 1979. - 15, № 9. - С. 37 - 41.

44. Паламарчук, В. Г. Свободные колебания системы, состоящей из ребристой цилиндрической оболочки и абсолютно твердого тепа / В. Г. Паламарчук // Прикладная механика. - 1978. - 14, № 4. - С. 56 - 62.

45. Пискунов, В. Г. Собственные колебания ортотропной оболочки постоянного сечения с сосредоточенными массами / В. Г Пискунов, А. Н. Хомченко // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1980. - № 6. - С. 31-34.

46. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. М.: Машиностроение. 1968. - Т. 3. 567с.

47. Ревущий, В. Н. Собственные частоты и формы колебаний оболочек с присоединенными массами / В. Н. Ревуцкий, А. И. Телалов // Прикладная механика. - 1987. - 23, № 9. - С. 62 - 67.

48. Серёгин, С. В. Влияние площади контакта и величины линейно распределенной и сосредоточенной массы с круговой цилиндрической оболочкой на частоты и формы свободных колебаний / С. В. Серёгин // Вестник МГСУ. - 2014. - № 7. - С. 64 - 74.

49. Серёгин, С. В. Влияние присоединенного тела на частоты и формы свободных колебаний цилиндрических оболочек / С. В. Серёгин // Строительная механика и расчет сооружений. - 2014. - № 3. - С. 35 - 39.

50. Серёгин, С. В. Исследование динамических характеристик оболочек с отверстиями и присоединенной массой / С. В. Серёгин // Вестник МГСУ. -2014.-№ 4. - С. 52-58.

51. Серёгин, С. В. Численное и аналитическое исследование свободных колебаний круговых цилиндрических оболочек, несущих присоединенную массу, линейно распределенную вдоль образующей / С. В. Серёгин // Вычислительная механика сплошных сред. - 2014. - Т. 7, № 4. - С. 378 - 384.

52. Серёгин, С. В. Свободные колебания бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки с начальными неправильностями и малой присоединенной массой / С. В. Серёгин, Г. С. Лейзерович // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. — 2014. - Т. 1.-№4(20). - С. 36-43.

53. Скосаренко, Ю. В. Собственные колебания ребристой оболочки нулевой гауссовой кривизны с консольно присоединенной массой / Ю. В. Скосаренко // Прикладная механика. - 1984. - 20, № 2. - С. 35 - 41.

54. Тарануха, Н. А. Динамика неправильных оболочек / Н. А. Тарануха, Г. С. Лейзерович. - М.: Дальнаука, 2005. - 423 с.

55. Тарануха, Н. А. Новые решения в динамике неправильных оболочек / Н. А. Тарануха, Г. С. Лейзерович. - М.: Дальнаука, 2007. - 203 с.

56. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко. - М.: ГИТТЛ, 1948.-460 с.

57. Хомченко, А. Н. К задаче определения частот и форм колебаний оболочки, несущей сосредоточенные массы / А. Н. Хомченко, А. С. Христенко // Тр. Николаевского корабл. встроит, ин-та. - 1972. - вып. 56. - С. 32 — 36.

58. Хомченко, А. М. Некоторые вопросы колебаний ортотропных оболочек с дополнительными массами / А. М. Хомченко // Расчет пространственных систем в строительной механике. Саратов. - 1972. - С. 120 -124.

59. Хомченко, А. М. Исследование колебаний оболочек с присоединенными массами / А. М. Хомченко, А. С. Христенко // Теория оболочек и пластин. М.: Наука. - 1973. - С. 586 - 572.

60. Христенко, А. С. Учет влияния инерции вращения присоединенных масс на колебаниях оболочек при различных граничных условиях / А. С. Христенко, А. М. Калько // Тр. Николаевского кораблестроительного ин-та. -1973.-вып. 76.-С. 63-65.

61. Христенко, А. С. Колебания ортотропной замкнутой цилиндрической оболочки с присоединенной массой / А. С. Христенко, Е. Н. Цыбин, Е. Н. Черный // Тр. Николаевского кораблестроительного ин-та. - 1975. - вып. - С. 3 -8.

62. Шимкович, Д. Г. Расчет конструкций в М8С ЫаБ^ап / Д. Г. Шимкович. - М.: ДМК Пресс, 2003. - 448 с.

63. Ярошенко, В. А. Теоретические и экспериментальные исследования свободных колебаний цилиндрических оболочек, несущих сосредоточенные массы / В. А. Ярошенко, Е. Н. Цыбин // Тр. Николаевского кораблестроительного ин-та. - 1979. - вып. 151. - С. 78 - 83.

64. Amabili, M. Rotary inertia of added masses on vibrations of empty and fluid-filled circular cylindrical shells / M. Amabili, R. Garziera, S. Carra // Journal of Fluids and Structures. - 2005. - Vol. 21. - No. 5 - 7. - P. 449 - 458.

65. Amabili, M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates / Amabili M. - New York, USA. Cambridge university press, 2008. - 374 p.

66. Avramov, K. V. Dynamical instability of cylindrical shell with big mass at the end / K. V. Avramov, F. Pellicano // Reports of the National Academy of Science of Ukraine. - 2006. -№ 5. - p. 41 -46.

67. Chen, R. Vibration of cylindrical panels ferrying a concentrated mass / R. Chen // J. Applied Mechanics (Trans. ASME, Ser. E). - 1979. - Vol. 37. - № 3. - P. 874-875.

68. Lee, T. H. Vibration of shallow spherical shells with concentrated mass / T. H. Lee // J. Applied Mech. (Trans. ASME, Ser. E). - 1966. - Vol. 33. - № 4. P. 938-939.

69. Lew, R. S. Dynamic response of pressurized stiffened cylinders with attached concentrated masses / R. S. Lew, R. W. Jewell // AIAA Symposium on structural Dynamics and Aero elasticity (American Institute of Aeronautics and Astronautics, New York. - 1965. - P. 316 - 328.

70. Mallon, N. J. Dynamic stability of a thin cylindrical shell with top mass subjected to harmonic base-acceleration / N. J. Mallon // International Journal of Solidsand Structures. - 2008. - 45 (6), P. 1587- 1613.

71. Mallon, N. J. Dynamic stability of a base-excited thin orthotropic cylindrical shell with top mass: simulations and experiments / N. J. Mallon, R. H. B. Fey, H. Nijmeijer // Journal of Sound and Vibration. - 329. - 2010. P. 3149 - 3170.

72. Marguerre, K. Zur Theorie der gekrümmten Platte grösser Formänderung / K. Marguerre // Proc. 5th Int. Congr. Appl. Mech., Cambridge, Mass., 1938. - New York: J. Willey and Son, 1939. - P. 93-101.

73. Sivak, V. F. Experimental investigation into the vibrations of shells of revolution with added masses / V. F. Sivak, V. V. Sivak // International Applied Mechanics. - 2002. - Vol. 38. - № 5. - P. 623 - 627.

74. Khalili, S.M.R. Free vibrations of laminated composite shells with uniformly distributed attached mass using higher order shell theory including stiffness effect / S. M. R. Khalili, S. Tafazoli, K. Malekzadeh Fard // Journal of Sound and Vibration. - 2011. - Vol. 330, Issue 26. - P. 6355 - 6371.

75. Trotsenko, Yu. V. Frequencies and modes of vibration of a cylindrical shell with attached rigid body / Yu. V. Trotsenko // Journal of Sound and Vibration. 2006. - Vol. 292. - Issues 3 - 5. - P. 535 - 551.

Свидетельство о регистрации программы на ЭВМ

и 1»

% I

Н{ *

№ 2014611938

Собсгнсниые колебания ко.и,па с присос пшенной массой

I «> д-пге и ФеОера ¡иное ген \ч)щн ншчтое бин) щ етное обратвателыюе } чретдение <,мсшего профессшчш 1мш.ч) обра нхшнчя «Кош очо //.< кшмш-Л щре г осу даре тиечньш технический университет» (Ф1ЬОУ НПО «Кн I/ ¡У ») (НС)

Чм.ор Сере.чш Сергеи На ¡ерьеанч (К1 }

ч 201<662160

I !) > V \ •• •• 24 1С км бри 2013 ).

I I \ 11) и а( 1 ) (л! ш

и I , а М4\1 И феьра ш 2014,

II >1 Ч\ К! и / и I I >( г I

I и I > ) 4 I 41 а I ( <» I "!<>( 1/1 1 /?

Ь I / ( п >и

Свидетельство о регистрации программы на ЭВМ

т ш ш аз а и Й

уосхужШ&АЯ. мдар^щш

у V'<¡1$.с. к \-У 1 •

ч Г'

~ /

■ ,/К; ЧЧ^'-Ч.

£1 12 ИЗ

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о юсуларе тонной рсчисчрации программы для ЭВМ

№ 2014617201

Свободные колебания круговой цилиндрической оболочки, несущей сосредоточенную массу

Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомол ьский-на-Лмуре государственный технический университет» (ФГБОУ В ПО «КнАГТУ») (ЯП)

Автор. Серёгин Сергей Валерьевич (Яи)

Заявка № 2014614864

Дата поспп 1сния 22 Мая 2014 Г.

Дата юс\ дарственной ретарашш в Реестре программ для ЭВМ 15 июля 2014 г.

РукОЬОдШЖ' И, ФСОСрЧ 1ЫШ11 с \ужиы но иптсл ¡сктушыюй сооапиашостн

Б ¡1 Симонов

£2 гЛ

32

&& 2Ш шззшзшзшкшезз! и к з?£ з* •> т & а ® $ & $ % % ^ ш ш <ьЫ\