Влияние изменения температуры внешний среды на собственные частоты и формы колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Ньейн Ситт Найнг

• Ньейн Ситт Найнг
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Ньейн Ситт Найнг

1.5 Выводы по главе

2. Программа, экспериментальная база и методика исследования колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек при изменении температуры

2.1 Программа исследования колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки при повышенной температуре

2.2 Математические предпосылки проведения экспериментальных исследований

2.3 Экспериментальная база проведения исследования

2.4 Описание образцов

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Математическое модели колебаний тонкостенных замкнутых цилиндрических оболочек при внешним температурном воздействии

3.1 Основные предположения и отношения

3.2 Граничные условия

3.3. Вариационная формулировка задачи - вариационный принцип

3.4. Классические уравнения движения оболочки

3.5. Метод Бубнова-Галеркина - сведение бесконечномерной задачи к конечномерной

3.6 Перемещения и деформации оболочек при равномерном нагреве

3.7 Дифференциальные уравнения напряженно-деформируемого состояния тонкостенной замкнутой цилиндрической оболочки, при локальном нагреве

3.8 Граничные и начальные условия расчёта оболочки

3.9 Перемещения и деформации оболочек при неравномерном нагреве

3.10 Колебания тонкостенной цилиндрической оболочки при неравномерном нагреве с учетом изменения модуля упругости и формы

Выводы по главе

Глава 4. Использование полученных результатов исследований для предотвращения избыточных деформаций оболочек

4.1. Устройство для мониторинга конструкций из тонкостенных цилиндрических оболочек

4.2 Устройство возбуждения механических колебаний

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Свидетельство о регистрации программы на ЭВМ

Приложение Б. Патенты на изобретения

Перечень основных обозначений:

3

Б = ЕН /12(1 - / ) - цилиндрическая жесткость оболочки; Е, О - модуль Юнга и модуль сдвига; Н - толщина стенки оболочки; I - длина оболочки;

т, п - число полуволн в продольном и волн в окружном направлениях; Я - радиус оболочки; / - время;

.х, у, 2 - координаты срединной поверхности оболочки; « = тл/1, р = п/я - параметры волнообразования;

б = п 4 (Н / Я )2 - параметр волнообразования, характеризующий относительную толщину оболочки;

б , б , г - компоненты деформации в срединной поверхности; А - собственная частота колебаний оболочки;

п

Л - коэффициент Пуассона; р -плотность;

V - коэффициент Пуассона;

в = тля/(п1) - параметр волнообразования, характеризующий относительную длину оболочки;

= К / К - безразмерная (относительная) частота; 0 - тепловой потенциал ; Т, Т0 - температура;

1 ГП/2 _ ,

Ыт = - К ваг - тепловая сила;

Л Л/2 12 ГН/2 _ ,

Мт = — К вгаг - тепловой момент;

№ и-п/2

аТ - коэффициент теплового расширения; Хч - коэффициент теплопроводности;

се - удельная теплоемкость единицы для постоянного тензора деформации; Ж — нормальное перемещение;

Кц —теплопроводность;

— коэффициент теплового расширения; Сц —упругая постоянная;

се —удельная теплоемкость материала; q — нормальная нагрузка;

ю (х, у, I) - поперечный прогиб срединной плоскости пластинки ;

Ь (ю, Г) — дифференциальный оператор вида;

Г - функция усилий;

w - функция прогиба;

F(x,y, €) — функция напряжений,

ю = + ш0 —полный прогиб;

I - количество полуволн в осевом направлении;

У - количество окружных волн;

а,Ь,с - обобщённые координаты;

и,¥,Ж - основные формы колебаний, удовлетворяющие геометрическим

граничным условиям;

^¿(х) - функция осевой формы;

ох, &ф, тХф — осевые, окружные и сдвиговые напряжения; кх, кф, кХф — изгибающие деформации (изменения кривизны); Их, Иф, ИХф — прямые результирующие напряжения; Мх, Мф, МХф — результаты изгибающего напряжения; й и 8 - дифференциальные операторы;

А±, А2, А3, В±, В2, В2, С±, С2, С3 — дифференциальные коэффициенты;

С - интенсивность температурного поля;

Р°, Ру, Яо —амплитуды соответствующих нагрузок;

— частота колебаний.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние изменения температуры внешний среды на собственные частоты и формы колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек»

ВВЕДЕНИЕ

В настояще время оболочечные конструкции находят все большее и большее распространение. Без конструкций подобного рода не обходится ни одна отрасль производства, такие как: машиностроение, энергетика, строительство, авиация. Так же оболочки выполнены из различных материалов, каждый из которых обладает иными по отношению друг к другу свойствами. Деформационные и структурные свойства материала зависят так же и от типа напряженного состояния. Классические теории строительной механики и механики твердого тела не обеспечивают достаточной точности расчетов характеристик напряженно-деформированного состояния материалов со сложными свойствами, причем критические структуры становятся все более распространенными в химической, строительной, машиностроительной и авиационной промышленности в настоящее время. Поэтому необходимо создать надежные теории, согласующиеся с экспериментальными данными. Кроме того, влияние температуры на напряженно-деформированное состояние конструкций из материалов со сложными свойствами требует больше внимания.

Работы в области термоупругости материалов довольно хаотичны, и поскольку новые конструкции работают при большем температурном градиенте, крайне важно систематически исследовать термомеханические проблемы материалов в рамках современной структурной механики, механики твердого тела и ее практических методов. Рассматриваемые материалы имеют большие модули упругости и других характеристик механической прочности, поэтому они часто используются в тонких структурах, таких как пластины и оболочки. Тонкие оболочки попадают в категорию пространственных структур и используются в конструкциях с большими открытыми пространствами. Тонкая оболочка имеет форму изогнутой поверхности, которая при минимальной ширине, массе и расходе материала обладает довольно большой несущей способностью благодаря своей изогнутой форме.

Влияние изменения градиента темпеатуры на поля деформации для изотропных материалов довольно существенно. Следовательно, в случае

типичного теплообмена в однородном нагретом теле посредством теплового воздействия окружающей среды и влияние распределения изменения температуры на деформации тела является величиной, от которую следует принимать в расчет. Это позволяет анализировать температурное поле, которое соответствует конкретным условиям теплообмена, независимо от напряженно -деформированного состояния объекта. Таким образом, можно сделать вывод, что рассмотрение влияния температурного воздействия на напряженно -деформированное состояние и следовательно на параметры колебаний оболочки является актуальной задачей как с точки зрения науки, так и с точки зрения применения.

На рисунке 1 изображены повреждения оболочки двигателя самолета A-10A Thunderbolt II, являющегося модификацией 110-того истребителя (FW) при участии на начальных этапах операции «Свобода Ираку» (OIF). Широко известный как «Warthog», A-10 заслуживает репутацию как стойкой, надежной, долговечной машины, благодаря службе в 332-м воздушном экспедиционном крыле ВВС США. Возможно, одна из причин аварии - это изменение параметров окружающей среды, а именно увеличение температуры воздуха, что могло являться причиной аварии.

Из отчетов техников следует, что инцидент, с участием сержанта Алекса Ллойда, 217-я воздушно-десантная группа, описанного в статье A-10A 80-0258, «History of Excellence», 8 апреля 2003 г., номер 80-0258, в котором пилотируемый майором Гэри «Вольфман» Вольф вылетел с авиабазы Ахмеда Аль-Джабера в Кувейте. A-10A поддерживал войска коалиции, когда они приближались к Багдаду. Воздушное судно обеспечивало низкоуровневую воздушную разведку для командира конвоя коалиции. Одной из причин аварии могла быть повышенная температура воздуха и отказ системы охлаждения.

ш

\

Рисунок 1 - Повреждение оболочки двигателя самолета А10А Thunderbolt II.

Во время рейса Париж—Лос-Анджелес разрушились вентилятор и компрессор низкого давления двигателя смолета А380 (Рисунок 2). По этой причине произведена аварийная посадка, когда через 5 минут после вылета из Сингапура взорвался один из двигателей. Совершил аварийную посадку в аэропорту вылета. Глава авиакомпании Qantas заявил, что причиной взрыва двигателя самолёта могла стать ошибка, допущенная компанией-производителем двигателя. При этом изменились колебания системы в целом. После инцидента авиакомпания Qantas приостановила полёты всех принадлежавших ей A380 на 48 часов до завершения их тщательной проверки.

Рисунок 2 - Поврежденный двигатель самолета A380.

Новая орбитальная лаборатория (Рисунок 3) предназначена в первую очередь для отработки ключевых технологий, необходимых для создания долговременной многомодульной станции. Аппарат «Тяньгун-1» (Т1ап§оп§-1, то есть «Небесный дворец-1») отправился на орбиту 29 сентября 2011 года. Эта станция должна послужить не столько для научных экспериментов, сколько для проверки техники: систем стыковки, жизнеобеспечения, энергетики, связи и так далее. Важным аспектом работы являются колебания оболочки - внешнего корпуса лаборатории, при изменении температуры окружающей среды.

Рисунок 3 - Орбитальная лаборатория.

Китайская космическая лаборатория в длину 10,5 метра, а максимальный её диаметр составляет 3,35 м. Вес её равен 8,5 тонны (фотографии СМББ и с сайтов china-defense-mashup.com, chinanews.com - Рисунок 4). "Тяньгун-1" состоит из двух цилиндрических отсеков. Больший из них называется экспериментальным. Здесь находятся места для научного оборудования, а также спортивные тренажёры, спальные места для трёх обитателей станции и прочие бытовые системы.

Эффективный используемый объём этой части станции составляет около 15 кубометров. Интересно, что нижняя и верхняя стороны жилого отсека окрашены изнутри в два тона. Тона символизируют землю и небо. Так, мол, китайским космонавтам будет легче ориентироваться в условиях невесомости и вообще -

они будут чувствовать себя комфортнее. С открытого торца экспериментального отсека, заканчивающегося конической секцией, стоит стыковочный узел для приёма кораблей серии «Шеньчжоу». На орбиту станцию подняла ракета-носитель "Великий поход 2-F T1". Первоначально намеченный на 2010 год старт не раз переносили по техническим причинам. Это была неготовность станции, и кроме того, план скорректировали из-за неудачного запуска ракеты из серии «Великий поход» в августе 2011 года. Затем было принято решени о дополнительном обследовании для тестирования и проверки оборудования носителя, предназначенного для вывода в космос «Небесного дворца». Меньший из отсеков - отсек «Тяньгуна» - сервисный (китайцы также именуют его «ресурсным»). Основную его начинку составляют система электропитания станции, аппаратура связи и авионика. Департамент пилотируемой космической программы Китая (China Manned Space Engineering) разработал целую программу строительства нескольких орбитальных станций.

В жизни программы — «Тяньгун-1» — должно состояться три важных события. Это визит беспилотного корабля Shenzhou 8 с первой для Китая стыковкой на орбите в ноябре 2011 года. А ещё — две экспедиции посещения по два По окончании срока службы станцию контролируемо сведут с орбиты (иллюстрации CMSE). И в данном аспекте нельзя исключать влияние колебательного процесса при резком измении температуры окружающей среды.

Исходя из вышесказанного тонкостенные цилиндрические оболочки являются важными компонентами промышленных конструкций, машин. Они присутствут в таких сообружениях как резервуары для хранения жидкости, бункеры и т.д. Изгиб оболочки обычно представляет собой серьезную проблему разрушения тонкостенных оболочек при экстремальных нагрузках, например, землетрясения. Продольные и радиальные ребра жесткости обычно используются для того, чтобы уменьшить изгиб тонкостенных оболочек. Во время землетрясения цилиндрические оболочки могут испытывать глобальный сдвиг или сдвиговую деформацию. Большая часть литературы, относящейся к оболочкам, посвящена изгибу в простых условиях нагружения: равномерное

осевое сжатие и равномерное внешнее давление. Напротив, условия нагрузки, возникающие в бункерах и резервуарах, приводят к созданию ступенчатой стенки с давлениями и трениями, которые изменяются по всей поверхности корпуса, приводя к значительно более сложным состояниям предварительного выпучивания. Изучается деформация и распределение напряжений для внешнего давления, и оптимизация деформации будет выполняться путем изменения толщины стенки и количества скоб жесткости.

Рисунок 4 - Космическая лаборатория «Тяньгун-1».

Рисунок 5 - Резервуары для хранения пищевых продуктов.

Таблица 1 - Характеристики цилиндрического резервуара для хранения пищевых продуктов

Использование Емкость для хранения прищевых жидких продуктов: вина, масла и т. д.

Дата капитального ремонта 19.09.2019г.

Место нахождения КНР

Материал нержавеющая сталь (304 и 316Ь), соответствует требованиям правил хранения продуктов питания

Преимущества Высокая прочность констуркции, эстетически приятный внешний вид.

Объем 5000 м3

Толщина корпуса резервуара 2 мм.

Расчетная температура (°C) 5..80

Включения люк, С1Р, смотровое окно, установка дополнительного оборудования для смешивания

Стандарт изготовления Государственный стандарт на изготовление сосудов под давлением

Изгиб может вызвать разрушение конструкции при настулении значительных деформаций. Однако с научной и инженерной точки зрения явления выпучивания обычно возникают до того, что деформации становятся очень большими, и структура может казаться не деформированной или только слегка деформированной. Такие явления обычно проиходят при изменении условий температурного режима. Изгиб конструкции является значимым явлением в строительной механике, поскольку изгиб часто (но не всегда) приводит к разрушению конструкций.

Тридцатого января 2001 года резервуар, расположенный на нефтяном заводе, расположенном в 10 км к северу от города «Дженерал Рока» (провинция Неукен, Аргентина), деформировался при умеренных ветрах. Диаметр резервуара составлял 31 м, а расчетная высота готовой конструкции составляла 9 м; однако, резервуар рухнул, когда строительство достигло 7,50 м. над уровнем моря. В качестве материала использовалась сталь, обозначенная как ASTM A-36, толщиной 0,48 см.

Чтобы понять причины обрушения, необходимо учитывать график строительства. Сначала была закончена круглая нижняя пластина, а затем добавлены и приварены цилиндрические кольца (высотой 8 футов). Каждое кольцо было завершено и приварено по бокам перед тем, как поместить его в конструкцию с помощью крана. Соединение между оболочкой и нижней плитой было временно выполнено с помощью точечных сварных швов 20 мм на расстоянии 0,50 м между ними. Эта процедура сварки явно принята API 650. Причиной для соблюдения такого графика строительства было короткое время, необходимое для использования кранов, поэтому ожидалось, что конструктивные

элементы будут установлены на месте до завершения процесса сварки по периметру.

В начале работ 30 января 2001 года в сооружении было смонтированы четыре части, сварка между которыми была завершена, но приваривались только прихваты. Пятая часть была добавлена со сварными швами 30.01.2001г. Во второй половине дня появились порывы ветра 50 км / ч. в местном аэропорту Неукена. Это было бы низким давлением ветра для резервуара, когда он был завершен (включая крышу), потому что расчетное давление ветра составляло 150 км / ч. Колебания в оболочке развивались под ветром, максимальная амплитуда составляла порядка 0,30 м. Это было сделано по причине, что инженеры решили обеспечить дополнительное крепление при помощи кабелей. Авария произошла между 6 и 7 вечера. Режим коллапса показан на рисунке 6 с отклонениями к внутренней части оболочки в нижних слоях и к внешней стороне в верхних слоях. Дно цилиндра стало частично отделено от несущей пластины, как показано на рисунке 6. Строительная бригада отсутствовала на строительной площадке, когда произошли события, и никто не пострадал.

Рисунок 6 - Резервуар в Дженерал Рока, 2001.

Другой известный авторам пример произошел 11 января 2006 года на нефтяном заводе, расположенном к северо-западу от Ринкон-де-лос-Саусес (провинция Неукен, Аргентина), в очень похожих условиях. В этом случае резервуар был меньше, с диаметром 14,70 м и общей высотой сооружения 9,75 м, из которых 9 м были построены в день обрушения. Сталь, используемая в этом резервуаре, была обозначена как F-24 с толщиной листа 1/4 дюйма.

В начале дня было проведено пять сварных швов, но сварка в основании была частичной, при этом сварные швы на расстоянии примерно 20 мм располагались на расстоянии 0,50 м друг от друга. В тот день рабочие установили шестой ход и частично приварили его к нижней части корпуса. Опять же, это был ясный день утром, но во второй половине дня разразилась буря. Оболочка была обеспечена в целом поддержкой из-за больших колебаний, вызванных ветром, но она прогнулась, как показано на рисунке 7. На заводе не было зарегистрировано ни одной записи скорости ветра, но в местном аэропорту были зафиксированы значения порыва 64,4 км / ч. который расположен в 30 км от завода. Стоит отметить, что аэропорт расположен недалеко от города в зоне с растительностью, в то время как растение находится на равнинной местности без растительности, так что ожидается, что ветра, воздействующие на резервуар, могут быть выше, чем зарегистрированные в аэропорту.

Рисунок 7 - Разрушенный танк в Ринкон-де-лос-Соус, 2006 г.

Актуальность темы исследования: Современные конструкции в машиностроении, авиации, ракетостроении, строительстве и т.п. часто имеют форму замкнутых тонкостенных цилиндрических оболочек. В процессе эксплуатации тонкостенные цилиндрические оболочки испытывают перепад температур 200 °С и более. Такие воздействия на элементы конструкций вызывают изменение напряженно-деформированного состояния, а также влекут локальное изменение модуля упругости материала оболочки, что заметно сказывается на численных величинах колебаний тонкостенных оболочек. При расчетах конструкций этот фактор часто не принимается в расчет, что может привести к значительным деформациям, изменениям формы оболочки, возникновению резонансных явлений, и как следствие разрушению. Потеря устойчивости конструкций, выполненных в форме тонкостенных цилиндрических оболочек, часто вызвана её колебаниями, вынужденными и свободными. Поэтому конструкторы увеличивают коэффициенты запаса прочности при расчёте таких конструкции, что увеличивает материалоемкость и стоимость, а в некоторых случаях значительно осложняет процесс изготовления машин и сооружений.

Традиционное теоретическое решение задачи по расчету собственных колебаний оболочки с асимметричными начальными неправильностями показывают существенное изменение изгибного частотного спектра, даже при постоянной температуре. А локальное изменение температуры оболочки вызывает значительные изменения напряженно-деформируемого, что совершенно не учитывается в расчетах. Расхождение значений теоретических и экспериментальных частотных параметров увеличивается с изменением температуры и деформаций оболочки, что оказывает значительнее влияния на свободные колебания. Учет влияния деформаций конструкций, возникающих от воздействия градиента температур является очень актуальной задачей для конструкций, основу которых составляют тонкостенные цилиндрические оболочки.

Степень разработанности темы:

Изучением колебаний тонкостенных оболочек занимались известные российские ученые, такие как: Борисов Ю.Б., Варадан Т.К., Власов Ю.Л., Галченко А.Л., Гольденвейзер А.Л., Григолюка Э.И., Даревский В.М., Доннелл Л. Г., Дышко А. П., Ивенсен Д.А., Кильдибеков И.Г., Ковальчук П.С.,Кубенко В.Д., Лейзерович Г.С., Лиходед А.И., Малинин А. А., Муштари Х.М., Новожилов В.В., Тарануха Н.А., Тимошенко.,С. П.,а также зарубежные исследователи: Дж. В. Стретт (Лорд Рэлей), Alijani F., Aron H., A.W. Leissa., ChenJ.C., Chu Hu.Nan., Farshidianfar A., Love A.E.H., M.Amabili., S.C. Kattimani., Lee Т.H., Lew R.S., Mallon N.J., Reissner E., W Soedel.. Вышеперечисленные исследователи описали движение оболочки общими уравнениями колебаний замкнутых цилиндрических оболочек. Также они исследовали влияние начальных неправильностей оболочек на их колебания, разработали математические модели колебаний тонкостенных оболочек.

Влияние изменения температур на собственные частоты и формы колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек исследовали Е.Г. Янютин., П.В. Егоров, Э.С. Кузнецова, но проблемы воздействия неравномерного градиента температур на тонкостенные цилиндрические оболочки в рамках кинематической модели исследованы не полностью. Нет экспериментально подтвержденных моделей о влиянии изменения модуля упругости материала от воздействия температур на свободные колебания тонкостенных цилиндрических оболочек. Нет комплексного исследования воздействия неправильностей формы оболочки, возникающей от неравномерного градиента температур, на её свободные колебания. В частности в существующих моделях не учитывается начальная неправильность оболочек, возникающая от действия температур, при расчетах свободных колебаний тонкостенных оболочек.

Вышеперечисленное вызывает необходимость выявить зависимости между температурными воздействиями и частотными характеристиками колебаний оболочек, создать новую математическую модель расчета колебаний, что бы устранить отклонения между теоретическими и экспериментальными

данными колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек, имеющих начальные неправильности формы, вызванных воздействием градиента температур. На основе новой математической модели, требуется создать компьютерные программы и устройства позволяющие противодействовать резонансным явления в условиях неравномерного изменения температуры оболочки.

Цель работы: Определить влияние изменения температуры на собственные частоты колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек при изменении её формы.

Задачи исследования:

1. Установить влияние изменения модуля упругости материала, изменяющегося из-за неравномерного градиента температур, на свободные колебания тонкостенной цилиндрической оболочки.

2. Определить влияние изменение формы тонкостенной цилиндрической оболочки, из-за неравномерного градиента температур, на её свободные колебания.

3. Разработка нового подхода к построению математической модели для колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки при локальном температурном воздействии.

4. Установление зависимостей частотных характеристик колебаний от способа закрепления тонкостенных цилиндрических оболочек.

5. Уточнить математическую модель колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек с начальной неправильностью формы, представленной деформацией, вызванной локальным изменением температуры.

6. Создать программное обеспечение, позволяющее рассчитать свободные колебания тонкостенных цилиндрических оболочек в режиме реального времени.

7. Разработать устройство, способное корректировать свободные колебания тонкостенных цилиндрических конструкций, при различных внешних воздействиях.

Научная новизна результатов диссертации состоит в:

- в определении влияния воздействия неправильностей формы оболочки при изменении модуля упругости материала, возникающих от равномерного и неравномерного градиента температур на свободные колебания;

- в определении влияния закрепления тонкостенной цилиндрической оболочки на частотные характеристики колебаний;

- в уточнении математической модели колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек с начальной неправильностью формы, представленной деформациями, вызванными наличием локального изменения температуры.

Теоретическая значимость результатов: Новая математическая модель позволяет решать широкий класс задач динамики и статики для цилиндрических оболочек, находящихся под действием знакопеременных динамических нагрузок и температурного поля. Понимание механизма колебательного процесса оболочки, имеющей начальные неправильности, представленные локальными напряжениями, вызванными изменением градиента температуры оболочки, в процессе её нагрева, оказывает существенное влияние на расчеты конструкций. Уточненная математическая модель лучше отражает механизм колебания оболочечных конструкций, описанных с помощью математических зависимостей. Данный механизм позволяет другим исследователям более точно взглянуть на модель динамического прогиба оболочечных конструкций.

Практическая значимость результатов: По результатам работы появилась возможность в режиме реального времени рассчитывать свободные колебания тонкостенных цилиндрических оболочек, форма которых динамически изменяется при равномерном и неравномерном изменении температур. На основании полученных математических моделей разработано устройство корректирующее свободные колебания конструкций приставляющих тонкостенную цилиндрическую оболочку в режиме реального времени.

Результаты данного исследования получили одобрение и используются при рассмотрении задач, связанных с колебаниями цилиндрических оболочек, в строительном управлении г. Комсомольска-на-Амуре ЗАО «УМР-4». Результаты исследования были внедрены в учебный процесс Комсомольского-на-Амуре государственного университета и используются в учебном процессе при чтении лекций: теоретическая механика для студентов строительного факультета.

Методология и методы исследования: Теоретические исследования выполнены в рамках вариационной формулировки задачи - вариационного принципа, а так же метода Бубнова-Галеркина. Для перехода от трехмерных соотношений теории упругости к двумерным уравнениям теории тонких оболочек используется упрощающая гипотеза Кирхгофа - Лява. Численные исследования реализованы в программе для ПК «ОСКРОСМ 2017», Экспериментальное исследование выполнено с использованием сертифицированных и апробированных устройств: спектрометра «МЕХ CG Rigaku», вихретокового пробника 7ЕТ 701, анализатора спектра и лицензионной программы «7е1ЬАВ».

Положения, выносимые на защиту:

1. Устройство, позволяющее отслеживать колебания оболочечных конструкций, в режиме реального времени.

2. Новая математическая модель колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки, имеющей начальные неправильности, выраженные через локальные напряжения, вызванные локальным изменением температур.

3. Результаты экспериментальных исследований влияния локального изменения внутренних напряжений на численных характеристики колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки.

4. Результаты экспериментальных исследований влияния температуры материала, на модуль упругости и другие прочностные характеристики материала.

5. Устройство, позволяющее отслеживать колебания оболочечных конструкций, в режиме реального времени.

Достоверность результатов работы: Надежность и истинность описанного в данной работе механизма колебаний оболочки при различных параметрах температурного режима, подтверждена экспериментальными данными, с использованием сертифицированных и лицензированных устройств. Методика проведения эксперимента обсуждалась с другими специалистами,

относящимися к области исследования, которые выразили ей высокую оценку. Полученные данные хорошо соотносятся с результатами исследований других авторов, а так же апробированы на различных конференциях.

Апробация результатов работы: Результаты работы докладывались на конференциях, 5 международные конференции и 4 региональные аспекты:

1. Архитектура, строительство, землеустройство и кадастры на Дальнем Востоке в XXI веке : материалы Междунар. науч.-практ. конф., Комсомольск-на-Амуре, 18-19 апреля 2017 года.

2. Регионалные аспекты развития науки и образования в области архитектуры, строительства, землеустройства и кадастров в начале III тысячелетия: материалы Междунар. науч.-практ. конф., Комсомольск-на-Амуре, 29-30 ноября 2016 года.

3. Регионалные аспекты развития науки и образования в области архитектуры, строительства, землеустройства и кадастров в начале III тысячелетия: материалы Междунар. науч.-практ. конф., Комсомольск-на-Амуре, 29-30 ноября 2016 года.

4. Региональные аспекты развития науки и образования в области архитектуры, строительства, землеустройства и кадастров в начале III тысячелетия: материалы V Междунар. науч.-практ. конф., Комсомольск-на-Амуре, 29-30 нояб. 2017 г.

5. Региональные аспекты развития науки и образования в области А878 архитектуры, строительства, землеустройства и кадастров в начале III тысячелетия: материалы Междунар. науч.-практич. конф., Комсомольск-на-Амуре, 29 - 30 ноября 2018 г.

6. International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety (ICCATS 2017) 21-22 September 2017, Chelyabinsk, Russian Federation.

7. International Multi-Conference on Industrial Engineering and Modern technologies (FarEastCon2018), October 2-4, 2018, Far Eastern Federal University (FEFU),Vladivostok (Asian-Pacific region), Russia.

8. 2018 7th International Conference on Transportation and Traffic Engineering (ICTTE 2018), Beijing, China on December 21-23, 2018.

9. International Multi-Conference on Industrial Engineering and Modern technologies (FarEastCon2019), Far Eastern Federal University (FEFU),Vladivostok (Asian-Pacific region), Russia on October 1-4, 2019.

Личный вклад: Заключается в личной постановке задач исследования, формулировке положений и выводов, выносимых на защиту, и написании статьей по теме исследования. Автор лично планировал эксперимент, выполнял все экспериментальные исследования по теме работы, анализировал и обобщал полученные результаты. Автор лично участвовал в разработке математических моделей для поставленных задач, выполнил, обработал и проанализировал все необходимые расчеты. Автор участвовал в проектировании систем, позволяющих проводить мониторинг тонкостенных цилиндрических конструкций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ньейн Ситт Найнг, 2020 год

/ Л //

/ У/ // * /

/ / / * / / /

/ '/

/ '/ / * / / // Л

у/

"Ч

----Термоэлемент 1

- Термоэлемент 2

8000

2000 4000 6000 Время (секунды)

Рисунок 2.35- Температурные колебания образцов как функция

времени в секундах.

Зависимость модуля упругости от температуры (рис. 2.36) сплава, взятого с промышленной установки и классифицированного по химическому анализу названий образцов (таблица 2.4), как сплав Х17, была получена экспериментально на установке термостатической камеры ТСЕ-Ш00 (рис. 2.27).

Сравнение справочных и экспериментальных модулей упругости для сплавов Х17 и Д12 рис (2.37).

Рисунок 2.37 - Зависимость модуля упругости от температуры.

2.5 Выводы по главе 2.

1. Разработан и создан испытательный стенд для исследования свободных колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек, позволяющий экспериментально на небольших моделях с высокой достоверностью оценить воздействия температурных деформаций на свободные колебания. Стенд позволяет учитывать влияние температурного режима на свободные колебания оболочек.

2. Разработана методика и программа проведения экспериментальных исследований, колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек при измерении градиента температур.

3. Получены численные характеристики колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки при изменении температуры и различных условиях закрепления испытательных образцов.

4. Получены экспериментальные данные частотных спектров колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек при различных температурах.

5. Получены экспериментальные зависимости влияния температуры материала на его модуль упругости.

6. Разработано и зарегистрированное в Роспатенте РФ программное обеспечение [49] позволяющее вести обработку экспериментальных данных в режиме реального времени и вычислять параметров колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек, при повышенной температуре.

Глава 3. Математическое модели колебаний тонкостенных замкнутых цилиндрических оболочек при внешним температурном воздействии 3.1 Основные предположения и отношения.

Последние достижения техники и технологий (сверхзвуковая авиастроение, космическая техника, атомная энергетика и т. Д.) Перенесли динамические проблемы термоупругости в ряд очень важных и приоритетных задач в области теории упругости. В настоящее время известно, что надлежащий анализ механических конструкций, подвергающихся воздействию тепловых нагрузок импульсного типа, не может быть выполнен в рамках квазистатической теории. Первое исследование динамического поведения упругого тела, подвергнутого высокоскоростному нагреву, принадлежит Данилевской [17], которая в 1950 г. рассматривала напряженно-деформированное состояние полупространства при нагреве его поверхностей. Первые исследования вибраций конструкции, вызванных внезапным тепловым воздействием, были проведены Барбером и Боли в 1956 г. для балок и в 1957 г. для плит [5].Также были проанализированы колебания сферических [27] и цилиндрических [37] оболочек, подвергнутых подводу тепла.

Следует подчеркнуть, что как теоретические, так и экспериментальные исследования тонкостенных конструкций, подвергнутых локальному нагреву импульсного типа, были опубликованы в работе Андреев Л.В.[2]. С другой стороны, теория теплопроводности развивалась в рамках предположения о том, что термическое и деформационное поля независимы. Теория связанной термоупругости связывает эти две ветви исследования. В соответствии с По Новацкому В. [55], численные результаты теоретических исследований, полученные в рамках линейной теории термоупругости не существенно отличаются от решений, полученных в рамках теории упругости и теории теплопроводности. Тем не менее, количественные различия заметны.

Например, в случае упругих волн и при использовании связанной теории термоупругости они демонстрируют дисперсию и затухают, что противоречит

поведению, определяемому теорией упругости. В настоящее время фундаментальные результаты получены в основном в рамках линейной теории.

Рассмотрим оболочку толщиной h = const и объемом Q, имеющую границу Г. Его средняя поверхность связана с ортогональными координатами x, y, z. Положительное направление оси z идет в центр его кривизны. Перемещения в направлениях x, y обозначаются через u (x, y, t) и и (x, y, t) соответственно.

Предполагается, что перемещение произвольной точки оболочки в направлении z не зависит от z и для всех точек данного нормального элемента оно равно нормальному смещению w (x, y) соответствующей точки средней поверхности. Рассмотрим все перемещения существенно меньшие характерного размера оболочки средней поверхности. Деформации в срединной поверхности £11, s22, £12 не учитываются (они малы по сравнению с (3.1)). Однако это не означает, что отношения между перемещениями и деформациями являются линейными.

В работе рассматриваются представлены теоретические исследования с использованием кинематической модели Кирхгофа-Лява. В рамках этой модели следующие соотношения справедливы для произвольной поверхности оболочки:

где (¡, З=1, 2) - тангенциальные деформации средней поверхности, хз -изгибные деформации.

Следующие соотношения между деформациями и перемещениями описываются следующим образом:

^12 = ^12 + Z^12>

(3.1)

ди dv ,

ди . dv . dw dw

ду дх дх ду'

Современные исследования показывают, что деформация тела и количество тепла в теле всегда взаимосвязаны. Это экспериментальное наблюдение приводит к заключению, что теория, учитывающая связь деформации и тепловых полей, позволяет описать реальные деформационные процессы, которые происходят, когда демонстрируется потеря динамической устойчивости. Предположим, что в недеформируемом состоянии оболочка имеет температуру Т0. Под действием поверхностных и массовых сил, внутренних источников тепла и внешнего изменения тепла оболочка начинает деформироваться, и ее температура начинает меняться. Через в (х, у, 2, I) = Т (х, у, 2,1) - Т0 повышение температуры обозначается в точке (х, у, 2) и во времени I. При Т мы имеется в виду абсолютные значения температуры в рассматриваемой точке в данный момент времени. Предположим, что | в/ Т0|<< 1. Это означает, что изменение температуры Бо настолько мало, что оно не влияет на свойства упругого и теплофизического материала оболочки, которые предполагаются постоянными. Следовательно, линейное уравнение теплопередачи может быть дополнительно рассмотрено.

Используются следующие обозначения для изотермических величин: Е -модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона, аТ - коэффициент теплового расширения, - коэффициент теплопроводности, р - плотность, се - удельная теплоемкость единицы для постоянного тензора деформации.

Согласно гипотезе Дюамеля-Неймана, закон Гука описывается соотношениями:

Е(Т) Е(Т)

а11 = 1—72 (е11 + уе22) —- атв,

1 — V2 1 — V

Е(Т)

а12=10-Г)е12 (3.3)

Интегрируя напряжения, определяемые уравнением (3.3) по отношению к 2, найдены следующие силы:

Н

2 Е(Т)

Н°11а2=Т=у2

Н

П Е(Т) , ,

Т1= I п = \-yji (£11 + Р£22) -2

Н 2

Е(Т)ат [ Е(Т)к , л л ~

_н

2

к

2 _ Е(Т)

Б = 5\°12<Ъ = ^¿12, (3.4)

где Ыт = 1 обозначает тепловую силу.

Для получения моментов используются следующие формулы:

п

Н 2

'2 Е(Т)ат С

к011<12 = В(&11+У&22)-1_ I

2 Л

2

= Б(&11 + у&22 - ат(1 + у)мт), ) ;

М12=°-^*12, (3.5)

_ Е(Т)Н3 „. 12 гН/2 _ ,

где и = —-—- цилиндрическая жесткость, Мт = — I , вгаг- тепловой

2 (1 - V2) г т Н3 •'-Н/2

момент.

Два первых уравнения (3.4) решаются относительно тангенциальных деформаций средней поверхности, и одно получает:

Н 2

£11=Ш.(Т1-РТ2) + Т iм2'

х, у,

2

£12 = -1+Г5- (3.6)

3.2 Граничные условия.

В этой диссертации, рассматриваются гибкие тонкостенные оболочки, которые находятся под воздействием внешних переменных нагрузок и температурного поля.

Оболочка - это реальный объект, и теория любого реального объекта или явления не может противоречить законам физики. Следовательно, для сплошных сред, в которые входят оболочки, необходимо полностью соблюдать уравнения равновесия (движения), непрерывности среды, геометрии перемещений и общие принципы термодинамики в каждой внутренней точке оболочки и уравнения равновесия на его граничных поверхностях [32].

Оболочками называются тела, ограниченные двумя изогнутыми поверхностями, расстояние между которыми (толщина корпуса) значительно меньше других характерных размеров. Толщина оболочки будет обозначаться к Поверхность, разделяющая толщину оболочки пополам, называется срединной поверхностью. В дальнейшем мы будем рассматривать только оболочки постоянной толщины; таким образом, геометрия таких оболочек будет полностью определяется формой срединной поверхности и толщиной оболочки.

Оболочки, при расчете которых учитывается геометрическая нелинейность, называются гибкими. Мы считаем материал оболочки изотропным (сопротивление деформации одинаково в любом направлении), упругим и подчиняющимся закону Гука.

Математическая теория расчета тонких оболочек основана на гипотезах Кирхгофа-Лява, согласно которым:

а) линейный элемент, нормальный к срединной поверхности оболочки, сохраняет свою длину и остается прямым и нормальным к срединной поверхности после деформации оболочки;

б) нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности оболочки, по сравнению с остальными напряжениями пренебрежимо малы, так что они не оказывают на тангенциальные деформации существенного влияния и при расчете не учитываются.

Оболочки, для которых справедливы приведенные гипотезы, называются

К 1

тонкими, выполняется отношение -«—, где Я - минимальным радиус

К 100' ^

срединной поверхности оболочки.

Объекты исследования представляют собой трехмерную область пространства Я3 в декартовой системе координат и определяются согласно Рисунку 3.1.

О = {х, у,2 | (х, у,2) е [0; Ь]*[0;2п]*[-И; И]} Рисунок. 3.1 - Расчетная схема объекта исследования.

Для сферической оболочки на прямоугольном плане и пластины область О задается так же, как и для цилиндрической панели на прямоугольном плане.

Эти гипотезы сводят задачу к изучению деформаций средней поверхности оболочки, и можно построить двумерные вычислительные модели для оболочки, которая представляет собой трехмерное тело, на основе представленных выше гипотез Кирхгофа-Лява.

Под основными напряжениями в теории оболочек понимают нормальные и касательные напряжения в самой срединной поверхности и в слоях оболочки, ей параллельных [11]. Для однослойной оболочки мы координируем систему координат со средней поверхностью. Рассмотрим элемент оболочки, вырезанный

по сечениям вдоль координатных линий х, у. Определим положение произвольной точки Мна средней поверхности по координатам 2 и я. Координата 2 представляет собой расстояние до рассматриваемой точки М от срединной поверхности 2 = 0 , а координата я - расстояние до точки М, отсчитываемое по линии контура поперечного сечения от некоторой образующей я = 0.

Напряженное состояние оболочки как тонкостенной пространственной упругой системы, работающей на изгиб и растяжение в двух направлениях, определяется двумя группами сил (Рисунок. 1.2). Одна из этих групп состоит из нормальных и сдвигающих сил (Ых, Ыу, Т1), действующих в срединной поверхности и характеризующих так называемое плоское напряженное состояние элемента оболочки.

Другая группа сил состоит из изгибающих и крутящих моментов (Мх, Му, Н ) и поперечных сил (0х, Qy), приложенных на площадках двух взаимно перпендикулярных сечений оболочки.

Рисунок. 3.2 - Элемент оболочки под действием изгибающих и крутящих

моментов и поперечных сил.

Результатом температурного воздействия на оболочку является термическое выпучивание, которое в отличие от выпучивания при действии

механической нагрузки имеет ряд специфических особенностей. Сжатие элементов сопровождается выделением тепла, а при растяжении происходит поглощение тепла.

Обозначим перемещения точек срединной поверхности по направлениям х,у,2через Перемещения произвольной точки с координатой до деформации 2, примем равными:

г д™ г д™ г /о 'тч

и2 = и —г — = V — г — = (3.7)

дх ду

Выражения для удлинения, сдвиговых деформаций и изменения кривизны найдены путем сравнения начального и деформированного состояния срединной поверхности. Для тонкостенных цилиндрическихх оболочек, при малых деформациях и конечных перемещениях, можно принять, что квадраты

2

ди2

(д\и2у

производных (^т) одного порядка с составляющими — и т.д., тогда квадратами

производных типа этих выражений можно пренебречь. Исходя из

кинематической гипотезы Кирхгофа, выпишем выражения для деформаций удлинения и сдвига в слое оболочки, удаленном на расстояние z от срединной поверхности:

— _ д2 — — д2™ _ _ о д2™ /о о\

£хх = £11 2 дх2 , £уу = £22 2 ду2 , £ху = £12 22 ; (38)

ди . 1 {дж\2 ду . 1 {дж\2 ди ду д'ш д'ш <л\

где ЕЛл=-—ку]м + -( — ) ,г22=-—К]л/ + -( — ) ,еЛ2 = — + — + — + —. (3.9)

м 11 дх х 2\дх) ' 22 ду У 2\ду) ' 12 ду дх дх ду

выражения для деформаций в срединной поверхности, а параметры изменения

кривизны срединной поверхности:

Х1 = —д-22,Х2 = —д-22,Х3 = —£^. (3.10)

1 дх2 2 ду2 3 дхду х 7

Предполагаем, что нагрев тела не слишком велик и поэтому не изменяет механических качеств материала. Допустим также, что рассматриваемое тело мысленно разделено нами на ряд элементарных параллелепипедов, настолько малых, что каждый из них можно считать равномерно нагретым. Если в теле температура изменяется на величину Т , то элемент длины ds будет иметь новую длину (1+ при условии, что отдельные элементы объема не встречают

препятствия при расширении и, следовательно, не возникают температурные напряжения. Величину а называют коэффициентом теплового расширения. Если тело изотропно и однородно, то коэффициент а не зависит ни от направления элемента ds, ни от координат. Если предположить, что коэффициент не зависит от температуры, то он будет постоянного значением. Согласно сделанным предположениям, изначально прямоугольный бесконечно малый параллелепипед, несмотря на изменения температуры, останется прямоугольным. Удлинения по всем направлениям будут иметь одинаковую величину. Следовательно:

^хх ^уу ^гг ^^>

£ху ^уг ^хг С3-11)

Деформацию, определяемую равенствами (3.11), будем называть чисто тепловую.

Но так как, частицы тела обычно препятствуют взаимным изменениям объема, то вследствие этого возникают температурные напряжения. Связи между напряжениями и деформациями представим в виде:

Е Еаг

а1 = 1—[£и + У£22 + У(х1 + ^х2)\ —-Т;

1 — V2 1 — V

°2=-^-2 [*22 + V811 + У(Х2 + vX1)] — ~~Т; (3.12)

1—1 1—1/

Е

а12 = 2{гГ7)(£12 + 2уХ12)

где Е - модуль упругости, V- коэффициент Пуассона, - коэффициент линейного расширения, T - температурное поле.

Интегрируя по толщине (3.12), получим соотношения, связывающие усилия, деформации и температуру в срединной поверхности:

Тц =^(£11+^22)—Тг,Т22 =2^Ы11+£22)—тОт22 = £12- (3-13)

Разрешая (3.13) относительно £у, i, у = 1,2 , находим обратные соотношения:

_ 1 1—v 1 1—v

£11 = 2ЙЁ -Т11 — ^22) + ~2ЙЁ Е11 = 2ЙЁ -Т22 — ^ + ~2ЙЁ Т<;

^2=^- (3.14)

Умножив (3.12) на z и проинтегрировав по толщине, найдем выражения для изгибающего и крутящего моментов:

риЗ 3

М11 = {Х1 + УХ2) — М<, М22 (УХ1 + Х2) —

РИ3

М12=24^х12- (3.15)

Температурные компоненты усилий и моментов имеют вид:

т, = = ¡ь^гйг. (3.16)

г •'—И 1-у г •'-И 1-у

Количество тепла, полученное единицей объема тела в единицу времени,

равно с ^ (с - удельная объемная теплоемкость тела). Это количество тепла

следует приравнять теплу - (ус} ( с —вектор плотности теплового потока), которое подводится к единице объема тела в единицу времени посредством теплопроводности. При наличии в теле источников тепла, выделяющих в единице объема в единицу времени количество тепла w0, уравнение теплопроводности

имеет вид аус} + = с^-,но так как о[ = —Хчдга(Т, уравнение теплопроводности записываем в виде:

ау{Хцдга(Т>) + = с^; (317)

где - коэффициент теплопроводности. Так как величины с и зависят от температуры, а, следовательно, от координат, то уравнение (3.17), вообще говоря, является нелинейным. Мы считаем эти величины постоянными, тогда уравнение теплопроводности принимает вид:

^2Т^о = 1.дт. (3.18)

лч а д1

где а = ^ —коэффициент температуропроводности, характеризующий

теплоинерционные свойства тел. Если в теле отсутствуют источники тепла, уравнение теплопроводности переходит в уравнение:

у2Т = 1.^. (3.19)

а дг у ;

Уравнения (3.18) и (3.19) описывают нестационарные температурные поля. Стационарному температурному полю отвечает уравнение Лапласа:

У2Т = 0. (3.20)

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.

В частном случае, когда область пространства ограничена цилиндрической поверхностью, генераторы которой параллельны, например, оси 2, а изучаемое явление протекает одинаковым образом в любой плоскости, перпендикулярной к образующим (т. е. не зависит от координаты г), соответствующие гармонические функции от трёх переменных становятся гармоническими функциями от двух переменных х и у .

Для однозначности решения уравнения теплопроводности необходимо его дополнить начальным и граничными условиями. В качестве начального условия задается распределение температуры тела в начальный момент времени (? = 0). Это распределение обычно принимается равномерным:

Т(хк,0)= Т0 =сот1. (3.21)

Граничные условия связаны со сложным теплообменом на поверхности тела, где могут иметь место все три способа теплопередачи одновременно.

В теории теплопроводности в качестве основных граничных условий могут быть заданы:

1. Распределение температуры по поверхности тела: Т(хк ,1) = / (хк где Хк - точка на поверхности тела; /(хк ,1) заданная функция.

2. Плотность теплового потока через поверхность тела: ц-хк,€) = л дТ-хкХ)

—Ац ———, где п - внешняя нормаль к поверхности тела в точке хк.

При теплообмене излучением между поверхностями, имеющими температуры Т1 и Т2, плотность теплового потока через первую поверхность определяется по формуле ц = а0 £12-Т14 — Т24), где а0 — постоянная Стефана-Больцмана, а0 = 5.67 X 10—^вт/м2 *град4, е12 — постоянный коэффициент, зависящий от характеристик излучения и поглощения поверхностей и от

относительного их расположения. Значение £12 в зависимости от состояния и расположения поверхностей можно найти в специальной литературе по тепловому излучению. В частном случае, когда отсутствует тепловой поток через

поверхность (для тела с идеально изолированной поверхностью) = 0.

3. Температура окружающей среды Q и закон конвективного теплообме на

между поверхностью тела и средой: —Хч = а[Т(хк, €) — в],

а —коэффициент теплоотдачи, который зависит от термических и физических характеристик поверхности тела и окружающей среды.

В основных уравнениях изотермической эластостатики тепловые члены опускаются. Обращаясь к ситуациям, когда тепловые члены существенны, мы, не добавляем их в изотермические уравнения, а возвращаемся к первоначальным уравнениям, из которых были выведены изотермические. Поскольку отсутствие тепловых членов приводит к большим математическим упрощениям, особую важность в динамической теории упругости приобретает случай нулевой теплопроводности, или адиабатическое деформирование. При адиабатическом деформировании можно решить много задач. Весьма важным является вопрос, в какой мере эти адиабатические решения представляют собой приближения к полным решениям для теплопроводных сред. Для немногих известныхполных решений ответ гласит, что адиабатическое приближение, является достаточным, если исключить области быстрых изменений.

Так как оболочка является тонкостенной, то при равномерном действии температурного поля она прогревается сразу по толщине.

Был исследован вопрос, являются ли деформации упруго-пластическими. В литературе используются отношения, основанные на различных теориях: течение, деформация, локальные деформации и другие. Для изучения проблемы мы используем теорию деформаций.

В случае сложного напряженного состояния вводится понятие интенсивности деформаций е :

& £ ~ ^С^-хх + С ^уу ^гг)2 + ( ^гг)2 + 1.5( £Ху2 + ^хг2 +

Данное выражение является инвариантным, т.е. сохраняет величину при изменении ориентации системы координат. В соответствии с принимаемой моделью оболочки следует принять £гг = 0. После очевидных преобразований получим выражения для интенсивности деформации, которые будут использоваться в дальнейшем:

е.=± 1£ 2+£ 2+£ £ + 0 25(£ 2 + £ 2+£ 2)

С1 ^^^ схх ' суу ' сххсуу ' ' схг ' уг )•

Рассматривалась цилиндрическая оболочка, изготовленная из металла (алюминиевых сплавов, стали сплавов), тогда деформации текучести находятся около в18=2. ^"-^относительная толщина Ь/ И = 225, тогда значение интенсивности деформации в3=101.25. Так как рассматриваем модель упругого тела, то значения интенсивности деформации выполняется е < в3 . Проверка показала, что все значения лежат в области упругих деформаций.

3.3. Вариационная формулировка задачи - вариационный принцип.

Вариационные методы имеют большое значение в механике сплошных сред, они находят применение для построения, как разрешающих уравнений, так и процедур численного решения. Используя вариационные методы, можно построить наилучшие приближения в энергетическом плане для решения задачи, равномерно и последовательно упростить все соотношения при построении приближенной модели [2].

В основе вариационного подхода к задачам механики оболочек лежит общий принцип минимума полной энергии системы. Полная энергия оболочки W складывается из потенциальной энергии деформации П и работы внешних поверхностных и контурных нагрузок A.

В соответствии с принципом возможных перемещений [23] вариация полной энергии дW деформированной оболочки равна нулю в состоянии равновесия:

дW = дЛ + 8П = 0. (3.22)

Определим вариацию потенциальной энергии деформации оболочки дП. Величина П представляет собой сумму энергий, соответствующих деформации в срединной поверхности Пс и деформации изгиба Пи.

Вариация потенциальной энергии, возникающей вследствие деформации изгиба:

8П„ = Ип(Мц8Х1 + М228Х2 + М12бХ12)(:. (3.23)

Здесь и далее ds = dxdy - область интегрирования.

Вариацию энергии, которая соответствует деформации срединной поверхности, выпишем:

8ПС = Ип(ТЦ8Е11 + Т228Е22 + Т^е^аз. (3.24)

Представим (3.18) следующим образом:

8ПС = И^СТЦЕЦ + Т22Е22 + Т12Е12)(5 — Нп(£118Т11 + Е228Т22 + Е128Т12)(5 (3.25) Важным следствием преобразования (3.24) в (3.25) является введение изменения силы в средней поверхности, что в конечном итоге приведет к

уравнению в вариациях смешанного типа. Это будет варьировать отклонение и функцию усилий в средней поверхности.

д2Р д2Р д2Р

Перейдем к функции усилий ^ Т11 = , Т22 = , Т12 (3 26)

Рассмотрим сумму первого интеграла из формулы (1.25). Подставляя соотношения (3.13) и (3.14) получаем:

а—+ 2(1 + Л. (3.27)

Во втором слагаемом (1.25) перейдем от усилий к деформациям, а под знаком вариации - к функции усилия, проведя интегрирование по частям дважды и используя соотношения (3.9), получим:

Яд2\м д2\м (д2ш\2

п

= Нп [—У2к™ — ±Ь^)] 8(Р)С(Б. (3.28)

Тогда, подставляя оба слагаемых в (3.25), приходим к следующему выражению:

8П. — ШшШ— ^ддркп + (Jх2-vw+(1-

*)Т)дХ?8т+2а + + (—ч1»>—Щ*,и,))8а:)\ & (3.29)

где Ь(\\, ш) — 2

д2w д2w /'д2w\2^ дх2 ду2 \dxdyj

2 у дх2^ хду2.

Рассмотрим вариацию потенциальной энергии, возникающую вследствие деформации изгиба (3.23),выпишем это выражение в следующем виде:

\д^ д2 . . д^ д2

V

+ (3.30)

.дх2 дх2 ду2 ду2

Элементарная работа внешних поверхностных и контурных нагрузок

будет:

8'А — Цп [рх8(и) + Ру8(V) + (Ч — е2^^) 8(\)] (8. (3.31)

Выражение для кинетической энергии оболочки без учета инерции вращения элемента примет вид:

(3.32)

3.4. Классические уравнения движения оболочки.

Подставляем все полученные выражения в предыдущем параграфе в уравнение (3.22), и для приведения уравнения к безразмерному виду вводим

безразмерные величины: ш = 2КШ, F = Е(2к)3Р , t = 101, £ = ^ ,Т = а-1А~2Т. Для замкнутой цилиндрической оболочки: х = Ьх, у = R у, ку = ку

п . -Е(2Н)4 -Е(2Н)3 Ш ГР Ь гоо

(кх=0) , ч = , Рх = Рх—^г~ , т = тл1Е^,Л = я , гдеЬиК = Ку- длина

и радиус оболочки.

Для цилиндрической панели и сферической оболочки на прямоугольном

— — , — 2Н , — 2Н —Е(2П)4 -Е(2К)3

планех = ах , у = ау ,кх = кх-^;ку = ку—,ц = , , Рх = Рх—дг~ , ,

-Е(2Н)3 аЬ I р а 7 _

ру = ру —— , т = — I— , Я = - ,где а,Ь - размеры оболочки в плане по х и у

^ ^ а2 2п л Ед Ь

соответственно, где ? - время, £ - коэффициент линейного трения, F - функция усилий, w - функция прогиба, И - толщина оболочки, V = 0.3 - коэффициент Пуассона, g -ускорение силы тяжести, Е - модуль упругости, рх (у, €) = р° sm(шpt) ,ру(у,£) =p0sm(шpt)— продольная нагрузка, кх и ку - кривизна оболочки по х и у соответственно;^ (х,у^) = д0 sm( ыр£) — поперечная нагрузка, Т(х, у) = С8т(пу)8т(ш) - температурное поле, С - интенсивность температурного поля; р°, р0, ц0 —амплитуды соответствующих нагрузок, шр — частота колебаний. Температурные компоненты усилий и моментов имеют вид: = , М, = Для краткости черточка над безразмерными

величинами в системах уравнений (3.7) и (3.8) опущена.

Затем, в безразмерном виде, уравнение движения элемента оболочки и совместимость деформаций принимают форму :

1 г „ ^ д2w дш

Щш + Ч*Мт] — Ь(ш, р) — У2Р + -^Т + £— + Ч2рШ — Ч(€) = 0;

+ ±Ь(ш, ш) + У2кш + Ъ2Ыт} = 0; (3.33)

гг4 1 д4 , -2 д4 , _ З4 „2 л-1 д2 , . д2 _2 , д2 . д2

где ^ — + Я 1 Эх2 + ^ 9у2 , Ук— кх—2+ку^

Г72_ д2 1Г т?Л-д^д2Р . д^д2Р д^ д2Р т, л_

рхцу~2+руцхг2 , Ь(\,р)—1хх2-^ + 1уу2-^ — 2-^'^, Ь(\\,\) —

2

д2w д2w / \2 9х2 ду2 \дхду)

нелинейные операторы.

Для цилиндрической оболочки: ^ = 0, ^у= 0.

Для краткости черточка над безразмерными величинами в уравнении (3.33) опущена.

В диссертации рассмотрен один тип краевых условий - шарнирное опирание на гибкие в касательной плоскости нерастяжимые ребра [92]: для цилиндрических оболочек:

м> = Мх = Ых = £у= 0 при X = 0;1, у = 0;2я. (3.34)

для прямоугольных в плане панелей:

w = Мх = N = £у= 0, (х ^ у ), прих = 0;1, у = 0;1.

Следует также присоединить начальные условия в момент времени ? = 0:

\^=о— Щ,М1=о . (3.35)

3.5. Метод Бубнова-Галеркина - сведение бесконечномерной задачи к

конечномерной.

Поскольку в общем случае можно найти точное решение проблем нелинейной динамики оболочек, в частности, решение уравнений устойчивости связано с непреодолимыми математическими трудностями, большинство результатов в области устойчивости тонких оболочек получены различными приближенными методами. Метод Бубнова-Галеркина основан на свойстве ортогональных функций. Если существует семейство функций, непрерывных в некоторой области S, интеграл которых от произведения любых двух различных функций равен нулю, то функции образуют ортогональную систему в области Функции w и F , являющие решением системы (3.33) приближенно аппроксимируют аналитическим выражением, чаще всего рядом следующего вида:

^ — ЪЛП; (3.36)

где / - координатные функции, удовлетворяющие определенным условиям на границе и внутри области. А выбирают эти функции таким образом, чтобы по возможности лучше отобразить ожидаемую потерю устойчивости.

Функция, тождественно равная нулю, будет ортогональной ко всем функциям / , их производным или операторам от / . Если выражение Wj представить в виде ряда (3.31) и подставить в уравнение L(w) = 0 , то левая часть уравнения будет уже равна какой-то функции L(Wj) . Требование, чтобы функция Wj являлась точным решением, равносильно требованию ортогональности L (^¡) ко всем функциям или операторам от этих функций. Поэтому можно допустить, чтобы полученная функция была ортогональна хотя бы к ограниченному классу функций, например / составляющих ряд (3.36), т.е. условие ортогональности имеет вид:

¡¿(п^Оз — О; (3.37)

а в ряде (3.36) удерживают п членов.

Условие (3.37) после выполнения интегрирования приводят к системе однородных линейных алгебраических уравнений. А так как у этой системы существует нетривиальное решение, то возможно определить критические нагрузки.

Функции w и F, являющиеся решениями (3.33), приближенно аппроксимируем выражением, в виде произведения функций, зависящих от времени и от координат.

ш = ^о^1оАч(*)<Рч(х,У\ Р = ^о^2=оВЧтЧ(х>У). (3.38)

Желая найти приближенное значение элемента w и F , мы выбираем координатные системы функций {(р^(х,у),ф^(х,у)} (¡, у = 0,1,2...) в (3.38), удовлетворяющие следующим требованиям: они линейно независимы, непрерывны вместе со своими частными производными до четвертого порядка включительно в области удовлетворяют главным краевым условиям в точности.

Вопрос о количестве членов ряда при замене бесконечномерных систем уравнений конечномерными является важным, и будет обсуждаться в следующих параграфах.

Коэффициенты Ау (^ и Бу (:) являются искомыми функциями времени. Для удобства левые части уравнений системы (3.33), находящиеся в фигурных скобках, обозначены за Ф1 и Ф2 соответственно, тогда (3.33) примет вид:

д2ш д2Р д2М, д2М,

ф1(ш,р,ЦХ?,дХ?.....М-1Х?,1Х2 = 0;

(3.39)

д2ш д2Р д2Т д2Т

ф2(Ш,Р,~дХ2,~дХ2.....Т<,-дХ2,~дХ2=0.

Применяя процедуру Бубнова - Галеркина к (3.39), получаем: 1 £

¡0 ¡0 ф1фк1(х,у)йхйу = 0;

¡1 Ф1<Рш(х, у)йхйу = 0 , к=0,1,...,М1; 1=0,1,.,.,Ы2. (3.40)

Здесь и далее £ = 2п для замкнутой цилиндрической оболочки. С учетом (3.38) уравнения (3.42) записываются:

Т,к1 [X цАцЗчгзы + ВцСщы + Qкl + Т.цАцКщы + Нш —

^ГБ ВГ501,^г5к1 ^¡ц [

й2Ац йАцЛ „

1-1 + £-^1]сик1 — 0

1] [ м2

м

(3.41)

I

к

I

I] ГЗ

I] ГЗ

Аг5^2Л]Г5к1 + Н'

2 к

— 0.

Здесь знак Хк гМ перед каждым уравнением системы (3.41) указывает, что под данным уравнением понимается система М такого вида уравнений, а интегралы процедуры Бубнова-Галеркина имеют вид:

^ — Г1 ['

°1]гзк1 ¡о ¡о

С —П'

с1,Цк1 — I I ¿0 10

12(1-Р2)

1 д2(р1]д2(рГ5 д2Уч д2Фгз + 2 д2^Г5

X2 дх2 дх2 ду2 ду2 дхду дхду.

(Рк^хау;

- к

д2-ф

д х2

1 г'

Рк1ахаУ,С2,Цк1 —

п

00

к

X■

д2Рц

д х2

фк^хйу;

1

Я

1 £ ± 1 ВЩгбЫ — ¡о /о

1(Рц,ф гб) рк1(х(у,^2,1]гзк1 — ¡0 ¡0 2^(р1],ргз)фк1ахау; (3.42)

1,1 ] к1 — I I ¿0 10

рх

д2Ра , д2рц

д х2

+ Ру'

д х2

ры(1х(1у;

1^1 2

Р

Ь ]гз к1

П'

00

1 д2фИ д2ф.

'гз

X2 дх2 дх2 1 '

+ Х2

д2фИ д2фг3 о д2фИ д2ф

+ 2■

г

ду2 ду2 дхду дхду 1 '

фк^хйу;

Н

I]к1 — [ [ Рц,Фк1(х((у^к1 — I I Рк1Ч(х(у; 0 0 0 0

—П'

,0 Jо 12(1-V2) 1 '

Н2к1 — I I Х

д2Мь д2Мь

—I1!'

00

-1

д2Т д2Т

+ Л-

ду2 фш(х(1у.

Рк1(х(у;

дх2 ду2

Интегралы (3.42), за исключением Qы , если поперечная нагрузка приложена не ко всей поверхности оболочки, вычисляются по всей срединной поверхности оболочки. После применения процедуры Бубнова - Галеркина

получена система дифференциальных уравнений в обыкновенных производных от носительно функций Aij(t) и Bij (t), записанная в матричной форме:

G(A + еА) + SA + СгВ + DtAB = Qq + Ht;

С2А + РВ + D2AA = Н2, (3.43)

где G =||Gijkl \\ , S = ||Sijrskl \\ , C1 = ||C1ijkl \\ , C2 = ||C2ijkl \\ , D1 = ||D1ijrskl \\ , D2 = 11D2ijrskl ||, P = \\P ijkl\\ - квадратные матрицы размерностью 2 . N1. N2 x 2 . N1. N2 , A= ЦАцЦ , B = ЦВцЦ , Q= ||Qij\\ - матрицы размерностью 2

. N1. N2 x 1.

Далее второе уравнение системы (3.43) разрешается относительно матрицы B и решается методом обратной матрицы на каждом шаге по времени (3.44):

В = [-P-1D2A - -Р-1С2]А + Р-1Н2. (3.44)

Умножая на G-1 первое уравнение системы (3.45) и обозначая A = R ,придем к задаче Коши для нелинейной системы уравнений первого порядка: R = -sR + G-1D1AB - G-1SA - G-1C1B + qG-1Q + G-1H1

(3.45)

А = Я.

Проведенное преобразование возможно, т.к. обратные матрицы С-1 и Р-1 существуют, если координатные функции линейно независимы.

3.6 Перемещения и деформации оболочек при равномерном

нагреве.

h h T1 = i\°11dZ = + V£22)-^i\edz = + v£22 —

aT(l + v)NT),(~y);

T" \x,yj h

— g S = 5\°12dz =7^)£12'' (346)

где NT = 1 Jh/2n Odz обозначает тепловую силу. h h/2

Для получения моментов используются следующие формулы:

h

M,

1 = jl<Jiidz = D(&11 + v&22)

h 2

Ea

T

J dz = D(œ11 + vœ22 — aT(l + v)MT), Q ) ;

1 — V I \х,у

Л 2