Ветвление решений задачи о сопряженных стратифицированных течениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Казаков, Алексей Юрьевич

• Казаков, Алексей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казаков, Алексей Юрьевич

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Уравнения движения стратифицированной жидкости

1.2 Формулировка уравнений в переменных Мизеса.

1.3 Задача о сопряженных течениях.

1.4 Конструкция Ляпунова — Шмидта.

1.5 Свойства линейных операторов Штурма — Лиувилля

2 Ветвление решений задачи о сопряженных течениях

2.1 Конечномерная редукция задачи о сопряженных течениях

2.2 Необходимое условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях.

2.3 Достаточное условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях.

2.4 Ветвление критических точек потенциала нелинейного оператора Штурма — Лиувилля на фиксированной поверхности уровня.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ветвление решений задачи о сопряженных стратифицированных течениях»

В диссертации исследуется нелинейная задача на собственные значения для одномерного уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга, возникающего в теории волн в неоднородной жидкости. Рассматриваемая задача тесно связана с проблемой аналитического описания предельных форм внутренних уединенных волн, сформулированной в работе Эмика и Тернера [25]. В этой работе с помощью топологических методов доказано существование точек разрушения соболевской И^-нормы на глобальной ветви решений типа уединенных волн. Физически это соответствует либо неограниченному возрастанию площади между профилем волны и невозмущенным уровнем линии тока (рост Z/2-нормы решения), либо появлению на профиле волны точек с вертикальной касательной (неограниченность С1-нормы). Неограниченность вовлеченной в волну массы жидкости имеет место для семейства уединенных волн столообразного вида с уплощенными вершинами, по форме напоминающими плато («table-top waves», рис. la.). Предельной формой волн этого семейства является плавный внутренний бор (рис. 16.). Анализу структуры таких решений в случае двухслойной, или близкой к ней, стратификации были посвящены исследования Эмика и Тернера [26], а также работы Мильке [54], Жаме [40, 41], в которых использовалась техника конечномерной редукции на центральное многообразие, и работы Н. И. Макаренко [49], Ж. JL Мальцевой [15], в которых применялся метод Ляпунова — Шмидта. Численными методами эту задачу решали Тернер и Ванден-Брок [62], Диас и Ванден-Брок [36]. а) (б)

Рис. 1: (а) — уединенная волна типа плато, (б) — плавный внутренний бор

Уединенные волны типа плато имеют фронты, подобные плавным внутренним борам, и почти одномерные горизонтальные срединные течения, сопряженные с невозмущенным течением перед волной. Два одномерных течения стратифицированной жидкости называются сопряженными, если они являются согласованными в смысле законов сохранения массы, импульса и (или) энергии. Этот термин, сама постановка задачи об отыскании пар сопряженных течений как бифуркационной задачи для нелинейного уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга, а также первые результаты о ее разрешимости принадлежат Бенджамину [30, 31]. Указанная задача может рассматриваться независимо от исходной двумерной задачи, при этом ее решения дают информацию о параметрах внутренних волн, чьи предельные амплитуды фактически и задаются параметрами сопряженных течений. Задача о сопряженных течениях относится к классу нелинейных задач Штурма — Лиувилля — задач на собственные значения для нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка.

Такие задачи возникают в нелинейной теории теплопроводности и теории упругости, теории фазовых переходов, а также при исследовании задач сегментации фотоизображений и нахождении точных констант в изопериметрических неравенствах. Обзор соответствующих математических постановок и методов исследования их разрешимости имеется в книге В. Г. Осмоловского [21] (см. также статьи [44, 57, 58, 59, 63] и книгу [27]). Особенностью задачи о сопряженных течениях является возможность существенной неединственности ее решения, что было доказано в работах Н. И. Макаренко [13, 14] и найдено в численных расчетах Лэмба [45, 46, 60]. Основными результатами диссертации являются необходимые и достаточные условия существования ветвей нетривиальных решений задачи о сопряженных течениях, формулируемые в терминах функций, определяющих профили скорости и плотности заданного основного течения.

Далее дается краткий обзор содержания диссертационной работы. Первая глава является вводной, в §1.1 приводится вывод уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга, описывающего движение неоднородной жидкости. В §1.2 это уравнение преобразуется к переменным Мизеса, использование которых оказывается более удобными для исследования. В §1.3 дается постановка задачи о сопряженных течениях как нелинейной задачи на собственные значения для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга) на конечном промежутке с дополнительным интегральным соотношением, выражающим закон сохранения импульса. Поскольку интегральное соотношение формулируется в терминах лагранжиана одномерного оператора Дюбрей-Жакотэн — Лонга, постановка задачи является вариационной: требуется отыскать критические точки функционала, лежащие на поверхности его нулевого уровня. Отметим, что вариационные свойства задачи о сопряженных течениях обсуждались Бенджамином в работах [31, 32], однако условие принадлежности искомой ветви решений задачи фиксированной поверхности уровня потенциала исходного оператора в этих работах не рассматривалось, поскольку не требовалось согласования сопряженных течений в смысле закона сохранения импульса (с физической точки зрения потеря импульса связана с силами реакции потока жидкости при обтекании неровностей на дне канала). Также в §1.4 приводятся необходимые сведения из теории ветвления, касающиеся основного метода исследования настоящей работы — конструкции Ляпунова — Шмидта, в §1.5 описываются необходимые свойства линейных операторах Штурма — Лиувилля.

В главе 2 излагаются основные результаты диссертации. Решения задачи о сопряженных течениях разыскиваются в пространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций с помощью метода Ляпунова — Шмидта. В §2.1 описание ветвей решений задачи о сопряженных течениях в окрестности собственного значения линеаризованного одномерного оператора Дюбрей-Жакотэн — Лонга сводится к анализу системы двух неявно заданных скалярных уравнений разветвления, связывающих три вещественных параметра. В §2.2 устанавливается, что в силу вариационного характера задачи полученная вещественная система в общем случае обладает только тривиальным решением. Условие вырожденности матрицы линейной части указанной системы дает необходимое условие существования нетривиальных ветвей сопряженных течений, являющееся центральным результатом диссертации. В §2.3 приводится достаточное условие существования нетривиальной ветви сопряженных течений, получающееся из рассмотрения преобразованной вещественной системы с исключенной тривиальной ветвью решений. Анализ решения этой системы дает асимптотику ветви сопряженных течений по параметрам задачи в окрестности точки бифуркации. В §2.4 отмечается общий характер полученного необходимого условия ветвления, и приводятся формулировка и доказательство теоремы, дающей необходимое условие ветвления решений уравнения Эйлера — Лагранжа общего вида, удовлетворяющих дополнительному интегральному ограничению, выраженному в терминах лагранжиана.

В главе 3 полученные условия существования сопряженных течений непрерывно стратифицированной жидкости интерпретируются с точки зрения известных результатов. В §3.1 рассматривается задача о сопряженных течениях двухслойной жидкости. Здесь устанавливается, что полученные в настоящей работе условия ветвления согласуются с известными условиями существования ветвей решения [49]. В §3.2 условия существования сопряженных течений, полученные для исходной задачи в полулагранже-вых переменных (переменных Мизеса), формулируются в эйлеровых переменных. При такой интерпретации эти условия позволяют легко находить удовлетворяющие им профили плотности и скорости основного течения. В §3.3 рассматриваются бессдвпговые течения. Использование эйлеровых переменных позволяет дать физическое истолкование условий ветвления в терминах профиля плотности основного течения, а также сопоставить полученные результаты с результатами работы [14] и дать уточненную интерпретацию полученных в ней условий существования течений, сопряженных с бессдвиговым потоком. В §3.4 устанавливается связь между полученными условиями существования сопряженных течений и структурой асимптотического разложения для решений задачи об уединенных внутренних волнах. Показано, что необходимое условие существования ветви сопряженных течений есть условие равенства нулю коэффициента при квадратичной нелинейности в классическом уравнении Кортевега — де Фриза [33, 48], I описывающем в главном порядке решения двумерной задачи в виде уединенных волн. Хорошо известно [39, 42], что при вырождении квадратичной нелинейности в исходных уравнениях асимптотика решений типа уединенных волн дается модифицированным уравнением Кортевега — де Фриза с кубической нелинейностью, обладающим более широким набором решений (включая решения типа плавного бора [20]). Основные результаты диссертации:

1. Получено необходимое условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях (теорема 1, §2.2).

2. Получено достаточное условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях (теорема 2, §2.3).

3. Установлена связь между полученными условиями существования сопряженных течений и структурой асимптотического разложения для решений двумерной задачи об уединенных внутренних волнах (§3.4).

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. XLI Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2003.

2. VII Международная конференция «Потоки и структуры в жидкостях», Санкт-Петербург, 2003.

3. Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченная к 85-летию академика JI. В. Овсянникова, Новосибирск, 2004.

4. Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященная 50-летию Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2007.

5. Ассамблея Европейского геофизического союза EGU General Assembly, Вена, Австрия, 2008.

6. Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвящённая 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева, Новосибирск, 2008.

Результаты диссертации обсуждались на семинаре лаборатории математического моделирования фазовых переходов Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН под руководством чл.-корр. РАН П. И. Плотникова и семинаре «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа» под руководством проф. В. С. Белоносова и проф. М. В. Фокина в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [10, 51], трудах конференции [43] и тезисах докладов [5]-[9], [50]. В совместных публикациях [50, 51] автору принадлежат результаты о необходимых условиях ветвления решений задачи о сопряженных течениях.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Н. И. Макаренко за постановку задачи и цепные советы, а также благодарит руководителей и участников перечисленных семинаров за вопросы и замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Ведущие научные школы РФ» (гранты № НШ—440.2003.1 и № НШ—5245.2006.1) и гранта INTAS—СО РАН (№ 06-1000013-9236).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казаков, Алексей Юрьевич, 2009 год

1. Казаков А.Ю. Условия существования сдвиговых сопряженных течений и длинноволновые приближения, Тезисы всеросс. конф. «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», Новосибирск, 2007, с. 96.

2. Казаков А.Ю. Об одной нелинейной задаче Штурма — Лиувилля из теории внутренних волн. Тезисы межд. конф. «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений». Новосибирск, 2008. с. 151.

3. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 — М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 476 с.

4. Макаренко Н.И. Сопряженные течения и плавные боры в слабостра-тифицированной жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. с. 69-78.

5. Макаренко Н.И. О неединственности сопряженных течений // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2. с. 68-74.

6. Мальцева Ж.Л. Об одном типе уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 5. с. 55-61.

7. Мальцева Ж.Л. Об асимптотических свойствах уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // Вычислительные технологии. 2000. т. 5. N 1. с. 85-92.

8. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.: Высшая школа, 1977.

9. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.:Мир 1977, 230 с.

10. Рождественский В.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1978, 687 с.

11. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. — Новосибирск: Наука. 1985. 320 с.

12. Осмоловский В.Г. Нелинейная задача Штурма — Лиувилля. — Учеб. пособие. СПб.: СПбГУ, 2003, 230 с.

13. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. — М: Изд. иност. лит., 1962.

14. Федоров К.Н. Тонкая термохалинная структура вод океана. — Л.: Гид-рометеоиздат, 1976, 184 с.

15. Хабахпашева Т. И. Уединенные волны в двухслойной жидкости // Динамика сплошной среды. 1985, Изд. ин-та гидродинамики СО АН СССР: Новосибирск, вып. 69. с. 96-122.

16. Атгск, С. and Turner, R.E.L. A global theory of internal solitary waves in two-fluid system j j Trans. Amer. Math. Soc., 298, p. 431-484, 1986.

17. Amick, C. and Turner, R.E.L. Small internal waves in two-fluid systems. // Arch. Rat. Mech. Anal., 1989, v. 108, p.111-139.

18. Amrein W.O., Hinz A.M., Pearson D. P. Sturm — Liouville theory: past and present. — Springer, 2005, 335 p.

19. Beale J.T. The existence of solitary water waves j j Comm. Pure Appl. Math., 1977, v. 30, p. 373-389.

20. Beale J. T. Exact solitary waves with capillary ripples at infinity // Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 211-257.

21. Benjamin T.B. Internal waves of finite amplitude and permanent form // J. Fluid Mech. 1966. N 25. p. 241-270.

22. Benjamin T.B. Unified theory of conjugate flows. // Philos. Trans. Roy. Soc. 1971, London A, v. 269, p. 587-643.

23. Benjamin, Т. B. Impulse, flow force and variational principles // IMA J. Appl. Math., 1984, v. 32, p. 3-68.

24. Benney, D.J. Long non-linear waves in fluid flows // J.Math.Phys., 1966, N 45, p. 52-63.

25. Birkhoff G., Rota G.-C. Ordinary differential equations — Boston: Ginn and Co., 1962, 318 p.

26. Bona J. L., Sachs R. L. The existence of internal solitary waves in a two-fluid system near the KdV limit // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics, 1989, v. 48 , p. 25-51.

27. Dias, F. and Vanden-Broeck, J.-M. On internal fronts. //J. Fluid. Mech., 2003, v.479, p. 145-154.

28. Dubreil-Jacotin M.L. Sur theoremes d'existence relatifs aux ondex permanentes periodiques a deux dimensions dans les liquides heterogenes // J. Math. Pures Appl. 1937. v.9, N 19, p.43.

29. Friedrichs K.O., Hyers D.H. The existence of solitary waves. // Comm. Pure. Appl. Math., 1954, v. 7, N 3, p. 517-550.

30. Gear J.A., Grimshaw R. A second-order theory for solitary waves in shallow fluids // Phys. Fluids. 1983. v. 26, N 1. p. 14-29.

31. James G. Small amplitute internal waves in stratified fluid // Ann. Univ. Ferrara. ser. VII Sc. Mat, 1997, N 43, p. 65-119.

32. James G. Internal travelling waves in the limit of discontinuously stratified fluid // Arch. Rat. mech. Anal. 2001, N 160, p. 41-90.

33. Kakutani Т., Yamasaki N. Solitary waves on a two-layer fluid. //J. Phys. Soc. Japan, 1978, v. 45, p. 674-679.

34. Kazakov A. Conjugate shear flows of weakly-stratified fluid. // Proc. of VII int. conf. «Fluxes and structures in fluids», Moscow, Inst. Prob. Mech. RAS, 2003, p. 93-98.

35. Kuiper H.J., Turner R.E.L. Sturm-Liouville problems with prescribed nonlinearities // Q. J. Math. Eq., 1973, v.26, p. 491-505.

36. Lamb K.G., Wan B. Conjugate flows and flat solitary waves for a continuously startifled fluid j I Phys. Fluids, 1998, v. 10, N 8, p. 20612079.

37. Lamb K.G. Conjugate flows for a three-layer fluid // Phys. Fluids, 2000, v. 12, N 9, p. 2169-2185.

38. Lamb K.G., Wilkie K.P. Conjugate flows for waves with trapped cores // Phys. Fluids, 2004. v. 16, N 12. p. 4685-4695.

39. Long R.R. Solitary waves in one- and two-fluids system //Tellus., 1956, v. 8, N 4, p. 460-471.

40. Makarenko N.I. Smooth bore in two-layer fluid // Intern. Ser. Numer. Math., 1992, v. 106, p. 195-204.

41. Makarenko N., Maltseva J., Kazakov A. Conjugate flows and amplitude bounds for extreme internal waves // Geophysical Research Abstracts, 2008, v. 10, EGU General Assembly, Vienna, Austria, 13-18 April 2008.NA-06692.

42. Makarenko, N. I., Maltseva, J. L., Kazakov, A. Yu. Conjugate flows and amplitude bounds for internal solitary waves j j Nonlinear Processes in Geophysics, 2009, v. 16, N 2, p. 169-178.

43. Makarenko, К Equivariant cosymmetry and front solutions of the Dubreil-Jacotin-Long equation j j C.R. Acad. Sci, 2003, Paris. Ser. I: Part 1. Boussinesq limit, v. 337 pp. 753-756; Part 2. Exact solutions, v. 337, p. 815-818.

44. Maltseva, J.L. Limiting forms of internal solitary waves // JOMAE Trans. ASME, 2003, 125, p. 76-79.

45. Mielke A. Homoclinic and heteroclinic solutions in two-phase flow // Adv. Series in Nonlinear Dynamics, 1995, v. 7, p. 353-362.

46. Miles J. W. On internal solitary waves // Tellus, 1979, v.31, p.456-462.

47. Rusds P.-O., Grue J. Solitary waves and conjugate flows in a three-layer fluid // Eur. J. Mech. B/Fluids, 2002, v.21, p. 185-206.

48. Shibata T. Asymptotic profiles of variational eigenvalues of two-Parameter non-linear Sturm-Liouville problems // Math. Meth. Appl. Sci., 1998, v.21, p. 1619-1635.

49. Shibata T. Asymptotic expansion of the variational eigencurve for two-parameter simple pendulum-type equations I j Nonlin. Anal., 2004, v.58, p. 425-440.

50. Shibata T. Boundary layer and variational eigencurve in two-parameter single pendulum type equations // Comm. Pure App. Anal., 2006, v.5, N 1, p. 147-154.

51. Stastna M., Lamb K.G. Large fully nonlinear internal solitary waves: The effect of background current // Phys. Fluids, 2002, v. 14, N 9, p. 2987-2999.

52. Ter-Krikirov A.M. Theorie exacte des ondes longues stationnaries dans un liquide heterogene //J. Mecanique, 1963, N 2, p. 351-375.

53. Turner R.E.L., Vanden-Broeck J.-M. Broadening of interfacial solitary waves // Phys. Fluids, 1988, v. 31, p. 2486-2490.

54. Turner R.E.L. Superlinear Sturm — Liouville Problems // J. Diff. Eq, 1973, v.13, p. 157-171.

55. Yih Chia-Shun. Stratified flows. N.Y.: Acad. Press, 1980.