Влагоупругость неоднородных толстостенных оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Авершьев, Анатолий Сергеевич

• Авершьев, Анатолий Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Авершьев, Анатолий Сергеевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Обзор исследований посвященных решению задач теории упругости неоднородных тел

1.2. Понятие влагоупругости

1.2.1. Влажность

1.2.2. О задачах влагопроводности

1.2.3. О набухании и влиянии влажности на свойства материалов

1.3. Используемые модели

1.4. Формулировка задачи влагоупругости неоднородных тел в полярных и сферических координатах

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ

2.1. Стационарные задачи

2.1.1. Осесимметричная стационарная задача в толстостенной цилиндрической оболочке

2.1.2. Центральносимметричная стационарная задача в толстостенной сферической оболочке

2.2. Нестационарные задачи

2.2.1. Осесимметричная нестационарная задача в толстостенной цилиндрической оболочке

2.2.2. Центральносимметричная нестационарная задача в толстостенной сферической оболочке

ГЛАВА 3. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ СТЕСНЕННОМ НАБУХАНИИ

3.1. Напряженное состояние в упругих однородных оболочках

3.1.1. Одномерные стационарные задачи

3.1.2. Одномерные нестационарные задачи

3.1.3. Двумерные задачи

3.2. Напряженное состояние в упругих неоднородных оболочках

3.2.1. Одномерные стационарные задачи

3.2.2. Одномерные нестационарные задачи

3.2.3. Двумерные задачи

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ ГРУНТОВОГО МАССИВА С ОТВЕРСТИЕМ

4.1. Цилиндрическое отверстие

4.1.1. Стационарная одномерная задача

4.1.2. Нестационарная одномерная задача

4.1.3. Двумерная задача

4.2. Сферическая полость

4.2.1. Стационарная одномерная задача

4.2.2. Нестационарная одномерная задача

4.2.3. Двумерная задача

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влагоупругость неоднородных толстостенных оболочек»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации. В современном мире вопрос о надежности, долговечности и экономичности конструкций становится все актуальнее. Для приближения расчетов к реальному поведению конструкций необходимы рассмотрение новых факторов и разработка более совершенных методов их учета. Одним из таких факторов является неравномерное распределение влажности внутри тел, учет которого имеет большое практическое значение. Влажностным нагрузкам подвержены такие тела, как грунтовые основания зданий и сооружений, бетонные и деревянные конструкции, которые, безусловно, имеют высокую значимость в строительной отрасли.

Также одним из перспективных направлений является рассмотрение материала конструкции с учетом неоднородности его структуры и физико-механических свойств. Достаточно часто такие расчеты проводятся для толстостенных цилиндрических и сферических оболочек, которые используются в качестве элементов строительных конструкций самого различного назначения. Учет неоднородности материала, возникающей по той или иной причине, зачастую приводит к значительному перераспределению напряжений в теле конструкции, что часто носит не только количественный, но и качественный характер.

Учет неоднородности при расчетах дает возможность получить более точные результаты, проводить исследования влияния неоднородности на напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций. А зависимость физико-механических характеристик материала от влажности приводит к рассмотрению задач теории упругости неоднородных тел, являющейся активно развиваемым разделом механики сплошных сред.

На развитие теории упругости неоднородного тела наибольшее влияние оказали работы отечественных ученых Андреева В.И., Биргера Б.И., Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Гольденблата И.И., Коваленко А.Д., Колчина Г.Б., Коляно Ю.М., Лехницкого С.Г., Ломакина В.А., Михлина С.Г., Панкратовой Н.Д., Плева-ко В.П., Подстригача Я.С., Ростовцева H.A. и других. Решением широкого круга

проблем теории упругости неоднородных тел занимались польские ученые: Го-лецкий К., Ольшак В., Рыхлевский Я., Урбановский В. Среди западных авторов изучением подобных Ёопросов занимались Гейтвуд Б., Клементе Д.Л., Конвей X. и другие.

В работах Андреева В.И. и его учеников представлены решения задач теории упругости неоднородных тел. Множество из этих работ посвящены решению задач для цилиндрических и сферических оболочек, подвергающихся различным воздействиям. В большинстве из них неоднородность связана с зависимостью модуля упругости материала конструкции от температуры. Также рассмотрены случаи, когда неоднородность возникает вследствие неравномерного армирования конструкции.

В работах Андреева В.И., Ломакина В.А. указано, что в механике неоднородных сред рассматриваются три основных вида неоднородности: непрерывная, кусочно-однородная и стохастическая, при этом функции, описывающие свойства сплошной среды, являются соответственно непрерывными, кусочно-постоянными и случайными. В первом случае решение задач теории упругости неоднородных тел сводится к рассмотрению дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Во втором - к сопряжению решений для конечного числа однородных областей, в каждой из которых решение может быть получено методами классической теории упругости. В последнем случае применяется аппарат математической статистики.

В частности, определению напряженно-деформированного состояния тел с учетом непрерывной неоднородности материала посвящен ряд работ Биргера Б.И., Василенко Л.Т., Гейтвуда Б.Е., Григоренко Я.М., Колтунова М.А., Ломакина

B.А., Москвитина В.В., Панкратовой Н.Д. и других авторов.

Зачастую для решения задач необходимо использовать численные методы решения. На развитие численных методов решения оказали значительное влияние Абовский Н.П., Аргирис Дж., Бахвалов Н.С., Березин И.С., Варга P.C., Годунов

C.К., Зенкевич О., Келдыш М.В., Курант Р., Марчук Г.И., Михлин С.Г., Ортега Дж., Рябенький B.C., Самарский A.A. и многие другие отечественные и зарубеж-

ные ученые. С появлением численных методов стало возможным решение большинства прикладных задач, когда неоднородность материала носит сложный характер.

В данной работе рассматривается решение задач с учетом непрерывной неоднородности материала, обусловленной воздействием влажностного поля. При этом рассматривается несвязанная задача влагоупругости, на первом этапе решения которой определяется влажностное поле, и устанавливаются функциональные зависимости упругих характеристик материала от полученного влажностного воздействия. Па следующем этапе решается собственно задача влагоупругости. При определении зависимости характеристик материала от влажности используются соответствующие экспериментальные данные, имеющиеся в научной и нормативной литературе.

Целью диссертационной работы является исследование влияния неоднородности, обусловленной неравномерным распределением влажности, на напряженное состояние толстостенных цилиндрических и сферических оболочек в одномерной и двумерной постановках при стационарном и нестационарном влаж-ностных режимах.

Основные задачи исследований:

1. анализ влияния неоднородности на механические свойства материалов;

2. решение стационарной и нестационарной задач влагопереноса в толстостенных цилиндрических и сферических оболочек;

3. решение задач влагоупругости с учетом радиальной неоднородности материала;

4. решение модельных задач влагоупругости грунтового массива с цилиндрическим и сферическим отверстием вблизи разрыва трубопровода;

5. анализ влияния неоднородности материала на напряженное состояние грунтового массива, вызванное стесненным влажностным набуханием. Научная новизна. На основании исследований, проведенных в диссертации, были получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. разработка методики решения задач влагопереноса в толстостенных оболочках при стационарном и нестационарном процессах;

2. разработка методики решения задач влагоупругости толстостенных оболочек с учетом зависимости деформационных характеристик материала от влажности;

3. разработка математических моделей расчета набухающего грунтового массива с цилиндрическим и сферическим отверстием с учетом неоднородности материала;

4. исследование влияния неоднородности материала, обусловленной неравномерным распределением влажности, на напряженное состояние глинистого массива при разрыве трубопровода.

Достоверность результатов работы подтверждается:

• строгостью математической постановки задач и физически обоснованными расчетными моделями;

• использованием апробированных гипотез механики деформируемого твердого тела, аналитических и численно-аналитических методов расчета;

• совпадением результатов расчетов в упрощенной постановке с результатами, полученными другими авторами.

Практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы могут использоваться для прогноза напряженно-деформированного состояния конструкций из набухающих материалов, работающих в высокоградиентных влажностных средах.

Результаты исследований, полученные в диссертационной работе, использованы при выполнении в 2013 -2014 гг. НИР РААСН «Влагоупругость неоднородных тел в задачах механики грунтов и производства строительных материалов».

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы были изложены в докладах на:

1. XXI Russian-Slovak-Polish seminar «Theoretical Foundation of Civil Engineering» (Архангельск, 2012 г.);

2. 3rd International Conference on Structures and Building Materials (China, 2013);

3. Научно-технической конференции по итогам научно-исследовательских работ студентов за 2012-2013 учебный год (МГСУ, 2013 г.);

4. X Всероссийской конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» (МГСУ, 2013 г.);

5. 7th Subrata Chakrabarti International Conference on Fluid Structure Interaction (Spain, 2013);

6. XVI Международной межвузовской конференции «Строительство - формирование среды жизнедеятельности» (МГСУ, 2013 г.);

7. XXII Slovac-Russian-Polish Seminar "Theoretical Foundation of Civil Engineering" (Slovakia, 2013);

8. Global Chinese Conference on Computers in Education (China, 2013);

9. Международной научно-практической конференции «Безопасность и проектирование конструкций в машиностроении и строительстве» (Курск, ЮЗГУ, 2013 г.);

10. XI Всероссийской конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» (МГСУ, 2014 г.);

11.4th International Conference on Civil Engineering, Architecture and Building Materials (China, 2014).

Публикации. Результаты диссертации достаточно полно изложены в 15 опубликованных работах, в том числе в 6 работах, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК, и в 5 работах, опубликованных в зарубежных изданиях, входящих в перечень журналов, индексируемых в SCOPUS и Web of Science:

1. Andreev V. I., Avershyev A.S. On accounting mechanical heterogeneity in solving problems of moisture transfer in soils. Proc. of the XXI Russian - Slovak -Polish seminar "Theoretical foundation of civil engineering", pp. 87-92, 2012;

2. Андреев В.И., Авершьев A.C. Стационарная задача влагоупругости для неоднородного толстостенного цилиндра. // Вестник МГСУ. 2012. № 10. С. 56-61;

3. Andreev V.I., Avershyev A.S. Stationary Problem of Moisture-elasticity for In-homogeneous thick-walled Shells. Advanced Materials Research, Vols. 671-674 (2013) pp. 571-575. Trans Tech Publications, Switzerland, 2013;

4. Андреев В.И., Авершьев A.C. Влагоупругость толстостенного неоднородного цилиндра при нестационарном влажностном режиме. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. №2 2013, с. 20-25;

5. Andreev V.I., Avershyev A.S. Nonstationary problem moisture elasticity for nonhomogeneous hollow thick-walled cylinder. Transactions of International Conference on Fluid Structure Interaction 10-12 April, 2013. WITpress, pp. 123-132;

6. Andreev V.I., Avershyev A.S. About Influence of Moisture on Stress State of Soil taking into account Inhomogeneity. International Journal for Computational

Civil and Structural Engineering, 2013, Vol. 9, Iss. 3, pp. 14-20, ASV Publ. House;

7. Андреев В.И., Авершьев А.С. Нестационарная задача влагоупругости грунтового массива с цилиндрическим отверстием. Proc. of the XXII Slovac-Russian-Polish Seminar "Theoretical Foundation of Civil Engineering", Zilina, pp. 51-58, 2013;

8. Авершьев А.С., Андреев В.И. О постановке задач влагоупругости неоднородных тел в механике грунтов // Строительство - формирование среды жизнедеятельности: сб. тезисов Шестнадцатой международной межвузовской научно-практической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых, 24-26 апреля 2013 г., Москва, МГСУ, с. 217221;

9. Авершьев А.С. Влияние учета неоднородности в задаче влагоупругости при моделировании разрыва трубопровода в грунтовом массиве. // Сб. материалов Международной научно-практической конференции «Безопасность и проектирование конструкций в машиностроении и строительстве», 14-15 октября 2013 г., Курск, ЮЗГУ, с 17-21;

10. Andreev V.I., Avershyev A.S. Nonstationary Problem Moisture Elasticity for Nonhomogeneous Hollow Thick-walled Sphere. Advanced Materials Research, Vols. 838-841 (2014) pp. 254-258. Trans Tech Publications, Switzerland, 2014;

11. Андреев В.И., Авершьев A.C. Влагоупругость неоднородного толстостенного полого шара при нестационарном влажностном режиме. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. № 1. С. 30-37;

12. Avershyev A.S., Andreev V.I. Two-dimensional problem moisture elasticity for inhomogeneous flat annular area. Applied Mechanics and Materials Vols. 580583 (2014) pp. 2974-2977 Trans Tech Publications, Switzerland, 2014;

13. Андреев В.И., Авершьев A.C. Осесимметричная задача влагоупругости в неоднородном сферическом массиве. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 2014, Vol. 10, Iss. 1, pp. 46-54, ASV Publ. House;

14. Andreev V.l., Avershyev A.S. Two-dimensional Problem of Moisture Elasticity of Inhomogeneous Spherical Array with Cavity. Applied Mechanics and Materials Vols. 580-583 (2014) pp. 812-815. Trans Tech Publications, Switzerland, 2014;

15. Андреев В.И., Авершьев A.C. Плоская неоднородная двумерная задача влагоупругости // Вестник ВолгГАСУ, вып. 37(56), 2014. Волгоград. С 614.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 101 наименований и 6 приложений. Работа изложена на 137 страницах машинописного текста, включающего 3 таблицы и 47 рисунков.

В первой главе дан краткий обзор работ, посвященных постановкам задач теории упругости неоднородных тел и методам их решения, а также обзор литературы, в которой затрагиваются вопросы влияния влажности на физико-механические свойства материалов. Приводятся некоторые методы расчетов влажностных полей и основные уравнения механики неоднородных тел.

Во второй главе приводятся решения стационарной и нестационарной задач влагопроводности для цилиндрических и сферических толстостенных оболочек.

В третьей главе рассмотрены стационарные, нестационарные и двумерные задачи влагоупругости. Нестационарные задачи решены квазистатическим методом, а для двумерных задач использован метод разделения переменных. Все задачи с учетом неоднородности в силу сложности дифференциальных уравнений решены численно-аналитическим методом.

В четвертой главе в различных постановках приводится решение задачи влагоупругости для грунтового массива, расположенного вблизи поврежденного трубопровода.

В конце работы приведены выводы, список литературы и приложения.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Обзор исследований посвященных решению задач теории упругости неоднородных тел

Одной из важнейших областей механики деформируемого твердого тела является теория упругости неоднородных тел. Линейная теория упругости неоднородных тел с учетом влажностных воздействий базируется на соотношениях Дюгамеля-Неймана, в которых параметры, определяющие свойства материала, являются функциями координат точек тела. Основными параметрами являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v, а также связанные с ними коэффициенты Ляме X, [I и модуль объемного сжатия К, коэффициент влагопровод-ности си и коэффициент влажностного набухания Р1(,. Неоднородность материала может быть обусловлена причинами как конструкционного, так и технологического характера. Например, элементы конструкции могут состоять из нескольких слоев различных материалов или же находиться под воздействием неравномерных влажностных, температурных или радиационных полей.

Другие соотношения классической теории упругости, а именно уравнения равновесия и соотношения Коши, остаются без изменений. Благодаря этому уравнения совместности деформаций в напряжениях или уравнения движения в перемещениях могут быть получены аналогично тому, как это сделано в классической теории упругости [51, 82]. В середине тридцатых годов XX века были опубликованы работы С.Г. Михлина [56, 57], в которых впервые был приведен вывод уравнений плоской задачи теории упругости неоднородного тела.

Проблеме расчета неоднородных тел посвящено множество работ. Особого внимания заслуживают работы Колчина Г.Б. и Фавермана Э.А. [45, 46], содержащие подробный библиографический указатель по данному вопросу. Постановка задач теории упругости неоднородных тел широко представлена в монографиях [40, 43, 44, 51, 71]. При этом в ставшей уже классической монографии [51] рассматриваются методы решения задач с непрерывной неоднородностью, а в работе

[71] рассмотрены постановка и решение задач с кусочной неоднородностью материала и тел с включениями.

Задачи теории упругости неоднородных тел, поставленные в перемещениях или напряжениях, рассматриваются в работах [40, 43, 44, 49, 51, 66, 67]. В ряде работ решение поставленных в напряжениях задач представлено с помощью введения функции напряжений [8, 34, 51, 73]. В работе [51] показано, что использование функции напряжений при произвольной неоднородности материала не приводит к упрощению решения задачи. Это связано с невозможностью сведения шести уравнений неразрывности деформаций к трем уравнениям относительно функции напряжений. Использование функции напряжений позволяет несколько упростить расчет только при специальном виде неоднородности [42, 51]. В общем случае полученные уравнения относительно функции напряжений настолько сложны, что их решение проводится численными методами [8, 34]. Уравнения в перемещениях при произвольной неоднородности материала, а также при зависимости механических характеристик от температуры приведены в работах [7, 8, 40, 51, 71] и других. Также интерес представляет и смешанная задача, решение которой сводится к шести уравнениям относительно шести неизвестных компонент тензоров перемещений и напряжений [31, 69, 70].

В многочисленных работах, посвященных приложениям строительной механики, также приводятся формулировки задач теории упругости неоднородных тел, среди которых следует отметить работы [18, 19, 25, 30, 58], где приведены расчеты некоторых специальных конструкций.

Основная трудность решения задач теории упругости неоднородных тел заключается в решении систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Чтобы обойти это затруднение, можно свести задачу теории упругости неоднородных тел к уже изученным задачам для однородного тела. Одним из наиболее известных методов является метод сопряжения [71], в соответствии с которым сплошное тело с непрерывной неоднородностью заменяется его дискретным аналогом с кусочно-постоянной неоднородностью каждого слоя. При этом возникает необходимость удовлетворять условиям

идеального термомеханического контакта на границе слоев [31, 68, 71]. В некоторых случаях производится предельный переход от кусочно-однородного тела к телу с непрерывной неоднородностью [62, 63, 86]. Применение обобщенных функций также является эффективным методом [48, 71, 72]. Для расчета неоднородных тел во всех вышеперечисленных работах применялись известные аналитические решения классической теории упругости. Для этого необходимо либо описывать неоднородность заранее выбранными специальными функциями [8, 17, 20, 23, 40, 51, 75], либо использовать метод последовательных приближений [24, 34, 43, 47, 49, 51, 58]. Однако этот метод в значительной степени утрачивает свои достоинства, если аналитическое решение вспомогательной однородной задачи неизвестно или связано со значительными трудностями.

Одним из основных методов решения уравнений в частных производных является метод разделения переменных, применение которого позволяет понизить размерность рассматриваемых уравнении. Так, например, представление искомого решения и внешних воздействий в виде рядов Фурье по азимутальному углу позволяет свести решение трехмерной задачи теории упругости к ряду задач осе-симметричной деформации тел вращения [21, 39, 74]. Однако по отношению к задачам теории упругости неоднородных тел применение метода разделения переменных ограничено. Это связано с тем, что разделение переменных возможно лишь в случае одномерной неоднородности материала (например, зависимость коэффициентов Ляме только от радиуса цилиндра) и согласованных граничных условий [7, 8, 16, 31, 32, 69, 70]. Несмотря на данные ограничения, эффективность метода разделения переменных исключительно высока, так как позволяет сводить решение пространственных задач для одномерно-неоднородных тел к решению ряда краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, для решения которых известны высокоэффективные алгоритмы и программы расчета на ЭВМ [26, 27, 60, 61, 87].

1.2. Понятие влагоупругостн

Некоторые тела, находясь в свободном состоянии, имеют свойство менять свой объем при изменении влажности. Такое свойство характеризуется влажност-ным набуханием или влажностной усадкой в зависимости от того, как изменяется влажность. В общем случае при увеличении и при уменьшении влажности тела, обладающие упомянутым свойством, деформируется в разной степени. В диссертационной работе рассматриваются задачи только об увеличении влажности и набухании тел, и опускается рассмотрение усадочных деформаций.

Если тела из набухающих материалов находятся в стесненном состоянии, в них возникает напряженно-деформированное состояние, что является предметом изучения механики деформируемого твердого тела. При использовании гипотезы об обратимости деформаций при разгрузке задача об определении напряженно-деформированного состояния набухающего тела является предметом изучения влагоупругостн. Таким образом, задачи теории упругости, в которых вынужденные влажностные деформации вносят существенный вклад в результаты решения, можно отнести к классу задач влагоупругостн.

Термин елагоупругость появился в литературе относительно недавно. Первые публикации в России, в которых используется данный термин, относятся к началу 1980-х гг. [64]. В то же время, термин вполне естественный, поскольку постановка и методы решения задач определения напряженно-деформированного состояния в телах, подверженных увлажнению (или, наоборот, высыханию) аналогичны решению задач теории упругости для тел, находящихся в температурном поле, для которых существуют устоявшийся термин термоупругость.

1.2.1. Влажность

Влажность характеризуется количеством несвязанной воды в материале и численно равна отношению массы воды к массе твердых частиц в веществе [80]:

п = т„/тя. (1.1)

Влажность или влага может перераспределяться в телах, которые имеют поры или капилляры. Подробным изучением влажности и процессов, связанных с ней, занимался отечественный исследователь Лыков A.B. [54].

По способности набухания тела можно разделить на неограниченно набухающие, которые способны растворяться в жидкости, и ограниченно набухающие. Последние при погружении в жидкость поглощают определенное количество ее, что и служит мерой максимального набухания.

Влажные материалы, подвергаемые термической обработке или периодическому воздействию тепла и влаги, изменяют свои физические свойства. Эти изменения обусловлены молекулярным характером связи поглощенной жидкости с веществом тела. Кроме того, перенос поглощенной жидкости внутри капиллярно-пористого тела зависит от характера молекулярной связи жидкости, содержащейся в теле, с веществом скелета тела. Поэтому анализ видов связи вещества, поглощенного коллоидными капиллярно-пористыми телами, представляет особый интерес для физики переноса тепла и массы. Однако, подробный анализ поглощения телами влаги не является предметом данного исследования; интерес представляют лишь общие физические закономерности переноса влаги.

Как известно, процесс влагопереноса является процессом массопереноса, который описывается уравнением диффузии. Это уравнение было получено немецким физиологом А. Фиком в 1855 г., в литературе его также можно встретить под названием второй закон Фика. Второй закон Фика применительно к влажности имеет вид [84]:

Величина сн называется коэффициентом влагопроводности, который име-

проводности в уравнениях тепломассопереноса, предложенных A.B. Лыковым для капиллярно-пористых сред [80], а физически характеризует скорость перераспределения влаги в материале. Коэффициент влагопроводности определяется пори-

dt

ет размерность см2/с. Он является аналогом коэффициента диффузии и тепло-

стой структурой материала и характером молекулярных связей между жидкостью и веществом скелета тела.

Влагопроводность определяется наличием градиента влажности. Поскольку почти вся влага, содержащаяся в материале при положительной температуре, находится в жидком состоянии, то часто под влагопроводностыо понимают способность материала проводить жидкую влагу.

У бетонов, древесины, некоторых видов грунтов и других материалов наблюдается зависимость механических характеристик от влажности.

Из-за неравномерного распределения полей влажности тела из этих материалов имеют неоднородное распределение механических характеристик.

1.2.2. О задачах влагопроводности

Ранее сказано, что влажность в телах распределяется согласно второму закону Фика. Если коэффициент влагопроводности не зависит от влажности, и отсутствуют внутренние источники влажности, то мы получим классическое линейное однородное дифференциальное уравнение влагопроводности в частных производных параболического типа:

I(1.2)

Дифференциальное уравнение влагопроводности устанавливает связь между временными и пространственными изменениями влажности тела; оно математически описывает перенос влаги внутри тела. Для того чтобы найти влаж-ностное поле внутри тела в любой момент времени, т. е. чтобы решить дифференциальное уравнение, надо знать распределение влажности внутри тела в начальный момент времени (начальное условие), геометрическую форму тела и закон взаимодействия между окружающей средой и- поверхностью тела (граничное условие).

Совокупность начального и граничного условий называется краевыми условиями; начальное условие называется временным краевым условием, а граничное условие — пространственным краевым условием.

Начальное условие определяется заданием закона распределения влажности внутри тела в начальный момент времени, т. е.

где f{b,,г\,С,) — известная функция. Во многих задачах принимают равномерное распределение влажности в начальный момент времени; тогда

т|, = const,

Граничное условие может быть задано различными способами. Граничное условие первого рода состоит в задании распределения влажности по поверхности тела в любой момент времени [55],

"„(') = /(')>

где wn (t) — влажность на поверхности тела.

В частном случае wn(t) = const, т. е. влажность на поверхности постоянна

на протяжении всего процесса влагообмена.

Граничное условие второго рода состоит в задании плотности потока влаги для каждой точки поверхности тела как функции времени, т. е.

Простейший случай граничного условия второго рода состоит в постоянстве плотности потока влаги:

qn{t) = const.

Граничное условие третьего рода отражает закономерности переноса влаги между поверхностью тела и окружающей средой при определенном законе изменения потенциала среды во времени и выражается соотношением:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Авершьев, Анатолий Сергеевич, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абелев М.Ю. Строительство промышленных и гражданских зданий на водонасыщенных грунтах. М., 1982. 247 с.

2. Авершьев A.C. Влияние учета неоднородности в задаче влагоупругости при моделировании разрыва трубопровода в грунтовом массиве. // Сб. материалов Международной научно-практической конференции «Безопасность и проектирование конструкций в машиностроении и строительстве», 14-15 октября 2013 г., Курск, ЮЗГУ, с 17-21.

3. Александровский C.B. Расчет бетонных и железобетонных конструкций на изменения температуры и влажности с учетом ползучести. - М.: Стройиздат, 1973. -432 с.

4. Андреев В.И. Об одном методе решения в перемещениях плоской задачи теории упругости для радиально неоднородного тела //Прикл. мех. 1987. Т. 23. №4. С 16-23.

5. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: Изд-во АСВ, 2002. 286 с.

6. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. -М.: Изд-во АСВ, 1987. - 288 с.

7. Андреев В.И. Метод решения некоторого класса трехмерных задач для упругого радиально-неоднородного цилиндра // Изв. вузов. Сер. Строительство и архитектура. - 1985. - № 8. - С. 27-31.

8. Андреев В.И. Упругое и упруго-пластическое равновесие толстостенных цилиндрических и сферических непрерывно-неоднородных тел: Спец. 01.02.03 -Строительная механика: Дис. на соиск. уч.. степени д-ра т.н. - М.: Б.и.; 1985. - 427 с. - В над. заг.: МИСИ им.В.В.Куйбышева.

9. Андреев В.И., Авершьев A.C. Стационарная задача влагоупругости для неоднородного толстостенного цилиндра. //Вестник МГСУ. 2012. № 10. С. 56-61.

10. Андреев В.И., Авершьев A.C. Влагоупругость толстостенного неоднородного цилиндра при нестационарном влажностном режиме. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. №2 2013, с. 20-25.

11. Андреев В.И., Авершьев A.C. Нестационарная задача влагоупругости грунтового массива с цилиндрическим отверстием. Proc. of the XXII Slovac-Russian-Polish Seminar "Theoretical Foundation of Civil Engineering", Zilina, pp. 5158, 2013.

12. Авершьев A.C., Андреев В.И. О постановке задач влагоупругости неоднородных тел в механике грунтов // Строительство - формирование среды жизнедеятельности: сб. тезисов Шестнадцатой международной межвузовской научно-практической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых, 24-26 апреля 2013 г., Москва, МГСУ, с. 217-221.

13. Андреев В.И., Авершьев A.C. Влагоупругость неоднородного толстостенного полого шара при нестационарном влажностном режиме. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. № 1. С. 30-37.

14. Андреев В.И., Авершьев A.C. Осесимметричная задача влагоупругости в неоднородном сферическом массиве. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 2014, Vol. 10, Iss. 1, pp. 46-54, ASV Publ. House.

15. Андреев В.И., Авершьев A.C. Плоская неоднородная двумерная задача влагоупругости // Вестник ВолгГАСУ, вып. 37(56), 2014. Волгоград. С 6-14.

16. Андреев В.И., Смолов A.B. Метод разделения переменных в осесиммет-ричных задачах об упругом равновесии неоднородных цилиндров // Прикладные методы исследования тонкостенных конструкций: Сб. научных трудов. - М.: МАИ, 1984.-С. 8-13.

17. Андреев В.И., Шищиц И.Ю. Исследование напряжений вокруг отверстий в пространстве с учетом сжимаемости материала // Нелинейные задачи сопротивления материалов и прикладной теории упругости: Сб. трудов № 118. - М.: МИ-СИ, 1974.-С. 59-62.

18. Баранов В.Д., Гольденблат И.И. и др. Расчет конструкций на тепловые воздействия. - М.: Машиностроение, 1969. - 600 с.

19. Безухов Н.И., Баженов В.Д., Гольденблат И.И. и др. Расчет на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Под ред. И.И. Голь-денблата. - М.: Машиностроение, 1965. - 567 с.

20. Биник М., Спиллерс В.Р., Фрейденталь A.M. Неоднородный толстостенный цилиндр, подверженный действию внутреннего давления // Ракетная техника и космонавтика. - 1962. - № 8.- с. 40-82.

21. Вильсон ЕЛ. Расчет на прочность осесимметричных тел // Ракетная техника и космонавтика. - 1965. - № 12. - С. 124-131.

22. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов. М.: Высш. шк., 1976. 447 с.

23. Габбасов Р.Ф., Пергаменщик Б.К., Шрамко В.В. Решение плоской задачи теории упругости с учетом переменных значений коэффициента Пуассона// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1987. № 5. С. 31-34.

24. Гаранчук В.А., Постольник Ю.С., Губа В.М. Расчет термоупругих напряжений в цилиндре с учетом температурной зависимости физико-механических свойств материала // Тепловые напряжения в ментах конструкций. - Киев: Наук, думка, 1980. - Вып. 20. -С. 57-63.

25. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения. Применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам, - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. - 253 с.

26. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. - 1961. ХУ1, Вып. 3(99). - С. 171-174.

27. Годунов С.К. Метод ортогональной прогонки для решения систем разностных уравнений // Журнал вычислительной матем. и матем. физики. - 1962. - 2, № 6.- С. 972-982.

28. Голли O.P. Использование закономерностей набухания глинистых грунтов в строительстве // Реконструкция городов и геотехническое строительство, №8/2004.

29. Голли О.Р. Прогнозирование свойств глинистых грунтов при набухании в зависимости от их начальной влажности // Известия ВНИИГ. Т. 156. JL, С. 32-35.

30. Гольденблат И.И., Николаенко H.A. Расчеты температурных напряжений в ядерных реакторах. - М.: Госатомиздат, 1962. - 157 с.

31. Григоренко Я.М„ Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К определению температурных полей и напряжений в ортотропных слоистых цилиндрах // Математические методы и физико-механические поля. -1983. - Вып. 18. - С. 67-72.

32. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных оболочек. - Киев: Выщя школа, 1985. - 190 с.

33. Давыдов В.А. Особенности изысканий и проектирования автомобильных дорог в районах вечной мерзлоты. Омск : Омский ПИ, 1979. С. 44—56.

34. Даникина Т.С. Исследование влияния неоднородности среды на концентрацию напряжений вокруг подземной цилиндрической полости: Спец. 01.02.03 -Строительная механика: Дис. на соиск. уч. степени к. т. н. - М.: Б.и.; 1980 - 183 с. В над. заг.: МИСИ им. В.В. Куйбышева.

35. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965. - 287 с.

36. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

37. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 6-е изд., стер. - СПб.: Изд-во «Лань», 2003. - 576 с.

38. Качмаж С., Штейгауз Г. Теория ортогональных рядов. - М.: Физматгиз, 1958.-507 с.

39. Квитка А.М., Ворошко П.П., Бобрицкая С.Д. Напряженно-деформированное состояние тел вращения. - Киев: Наук, думка, 1974. - 209 с.

40. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. - Киев: Наук, думка, 1970. - 307

с.

41. Колосовская Е.А., Лоскутов С.Р., Чудинов Б.С. Физические основы взаимодействия древесины с водой / Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989.— 216 с.

42. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. - М.: Высш. школа, 1975. - 526 с.

43. Кол чин Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. - Кишинев: Картя Молдовеняскэ, 1971. -172 с.

44. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. - Кишинев: Штиинца, 1974. - 120 с.

45. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. Библиографический указатель. - Кишинев: Штиинца, 1972. - 248 с.

46. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. Библиографический указатель. - Кишинев: Штиинца, 1977. - 148 с.

47. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. - Кишинев: Штиинца, 1977. - 119 с.

48. Коляно Ю.М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочно-однородных тел // Математические методы и физико-механические поля. - Киев: Наук, думка, 1978. - Вып. 7. - С. 7-11.

49. Кунташев П.А., Немировский Ю.В. О решении в напряжениях задачи термоупругости неоднородных тел по методу возмущений // Прикл. матем. и механика. - 1985. - 49, № 2. - С. 344-347.

50. Леонтьев Н.Е. Основы теории фильтрации. - М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2009. — 88 с.

51. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. - М.: Изд-во МГУ 1967.-367 с.

52. Ломакин И.С., Евсеев A.B. Экспериментальное и численное исследование влияния подстилающего слоя мергеля на несущую способность междукамерных целиков // Геотехнология. Известия ТулГУ. Науки о Земле. 2010. Вып. 2. Стр. 143-151.

53. Лыков A.B. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

54. Лыков A.B. Явления переноса в капиллярно пористых телах. - М. Гос-техтеориздат, 1954. - 298 с.

55. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М. - Л.: Госэнергоиздат, 1963. 536 с.

56. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости // Труды сейсм. ин-та АН СССР. - 1935.-№ 65.- 84 с.

57. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости для неоднородной среды.// Труды сейсм. ин-та АН СССР. - 1935. - № 66. -16 с.

58. Москвитин В.Б. Сопротивление вязко-упругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе). - П.: Наука, 1972. - 327 с.

59. Муращенко Н.Ф., Эринын П.П. Процессы сорбции, диффузии и набухания в древесных клеточных стенках // Клеточная стенка древесины и ее изменения при химическом воздействии.— Рига: Зинатне, 1972.— С. 243— 346.

60. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. - М.: Машиностроение, 1981. - 216 с.

61. Мяченков В.И., Мальцев В.М. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. - М.: Машиностроение, 1984. - 277 с.

62. Никишин В.С, Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. - М.: ВЦ АН СССР, 1970. - 260 с

63. Никишин B.C. Задачи теории упругости для неоднородных сред. - М.: ВЦ АН СССР, 1976.-60 с.

64. Овчинников, И. Г. Нелинейная связанная задача влагоупругости для толстостенной цилиндрической оболочки // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: матер. IX всесоюз. конф. - Новосибирск, 1986. - С. 232-233.

65. ОДН 218.046—01. Проектирование нежестких дорожных одежд. 2000. -93 с.

66. Оганов Э.П., Синюков A.M. Температурные напряжения в неоднородном цилиндре конечной длины // Механика полимеров. -1968. - № 4. - С. 710-715.

67. Оганов Э.П., Синюков A.M. Применение метода коллокаций при решении одной контактной задачи термоупругости для короткого цилиндра // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1969. - С. 99-104.

68. Панкратова Н.Д. К исследованию напряженного состояния многослойных цилиндрических оболочек // Прикладная механика. - 1979. - 15, № 4. - С. 31 -37.

69. Панкратова Н.Д. К расчету термонапряженного состояния толстостенных цилиндрических оболочек // Тепловые напряжения в элементах конструкций. -Киев: Наук, думка, 1980. - Вып. 20. - с. 63-65.

70. Панкратова Н.Д. Исследование напряженно-деформированно состояния цилиндрических оболочек на основе уравнений теории упругости // Прикладная механика. - 1983. - 19, № 12. - С. 72-74.

71. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. - М.: Наука, 1984. - 368 с.

72. Подстоигач Я.С., Коляно Ю.М. Термомеханика неоднородных структур // Воздействие концентрированных потоков энергии на материалы. - М., 1985. - С. 36-42.

73. Рвачёв В.Л., Синекоп Н.С., Кравченко Л.К. Осесимметричная задача теории упругости для неоднородного цилиндра // Прикладная механика. - 1986. - 22, № 1. - С. 18-23.

74. Сахаров A.C., Гуляр А.И., Топор А.Г. Численное решение задач термоупругого равновесия неосесимметрично нагруженных тел вращения // Прикладная механика. - 1986. - 22, № 6. - С. 7-13.

75. Сеницкий Ю.Э. Расчет неоднородных анизотропных цилиндра и сферы при действии произвольной радиально-симметричной динамической нагрузки // Прикладная механика. - 1978. - 19, № 4. - с. 9-15.

76. Солопов С.Г. Влияние дисперсности на структуру и физико-механические свойства торфа в связи с задачей получения качественного кускового топлива из залежей с пониженной влажностью. Труды Инсторфа №1 (54). Стр. 55-74

77. Сорочан Е.А. Строительство сооружений на набухающих грунтах. М.: Стройиздат, 1974. 225 с.

78. СНиП 23-02-2003. Тепловая защита зданий. Москва, 2004.

79. СП 23-101-2004. Проектирование тепловой защиты зданий. Москва, 2004.

80. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов. М.: Изд-во АСВ, 2005. - 488 с.

81. Тер-Мартиросян З.Г., Нгуен Хуи Хиеп. Влияние степени водонасыщения глинистого грунта на его напряженно-деформированное состояние // Вестник МГСУ. 2012. № 8. С. 112—120.

82. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1975. - 575 с.

83. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 660 с.

84. Федосов С.В. Тепломассоперенос в технологических процессах строительной индустрии: монография / С.В. Федосов. - Иваново: ИПК «ПресСто», 2010.-364 с.

85. Чудинов Б.С. Вода в древесине. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984. —271 с.

86. Шевляков Ю.А. Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред.- Киев-Одесса: Выщя школа, 1977. - 216 с.

87. Шикарь A.M., Китайгородский Л.Б., Борщевская С.К. Решение линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных: уравнений (программа на языке ФОРТРАН).// Алгоритмы и программы решения задач механики твердого деформируемого тела. - Киев: Наук, думка, 1976. - С. 157-170.

88. Avershyev A.S., Andreev V.I. Two-dimensional problem moisture elasticity for inhomogeneous flat annular area. Applied Mechanics and Materials Vols. 580-583 (2014) pp. 2974-2977. Trans Tech Publications, Switzerland, 2014.

89. Andreev V. I., Avershyev A.S. On accounting mechanical heterogeneity in solving problems of moisture transfer in soils. Proc. of the XXI Russian - Slovak -Polish seminar "Theoretical foundation of civil engineering", pp. 87-92, 2012.

90. Andreev V.I., Avershyev A.S. Stationary Problem of Moisture-elasticity for Inhomogeneous thick-walled Shells. Advanced Materials Research, Vols. 671-674 (2013) pp. 571-575. Trans Tech Publications, Switzerland, 2013.

91. Andreev V.I., Avershyev A.S. Nonstationary problem moisture elasticity for nonhomogeneous hollow thick-walled cylinder. Transactions of International Conference on Fluid Structure Interaction 10-12 April, 2013. WITpress, pp. 123-132.

92. Andreev V.I., Avershyev A.S. About Influence of Moisture on Stress State of Soil taking into account Inhomogeneity. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 2013, Vol. 9, Iss. 3, pp. 14-20, ASV Publ. House.

93. Andreev V.I., Avershyev A.S. Nonstationaiy Problem Moisture Elasticity for Nonhomogeneous Hollow Thick-walled Sphere. Advanced Materials Research, Vols. 838-841 (2014) pp. 254-258. Trans Tech Publications, Switzerland, 2014.

94. Andreev V.I., Avershyev A.S. Two-dimensional Problem of Moisture Elasticity of Inhomogeneous Spherical Array with Cavity. Applied Mechanics and Materials Vols. 580-583 (2014) pp. 812-815. Trans Tech Publications, Switzerland, 2014.

95. Gao S., Wang X., Wang L. Effect of Temperature and Moisture State Changes on Modulus of Elasticity of Red Pine Small Clear Wood. Wood and Fiber Science 45(2). 2013. pp. 442-450.

96. Green D.W., Kretschmann D.E. Moisture content and the properties of clear Southern Pine. Res. Pap. FPL-RP-531. Madison, WI: U.S. Department of Agriculture, Forest Service, Forest Products Laboratory. 1994. 28 p.

97. Lopes Silva D.A. et al. Influence of Wood Moisture Content on the Modulus of Elasticity in Compression Parallel to the Grain. Applied Mechanics and Materials Vols. 15(2) pp. 300-304. Trans Tech Publications, Switzerland, 2012.

98. Madsen B. Moisture content - strength relationship for lumber subjected to bending. Published from Canadian Journal of Civil Engineering by permission of National Research Council Canada. 1976. pp. 109-121.

99. Malaikah A.S. Assessment of the Influence of Moisture Content on the Dynamic Modulus of Elasticity of Mortar. Proc. of International Conference on Concrete Engineering and Technology, University Malaya, 2004.

100. Skaar Ch. Water in wood. — Syracuse: University Press. — 1972, — 218 p.

101. Tables of Integral Transforms, vol. 1, 2, McGraw-Hill Inc., New York, 1954.

function cil_stac_zadacha

га=1; %внутренний радиус

rb= 10 ; %внешний радиус

n = 100; %количество точек разбиения

х = linspace(ra,rb,n);

solinit = bvpinit(x,[l 1]); %начальное приближение

options = bvpset('AbsTol', le-6); %абсолютная точность

sol = bvp4c(@cil_dfun,@cil_grusl,solinit,options); %обращение к солвсру

у = deval(sol,x);

Sr = у(1,:); %распределение радиальных напряжений

St = у(1,:)+х.*у(2,:); %распределение кольцевых напряжений

%построение графиков распределения напряжений:

figure

subplot(2,l,l);

plot(x,Sr), grid on, title('Sr');

subplot(2,l,2);

plot(x,St), grid on, title('St');

end

%.......Функция по заданию дифференциального уравнения-------

function dydx = cil dfun(x,y)

ra=l; %внутрешшй радиус

rb=10; %внешний радиус

w0=0.2; %природпая влажность

ws=0.363; %влажность насыщенного материала

w=(wO*]og(x/ra)-ws*Iog(x/rb))/log(rb/ra); %распределение влажности

dwdx=(wO-ws)/log(rb/ra)/x;

Е0=19.88; к=2.4;

E=E0*(w/ws)A(-k); %модуль упругости dEdx=-k* (dwdx/w) * Е; nu=0.4; %коэффициент Пуассона beta=0.6; %коэффициент набухания depsdx=bcta*dwdx;

%система дифференциальных уравнений первого порядка: dydx=[y(2)

-(3/x-dEdx/E)*y(2)+(l-2*nu)/(l-nu)*dEdx/E:t:y(iyx-E/x/(l-nu)*depsdx]; end

%------------Функция по заданию граничных условий-------------

function res=cil_grusl(ya,yb)

gamma=0.02695; %удельный вес

Н= 10; %глубина залегания массива

%граничные условия на внутренней и внешней границах:

res = [уа(1)

yb(l )+gamma*H]; end

function cil_nestac_zadacha

га=1; %внутренний радиус

rb=10; %внешний радиус

п = 100; %количество точек разбиения

х = linspace(ra,rb,n);

ш = 0;

options = bvpset('AbsTor, 1е-6); %абсолютная точность

t0 = [0, l.e-8, 0.12, 0.24, 0.42, 0.6,0.9, 1.2, 1.8,2.4,3,3.6,4.8,6, 9, 12, 18, 24,30]';

t = [l.e-8, 0.12, 0.24, 0.42,0.6,0.9, 1.2, 1.8,2.4,3,3.6,4.8, 6, 9, 12, 18, 24,30]';

resh = pdepe(m,@ciljpdepefunl00,@cil_pdepenach,@cil_pdepegrusl,x,tO,options); %обращение к

солверу

for i=l:length(t)

SR(i,:)=resh(i+l,:); %распределение радиальных напряжений end

%Числениое определение производной dSRdx:

h=x(2)-x(l);

%"Вперед"

for i=l:l:2

dSRdx(:,i)=(-25*SR(:,i)+48*SR(:,i+l)-36*SR(:,i+2)+16*SR(:,i+3)-3!i!SR(:,i+4))/(12H:h); end

%"Центр" for i=3:l:(n-2)

dSRdx(:,i)=(SR(:,i-2)-8*SR(:,i-l)+8HiSR(:,i+l)-SR(:,i+2))/(12*h); end

%" Назад" for i=(n-l):l :n

dSRdx(:,iH25*SR(:,i)-48*SR(:,i-l)+36!i!SR(:,i-2)-16*SR(:,i-3)+3*SR(:,i-4))/(12:i:h); end

for i=l :n

ST(:,i)=SR(:,i)+x(i)*dSRdx(:,i); %распределение кольцевых напряжений end

%построение полей и графиков распределения напряжений: figure

subplot(2,l,l);

surface(x,t,SR),colorbar,grid on,title('SR-l 00') subplot(2,l,2);

surface(x,t,ST),colorbar,grid on,title('ST-100') figure

subplot(2,l,l);

plot(x,SR(l,:),x,SR(5,:),x,SR(13,:),x,SR(end,:)),grid on,legend('0','0.9','6','30'),titlc('SR') subplot(2,l,2);

plot(x,ST(l,:),x,ST(5,:),x,ST(13,:),x,ST(end,:)),grid onJegendCO'/O^'^'^OO^itleCST')

%.......Функция по заданию дифференциального уравнения-------

function [c,f,s] = ciljpdepefunl00(x,t,u,DuDx) ra=l; %внутренний радиус

rb=10; %внешний радиус

w0=0.2; %природная влажность

ws=0.363; %влажность насыщенного материала

w=(wO*log(x/ra)-ws*log(x/rb))/log(rb/ra); %стационарное распределение влажности dwdx=(wO-ws)/log(rb/ra)/x;

%Процедура по вычислению характеристических чисел решения: а=0.3:0.3:35; Ь=а+0.3; j=0;

fori= 1:1:116

Fl=besselj(0,rb>|:a(i))*bessely(0,ra*a(i))-besselj(0,ra*a(i))*bessely(0,rb*a(i)); F2=besselj(0,rb*b(i))*bessely(0,ra*b(i))-besselj(0,ra*b(i))*bessely(0,rb*b(i)); if (((F1 <0)&(F2>0))|((F 1 >0)&(F2<0)))

y=fzero(@(x)bcsselj(0,rb*x)*bessely(0,ra*x)-besselj(0,ra*x)*bessely(0,rb*x),[a(i),b(i)]); j=j+i;

kn(j)=y; %характеристические числа решения end end

for i=l: 1:100

w=w+pi*(w0-ws)*besselj(0,rb*kn(i)).A2/(besselj(0,ra^

0,ra*kn(i))-besselj(0,ra*kn(i))*bessely(0,x*kn(i)))*exp(-kn(i)A2*t); %нес-гационарное распределение влажности

dwdx=dwdx+pi * (wO-

ws)*besselj(0,rb*kn(i)).A2/(besselj(0,ra*kn(i)).A2+besselj(0,rb*kn(i)).A2)*kn(i)*(besselj(l,x*

ssely(0,ra*kn(i))-besselj(0,ra*kn(i))*bessely(l,x*kn(i)))!|iexp(-kn(i)A2*t);

end

E0=19.88; k=2.4;

E=E0*(w/ws)A(-k); %модуль упругости

dEdx=-k*(dwdx/w)*E;

nu=0.4; %коэффициент Пуассона

beta=0.6; "/¿коэффициент набухания

depsdx=beta*dwdx;

c= le-10; f = DuDx;

s = (3/x-dEdx/E)*DuDx-dEdx/E*(l -2*nu)/(l -nu)*u/x+E/x/(l -nu)*depsdx;

%------------Функция по заданию начальных условий-------------

function uO = cil_pdepenach(x) uO = 539/1980/xA2-539/l 980;

%------------Функция по заданию граничных условий-------------

function [pl,ql,pr,qr] = cil_pdepegrusl(xl,ul,xr,ur,t) gamma=0.02695; %удельный вес H=10; %глубина залегания массива %граничные условия на левой и правой границах: pi = ul; ql = 0;

pr = ur+gamma*H; qr = 0;

function cil_two_dim

га=1; %внутренний радиус

rb=10; %внешний радиус

п = 100; %количество точек разбиения

г = linspace(ra,rb,n);

solinitl = bvpinit(r,[l 111111111111 1]); %начальное приближение options = bvpset('AbsTol', 1е-6); %абсолютная точность

sol = bvp4c(@two_dim_dfun,@two_dim_grusl,solinitl,options); %обращение к солверу у = deval(sol,r); fiO(l,:) = y(l,:); f¡0(2,:) = y(2,:); fi5psi4(l,:) = y(3,:); fi5psi4(2,:) = y(4,:); fi5psi4(3,:) = y(5,:); fí5psi4(4,:) = y(6,:); fic2psis2(l,:) = y(7,:); fic2psis2(2,:) = y(8,:); fíc2psis2(3,:) = y(9,:); fic2psis2(4,:) = y(10,:); fic3psis3(l,:) = y(l 1,:); fic3psis3(2,:) = y(12,:); fic3psis3(3,:) = y(13,:); fíc3psis3(4,:) = y(14,:); w0=0.2; %природная влажность ws=0.363; %влажность насыщенного материала w=:(wOH:log(r/ra)-ws*log(r/rb))/log(rb/ra); %распределенис влажности

Е0=19.88; к=2.4;

E=E0*(w/ws).A(-k); %модуль упругости nu=0.4; %коэффициент Пуассона beta=0.6; %коэффициент набухания eps=beta*(w-wO); %вынужденные деформации %упругие параметры: lambda=E*(l-nu)/(l+nu)/(l-2*nu); mu=E/2/(l+nu); K=E/3/(l-2*nu);

%определение радиальных, кольцевых и касательных напряжений: SigmaR0t=lambda.*(fi0(2,:)+nu/(l-nu)*fí0(l,:).*r.A(-l)); SigmaT0t=lambda.*(nu/(l-nu)*fi0(2,:)+fí0(l,:).*r.A(-l)); TauRT0t=0;

SigmaRlt=lambda.*(fi5psi4(3,:)+nu/(l-nu):|:(fi5psi4(l,:)+fí5psi4(2,:)).*r.A(-l)); SigmaTH4ambda.*(nu/(l-nu)*fi5psi4(3,:)+(fi5psi4(l,:)+fi5psi4(2,:)).*r.A(-l)); TauRTlt=mu.*(fí5psi4(4,:)-(fi5psi4(l,:)+fí5psi4(2,:)).*r.A(-l));

SigmaR2t=lambda.*(fíc2psis2(3,:)+nu/(l-nu)*(fic2psis2(l,:)+2*fic2psis2(2,:)).*r.A(-l));

SigmaT2t=lambda.*(nu/(l-nu)*iic2psis2(3,:)+(fic2psis2(l,:)+2!|<ric2psis2(2,:)).*r.A(-l)); TauRT2t=mu.*(fic2psis2(4,:)-(fic2psis2(2,:)+2!l!fic2psis2(l,:)).*r.A(-l));

SigmaR3t=lambda.*(fic3psis3(3,:)+nu/(l-nu)*(fic3psis3(l,:)+3*fic3psis3(2,:)).*r.A(-l)); SigmaT3t=lambda.*(nu/(l-nu)*fic3psis3(3,:)+(fic3psis3(l,:)+3>!!nc3psis3(2,:)).*r.A(-l)); TauRT3t=mu.*(fic3psis3(4,:)-(fic3psis3(2,:)+3*fic3psis3(l,:)).*r.A(-l));

for i= 1:1:5

SigmaR(i,:)=SigmaR0t+SigmaRlt*cos((i-l)*pi/4)+SigmaR2t*cos(2*(i-l)*pi/4)+SigmaR3t*cos(3*(i-l)*pi/4)-3*K.*eps;

SigmaT(i,:)=SigmaT0t+SigmaTlt*cos(i*(i-l)*pi/4)+SigmaT2t*cos(2*(i-l)*pi/4)+SigmaT3t*cos(3*(i-l)*pi/4)-3*K.*eps;

TauRT(i,:)=TauRTlt*sin((i-l)*pi/4)+TauRT2t*sin(2*(i-l)*pi/4)+TauRT3l*sin(3*(i-l)*pi/4); end

%построение графиков распределения напряжений для различных значений полярного угла: figure

pIot(r,SigmaR(5,:),r,SigmaR(4,:),r,SigmaR(3,:),r,SigmaR(2,:),r,SigmaR(l ,:)),grid

on,title(,Sr'),legend(,teta=pL,,'teta=3*pi/4,;teta=pi/2','teta=pi/4,,'teta=0')

figure

plot(r,SigmaT(5,:),r,SigmaT(4,:),r,SigmaT(3,:),r,SigmaT(2,:),r,SigmaT(l,:)),grid

on,title('St'),legend('teta=piVteta=3*pi/4Vteta=pi/2','teta=pi/4Vteta=0')

figure

plot(r,TauRT(5,:),r,TauRT(4,:),r,TauRT(3,:),r,TauRT(2,:),r,TauRT(l,:)),grid on,title('Trt'),lcgend('teta=rpiVteta=3*pi/4Vtcta=pi/2Vteta=pi/4',,teta=0')

%-------Функция по заданию системы дифференциальных уравнений-------

function dydx=twodim_dfun(x,y)

ra=l; %внутренний радиус

rb=10; %внешний радиус

w0=0.2; %природная влажность

ws=0.363; %влажность насыщенного материала

w=(wO*log(x/ra)-ws*log(x/rb))/log(rb/ra); %распределение влажности

dwdx=(wO-ws)/log(rb/ra)/x;

Е0=19.88; к=2.4;

E=E0*(w/ws)A(-k); %модуль упругости

dEdx=-k*(dwdx/w)*E;

nu=0.4; %коэффициент Пуассона

%упругие параметры:

lambda=E*nu/(l+nu)/(l-2*nu);

mu=E/2/(l+nu);

K=E/3/(l-2*nu);

dlambdadx=dEdx*nu/(l+nu)/(l-2*nu);

dmudx=dEdx/2/(l+nu);

dKdx=d Edx/3/( 1 -2 * nu);

beta=0.6; %коэффициент набухания

eps=beta*(w-wO); %вынужденные деформации

depsdx=beta*dwdx;

gamma=0.02695; %удельный вес

%система дифференциальных уравнений первого порядка: dydx=[y(2)

-1 /(lambda+2*mu)*((dlambdadx+2*dmudx)*y(2)+dlambdadx/x*y( 1 )-3:*(dKdx*eps+K*depsdx))-(y(2)/x-y(l)/xA2) У(5)

У(6)

-l/(larnbda+2*mu)*(-mu*lA2/xA2!|!y(3)+(lambda+mu)/x*l*y(6)-(lambda+3*mu)/xA2*l*y(4)+(dlambdadx+2*dmudx)*y(5)+dlambdadx/x>,:(y(3)+l*y(4))+garnma)-(y(5)/x-y(3)/xA2)

-1 /mu*(-(lambda+mu)/x* 1 *y(5)-(lambda+3 *mu)/xA2* 1 *y(3)-(lambda+2*mu)/xA2* 1 A2*y(6)-dmudx/x*(l*y(3)-x*y(6)+y(4))-gamma)-(y(6)/x-y(4)/xA2) У(9) y(10)

-l/(lambda+2*mu)*(-mu*2A2/xA2*y(7)+(lambda+mu)/xHi2*y(10)-(lambda+3*mu)/xA2*2*y(8)+(dlambdadx+2*dmudx)*y(9)+dlambdadx/x*(y(7)+2*y(8)))-(y(9)/x-y(7)/xA2)

-l/mu*(-(lambda+mu)/x*2*y(9)-(lambda+3*mu)/xA2!|<25i<y(7)-(lambda+2*mu)/xA2:,:2A2*y(8)-dmudx/x*(2*y(7)-x*y(10)+y(8)))-(y(10)/x-y(8)/xA2) У(13) y(14)

-l/(lambda+2*mu)*(-mu*3A2/xA2*y(l l)+(lambda+mu)/x*3*y(14)-(lambda+3*rnu)/xA2*3*y(12)+(dlambdadx+2*dmudx)5i:y(13)+dlambdadx/x*(y(l l)+3*y(12)))-(y(13)/x-y(ll)/xA2)

-l/mu*(-(lambda+mu)/x*3*y(13)-(lambda+3*mu)/xA2*3*y(l l)-(lambda+2*mu)/xA2*3A2*y(12)-dmudx/x*(3 *y( 11 )-x*y( 14)+y( 12)))-(y(l 4)/x-y (12)/xA2)];

%------------Функция по заданию граничных условий-------------

function res=two_dim_grusl(ya,yb)

b=2.5; % размерный внешний радиус

ra=l; %внутренний радиус

rb=10; %внешний радиус

w0=0.2; %природная влажность

ws=0.363; %влажность насыщенного материала

Е0=19.88;

gammak=2.4;

%Параметры с индексом "а" относятся к внутреннему радиусу; с "Ь" - к внешнему

Еа=Е0* (\vs/ws)A(-gammak);

Eb=E0 * (wO/ws) A(-gammak);

nu=0.4; %коэффициент Пуассона

Ka=Ea/3 / (1 -2 * nu);

Kb=Eb/3 /(1 -2 * nu);

beta=0.6; %коэффициент набухания

epsa=beta*(ws-wO);

epsb=beta*(wO-wO);

gamma=0.02695; %удельный вес

H=5; %глубина залегания массива

%граничные условия на внутренней и внешней границах:

res = [Ea*(l-nu)/(l+nu)/(l-2*nu)*(ya(2)+nu/(l-nu)*ya(l)/ra)-3*KaH:epsa

Eb*(l-nu)/(l+nu)/(l-2*nu)*(yb(2)+nu/(l-nu)*yb(l)/rb)-3*Kb5i:epsb+gamma*H/2/(l-nu) Еа* (1 -nu)/( 1 +nu)/(1 -2* nu)* (ya(5)+nu/(1 -nu) * (у a(3)+1 * у a(4))/ra)

Eb*(l-nu)/(l+nu)/(l-2*nu)*(yb(5)+nu/(l-nu)*(yb(3)+l*yb(4))/rb)+(3-2*nu)/4/(l-nu)*gamma*b Ea/2/( 1 +nu)*(ya(6)-(ya(3)+l *ya(4))/ra)

Eb/2/(l+nu)*(yb(6)-(yb(3)+l*yb(4))/rb)-(l-2*nu)/4/(l-nu)*gamma!|<b Ea*(l-nu)/(l+nu)/(l-2*nu)*(ya(9)+nu/(l-nu)H!(ya(7)+2*ya(8))/ra)

Eb*(l-nu)/(l+nu)/(l-2*nu)*(yb(9)+nu/(l-nu)*(yb(7)+2*yb(8))/rb)+(l-2*nu)/2/(l-nu)*gamrna*H

Еа/2/( 1 +nu) * (уа( 10)-(уа(8)+2 * у a(7))/ra)

Eb/2/(l+nu)*(yb(10)-(yb(8)+2*yb(7))/rb)-(l-2*nu)/2/(l-nu)*gamma*H Еа* ( 1 -nu)/( 1 +nu)/( 1 -2 *nu)* (ya( 13)+nu/ ( 1 -nu) * (ya( 11 )+3 * ya( 12))/ra) Eb*(l -nu)/(l+nu)/(l-2*nu)*(yb(13)+nu/(l-nu)*(yb(l l)+3 *yb( 12))/rb)+( 1 -2*nu)/4/( 1 -nu)*gamma*b

Ea/2/( 1 +nu)*(ya( 14)-(ya( 12)+3 *ya( 11 ))/ra)

Eb/2/(l+nu)*(yb(14)-(yb(12)+3*yb(l l))/rb)-(l-2*nu)/4/(l-nu)*gamma*b];

function sph_stac_zadacha га=1; %внутренний радиус rb=10; %внешний радиус n = 100; %количество точек разбиения х = linspace(ra,rb,n);

solinit = bvpinit(x,[l 1]); %начальное приближение

options = bvpset('AbsTol', 1е-6); %абсолютная точность

sol = bvp4c(@sph_dfun,@sph_grusl,solinit,options); %обращение к солверу

у = deval(sol,x);

Sr = у(1,:); %распределение напряжений Sr St = у(1,:)+х/2.*у(2,:); %распределение напряжений St %построение графиков распределения напряжений: figure

subplot(2,l,l);

plot(x,Sr), grid on, title('Sr');

subplot(2,l,2);

plot(x,St), grid on, title('St');

end

%-------Функция по заданию дифференциального уравнения-------

function dydx = sph_dfun(x,y)

ra=l; %внутренний радиус

rb=10; %внешний радиус

w0=0.2; %природная влажность

ws=0.363; %влажность насыщенного материала

w=(ws-wO)*ra*rb/x/(rb-ra)-(ws*ra-wO*rb)/(rb-ra); %распределение влажности d wdx=-(ws-w0) * ra* rb/xA2/(rb-ra);

E0=19.88; k=2.4;

E=E0*(w/ws)A(-k); %модуль упругости dEdx=-k*(dwdx/w)*E; nu=0.4; %коэффициент Пуассона beta=0.6; %коэффициент набухания depsdx=beta* dwdx;

%система дифференциальных уравнений первого порядка: dydx=[y(2)

-(4/x-dEdx/E)*y(2)+2*(l-2*nu)/(l-nu)*dEdx/E*y(l)/x-2*E/x7(l-nu)!,:depsdx]; end

%------------Функция по заданию граничных условий.............

function res=sph_grusl(ya,yb) gamma=0.02695; %уделъный вес Н=10; %глубина залегания массива %граничные условия на левой и правой границах: res = [уа(1)

yb(l)+gamma*H]; end

function sph_nestac_zadacha

га=1; "/«»внутренний радиус

rb=10; %внешний радиус

n = 100; %количество точек разбиения

х = linspace(ra,rb,n);

m = 0;

options = bvpset('AbsTor, le-6); %абсолютная точность

tO = [0, l.e-8, 0.12, 0.24,0.42, 0.6, 0.9, 1.2, 1.8, 2.4,3,3.6, 4.8, 6, 9, 12, 18, 24,30]';

t= [l.e-8, 0.12, 0.24, 0.42, 0.6, 0.9, 1.2, 1.8, 2.4,3,3.6,4.8, 6, 9,12, 18, 24, 30]';

resh = pdepe(m,@sph_pdepefunl 00,@sph_pdepenach,@sph_pdepegrusl,x,tO,options); %обраще-

ние к солверу

for i=l :length(t)

SR(i,:)=resh(i+l,:); %распределение напряжений Sr end

%Численное определение производной dSRdx:

h=x(2)-x(l);

%"Вперед"

for 1=1:1:2

dSRdx(:,i)=(-25*SR(:,i)+48*SR(:,i+l)-36*SR(:,i+2)+16*SR(:,i+3)-3*SR(:,i+4))/(12*h); end

%"Центр" for 1=3:1 :(n-2)

dSRdx(:,i)=(SR(:,i-2)-8*SR(:,i-l)+8*SR(:,i+l)-SR(:,i+2))/(12*h); end

%"Назад" for i=(n-l):l:n

dSRdx(:,i)=(25*SR(:,i)-48*SR(:,i-l)+36*SR(:,i-2)-16*SR(:,i-3)+3*SR(:,i-4))/(12*h); end

for i=l:n

ST(:,i)=SR(:,i)+x(i)/2*dSRdx(:,i); %распределение напряжений St end

%построение полей и графиков распределения напряжений: figure

subplot(2,l,l);

surface(x,t,SR),colorbar,grid on,title('SR-100') subplot(2,l,2);

surface(x,t,ST),colorbar,grid on,title('ST-100') figure

subplot(2,l,l);

plot(x,SR(l,:),x,SR(5,:),x,SR(13,:),x,SR(end,:)),grid on,legend('0','0.976730'),title('SR') subplot(2,l,2);

plot(x,ST(l,:),x,ST(5,:),x,ST(13,:),x,ST(end,:)),grid on,legend('070.976730'),title('ST')

%-------Функция по заданию дифференциального уравнения-------

function [c,f,s] = sph_pdepefunl00(x,t,u,DuDx) ra=l; %внутренний радиус

rb= 10; %внешний радиус

w0=0.2; %природная влажность

ws=0.363; %влажность насыщенного материала

w=(ws-wO)*ra*rb/x/(rb-ra)-(ws*ra-wO*rb)/(rb-ra); %стационарное распределение влажности d wdx=-( ws-wO) * га* rb/xA2/(rb-ra);

for i= 1:1:100

kn=pi*i/(rb-ra); %характеристические числа решения

w=w+2*ra*(wO-ws)/pi/x*sin(kn*(ra-x))/i*exp(-knA2*t); %нестационарное распределение влажности

dwdx=dwdx-2*ra*(wO-ws)*(sin(kn*(ra-x))/(pi*i*xA2)+cos(lai*(ra-x))/((rb-ra)*x))*exp(-knA2!|!t);

end

Е0=19.88; k=2.4;

E=E0*(w/ws)A(-k); %модуль упругости

dEdx=-k*(dwdx/w)*E;

nu=0.4; %коэффициент Пуассона

bcta=0.6; %коэффициент набухания

depsdx=beta*dwdx;

с= 1е-10; f = DuDx;

s = (4/x-dEdx/E) * D uDx-2 * dEdx/E* (1 -2 * nu)/(1 -nu) * u/x+2 * E/x/( 1 -nu) * depsdx;

%------------Функция по заданию начальных условий.........—

function uO = sph_pdepenach(x) uO = 539/1998/xA3-539/1998;

%------------Функция по заданию граничных условий.............

function [pl,ql,pr,qr] = sph_pdepegrusl(xl,ul,xr,ur,t) gamma=0.02695; %удельный вес H=10; %глубина залегания массива %граничные условия на левой и правой границах: pi = ul; ql = 0;

pr = ur+gamma*H; qr = 0;

function sph_two_dim

га=1; %внутренний радиус

rb=10; %внешний радиус

п = 100; %количество точек разбиения

г = linspace(ra,rb,n);

solinitl = bvpinit(r,[l 11111111111111 1]); %начальное приближение options = bvpsetCAbsTol', 1е-6); %абсолютная точность

sol = bvp4c(@two dimdfun,@twodim_gmsl,solinitl,options); %обращение к солверу yl = deval(sol,r); у = zeros(n,4,4); for i=l:4 for j=l :4

y(:J,i) = ylG+4*(i-l),:); end end

w0=0.2; %нриродная влажность

ws=0.363; %влажность насыщенного материала

w=(ws-w0) * ra*rb/(rb-ra)./r+(wO *rb-ws * ra)/(rb-ra); %распределение влажн ости

E0=19.88; k=2.4;

E=E0*(w/ws).A(-k); %модуль упругости nu=0.4; %коэффициент Пуассона beta=0.6; %коэффициент набухания eps=beta*(w-wO); %вынужденные деформации %упругие параметры: lambda=E*( 1 -nu)/( 1 +nu)/( 1 -2*nu); mu=E/2/(l+nu); K=E/3/(l-2*nu);

gn=zeros(n,4); gn(:,l)=eps(:);

Pn=zeros(5,4); dPndt=zeros(5,4); d2Pndt2=zeros(5,4); ctg=zeros(5,l);

for i= 1:5

t(i)=(i-l)*pi/4; end

for i=l:5 Pn(i,l)=l; Pn(i,2)=cos(t(i)); Pn(i,3)=l /2*(3 *cos(t(i))A2-1); Pn(i,4)=l/2*(5*cos(t(i))A3-3*cos(t(i)));

dPndt(i,l)=0;

dPndt(i,2)=-sin(t(i));

dPndt(i,3)=-3/2 * sin(2 *t(i));

dPndt(i,4)=-1 /2 * (15 *cos(t(i)) A2-3)* sin(t(i));

d2Pndt2(i,l)=0; d2Pndt2(i,2)=-cos(t(i)); d2Pndt2(i,3 )=-3 * cos(2 *t(i));

d2Pndt2(i,4)=15*cos(t(i))*sin(t(i))A2-l/2*(15*cos(t(i))A2-3)*cos(t(i));

ctg(i)=cot(t(i)); end

u=zcros(n,5); v=zeros(n,5); dudx=zeros(n,5); dvdx=zeros(n,5); dudt=zeros(n,5); dvdt=zero s(n, 5 ); epsw=zeros(n,5); for i=l:5 for j=l:4 u(:,i)=u(:5i)+y(:,lj)*Pn(ij); v(:,i)=v(:,i)+y(:,2j)*dPndt(i,j); dudx(:,i)=dudx(:,i)+y(:,3,j)*Pn(i,j); dvdx(:,i)=dvdx(:,i)+y(:,4,j)*dPndt(i,j); dudt(: ,i)=dudt( : ,i)+y (:, 1 j) * dPndt(i j); dvdt(: ,i)=dvdt(:, i)+y (: ,2 ,j) * d2Pndt2(i ,j); eps w( :,i)=epsw(:,i)+gn(:,j)*Pn(i,j); end end

%определение напряжений: SigmaR=zeros(n,5); SigmaT=zeros(n,5); SigmaF=zeros(n,5); TauRT=zero s(n, 5); for i=l:5 Sig-

maR(:4)=SigmaR(:^)+(lambda+2*mu).*dudx(:,i)+lanibda.*(dvdt(:,i)./r+2*u(:,i)./r+v(:,i)./r!f:ctg(i))-3*K.*epsw(:,i); Sig-

maT(:^)=SigmaT(:4)+(lambda+2*mu).*(dvdt(:^)7r+u(:4)Vr)+lambda.*(dudx(:,i)+u(:,i)./r+v(:,i)./r!l!ctg

(i))-3*K.*epsw(:,i); Sig-