Ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса и их применения к ветвящимся случайным блужданиям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Булинская, Екатерина Владимировна

• Булинская, Екатерина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Булинская, Екатерина Владимировна

Введение

Глава 1. Новые предельные теоремы для процессов

Беллмана-Харриса.

1.1. Основные результаты первой главы.

1.2. Вспомогательные интегральные уравнения.

1.3. Асимптотическое поведение числа частип первого типа.

1.4. Совместное распределение численностей частип, разных типов

Глава 2. Исследование времен достижения с запретом в модели случайного блуждания.

2.1. Основные результаты второй главы.

2.2. Вспомогательные утверждения.

2.3. Анализ времен достижения с запретом в общем случае.

2.4. Простое случайное блуждание по одномерной решетке.

2.5. Времена достижения с запретом после выхода из начального состояния.

Глава 3. Критическое ветвящееся случайное блуждание

3.1. Основные результаты третьей главы

3.2. Изучение средних локальных численностей частиц.

3.3. Вспомогательный процесс Беллмана-Харриса.

3.4. Предельные теоремы для локальных численностей частиц

3.5. Применение результатов первой главы к ветвящемуся случайному блужданию.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса и их применения к ветвящимся случайным блужданиям»

Актуальность работы. Представленная диссертация является самостоятельно выполненной, законченной научно-исследовательской работой, посвященной решению актуальных задач в области предельных теорем теории вероятностей.

Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы доказать новые предельные теоремы для численностей частиц разных типов в многотипном ветвящемся процессе Беллмана-Харриса, исследовать асимптотическое поведение функций распределения времен достижения с запретом для случайного блуждания по целочисленной решетке, а также изучить свойства локальных численностей частиц в модели критического ветвящегося случайного блуждания.

Научная новизна. Научные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором, являются новыми и обоснованы в виде строгих математических доказательств. Результаты других авторов, упомянутые в тексте диссертации, отмечены соответствующими ссылками.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы специалистами Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Математического института им. В.А. Стек-лова РАН, Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН и других научных и учебных организаций. Установленные результаты могут включаться в специальные курсы, посвященные современной теории случайных процессов.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Доказана условная предельная (по времени) теорема для числа частиц одного типа в критическом ветвящемся процессе Беллмана-Харриса с двумя типами частиц при условии невырождения популяции частиц этого типа.

2. Установлено условное совместное предельное распределение должным образом нормированных численностей частиц первого и второго типов для процессов, упомянутых в предыдущем пункте.

3. Найдена вероятность того, что времена достижений с запретами конечны, и выявлено асимптотическое поведение хвостов функций распределения этих времен для симметричного, однородного по времени и пространству, неразложимого случайного блуждания с конечной дисперсией скачков.

4. Исследовано асимптотическое по времени поведение вероятности наличия частиц в любой фиксированной точке решетки Zd в модели критического каталитического ветвящегося случайного блуждания при старте процесса в произвольной точке на Zd.

5. Получены условные предельные теоремы для надлежащим образом нормированного числа частиц в каждой фиксированной точке решетки в модели, упомянутой в пункте 4.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях: "Stochastic Analysis and Random Dynamics" (Львов, Украина, 2009), 10th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics (Вильнюс, Литва, 2010), "Modern Stochastics: Theory and Applications II" (Киев, Украина, 2010), "Visions in Stochastics" (Москва, 2010), 5th conference "Limit Theorems in Probability Theory and their Applications" (Новосибирск, 2011), "Branching processes and random walks in random environment" (Франкфурт-на-Майне, Германия, 2011), "Modern Stochastics: Theory and Applications III" (Киев, Украина, 2012). Кроме того, были сделаны доклады на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (руководитель академик РАН А.Н. Ширяев; Москва, 2011), семинаре отдела дискретной математики Математического института имени В.А. Стеклова РАН (руководитель д.ф.-м.н., г.н.с. A.M. Зубков; Москва, 2012), семинаре Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН имени А.А.Харкевича (руководители д.ф.-м.н., в.н.с. M.JI. Бланк и д.ф.-м.н., профессор P.A. Минлос; Москва, 2012) и семинаре Института стохастики университета Ульма (руководитель профессор Е.Сподарев; Ульм, Германия, 2010).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 13 печатных работах, из них 6 статей ([6], [7], [8], [9], [55] и [57]) в рецензируемых журналах, 2 препринта и 5 тезисов докладов. Среди статей автора 4 входят в список ВАК, а еще две опубликованы в зарубежных журналах.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работ, написанных в соавторстве, нет. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Общий объем диссертации 99 страниц, из них 87 страниц текста. Библиография включает 87 наименований на 10 страницах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Булинская, Екатерина Владимировна, 2012 год

1. Афанасьев В. И. Случайные блуждания и ветвящиеся процессы. Москва: МИАН, 2007.

2. Богачев Л. В., Яровая Е. Б. Моментный анализ ветвящегося случайного блуждания на решетке с одним источником // Докл. РАН. 1998. Т. 363, № 4. С. 439-442.

3. Богачев Л. В., Яровая Е. Б. Предельная теорема для надкритического ветвящегося случайного блуждания на с одним источником // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53, № 5. С. 229-230.

4. Боровков А. А. Теория вероятностей. Москва: Книжный дом "Либроком", 2009.

5. Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. Москва: Иностранная литература, 1961.

6. Булинская Е. Вл. Каталитическое ветвящееся случайное блуждание по двумерной решетке // Теор. вероятн. и примен. 2010. Т. 55, № 1. С. 142-148.

7. Булинская Е. Вл. Предельные распределения численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 6. С. 845-859.

8. Булинская Е. Вл. Времена достижения с запретом для случайного блуждания // Матем. труды. 2012. Т. 15, № 1. С. 3-26.

9. Булинская Е. Вл. Предельные теоремы для локальных численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании // Докл. РАН. 2012. Т. 444, № 6. С. 733-738.

10. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

11. Ватутин В. А. Предельные теоремы для критических марковских ветвящихся процессов с несколькими типами частиц и бесконечными вторыми моментами // Матем. сб. 1977. Т. 103(145), № 2(6). С. 253-264.

12. Ватутин В. А. Предельная теорема для критического ветвящегося процесса Беллмана-Харриса с несколькими типами частиц и бесконечными вторыми моментами // Теория вероятн. и примен. 1978. Т. 23, № 4. С. 807-818.

13. Ватутин В. А. Дискретные предельные распределения числа частиц в ветвящихся процессах Беллмана-Харриса с несколькими типами частиц // Теория вероятн. и примен. 1979. Т. 24, № 3. С. 503-514.

14. Ватутин В. А. Об одном классе критических ветвящихся процессов Беллмана-Харриса с несколькими типами частиц // Теория вероятн. и примен. 1980. Т. 25, № 4. С. 771-781.

15. Ватутин В. А. Критические ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса, начинающиеся с большого числа частиц // Матем. заметки. 1986. Т. 40, № 4. С. 527-541.

16. Ватутин В. А. Ветвящиеся процессы и их применения. Москва: МИАН, 2008.

17. Ватутин В. А. Ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса. Москва: МИАН, 2009.

18. Ватутин В. А., Зубков А. М. Ветвящиеся процессы I // Итоги науки итехники. Теория вероятн. Матем. статистика. Теор. кибернетика. 1985. Т. 23. С. 3-67.

19. Ватутин В. А., Сагитов С. М. Разложимый критический ветвящийся процесс Беллмана-Харриса с двумя типами частиц // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, № 5. С. 1040-1043.

20. Ватутин В. А., Сагитов С. М. Критические разложимые процессы Белл-мана-Харриса с двумя типами частиц, "далекие" от марковских // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 2. С. 276-282.

21. Ватутин В. А., Топчий В. А. Предельная теорема для критических каталитических ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и примен. 2004. Т. 49, № 3. С. 461-484.

22. Ватутин В. А., Топчий В. А. Каталитическое ветвящееся случайное блуждание по Zd с одним источником ветвления // Мат. труды. 2011. Т. 14, № 2. С. 28-72.

23. Ватутин В. А., Топчий В. А., Ху Ю. Ветвящееся случайное блуждание по решетке Z4 с ветвлением лишь в начале координат // Теория вероятн. и примен. 2011. Т. 56, № 2. С. 224-247.

24. Ватутин В. А., Топчий В. А. Двухтипные процессы Беллмана-Харриса, стартующие с большого числа частиц // Тезисы докладов Международной конференции "Теория вероятностей и ее приложения", Москва, 26-30 июня, 2012. С. 24-25.

25. Введенская Н. Д., Печерский Е. А., Сухов Ю. М. Большие уклонения в некоторых системах с очередями // Пробл. передачи информ. 2000. Т. 36, № 1. С. 48-59.

26. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Москва: Наука, 1973. Т. 2.

27. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Москва: Наука, 1970.

28. Зубков А. М. Неравенства для вероятностей переходов с запрещениями и их применения // Матем. сб. 1979. Т. 109(151), № 4(8). С. 491-532.

29. Зубков А. М. Предельное поведение разложимых критических ветвящихся процессов с двумя типами частиц // Теория вероятн. и примен. 1982. Т. 27, № 2. С. 228-238.

30. Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А. Ветвящиеся случайные процессы // Докл. АН СССР. 1947. Т. 56. С. 5-8.

31. Сгибнев М. С. Банаховы алгебры мер класса Q(7) // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29, № 4. С. 162-171.

32. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся случайные процессы для частиц, диффундирующих в ограниченной области с поглощающими границами // Теория вероятн. и примен. 1958. Т. 3, № 2. С. 121-136.

33. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. Москва: Наука, 1971.

34. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. Москва: Наука, 1985.

35. Синай Я. Г., Ханин К. М., Лебовиц Д. Л., Мазель А. Е. Случайные блуждания без самопересечений в пяти и более измерениях: подход с использованием полимерных разложений // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50, № 2. С. 175-206.

36. Топчий В. А. Производная плотности восстановления с бесконечным вторым моментом при а Є (0,1/2. // Сибир. электр. матем. известия. 2010. Т. 7. С. 340-349.

37. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Москва: Мир, 1984. Т. 2.

38. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т. 2.

39. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. Москва: Мир, 1966.

40. Чжун К. Л. Однородные цепи Маркова. Москва: Мир, 1964.

41. Ширяев А. Н. Вероятность. Москва: МЦНМО, 2004. Т. 1.

42. Яровая Е. Б. Применение спектральных методов в изучении ветвящихся процессов с диффузией в некомпактном фазовом пространстве // Теор. и матем. физ. 1991. Т. 88, № 1. С. 25-30.

43. Яровая Е. Б. Предельная теорема для критического ветвящегося случайного блуждания на с одним источником // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60, № 1. С. 175-176.

44. Яровая Е. Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. Москва: Изд-во мех-мата МГУ, 2007.

45. Яровая Е. Б. Критические ветвящиеся случайные блуждания по решеткам низких размерностей // Дискр. матем. 2009. Т. 21, .А1"2 1. С. 117-138.

46. Яровая Е. Б. Об исследовании ветвящихся случайных блужданий по многомерным решеткам // Современные проблемы математики и механики, серия "Теория вероятностей и математическая статистика". 2009. Т. 4. С. 119-136.

47. Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и примен. 2010. Т. 55, № 4. С. 705-731.

48. Яровая Е. Б. Монотонность вероятности возвращения в источник в моделях ветвящихся случайных блужданий // Вестник МГУ, сер. Матем. 2010. № 2. С. 44-47.

49. Яровая Е. Б. Спектральные свойства эволюционных операторов в моделях ветвящихся случайных блужданий // Матем. заметки. 2012. Т. 92, № 1. С. 47-72.

50. Albeverio S., Bogachev L. V., Yarovaya E. В. Asymptotics of branching symmetric random walk on the lattice with a single source // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Ser. I, Math. 1998. Vol. 326. Pp. 975-980.

51. Albeverio S., Bogachev L. Branching random walk in a catalytic medium I. Basic equations // Positivity. 2000. Vol. 4, no. 1. Pp. 41-100.

52. Athreya К. В., Ney P. E. Branching Processes. Berlin: Springer, 1972.

53. Bellman R., Harris T. Age-dependent stochastic branching processes // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1948. Vol. 34, no. 12. Pp. 601-604.

54. Bremaud P. Markov Chains: Gibbs Fields, Monte-Carlo Simulation, and Queues. New York: Springer, 1999.

55. Bulinskaya E. VI. Catalytic branching random walk on three-dimensional lattice // Theory Stoch. Proc. 2010. Vol. 16, no. 2. Pp. 23-32.

56. Bulinskaya E. VI. The Hitting Times with Taboo for a Random Walk on an Integer Lattice. Prepublication de LPMA UPMC (univ. Paris-VI) no. 1456: arXiv:1107.1074vl math.PR., 2011.

57. Bulinskaya E. VI. Limit distributions arising in branching random walks on integer lattices // Lithuanian Math. J. 2011. Vol. 51, no. 3. Pp. 310-321.

58. Bulinskaya E. VI. Asymptotic behavior of local particles numbers in branching random walk. Prepublication de LPMA UPMC (univ. Paris-VI) no. 1501: arXiv:1203.2362vl math.PR., 2012.

59. Bulinskaya E. VI. Asymptotic Behavior of Subcritical Branching Random Walk // Abstracts of Communications of the Int. Conference "Modern Stochastics: Theory and Applications III", Kiev, September 10-15, 2012. P. 25.

60. Bulinskaya E. VI. Conditional limit distributions arising in branching random walk on Z2 // Abstracts of Communications of the 10-th Int. Vilnius conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, Vilnius, June 28-July 2, 2010. P. 118.

61. Bulinskaya E. VI. Limit theorems for one modification of a critical catalytic branching random walk on Z2 // Abstracts of Communications of the Int. conference "Stochastic Analysis and Random Dynamics", Lviv, June 14-20, 2009. P. 117.

62. Bulinskaya E. VI. Local Particles Numbers in Branching Random Walk on an Integer Lattice // Abstracts of Communications of the XXIX Int. Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Svetlogorsk, October 10-16, 2011. Pp. 9-10.

63. Carmona Ph., Hu Y. The spread of a catalytic branching random walk. arXiv:1202.0637vl math.PR., 2012.

64. Crump K. S., Mode C. J. A general age-dependent branching process I // J. Math. Anal. Appl. 1968. Vol. 24. Pp. 494-508.

65. Crump K. S., Mode C. J. A general age-dependent branching process II // J. Math. Anal. Appl. 1969. Vol. 25. Pp. 8-17.

66. Dawson D., Fleischmann K. A super-Brownian motion with a single point catalyst // Stoch. Proc. Appl. 1994. Vol. 49. Pp. 3-40.

67. Doering L., Roberts M. I. Catalytic branching process via spine techniques and renewal theory. arXiv:1106.5428v4 math.PR., 2012.

68. Doney R. A., Korshunov D. A. Local asymptotics for the time of the first return to the origin of transient random walk // Statist, and Probab. Lett. 2011. Vol. 81. Pp. 1419-1424.

69. Fleischmann K., Le Gall J.-F. A new approach to the single point catalytic super-Brownian motion // Probab. Theory Related Fields. 1995. Vol. 102. Pp. 63-82.

70. Galton F., Watson H. W. On the probability of extinction of families // J. Anthropol. Inst. 1874. Vol. 4. Pp. 138-144.

71. Grishechkin S. A., Devetsikiotis M., Lambadaris I., Hobbs C. Multistability in queues with retransmission and its relationship with large deviations in97branching processes // Теория вероятн. и примен. 2002. Т. 47, № 1. С. 188-199.

72. Haccou P., Jagers P., Vatutin V. A. Branching Processes in Biology. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.

73. Jagers P. Branching Processes with Biological Applications. London: John Wiley and Sons, 1975.

74. Kaj I., Sagitov S. Limit processes for age-dependent branching particle systems // J. Theor. Probab. 1998. Vol. 11, no. 1. Pp. 225-257.

75. Karlin S., Taylor H. M. A Second Course in Stochastic Processes. San Diego: Academic Press, 1981.

76. Kesten H. Ratio theorems for random walks II // J. d'Analyse Mathématique. 1963. Vol. 9. Pp. 323-379.

77. Kesten H., Spitzer F. Ratio theorems for random walks I // J. d'Analyse Mathématique. 1963. Vol. 9. Pp. 285-322.

78. Lawler G. F., Limic V. Random Walk: A Modern Introduction. New York: Cambridge University Press, 2010.

79. Syski R. Passage Times for Markov Chains. Amsterdam: IOS Press, 1992.

80. Topchii V. A., Vatutin V. A. Individuals at the origin in the critical catalytic branching random walk // Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. (electronic). 2003. Vol. 6. Pp. 325-332.

81. Topchij V. A. Critical general branching processes with long-living particles // Lect. Notes in Statist. 1995. Vol. 99. Pp. 28-35.

82. Vatutin V. A., Topchii V. A., Yarovaya E. B. Catalytic branching random walk and queueing systems with random number of independent servers // Theory Probab. and Math. Statist. 2004. no. 69. Pp. 1-15.

83. Vatutin V. A., Zubkov A. M. Branching processes II // J. Soviet Math. 1993. Vol. 67, no. 6. Pp. 3407-3485.

84. Vatutin V., Xiong J. Some limit theorems for a particle system of single point catalytic branching random walks // Acta Mathematica Sinica. 2007. Vol. 23, no. 6. Pp. 997-1012.