Весовые алгебры на локально компактных группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Юлия Николаевна

• Кузнецова, Юлия Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Юлия Николаевна

Введение

Формулировки основных результатов

1 Теоремы общего характера

1.1 Начальные сведения.

1.2 Инвариантность относительно сдвигов.

1.3 Описание весовых функций.

1.3.1 Обобщение теоремы Лебега.

1.3.2 Критерий для веса алгебры С™(G).

1.3.3 Различные условия для случая р >

1.4 Описание допустимых групп.

1.5 Разные конструкции весовых алгебр.

1.6 Аппроксимативные единицы

1.7 Инволюция в весовых алгебрах.

2 Коммутативные алгебры

2.1 Пространство максимальных идеалов.

2.2 Критерий регулярности.

2.3 Конструкции регулярных алгебр.

3 Задание умножения на данном линейном пространстве

3.1 Пространства со счетным безусловным базисом

3.2 Пространства £р

3.2.1 Сепарабельный случай.

3.2.2 Несепарабельный случай

3.3 Пространства Фреше.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Весовые алгебры на локально компактных группах»

Алгебры суммируемых с весом функций и рядов впервые появились в работах А. Бёрлинга [26] и И. М. Гельфанда [40] и с тех пор стали классическим объектом изучения в гармоническом анализе. Настоящая диссертация продолжает исследования в этой области.

Напомним, что одним из основных объектов гармонического анализа является алгебра суммируемых функций C\{G) = {/ : JG\f\ < оо} на локально компактной группе G с операцией свертки

Можно заметить, что весовое пространство Cf(G) = {/'•/ \fw\ < оо}, где вес w — некоторая функция, имеет очень похожие свойства, в частности, замкнуто относительно свертки, если вес w полу мультипликативен, т.е. удовлетворяет условию

Бёрлинг [26] впервые рассматривал такие алгебры функций на вещественной прямой, доказал для них теорему о голоморфном исчислении и описал несколько других свойств. Гельфанд [40] вычислил пространства максимальных идеалов алгебр и аналогичных алгебр степенных рядов if (Ж). Позже теория обобщалась на случай алгебр Cp(G), р > 1 (первой в этом направлении является работа Вермера [64]). В этом случае, однако, не удаw(xy) ^ w(x)w{y).

1) лось получить столь же законченные результаты, и в настоящее время случай р = 1 также исследован значительно лучше.

Мы рассмотрим далее некоторые основные свойства весовых алгебр {!■■[ IЫр < оо},

JG излагая известные и новые результаты. Это изложение будет одновременно соответствовать структуре диссертации.

В первых же работах, посвященных весовым алгебрам на вещественной прямой, появились достаточные условия, при которых данное весовое пространство образует алгебру относительно свертки. При р = 1 это полу мультипликативность (1). При р > 1 достаточно, чтобы выполнялось следующее неравенство (поточечно локально почти всюду): w~q * w~q ^ w~q, (2) где q — сопряженный показатель к р, так что 1 /р + 1 Jq = 1. Связь между этими условиями станет более ясной, если ввести функции = / ч / i,v w{s)w{s Н) s,t G G. Неравенства (1) и (2) записываются тогда в единой форме (это заметил Н. К. Никольский [13, §3.2]): sup < 1, teG где q = оо при р = 1. Эти условия тривиально обобщаются на случай произвольной локально компактной группы. Не столь очевиден, однако, ответ на обратный вопрос: следует ли справедливость этих неравенств из того факта, что пространство C™{G) является алгеброй?

Первый результат в этом направлении был получен Р. Эдвардсом [36], который доказал, что для полунепрерывной сверху функции w на локально компактной группе G условие (1) следует из того, что — сверточная алгебра. Позднее Грабинер [43] доказал тот же, по существу, факт для вещественной прямой и любой измеримой положительной функции w. В диссертации содержится окончательное решение вопроса: неравенство (1) для любой положительной измеримой функции w на локально компактной группе является критерием того, что пространство Cf(G) замкнуто относительно свертки (теорема 1.3.1).

При р > 1 условие (2) является необходимым в некоторых естественных частных случаях [48], [23], но, вообще говоря, это не критерий. В 1978 г. [38] был построен пример семейства алгебр ^p(N) на полугруппе натуральных чисел, вес которых не удовлетворяет условию (2). Первые контрпримеры на группах (единичной окружности и вещественной прямой) построены автором (примеры 1.3.4, 1.3.5).

Весовые алгебры Cf (G) можно построить на любой локально компактной группе, в частности, при w = 1 мы получаем обычную алгебру C\{G). Если же р > 1, группа не может быть произвольной. Здесь уместно вспомнить доказательство известной /^-гипотезы: пространство CP(G) на локально компактной группе G при р > 1 замкнуто относительно свертки тогда и только тогда, когда группа G компактна (доказательство в общем случае и историю вопроса см. в статье Саеки [61]). Добавление веса расширяет класс допустимых групп: в диссертации доказано, что на любой сг-компактной (т.е. представимой в виде счетного объединения компактов) группе при любом р > 1 существует вес w, при котором пространство C™(G) является алгеброй (теорема 1.4.1). В теореме показано также, что условие сг-компактности в случае абелевых групп необходимо для того, чтобы на группе существовала хоть какая-то алгебра C™(G) с р > 1. Аналогичный вопрос для неабелевых групп остается открытым.

Интересен также вопрос, можно ли вес произвольной весовой алгебры выбрать непрерывным, не изменив саму алгебру. Фейхтингер [37] ответил на этот вопрос положительно в случае р = 1 при дополнительном требовании инвариантности алгебры j£±(G) относительно сдвигов. При р > 1 верно аналогичное утверждение (следствие 1.2.3). Кроме того, в теореме 1.3.1 показано, что прир = 1 инвариантность появляется автоматически, т.е. результат верен для любой алгебры Cf(G). Простые примеры (1.3.6) показывают, что при р > 1 вес нельзя, вообще говоря, выбрать непрерывным.

Хорошо известно, что алгебра C\{G) на локально компактной группе G полупроста. Это доказывается обычно с использованием инволюции f*{t) — гДе А — модулярная функция группы, задающая переход от левой меры Хаара к правой. Для весовых алгебр вопрос усложняется, поскольку не при всяком весе на алгебре C™(G) (и даже при р = 1) можно определить естественную инволюцию. Полупростота алгебр Ci(G) доказана в настоящее время для симметричных весов {w(t) = u>(i-1)), для аменабель-ных групп и в некоторых других случаях [32]. Окончательный же ответ неизвестен. В диссертации доказана полупростота алгебр C£{G) при р > 1 для абелевых групп (теорема 2.1.4).

Другим существенным алгебраическим свойством является аменабельность. Банахова алгебра называется аменабельной, если все ее дифференцирования со значениями в сопряженных бимодулях — внутренние [19, гл. VII, §2.3]. Это понятие было введено Джонсоном [47], который доказал следующую теорему: алгебра C\{G) на локально компактной группе G аменабельна тогда и только тогда, когда группа G аменабельна. Для случая р = 1 ответ дает теорема Грёнбека [45]: алгебра Ci(G) на локально компактной группе G аменабельна тогда и только тогда, когда группа G аменабельна, а вес w удовлетворяет условию sup{u>(s)u>(s-1) : s G G} < оо.

В диссертации доказано, что при р > 1 инвариантные алгебры C™(G) не могут быть аменабельны (раздел 1.6). В общем случае ответ неизвестен.

В классическом гармоническом анализе наиболее содержательная теория развита для абелевых и компактных групп. На компактной группе рассмотрение веса не дает практически ничего нового. Точнее, все алгебры C™(G) изоморфны обычной алгебре С\ (G), а для алгебр С™ (G) при р > 1 верно то же самое, если потребовать непрерывности веса или хотя бы инвариантности пространства C™{G) относительно сдвигов (см. раздел 1.2). Неинвариантные алгебры при р > 1 существуют, но обладают патологическими свойствами (примеры 1.3.6, 1.3.4, 2.2.3).

Коммутативные весовые алгебры, напротив, разнообразнее по своим свойствам, чем классические алгебры C\{G). Первым типичным вопросом при изучении коммутативной банаховой алгебры А является описание ее пространства максимальных идеалов которое мы будем называть также спектром алгебры А. Как известно, спектр алгебры £>i(G) на коммутативной группе G можно отождествить с двойственной к G группой G. Для весовых алгебр по-прежнему справедливо вложение G С T,(Cp(G)) (теорема 2.1.1), но спектр уже не обязательно сводится к характерам группы (т.е. к точкам двойственной группы G). Равенство G = T,(Cp(G)) верно, например, для класса регулярных алгебр [33], который будет обсуждаться ниже.

Коммутативная банахова алгебра it называется регулярной, если она разделяет точки и замкнутые множества в своем спектре, т.е. если для любого замкнутого множества F и точки х ^ F найдется функция / £ it, равная нулю на F и отличная от нуля в точке х. Регулярные полупростые коммутативные алгебры были впервые рассмотрены Шиловым [22]. В такой алгебре 11 возможен спектральный анализ: идеал 1(F) функций из it, равных нулю на замкнутом множестве F С G, является ядром своей оболочки [10, §25D], иначе говоря, множество общих нулей функций из 1(F) снова равняется F.

Регулярность алгебры при дополнительных условиях (см., напр., [10, §25D]) влечет за собой абстрактную тауберову теорему: всякий собственный замкнутый идеал J С it содержится в регулярном максимальном идеале, т.е. в ядре некоторого характера алгебры it. Тауберова теорема для алгебры C\(G) на абелевой локально компактной группе G — классический результат гармонического анализа.

Весовые алгебры не всегда регулярны. Это связано с тем, что при быстро растущем весе w преобразования Фурье функций из С™ (М) образуют квазианалитический класс, и для них справедлива теорема единственности. Этот результат выводится из теоремы Пэли и Винера [3] и является основным инструментом в изучении преобразований Фурье весовых алгебр. Точное условие на рост веса таково: вес w на вещественной прямой называется неквази-аналитическим, если сходится интеграл и квазианалитическим, если этот интеграл расходится.

Как критерий регулярности банаховых алгебр условие (3) встречается впервые у Шилова [22] для некоторых весовых алгебр степенных рядов. Бёрлинг [27] получил этот критерий для весовых алгебр на прямой. Далее результат Бёрлинга был распространен Домаром [33] на случай произвольной абелевой локально компактной группы, причем определение квазианалитичности пришлось немного изменить. Согласно Домару, вес w на группе G называется неквазианалитическим, если для любого х £Е G сходится ряд при этом условие (4) является критерием регулярности алгебры Cf(G).

Доказательство Домара практически без изменений переносится на случай инвариантных алгебр с показателем р > 1, это сделано в разделе 2.2 диссертации. Пример 2.2.3 показывает, что в отсутствие инвариантности условие (4) может нарушаться.

В разделе 2.3 строятся регулярные алгебры C™(G) при всех р > 1 на любой сг-компактной абелевой группе G. Таким образом, если на группе существуют какие-нибудь весовые алгебры, то среди них есть и регулярные. Спектр регулярных алгебр C™(G) равняется двойственной группе G — это результат Домара [33].

3)

4)

Последняя глава диссертации посвящена другому вопросу, тесно связанному с теорией весовых алгебр. Напомним, что на данной группе G при фиксированном р все алгебры С™ (G) изоморфны между собой как банаховы пространства и различаются только алгебраической структурой. В связи с этим возникает вопрос: каков диапазон свойств различных алгебр, изоморфных данному банахову пространству? Пример результата такого рода — теорема о том, что бесконечномерная аменабельная банахова алгебра не может быть изоморфна гильбертову пространству [41].

В главе 3 рассматривается простейшая из задач подобного вида: описать класс М.(Х) пространств максимальных идеалов всевозможных полупростых коммутативных банаховых алгебр с единицей, изоморфных данному банахову пространству X. При решении этой задачи используются, в частности, результаты главы 2.

Из общей теории банаховых алгебр следует, что все пространства М Е Ai(X) должны быть хаусдорфовы и компактны. Несложно показать также (см. гл. 3), что вес (наименьшая мощность базы топологии) пространства М не превосходит плотности (наименьшей мощности всюду плотного множества) D (X) пространства X. Эти условия описывают максимально возможный класс тИ(т) для пространства данной плотности ш. В частности, для сепарабельного пространства (счетной плотности) класс состоит из всех бесконечных метризуемых компактов. Из теоремы Милютина [11] следует, что С[0,1] дает пример пространства, имеющего максимальный класс

М(С[ 0,1]) = Л*(К0).

В диссертации описываются классы Л4(Х) для некоторых пространств

X. В разделе 3.2 показано, что пространство £2 является, наряду с С[0,1], примером пространства с максимально возможным классом Л4(£2) = А^(^о)-В разделе 3.1 доказано, что для некоторого класса пространств, включающего пространства со счетным безусловным базисом, Л4(Х) содержит все счетные бесконечные компакты.

Можно определить также минимально возможный класс Л/*(т) пространств М(Х) при данной плотности с)(Х) = т. Обозначим символом Q сходящуюся последовательность {0} U {1 /п : п G N} в обычной топологии. Пличко доказал [15], что Q £ М.{Х) для всякого сепарабельного банахова пространства X. С другой стороны, Шкариным [62] приведен пример сепарабельного банахова пространства, для которого другие компакты невозможны, т.е. Л4(Х) = {Г2}. Таким образом, = А/"(^о) является наименьшим возможным классом Л4(Х) для сепарабельного пространства X.

В разделе 3.3 получено обобщение результата Пличко на случай сепарабельного пространства Фреше Х) т.е. возможность задать на пространстве X такую структуру коммутативной алгебры Аренса—Майкла (определение см. в § 3.3) с единицей, что ее пространство максимальных идеалов будет гомеоморфно

И, наконец, в разделе 3.2.2 получен следующий результат о несепара-бельных пространствах. Пусть m — бесконечное множество. Если пространство £р(m), р > 1, наделено какой-нибудь структурой коммутативной банаховой алгебры с единицей, то характеры образуют замкнутое подмножество в единичном шаре В(т) сопряженного пространства со слабой топологией. Иначе можно сказать, что любое пространство М £ Л4{£р{ш)) гомеоморфно

13 вкладывается в шар В(т). В теореме 3.2.3 доказано, что, с другой стороны, верно включение В{m) G Л4(£р(т)).

Автор благодарит своего научного руководителя А. Я. Хелемского за неизменное внимание к работе. Автор выражает также глубокую благодарность Е. А. Горину за плодотворные обсуждения и редакторскую работу над текстом введения.

Формулировки основных результатов

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Юлия Николаевна, 2007 год

1. Бурбаки Н. Спектральная теория. М.: Мир, 1972.

2. Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. М.: Изд. Ин. лит-ры, 1950.

3. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области, М.: Наука, 1964.

4. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960.

5. Горин Е. А. Исследования Г. Е. Шилова по теории коммутативных банаховых алгебр и их дальнейшее развитие. Успехи мат. наук 33, №4 (202), 169-188 (1978).

6. Граев М. И. Свободные топологические группы. Изв. АН СССР. Сер. матем. 12 (1948), 279-324.

7. Кузнецова Ю. Н. Об умножении в пространствах Фреше. Вестник МГУ, сер. 1, матем., мех., 56 (2001), 58-61.

8. Кузнецова Ю. Н. Весовые Lp-алгебры на группах. Функц. анализ и его прил., 40, № 3 (2006), 82-85.

9. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.

10. Люмис Jl. Введение в абстрактный гармонический анализ. М.: Изд. Ин. лит-ры, 1956.

11. Милютин А. А. Изоморфизм двух пространств непрерывных функций на компактных множествах мощности континуум. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 2. Харьков, 1966.

12. Наймарк М. А. Нормированные кольца. М.: Наука, 1968.

13. Никольский Н. К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа. Труды МИАН им. Стеклова 120 (1974).

14. Никольский Н. К. Спектральный синтез для оператора сдвига и нули в некоторых классах аналитических функций, гладких вплоть до границы. ДАН 190, № 4 (1970), 780-783.

15. Пл1чко А. М. Автоматична неперервшсть, базиси i радикали в метризов-них алгебрах Укр. мат. журн. 44, № 8 (1992), 1129-1132.

16. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства М.: Мир, 1967.

17. Сакс С. Теория интеграла, М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949.

18. Сипачёва О. В. Топология свободных топологических групп. Фундам. прикл. мат. 9, № 2 (2003), 99-204.

19. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

20. Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. М.: Наука, 1989.

21. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. I, М.: Наука, 1975 и т. II, М.: Мир, 1975.

22. Шилов Г. Е. О регулярных нормированных кольцах. Труды Матем. инта им. Стеклова 21 (1947), 1-118.

23. Эль-Фалла О., Никольский Н. К., Зарраби М. Оценки резольвент в алгебрах Бёрлинга—Соболева. Алгебра и анализ 10, № 6 (1998), 1-92.

24. Энгелькинг Р., ОбщаяИпопология М.: Мир, 1986.

25. Banach S. Sur le theoreme de M. Vitali. Fund. Math. 5 (1924), 130-136.

26. Beurling A. Sur les integrates de Fourier absolument convergentes. In IX Congres Math. Scand., Helsinki, 1938, 345-366.

27. Beurling A. On the spectral synthesis of bounded functions, Acta Math. 81 (1949), 225-238.

28. Benazzouz A., El Kinani A. Structure m-convexe dans l'espace a poids Щ.Rn). Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 10, № 1 (2003), 49-57.

29. Bruckner A. Differentiation of integrals. Amer. Math. Monthly 78, № 9 pt. 2 (1971).

30. Dales H. G. Convolution algebras on the real line. Radical Banach algebras and automatic continuity, Proc. Conf. Long Beach 1981, Lect. Notes Math. 975 (1983).

31. Dales H. G. Banach algebras and automatic continuity, London Mathematical Society Monographs, Volume 24, The Clarendon Press, Oxford, xv+907 pp., 2000.

32. Dales H. G., Lau A. T.-M. The second duals of Beurling algebras, Memoirs of the AMS 177, Ж 836 (2005).

33. Domar Y. Harmonic analysis based on certain commutative algebras, Acta Math. 96, № 2 (1956), 1-66.

34. Domar Y. Bilaterally translation-invariant subspaces of weighted LP(K), Radical Banach algebras and automatic continuity, Proc. Conf., Long Beach 1981, Lect. Notes Math. 975, 210-213 (1983).

35. Domar Y. Translation invariant subspaces of weighted lp and Lp spaces, Math. Scand. 49 (1981), 133-144.

36. Edwards R. E. The stability of weighted Lebesgue spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959), 369-394.

37. Feichtinger H. G. Gewichtsfunktionen auf lokalkompakten Gruppen, Sitzber. Osterr. Akad. Wiss. Abt. II, 188, № 8-10 (1979), 451-471.

38. Fricke, G. A note on strictly cyclic shifts on lp. Int. J. Math. Math. Sci. 1, № 2 (1978), 203-208.

39. Gaudry G. I. Multipliers of weighted Lebesgue and measure spaces. Proc. London Math. Soc. (3) 19 (1969), 327-340.

40. Gelfand I. Uber absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale. Матем. сб. 9 (51) (1941), 51-66.

41. Ghahramani F., Loy R. J., Willis G. A. Amenability and weak amenability of second conjugate Banach algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1489-1497.

42. Grabiner S. Weighted convolution algebras as analogues of Banach algebras of power series. Radical Banach algebras and automatic continuity: Proc. Conf. Long Beach, 1981, Lect. Notes Math. 975 (1983), 295-300.

43. Grabiner S. приветрггг>е£ Weighted shifts and Banach algebras of power series Amer. J. Math. 97, № 1 (1975), 16-42.

44. Grochenig K. Weight functions in time-frequency analysis, arXiv:math/0611174.

45. Gr0nbaek N. Amenability of weighted convolution algebras on locally compact groups, Trans. American Math. Soc., 319 (1990), 765-775.

46. Ionescu Tulcea A., Ionescu Tulcea C. Topics in the theory of lifting. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 48. Springer—Verlag, 1969.

47. Johnson В. E. Cohomology in Banach algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 127 (1972).

48. Kerlin E., Lambert A. Strictly cyclic shifts on lp. Acta Sci. Math. (Szeged) 35 (1973), 87-94.

49. Kolzow D. Differentiation von Mafien. Lecture Notes in Math., v. 65, Springer-Verlag, 1968.

50. Kerman R., Sawyer E. Convolution algebras with weighted rearrangement-invariant norm. Stud. Math. 108, № 2 (1994), 103-126.

51. Lebesgue H. Sur l'integration des fonctions discontinues, Annates scientifiques de I'Ecole normale superieure, Ser. 3, 27 (1910), 361-450.

52. Maharam D. On a theorem of von Neumann, Proc. Amer. Math. Soc. 9, № 6 (1958), pp. 987-994.

53. Nikodym O. Sur la mesure des ensembles plans dont tous les points sont rectilinearement accessibles, Fund. Math. 10 (1927), 116-168.57. de Possel R. Sur le derivation abstraite des fonctions d'ensemble, J. Math. Pures Appl. 15 (1936), 391-409.

54. Reiter H., Stegeman J. D. Classical harmonic analysis and locally compact groups, Oxford: Clarendon Press, 2000.

55. Rudin W. Fourier analysis on groups. NY: Interscience, 1962.

56. Runde V. Lectures on Amenability, Springer—Verlag, 2002.

57. Saeki S. The ZAconjecture and Young's inequality. Illinois J. Math. 34, № 3 (1990), 614-627.101

58. Shkarin S. A., Kuznetsova Yu. N. Multiplicative spectra of Banach spaces. J. Math. Sci. NY 131, № 6 (2005), 6112-6119.

59. Wendel J. G. Left centralizers and isomorphisms of group algebras, Pacif. J. Math. 2 (1952), 251-261.

60. Wermer J. On a class of normed rings. Ark. Mat. 2 (1954), Hf. 6, 537-551.102Список публикаций автора по теме диссертации.

61. Кузнецова Ю. Н. Об умножении в пространствах Фреше. Вестник МГУ, сер. 1, матем., мех., 56 (2001), 58-61.

62. Shkarin S. A., Kuznetsova Yu. N. Multiplicative spectra of Banach spaces. J. Math. Sci. NY 131, № 6 (2005), 6112-6119.

63. Кузнецова Ю. H. Сверточные Lp-алгебры с весами на группах. XXX Далъневост. матем. школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова: тез. докл. Хабаровск: изд-во ДВГУПС, 2005.

64. Кузнецова Ю. Н. Весовые Lp-алгебры на группах. Функц. анализ и его прил., 40, № 3 (2006), 82-85.

65. Кузнецова Ю. Н. Конструкции регулярных алгебр C™{G). Деп. в ВИНИТИ 27.09.2007, № 911-В2007, 16 с.