Вигнеровское представление для вращательных степеней свободы и его приложения в задачах нелинейной оптики и спектроскопии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор физико-математических наук Насыров, Камиль Ахметович

• Насыров, Камиль Ахметович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Насыров, Камиль Ахметович

Введение

Глава 1.

Вигнеровское представление

§ 1. Вигнеровское представление для поступательного движения

§ 2. Вигнеровское представление для ротатора.

§ 3. ^^-представление.

§ 4. Вигнеровское представление для симметричного волчка

§ 5. Вигнеровское представление для матричных элементов

Глава 2.

Квантовое уравнение для вигнеровской функции

§ 1. Уравнение для 0#а;-функции.

§ 2. Уравнение для вигнеровской функции ротатора.

§ 3. Уравнение для вигнеровской функции симметричного и произвольного волчков

§ 4. Классический предел в уравнениях для вигнеровских функций

§ 5. Член прихода из-за спонтанного распада в вигнеровском представлении.

§ 6. Уравнения для вигнеровской функции в модели релаксационных констант

§ 7. Взаимодействие интенсивного произвольно поляризованного излучения с молекулами в условиях столкновительной релаксации

Глава 3.

Применение вигнеровского представления в спектроскопических задачах

§ 1. Эффекты полевого расщепления уровней с большими значениями углового момента. п. 1. Составляющие спектра пробного излучения в условиях большого полевого расщепления. п. 2. Форма главной части огибающей спектра. п. 3. Граничные области и крылья линий. п. 4. Эллиптическая поляризация сильного поля

§ 2. Резонанс квантовых биений в системе магнитных подуровней основного электронного состояния молекул. п. 1. Сущность метода. п. 2. Теория п. 3. Результаты расчета. п. 4. Молекула 39А'2. п. 5. Молекула 130Те2.

Глава 4.

Поляризационные явления при распространении излучения в среде из двухуровневых частиц, имеющих большой угловой момент

§ 1. Распространение излучения в резонансных усиливающих или поглощающих средах. п. 1. Поляризация среды. п. 2. Уравнения распространения излучения.

§ 2. Неустойчивость состояния поляризации излучения в двухпроходном усилителе п. 1. Уравнения распространения излучения в двухпроходном усилителе. п. 2. Неустойчивость ориентации эллипса поляризации излучения. п. 3. Неустойчивость колебаний параметра эллиптичности поляризации излучения. п. 4. Численные расчеты. Нейтральные кривые.

Глава 5.

Поляризационные свойства излучения, взаимодействующего с многоуровневыми квантовыми системами

§ 1. Вынужденное комбинационное рассеяние.

§2. Четырехволновое параметрическое смешение.

Глава 6.

Применение вигнеровского представления для вращательного движения в столкновительных задачах

§ 1. Резонансный обмен возбуждением между частицами с большим угловым моментом.

§ 2. Резонансный обмен возбуждением при столкновениях молекул

Глава 7.

Движение углового момента в поле резонансного излучения

§ 1. Ориентация углового момента частиц, резонансно взаимодействующих с излучением.

§ 2. Динамика углового момента в сильном резонансном поле

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вигнеровское представление для вращательных степеней свободы и его приложения в задачах нелинейной оптики и спектроскопии»

Квантово-механическое описание вращательного движения в основном базируется на так называевом /М-представлении, когда волновая функция квантового объекта раскладывается по базису функций | JM >, являющихся собственными для операторов полного момента J2 и его проекции на произвольное направление (ось квантования) Jz и образующих полную и ортонормированную систему функций. Для этого представления разработан мощный математический аппарат [1], включающий в себя специальные функции, коэффициенты векторного сложения (3jm-символы или коэффициенты Клебша-Гордана), 6j- и 9/-символы, их свойства и правила оперирования с ними, в том числе и метод графов. На основе JM-представления было решено большинство задач атомной физики и спектроскопии. В частности, систематика атомных состояний целиком основана на этом представлении [2].

Широкое распространение приобрела также теория неприводимых тензорных операторов [3, 4], которая в своей основе тесно связана с JM-представлением. Эта теория наибольшее применение нашла при описании вращательного движения квантовых систем с помощью матрицы плотности. Такие понятия как ориентация и выстраивание угловых моментов квантовых систем прочно вошли в терминологию современной атомной физики.

В квантовой оптике с помощью этих подходов хорошо поддаются решению задачи о взаимодействии квантовой системы, обладающей произвольным J, с излучением слабой интенсивности и произвольной поляризации, когда можно пользоваться методом итераций, либо произвольной интенсивности, но для простых поляризаций, когда эффективно исходную квантовую систему можно рассматривать как совокупность простых подсистем с невырожденными состояниями [5]. В случае произвольной поляризации и интенсивности излучения решения также могут быть найдены для систем с небольшим квантовым числом J (J = 0,1/2,1).

Задача становится практически не разрешимой в случае призвольных интенсивностей и поляризаций излучения и для немалых значений J.

Проиллюстрируем это на примере резонанасного взаимодействия излучения с двухуровневой квантовой системой. На рис.0.1 изображена схема этой системы и те переходы, которые может вызывать излучение про

J2»l

Jl»l

Рис. 0.1: Переходы в двухуровневой системе, индуцированные резонансным излучением произвольной поляризации. извольной поляризации (мы полагаем, что в данном случае выбор системы координат может быть навязан каким-то другим внешнем полем, например, магнитным полем). Каждый уровень вырожден по магнитным подуровням (по проекции М углового момента). Степень вырождения каждого уровня - 2 J + 1. Излучение же может вызывать переходы с изменением М на —1,0,4-1- В результате все магнитные подуровни из-за этих переходов могут находится в когерентной связи между собой. Возникает эффект "зацепления" и, соответственно, необходимость решения системы из (2J+ I)2 уравнений. Даже при небольших J (J > 2) решение можно получить только численно, а с ростом J наступает момент, когда и для ЭВМ задача становится сложной в смысле временных затрат. Действительно, для нахождения решения требуется обращение матрицы для соответствующей системы линейных уравнений. Это действие требует поряка п3 операций, где п - число неизвестных и в нашем случае п = (2 J + I)2. Таким образом, компьютерное время для решения этой задачи возрастает как 7б, т.е. весьма быстро.

С другой стороны ясно, что с увеличением J мы должны приближаться к ситуации, в которой вращательное движение становится близким к классическому. При этом можно надеяться на существенное упрощение как самих уравнений, так и их решений. Формальное увеличение J в уравнениях для матрицы плотности в J М- представлении или в представлении неприводимых тензорных операторов не приводит к изменению их формы. В них не выделяются члены, которые выступали бы в качестве квантовых поправок и которыми можно было бы пренебречь. Ситуация здесь такая же, как и в случае поступательного движения, когда в квантовых уравнениях для матрицы плотности в координатном или импульсном представлении формальная процедура k —> 0 не приводит к классическим уравнениям. Однако для поступательного движения рецепт перехода от квантовых к классическим уравнениям хорошо известен [6]. Он состоит в том, что вместо координатного или импульсного представления для матрицы плотности вводится смешанное представление посредством преобразования

Р(х,Р) = ^Jp(x + ~ q/2)e-^hdq (0. 1)

Здесь р(х\х') матрица плотности в координатном представлении, а р(х,р) - матрица плотности в смешанном представлении. Ее еще называют функцией Вигнера, а преобразование (0. 1) - преобразованием Вейля. Если преобразование (0. 1) совершить над квантовыми уравненими для матрицы плотности, то можно получить уравнения для функции Вигнера, в которых переход к классическому пределу (h —у 0) совершенно прозрачен [б]. Более подробней эти уравнения и их классический предел будут обсуждаться ниже. Здесь важно только отметить, что в результате такого предельного перехода уравнения для функции Вигнера существенно упрощаются и преобретают вид уравнений для классической функции распределения частиц по координате и импульсу. При этом функция Вигнера может оставаться матрицей по другим квантовым числам, характеризующим внутренние состояния системы. Такой (полуклассический) подход, когда одни степени свободы описываются квантово, а другие -классически (в данном случае поступательное движение) имеет широкое распространение не только в нелинейной оптике и спектроскопии. Важно отметить, что при таком подходе взаимное влияния внутренних и поступательных степеней свободы сохраняется. В частности, теория охлаждения атомов в магнито-оптических ловушках обычно строится с помощью уравнений для функции Вигнера [7], в которых радиационные переходы и эффект отдачи учитываются адекватным образом.

Представляется совершенно естественным, что переход к представлению, подобному вигнеровскому для вращательного движения, может оказаться продуктивным в той же в степени, что и в случае поступательного движения.

Исторически первым, однако, для квазиклассического описания вращательного движения был применен подход не на основе вигнеровского представления, а на основе представления когерентных состояний как квантовых состояний, наиболее приближенных к классическим. Понятие когерентных состояний первоначально введенной Глаубером [8] для фотонов, было обобщено применительно к поступательному движению, для энергетических состояний ансамбля двухуровневых атомов [9] и также спиновых состояний (см. обзор [10]). В работе [11] когерентные состояния для ориентации углового момента были использованы для вывода (на основе квантовых уравнений Вальдмана-Снаудера) кинетических уравнений типа Больцмана для газа частиц с вращательными степенями свободы, испытывающих как столкновения между собой, так и взаимодействие с внешними полями. На этом пути удалось вычислить кинетические коэффициенты для газа молекул во внешних магнитных и электрических полях, проанализировать зависимость вероятности столкновения молекул от ориентации вращательного момента и относительной скорости рассеивающися молекул.

Ducloy в работе [12] получил уравнения в представлении когерентных состояний для матрицы плотности квантовой системы, резонансно взаимодействующей с излучением, тем самым непосредственно адаптировав это представление для нужд нелинейной оптики и спектроскопии. В последующих своих работах [13] Ducloy на основе этого подхода и при переходе к классическому пределу (предел J —> оо) рассмотрел ряд нелинейно-оптических задач и, в частности, эффект Ханле. При этом Ducloy использовал приближение широкой линии излучения лазера, что позволило ему вывести уравнения только для заселенностей состояний (балансные уравнения). Очевидно в рамках этого приближения остается неохваченным широкий круг задач, для которых неучтенные в следующем порядке по параметру 1/J члены а также уравнение для недиагонального элемента матрицы плотности играют принципиальную роль (например, поляризационные явления или движение углового момента).

Вероятно, одна из первых попыток ввести вигнеровское представление для углового момента была осуществлена в работе [14], где рассматривалось преобразование типа Вейля, но для угловых координат ротатора, вращающегося вокруг жестко закрепленой оси (одна степень свободы). Однако, в этой работе не были получены уравнения для вигнеровской функции и это представление не было обобщено для ротатора, имеющего две степени свободы. В этой связи необходимо отметить также более поздние работы [15, 16], где также рассматривалось вигнеровское представление для ротатора с жесткой осью вращения и в последней из этих работ были выведены квантовые уравнения для вигнеровской функции указанного волчка. Вигнеровское представление для ориентации углового момента для ротатора или шарового волчка, имеющего две степени свободы вращения, впервые было введено в работе [17] преобразованием вида р(вф) = £ е1тфр(Зъ М + m/2|/2, М - т/2), (0. 2) т cose = M/J, J = ^Ц^,

М + т/2 = Mi, М-ш/2 = М2,

Mi + M2 М =----, т = Ml - М2, где p(J\, M\\Ji, М2) - элементы матрицы плотности в JM-представлении, а р(9ф) - функция Вигнера для ориентации углового момента. Обращает на себя внимание тот факт, что преобразование (0. 2) весьма похоже на преобразование Вейля (0. 1) для поступательного движения с единственным отличием, что в (0. 1) преобразование осуществляется по непрерывной переменной, а в (0. 2) - по дискретной. Величины в жф характеризуют полярный и азимутальный углы ориентации углового момента. При этом функция Вигнера (0. 2) остается квантовой матрицей по другим квантовым числам, например по энергетическим состояниям. Отметим, что формальным основанием для введения преобразования (0. 2) является то, что элементы матрицы плотности р(М,т) = p(Ji,M + m/2\Jt,M — т/2) оказываются существенно разным образом зависят от переменных М и т [18]: плавно, в масштабе J > 1, от М и "резко", в масштабе Am <С «7, определяемой условиями задачи (параметром насыщения), - от переменной ш. Преобразование вида (0. 2) над квантовыми уравнениями для матрицы плотности в условиях J 1 позволили получить уравнения для функции Вигнера (0. 2), в которых, и это важно, в явном виде просматривается способ перехода в них к классическому пределу. В результате в [17] были впервые получены уравнения для функции Вигнера, описывающие адекватным образом как радиационные переходы, так и изменение ориентации углового момента. С помощью этих уравнений удалось исследовать широкий круг задач нелинейной оптики и спектроскопии. Некоторые из них просто не поддаются решению при традиционном квантово-механическом описании углового движения. Этот круг задач будет обсуждаться ниже.

Надо отметить, что матрица плотности в представлении когерентных состояний и функция Вигнера (0. 2) находятся, можно сказать, в близком "родстве". Это выражается не только в том, что они являются функциями от одних и тех же переменных в и ф, но также в том, что они сами и уравнения для них совпадают с точностью до нулевого порядка по параметру 1/J.

Тем не менее имеется ряд существенных различий между этими представлениями, о которых надо сказать. Прежде всего, правило вычисления среднего от некоторого квантового оператора в этих представлениях имеет разный вид. В вигнеровском представлении среднее вычисляется так же, как и в классической физике, то есть среднее оператора выражается через интеграл по углам в и ф от произведения функций Вигнера данного оператора и матрицы плотности. В теории же когерентных состояний [10], вообще говоря, существуют два типа символов любого оператора - ковариантный и контравариантый - и для вычисления среднего необходимо интегрировать по углам ковариантную функцию для данного оператора с контравариантным символом для матрицы плотности или наоборот. Поэтому, если найдено решение для ковариантого символа матрицы плотности, то необходимо найти также выражение для усредняемого оператора в терминах контравариантного символа и затем провести указанное усреднение. Очевидно, это сопряжено с некоторыми неудобствами, поскольку вычисление контравариантного символа само по себе может быть непростой задачей. Однако в квазиклассическом пределе J 1 отличие ковариантного и контравариантного символов между собой становится малым (порядка 1 / J) и, как это предлагается в [11], среднее вычисляется с использованием только ковариантных символов как в классической физике, но с точностью до величин порядка 1/J.

Следующее отличие состоит в том, что уравнения для Вигнеровской функции (0. 2) и для матрицы плотности в представлении когерентных состояний совпадают только в нулевом порядке по параметру 1/J, в следующем же порядке по этому параметру, в так называемых градиентных (или дифференциальных) членах, проявляется их различие. Именно и эти члены ответственны за изменение ориентации углового момента в процессе взаимодействия квантовой системы с внешним возмущением. В представлении когерентных состояний эти члены отсутствовали в уравнениях, полученных Ducloy, и были введены в более поздних работах других авторов [19, 20]. В уравнениях для функции Вигнера дифференциальные члены имеют вид классических скобок Пуассона, что и обеспечивает переход к классическому уравнению Лиувилля. В то же время ко- и контравариантные символы матрицы плотности в представлении когерентных состояний сами по себе подчиняются разным уравнениям (их отличие проявляется в членах порядка 1/J), каждое из которых в классическом пределе не совпадает с классическим уравнением Лиувилля, причем по сравнению с уравнением Лиувилля уравнения для ко- и кон-травариантных символов в классическом пределе содержат один и тот же дополнительный член, но противоположного знака. Можно сказать (и это будет обсуждаться в Приложении В), что правильный классический предел должен быть для некоторого промежуточного представления между этими двумя функциями. А именно, правильное классическое уравнение получается для простого арифметического среднего между ко- и контра-вариантной функций.

Наконец отметим еще одно, может быть, наиболее важное, отличие между этими представлениями. Дело в том, что представление когерентных состояний вводится для диагональной по квантовому числу J матрицы плотности. Применение такого представления возможно и оправдано в некоторых задачах газовой кинетики [11], где есть условия для пренебрежения недиагональными элементами матрицы плотности, но в квантовой оптике переходы с изменением J - типичная ситуация. Вигне-ровское представление (0. 2) свободно от такого ограничения.

Кроме того, как вигнеровское представление (0. 2), так и представление когерентных состояний для вращательного движения предназначены для описания только ориентационных состояний углового момента на языке угловых переменных 9 и ф, имеющих ясный смысл в классической физике. При этом функция Вигнера (0. 2) и символы когерентных состояний остаются матрицами по вращательному квантовому числу J. Можно, однако, поставить вопрос об описании полного вращательного движения квантовой системы с помощью переменных, привычных для классической физики, а именно, переменных, характеризующих величину и ориентацию углового момента, а также ориентацию квантовой системы в пространстве. Переход к такому описанию, по-видимому, возможен только на базе вигнеровского представления [21].

Настоящая диссертация посвящена разработке теории вигнеровского представления для вращательного движения и применению ее в решении ряда задач нелинейной оптики и спектроскопии.

Структура диссертации состоит в следующем. В первой главе на основе совершенно общих условий, таких как инвариантность относительно вращений и отражений, эрмитовости, правила вычисления среднего от операторов, совпадающего по виду с классическим и т.д., однозначно строится преобразование от JM-представления к вигнеровскому для ротатора или шарового волчка. Функция Вигнера при этом является функцией от величины углового момента, его ориентации и угла ориентации оси ротатора в плоскости, ортогональной к направлению углового момента. Таким образом находится вигнеровское представление полного вращательного движения ротатора или шарового волчка. Из этого преобразования естественным образом выделяется частичное преобразование, ведущего к вигнеровскому представлению только для ориентации углового момента. Устанавливается связь последнего представления с представлениями когерентных состояний и неприводимых тензорных операторов. Далее вигнеровское представление для вращательного движения ротатора и шарового волчка обобщается на случай симметричного и произвольного волчков и приводятся правила нахождения вигнеровских функций для тензорных операторов.

В следующей главе выводятся квантовые уравнения для функций Вигнера матрицы плотности для всех представлений, обсуждается классический предел в этих уравнениях и рассматривается применение вигнеровского представления в уравнениях для матрицы плотности квантовой системы, взаимодействующей с резонансным излучением в моделях релаксационных констант и сильных столкновений. Важный момент здесь состоит в том, что в этих уравнениях учет членов только нулевого порядка по 1 / J сводит их к уравнениям модели невырожденных состояний, в которых зависимость от углов ориентации вращательного момента входит параметрическим образом и определяется зависимостью потенциала взаимодействия от этих углов. Это обстоятельство позволяет сразу сформулировать рецепт обобщения известных решений в модели невырожденных состояний на случай вырождения, который состоит в том, что в этих решениях необходимо приписать в матричных элементах потенциалов взаимодействия правильную зависимость от углов ориентации момента и затем осуществить усреднение по этим углам. Здесь же найдены стационарные решения для элементов матрицы плотности двухуровневой квантовой системы во внешнем резонансном поле, которые демонстрируют сильную зависимость распределения заселенностей уровней по ориентации углового момента от рассматриваемого типа перехода и поляризации излучения.

Далее (глава 3) на основе ранее полученных уравнений рассматриваются некоторые спектроскопические задачи, такие как полевое расщепление (или динамический Штарк-эффект) в квантовых системах с большим угловым моментом и проблема определения фактора Ланде основного состояния двухатомных молекул методом резонанса биений. В первой из этих задач исследуется трехуровневая А-система в условиях, когда имеются интенсивное поле произвольной поляризации, резонансное одному из переходов А-системы, и пробные поле, резонансное смежному переходу. Для больших J дублет Аутлера-Таунса, хорошо известный в теории невырожденных состояний, претерпевает качественное изменение, и теперь вместо него выступает набор дублетов, расщепление между компонентами которых различно в силу зависимости силы осцилляторов от квантового числа М. Из-за конечной ширины каждого из компонентов дублетов возможно их перекрытие и в этом случае удобно говорить об огибающей. Исследуется зависимость формы огибающей от типов переходов и поляризаций излучения. Во второй задаче решение уравнений для функции Вигнера в условиях специфических для эксперимента [22] по резонансу квантовых биений, позволило провести надлежащий анализ экспериментальных данных и определить с высокой точностью фактор Ланде для основного состояния двухатомных молекул К2 и Те2.

В следующей главе (глава 4) рассматриваются нелинейно-оптические задачи: динамика состояния поляризации одной интенсивной волны в процессе ее распространения в газе двухуровневых частиц и неустойчивость состояния поляризации и интенсивности при взаимодействии встречных волн в двухпроходном усилителе.

В главе 5 исследуются многофотонные процессы, такие как комбинационное рассеяние в трехуровневой А-схеме и генерация параметрической волны в результате четырехволнового смешения в 4-х уровневой схеме. Примечательно, что эти задачи в той постановке, как они рассматриваются в данной главе (слабые интенсивности), могут быть решены и при традиционном квантово-механическом описании угловых переменных. Однако применение вигнеровского представления позволяет без особых усилий сразу выписать решения уравнений для этих процессов на основе сформулированного выше рецепта. Для комбинационного рассеяния была проанализирована зависимость состояния поляризации преимущественно генерируемой комбинационной волны от поляризации волны накачки и типов переходов в трехуровневой системе. Для параметрической волны, генерирумой в результате четырехволнового смешения также была найдена зависимость ее поляризации от поляризаций волн накачек и типов переходов в 4-х уровневой схеме. Тем самым удалось объяснить поляризационные явления, обнаруженных в эксперименте по генерации параметрической волны в молекулярном натрии [23]. Кроме того, также были сформулированы условия оптимального выбора поляризаций волн накачек в зависимости от типов переходов произвольной 4-х уровневой схемы для получения максимальной интенсивности параметрической волны.

В следующей главе б рассматривается задача о резонансном обмене возбуждения (РОВ) при столкновении частиц, обладающих большим вращательным моментом в двух постановках: когда сталкивающиеся частицы разные, каждая из которых имеет только один оптический переход, резонансный одному переходу другой частицы и столкновения одинаковых, или почти одинаковых, частиц, когда целый набор J-переходов одной частицы находится в резонансе с таким же набором другой частицы. В первой постановке этой задачи была проанализирована вероятность процесса РОВ от ориентнации угловых моментов и относительной скорости сталкивающихся частиц и также были вычислены сечения этого процесса. Оказалось, что и для РОВ упомянутые параметры сильно зависят от типов переходов. Во второй постановке для анализа РОВ между частицами типа симметричного волчка потребовалось использование вигнеровского представления для полного вращательного движения такого типа волчка. Здесь были найдены и проанализированы выражения для частоты РОВ и также рассчитана эта частота для РОВ между орто- и пара-модификациями молекулы CH^F, которое оказалось в хорошем согласим с экспериментально измеренным [24].

В последней главе 7 рассматривается движение углового момента частицы, резонансно возбуждаемой излучением также в двух постановках. В первой из них рассматривается оптическая ориентация частицы под действием произвольно поляризованного поля, слабой интенсивности (частота Раби много меньше скорости спонтанного распада) и вторая, когда, наоборот, частота Раби много больше скорости спонтанного распада, так что последним можно пренебречь. В первой из постановок были получены уравнения для функции Вигнера ориентируемой частицы, имеющие вид уравнений непрерывности. Эти уравнения позволяют проанализировать движение углового момента и найти конечную ориентацию момента, которая совпадает с таковой для стационарных решений, полученных ранее в работах [25, 26] на основе строгого квантово-механического подхода. Тем не менее здесь были найдены новые решения в случае присутствия постоянного магнитного поля и произвольно ориентированного относительно него направления распространения эллиптически поляризованного излучения. Во второй постановке показано, что в условиях, когда релаксационными процессами пренебрегается, движение частицы расцепляется на две независимые составляющие, одна из которых описывает оптическую нутацию, а другая - медленное движение ориентации углового момента в виде двух пакетов, движущихся по одной траектории, но в противоположные стороны.

Основные положения диссертации были опубликованы в работах [17, 18, 31, 32, 30, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 22, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 21, 45] и доложены на Всесоюзной VII Вавиловской конференции по нелинейной оптике (Новосибирск, 1982), на Всесоюзной Школе по моделям механики сплошных сред (Алма-Ата, 1981), Всесоюзной конференции "Оптика лазеров" (Ленинград, 1982), Всесоюзном симпозиуме по молекулярной спектроскопии (Томск, 1984), IX Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов (Свердловск, 1987), 11 Международной Вавиловской конференции по нелинейной оптике (Новосибирск, 1997), Международной конференции ICONO'98 (Москва, 1998), Международной конференции EGAS32 (Вильнюс, 2000).

Автор выносит на защиту следующие положения: 1. Существует однозначное преобразование приводящее, к вигнеровскому представлению для вращательных степеней свободы.

2. Существует простой рецепт обобщения известных решений модели невырожденных состояний на случай их вырождения при больших J.

3. Решение задачи о взаимодействии излучения с молекулами, обладающими большим угловым моментом, может быть найдено для произвольной интенсивности и поляризации излучения.

4. Существуют определенные тенденции в развитии поляризации при распространении излучения в среде из двухуровневых частиц, обладающих большим J, и которые зависят только от типа переходов. В усиливающей среде с оптическим переходом J -» J ± 1 поляризация стремится к линейной, а в среде с переходом J —У J - к круговой. Существует предельный угол поворота эллипса поляризации при распространении излучения в усиливающей среде с J —)■ J± 1 переходом в условиях однородного уширения линии. В двухпроходных усилителях имеется возможность самовозбуждения колебаний параметра эллиптичности и угла ориентации эллипса поляризации излучения.

5. Существует строгая зависимость поляризация преимущественно генерируемой комбинационной волны от типов переходов в трехуровневой квантовой системы и поляризации волны накачки. Интенсивность pi поляризация параметрически генерируемой при четырехволновом смешении в четырехуровневой системе также находятся в прямой зависимости от поляризации волн накачки и типов оптических переходов в этой системе.

6. Из-за перекрытия отдельных дублетов Аутлера-Таунса в спектре трехуровневой системы, обладающей большим /, существует "огибающая" этого спектра. Спектры этих огибающих демонстрируют существование особенностей в них в виде резких пиков, положение которых определяется типом переходов и поляризацией излучения.

7. Имеется прямая зависимость сечения резонансный обмена возбуждением от взаимной ориентации угловых моментов, направления относительной скорости сталкивающихся частиц и типов оптических переходов в условиях справедливости классического описания ориентации углового момента и вращательного движения молекул.

8. Для двухуровневой частицы с большим угловым моментом существует картина полуклассического движения углового момента в поле эллиптически поляризованного излучения. Согласно этой картине для J —> J и J —> J — 1 переходов частица попадает в "темное" состояние и для J —)■ J + 1 перехода - в наиболее "яркое" состояние. В присутствии по

17 стоянного магнитного поля и для эллиптической поляризации излучения угловой момент частицы ориентируется вдоль магнитного поля для J -л J перехода, вдоль или против магнитного поля для J J + 1 перехода и может принимать конус направлений с осью вдоль магнитного поля для J J — 1 перехода.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Насыров, Камиль Ахметович

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. Найдено вигнеровское представление для вращательных степеней свободы и доказана его единственность.

2. В этом представлении выведены уравнения, описывающие взаимодействие квантовой системы с произвольным внешним возмущением.

3. Показано, что при больших значениях вращательного квантового числа происходит радикальное упрощение этих уравнений, что позволяет решать широкий класс новых задач, неразрешимых при строгом квантово-механическом подходе, и сам переход к вигнеровскому представлению становится простым и физически наглядным. В полученных уравнениях содержится возможность описания как квантовых переходов между энергетическими уровнями, так и движения углового момента в полях разной природы.

4. Показано, что в отсутствии релаксации квантовые переходы и движения углового момента происходят независимым образом, вследствие того, что движение углового момента происходит по траектории с постоянным значением потенциала взаимодействия. Отсюда, в частности, следует, что существует широкий круг задач, в которых радиационные переходы можно рассматривать, игнорируя движение углового момента.

5. На основе разработанной методики решен ряд конкретных задач, связанных с квантовыми переходами, обусловленных внешним возмущением, в частности, интенсивными лазерными полями произвольной поляризации: а) В моделях релаксационных констант и сильных столкновений вычислена величина поляризации среды при однородном и неоднородном уширении и при произвольной поляризации интенсивного излучения. б) В задаче о полевом расщеплении уровней с большими значениями j показано, что в присутствии сильного поля, резонансного смежному переходу в трехуровневой системе, спектр пробного поля испытывает "неоднородное" уширение, значительно превышающее естественную ширину линии. Линии имеют дублетный вид и форма компонент этого дублета существенным образом зависит от поляризационных условий и типов переходов. При этом в контуре линии могут возникать резкие пики с шириной, сравнимой с естественной шириной, а положение этих пиков зависит от поляризации сильного поля. в) Решение уравнений для вигнеровских функций в условиях эксперимента по резонансу квантовых биений позволило определить с высокой точностью факторы Ланде для основного состояния двухатомных молекул К2 и Те2. г) Решена нелинейно-оптическая задача о распространении интенсивного излучения произвольной поляризации. Показано, что в усиливающей среде с переходом |AJ| = 1 линейная поляризация излучения является устойчивой, а круговая - неустойчива. Для среды с |Д/| = 0 ситуация меняется на противоположную. д) Показано, что из-за взаимодействия встречных волн в двухпроход-ном усилителе, возможно зарождение колебаний параметров, характеризующих поляризацию излучения, но не его интенсивности. е) В связи с появившимися в последнее время результатами экспериментов по многофотонным процессам в молекулярных средах, проведен анализ поляризации параметрически генерируемой волны в процессе че-тырехволнового смешения в четырехуровневой системе в зависимости от типов переходов в ней и поляризации волн накачки. Найдены условия оптимизации поляризаций волн накачки для достижения максимальной интенсивности параметрически генерируемой волны. ж) Найдено сечение резонансного обмена возбуждения в зависимости от взаимной ориентации угловых моментов и скоростей сталкивающихся частиц, имеющих большие j. Вычислена частота резонансного обмена возуждением между орто- и пара- модификациями молекулы CH^F.

6. Показано, что в рамках классической картины движения углового мо

177 мента закрытая двухуровневая система при взаимодействии с эллиптически поляризованным излучением попадает в "темное" состояние (переходы j —> j или j —> j — 1) и в наиболее "яркое" состояние (переход j —>• j + 1). Найдена динамика углового момента в таких системах при отсутствии и наличии постоянного магнитного поля.

Автор выражает свою искреннюю признательность член-корр. РАН А.М.Шалагину, в соавторстве с которым были опубликованы большинство краеугольных статей, ставших основой этой диссертации. Автор также благодарен член-корр. РАН С.Г.Раутиану и Л.В.Ильичеву за многочисленные дискуссии и обсуждения вопросов, касающихся темы данной диссертации.

Заключение

Квинтэссенция настоящей диссертации - это теория вигнеровского представления для вращательного движения. Построению этой теории посвящены первые две главы диссертации, в которых найдено единственное преобразование от традиционного квантово-механического представления (JM-представления) к представлению Вигнера для вращательного движения и получены квантовые уравнения для вигнеровской функции, в которых учитывается существенная квантованность по другим степеням свободы. При этом естественным образом выстраивается иерархия виг-неровских представлений: ориентации углового момента (функция Вигнера является непрерывной функцией угловых переменных, но матрицей от квантовых чисел J), вращательного движения ротатора (она становится функцией от </, но может быть матрицей от других квантовых чисел, характеризующих внутреннее состояние системы) и, наконец, вращательного движения произвольного волчка. Для каждого из этих случаев существует свой адекватный круг задач. Преимущества вигнеровского представления для вращательного движения становятся особенно выраженными в условиях, когда возможен переход к классическому пределу. Такой переход радикальным образом упрощает описание и само нахождение решений обширного круга задач, что продемонстрировано на протяжении всех последующих глав диссертации. В частности, в диссертации сформулирован предел J —у оо, когда формально в уравнениях для вигнеровской функции сохраняются члены только нулевого порядка по параметру 1/J. Для этого предела в диссертации сформулирован рецепт обобщения известных решений модели невырожденных состояний на случай их вырождения и этот рецепт эксплуатировался в главах 36. На этом пути удалось найти решения задач, которые не могли быть решены ранее в рамках обычного квантово-механического подхода.

Удержание в уравнениях для вигнеровской функции членов следующего порядка по параметру 1/7, как это показано в диссертации, соответствует правильному классическому пределу для вращательного движения. Уравнения для вигнеровской функции бесструктурной частицы в этом пределе переходят в уравнения Лиувилля для классической функции распределения по вращательным степеням свобод. И здесь описание физических явлений, связанных с вращением, допускает существенное упрощение, что может быть прослежено на примере задачи об изменении ориентации углового момента двухуровневой частицы в поле эллиптически поляризованной волны (глава 7). Здесь также удается построить наглядную картину движения момента.

Исследования, проведенные в диссертации, показали, что несмотря на условие j —> оо само взаимодействие квантовой системы с внешним возмущением радикально зависит от малого изменения квантового числа j при переходе от одного состояния квантовой системы к другому. В частности для радиационных процессов результаты сильно зависят от типов оптических переходов и поляризации излучения. Результаты, полученные в диссертации при j 1, остаются качественно справедливыми и для малых J.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Насыров, Камиль Ахметович, 2000 год

1. Д.А.Варшалович, А.Н.Москалев, В.К.Херсонский, Квантовая теория углового момента. Д.: Наука, 1975.

2. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. Москва, Наука, 1977.

3. Чайка М.П. Интерференция вырожденных атомных состояний. JL, ЛГУ, 1975.

4. Дьяконов М.И., Перель В.И. Релаксация когерентности возбужденных атомов при столкновениях. ЖЭТФ, 1965, т.48, с.345.

5. Раутиан С.Г., Смирнов Г.И., Шалагин A.M. Нелинейные резонансы в спектрах атомов и молекул. 1979, Наука, Новосибирск.

6. Татарский В.И. Вигнеровское представление квантовой механики. УФН, 1983, т.139, вып.4, сс. 587-619.

7. Миногин В.Г. Кинетическая теория рассеяния атомов на резонансной стоячей световой волне. ЖЭТФ, 1981, т. 80, с.2231.

8. Glauber R.J. The quantum theory, of optical coherence. Phys.Rev., 1963, v.130, p. 2529; v.131, p. 2766.

9. Arecchi F.T., Courtens E., Gilmor R., Thomes H. Atomic coherent states in quantum optics. Phys.Rev.A, 1972, v.6, p.2211.

10. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и некоторые их применения. УФН, 1977, т.123, вып.1, сс. 23-55.

11. Борман В.Д., Бруев А.С., Максимов Л.А. О квазиклассическом кинетическом уравнении для газов с вращательными степенями свободы. ЖЭТФ, 1974, т.67, с.951.

12. Ducloy М. Application du formalisme des e'tats cohe'rents de moment angulaire a quelques proble'mies de physique atomique. J. Physique, 1975, v.36, N.10, pp. 927-942.

13. Ducloy M. Non-linear effects in optical pumping with lasers I. General theory of the classical limit for levels of large angular momenta. J.Phys.B: At.Mol.Phys., 1976, v.9, N.3. pp.357-381.

14. Mukunda N. Wigner distribution for angle coordinates in quantum mechanics. Am.J.Phys. 1979, v.47, N.2, pp. 182-187.

15. Malta C.P., Marshall T.S., Santos E. Wigner density of a rigid rotator. Phys. Rev.E, 1997, v.55, N.3, pp. 2551-2556.

16. Bizarro J.P. Weyl-Wigner formalizm for rotation-angle and angular-momentum variables in quantum mechanics. Phys.Rev.A, 1994, v.49, N.5, pp. 3255-3276.

17. Насыров К.А.,Шалагин A.M. Взаимодействие интенсивного излучения с атомами и молекулами при классическом вращательном движении. ЖЭТФ, 1981, т.81, сс.1649-1663.

18. Насыров К.А. Взаимодействие интенсивного излучения произвольной поляризации с атомами и молекулами, обладающими вырожденными уровнями. Численные методы механики сплошной среды. 1983, т.14, N.4, сс. 126-133.

19. Раутиан С.Г., Рудавец А.Г. Вращение атомов в свете и магнитный резонанс. Письма в ЖЭТФ, 1982, т.35, с.309.

20. Рудавец А.Г. Угловые движения состояний под действием света и полевое расщепление уровней. Письма в ЖЭТФ, 1983, т.37, с. 184.

21. Nasyrov К.A. Wigner representation of rotational motion. J.Phys.A:Gen.Math., 1999, v.32, pp.6663-6678.

22. Аузиньш М.П.,Насыров К.А., Таманис М.Я., Фербер Р.С., Шалагин A.M. Резонанс квантовых биений в системе магнитных подуровней основного состояния молекул. ЖЭТФ, 1987, т.92, с.1590.

23. Apolonskii A., Balushev S., Hinze U., Tiemann E., Wellegehausen B. Appl. Phys. B: Laser Opt., 1997, v.64, p.435.

24. Чесноков E.H., Панфилов B.H. ЖЭТФ, 1977, т.З, с.2122.

25. Смирнов B.C., Тумайкин A.M., Юдин В.И. Стационарные когерентные состояния атомов при резонансном взаимодействии с эллиптически поляризованным светом. Когерентное пленение населен-ностей (общая теория). ЖЭТФ, 1989, т. 96, вып. 5, сс. 1613-1628.

26. Тумайкин A.M., Юдин В.И. Стационарные когерентные состояния при взаимодействии атомов с резонанасным поляризованным излучением в присутствии магнитного поля. ЖЭТФ, 1990, т.98, вып. 1, сс. 81-88.

27. Kruger J.G., Poffin A. Unicity of the Wigner distribution function. Physica, 1976, v.85A, pp.84-100.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 1963, Москва, ФМ.

29. Skribanovitz N., Kelly M.J., Feld V.S., New laser technique for the indentification of molecular transitions. Phys. Rev. A, 1972, v.6, pp.2302-2311.

30. Насыров К.А., Шалагин A.M., Взаимодействие интенсивного произвольно поляризованного излучения с молекулами в условиях столк-новительной релаксации. Квантовая электроника, 1982, т.9, с. 1997.

31. Насыров К.А., Шалагин A.M. Эффекты полевого расщепления уровней с большими значениями углового момента. ЖЭТФ, 1982, т.83, с.1685.

32. Насыров К.А. Автоколебания угла поворота плоскости поляризации в двухпроходном усилителе. Квантовая электроника. 1982, т.9, с.599.

33. Насыров К.А. Неустойчивость ориентации и эллиптичности поляризации излучения в двухпроходном усилителе. В сб. трудов: Уравнение состояния в экстремальных условиях. Новосибирск, ИТПМ, 1981.

34. Насыров К.А. Поляризационная неустойчивость в двухпроходном усилителе. В сб. трудов: Неравновесные процессы в одно- и двухфазных системах. Новосибирск, ИТФ, 1981.

35. Насыров К.А. Неустойчивость поляризации излучения при усилении излучения в двухпроходном усилителе. Нелинейная оптика, ч.2: Труды VII Вавиловской конференции, Новосибирск, 1982.

36. Насыров К.А. Вычисление в квазиклассическом приближении силы Магнуса и других сил, действующих на частицу в буферном газе. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов, Свердловск,1987, т.2, с.94.

37. Насыров К.А., Шалагин A.M. Поглощение излучения молекулами, обладающими большим угловым моментом в присутствии магнитного поля. Труды Всесоюзного симпозиума по молекулярной спектроскопии, Томск, 1984.

38. Бондарь А.В.,Насыров К.А., Шалагин A.M. Резонансный обмен возбуждением между частицами с большими значениями углового момента. Химическая физика. 1985, т.4, с.1020.

39. Auzin'sh М.Р., Nasyrov К.А., Tamanis M.Ya., Ferber R.S., Shalagin A.M. Determination of the ground-state Lande' factor for diatomic molecules by a beat-resonance method. Chem.Phys.Lett., 1990, v.167, N.1,2, pp.129-136.

40. Apolonsky A.A., Nasyrov K.A., Shalagin A.M. Polarization properties of multiphoton processes in quantum systems having large angular momentum. J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys., 1999, v.32, p.3115.

41. Apolonsky A.A., Nasyrov K.A., Shalagin A.M. Polarization effects in radiative interaction with multilevel quantum systems. Physics of Vibrations, 1998, v.6, pp.117-122.

42. Apolonsky A.A., Nasyrov K.A., Shalagin A.M. Polarization effects in radiation with multilevel quantum systems. Proceedings of SPIE, 11 International Vavilov Conference on Nonlinear Optics, 1997, Novosibirsk, p.3485.

43. Nasyrov K.A., Shalagin A.M. Interaction of quantum systems having large angular momentum values with external fields including laser field. ICONO'98, Moscow, 1998, Technical Digest, p.23.

44. Насыров К.А., Шалагин A.M. Поляризационные эффекты при взаимодействии излучения с многоуровневыми квантовыми системами. ЖЭТФ, 1999, т. 116, с.436.

45. Nasyrov К.A. Classical approach for description of an angular momentum motion of the closed two-level system interacting with an arbitrary polarized resonance radiation. Europhysics conference abstract, 32nd EGAS, 4-7 July 2000, Vilnius, p.185-186.

46. Летохов B.C., Чеботаев В.П. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии. 1975, Наука, Москва.

47. Попова Т.Я., Раутиан С.Г. Влияние столкновений и вырождения уровней на явление насыщения в газовых средах. Оптика и спектр., 1979, т.28, вып.5, сс. 869-876.

48. Попова Т.Я., Попов А.К., Раутиан С.Г., Соколовский Р.И. Нелинейные интерференционные эффекты в спектрах испускания, поглощения и генерации. ЖЭТФ, 1969, т.57, вып.З, сс. 850-863.

49. Emanuel G., Cohen Н., Jacobs Т.A. Theoretical performance of an HF chemical cw laser. J.Quant.Spectr.Rad.Trans., 1973, v.13, N.12, pp. 1365-1393.

50. Drullinger R.E and Zare R.N. . J.Chem.Phys., 1969, v.51, p. 5532.

51. Деком Б., Дюмон M., Дюклой М. Лазерная спектроскопия атомов и молекул. Москва, Мир, 1979.

52. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решений сеточных уравнений. Москва, Наука, 1978.

53. Аузиныи М.П., Таманис М.Я., Фербер Р.С. Оптика и спектр., 1987, т.63, с.898.

54. Аузинын М.П., Фербер Р.С. Письма в ЖЭТФ, 1984, т.39, с.376.

55. Аузиныи М.П., Суворов А.Е., Фербер Р.С. Изв. АН ЛатвССР. Сер.физ.техн., 1986, т.1, с.49.

56. Аболтиньш А.Р., Фербер Р.С. Просседы переноса энергии в парах металлов. Рига: Изд. Латв.ГУ, 1983, с.28.

57. Ferber R.S., Okunevich A.I., Shmit О.А., Tamanis M.Ya. Chem.Phys.Lett., 1982, v.90, p.476.

58. Ferber R.S., Shmit O.A., Tamanis M.Ya. Chem.Phys.Letters, 1979, v.61, p. 441.

59. Александров Е.Б. УФН, 1972, т.107, с. 592.

60. Dumont M. Phys.Rev.Letters, 1972, v.28, p. 1357.

61. Ярив А. Квантовая электроника. Москва, "Сов. радио", 1980.

62. Statz Н., Paananen R., Koster G.F. Zeeman effect in gaseous helium-neon optical maser. Jorn.Appl.Phys., 1962, v.33, N.7, pp. 2319-2321.

63. Tang C.L., Statz H., Nonlinear effects in the resonant absorption of several oscillating fields by a gas. Phys.Rev., 1962, v.128, N.3, pp.10131021.

64. De Lang H., Bouwhuis G., Fergunson E.T. Saturation-induced anisotropy in a gaseous medium in zero magnetic field. Phys.Lett., 1965, v.19, N.6, pp.482-484.

65. Polder D., Van Haeringen W. The effect of saturation on the ellipticity of modes in gas lasers. Phys.Lett., 1965, v.19, N.5, pp.380-381.

66. Дьяконов М.И., Фридрихов С.А. Газовый лазер в магнитном поле. УФН, 1966, т.90, сс.565-600.

67. Tomlison W.J., Fork R.L. Use of nonlinear optical interaction to measure relaxation rates of atomic multipole moments. Phys.Rev.Lett., 1968, v.20, N.13, pp. 647-649.

68. Wang C.H., Tomlison W.J., George R.T. Collision-induced anisotropic relaxation in a gas laser. Phys.Rev., 1969, v.181, N.l, pp.125-136.

69. Фрадкин Э.Е., Хаютин Л.М. К теории газового кольцевого лазера в магнитном поле. ЖЭТФ, 1970, т.59, ссю 1634-1644.

70. Желнов Б.Л., Смирнов Г.И. Газовый лазер с естественно-активной ячейкой. Опт. и спектр., 1972, т.32, сс.388-391.

71. Hasle Е.К. Polarization properties of He-Ne lasers. Opt.Commun.,1979, v.31, N.2, pp.206-210.

72. Lenstra D. On the theory of polarization effects in gas lasers. Physics Reports, 1980, v.59, N.3, pp.299-373.

73. Арутюнян B.M., Папазян Т.А., Адонц Г.Г., Карменян А.В., Ишха-нян С.П., Холыд Л. Резонансное вращение плоскости поляризации в парах калия. ЖЭТФ, 1975, т.68, с.44.

74. Арутюнян В.М., Адонц Г.Г. Индуцированный дихроизм и гиротро-пия в резонансной среде. Оптика и спектр., 1979, т.46, с.809.

75. Бонч-Бруевич A.M., Ходовой В.А., Хромов В.В. Индуцированное круговое двулучепреломление в парах рубидия. Оптика и спектр., 1973, т.34, с.195.

76. Кружилин Ю.И. Самонастраивающая система лазер-мишень для лазерного термоядерного синтеза. Квантовая электроника, 1978, т.5, сс.625-631.

77. Ефимков В.Ф., Зубарев И.Г., Котов А.В., Миронов А.Б., Михайлов С.И., Смирнов М.Г. Исследование схем для получения мощных коротких импульсов с обращением волнового фронта излучения в ВРМБ-зеркале. Квантовая электроника, 1980, т.7, сс.372-377.

78. Якубович Е.И. Об общих свойствах усредненных поляризуемостей в нелинейной квазиоптике. ЖЭТФ, 1969, т.56, сс.676-682.

79. Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов. Москва, "Советское радио", 1975.

80. Idiatulin V.S., Usensky A.V. Structural mechanism of laser spiking. Phys.Lett., 1976, v.A58, N.3, pp.161-162.

81. Idiatuin V.S. On the interaction of counerrunning radiation in a mirrorless device. Opt. Commun., 1979, v.30, N.3, pp. 419-422.

82. Идиатулин B.C. Об устойчивости автонаведенной распрееленной обратной связи безрезонаторной системы. ЖТФ, 1979, т.49, сс.2268-2270.

83. Винетский B.JL, Кухтарев Н.В., Одулов С.Г., Соскин М.С. Динамическая самодифракция когерентных световых пучков. УФН, 1979, т.129, вып.1, сс.113-138.

84. Javan A., Kelley P.L. Possibility of self-focusing due tu intensity dependent anoalous dispersion. IEEE J.Quant.Electr., 1966, v.2, N.9, pp.470-473.

85. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.1, Механика, Москва, Наука, 1973.

86. Кадомцев Б.Б. Турбулентность плазмы. В сб. "Вопросы теории плазмы", вып.4, Москва, Атомиздат, 1964.

87. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров, Наука, Москва, 1984.

88. Rittner К., Hope A., Muller-Wirts В., Wellegehausen В., IEEE J. Quantum Electronics, 1992, v. 28, p.342.

89. Ахманов C.A., Хохлов P.B. Проблемы нелинейной оптики, М.: ВИНИТИ, 1964.

90. Шалагин A.M. Определение релаксационных характеристик поляризационным методом в нелинейной сектроскопии. ЖЭТФ, 1977, т.73, с. 99.

91. Lam J.F., Abrams R.L. Phys. Rev.A, 1982, v.26, p.1539.

92. Yuratich M.A., HannaD.C. J. Phys. B: At.Mol.Phys., 1976, v.9, p.729.

93. Adonts G.G., Akopyan D.G. J. Phys. B: At.Mol.Phys., 1985, v.18, p.3407.

94. Вайнштейн Л.А., Собельман И.И., Юков E.A. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий. Москва, Наука, 1979.

95. Галицкий В.М., Никитин Е.Е., Смирнов Б.М. Теория столкновения атомных частиц. Москва, Наука, 1981.

96. Вдовин Ю.А., Галицкий В.М. ЖЭТФ, 1975, т.69, с.ЮЗ.

97. Happer W., Rev.Mod.Phys. 1972, v.44, p.169.

98. Dalibard J.,Cohen-Tannoudji C., J.Opt.Soc. Am.B, 1989, v.6, p.2023.

99. Milner V., Chernobrod B.M., Prior Y., Phys. Rev. A, 1999, v.60, p.1293.

100. Тайченачев А.В., Тумайкин A.M., Юдин В.И., Ниенхауз Г. Точное стационарное решение задачи об оптической накачке в эллиптически поляризованном поле для замкнутых атомных переходов jg = j je = j (j полуцелое). ЖЭТФ, 1995, т.108, вып.2, сс.415-425.

101. Тайченачев А.В., Тумайкин A.M., Юдин б.И. Атом в резонансном эллиптически поляризованном поле: точное стационарное решение для замкнутых переходов jg = j —» je = j + 1. ЖЭТФ, 1996, т.110, в.5, сс.1727-1747.

102. Тайченачев А.В., Тумайкин A.M., Юдин В.И. Тензорная структура стационарной точки оператора радиационной релаксации атома. ЖЭТФ, 1998, т.114, в. 1, сс.125-134.

103. Раутиан С.Г., Рудавец А.Г. Вращение атомов под действием света. Труды семинара "Теоретико-групповые методы в физике", Москва: Наука, 1982, т.2.

104. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: ФМ, 1962