Виртуальные многогранники тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Панина, Гаянэ Юрьевна

• Панина, Гаянэ Юрьевна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Панина, Гаянэ Юрьевна

Введение.

1 Виртуальные многогранники. Базовые понятия.

1.1 Введение.

1.2 Виртуальные многогранники и хериссоны: основные определения.

1.3 Примеры виртуальных многогранников.

1.4 Объем и смешанный объем виртуальных многогранников.

1.5 Сети виртуальных многогранников.

1.6 Изгибаемые многогранники с несвязными сетями.

1.7 Жесткость виртуальных многогранников.

1.8 Изгибаемые виртуальные многогранники со связными веерами. Октаэдры Брикара.

1.9 Теорема Минковского и виртуальные многогранники

2 Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров.

2.1 Введение

2.2 Операции над многогранниками и многогранными функциями

2.3 Оператор о.

2.4 Операторы и Выделение первого прямого слагаемого в группе V.

2.5 Операторы 8к и Выделение последующих слагаемых

2.6 Алгоритм разложения.

3 Гиперболические многогранники и задача А.Д. Александрова.

3.1 Введение

3.2 Гладкие хериссоны и Гипотеза.

3.3 Гиперболические многогранники и гиперболические хериссоны

3.4 Сферический график опорной функции

3.5 Пример гиперболического виртуального многогранника с N рогами (N четно)

3.6 Гиперболическое сглаживание

4 Гиперболические многогранники и гиперболические веера

4.1 Введение

4.2 Гиперболические веера. Раскраска.

4.3 Операции над веерами

4.4 Новые примеры: гиперболические многогранники с четным и нечетным числом рогов.

4.5 Сглаживание.

4.6 Аналог теоремы Мебиуса для двумерных замкнутых седло-вых поверхностей

5 Теорема единственности А. Д. Александрова для выпуклых многогранников и ее уточнения.

5.1 Введение

5.2 Теорема А. Д.Александрова с точки зрения гиперболических многогранников.

5.3 Основной пример. (Уточнение сверху.).

5.4 Уточнение снизу и три открытых вопроса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Виртуальные многогранники»

Основной объект исследования данной работы - виртуальные многогранники. Образно говоря, виртуальные многогранники суть геометрические реализации разностей Минковского выпуклых многогранников. Они определены и описаны впервые А. Пухликовым и А. Хованским (1989, [13]). Однако идея висела в воздухе задолго до этого, например с тех пор, как был открыт и изучен параллелизм между выпуклыми многогранниками и торическими алгебраическими многообразиями (см., например обзор В. Данилова [7] или Т. Ода [41]). Дело в том, что в рамках этой теории, выпуклым многогранникам соответствуют обильные обратимые пучки на торических многообразиях. Однако обратимые пучки образуют группу (группу Пикара), а многогранники - нет, т.к. не определена операция вычитания по Минковскому.

Можно пойти еще дальше и пронаблюдать идею хорошо определенного вычитания по Минковскому гладких выпуклых тел у АД. Александрова (см.[1]). Позднее, эта идея была реаними-рованна и развита группой французских математиков (Р. Лан-гевин, Г. Левит, X. Розенберг [31), И. Мартинес-Мор [32-34]). Они подробно изучили разности Минковского гладких выпуклых тел, т. наз. хериссоиов (herissons) с точки зрения геометрии поверхностей. Следует отметить, что И. Мартинес-Мор построил пример седлового хериссона, благодаря чему получен отрицательный ответ на старую гипотезу о единственности выпуклых поверхностей (задачу АД. Александрова).

Отметим также работы X. Радштрема [43], изучавшего разности Минковского выпуклых тел, но однако не предложившего их геометрической интерпретации.

Еще одна авторитетная область, в которой естественным путем появляются виртуальные многогранники - алгебра многогранников (polytope algebra) П. Мак Маллена [35-37], являюща-ясяся прямым аналогом алгебры выпуклых цепей А. Пухликова и А. Хованского. Эта алгебра "выросла"из группы многогранников Йессена и Торупа [26], в осеове которой лежит изучение равносоставленности многогранников относительно группы параллельных переносов. Множество выпуклых многогранников в вещественном евклидовом пространстве порождает градуированную алгебру. При этом градуировка соответствует естественной градуировке предела колец Чжоу торических многообразий. Изучение этой алгебры было черезвычайно плодотворным и привело как к решению некоторых старых проблем геометрии (например , задачи о характеризации возможных /-векторов многогранников [36], [18]), так и к открытию новых параллелей между геометрией многогранников и геометрией торических многообразий [23].

Существуют и другие интересные представления алгебры многогранников. М. Брион установил, что алгебра многогранников изоморфна алгебре кусочно-полиномиальных функций (имеется ввиду кусочная-полиномиальность относительно некоторого веера, подобно тому, как опорные функции кусочно- линейны относительно некоторого веера), профакторизованной по глобально полиномиальным функциям.

Группа виртуальных многогранников естественным образом вкладывается в алгебру многогранников (что соответствует вложению группы Пикара в кольцо Чжоу).

Виртуальные многогранники допускают следующие равносильные представления (точные формулировки - см. Глава 1).

1. Виртуальный многогранник - элемент группы Гротендика полугруппы выпуклых многогранников (групповая операция - сложение по Минковскому (g>) в евклидовом пространстве, т.е. формальное выражение вида К ® М~1, где К и М - выпуклые многогранники [48], [13].

2. Виртуальный многогранник (как элемент алгебры многогранников) есть многогранная функция, т.е. конечная линейная комбинация с целочисленными коеффициентами характеристических функций выпуклых многогранников [13],

3. Виртуальный многогранник - кусочно-линейная положительно однородная функция, заданная на Жп [13].

Полугрупповой гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому выпуклому многограннику его опорную функцию, продолжается до изомоморфизма группы виртуальных многогранников (операция - сложение по Минковскому <g>) и группы кусочно-линейных положительно однородных функций, заданных на Rn (операция - поточечное сложение).

4. Виртуальный многогранник - пара т где F -некоторая замкнутая многогранная поверхность (допускаются самопересечения и самоналожения) с коориен-тированными гранями, а Е - ассоциированный с F веер [12], [44-46].

5. С виртуальным многогранником естественно ассоциировать двойственный объект - график его опорной функции. Из соображений сохранения свойств выпуклости, его правильно рисовать на n-мерной сфере [46].

6. Виртуальный многогранник - элемент предела групп Пи-кара торических многообразий [7], [23], [41].

Среди трехмерных виртуальных многогранников автором впервые выделен особый класс гиперболических многогранников. Наиболее важные задачи решены именно с использованием техники гиперболических многогранников.

Структура работы следующая.

Заключение диссертации по теме «Геометрия и топология», Панина, Гаянэ Юрьевна

Заключение

В диссертации последовательно развивается теория виртуальных многогранников, среди которых особое место занимают гиперболические виртуальные многогранники.

Развитая техника позволила решить ряд классических задач, продолжая исследование выпуклых многогранников в стиле А. Д. Александрова.

А именно, следующие результаты диссертации являются центральными.

• Решен вопрос о разложимости многогранника в сумму Минковского многогранников меньшей размерности.

• Построены и изучены контрпримеры к гипотезе А.Д. Александрова о единственности выпуклых поверхностей.

• Построено несколько серий новых(с точки зрения внешней геометрии) седловых поверхностей.

• Уточнена теорема А.Д. Александрова о единственности многогранников.

Методы диссертации варьируются от методов дифференциальной геометрии до комбинаторики и топологии.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Панина, Гаянэ Юрьевна, 2006 год

1. Александров А.Д. Теорема единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 19(1937), с. 227-229.

2. Александров А.Д. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 22 (1939),No. 3, с. 99-102.

3. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. ГИТЛ, М.-Л., 1950.

4. Александров В., Коптева Н. , Кутателадзе С. Суммирование Бляшке и выпуклые многогранники. Тр. сем. Векторн. Тензорн. Анал. 2, (2005), 8-30.

5. Бураго Ю.Д. Геометрия поверхностей в евклидовых пространствах. Москва, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ, 1989.

6. Вернер А.Л. О внешней геометрии полных поверхностей неположительной кривизны. Мат. Сб. Т. 2(1967) No. 3, с. 205224; Мат. Сб. Т. 1 (1968) No. 4, с. 99-123.

7. Данилов В. Геометрия торических многообразий. УМН, 33 (1978), No. 2, с. 85-134.

8. Панина Г. Ю. Смешанные объемы для невыпуклых тел. Изв. Нац. АН Армении. Мат., Т. 28 (1993), No. 1, с, 72-81.

9. ЩПапина Г. Ю. Смешанные объемы многогранных функций. Алгебра и Анализ, т.6 (1996), No. 6, с. 1209-1217.

10. Панина Г. Ю. Комбинаторика преобразования Радона по эйлеровой характеристике. Изв.Нац.Акад. Наук Армении. Мат., Т. 34(1999), с. 84-90.

11. Панина Г. Ю. Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров. Алгебра и Анализ, Т.13(2001), No. 3, с. 179-197.

12. Панина Г. Ю. Виртуальные многогранники и классические вопросы геометрии. Алгебра и Анализ, Т.14(2002), , No. 5, с. 152-170.

13. Пухликов А., Хованский А. Конечно-аддитивные меры виртуальных многогранников. Алгебра и Анализ, Т. 4 (1992),1. No. 2, с. 161-185.

14. Погорелое А.В. Решение проблемы А.Д. Александрова. ДАН, Т. 360 (1998), No. 3, с. 317-319.

15. Погорелое А.В. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН, Т.366 (1999), No. 5, с. 602-604.

16. Розендорн Э. Р. Поверхности отрицательной кривизны.- Москва, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ, 1989.

17. Сабитов И. Локальная теория изгибания поверхностей.- Москва, Итоги пауки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ, 1989.

18. Тиморин В. Аналог соотношений Ходжа-Римана для простых выпуклых многогранников. Усп. мат. наук., т. 54(1999), pp. 113-162.

19. Alexandrov V. Minkowski-type and Alexandrov-type theorems for polyhedral herissons. Geometriae Dedicata., Vol. 107(2004), pp. 169-186.

20. Connelly R., Sabitov I., Walz A. The bellows conjecture. Beitrage Alg. Geom. 38(1997), pp. 1-10.

21. Connelly R., Demaine E., Rote G. Straightening polygonal arcs and convexifying polygonal cycles. Discrete Comput. Geom., 30 (2003), pp. 205-239.

22. Crapo H., Whiteley W. Spaces of stresses, projections, and parallel drawings for spherical polyhedra. Beitrage zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 35 (1994),pp. 259-281.

23. Fulton W., Sturmfels B. Intersection theory on toric varieties. Topology, Vol. 36 (1997), No.2, pp. 335-353.

24. Haas R., Orden D., Rote G., Santos F., Servatius В., Ser-vatius H., Souvaine D., Streinu IWhiteley W. Planar minimally rigid graphs and pseudo-triangulations. Comput. Geom., 31(2005), No.1-2, pp. 31-61.

25. Graver J., Servatius В., Servatius H. Combinatorial Rigidity. Graduate Studies in Mathematics, vol. 2, Amer. Math. Soc., 1993.

26. Jessen В. Thorup A. The algebra of poly topes in affine spaces, Math.Scand., Vol. 43(1978), pp. 211-240.

27. Koutroufiotis D. On a conjectured characterization of the sphere. Math. Ann., Vol. 205(1993), pp. 211-217.

28. Koutroufiotis D. A characterization of parallel ovaloids. Proc. Am. Math. Soc., Vol. 46 (1974, No. 7, pp. 86-93.

29. Koutroufiotis D. Two characteristic properties of the sphere. Proc. Am. Math. Soc., Vol. 44(1974), pp. 176-178.

30. Laman G. On graphs and rigidity of plane skeletal structures. J. Eng. Math. 4 (1970).

31. Langevin R. Levitt G. Rosenberg H. Herissons et multiherissons (enveloppes parametrees par leur application de Gauss). Singularities, Warsaw, Banach Center Publ., Vol. 20(1985), pp. 245-253.

32. Martinez-Maure Y. De nouvelles inegalites geometriques pour les hdrissons, Arch. Math., Vol. 72 (1999), No.6, pp. 444-453.

33. Martinez-Maure Y. Contre-exemple a une caracterisation conjecturee de la sphere. C.R. Acad. Sci. Paris, Vol. 332 (2001), No. 1, pp. 41-44.

34. Martinez-Maure Y. Theorie des herissons et polytopes. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser.l 336(2003), pp. 41-44.

35. McMullen P. The polytope algebra. Adv.Math., Vol. 78 (1989), No.l, pp. 76-130.

36. McMullen P. On simple polytopes. Invent. Math., Vol. 113 (1993), No. 2, pp. 19-111.

37. McMullen P. Applications of the polytope algebra. Circolo Matem6tico di Palermo, Suppl., Vol. 35 (1994), No. 2, pp. 203-216.

38. McMullen P. Separation in the polytope algebra. Beitr. Algebra Geom., Vol.34 (1993),No. 1, pp. 15-30.

39. Miinzner H.F. Uber eine spezielle Klasse von Nabelpunk-ten und analoge Singularitaten in der zentroaffinen Flachentheorie. Comment. Math. Helv., Vol. 41(1966-67), pp. 88-104.

40. Miinzner H.F. Uber Flachen mit einer Weingarenschen Un-gleichung. Math. Zeitschr. Vol. 97(1967), pp. 123-139.

41. Oda T. Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties. Berlin: Springer-Verlag,

42. Orden D. , Rote G., F. Santos, B. Servatius, H. Servatius, Whiteley W. Non-crossing frameworks with non-crossing reciprocals. Discrete Comput. Geom. 32 No.4(2004), pp. 567-600 .

43. Panina G. On Minkowski decompositions of polytopes. Proc. ADG-2000 (Automated deduction in geometry), 2000, pp. 228-233.

44. Panina G. Rigidity and flexibility of virtual polytopes. Central European J. of Math., Vol. 2(2003), pp.157-168.

45. Panina G. New counterexamples to A.D. Alexandrov's uniqueness hypothesis. Advances in Geometry, Vol.5 (2005), pp. 301-317.

46. Panina G. On hyperbolic virtual polytopes and hyperbolic fans. Central European J. of Math., Vol. 4 (2006), No. 2, 270-293.

47. M. Pocchiola, G. Vegter. Topologically sweeping visibility complexes via pseudo-triangulations, Discrete Comput. Geom. 16 (1996), pp. 419-453.

48. Radstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets. Proc. AMS., Vol. 3(1952), No.l, pp. 165-169.

49. Rodriguez L., Rosenberg H. Rigidity of certain polyhedra in R3.Comment. Math. Helv., Vol. 75 (2000), No. 3, pp. 478-503.

50. Sabitov I. The Bellows conjecture. Beitr. Algebra Geom., Vol. 38, No. 1(1997), pp. 1-10.

51. Schneider R. Remark on a conjectured characterization of the sphere. Ann. Polon. Math. Vol. 31 No.2 (1975), pp. 187-190.

52. Schneider R. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Cambridge: Cambridge University Press, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 44, 1993.

53. I. Streinu. Acute triangulations of polygons. Discrete Corn-put. Geom. 34 (2005), no.4, 587-635.

54. Viro O. Ya. Some integral calculus based on Euler characteristic. Topology and Geometry Rokhlin Seminar, Lecture Notes in Math, Vol. 1346(1988), pp. 127-138.

55. Viro O. Ya., Viro (Drobotukhina) Yu.V. Configurations of skew lines, Len. Math. J., Vol. 1 (1990), No. 4, pp. 1027-1050.

56. Ziegler G. Lectures on polytopes. Berlin, Springer-Verlag, 1995.